Примеры решения задач по математическому анализу

Оглавление:

Примеры решения по математическому анализу

Прежде чем изучать примеры решения задач по матанализу, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию вместе с примерами решения.

Если вы совсем не знаете основ математического анализа советую вам мою страницу с подробными лекциями:

Предмет математический анализ

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Математический анализ

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят дифференциальное и интегральное исчисление теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов векторный анализ.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел функции. Основные способы вычисления пределов

Число А называют пределом функции Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу (или в точке Примеры решения задач по математическому анализу), если для любого числа Примеры решения задач по математическому анализу существует такое число Примеры решения задач по математическому анализу, что при всех Примеры решения задач по математическому анализу, удовлетворяющих условию Примеры решения задач по математическому анализу, выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Обозначают предел Примеры решения задач по математическому анализу.

Если функции Примеры решения задач по математическому анализу имеют пределы в точке Примеры решения задач по математическому анализу, то:

Примеры решения задач по математическому анализу
Примеры решения задач по математическому анализу

Функция Примеры решения задач по математическому анализу называется бесконечно малой в точке Примеры решения задач по математическому анализу, если ее предел в этой точке равен нулю: Примеры решения задач по математическому анализу.

Функция Примеры решения задач по математическому анализу называется бесконечно большой в точке Примеры решения задач по математическому анализу, если для любого числа Примеры решения задач по математическому анализу существует такое число Примеры решения задач по математическому анализу, что для всех Примеры решения задач по математическому анализу, удовлетворяющих неравенству Примеры решения задач по математическому анализу, выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу. При этом записывают Примеры решения задач по математическому анализу.

При нахождении предела Примеры решения задач по математическому анализу в случае, когда Примеры решения задач по математическому анализу являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке Примеры решения задач по математическому анализу, говорят, что отношение Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу представляет собой неопределенность вида Примеры решения задач по математическому анализу.

Аналогично вводятся неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу, которые встречаются при нахождении соответственно пределов Примеры решения задач по математическому анализу. Отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенности.

При решении задач используют:

а) первый замечательный предел:

Примеры решения задач по математическому анализу

б) второй замечательный предел:

Примеры решения задач по математическому анализу

или

Примеры решения задач по математическому анализу

в) некоторые важные пределы:

Примеры решения задач по математическому анализу

г) эквивалентность бесконечно малых функций.

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу бесконечно малые функции в точке Примеры решения задач по математическому анализу.

Если Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу называются эквивалентными бесконечно малыми функциями, что обозначается так: Примеры решения задач по математическому анализу.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций при х -> а не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой эквивалентной бесконечно малой функцией.

При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей Примеры решения задач по математическому анализу.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по математическому анализу

Примеры с решением:

Пример №3.1.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу.

Преобразуем выражение под знаком предела:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.2.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Пример №3.3.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Выделим в числителе и в знаменателе одинаковый множитель Примеры решения задач по математическому анализу. Для этого разложим числитель и знаменатель на сомножители. Имеем:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.4.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.5.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Используем первый замечательный передел. В нашем случае Примеры решения задач по математическому анализу.

Следовательно, получаем Примеры решения задач по математическому анализу.

Пример №3.6.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Заменим бесконечно малую функцию Примеры решения задач по математическому анализу эквивалентной бесконечно малой функцией Примеры решения задач по математическому анализу. Получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу преобразуются к неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по математическому анализу

Пример №3.7.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность вида Примеры решения задач по математическому анализу. Приведем две дроби к общему знаменателю:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.8.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность вида Примеры решения задач по математическому анализу. Преобразуем выражение:

Примеры решения задач по математическому анализу

Для раскрытия неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу применяют второй замечательный предел. Пусть Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда имеем

Примеры решения задач по математическому анализу

Приходим к неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.9.

Вычислить

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.10.

Вычислить

Примеры решения задач по математическому анализу

Производной функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

Примеры решения задач по математическому анализу

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функции Примеры решения задач по математическому анализу и имеют производные в некоторой точке Примеры решения задач по математическому анализу , то основные правила дифференцирования выражаются формулами:

Примеры решения задач по математическому анализу

Таблица основных производных

Примеры решения задач по математическому анализу

Правило дифференцирования сложной функции

Если Примеры решения задач по математическому анализу — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) Примеры решения задач по математическому анализу существует и равна произведению производной данной функции Примеры решения задач по математическому анализу по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Пример с решением:

Пример №3.11.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией.

Первый промежуточный аргумент Примеры решения задач по математическому анализу, второй Примеры решения задач по математическому анализу

Так как Примеры решения задач по математическому анализу

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференцирование неявных функций

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу задана уравнением Примеры решения задач по математическому анализу. В этом случае говорят, что функция у задана неявно.

