Примеры решения задач по математическому анализу

Прежде чем изучать примеры решения задач по матанализу, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию вместе с примерами решения.

Если вы совсем не знаете основ математического анализа советую вам мою страницу с подробными лекциями:

Предмет математический анализ

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел функции. Основные способы вычисления пределов

К оглавлению…

Число А называют пределом функции при (или в точке ), если для любого числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначают предел .

Если функции имеют пределы в точке , то:

Функция называется бесконечно малой в точке , если ее предел в этой точке равен нулю: .

Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом записывают .

При нахождении предела в случае, когда являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке , говорят, что отношение при представляет собой неопределенность вида .

Аналогично вводятся неопределенности вида , которые встречаются при нахождении соответственно пределов . Отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенности.

При решении задач используют:

а) первый замечательный предел:

б) второй замечательный предел:

или

в) некоторые важные пределы:

г) эквивалентность бесконечно малых функций.

Пусть бесконечно малые функции в точке .

Если , то называются эквивалентными бесконечно малыми функциями, что обозначается так: .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций при х -> а не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой эквивалентной бесконечно малой функцией.

При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при :

Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по математическому анализу

Примеры с решением:

К оглавлению…

Пример №3.1.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность .

Преобразуем выражение под знаком предела:

Пример №3.2.

Вычислить .

Пример №3.3.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность . Выделим в числителе и в знаменателе одинаковый множитель . Для этого разложим числитель и знаменатель на сомножители. Имеем:

Пример №3.4.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность . Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Пример №3.5.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность . Используем первый замечательный передел. В нашем случае .

Следовательно, получаем .

Пример №3.6.

Вычислить

Решение:

Имеем неопределенность . Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной бесконечно малой функцией . Получаем

Неопределенности вида преобразуются к неопределенности вида

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по математическому анализу

Пример №3.7.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность вида . Приведем две дроби к общему знаменателю:

Пример №3.8.

Вычислить .

Решение:

Имеем неопределенность вида . Преобразуем выражение:

Для раскрытия неопределенности вида применяют второй замечательный предел. Пусть . Тогда имеем

Приходим к неопределенности вида

Пример №3.9.

Вычислить

Пример №3.10.

Вычислить

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функции и имеют производные в некоторой точке , то основные правила дифференцирования выражаются формулами:

Таблица основных производных

Правило дифференцирования сложной функции

К оглавлению…

Если — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной :

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Пример с решением:

К оглавлению…

Пример №3.11.

Найти производную функции .

Решение:

Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией.

Первый промежуточный аргумент , второй

Так как

Дифференцирование неявных функций

К оглавлению…

Пусть функция задана уравнением . В этом случае говорят, что функция у задана неявно.

Производная может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной .

Примеры с решением:

К оглавлению…

Пример №3.12.

Найти производную функции , заданной неявно.

Решение:

Дифференцируем это равенство по , считая, что — функция от : . Отсюда .

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрически: .

Пусть — дифференцируемые функции и . Тогда имеем:

Пример №3.13.

Найти производную функции .

Решение:

Находим . Тогда по формуле (3.1) получаем

Дифференцирование степенно-показательной функции

К оглавлению…

Пусть , где , — дифференцируемые функции по .

Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Пример с решением:

К оглавлению…

Пример №3.14.

Найти производную функции

Логарифмируем данное равенство по основанию :

Дифференцируя обе части последнего равенства по как сложную функцию получаем:

Откуда находим

или

Производные высших порядков

К оглавлению…

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной (которую называют первой производной).

Рассмотрим функцию заданную параметрически:

Имеем . Тогда по формуле (3.1) получаем

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Пример с решением:

К оглавлению…

Пример №3.15.

Найти

Решение:

Находим . По формуле (3.1) получаем

Находим

По формуле (3.2) получаем

Исследование функций и построение графиков

Если для двух любых значений аргумента , взятых из области определения функции, из неравенства следует, что

а) функция называется возрастающей;

б) , то функция называется неубывающей;

в) , то функция называется убывающей;

г) , то функция называется невозрастающей.

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция , дифференцируемая на , возрастает (убывает) на тогда и только тогда, когда ; если при этом не существует интервала , такого, что , то строго возрастает (убывает) на .

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции , если существует такая — окрестность точки , что выполняется неравенство

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума: если функция в точке имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Внутренние точки множества в которых непрерывна, а ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции .

Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция дифференцируема в некоторой — окрестности критической точки , кроме, может быть самой точки , а при , и при , то в точке функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие локального экстремума. Если в критической точке функция дважды дифференцируема и , то в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум).

