Теория вероятностей и математическая статистика

Оглавление:

Теория вероятностей и математическая статистика

Здравствуйте, на этой странице я собрала краткий курс лекций по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика»ТВИМС.

Лекции подготовлены для студентов любых специальностей и охватывает курс предмета «Теория вероятностей и математическая статистика».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры с решением.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. wikipedia.org/wiki/Теория_вероятностей

Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. wikipedia.org/wiki/Математическая_статистика

Предмет теория вероятностей

Задачи любой науки состоят в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теории управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики.

Математическая статистика — раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Методы математической статистики используются при планировании организации производства, анализе технологических процессов, для контроля качества продукции и многих других целей.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI-XVII веках. Они принадлежали Д.Кардано, Б.Паскалю, П.Ферма, Х.Гюйгенс и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Я.Бернулли, который доказал теорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты и названную в дальнейшем «законом больших чисел».

Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII-XIX века благодаря работам А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона и др. Весьма плодотворный период развития «математики случайного» связан с именами русских математиков П.Л.Чебышсва, А.М.Ляпунова и А.А.Маркова.

Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей и математической статистики внесли российские математики С.Н.Бсрнштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко и др., а также учёные англо-американской школы Стьюдент (псевдоним В.Госсета), Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман и др. Особо следует отметить неоценимый вклад академика А.Н.Колмогорова в становление теории вероятностей как математической науки.

Широкому внедрению статистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX века электронных вычислительных машин и, в частности, персональных компьютеров. Статистические программные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как трудоёмкую работу по расчёту статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталась главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор методов решения и интерпретация результатов.

Основные понятия теории вероятностей

Наблюдаемые события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при выполнении данного ряда условий.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет при выполнении данного ряда условий.

Событие называется случайным, если при осуществлении ряда условий оно может либо произойти, либо не произойти. Испытанием называется осуществление ряда условий. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Очевидно, единственно возможные события являются попарно несовместимыми.

События называются равновозможными. если можно считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов испытания.

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через Теория вероятностей и математическая статистика, то другое обозначают Теория вероятностей и математическая статистика .

Суммой Теория вероятностей и математическая статистика двух событий Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика называется событие, состоящее в появлении события Теория вероятностей и математическая статистика или события Теория вероятностей и математическая статистика, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика называется событие Теория вероятностей и математическая статистика, состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Вероятностью события Теория вероятностей и математическая статистика называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех элементарных исходов испытания, если все исходы равновозможны (классическое определение вероятности). Формулой это определяется так:

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — число элементарных исходов, благоприятных событию Теория вероятностей и математическая статистика — число всех возможных элементарных исходов.

Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

а) вероятность достоверного события равна единице;

б) вероятность невозможного события равна нулю;

в) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей;

г) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 1

В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Решение:

Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию Теория вероятностей и математическая статистика, равно числу всех возможных случаев, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

В этом случае событие Теория вероятностей и математическая статистика достоверно.

Пример № 2

В урне 15 шаров: 5 белых и 10 чёрных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение:

Синих шаров в урне нет, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно,

Теория вероятностей и математическая статистика

В данном случае событие Теория вероятностей и математическая статистика — невозможное.

Пример № 3

В урне 12 шаров: 3 белых, 4 чёрных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны чёрный шар?

Решение:

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 4

В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара — белые?

Решение:

Здесь число всех случаев

Теория вероятностей и математическая статистика

Число же случаев, благоприятствующих событию Теория вероятностей и математическая статистика, определяется равенством

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак,

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 5

В корзине 100 фруктов: 10 груш и 90 яблок. Наугад взяты четыре фрукта. Найти вероятность того, что

а) взято четыре яблока;

б) взято четыре груши.

Решение:

Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из 100 элементов по четыре, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.

а) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (все взятые наугад четыре фрукта являются яблоками), равно числу сочетаний из 90 элементов по четыре, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

Теория вероятностей и математическая статистика

б) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (все взятые наугад четыре фрукта — груши), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре груши из десяти имеющихся, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика. Искомая вероятность

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 6

Из 10 ответов к задачам, помещённым на данной странице, 2 имеют опечатки. Студент решает 5 задач. Какова вероятность того, что в одной из них ответ дан с опечаткой.

Решение:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Примечание. Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из Теория вероятностей и математическая статистика элементов первого вида и Теория вероятностей и математическая статистика элементов второго вида. Какова вероятность того, что при выборе совокупности из Теория вероятностей и математическая статистика элементов она состоит из Теория вероятностей и математическая статистика элементов первого вида и Теория вероятностей и математическая статистика элементов второго вида, где

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Относительная частота события

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом,

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — число появлений события; Теория вероятностей и математическая статистика — общее число испытаний, Теория вероятностей и математическая статистика — относительная частота события.

В тех случаях, когда классическое определение вероятности неприменимо (например, когда число исходов бесконечно), используется статистическое определение. В этом случае за вероятность события принимается относительная частота события.

Геометрическое определение вероятности

При классическом определении вероятности не всегда можно определить числа Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно пользоваться формулой Теория вероятностей и математическая статистика не удаётся. В таких случаях вводят понятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).

Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область Теория вероятностей и математическая статистика и в ней содержится другая область Теория вероятностей и математическая статистика. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области Теория вероятностей и математическая статистика, попадет в область Теория вероятностей и математическая статистика. При этом выражению «точка, взятая наудачу в области Теория вероятностей и математическая статистика» придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области Теория вероятностей и математическая статистика. Вероятность попадания точки в какую-либо часть области Теория вероятностей и математическая статистика пропорциональна мере Теория вероятностей и математическая статистика этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:

Теория вероятностей и математическая статистика

(геометрическое определение вероятности).

Пример № 7

На отрезке Теория вероятностей и математическая статистика длины Теория вероятностей и математическая статистика числовой оси Теория вероятностей и математическая статистика наудачу нанесена точка Теория вероятностей и математическая статистика. Найти вероятность того, что отрезки Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика имеют длину больше, чем Теория вероятностей и математическая статистика.

Решение:

Разобьём отрезок Теория вероятностей и математическая статистика на четыре равные части точками Теория вероятностей и математическая статистика (рис. 1). Требование задачи будет выполнено, если точка Теория вероятностей и математическая статистика попадёт на отрезок Теория вероятностей и математическая статистика, длина которого равна Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно,

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 8

Внутри эллипса Теория вероятностей и математическая статистика расположен круг Теория вероятностей и математическая статистика. Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.

Решение:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть событие Теория вероятностей и математическая статистика — попадание точки в кольцо. Тогда

Теория вероятностей и математическая статистика

где

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как

Теория вероятностей и математическая статистика

то

Теория вероятностей и математическая статистика

Примечание. В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т.е. если вероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом же определении вероятности обратное утверждение не имеет места. Вероятность попадания брошенной точки в одну определённую точку области Теория вероятностей и математическая статистика равна нулю, однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.

Пример № 9 (Задача о встрече)

Два студента Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика условились встретиться в определённом месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждёт другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу, и моменты прихода независимы?

Решение:

Обозначим момент прихода студента Теория вероятностей и математическая статистика через Теория вероятностей и математическая статистика, а студента Теория вероятностей и математическая статистика — через Теория вероятностей и математическая статистика. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы Теория вероятностей и математическая статистика. Изобразим Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика как декартовы координаты на плоскости, а в качестве единицы масштаба выберем одну минуту (рис. 2). Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50, а исходы, благоприятствующие встрече, — точками заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Пусть Теория вероятностей и математическая статистика — множество всех возможных исходов некоторого испытания (опыта, эксперимента). Каждый элемент Теория вероятностей и математическая статистика множества Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика, называют элементарным событием или элементарным исходом, а само множество Теория вероятностей и математическая статистика — пространством элементарных событий. Любое событие Теория вероятностей и математическая статистика рассматривается как некоторое подмножество (часть) множества Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Само пространство элементарных событий Теория вероятностей и математическая статистика представляет собой событие, происходящее всегда (при любом элементарном исходе со), и называется достоверным событием. Таким образом, Теория вероятностей и математическая статистика выступает в двух качествах: множества всех элементарных исходов и достоверного события. Ко всему пространству Теория вероятностей и математическая статистика элементарных событий добавляется ещё пустое множество Теория вероятностей и математическая статистика, рассматриваемое как событие и называемое невозможным событием.