Производная Примеры решения задач по математическому анализу может быть найдена из уравнения Примеры решения задач по математическому анализу, где Примеры решения задач по математическому анализу рассматривается как сложная функция от переменной Примеры решения задач по математическому анализу.

Примеры с решением:

Пример №3.12.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу, заданной неявно.

Решение:

Дифференцируем это равенство по Примеры решения задач по математическому анализу, считая, что Примеры решения задач по математическому анализу — функция от Примеры решения задач по математическому анализу: Примеры решения задач по математическому анализу. Отсюда Примеры решения задач по математическому анализу.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу задана параметрически: Примеры решения задач по математическому анализу.

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу — дифференцируемые функции и Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда имеем:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.13.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Находим Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда по формуле (3.1) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференцирование степенно-показательной функции

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу, где Примеры решения задач по математическому анализу, Примеры решения задач по математическому анализу — дифференцируемые функции по Примеры решения задач по математическому анализу.

Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Пример с решением:

Пример №3.14.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу

Логарифмируем данное равенство по основанию Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференцируя обе части последнего равенства по Примеры решения задач по математическому анализу как сложную функцию получаем:

Примеры решения задач по математическому анализу

Откуда находим

Примеры решения задач по математическому анализу

или

Примеры решения задач по математическому анализу

Производные высших порядков

Производной второго порядка функции Примеры решения задач по математическому анализу называется производная от ее производной Примеры решения задач по математическому анализу (которую называют первой производной).

Рассмотрим функцию Примеры решения задач по математическому анализу заданную параметрически:

Примеры решения задач по математическому анализу Имеем Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда по формуле (3.1) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Пример с решением:

Пример №3.15.

Найти Примеры решения задач по математическому анализу

Решение:

Находим Примеры решения задач по математическому анализу. По формуле (3.1) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Находим

Примеры решения задач по математическому анализу

По формуле (3.2) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Исследование функций и построение графиков

Если для двух любых значений аргумента Примеры решения задач по математическому анализу, взятых из области определения функции, из неравенства Примеры решения задач по математическому анализу следует, что

а) Примеры решения задач по математическому анализу функция называется возрастающей;

б) Примеры решения задач по математическому анализу, то функция называется неубывающей;

в) Примеры решения задач по математическому анализу, то функция называется убывающей;

г) Примеры решения задач по математическому анализу, то функция называется невозрастающей.

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция Примеры решения задач по математическому анализу, дифференцируемая на Примеры решения задач по математическому анализу, возрастает (убывает) на Примеры решения задач по математическому анализу тогда и только тогда, когда Примеры решения задач по математическому анализу; если при этом не существует интервала Примеры решения задач по математическому анализу, такого, что Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу строго возрастает (убывает) на Примеры решения задач по математическому анализу.

Значение Примеры решения задач по математическому анализу называется локальным максимумом (минимумом) функции Примеры решения задач по математическому анализу, если существует такая Примеры решения задач по математическому анализу — окрестность точки Примеры решения задач по математическому анализу, что Примеры решения задач по математическому анализу выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу Примеры решения задач по математическому анализу

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума: если функция Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Внутренние точки множества Примеры решения задач по математическому анализу в которых Примеры решения задач по математическому анализу непрерывна, а ее производная Примеры решения задач по математическому анализу равна нулю или не существует, называются критическими точками функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция Примеры решения задач по математическому анализу дифференцируема в некоторой Примеры решения задач по математическому анализу — окрестности критической точки Примеры решения задач по математическому анализу, кроме, может быть самой точки Примеры решения задач по математическому анализу, а Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу, и Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу, то в точке Примеры решения задач по математическому анализу функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие локального экстремума. Если в критической точке Примеры решения задач по математическому анализу функция Примеры решения задач по математическому анализу дважды дифференцируема и Примеры решения задач по математическому анализу, то в этой точке функция Примеры решения задач по математическому анализу имеет локальный максимум (минимум).

График дифференцируемой функции Примеры решения задач по математическому анализу называется выпуклым (вогнутым) на Примеры решения задач по математическому анализу, если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке Примеры решения задач по математическому анализу , где Примеры решения задач по математическому анализу.

Если функция Примеры решения задач по математическому анализу в интервале Примеры решения задач по математическому анализу дважды дифференцируема и Примеры решения задач по математическому анализу, то график функции в этом интервале выпуклый (вогнутый).

Точка Примеры решения задач по математическому анализу графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная Примеры решения задач по математическому анализу функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то Примеры решения задач по математическому анализу — точка перегиба графика функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат.