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на , если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке , где .

Если функция в интервале дважды дифференцируема и , то график функции в этом интервале выпуклый (вогнутый).

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная функции в точке равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то — точка перегиба графика функции .

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат.

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности: .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде — бесконечно малая функция при .

Если существуют пределы: ,

то уравнение определяет наклонную асимптоту.

Если — горизонтальная асимптота.

Построение графика функции

К оглавлению…

Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию да четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат.
  3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.
  4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции.
  5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
  6. Построить график функции.

Пример с решением:

К оглавлению…

Пример №3.16.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Находим область определения .

2. Поскольку , то функция не является четной, нечетной и периодической.

Находим точки пересечения с осями координат:

а) так как , то график функции не пересекает ось ;

б) при график функции пересекает ось в точке .

3. Функция не определена в точке . Поскольку , , то — точка разрыва второго рода. Так как , то прямая есть вертикальная асимптота.

Далее находим

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота.

4. Вычислим

Первая производная не существует в точке , которая не принадлежит области определения и, следовательно, не является критической точкой.

При получаем или .

Точки являются критическими (стационарными) точками.

Определим интервалы монотонности из неравенств и :

Следовательно, функция возрастает при и убывает при .

В точке функция имеет максимум

В точке функция имеет минимум .

5. Находим

Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств . Имеем при при . Следовательно, кривая выпукла на и вогнута на . Так как не принадлежит области определения функции и , то точек перегиба нет.

Результаты исследования функции заносим в таблицу.

6.Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных и ее предела

К оглавлению…

Пусть D — множество точек пространства . Если каждой точке по определенному закону ставится в соответствие некоторое число , то говорят, что на множестве D определена функция m переменных .

При этом называются независимыми переменными или аргументами.

Множество D точек X, для которых существует , называют областью определения функции и обозначают а множество значений обозначают .

— функция двух переменных.

Пусть функция определена на множестве D.

Число называют пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение:

Частным приращением по переменной функции в точке называется разность

где — приращение переменной .

Если существует то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается (или

При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Примеры с решением:

К оглавлению…

Пример №4.1.

Найти частные производные функции .

Решение:

Имеем

Рассмотрим функцию трех переменных на множестве D.

Полным дифференциалом функции в точке называется главная часть полного приращения функции

линейная относительно приращений переменных — постоянные числа).

Полный дифференциал находят по формуле

где .

Производной по направлению вектора функции в точке называется предел

, если этот предел существует.

Обозначим через направляющие косинусы вектора . Тогда

Градиентом функции в точке называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в этой точке:

При этом:

Пример №4.2.

Дана функция , точка , вектор . Найти: а) полный дифференциал , б) производную по направлению вектора , в) градиент функции в точке .

Решение:

Найдем частные производные функции :

Вычислим значения производных в точке М:

а. Находим полный дифференциал функции в точке М по формуле (4.1):

б. Найдем направляющие косинусы вектора . Имеем ,

По формуле (4.2) вычисляем производную :

в. Вычисляем градиент функции в точке М по формуле (4.3):

Частные производные и дифференциал высших порядков

Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке

Частные производные по переменным х, у от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются

Производные называются смешанными производными.

Если смешанные производные непрерывны, то справедливо равенство .

Полным дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается

Экстремум функции нескольких переменных

К оглавлению…

Пусть функция определена в области D. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), равный , если существует такая — окрестность этой точки, что для всех отличных от точек из этой окрестности имеет место неравенство .

Необходимые условия экстремума. Если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.

Если — точка экстремума дифференцируемой функции

Из этой системы уравнений находят стационарные точки. Сформулируем достаточные условия существования экстремума.

Пусть , где -стационарная точка дважды дифференцируемой функции . Тогда:

1) если , то имеет в точке локальный экстремум (при — локальный максимум, при — минимум);

2) если , экстремума в точке нет;

3) если , функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Кстати тут, теория из учебников по математическому анализу.

Пример с решением:

К оглавлению…

Пример №4.3.

Найти локальные экстремумы функции .

Решение:

Областью определения данной функции является вся плоскость.

Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (4.4):

Решая эту систему, получим две стационарные точки .

Находим частные производные второго порядка: ; . Вычисляем их значения в точках

.

В точке . Тогда имеем . Следовательно, точка не является точкой экстремума.

В точке . Тогда . Так как , то точка — точка локального минимума.

Вычисляем .