Суммой нескольких событий Теория вероятностей и математическая статистика называется объединение множеств Теория вероятностей и математическая статистика.

Произведением нескольких событий Теория вероятностей и математическая статистика называется пересечение множеств

Теория вероятностей и математическая статистика

Событием Теория вероятностей и математическая статистика, противоположным событию Теория вероятностей и математическая статистика, называется дополнение множества Теория вероятностей и математическая статистика до Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Несколько событий Теория вероятностей и математическая статистика образуют полную группу (полную систему), если их сумма представляет всё пространство элементарных событий, а сами события несовместные, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, под операциями над событиями понимаются операции над соответствующими множествами.

В начале 30-х годов XX века академик А.Н.Колмогоров разработал подход, связывающий теорию вероятностей с современной метрической теорией функций и теорией множеств, который в настоящее время является общепринятым.

Сформулируем аксиомы теории вероятностей. Каждому событию Теория вероятностей и математическая статистика поставим в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика. Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.

Вероятность события должна удовлетворять следующим аксиомам: Р.1. Вероятность любого события неотрицательна: Теория вероятностей и математическая статистика.
Р.2. Вероятность достоверного события равна 1: Теория вероятностей и математическая статистика.
Р.З. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если Теория вероятностей и математическая статистика то

Теория вероятностей и математическая статистика

Из аксиом P.1, Р.2, Р.З можно вывести основные свойства вероятностей:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Произведение событий

Условной вероятностью Теория вероятностей и математическая статистика называется вероятность события Теория вероятностей и математическая статистика, вычисленная в предположении, что событие Теория вероятностей и математическая статистика уже произошло. Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Теория вероятностей и математическая статистика

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Теория вероятностей и математическая статистика

Два события Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика называются независимыми, если

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 10

В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение:

В данном случае речь идёт о совмещении событий Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, где событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара из первого ящика, событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара из второго ящика. При этом Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика — независимые события. Имеем

Теория вероятностей и математическая статистика

Применив теорему умножения вероятностей, находим

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 11

В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара при первом вынимании; событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей для случая зависимых событий имеем

Теория вероятностей и математическая статистика

Но

Теория вероятностей и математическая статистика

(вероятность появления первого белого шара);

Теория вероятностей и математическая статистика

(вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут). Поэтому

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 12

Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго — 0,8, для третьего — 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 13

Из колоды в 52 листа наугад вытягиваются три карты. Какова вероятность, что все три карты — тузы?

Решение:

Интересующее нас событие (все три карты — тузы) является произведением трех событий: Теория вероятностей и математическая статистика — первая карта туз, Теория вероятностей и математическая статистика — вторая карта туз, Теория вероятностей и математическая статистика — третья карта туз. По теореме умножения

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

(число благоприятствующих исходов — число тузов в колоде, общее число элементарных исходов равно числу карт).

Теория вероятностей и математическая статистика

(число благоприятствующих исходов — число тузов, оставшихся после совершения события Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. после того, как один туз был вынут из колоды; общее число исходов равно числу карт, оставшихся в колоде после того, как одну карту уже вынули). Аналогично,

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно,

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 14

Вероятность выхода станка из строя в течении одного рабочего дня равна Теория вероятностей и математическая статистика (Теория вероятностей и математическая статистика — малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу при Теория вероятностей и математическая статистика = 0,01.

Решение:

Так как (1 — Теория вероятностей и математическая статистика) — вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение дня, то по теореме умножения вероятностей Теория вероятностей и математическая статистика — вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.

Воспользовавшись биномиальным разложением и пренебрегая членами, содержащими Теория вероятностей и математическая статистика получим приближённое равенство Теория вероятностей и математическая статистика. Приняв Теория вероятностей и математическая статистика, получаем Теория вероятностей и математическая статистика.

Сумма событий

Теорема. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Сумма вероятностей событий Теория вероятностей и математическая статистика образующих полную группу, равна единице:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 15

В урне 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; чёрный; синий; красный; белый или чёрный; синий или красный; белый, чёрный или синий.

Решение:

Имеем

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Применив теорему сложения вероятностей, получим

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 16

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым — 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе:

а) попадут в цель оба стрелка;

б) попадет хотя бы один.

Решение:

Обозначим события: Теория вероятностей и математическая статистика — попадет в цель первый стрелок, Теория вероятностей и математическая статистика — попадет в цель второй стрелок.

а) Интересующее нас событие (попадут в цель оба стрелка) является произведением событий Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика. Так как Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика — независимые события (стрелок попадает или не попадает в цель независимо от меткости другого), то

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно,

Теория вероятностей и математическая статистика

б) 1-й способ. Интересующее нас событие является суммой событий Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, поэтому по теореме сложения

Теория вероятностей и математическая статистика

2-й способ. Событие Теория вероятностей и математическая статистика (попадет хотя бы один стрелок) и Теория вероятностей и математическая статистика (ни один из стрелков не попадет) — противоположные, поэтому Теория вероятностей и математическая статистика. Следовательно, Теория вероятностей и математическая статистика.

Событие Теория вероятностей и математическая статистика является произведением событий Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика. Таким образом

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 17

В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой — чёрный.

Решение:

Пусть: событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара из первого ящика; событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара из второго ящика; событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление чёрного шара из первого ящика Теория вероятностей и математическая статистика, событие Теория вероятностей и математическая статистика — появление белого шара из второго ящика Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика — чёрный:

Теория вероятностей и математическая статистика

Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, чёрный, а из второго ящика — белый:

Теория вероятностей и математическая статистика

Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично — из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, — чёрным. Применяем теорему сложения вероятностей:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 18

Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго — 0,8, для третьего — 0,9. Определить вероятность того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок.

Решение:

Здесь Теория вероятностей и математическая статистика (вероятность промаха первого стрелка); Теория вероятностей и математическая статистика (вероятность промаха второго стрелка); Теория вероятностей и математическая статистика (вероятность промаха третьего стрелка); тогда Теория вероятностей и математическая статистика — вероятность одновременного промаха всех трёх стрелков — определится следующим образом:

Теория вероятностей и математическая статистика

Но событие, противоположное событию Теория вероятностей и математическая статистика, заключается в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность

Теория вероятностей и математическая статистика

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события Теория вероятностей и математическая статистика, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий Теория вероятностей и математическая статистика образующих полную группу и называемых гипотезами, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 19

Студент знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В каком случае вероятность сдать экзамен больше: когда студент подходит тянуть билет первым или вторым по счету?

Решение:

Обозначим события: Теория вероятностей и математическая статистика — вытягивает выученный билет, подходя первым; Теория вероятностей и математическая статистика — вытягивает выученный билет, подходя вторым.

Теория вероятностей и математическая статистика

(число благоприятствующих исходов равно числу выученных билетов; число всех элементарных исходов равно числу билетов). Событие Теория вероятностей и математическая статистика может наступить при появлении одного из двух несовместных событий Теория вероятностей и математическая статистика (первый взятый билет был известен нашему студенту) и Теория вероятностей и математическая статистика (первый взятый билет был невыученный билет). По формуле полной вероятности

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как

Теория вероятностей и математическая статистика

то вероятность одинакова.

Пример № 20

Имеются 4 урны. В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй -2 белых и 3 чёрных шара, в третьей — 3 белых и 5 чёрных шаров, в четвёртой -4 белых и 7 чёрных шаров. Событие Теория вероятностей и математическая статистика — выбор Теория вероятностей и математическая статистика-той урны Теория вероятностей и математическая статистика. Известно, что вероятность выбора Теория вероятностей и математическая статистика-той урны равна Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика, Теория вероятностей и математическая статистика Выбирают наугад одну из урн и вынимают из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Из условия следует, что Теория вероятностей и математическая статистика (условная вероятность извлечения белого шара из первой урны); аналогично Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика. Вероятность извлечения белого шара находим по формуле полной вероятности:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 21

В первой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, во второй — 3 белых и 7 чёрных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый.