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая Примеры решения задач по математическому анализу называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу равен бесконечности: Примеры решения задач по математическому анализу.

Прямая Примеры решения задач по математическому анализу называется наклонной асимптотой графика функции Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу, если функцию Примеры решения задач по математическому анализу можно представить в виде Примеры решения задач по математическому анализу — бесконечно малая функция при Примеры решения задач по математическому анализу.

Если существуют пределы: Примеры решения задач по математическому анализу,

то уравнение Примеры решения задач по математическому анализу определяет наклонную асимптоту.

Если Примеры решения задач по математическому анализу — горизонтальная асимптота.

Построение графика функции

Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию да четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат.
  3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.
  4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции.
  5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
  6. Построить график функции.

Пример с решением:

Пример №3.16.

Исследовать функцию Примеры решения задач по математическому анализу и построить ее график.

Решение:

1. Находим область определения Примеры решения задач по математическому анализу.

2. Поскольку Примеры решения задач по математическому анализу, то функция не является четной, нечетной и периодической.

Находим точки пересечения с осями координат:

а) так как Примеры решения задач по математическому анализу, то график функции не пересекает ось Примеры решения задач по математическому анализу;

б) при Примеры решения задач по математическому анализу график функции пересекает ось Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу.

3. Функция не определена в точке Примеры решения задач по математическому анализу. Поскольку Примеры решения задач по математическому анализу, Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу — точка разрыва второго рода. Так как Примеры решения задач по математическому анализу, то прямая Примеры решения задач по математическому анализу есть вертикальная асимптота.

Далее находим

Примеры решения задач по математическому анализу

Следовательно, прямая Примеры решения задач по математическому анализу есть наклонная асимптота.

4. Вычислим Примеры решения задач по математическому анализу

Первая производная не существует в точке Примеры решения задач по математическому анализу, которая не принадлежит области определения Примеры решения задач по математическому анализу и, следовательно, не является критической точкой.

При Примеры решения задач по математическому анализу получаем Примеры решения задач по математическому анализу или Примеры решения задач по математическому анализу.

ТочкиПримеры решения задач по математическому анализу являются критическими (стационарными) точками.

Определим интервалы монотонности из неравенств Примеры решения задач по математическому анализу и Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Следовательно, функция возрастает при Примеры решения задач по математическому анализу и убывает при Примеры решения задач по математическому анализу.

В точке Примеры решения задач по математическому анализу функция имеет максимум Примеры решения задач по математическому анализу Примеры решения задач по математическому анализу

В точке Примеры решения задач по математическому анализу функция имеет минимум Примеры решения задач по математическому анализуПримеры решения задач по математическому анализу.

5. Находим

Примеры решения задач по математическому анализу

Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств Примеры решения задач по математическому анализу. Имеем Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу. Следовательно, кривая выпукла на Примеры решения задач по математическому анализу и вогнута на Примеры решения задач по математическому анализу. Так как Примеры решения задач по математическому анализу не принадлежит области определения функции и Примеры решения задач по математическому анализу, то точек перегиба нет.

Результаты исследования функции Примеры решения задач по математическому анализу заносим в таблицу.

Примеры решения задач по математическому анализу

6.Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных и ее предела

Пусть D — множество точек Примеры решения задач по математическому анализу пространства Примеры решения задач по математическому анализу. Если каждой точке Примеры решения задач по математическому анализу по определенному закону Примеры решения задач по математическому анализу ставится в соответствие некоторое число Примеры решения задач по математическому анализу, то говорят, что на множестве D определена функция m переменных Примеры решения задач по математическому анализу.

При этом Примеры решения задач по математическому анализу называются независимыми переменными или аргументами.

Множество D точек X, для которых существует Примеры решения задач по математическому анализу, называют областью определения функции и обозначают Примеры решения задач по математическому анализу а множество значений Примеры решения задач по математическому анализу обозначают Примеры решения задач по математическому анализу.

Примеры решения задач по математическому анализу — функция двух переменных.

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу определена на множестве D.

Число Примеры решения задач по математическому анализу называют пределом функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу, если для любого числа Примеры решения задач по математическому анализу существует такое число Примеры решения задач по математическому анализу, что для всех точек Примеры решения задач по математическому анализу, удовлетворяющих условию Примеры решения задач по математическому анализу, выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Обозначение:

Примеры решения задач по математическому анализу

Частным приращением по переменной Примеры решения задач по математическому анализу функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется разность

Примеры решения задач по математическому анализу

где Примеры решения задач по математическому анализу — приращение переменной Примеры решения задач по математическому анализу.