Решение:

Обозначим события: Теория вероятностей и математическая статистика — вынули белый шар из первой урны после того, как в неё переложили шар из второй урны; Теория вероятностей и математическая статистика — из второй урны в первую переложили белый шар; Теория вероятностей и математическая статистика — из второй урны в первую переложили чёрный шар.

Теория вероятностей и математическая статистика

Если из второй урны в первую переложили белый шар, то в первой урне стало 16 шаров, из них 6 белых, поэтому

Теория вероятностей и математическая статистика

Если переложили чёрный шар, то в первой урне стало 16 шаров, из них 5 белых, поэтому

Теория вероятностей и математическая статистика

По формуле полной вероятности

Теория вероятностей и математическая статистика

Формула Байеса

Пусть событие Теория вероятностей и математическая статистика может наступить при условии появления одного из несовместных событий Теория вероятностей и математическая статистика образующих полную группу. Тогда условная вероятность любого события Теория вероятностей и математическая статистика при условии, что событие Теория вероятностей и математическая статистика уже произошло, вычисляется по формуле Байеса:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 22

В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй — 5 белых и 4 чёрных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, после чего из второй урны извлекают один шар. Найти вероятность, что этот шар белый. Какова вероятность, что из первой во вторую урну был переложен чёрный шар, если извлечённый из второй урны шар оказался белым?

Решение:

Пусть Теория вероятностей и математическая статистика — событие, состоящее в том, что извлечённый шар из второй урны оказался белым, Теория вероятностей и математическая статистика — из первой урны во вторую переложили белый шар, Теория вероятностей и математическая статистика — чёрный. Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика — гипотезы.

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем

Теория вероятностей и математическая статистика

Если переложили белый шар, то во второй урне стало 10 шаров, из них 6 белых 6

Теория вероятностей и математическая статистика

если чёрный, то шаров так же 10, но белых 5, тогда

Теория вероятностей и математическая статистика

По формуле полной вероятности

Теория вероятностей и математическая статистика

По формуле Байеса:

Теория вероятностей и математическая статистика

Схема Бернулли

Испытания называются независимыми относительно события Теория вероятностей и математическая статистика, если при нескольких испытаниях вероятность события Теория вероятностей и математическая статистика не зависит от исходов других испытаний.

Говорят, что испытания проводятся по схеме Бернулли, если для них выполняются следующие условия:

1) испытания независимы;

2) количество испытаний известно заранее;

3) в результате испытания может произойти только два исхода: «успех» или «неуспех»;

4) вероятность «успеха» в каждом испытании одна и та же. Вероятность того, что при Теория вероятностей и математическая статистика испытаниях «успех» осуществится ровно Теория вероятностей и математическая статистика раз и, следовательно, «неуспех» Теория вероятностей и математическая статистика раз, вычисляется по следующей формуле:

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — число сочетаний из Теория вероятностей и математическая статистика элементов по Теория вероятностей и математическая статистика;Теория вероятностей и математическая статистика — вероятность «успеха»; Теория вероятностей и математическая статистика — вероятность «неуспеха» Теория вероятностей и математическая статистика

Данная формула называется формулой Бернулли.

Пример № 23

В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Вынули подряд 4 шара, причём каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего, и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырёх вынутых шаров окажется два белых?

Решение:

Вероятность извлечения белого шара Теория вероятностей и математическая статистика можно считать одной и той же во всех четырёх испытаниях; Теория вероятностей и математическая статистика. Используя формулу Бернулли, получаем

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 24

Вероятность появления события Теория вероятностей и математическая статистика равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трёх раз?

Решение:

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

Имеем:

  • вероятность появления события Теория вероятностей и математическая статистика раз: Теория вероятностей и математическая статистика;
  • вероятность появления события Теория вероятностей и математическая статистика раз: Теория вероятностей и математическая статистика;
  • вероятность появления события Теория вероятностей и математическая статистика раза: Теория вероятностей и математическая статистика;
  • вероятность появления события Теория вероятностей и математическая статистика раза: Теория вероятностей и математическая статистика.

Вероятность того, что событие Теория вероятностей и математическая статистика появится не больше трёх раз, составляет

Теория вероятностей и математическая статистика

Полагая

Теория вероятностей и математическая статистика

получим

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 25

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Решение:

Вероятность рождения мальчика равна Теория вероятностей и математическая статистика. Следовательно, вероятность рождения девочки равна Теория вероятностей и математическая статистика. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Теория вероятностей и математическая статистика

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

В тех случаях, когда использование формулы Бернулли затруднено из-за большого значения п, можно использовать асимптотическую формулу из следующей теоремы.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в Теория вероятностей и математическая статистика независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика, событие наступит ровно Теория вероятностей и математическая статистика раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше Теория вероятностей и математическая статистика)

Теория вероятностей и математическая статистика

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции

Теория вероятностей и математическая статистика

соответствующие положительным значениям аргумента Теория вероятностей и математическая статистика (приложение, табл. 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция Теория вероятностей и математическая статистика четна, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика. При Теория вероятностей и математическая статистика.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика, событие наступит не менее Теория вероятностей и математическая статистика раз и не более Теория вероятностей и математическая статистика раз, приближенно равна

Теория вероятностей и математическая статистика

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

функция Лапласа,

Теория вероятностей и математическая статистика

Имеются таблицы функции Лапласа (приложение, табл. 2) для положительных значений Теория вероятностей и математическая статистика; для значений Теория вероятностей и математическая статистика полагают Теория вероятностей и математическая статистика. Для отрицательных значений используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 26

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Решение:

По условию задачи

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как Теория вероятностей и математическая статистика — достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем значение Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

По справочным таблицам (см. приложение, табл.1) найдем

Теория вероятностей и математическая статистика

(т.к. функция Теория вероятностей и математическая статистика — четная).

Искомая вероятность

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 27

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз и не более 90 раз.

Решение:

По условию задачи

Теория вероятностей и математическая статистика

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — функция Лапласа,

Теория вероятностей и математическая статистика

Вычислим Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как функция Лапласа нечетна, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

получим

Теория вероятностей и математическая статистика

По справочным таблицам (см. приложение, табл.2) найдём:

Теория вероятностей и математическая статистика

Искомая вероятность

Теория вероятностей и математическая статистика

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число Теория вероятностей и математическая статистика (наступление события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Теория вероятностей и математическая статистика) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях Теория вероятностей и математическая статистика раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний .

Наивероятнейшее число Теория вероятностей и математическая статистика определяют из двойного неравенства

Теория вероятностей и математическая статистика

причем:

а) если число Теория вероятностей и математическая статистика — дробное, то существует одно наивероятнейшее число Теория вероятностей и математическая статистика;

б) если число Теория вероятностей и математическая статистика — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика;

в) если число Теория вероятностей и математическая статистика — целое, то наивероятнейшее число Теория вероятностей и математическая статистика.

Пример № 28

В урне 10 белых и 40 чёрных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причём цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.

Решение:

Теория вероятностей и математическая статистика

Используя двойное неравенство

Теория вероятностей и математическая статистика

при указанных значениях Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика получим

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, задача имеет два решения:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 29

Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно,

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как Теория вероятностей и математическая статистика — целое число, то Теория вероятностей и математическая статистика = 18.

Пример № 30

В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.

Решение:

Имеем

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом,

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 31

В урне 100 белых и 80 чёрных шаров. Из урны извлекают Теория вероятностей и математическая статистика шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти Теория вероятностей и математическая статистика.

Решение:

Из двойного неравенства

Теория вероятностей и математическая статистика

следует, что

Теория вероятностей и математическая статистика

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

следовательно,

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, задача имеет два решения:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 32

Найти наиболее вероятное число правильно набранных секретарём страниц среди 19 страниц текста, если вероятность того, что страница набрана с ошибками, равна 0,1.

Решение:

По условию задачи

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем наиболее вероятное число правильно набранных страниц из двойного неравенства

Теория вероятностей и математическая статистика

Подставляя данные задачи, получим

Теория вероятностей и математическая статистика

или

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как Теория вероятностей и математическая статистика — целое число, то наиболее вероятных чисел два: Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика

Формула Пуассона

При достаточно больших Теория вероятностей и математическая статистика, если вероятность события мала Теория вероятностей и математическая статистика, формула Лапласа непригодна.

В этих случаях (Теория вероятностей и математическая статистика велико, р <0,1) пользуются формулой Пуассона: вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно Теория вероятностей и математическая статистика раз, приближенно равна

Теория вероятностей и математическая статистика

Здесь Теория вероятностей и математическая статистика Имеются таблицы для вычисления Теория вероятностей и математическая статистика, для различных Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика (приложение, табл. 3).

Пример № 33

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение:

Так как вероятность Теория вероятностей и математическая статистика очень мала, применение локальной теоремы Лапласа приведет к значительному отклонению от точного значения Теория вероятностей и математическая статистика. Поэтому при Теория вероятностей и математическая статистика применяют формулу Пуассона:

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика

По условию задачи

Теория вероятностей и математическая статистика

Тогда

Теория вероятностей и математическая статистика

Подставляя данные задачи, получим

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Формулы Бернулли, Пуассона и формула, следующая из локальной теоремы Лапласа, служат для нахождения вероятности, что в Теория вероятностей и математическая статистика испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, «успех» наступит ровно Теория вероятностей и математическая статистика раз. Для удобства сведём их в одну таблицу.

Теория вероятностей и математическая статистика

Случайная величина

Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая. Примеры случайных величин: число попаданий в мишень при данном числе выстрелов; число очков, выпадающее при бросании игральной кости.

Случайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать, называется дискретной. При этом число значений может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины — бесконечно.

Закон распределения дискретной случайной величины

Для характеристики случайной величины нужно знать совокупность возможных значений этой величины, а также вероятности, с которыми эти значения могут появиться. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения Теория вероятностей и математическая статистика а вторая — вероятности Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

где

Теория вероятностей и математическая статистика

Если множество возможных значений Теория вероятностей и математическая статистика бесконечно, то ряд Теория вероятностей и математическая статистика сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика может быть задан аналитически (в виде формулы)

Теория вероятностей и математическая статистика

или с помощью функции распределения (см. §20).

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика — возможные значения Теория вероятностей и математическая статистика — соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Теория вероятностей и математическая статистика

Если дискретная случайная величина принимает бесконечное множество возможных значений, то

Теория вероятностей и математическая статистика

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Теория вероятностей и математическая статистика

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя в квадрат:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры дискретных распределений

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика — числа появлений «успеха» в Теория вероятностей и математическая статистика независимых испытаниях (возможные значения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика), в каждом из которых вероятность появления «успеха» равна Теория вероятностей и математическая статистика, вероятность возможного значения Теория вероятностей и математическая статистика (числа Теория вероятностей и математическая статистика появлений «успеха») вычисляют по формуле Бернулли:

Теория вероятностей и математическая статистика

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Теория вероятностей и математическая статистика

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Теория вероятностей и математическая статистика

Если число испытаний велико, а вероятность Теория вероятностей и математическая статистика появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — число появлений события в Теория вероятностей и математическая статистика независимых испытаниях, Теория вероятностей и математическая статистика, и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример № 34

Производится Теория вероятностей и математическая статистика независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие Теория вероятностей и математическая статистика наступает с вероятностью Теория вероятностей и математическая статистика — число наступлений события Теория вероятностей и математическая статистика в Теория вероятностей и математическая статистика испытаниях. Для случая 1) малого Теория вероятностей и математическая статистика построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, найти Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика; 2) большого Теория вероятностей и математическая статистика и малого Теория вероятностей и математическая статистика найти Теория вероятностей и математическая статистика приближённо с помощью распределения Пуассона; 3) большого Теория вероятностей и математическая статистика найти вероятность Теория вероятностей и математическая статистика.

Решение:

1) Теория вероятностей и математическая статистика

Возможные значения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика: 0,1,2,3,4. Пусть им соответствуют вероятности Теория вероятностей и математическая статистика Найдём их, используя формулу Бернулли:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

Теория вероятностей и математическая статистика

По определению функция распределения находится по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

2) Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

По формуле Пуассона

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, имеем:

Теория вероятностей и математическая статистика

(значения Теория вероятностей и математическая статистика найдены по табл. 3 приложения).

3) Теория вероятностей и математическая статистика

По условию задачи

Теория вероятностей и математическая статистика

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — функция Лапласа,

Теория вероятностей и математическая статистика

Вычислим Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как функция Лапласа нечетна, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика, получим

Теория вероятностей и математическая статистика

По табл.2 приложения найдем:

Теория вероятностей и математическая статистика

Искомая вероятность

Теория вероятностей и математическая статистика

Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называется функция Теория вероятностей и математическая статистика, определяющая для каждого значения Теория вероятностей и математическая статистика вероятность того, что случайная величина Теория вероятностей и математическая статистика примет значение, меньшее Теория вероятностей и математическая статистика, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойства функции распределения:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика.

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция:

Теория вероятностей и математическая статистика

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина Теория вероятностей и математическая статистика примет значение, заключенное в промежутке Теория вероятностей и математическая статистика, равна приращению функции распределения на этом интервале:

Теория вероятностей и математическая статистика

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Теория вероятностей и математическая статистика примет одно определенное значение Теория вероятностей и математическая статистика, равна нулю:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика принадлежат интервалу Теория вероятностей и математическая статистика, то Теория вероятностей и математическая статистика при Теория вероятностей и математическая статистика при Теория вероятностей и математическая статистика. Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 4. Функция распределения непрерывна слева:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 35

В тёмной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не отличаемых друг от друга на ощупь. Мальчик вынес три кубика. Теория вероятностей и математическая статистика — случайная величина числа красных кубиков среди вынесенных. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика. Построить график функции распределения Теория вероятностей и математическая статистика и найти вероятность Теория вероятностей и математическая статистика.

Решение:

Возможные значения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика: 0,1,2,3. Пусть им соответствуют вероятности Теория вероятностей и математическая статистика. Найдём их, используя непосредственный подсчёт:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Проверка

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, закон распределения имеет вид:

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Дисперсию будем искать по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

Составим закон распределения для Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

По определению функция распределения находится по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Построим график функции распределения:

Теория вероятностей и математическая статистика

IIo функции распределения

Теория вероятностей и математическая статистика

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения:

Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Теория вероятностей и математическая статистика примет значение, принадлежащее интервалу Теория вероятностей и математическая статистика, определяется равенством

Теория вероятностей и математическая статистика

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика

Свойства плотности распределения:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения по всей числовой оси равен единице:

Теория вероятностей и математическая статистика

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, возможные значения которой принадлежат всей оси Теория вероятностей и математическая статистика, определяется равенством Теория вероятностей и математическая статистика, где Теория вероятностей и математическая статистика — плотность распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Дисперсия непрерывной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, возможные значения которой принадлежат всей оси Теория вероятностей и математическая статистика, определяется равенством

Теория вероятностей и математическая статистика

или равносильным равенством

Теория вероятностей и математическая статистика

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

Теория вероятностей и математическая статистика

Все свойства числовых характеристик, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Пример № 36

Дана функция плотности распределения

Теория вероятностей и математическая статистика

Найти: 1) параметр Теория вероятностей и математическая статистика; 2) построить графики плотности и функции распределения; 3) Теория вероятностей и математическая статистика; 4) Теория вероятностей и математическая статистика 5) вероятность Теория вероятностей и математическая статистика, что отклонение случайной величины от Теория вероятностей и математическая статистика не более 1.