Если существует Примеры решения задач по математическому анализу то он называется частной производной функции Примеры решения задач по математическому анализу по переменной Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу и обозначается Примеры решения задач по математическому анализу (или Примеры решения задач по математическому анализу

При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Примеры с решением:

Пример №4.1.

Найти частные производные функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем

Примеры решения задач по математическому анализу

Рассмотрим функцию трех переменных Примеры решения задач по математическому анализу на множестве D.

Полным дифференциалом функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется главная часть полного приращения функции

Примеры решения задач по математическому анализу

линейная относительно приращений переменных Примеры решения задач по математическому анализу — постоянные числа).

Полный дифференциал находят по формуле

Примеры решения задач по математическому анализу

где Примеры решения задач по математическому анализу.

Производной по направлению вектора Примеры решения задач по математическому анализу функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется предел

Примеры решения задач по математическому анализу, если этот предел существует.

Обозначим через Примеры решения задач по математическому анализу направляющие косинусы вектора Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда

Примеры решения задач по математическому анализу

Градиентом функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных Примеры решения задач по математическому анализу в этой точке:

Примеры решения задач по математическому анализу

При этом: Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №4.2.

Дана функция Примеры решения задач по математическому анализу, точка Примеры решения задач по математическому анализу, вектор Примеры решения задач по математическому анализу. Найти: а) полный дифференциал Примеры решения задач по математическому анализу, б) производную по направлению вектора Примеры решения задач по математическому анализу, в) градиент функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Найдем частные производные функции Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Вычислим значения производных в точке М:

Примеры решения задач по математическому анализу

а. Находим полный дифференциал функции в точке М по формуле (4.1):

Примеры решения задач по математическому анализу

б. Найдем направляющие косинусы вектора Примеры решения задач по математическому анализу. Имеем Примеры решения задач по математическому анализу,

Примеры решения задач по математическому анализу

По формуле (4.2) вычисляем производную :

Примеры решения задач по математическому анализу

в. Вычисляем градиент функции в точке М по формуле (4.3):

Примеры решения задач по математическому анализу

Частные производные и дифференциал высших порядков

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке Примеры решения задач по математическому анализу

Частные производные по переменным х, у от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются

Примеры решения задач по математическому анализу

Производные Примеры решения задач по математическому анализу называются смешанными производными.

Если смешанные производные Примеры решения задач по математическому анализу непрерывны, то справедливо равенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Полным дифференциалом второго порядка функции Примеры решения задач по математическому анализу называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается

Примеры решения задач по математическому анализу

Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу определена в области D. Функция Примеры решения задач по математическому анализу имеет в точке Примеры решения задач по математическому анализу локальный максимум (минимум), равный Примеры решения задач по математическому анализу, если существует такая Примеры решения задач по математическому анализу — окрестность этой точки, что для всех отличных от Примеры решения задач по математическому анализу точек Примеры решения задач по математическому анализу из этой окрестности имеет место неравенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Необходимые условия экстремума. Если функция Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.

Если Примеры решения задач по математическому анализу — точка экстремума дифференцируемой функции

Примеры решения задач по математическому анализу

Из этой системы уравнений находят стационарные точки. Сформулируем достаточные условия существования экстремума.

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу, где Примеры решения задач по математическому анализу -стационарная точка дважды дифференцируемой функции Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда:

1) если Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу имеет в точке Примеры решения задач по математическому анализу локальный экстремум (при Примеры решения задач по математическому анализу — локальный максимум, при Примеры решения задач по математическому анализу — минимум);

2) если Примеры решения задач по математическому анализу, экстремума в точке Примеры решения задач по математическому анализу нет;

3) если Примеры решения задач по математическому анализу, функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Кстати тут, теория из учебников по математическому анализу.

Пример с решением:

Пример №4.3.

Найти локальные экстремумы функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Областью определения данной функции является вся плоскость.

Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (4.4):

Примеры решения задач по математическому анализу

Решая эту систему, получим две стационарные точки Примеры решения задач по математическому анализу.

Находим частные производные второго порядка: Примеры решения задач по математическому анализу; Примеры решения задач по математическому анализу. Вычисляем их значения в точках Примеры решения задач по математическому анализу

.

В точке Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда имеем Примеры решения задач по математическому анализу. Следовательно, точка Примеры решения задач по математическому анализу не является точкой экстремума.

В точке Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда Примеры решения задач по математическому анализу. Так как Примеры решения задач по математическому анализу, то точка Примеры решения задач по математическому анализу — точка локального минимума.

Вычисляем Примеры решения задач по математическому анализу.