Решение:

Так как

Теория вероятностей и математическая статистика

получаем

Теория вероятностей и математическая статистика

так как

Теория вероятностей и математическая статистика

тогда

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак,

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдём Теория вероятностей и математическая статистика, функцию распределения по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Итак,

Теория вероятностей и математическая статистика

Построим оба графика

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Найдём Теория вероятностей и математическая статистика по формуле Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Дисперсия вычисляется по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

Среднее квадратическое отклонение

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как

Теория вероятностей и математическая статистика

следует

Теория вероятностей и математическая статистика

в нашей задаче

Теория вероятностей и математическая статистика

или

Теория вероятностей и математическая статистика

то необходимо найти

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры непрерывных распределений

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, если на интервале Теория вероятностей и математическая статистика, которому принадлежат все возможные значения Теория вероятностей и математическая статистика, плотность сохраняет постоянное значение, а именно Теория вероятностей и математическая статистика; вне этого интервала Теория вероятностей и математическая статистика

Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале Теория вероятностей и математическая статистика, равно полусумме концов этого интервала:

Теория вероятностей и математическая статистика

Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной в интервале Теория вероятностей и математическая статистика, определяется равенством

Теория вероятностей и математическая статистика

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, плотность которого имеет вид

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — математическое ожидание, Теория вероятностей и математическая статистика — среднее квадратическое отклонение Теория вероятностей и математическая статистика. Для случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, распределенной по нормальному закону, вероятность того, что Теория вероятностей и математическая статистика примет значение, принадлежащее интервалу Теория вероятностей и математическая статистика, вычисляется по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика — функция Лапласа.

Функция распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика находится по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

а вероятность отклонения нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания менее чем на 8 равна:

Теория вероятностей и математическая статистика

Правило трёх сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью 0,9973.

Пример № 37

Масса вагона — случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратичным отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что вагон имеет массу не более 67 т и не менее 64 т. По правилу трёх сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемой массы.

Решение:

Для нормального распределённой случайной величины

Теория вероятностей и математическая статистика

По правилу трёх сигм наименьшая граница Теория вероятностей и математическая статистика, наибольшая граница Теория вероятностей и математическая статистика. Таким образом, Теория вероятностей и математическая статистика.

Наименьшая граница 62,3 т, наибольшая 67,7 т.

Закон больших чисел

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа Теория вероятностей и математическая статистика, не меньше чем Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа Теория вероятностей и математическая статистика), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. если Теория вероятностей и математическая статистика — любое положительное число, то

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема Бернулли (Закон больших чисел). Если в каждом из Теория вероятностей и математическая статистика независимых испытаний вероятность Теория вероятностей и математическая статистика появления события Теория вероятностей и математическая статистика постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности Теория вероятностей и математическая статистика по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — любое сколь угодно малое положительное число.

Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова. Если случайные величины в последовательности Теория вероятностей и математическая статистика… независимы, одинаково распределены и имеют конечное математическое ожиданиеТеория вероятностей и математическая статистика, и дисперсию Теория вероятностей и математическая статистика, то для любого действительного Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

где

Теория вероятностей и математическая статистика

функция распределения случайной величины

Теория вероятностей и математическая статистика

Системы случайных величин

Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной Теория вероятностей и математическая статистика, а несколькими случайными величинами: Теория вероятностей и математическая статистика. В этом случае принято говорить, что указанные случайные величины образуют систему

Теория вероятностей и математическая статистика

Систему двух случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика можно изобразить случайной точкой на плоскости.

Событие, состоящее в попадании случайной точки Теория вероятностей и математическая статистика в область Теория вероятностей и математическая статистика, принято обозначать в виде Теория вероятностей и математическая статистика.

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин может быть задан с помощью таблицы

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств

Теория вероятностей и математическая статистика

При этом

Теория вероятностей и математическая статистика

Таблица может содержать бесконечное множество строк и столбцов.

Функцией распределения Теория вероятностей и математическая статистика-мерной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика называется функция Теория вероятностей и математическая статистика, выражающая вероятность совместного выполнения Теория вероятностей и математическая статистика неравенств Теория вероятностей и математическая статистика т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Примечание. Функцию Теория вероятностей и математическая статистика называют также совместной функцией распределения случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика.

В двумерном случае для случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика функция распределения Теория вероятностей и математическая статистика определяется равенством Теория вероятностей и математическая статистика. Геометрически функция распределения Теория вероятностей и математическая статистика означает вероятность попадания случайной точки Теория вероятностей и математическая статистика в бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки Теория вероятностей и математическая статистика. Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются — это означает, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины её функция распределения определяется по формуле:

Теория вероятностей и математическая статистика

где суммирование вероятностей распространяется на все Теория вероятностей и математическая статистика, для которых Теория вероятностей и математическая статистика, и все Теория вероятностей и математическая статистика, для которых Теория вероятностей и математическая статистика.

Отметим свойства функции распределения двумерной случайной величины, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины.

  • Функция распределения Теория вероятностей и математическая статистика есть неотрицательная функция, заключённая между нулём и единицей, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.
  • Функция распределения Теория вероятностей и математическая статистика есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е. при
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
  • Если хотя бы один из аргументов обращается в Теория вероятностей и математическая статистика, функция распределения Теория вероятностей и математическая статистика равна нулю, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.
  • Если один из аргументов обращается в Теория вероятностей и математическая статистика, функция распределения Теория вероятностей и математическая статистика становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика — функции распределения случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика.

  • Если оба аргумента равны Теория вероятностей и математическая статистика, то функция распределения равна единице: Теория вероятностей и математическая статистика.

Закон распределения системы непрерывных случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика будем задавать с помощью функции плотности вероятности Теория вероятностей и математическая статистика. Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика называется вторая смешанная частная производная её функции распределения, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятность попадания случайной точки Теория вероятностей и математическая статистика в область Теория вероятностей и математическая статистика определяется равенством

Теория вероятностей и математическая статистика

Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:

Теория вероятностей и математическая статистика

Если все случайные точки Теория вероятностей и математическая статистика принадлежат конечной области Теория вероятностей и математическая статистика, то последнее условие принимает вид

Теория вероятностей и математическая статистика

Математические ожидания дискретных случайных величии Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, входящих в систему, определяются по формулам

Теория вероятностей и математическая статистика

а математические ожидания непрерывных случайных величин — по формулам

Теория вероятностей и математическая статистика

Точка Теория вероятностей и математическая статистика называется центром рассеивания системы случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика.

Математические ожидания Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика. можно найти и проще, если случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика независимы. В этом случае из законов распределения этих случайных величин можно определить математические ожидания Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика по формуле, приведенной в §16 для дискретных случайных величин и в §22 для непрерывных случайных величин.

Дисперсии дискретных случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика определяются по формулам

Теория вероятностей и математическая статистика

Дисперсии же непрерывных случайных величии Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, входящих в систему, находятся по формулам

Теория вероятностей и математическая статистика

Средние квадратические отклонения случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика определяются по формулам

Теория вероятностей и математическая статистика

Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы

Теория вероятностей и математическая статистика

Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый корреляционный момент (коваркация)

Теория вероятностей и математическая статистика

Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

а для непрерывных — по формуле

Теория вероятностей и математическая статистика

Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области её значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В этом случае

Теория вероятностей и математическая статистика

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки Теория вероятностей и математическая статистика.

Свойства ковариации случайных величин:

Теория вероятностей и математическая статистика

Здесь

Теория вероятностей и математическая статистика

для дискретных случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика и

Теория вероятностей и математическая статистика

для непрерывных величин.

  • Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю, т.е.
Теория вероятностей и математическая статистика
  • Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.
Теория вероятностей и математическая статистика

Для характеристики связи между величинами Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика рассматривается так называемый коэффициент корреляции

Теория вероятностей и математическая статистика

являющийся безразмерной величиной. Свойства коэффициента корреляции:

  • Коэффициент корреляции удовлетворяет условию: Теория вероятностей и математическая статистика.
  • Если случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика независимы, то Теория вероятностей и математическая статистика.
  • Если случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика связаны точной линейной зависимостью Теория вероятностей и математическая статистика то Теория вероятностей и математическая статистика т.е. Теория вероятностей и математическая статистика при Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика при Теория вероятностей и математическая статистика.

Пример № 38

В двух ящиках находятся по шесть шаров; в первом ящике: 1 шар с №1,2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике: 2 шара с №1, 3 шара с №2, 1 шар с №3. Пусть Теория вероятностей и математическая статистика— номер шара, вынутого из первого ящика. Теория вероятностей и математическая статистика— номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика. Определить коэффициент корреляции.

Решение:

Случайная точка (1,1) имеет кратность 1 х 2 = 2;

Теория вероятностей и математическая статистика

Всего случайных точек 6×6 = 36 (Теория вероятностей и математическая статистика-кратную точку принимаем за Теория вероятностей и математическая статистика точек). Так как отношение кратности точки ко всему количеству точек равно вероятности появления этой точки, то таблица закона распределения системы случайных величин имеет вид

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице. Найдём математические ожидания случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы Теория вероятностей и математическая статистика.

Так как случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика независимы, то математические ожидания Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика можно подсчитать проще, используя ряды распределения:

Теория вероятностей и математическая статистика

Отсюда находим

Теория вероятностей и математическая статистика

От системы величин Теория вероятностей и математическая статистика перейдём к системе центрированных величин Теория вероятностей и математическая статистика, где

Теория вероятностей и математическая статистика

Составим таблицу

Теория вероятностей и математическая статистика

Имеем

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Отсюда

Теория вероятностей и математическая статистика

Заметим, что Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика можно найти по формулам

Теория вероятностей и математическая статистика

Для нахождения коэффициента корреляции воспользуемся таблицей распределения системы Теория вероятностей и математическая статистика центрированных случайных величин. Определим ковариацию:

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как Теория вероятностей и математическая статистика, то и коэффициент корреляции Теория вероятностей и математическая статистика.

Этот же результат мы могли получить и не определяя ковариации Теория вероятностей и математическая статистика. Действительно, полагая Теория вероятностей и математическая статистика, получаем, что значение Теория вероятностей и математическая статистика повторяется 2 раза, значение Теория вероятностей и математическая статистика = 2 — 4 раза, а значение Теория вероятностей и математическая статистика = 3 — 6 раз. Значит при Теория вероятностей и математическая статистика получаем ряд распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Если Теория вероятностей и математическая статистика, то значение Теория вероятностей и математическая статистика повторяется 3 раза, значение Теория вероятностей и математическая статистика = 2-6 раз, а значение Теория вероятностей и математическая статистика= 3-9 раз. Следовательно, при Теория вероятностей и математическая статистика получается ряд распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Наконец, если Теория вероятностей и математическая статистика= 3, то значение Теория вероятностей и математическая статистика = 1 повторяется 1 раз, значение Теория вероятностей и математическая статистика= 2 -2 раза, а значение Теория вероятностей и математическая статистика = 3 — 3 раза. Ряд распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика при Теория вероятностей и математическая статистика = 3 имеет вид

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, при различных значениях Теория вероятностей и математическая статистика получаем один и тот же ряд распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика. Так как ряд распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика не зависит от значений случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика, то случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика независимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен нулю.

Пример № 40

Система случайных величин Теория вероятностей и математическая статистика подчинена закону распределения с плотностью

Теория вероятностей и математическая статистика

Область Теория вероятностей и математическая статистика — квадрат, ограниченный прямыми Теория вероятностей и математическая статистика. Требуется: 1) определить коэффициент Теория вероятностей и математическая статистика; 2) вычислить вероятность попадания случайной точки Теория вероятностей и математическая статистика в квадрат Теория вероятностей и математическая статистика, ограниченный прямыми Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика 3) найти математические ожидания Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика; 4) найти средние квадратические отклонения Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика.

Решение:

1. Коэффициент Теория вероятностей и математическая статистика находим из уравнения

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Находим математические ожидания Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика; имеем

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно, и

Теория вероятностей и математическая статистика

Находим средние квадратические отклонения Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак,

Теория вероятностей и математическая статистика

Предмет математическая статистика

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных — результатах наблюдений.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Основные понятия математической статистики

Генеральная совокупность — совокупность всех изучаемых объектов, Теория вероятностей и математическая статистика — её объём (количество всех объектов).

Выборочная совокупность — совокупность объектов, отобранных для изучения, Теория вероятностей и математическая статистика — объём выборки.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Таким образом, вместо большой совокупности объектов изучается совокупность объёма, значительно меньшего по количеству объектов Теория вероятностей и математическая статистика. Результаты, полученные при изучении выборки, распространяются на объекты всей генеральной совокупности. Для этого выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть правильно представлять генеральную совокупность. Это обеспечивается случайностью отбора.

Виды отбора:

  • простой случайный: повторный; бесповторный;
  • сложный случайный: типический; механический; серийный.

Простой случайный отбор — производится без деления генеральной совокупности на части.

Повторный отбор — отобранный объект возвращается в генеральную совокупность.

Бссповторный отбор — отобранный объект не возвращается в генеральную

Сложный случайный отбор — производится после предварительного деления генеральной совокупности на части.

Типический отбор — генеральная совокупность делится на типы, из каждого типа случайно отбираются объекты пропорционально объёму типов. Механический отбор — генеральная совокупность делится на части механически, из каждой части случайно отбираются объекты.

Серийный отбор — генеральная совокупность делится на серии, и случайным образом отбираются целые серии объектов.

Статистическое распределение выборки и его характеристики

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем Теория вероятностей и математическая статистика наблюдалось Теория вероятностей и математическая статистика раз, Теория вероятностей и математическая статистика раз, Теория вероятностей и математическая статистика раз Теория вероятностей и математическая статистика — объем выборки. Наблюдаемые значениях, называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами, а их отношения к объему выоорки — Теория вероятностей и математическая статистика относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Результаты выборки представляются в виде статистического распределения:

Теория вероятностей и математическая статистика

где

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика — варианты;

Теория вероятностей и математическая статистика — соответствующие им частоты;

Теория вероятностей и математическая статистика — объём выборки;

Теория вероятностей и математическая статистика — относительные частоты.

Распределение относительных частот:

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные характеристики выборки:

Теория вероятностей и математическая статистика — выборочная средняя;

Теория вероятностей и математическая статистика — выборочная дисперсия;

Теория вероятностей и математическая статистика — выборочное среднее квадратичное отклонение;

Теория вероятностей и математическая статистика — исправленная дисперсия.

Теория вероятностей и математическая статистика

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию Теория вероятностей и математическая статистика, определяющую для каждого значения Теория вероятностей и математическая статистика относительную частоту события Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — число вариант, меньших Теория вероятностей и математическая статистика — объем выборки.

Полигон и гистограмма

Полигон абсолютных частот — это ломаная, отрезки которой соединяют точки Теория вероятностей и математическая статистика

Пример:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Полигон относительных частот — это ломаная, отрезки которой соединяют точки Теория вероятностей и математическая статистика

Пример:

Теория вероятностей и математическая статистика

Статистическое распределение может носить интервальный (непрерывный) характер.

Пример:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика — длина частичного интервала.

Теория вероятностей и математическая статистика

Гистограмма частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною Теория вероятностей и математическая статистика, а высоты равны отношению Теория вероятностей и математическая статистика (плотность частоты).

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 41

В результате испытания случайная величина Теория вероятностей и математическая статистика приняла следующие значения

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и её частотами; 2) построить статистическое распределение; 3) изобразить полигон распределения.

Решение:

1. Найдём объём выборки: Теория вероятностей и математическая статистика. Составим таблицу

Теория вероятностей и математическая статистика

Статистическое распределение имеет вид

Теория вероятностей и математическая статистика

Контроль

Теория вероятностей и математическая статистика

Последнюю таблицу можно переписать в виде

Теория вероятностей и математическая статистика

Возьмём на плоскости Теория вероятностей и математическая статистика точки (1; 0,04), (2; 0,08), (3; 0,12) и т.д. Последовательно соединив эти точки прямолинейными отрезками, получим полигон распределения случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 42

В результате испытания случайная величина Теория вероятностей и математическая статистика приняла следующие значения

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Требуется: составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0, 25) на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму одинаковых частот.

Решение:

Предварительно составим таблицу

Теория вероятностей и математическая статистика

Статистическое распределение имеет вид

Теория вероятностей и математическая статистика

Гистограмма относительных частот изображена на рисунке

Теория вероятностей и математическая статистика

Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Оценка Теория вероятностей и математическая статистика параметра Теория вероятностей и математическая статистика называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. Теория вероятностей и математическая статистика. В противном случае оценка называется смещённой.

Оценка Теория вероятностей и математическая статистика параметра Теория вероятностей и математическая статистика называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

Теория вероятностей и математическая статистика

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объёма выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки. Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Несмещённая оценка Теория вероятностей и математическая статистика параметра Теория вероятностей и математическая статистика называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра Теория вероятностей и математическая статистика, вычисленных по выборкам одного и того же объёма Теория вероятностей и математическая статистика. Параметры генеральной совокупности Теория вероятностей и математическая статистика — генеральная средняя и Теория вероятностей и математическая статистика — генеральная дисперсия оцениваются по соответствующим параметрам выборки:

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 43

Теория вероятностей и математическая статистика

Объем выборки:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

или

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, точечные оценки характеристик генеральной совокупности

Теория вероятностей и математическая статистика

Для интервального распределения сначала находят середины интервалов Теория вероятностей и математическая статистика.

Пример № 44

Теория вероятностей и математическая статистика

Переходим к дискретному распределению

Теория вероятностей и математическая статистика

Дальнейшие вычисления проводим, как в предыдущем примере. Получаем:

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом:

Теория вероятностей и математическая статистика

Интервальная оценка (доверительный интервал) для генеральной средней

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами -концами интервала.

Доверительным интервалом для параметра Теория вероятностей и математическая статистика называется интервал Теория вероятностей и математическая статистика, содержащий истинное значение 9 с заданной вероятностью Теория вероятностей и математическая статистика, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Число Теория вероятностей и математическая статистика называется доверительной вероятностью (надежностью), а значение Теория вероятностей и математическая статистика — уровнем значимости.

Интервальной оценкой (с надежностью Теория вероятностей и математическая статистика) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Теория вероятностей и математическая статистика по выборочной средней Теория вероятностей и математическая статистика при известном среднем квадратическом отклонении Теория вероятностей и математическая статистика служит доверительный интервал

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — объем выборки; Теория вероятностей и математическая статистика — значение аргумента функции Лапласа Теория вероятностей и математическая статистика (см. приложение, табл. 2), при котором Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика — генеральная средняя (оцениваемый параметр); Теория вероятностей и математическая статистика — средняя выборочная, точечная оценка генеральной средней; Теория вероятностей и математическая статистика — точность оценки, Теория вероятностей и математическая статистика — надёжность оценки.

Теория вероятностей и математическая статистика — доверительный интервал для Теория вероятностей и математическая статистика. Теория вероятностей и математическая статистика с вероятностью (надёжностью) Теория вероятностей и математическая статистика.

Для нормального распределения признака

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — объём выборки; Теория вероятностей и математическая статистика — находят из соотношения Теория вероятностей и математическая статистика с помощью табл. 2 (см. приложение). Таким образом, для нормально распределённой величины Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Чем больше Теория вероятностей и математическая статистика, тем меньше Теория вероятностей и математическая статистика, то есть точность оценки увеличивается при увеличении объёма выборки.

Чем выше Теория вероятностей и математическая статистика — надёжность оценки, тем меньше её точность (Теория вероятностей и математическая статистика увеличивается).
Если Теория вероятностей и математическая статистика неизвестно, то Теория вероятностей и математическая статистика где Теория вероятностей и математическая статистика — исправленная выборочная дисперсия, Теория вероятностей и математическая статистика находится из табл. 4 (приложение) по заданным значениям Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика.

Интервальной оценкой (с надежностью Теория вероятностей и математическая статистика) среднего квадратического отклонения Теория вероятностей и математическая статистика нормально распределенного качественного признака Теория вероятностей и математическая статистика по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению Теория вероятностей и математическая статистика служит доверительный интервал

Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение; Теория вероятностей и математическая статистика находят по табл. 5 приложения по заданным Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика.

Пример № 45

Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания «а» нормально распределённого признака, если известны:

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение:

Теория вероятностей и математическая статистика

Из таблицы

Теория вероятностей и математическая статистика

Доверительный интервал

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 46

Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределённого признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно 2.

Решение:

Дано:

Теория вероятностей и математическая статистика

найти Теория вероятностей и математическая статистика.

Из формулы

Теория вероятностей и математическая статистика

находим

Теория вероятностей и математическая статистика

Из условия

Теория вероятностей и математическая статистика

находим

Теория вероятностей и математическая статистика

Тогда

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример № 47

По заданным значениям характеристик нормально распределённого признака найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания:

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение:

Теория вероятностей и математическая статистика. Из табл. 4 по данным Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика находим Теория вероятностей и математическая статистика. Тогда

Теория вероятностей и математическая статистика

Доверительный интервал (16,8 — 0,95; 16,8 + 0,95) = (15,85; 17,75).

Понятие о критериях согласия

Статистической называется гипотеза о неизвестном законе распределения случайной величины или о параметрах закона распределения, вид которого известен.

Нулевой (основной) гипотезой называется выдвинутая гипотеза Теория вероятностей и математическая статистика.

Конкурирующей (альтернативной) гипотезой называется гипотеза Теория вероятностей и математическая статистика, которая противоречит нулевой гипотезе Теория вероятностей и математическая статистика.

Пусть имеется статистическое распределение выборки для случайной величины Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

По виду полигона или гистограммы, сравнивая их с графиками дифференциальных функций распределения, делаем предположение о виде закона распределения случайной величины.

Сделанное предположение (гипотеза) подтверждается расчётами критерия согласия.

Имеются различные критерии согласия: Хинчина, Колмогорова, Пирсона. Например, критерий Пирсона (хи-квадрат)

Теория вероятностей и математическая статистика

позволяет сравнивать близость частот Теория вероятностей и математическая статистика — данного статистического распределения с теоретическими частотами Теория вероятностей и математическая статистика, найденными с помощью функции распределения предполагаемого закона:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

где Теория вероятностей и математическая статистика — дифференциальная, Теория вероятностей и математическая статистика — интегральная функции предполагаемого распределения.

Если вычисленное значение критерия Теория вероятностей и математическая статистика не превосходит некоторого критического значения Теория вероятностей и математическая статистика взятого по таблице, то выдвинутая гипотеза принимается с заданным уровнем надёжности (вероятности) Теория вероятностей и математическая статистика. В противном случае гипотеза отвергается. В табл. 6 приложения:

Теория вероятностей и математическая статистика — уровень значимости, это вероятность отвергнуть гипотезу; Теория вероятностей и математическая статистика — число степеней свободы, Теория вероятностей и математическая статистика, где

Теория вероятностей и математическая статистика — число параметров предполагаемого распределения: Теория вероятностей и математическая статистика для нормального распределения (Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика), Теория вероятностей и математическая статистика для показательного распределения (Теория вероятностей и математическая статистика).

При проверке гипотезы Теория вероятностей и математическая статистика возможны следующие ошибки: ошибка первого рода — отвергнуть гипотезу Теория вероятностей и математическая статистика при её правильности; ошибка второго рода — принятие гипотезы Теория вероятностей и математическая статистика при правильности альтернативной гипотезы Теория вероятностей и математическая статистика.

Виды зависимостей между случайными величинами X и Y

Теория вероятностей и математическая статистика— количественные признаки, связанные между собой. Теория вероятностей и математическая статистика — их возможные значения.

Функциональная зависимость — каждому значению признака Теория вероятностей и математическая статистика соответствует единственное значение признака Теория вероятностей и математическая статистика. Статистическая зависимость — каждому значению признака Теория вероятностей и математическая статистика соответствует статистическое распределение признака Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Корреляционная зависимость — каждому значению признака Теория вероятностей и математическая статистика соответствует среднее значение признака Теория вероятностей и математическая статистика (условная средняя Теория вероятностей и математическая статистика):

Теория вероятностей и математическая статистика

Аналогично:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика — уравнение регрессии Теория вероятностей и математическая статистика по Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика — уравнение регрессии Теория вероятностей и математическая статистика по Теория вероятностей и математическая статистика.

Примеры: площадь квадрата Теория вероятностей и математическая статистика есть функция от длины стороны квадрата Теория вероятностей и математическая статистика: Теория вероятностей и математическая статистика, зависимость функциональная.

Товарооборот магазина Теория вероятностей и математическая статистика зависит от числа торговых работников Теория вероятностей и математическая статистика. Эта зависимость корреляционная. Две основные задачи теории корреляции:

  1. Определить форму корреляционной связи, то есть определить вид уравнения регрессии.
  2. Оценить тесноту (силу) корреляционной связи.

Корреляционная таблица

Все наблюдения числовых признаков Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика с соответствующими частотами записываются в корреляционную таблицу.

Пример № 48

Теория вероятностей и математическая статистика

Числа 1; 3; 5 (левый столбец таблицы) показывают наблюдаемые значения признака Теория вероятностей и математическая статистика. Числа 2; 4; 6 (первая строка) показывают наблюдаемые значения признака Теория вероятностей и математическая статистика.

Числа внутри таблицы показывают частоту появления соответствующей пары значений Теория вероятностей и математическая статистика. Например, пара (1; 2) наблюдалась 2 раза, пара (3; 4) — 5 раз, пара (1; 4) не наблюдалась ни разу (соответствующая частота равна 0).

По данным наблюдений вычислены частоты Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика — частота появления данного значения Теория вероятностей и математическая статистика,

Теория вероятностей и математическая статистика — частота появления данного значения Теория вероятностей и математическая статистика,

Теория вероятностей и математическая статистика — объём выборки, количество всех наблюдаемых пар Теория вероятностей и математическая статистика.

Так, значение Теория вероятностей и математическая статистика = 1 наблюдалось 2 + 4 = 6 раз; значение Теория вероятностей и математическая статистика = 5 наблюдалось 3 + 9 + 3 = 15 раз и т.д. Объём выборки Теория вероятностей и математическая статистика = 6 + 11 + 15 + 32 или Теория вероятностей и математическая статистика = 5 + 14 + 13 + 32.

В общем виде корреляционная таблица выглядит так:

Теория вероятностей и математическая статистика

Условные средние по Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Условные средние по Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика

Виды уравнений регрессии

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

В случаях 1-5 параметры линейной зависимости находятся по формулам, указанным в следующем параграфе. Для случая 6 применяется непосредственно метод наименьших квадратов.

Пример № 49

Дана таблица

Теория вероятностей и математическая статистика

Определить коэффициент корреляции Теория вероятностей и математическая статистика и уравнения линий регресии.

Решение:

Составим расчётную таблицу:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Из таблицы получаем:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Теперь находим

Теория вероятностей и математическая статистика

Вычисляем значение произведения

Теория вероятностей и математическая статистика

так как

Теория вероятностей и математическая статистика

то связь достаточно обоснована. Уравнения линий регрессии:

Теория вероятностей и математическая статистика

Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что обе линии регрессии проходят через точку Теория вероятностей и математическая статистика(0,7029; 1,5782). Первая линия отсекает на оси ординат отрезок 3,0329, а вторая — на оси абсцисс отрезок 1,4566. Точки Теория вероятностей и математическая статистика расположены близко к линиям регрессии.

Теория вероятностей и математическая статистика

Метод наименьших квадратов

Служит для нахождения параметров уравнения регрессии. Пусть даны соответствующие значения рассматриваемых признаков Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Подберём функцию Теория вероятностей и математическая статистика, наилучшим образом отражающую зависимость между признаками Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика.

Подставляя Теория вероятностей и математическая статистика в функцию, получим теоретическое значение Теория вероятностей и математическая статистика (обозначим Теория вероятностей и математическая статистика):

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика — отклонения теоретических значений Теория вероятностей и математическая статистика от эмпирических значений Теория вероятностей и математическая статистика.

Суть метода наименьших квадратов: параметры выбранной функции Теория вероятностей и математическая статистика находят так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических была наименьшей, т.е.

Теория вероятностей и математическая статистика

Нахождение параметров уравнения линейной регрессии:

Теория вероятностей и математическая статистика

Из системы нормальных уравнений:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Показатели тесноты корреляционной связи

Теория вероятностей и математическая статистика — корреляционное отношение (для линейной и нелинейной связи). Теория вероятностей и математическая статистика — коэффициент корреляции (только для линейной связи). Свойства:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Формулы для вычислении:

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика — корреляционное отношение Теория вероятностей и математическая статистика к Теория вероятностей и математическая статистика, где Теория вероятностей и математическая статистикамежгрупповая дисперсия, характеризует разброс условных средних Теория вероятностей и математическая статистика от общей средней Теория вероятностей и математическая статистика — общая дисперсия, характеризует разброс фактических данных от их общей средней Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика — корреляционное отношение Теория вероятностей и математическая статистика к Теория вероятностей и математическая статистика, где

Теория вероятностей и математическая статистика— межгрупповая дисперсия, характеризует разброс условных средних Теория вероятностей и математическая статистика от общей средней Теория вероятностей и математическая статистика — общая дисперсия, характеризует разброс фактических данных Теория вероятностей и математическая статистика от их общей средней Теория вероятностей и математическая статистика

Кстати дополнительная теория из учебников по теории вероятности тут.

Пример составления уравнения линейной регрессии и оценки тесноты корреляционной связи

Пусть Теория вероятностей и математическая статистика — оценка студента по математике в школе, Теория вероятностей и математическая статистика — оценка по математике в первом семестре.

В результате опроса составлена следующая корреляционная таблица:

Теория вероятностей и математическая статистика

Оценить тесноту корреляционной связи между Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, вычислив коэффициент корреляции Теория вероятностей и математическая статистика. Составить уравнение линейной регрессии Теория вероятностей и математическая статистика по Теория вероятностей и математическая статистика.

Решение:

Для вычисления Теория вероятностей и математическая статистика найдём

Теория вероятностей и математическая статистика

Общие средние:

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
  • Это уравнение выражает зависимость средней оценки по математике в первом семестре от оценки в школе.

Аналогично, Теория вероятностей и математическая статистика — уравнение регрессии Теория вероятностей и математическая статистика по Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика

Тогда,

Теория вероятностей и математическая статистика

Построим прямые регрессии Теория вероятностей и математическая статистика по Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика по Теория вероятностей и математическая статистика. Они всегда проходят через точку Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика

Чем теснее связь между признаками Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика, тем ближе друг к другу расположены прямые регрессии (угол между ними мал). Прямые совпадают, если связь между Теория вероятностей и математическая статистика и Теория вероятностей и математическая статистика функциональная.

Основы комбинаторики

Факториалом целого положительного числа Теория вероятностей и математическая статистика (обозначается Теория вероятностей и математическая статистика!) называется произведение Теория вероятностей и математическая статистика

Основное свойство факториала: Теория вероятностей и математическая статистика.

Размещениями из Теория вероятностей и математическая статистика элементов по Теория вероятностей и математическая статистика называются такие соединения по Теория вероятностей и математическая статистика элементов, которые отличаются друг от друга самими элементами или их порядком. Число всех размещений из и различных элементов по к (обозначается Теория вероятностей и математическая статистика):

Теория вероятностей и математическая статистика

Перестановками из Теория вероятностей и математическая статистика элементов называются их соединения, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов. Число всех перестановок из Теория вероятностей и математическая статистика различных элементов (обозначается Теория вероятностей и математическая статистика):

Теория вероятностей и математическая статистика

Если среди Теория вероятностей и математическая статистика элементов Теория вероятностей и математическая статистика имеются одинаковые (Теория вероятностей и математическая статистика повторяется Теория вероятностей и математическая статистика раз, Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика раз, Теория вероятностей и математическая статистика раз и т.д.), то

Теория вероятностей и математическая статистика

Сочетаниями из Теория вероятностей и математическая статистика элементов по Теория вероятностей и математическая статистика называются их соединения, отличающиеся друг от друга только самими элементами. Число всех сочетаний из Теория вероятностей и математическая статистика различных элементов по Теория вероятностей и математическая статистика (обозначается Теория вероятностей и математическая статистика):

Теория вероятностей и математическая статистика

Основное свойство сочетаний:

Теория вероятностей и математическая статистика

Основной закон комбинаторики. Пусть нужно провести к действий, причём первое действие можно провести Теория вероятностей и математическая статистика способами, второе — Теория вероятностей и математическая статистика способами,…, Теория вероятностей и математическая статистика-е-Теория вероятностей и математическая статистика способами. Тогда все действия можно провести Теория вероятностей и математическая статистика способами.

Возможно эти страницы вам будут полезны: