Теория автоматического управления

Оглавление:

Теория автоматического управления

Здравствуйте, на этой странице я собрала краткий курс лекций по предмету «теория автоматического управления».

Лекции подготовлены для студентов любых специальностей и охватывают предмет «теория автоматического управления ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы, примеры.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Теория автоматического управления (ТАУ) — научная дисциплина, которая изучает процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию. Является составной частью технической кибернетики и предназначена для разработки общих принципов автоматического управления, а также методов анализа (исследования функционирования) и синтеза (выбора параметров) систем автоматического управления (САУ) техническими объектами. wikipedia.org/wiki/Теория автоматического управления

Что такое теория автоматического управления

Теория автоматического управления (ТАУ) — научная дисциплина,
предметом изучения которой являются информационные процессы,
протекающие в системах управления техническими и технологическими объектами. Теория автоматического управления выявляет общие закономерности функционирования, присущие автоматическим системам различной физической природы, и на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления.

Введение в теорию автоматического управления

Систему автоматического управления условно можно представить состоящей из двух частей: объекта управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ) (рис. 1.1).

Теория автоматического управления

На вход системы управления подается задающее воздействие Теория автоматического управления, определяющее желаемый характер выходной переменной управляемого процесса Теория автоматического управления. Управляющее устройство на основании информации о процессах Теория автоматического управления и Теория автоматического управления, а в ряде случаев и на основании дан-пых о возмущении Теория автоматического управления формирует управляющее воздействие Теория автоматического управления, которое воздействует на объект управления с целью поставить процесс Теория автоматического управления в соответствие сигналу Теория автоматического управления.

При разработке автоматических систем управления чаще всего ставится задача, заключающаяся в том, чтобы система выполняла свое функциональное назначение, определяемое целыо управления. Иногда может быть поставлена и более сложная задача: разработать автоматическую систему с наилучшими показателями качества. При разработке таких систем используется принцип оптимальности, позволяющий обеспечить наилучшее выполнение цели управления.

Понятия и постановка задачи оптимального управления

Автоматическую систему регулирования, обеспечивающую наилучшие показатели качества при отработке задающих и возмущающих воздействий, называют оптимальной. Оценку достижимости цели в процессе управления объектом, представленную в формализованном виде (аналитической форме), принято называть критерием оптимальности, или целевой функцией.

Разработка наилучшей системы, удовлетворяющей заданным требованиям, представляет собой задачу синтеза оптимальной системы.

Возможны два основных типа задач синтеза оптимальных систем. В задачах первого типа (параметрическая оптимизация) известна структура системы (передаточные функции устройства управления и объекта управления). Необходимо найти оптимальные значения параметров динамической настройки устройства управления (регулятора), при которых обеспечиваются требуемые значения заданного показателя качества. В задачах второго типа структура системы полностью неизвестна и требуется вначале ее определить по исходной динамике объекта, а затем рассчитать параметры динамической настройки устройства управления, чтобы система была оптимальной по показателям качества. На практике обычно задан объект управления, поэтому задача синтеза состоит в определении структуры и параметров динамической настройки оптимального регулятора. Такая задача может быть названа задачей структурно-параметрической оптимизации.

Переменные выхода Теория автоматического управления, управления Теория автоматического управления, задающегоТеория автоматического управления и возмущающего Теория автоматического управления воздействий в общем случае могут быть как скалярными, так и векторными величинами при многомерном объекте управления. Переход объекта управления из одного состояния в другое может быть осуществлен различными способами. В связи с этим возникает задача выбора такого способа регулирования, который с определенной точки зрения окажется самым выгодным. Состояние объекта управления задается в каждый момент времени фазовыми координатами Теория автоматического управления которые меняются с течением времени. Движением объекта можно управлять с помощью функций Теория автоматического управления.

Предположим, что момент Теория автоматического управления соответствует началу управления объектом, то есть начиная с этого момента на объект подается управление Теория автоматического управления. Из-за конструктивных, прочностных, энергетических и других особенностей объекта на его вход не могут подаваться произвольные управления. Реальные управления должны быть подчинены некоторым ограничениям

Теория автоматического управления

Совокупность ограничений формирует область возможных значений управляющих воздействий. Обозначим эту область символом Теория автоматического управления и назовем ее областью допустимых управлений. Управляющие воздействия, реально подаваемые на вход ОУ, должны принадлежать области допустимых управлений, сокращенно

Теория автоматического управления

В этом случае управления называются допустимыми и, как правило, являются кусочно-непрерывными функциями. Аналогично компоненты вектора состояния

Теория автоматического управления

в общем случае так же должны удовлетворять определенным ограничениям, то есть вектор Теория автоматического управления в пространстве состояний не должен выходить за пределы некоторой области Теория автоматического управления, называемой областью допустимых состояний, то есть

Теория автоматического управления

Пусть в области допустимых состояний Теория автоматического управления можно выделить некоторую подобласть Теория автоматического управления состояний Теория автоматического управления, которые для нас по каким-то причинам являются желательными.

Тогда цель управления заключается в том, чтобы перевести объект из начального состояния Теория автоматического управления, в котором он находится в момент Теория автоматического управления, в конечное состояние Теория автоматического управления, принадлежащее подобласти Теория автоматического управления области допустимых состояний.

Отметим, что момент Теория автоматического управления, соответствующий моменту попадания объекта в желаемое конечное состояние, может быть неизвестным. Для достижения цели управления на вход объекта необходимо подать соответствующее управление.

Задача управления заключается в том, чтобы в области допустимых управлений (1.2) подобрать такое управление, при котором будет достигнута цель управления. Иными словами, требуется отыскать такое допустимое управление Теория автоматического управления, определенное на временном отрезке Теория автоматического управления, при котором уравнения ОУ при заданном начальном состоянии и известном векторе возмущений Теория автоматического управления имеет решение Теория автоматического управления, удовлетворяющее ограничению (1.3) при всех Теория автоматического управления и конечному условию Теория автоматического управления.

Наиболее типична ситуация, когда задача управления имеет бесконечное число решений, то есть существует бесконечное число допустимых управлений, переводящих объект из начального состояния в конечное в соответствии со всеми введенными ограничениями. В этом смысле все управления, реализующие цель управления, являются равноценными.

Однако к системе управления, как правило, предъявляется ряд требований, не участвующих в формулировке задачи управления, но характеризующих успешность продвижения по пути к цели управления.

Чтобы судить о степени соответствия системы предъявляемым к ней требованиям, вводят в рассмотрение числовые показатели, отражающие качественную сторону процесса движения к цели управления и формирующие понятия качества управления.

Формально качество управления можно описать двояко:

  • в форме совокупности показателей качества, например, значений допустимого перерегулирования, времени регулирования, установившихся ошибок при типовых воздействиях и т. п.;
  • в форме некоторого обобщенного показателя, определяемого всеми процессами: Теория автоматического управления (задающее воздействие может быть также многомерным).

При каждом управлении, на котором достигается его цель, качество будет принимать определенное значение. Очевидно, что из числа управлений, реализующих цель, следует выбирать такие, при которых качество будет обеспечено в соответствии с существующими требованиями.

При первом подходе качество управления оценивают совокупностью показателей, по существу представляющих параметры реакции системы на некоторое детерминированное входное воздействие. Такой подход свойственен раннему этапу развития теории автоматического управления (ТАУ), хотя используется и в настоящее время. В этом случае выбор рационального управления заменяется выбором структуры и параметров регулятора, которые обеспечивают показатели качества, не худшие относительно их заданных значений.

При втором подходе качество управления описывают некоторым обобщенным показателем, представляющим собой меру эффективности достижения цели управления средствами конкретного управления Теория автоматического управления.

Обобщенный показатель качества — числовая характеристика, в общем случае зависящая от Теория автоматического управления, так что конкретному закону управления Теория автоматического управления и процессам Теория автоматического управления и Теория автоматического управления соответствуют определенные значения показателей качества. Обобщенный показатель качества в каждой технической задаче назначают самостоятельно. Выбор показателя — часто весьма сложная задача, и общих рекомендаций по его назначению не существует.

Качество может содержать различный физический смысл и отражать в зависимости от технического назначения объекта такие свойства системы управления, как, например, энергетические затраты на управление, точность поддержания заданного режима работы объекта управления, время достижения цели управления, значение максимальной ошибки в определенном режиме функционирования, качество выпускаемой продукции, затраты сырья или электроэнергии, себестоимость продукции и т. д.

Наиболее часто обобщенный показатель качества представляет функционал, который можно описать в форме следую-щего интегрального соотношения:

Теория автоматического управления

где функция Теория автоматического управления определяет конкретный физический смысл показателя качества. Введение такого показателя позволяет сформулировать задачу оптимального управления: в области допустимых управлений Теория автоматического управления следует найти такое допустимое управление Теория автоматического управления, на котором показатель качества (1.4) при заданных значениях Теория автоматического управления и Теория автоматического управления достигает экстремального значения

Теория автоматического управления

а объект управления переводится из начального состояния Теория автоматического управления в конечное Теория автоматического управления, принадлежащее подобласти Теория автоматического управления области допустимых состояний Теория автоматического управления, при всех Теория автоматического управления.

Условие (1.5) в этом случае называют критерием оптимальности, а управление, удовлетворяющее условиям задачи, называют оптимальным.

Решение уравнения ОУ, соответствующее оптимальному управлению и удовлетворяющее цели управления, называют оптимальной траекторией движения ОУ. Систему управления, которая с позиций критерия (1.5) оказывается наилучшей среди всех других систем, называют оптимальной.

Решение задач по теории автоматического управления

Критерии оптимальности систем автоматического регулирования

При разработке оптимальных систем важным моментом является формулировка цели оптимизации, которая математически выражается как требование обеспечения минимума или максимума некоторого показателя качества, называемого критерием оптимальности, или целевой функцией.

Основными критериями качества автоматических систем являются: максимальная точность управления объектом; максимальное быстродействие перехода системы из одного состояния в другое при ограничении управляющего воздействия; минимальные затраты энергии на управление объектом при заданных внешних условиях; минимальная стоимость системы управления при заданном качестве управления объектом и т. д. При этом необходимо иметь в виду, что оптимизация одного из указанных качеств системы управления обычно может приводить к ограничению ее других характеристик. Учет указанных ограничений при оптимизации системы очень важен, поскольку любая система автоматического управления характеризуется ограниченной мощностью, точностью, надежностью, инерционностью и т. д. Каждый из этих критериев является некоторой функцией нескольких переменных, характеризующих систему управления в целом.

При разработке локальных систем управления обычно рассматривают задачу оптимизации по критериям, характеризующим качество функционирования системы (точность и быстродействие), а остальные частные критерии не учитывают. Тогда задача оптимизации сводится к выбору структуры регулятора и параметров его настройки, при которых свойства системы оптимальны, то есть сводится к выбору лучшего варианта из числа возможных.

Каждый из таких вариантов системы характеризуется отклонением Теория автоматического управления системы Теория автоматического управления, вызванным изменением внешних воздействий, от установившегося значения Теория автоматического управления, то есть

Теория автоматического управления

Тогда качество вариантов системы определяют некоторым показателем — численной характеристикой, показывающей, насколько Теория автоматического управления отличается от нуля. Наилучший вариант соответствует экстремальному значению показателя качества, в данном случае минимуму.

Такие показатели качества можно рассматривать как функциональные выражения, в которых роль независимых переменных играют функции, кривые, векторы, характеризующие варианты системы.

В зависимости от конкретных условий функционирования систем управления обычно рассматривают две задачи оптимизации режимов: динамическую и статическую.

Рассмотрим некоторые типы критериев оптимальности в зависимости от принадлежности к переходному или установившемуся режиму работы системы управления.

В качестве критерия оптимальности может быть принято время переходного процесса:

Теория автоматического управления

Полученная система управления является оптимальной по быстродействию, если обеспечивается минимум интеграла (1.5) с учетом ограничений координат.

В качестве критерия оптимальности могут быть использованы интегральные оценки качества переходных процессов.

Например, при использовании квадратичной оценки система будет оптимальной, если обеспечивается минимум интеграла

Теория автоматического управления

Полученная система управления является оптимальной по точности в динамических режимах при отработке единичного задающего воздействия Теория автоматического управления.

Часто, помимо критерия оптимизации, необходимо учитывать и ограничения, налагаемые на переменные системы. Они могут быть заданы в виде

Теория автоматического управления

Ограничения (1.1), (2.4) и (2.5) требуют, чтобы отклонения Теория автоматического управления или Теория автоматического управления производных Теория автоматического управления по абсолютной величине не превосходили заданные значения. Учет ограничения (2.6) позволяет не допустить быстрых изменений отклонения Теория автоматического управления.

Кроме рассмотренного интегрального критерия, для оптимизации используют и более общие показатели, например:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Этот показатель оптимальности эквивалентен в определенном смысле квадратичному показателю оптимальности (2.3) при учете ограничений вида (2.6). Выбор параметров системы так, чтобы минимизировать критерий (2.7), позволяет получить не только оптимальные по быстродействию, но и плавные переходные процессы без значительных колебаний при отработке единичных задающих воздействий.

Особый интерес представляет выбор критерия оптимальности в виде оптимальной передаточной функции системы по задающему воздействию Теория автоматического управления в следующем виде:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — запаздывание управляющего воздействия;

Теория автоматического управления — заданное значение постоянной времени критерия оптимальности, численное значение которого определяет требуемые прямые показатели качества отработки скачка задания;

Теория автоматического управления — соответственно порядок знаменателя и числителя передаточной функции ОУ по управляющему воздействию.

Передаточная функция системы по задающему воздействию (2.8) входит в передаточную функцию оптимального регулятора:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция объекта регулирования по управляющему воздействию.

Передаточную функцию оптимального регулятора (2.9) можно представить в виде произведения инверсной передаточной функции объекта регулирования на заданную передаточную функцию разомкнутой системы:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция разомкнутой системы:

Теория автоматического управления

Выбор функционалов, соответствующих критерию оптимальности, представляет собой трудную задачу, поскольку связан с учетом многих конкретных условий, как, например, требований, предъявляемых к системе управления, обоснования максимальной величины регулирующего воздействия, простоты последующего определения структуры и динамической настройки оптимальной системы и т. п.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Экспериментальные методы определения динамических характеристик теплоэнергетических объектов регулирования

Идентификация объектов регулирования с использованием переходных характеристик

При изучении объекта исследования, прежде всего, выбирают входную и выходную переменную. Если определяют динамические характеристики объекта управления, то в качестве входной величины принимают положение регулирующего органа, а в качестве выходной — сигнал измерительного преобразователя, поступающий на вход регулятора. При исследовании замкнутой системы регулирования входное воздействие наносят перемещением задатчика, фиксируя при этом изменение выходной величины — сигнал измерительного преобразователя.

Обработка результатов эксперимента включает в себя целый ряд операций, которые завершаются аппроксимацией переходной характеристики с помощью типовых элементарных звеньев.

Предварительный выбор передаточной функции можно сделать по начальному участку переходной функции (рис. 3.1).

Теория автоматического управления

Передаточной функцией 1 (табл. 3.1) аппроксимируют переходные функции, наклон графиков которых в начальный момент времени максимален, то есть переходные функции объектов без запаздывания (кривая 1 на рис. 3.1). Применение такой передаточной функции требует определения наименьшего числа параметров -двух для объектов с самовыравниваиием.

Однако переходные функции большинства промышленных объектов имеют, как правило, вид кривых 2 и 3 (см. рис. 3.1). Для аппроксимации таких переходных функций используют передаточные функции 2 и 3 (см. табл. 3.1).

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

Для объектов с малым емкостным запаздыванием наиболее распространена передаточная функция 2, которой аппроксимируют переходные функции объектов, для которых свойственно только емкостное запаздывание (кривая 2 на рис. 3.1).

Передаточную функцию 3 (см. табл. 3.1) обычно используют для аппроксимации переходных функций объектов с большим запаздыванием, для которых свойственно только емкостное и чистое запаздывание (кривая 3 на рис. 3.1).

Динамические параметры объекта по его экспериментально снятой переходной характеристике определяют графическими или графоаналитическими методами. При определении динамических параметров объекта вначале проводят касательную к переходной характеристике объекта таким образом, чтобы как можно больше точек прямой и переходной характеристики объекта совпали, затем определяют динамические параметры передаточной функции.

В табл. 3.2 приведены наиболее распространенные методы определения динамических параметров объекта без самовыравиивания и показаны графические построения, выполняемые при их использовании.

Теория автоматического управления

Предварительный выбор передаточной функции можно сделать по начальному участку переходной функции (рис. 3.2).

Теория автоматического управления

Передаточной функцией 1 (табл. 3.2) аппроксимируют переходные функции, наклон графиков которых в начальный момент времени максимален, то есть переходные функции объектов без запаздывания (кривая 1 на рис. 3.2). Применение такой передаточной функции требует определения наименьшего числа параметров -одного для объектов без самовыравнивания.

Однако переходные функции большинства промышленных объектов без самовыравнивания имеют, как правило, вид кривых 2 и 3 (см. рис. 3.2). Для аппроксимации таких переходных функций используют передаточные функции 2 и 3 (см. табл. 3.2).

Наиболее распространена передаточная функция 2, которой аппроксимируют как переходные функции объектов, для которых свойственно только емкостное запаздывание (кривая 2 на рис. 3.2), так и переходные функции объектов, обладающих емкостным и чистым запаздыванием (кривая 3 на рис. 3.2).

Передаточную функцию 3 (см. табл. 3.2) обычно используют для аппроксимации переходных функций объектов, для которых свойственно только емкостное запаздывание (кривая 2 на рис. 3.2).

Динамические параметры объекта по его экспериментально снятой переходной характеристике определяют графическими или графоаналитическими методами. При определении динамических параметров объекта вначале проводят касательную к переходной характеристике объекта таким образом, чтобы как можно больше точек прямой и переходной характеристики объекта совпали, затем определяют динамические параметры передаточной функции.

Решение задач по ТАУ

Идентификация объектов регулирования с использованием импульсных характеристик

При снятии импульсных характеристик для успешного проведения исследований существенное значение имеет правильный выбор длительности импульса. Чем меньше время импульса, тем ближе экспериментальная временная характеристика к истинной импульсной. Однако при малых значениях длительности импульса обработка результатов становится затруднительной из-за малых отклонений выходной переменной от своих первоначальных значений. Поэтому на практике идут на определенное искажение импульсной характеристики, увеличивая длительность импульса. При снятии импульсных характеристик длительность импульса чаще всего определяют опытным путем в процессе проведения эксперимента.

В основе этого метода лежит определение площадей, ограниченных кривыми изменения входной и выходной величины. Вначале определяют время запаздывания Теория автоматического управления. Для этого проводят среднюю линию возмущения, которая при симметричном импульсном воздействии совпадает с его геометрической осью (рис. 3.3), затем -еще одну вертикаль, отсекающую на импульсной характеристике равные площади Теория автоматического управления и Теория автоматического управления (с горизонтальной штриховкой).

Время запаздывания определяют по формуле

Теория автоматического управления

Остальные параметры для объекта с самовыравииванием находят по формулам

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — площадь, ограниченная кривой входного воздействия; Теория автоматического управления — площадь, ограниченная кривой изменения регулируемой величины (на рис. 3.3 заштрихованы наклонно).

Для объекта без самовыравнивания — по формуле

Теория автоматического управления

На рис. 3.3, в показана особенность определения Теория автоматического управления и Теория автоматического управления для случая, когда на объекте с самовыравниванием получена импульсная функция с расхождением (не более 20% значения Теория автоматического управления) между начальным и конечным значением регулируемой величины. Увеличение значения Теория автоматического управления при прочих равных условиях приводит к увеличению погрешности определения динамических параметров объекта. Однако при условии Теория автоматического управления погрешность не превышает 10 %.

Идентификация объектов регулирования с использованием частотных характеристик

При выборе диапазона частот входного воздействия, прежде всего, учитывают назначение частотных характеристик. Для расчета параметров динамической настройки регулятора наибольшее значение в соответствии с критерием устойчивости Найквиста имеют частоты при фазовых сдвигах, находящихся вблизи 180°. Поэтому при наладке систем автоматического регулирования эксперимент проводят либо на одной частоте Теория автоматического управления при фазовом сдвиге 180°, либо на нескольких различных частотах при фазовых сдвигах 90-230°. Точка годографа с частотой Теория автоматического управления (рис. 3.4) так же, как и точки годографа с частотой среза Теория автоматического управления и нулевой частотой Теория автоматического управления (для объектов с самовыравниванием), являются характерными точками годографа промышленного объекта регулирования.

Теория автоматического управления

Точку с частотой Теория автоматического управления определяют путем снятия графика переходной функции объекта, получаемой при скачкообразном входном воздействии, которое в этом случае рассматривается как периодическое воздействие с бесконечным периодом колебаний и, следовательно, нулевой частотой. Точку с частотой Теория автоматического управления получают путем создания таких входных колебаний, которые находились бы в противофазе с выходными колебаниями, то есть фазовый сдвиг Теория автоматического управления был бы равен Теория автоматического управления рад или 180°.

Для этого после достижения установившегося режима работы регулируемого объекта (момент времени Теория автоматического управления на рис. 3.5) регулирующий орган как можно быстрее перемещают на заранее выбранную величину Теория автоматического управления в любую сторону.

Теория автоматического управления

После того как отклонение регулируемой величины под действием этого воздействия станет заметным, регулирующий орган быстро перемещают в противоположную сторону на величину Теория автоматического управления. Дальнейшие перемещения регулирующего органа на величину Теория автоматического управления производят в те моменты времени, когда выходная переменная, изменяясь, достигает своего начального установившегося значения. Эксперимент продолжают до получения 6-7 периодов установившихся колебаний выходной величины, то есть колебаний с постоянными амплитудой и периодом колебаний. Первые 3-4 периода обычно затрачивают на то, чтобы «раскачать» объект исследований до установившегося процесса периодических колебаний. При обработке результатов эксперимента эти периоды не учитываются.

Обработку результатов эксперимента начинают с определения Теория автоматического управления и модуля амплитудно-фазовой характеристики Теория автоматического управления для тех частот входных и выходных колебаний, на которых проводился эксперимент:

Теория автоматического управления

В результате искомая передаточная функция объекта регулирования без самовыравнивания с учетом формул (3.6) и (3.7) примет вид

Теория автоматического управления

Для объектов с самовыравниванием соответственно с учетом формул (3.8) и (3.9):

Теория автоматического управления
Примеры решения задач по ТАУ

Универсальная методика описания динамики объекта регулирования передаточными функциями различной структуры

При проведении сравнительного анализа различных методов расчета параметров динамической настройки типовых регуляторов зачастую необходимо передаточную функцию объекта регулирования исходной структуры преобразовать в другую структуру, которая используется каким-либо автором для оптимизации динамики типовых регуляторов.

Если исходной является экспериментально снятая реакция объекта на единичный скачок и требуется аппроксимировать динамику объекта регулирования передаточной функцией инерционного звена Теория автоматического управления-го порядка с одинаковыми постоянными времени Теория автоматического управления, то вначале отыскивают точку перегиба переходной характеристики Теория автоматического управления, время ее появления Теория автоматического управления на графике переходного процесса (рис. 4.1).

Теория автоматического управления

Затем определяют интегральную постоянную времени объекта Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — порядок математической модели объекта;

Теория автоматического управления — постоянная времени.

Численное значение Теория автоматического управления представляет частное от деления площади Теория автоматического управления, заключенной между графиком переходной характеристики Теория автоматического управления и ее установившимся значением, на коэффициент передачи объекта Теория автоматического управления.

Для модели с Теория автоматического управления одинаковыми постоянными времени Теория автоматического управления численное значение времени появления точки перегиба Теория автоматического управления графика переходной характеристики зависит только от численного значения порядка модели:

Теория автоматического управления

Откуда находят численное значение постоянной времени Теория автоматического управления объекта с учетом (4.1) и (4.2):

Теория автоматического управления

Затем из (4.2) с учетом (4.3) определяют порядок модели объекта регулирования Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Иногда вместо экспериментальных динамических характеристик объектов регулирования на стадии проектирования объекта используют расчетные методы. Например, если исходными являются характерные параметры пароперегревателя Теория автоматического управления то вначале определяют постоянные коэффициенты передаточной функции объекта в виде инерционного звена второго порядка

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

Откуда находят порядок математической модели объекта

Теория автоматического управления

Определив порядок модели передаточной функции объекта регулирования из равенства (4.6), находим постоянную времени Теория автоматического управления передаточной функции объекта:

Теория автоматического управления

Если аппроксимация динамики объекта регулирования задана передаточной функцией инерционного звена первого порядка с запаздыванием

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи, то численные значения запаздывания Теория автоматического управления и времени разгона Теория автоматического управления модели объекта с передаточной функцией (4.10) определяют по следующим формулам:

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

При моделировании переходных процессов систем автоматического регулирования (САР) широко используют модель объекта в виде инерционного звена второго порядка с запаздыванием:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи объекта;

Теория автоматического управления — математическая константа (число Эйлера); Теория автоматического управления — время условного запаздывания по каналу регулирующего воздействия;

Теория автоматического управления — оператор Лапласа;

Теория автоматического управления — соответственно большая и меньшая постоянная времени передаточной функции объекта.

В этом случае величину условного запаздывания определяют по формуле

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — полное запаздывание.

Если требуется заменить передаточную функцию объекта (4.15) на инерционное звено Теория автоматического управления-го порядка с постоянной времени Теория автоматического управления, то относительное значение условного запаздывания примет вид

Теория автоматического управления

Откуда с учетом (4.11) и (4.12) получим

Теория автоматического управления

Поскольку малую постоянную времени о передаточной функции (4.15) объекта находят по формуле (4.19):

Теория автоматического управления

то ее относительное значение с учетом (4.12) примет вид

Теория автоматического управления

Обозначив сумму постоянных времени знаменателя передаточной функции (4.15) через Теория автоматического управления, а отношение Теория автоматического управления — через Теория автоматического управления, получим

Теория автоматического управления

Так как большая постоянная времени передаточной функции объекта(4.15)

Теория автоматического управления

то ее относительное значение с учетом (4.20) и (4.21) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

На основе полученных соотношений получена универсальная номограмма, позволяющая экспресс-методом определять численные значения параметров передаточных функций объектов регулирования в требуемом виде как на стадии проектирования, так и на основе экспериментальных переходных характеристик (рис. 4.2).

Теория автоматического управления

Пример использования номограммы. Если для пятой ступени пароперегревателя котла ПП-1600/250 для 70% нагрузки численные значения характерных параметров равны:

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

а требуется получить численные значения характерных параметров пароперегревателя в виде передаточных функций:

Теория автоматического управления

то в начале по номограмме находят отношение Теория автоматического управления, затем определяют порядок модели объекта Теория автоматического управления. После этого по формулам (4.6) и (4.7) рассчитывают постоянные коэффициенты Теория автоматического управления и Теория автоматического управления передаточной функции (4.5) объекта регулирования:

Теория автоматического управления

Затем определяют численное значение постоянной времени Теория автоматического управления передаточной функции (4.24) из равенства (4.5):

Теория автоматического управления

Полученным значениям Теория автоматического управления и Теория автоматического управления соответствуют следующие относительные величины:

Теория автоматического управления

С учетом найденного значения Теория автоматического управления (4.28) определяют постоянную времени Теория автоматического управления из равенства (4.29):

Теория автоматического управления

Далее из равенств (4.30) и (4.19) вначале находят время разгона Теория автоматического управления передаточной функции (4.25):

Теория автоматического управления

Потом определяют малую постоянную времени Теория автоматического управления передаточной функции (4.15):

Теория автоматического управления

и с учетом (4.33) — большую постоянную времени Теория автоматического управления передаточной функции (4.16):

Теория автоматического управления

а также с учетом (4.31) — условное запаздывание Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

В результате искомая передаточная функция объекта (4.15) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

Для оценки точности аппроксимации коэффициентов передаточной функции (4.25) на основе номограммы с учетом (4.32) определим запаздывание Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Так как численное значение запаздывания Теория автоматического управления для данного пароперегревателя, определенное традиционным методом МО ЦКТИ, составило 55 с, а время разгона Теория автоматического управления = 135 с, то относительная погрешность определения Теория автоматического управления по номограмме составит 0,7 %, а времени разгона Теория автоматического управления соответственно — 1,3 %. Для определения динамики пароперегревателя для любой нагрузки котла по значениям одной нагрузки с использованием данной номограммы относительные значения характерных параметров пароперегревателя определяют по следующим формулам:

Теория автоматического управления

где «н» — соответствует номинальной нагрузке котла; Теория автоматического управления — расчетной нагрузке;

Теория автоматического управления — соответственно удельные объемы пара при нагрузках Теория автоматического управления

При этом вспомогательный коэффициент Теория автоматического управления рассчитывают по формуле

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент теплоотдачи от стенки к пару при номинальной нагрузке, Теория автоматического управления;

Теория автоматического управления — коэффициент теплопроводности металла, Теория автоматического управления; Теория автоматического управления — соответственно внутренний и наружный диаметр трубки пароперегревателя, м.

Контрольная работа по теории автоматического управления ТАУ

Постановка задачи оптимизации типовых линейных регуляторов

Типовые линейные регуляторы

Основным элементом системы автоматического регулирования является управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления путем выработки управляющего (регулирующего) воздействия в зависимости от ошибки регулирования.

Законы регулирования бывают линейные и нелинейные. Проще всего решать линейные уравнения. С нелинейными работать намного сложнее, причем многие типы уравнений аналитически решить пока не удается.

Рассмотрим основные линейные законы регулирования, которые реализованы в типовых линейных регуляторах.

Различают следующие типы регуляторов:

  • пропорциональный (П-регулятор);
  • интегральный (И-регулятор);
  • пропорционально-интегральный (ПИ-регулятор);
  • пропорционально-интегралыю-дифференциальиый (ПИД-регу-лятор);
  • пропорционально-дифференциальный (ПД-регулятор).

К регулирующим устройствам относят также дифференциатор, но в промышленных условиях он обычно используется совместно с ПИ-регулятором для реализации ПИД-закона регулирования.

П-регулятор. П-регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения Теория автоматического управления (ошибка регулирования):

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи регулятора (П-составляющая закона регулирования; его размерность — отношение единиц измерения регулирующего воздействия к единице измерения регулируемой величины).

Регулятор, подчиняющийся этому закону, называют статическим с одним параметром динамической настройки (коэффициентом усиления), или пропорциональным П-регулятором.

Статическая характеристика П-регулятора представляет собой зависимость отклонения регулируемой величины Теория автоматического управления от положения регулирующего органа Теория автоматического управления в состоянии равновесия. Поэтому П-регу-

лятор называют статическим. При этом статическая ошибка регулятора находится по формуле

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — установившиеся значения отклонения регулируемой величины при максимальной и минимальной нагрузке объекта; Теория автоматического управления — среднее значение ошибки регулирования.

Передаточную функцию, комплексно-частотную характеристику (КЧХ) и переходную характеристику П-регулятора определяют по формулам:

Теория автоматического управления

Пропорциональные регуляторы являются наиболее простыми и позволяют устойчиво регулировать промышленные объекты регулирования.

Недостатком таких регуляторов является остаточная неравномерность регулирования.

И-регулятор. И-регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально интегралу от ошибки регулирования:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — время интегрирования;

Теория автоматического управления — полное время регулирования.

Этот регулятор называют астатическим с одним параметром динамической настройки Теория автоматического управления или интегральным — И-регулятором.

Статическая характеристика И-регулятора представляет прямую, параллельную оси абсцисс. Это следует из уравнения (5.4). Так какТеория автоматического управления то при Теория автоматического управления отклонение от требуемой регулируемой величины также равно нулю. Таким образом, в данном случае отсутствует остаточная неравномерность регулирования.

Передаточную функцию, КЧХ и переходную характеристику определяют по формулам:

Теория автоматического управления

И-регуляторы могут устойчиво работать только с объектами, обладающими значительным самовыравниванием.

ПИ-регулятор перемещает регулирующий орган пропорционально сумме отклонения и интеграла отклонения регулируемой величины от заданного значения:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи регулятора; Теория автоматического управления — время интегрирования.

В динамическом отношении ПИ-регулятор подобен системе из двух параллельно включенных регуляторов: П-регулятора с коэффициентом передачи Теория автоматического управления и И-регулятора с коэффициентом передачи Теория автоматического управления.

Передаточную функцию, КЧХ и переходную характеристику ПИ-регулятора (табл. 5.1) определяют по формулам:

Теория автоматического управления

При беспредельном увеличении времени интегрирования ПИ-регулятор превращается в П-регулятор. Если Теория автоматического управления и Теория автоматического управления стремятся к нулю, но при этом их отношение остается постоянным, — получим И-регулятор с коэффициентом передачи Теория автоматического управления.

ПИ-регуляторы отличаются простотой конструкции и позволяют устойчиво и без остаточной неравномерности регулировать большое число промышленных объектов. Поэтому они широко распространены на практике.

ПИД-регуляторы перемещают регулирующий орган пропорционально отклонению, интегралу и скорости изменения отклонения регулируемой величины:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи регулятора; Теория автоматического управления — время интегрирования;

Теория автоматического управления — время упреждения (опережения, предварения, дифференцирования), характеризующее степень ввода производной в закон регулирования.

В динамическом отношении ПИД-регулятор подобен системе из трех параллельно включенных звеньев: пропорционального, интегрирующего и идеально дифференцирующего. При Теория автоматического управления = 0 ПИД-

регулятор превращается в ПИ-регулятор; если, кроме того, Теория автоматического управления стремится к бесконечности, то получается П-регулятор. Передаточную функцию, КЧХ и переходную характеристику ПИД-регулятора (табл. 5.1) определяют по формулам:

Теория автоматического управления

ПИД-регуляторы конструктивно сложнее ПП-регуляторов, однако они в ряде случаев позволяют улучшить качество регулирования технологических параметров. Они, как и ПИ-регуляторы, относятся к астатическим регуляторам и в настоящее время широко распространены.

ПД-регулятор. ПД-закон регулирования обычно применяют для коррекции динамических свойств автоматических систем регулирования. Идеальный пропорционально-дифференциальный регулятор имеет передаточную функцию

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент усиления регулятора;

Теория автоматического управления — весовой коэффициент, характеризующий степень ввода производной в закон регулирования, причем последний может быть положительным или отрицательным.

Реальный (инерционный) пропорционально-дифференциальный регулятор имеет передаточную функцию вида

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Сказанное справедливо и для реального ПД-регулятора с той разницей, что влияние инерционного звена Теория автоматического управления на быстродействие системы и области ее устойчивости уменьшается до нуля с ростом постоянной времени Теория автоматического управления, когда Теория автоматического управления. Поэтому в случае реального ПД-регулятора невозможно получить полную компенсацию инерционности апериодического звена, так как в этом случае передаточная функция разомкнутой цепи имеет знаменатель второго порядка

Теория автоматического управления

Тогда даже при Теория автоматического управления, сохраняется постоянная времени Теория автоматического управления реального ПД-регулятора.

Под параметрической оптимизацией типовых регуляторов понимают такое определение параметров их динамических настроек, которое обеспечивает выполнение принятых критериев оптимальности для данных возмущений.

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления
Теория автоматического управления
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Синтез оптимальных алгоритмов функционирования и параметрическая оптимизация одноконтурных систем автоматического регулирования для объектов с запаздыванием

Передаточную функцию объекта по каналу регулирующего воздействия представим в виде

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция той части объекта, которая не содержит запаздывания, заданная в общем виде; Теория автоматического управления — оператор Лапласа; Теория автоматического управления — время запаздывания.

Требуемую переходную характеристику одноконтурной системы по задающему воздействию представим в виде передаточной функции колебательного звена с запаздыванием:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданное значение постоянной времени, определяющей совместное с запаздыванием полное время регулирования;

Теория автоматического управления — заданный коэффициент демпфирования, влияющий на затухание колебаний переходного процесса и определяющий величину максимального перерегулирования.

При Теория автоматического управления = 0,707 система имеет максимальное быстродействие

и минимальное перерегулирование. При Теория автоматического управления переходный процесс в системе становится апериодическим.

Выражение оптимальной передаточной функции регулятора с учетом (5.13) и (5.14) примет вид

Теория автоматического управления

Разность Теория автоматического управления в знаменателе передаточной функции (5.15) представим в виде реального дифференцирующего звена с инерционностью третьего порядка:

Теория автоматического управления

желаемые значения параметров которого выбирают с учетом (5.14) из условия равенства площадей под ломаной кривой, соответствующей левой части равенства (5.16), и плавной кривой, соответствующей правой части равенства (5.16):

Теория автоматического управления

С учетом (5.16) оптимальную передаточную функцию регулятора (5.15) представим в виде

Теория автоматического управления

Полученная таким образом передаточная функция регулятора Теория автоматического управления (5.18) позволяет определить структуру типового регулятора и параметры его оптимальном динамическом настроики по задающему (внешнему) воздействию.

В табл. 5.3 приведены передаточные функции типовых оптимальных регуляторов, а также соответствующие каждому алгоритму регулирования частные случаи передаточной функции объекта (5.13) и формулы для определения параметров оптимальной динамической настройки, удовлетворяющие условию (5.14) метода полной компенсации (МПК) большей постоянной времени объекта (п. 1-6). Здесь же даны оптимальные значения параметров динамической настройки типовых регуляторов для внутренних возмущений (п. 7-9), где приняты следующие обозначения в критериях оптимальности: Теория автоматического управления — ошибка регулирования; Теория автоматического управления— время регулирования; Теория автоматического управления — степень затухания переходного процесса; М — показатель колебательности;

МЧК — метод частичной компенсации для объектов без запаздывания;

ММЧК — модифицированный метод частичной компенсации для объектов с запаздыванием;

МЧКО — метод частичной компенсации с ограничением максимальной величины регулирующего воздействия (табл. 5.3).

Если желаемая передаточная функция системы по задающему воздействию имеет вид инерционного звена с запаздыванием

Теория автоматического управления

то передаточная функция оптимального регулятора примет вид

Теория автоматического управления

Подставив в (5.20) конкретные передаточные функции части объекта без запаздывания Теория автоматического управления (5.2), получим передаточные функции оптимальных алгоритмов регулирования для различных моделей объектов. Структура и параметры динамической настройки апериодических регуляторов в относительных величинах для различных моделей объекта приведены в табл. 5.3.

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

Отметим некоторые особенности рассмотренных методов. Так как задача параметрической оптимизации САР по задающему воздействию решена в общем виде, то некоторые формулы для расчета настройки типовых регуляторов, приведенные в табл. 5.3, совпадают с формулами других методов оптимизации либо получены другими способами для конкретных передаточных функций объекта.

Сравним приведенные выше методы с данными, приведенными в работах В. Я. Ротача, где оптимизация типовых регуляторов осуществлена на основе минимизации дисперсии погрешности регулирования без ограничения запаса устойчивости системы. Видно, что для типовых ПИД-, ПИ- и И-алгоритмов регулирования (см. табл. 5.3) временные параметры динамической настройки регуляторов совпадают, а коэффициенты передачи регуляторов в общем случае в два раза меньше. Этот факт позволяет установить причину появления слабо затухающих колебаний переходных процессов в системе, интенсивность затухания которых оказывается, как правило, из-за увеличенного значения коэффициента передачи регулятора, явно недостаточной для эксплуатации САР в реальных условиях.

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления
Задачи теории автоматического управления ТАУ

Синтез оптимальных параметров динамической настройки ПИ-регуляторов при внутренних возмущениях

При определении оптимальных параметров динамической настройки регулятора из условия минимума среднеквадратичной ошибки регулирования дополнительно к интегральному критерию оптимальности вводят условие обеспечения заданной степени затухания переходных процессов. Это достигается двумя наиболее распространенными способами:

1) заданием в плоскости комплексной частотной характеристики разомкнутой системы регулирования области, включающей в себя «опасную» точку Теория автоматического управления, через которую не должна проходить эта характеристика;

2)заданием в плоскости корней характеристического уравнения системы области, в пределах которой должны находиться эти корни.

Использование первого метода требует определения комплексной частотной характеристики объекта, второго — предварительного вычисления расширенных частотных характеристик объекта и регулятора. Причем применение обоих способов сопряжено со значительными трудозатратами на выполнение расчетов, а для вычисления прямых показателей качества требуется непосредственное построение переходных процессов системы регулирования при расчетных значениях настройки регулятора.

Можно существенно упростить алгоритм определения настройки регулятора и прямых показателей качества переходных процессов системы регулирования, положив в основу второй способ введения ограничения в критерий оптимальности.

Пусть Теория автоматического управления — относительное время; Теория автоматического управления — оператор Лапласа; Теория автоматического управления — относительная постоянная времени; Теория автоматического управления — относительное время интегрирования ПИ-регулятора; Теория автоматического управления — коэффициент усиления разомкнутой системы.

Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид.

Передаточная функция регулятора в относительном времени соответствует

Теория автоматического управления

Передаточная функция объекта в относительном времени в виде инерционного звена второго порядка соответствует

Теория автоматического управления

Передаточная функция замкнутой системы при обработке скачкообразного внутреннего возмущающего воздействия с учетом (5.21) и (5.22) примет вид:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Приведем передаточную функцию (5.23) к нормированной форме Вышнеградского изменением масштаба Теория автоматического управления в Теория автоматического управления раз, если

Теория автоматического управления

Заменив в передаточной функции аргумент Теория автоматического управления на Теория автоматического управления и разделив числитель и знаменатель на Теория автоматического управления с учетом (5.24), получим нормированную передаточную функцию замкнутой системы САР при скачкообразном внутреннем возмущении

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

При этом новому оператору Теория автоматического управления соответствует новое время Теория автоматического управления.

После несложных преобразований представим относительные параметры динамической настройки ПИ-регулятора в виде функции от относительной постоянной времени Теория автоматического управления и коэффициентов Вышне-градского Теория автоматического управления и Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Численные значения коэффициентов Вышнеградского Теория автоматического управления и Теория автоматического управления определим, решая уравнения (5.27), из условия минимизации интегрального квадратичного критерия Теория автоматического управления с учетом ограничения на степень затухания Теория автоматического управления например, путем определения оптимальных относительных параметров Теория автоматического управления и Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Формулы (5.28) и (5.29) с учетом (5.30) и (5.31) примут следующий вид:

Теория автоматического управления

Данный метод определения оптимальной настройки ПИ-регуля-тора называется методом частичной компенсации (МЧК) большей постоянной времени объекта регулирования.

Из уравнения (5.24) и (5.27) находим, что

Теория автоматического управления

Тогда с учетом (5.33) из (5.27) получаем выражение для коэффициента Теория автоматического управления в виде

Теория автоматического управления

Передаточную функцию замкнутой системы (5.26) с учетом (5.30), (5.31) и (5.34) можно записать следующим образом:

Теория автоматического управления

Переходная функция системы (5.36) в относительном времени Теория автоматического управления при единичном внутреннем возмущении на входе объекта имеет вид

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

Для облегчения расчетов переходных процессов по формуле (5.37) на рис. 5.1 и 5.2 приведены графики зависимостей

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

Переходный процесс в САР при отработке внутреннего возмущения (см. рис. 5.1 и 5.2) можно определить по формуле

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — максимальная ошибка регулирования при Теория автоматического управления;

Теория автоматического управления — нормированная относительная кривая оптимального переходного процесса,

где Теория автоматического управленияТеория автоматического управления — сомножитель уравнения (5.37); Теория автоматического управления — максимальное значение функции Теория автоматического управления. Переход к реальному времени Теория автоматического управления осуществляют по формуле

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — временной масштабный коэффициент. Для объектов с запаздыванием и передаточными функциями вида

Теория автоматического управления

оптимальные параметры динамической настройки ПИ-регуляторов можно рассчитать на основе расширенных частотных характеристик (РАФХ) объекта и регулятора с использованием формул модифицированного метода частичной компенсации (ММЧК).

При этом параметрические уравнения линии равного затухания в области параметров динамической настройки ПИ-регулятора определяют по следующим формулам:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — частота, рад/с;

Теория автоматического управления — степень колебательности системы;

Теория автоматического управления — соответственно действительная и мнимая части инверсной расширенной комплексной частотной характеристики (КЧХ) системы.

Взяв передаточную функцию, обратную (5.40), и заменив оператор Теория автоматического управления на Теория автоматического управления после некоторых преобразований получим выражение для инверсной комплексной частотной характеристики объекта

Теория автоматического управления

откуда получаем

Теория автоматического управления

Подставим (5.42) в (5.41) и перейдя к относительным величинам, получим уравнения, определяющие линии равного затухания для АСР передаточной функцией объекта (5.39):

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Изменяя относительную частоту Теория автоматического управления в сторону увеличения, будем двигаться слева направо вдоль линии равного затухания до той частоты Теория автоматического управления, при которой будет достигнут минимум интегрального квадратичного критерия переходного процесса САР с ПИ-регуля-тором, настроенным по формулам (5.41) при Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

при выполнении условий критерия оптимальности

Теория автоматического управления

Для облегчения расчетов относительных параметров динамической настройки ПИ-регуляторов по формулам (5.44) при выполнении условия (5.45) можно использовать аналитические зависимости параметров настройки как функции относительной постоянной времени объекта Теория автоматического управления по ММЧК:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Для определения оптимальных значений параметров динамической настройки ПИ-регуляторов можно воспользоваться графиками, приведенными на рис. 5.3 и рассчитанными по формулам (5.44).

Теория автоматического управления

Для построения переходных процессов в САР и ПИ-регуляторами параметры, настройки которых рассчитаны по данной методике, и определения прямых показателей качества при отработке внутренних возмущающих воздействий на рис. 5.4 приведены графики нормированных переходных процессов Теория автоматического управления и масштабный коэффициент Теория автоматического управления для объектов с запаздыванием при Теория автоматического управления> 3.

Теория автоматического управления

Они позволяют получить искомый переходной процесс САР для конкретного объекта регулирования, представленного относительной постоянной времени Теория автоматического управления, используя формулу

Теория автоматического управления

Нормированной кривой (рис. 5.4, а) можно пользоваться для объектов с Теория автоматического управления> 3. Формула (5.45) позволяет получить переходной процесс в системе в абсолютных величинах.

Графики нормированных переходных процессов САР с ПИ-регуляторами и объектами с относительными постоянными времени Теория автоматического управления= 1, 2, 3 с учетом (5.45) приведены на рис. 5.5.

Теория автоматического управления

Дополнительная теория из учебников:

  1. Сущность проблемы автоматического управления
  2. Фундаментальные принципы управления
  3. Основные виды алгоритмов функционирования
  4. Об основных законах управления
  5. Уравнения динамики и статики. Линеаризация
  6. Основные свойства преобразования Лапласа
  7. Формы записи линейных дифференциальных уравнений. Передаточные функции
  8. Частотные характеристики
  9. Временные характеристики
  10. Элементарные звенья и их характеристики

Параметрическая оптимизация дискретного ПИД-регулятора

Обычно к параметрически оптимизируемым относят широко используемые П-, ПИ-, или ПИД-регуляторы, дифференциалыю-интег-ральные уравнения которых можно преобразовать с помощью дискретизации. Такой подход позволяет использовать накопленный опыт работы с аналоговыми регуляторами и в принципе применять уже хорошо известные правила настройки динамических параметров этих регуляторов без переподготовки и обслуживающего персонала.

Идеализированное уравнение ПИД-регулятора имеет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — регулирующее воздействие; Теория автоматического управления — коэффициент передачи; Теория автоматического управления — ошибка регулирования; Теория автоматического управления — время интегрирования; Теория автоматического управления — время дифференцирования регулятора.

Для малых тактов квантования постоянных времени Теория автоматического управления это уравнение можно преобразовать в разностное с помощью дискретизации, состоящей в замене производной разностью первого порядка, а интеграла — суммой. Непрерывное интегрирование может быть заменено интегрированием по методу прямоугольников или трапеций.

При использовании метода прямоугольников получаем

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления = 1, 2, 3 — номер периода квантования.

Таким образом, мы получили не рекуррентный алгоритм управления. В нем для формирования суммы необходимо помнить все предыдущие значения сигнала ошибки Теория автоматического управления. Поскольку каждый раз значение управляющего сигнала Теория автоматического управления вычисляется заново, этот алгоритм называют «позиционным». Однако для программирования на ЭВМ более удобны рекуррентные алгоритмы. Они отличаются тем, что для вычисления текущего значения управляющей переменной Теория автоматического управления используются ее предыдущее значение Теория автоматического управления и поправочный член. Для получения рекуррентного алгоритма достаточно вычесть из уравнения (5.49) следующее уравнение:

Теория автоматического управления

В результате получим следующую разность

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Теперь вычисляют только текущее приращение управляющей переменной Теория автоматического управления, и поэтому этот алгоритм называют «скоростным».

Следует отметить, что после небольшой модификации способа интегрирования в уравнении (5.50) под знаком суммы используют значения Теория автоматического управления вместо Теория автоматического управления.

Если для аппроксимации интеграла использовать метод трапеций, то на основании уравнения (5.48) будет получено следующее соотношение:

Теория автоматического управления

Вычитая из него соответствующее уравнение для Теория автоматического управления, получим другое выражение, описывающее динамику дискретного закона управления:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Для малых тактов квантования параметры Теория автоматического управления можно вычислить, используя параметры Теория автоматического управления аналогового ПИД-регулятора.

При больших тактах квантования способы дискретной аппроксимации непрерывных регуляторов становятся несправедливыми.

Рассмотрим простой контур управления, изображенный па рис. 5.6. Дискретная передаточная функция объекта управления с экстрапо-лятором нулевого порядка имеет вид

Теория автоматического управления

Обобщенная дискретная передаточная функция линейного регулятора записывается как

Теория автоматического управления

Этот алгоритм может быть реализован, если Теория автоматического управления. Однако соотношение порядков числителя и знаменателя может быть различным: Теория автоматического управления или Теория автоматического управления. Обычно в таких регуляторах Теория автоматического управления, а значение Теория автоматического управления выбирается равным 1.

Теория автоматического управления

В структурно оптимизируемых регуляторах порядки числителя и знаменателя передаточной функции Теория автоматического управления и Теория автоматического управления являются функциями соответствующих порядков модели объекта. Например, для апериодических регуляторов Теория автоматического управления и Теория автоматического управления. Однако в параметрически оптимизируемых регуляторах порядок регулятора может быть меньше порядка объекта, Теория автоматического управления и Теория автоматического управления. Следовательно, параметрически оптимизируемые регуляторы требуют меньших затрат машинного времени в процессе эксплуатации.

При выборе структуры параметрически оптимизируемых регуляторов обычно необходимо гарантировать, чтобы изменения задающей переменной и возмущений не приводили к появлению статической ошибки по сигналу Теория автоматического управления. На основании теоремы Теория автоматического управления — преобразования о конечном значении для выполнения этого условия необходимо, чтобы передаточная функция регулятора имела полюс Теория автоматического управления = 1.

Следовательно, простейшие алгоритмы управления Теория автоматического управления-го порядка будут иметь следующую структуру:

Теория автоматического управления

При Теория автоматического управления = 1 и соответствующем выборе параметров получаем регулятор типа ПИ, при Теория автоматического управления = 2 — типа ПИД, при Теория автоматического управления = 3 — типа ПИДД и т. д. Разностное уравнение, описывающее регулятор с передаточной функцией (5.57), имеет вид

Теория автоматического управления

Для получения хорошего качества процессов управления параметры Теория автоматического управления должны выбираться с учетом характеристик объекта. Расчет этих параметров может быть выполнен следующим образом:

а) на основе метода, использующего модель объекта управления, в результате минимизации критерия качества с использованием параметрической оптимизации, причем аналитическое решение возможно лишь для объектов и регуляторов очень низкого порядка, в остальных случаях следует применять численные методы;

б) с использованием алгоритмов параметрической настройки, позволяющих получить параметры регулятора, близкие к оптимальным для некоторого критерия. Обычно для этого необходимо оценивать либо параметры переходного процесса в системе при ступенчатом задающем воздействии, либо критическое значение коэффициента усиления и период колебаний на границе устойчивости системы;

в) последовательного увеличения значений параметров от их малых начальных значений до тех пор, пока переходный процесс в замкнутой системе не приобретет значительной колебательности.

После этого следует понемногу уменьшать значения параметров (метод проб и ошибок).

Если к системе управления не предъявляют каких-либо специфических требований и ее переходный процесс отличается простотой и малым временем установления, то для оптимизации параметров регулятора достаточно использовать методы, упомянутые в пп. бив. Если требования строги или переходный процесс оказывается сложным, медленным или существенно изменяющимся, то следует применять метод, упомянутый в п. а. Этот метод также пригоден для автоматизации проектирования регуляторов.

Задав Теория автоматического управления = 2 в уравнении (5.57) получим дискретную передаточную функцию ПИД-регулятора:

Теория автоматического управления

Запишем соотношение в соответствии с уравнением (5.58)

Теория автоматического управления

Рассматривая единичное ступенчатое изменение сигнала ошибки

Теория автоматического управления

сформируем систему уравнений для последовательных значений выходного сигнала регулятора Теория автоматического управления, следующих из (5.58):

Теория автоматического управления

В случае, когда Теория автоматического управления, дискретный регулятор соответствует непрерывному ПИД-регулятору с дополнительной задержкой сигнала на один такт. Если параметр регулятора Теория автоматического управления, то можно записать следующие соотношения для параметров Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Для положительного коэффициента передачи регулятора выполняется условие Теория автоматического управления. Таким образом, обобщая допустимые диапазоны изменения параметров динамической настройки регулятора, получим

Теория автоматического управления

Реакция регулятора на единичное ступенчатое входное воздействие приведена на рис. 5.7. Как видно из рис. 5.7, начальное значение управляющей переменной Теория автоматического управления при входном сигнале определяется величиной параметра Теория автоматического управления (рис. 5.7).

Теория автоматического управления

Определим следующие коэффициенты, характеризующие свойства регулятора (рис. 5.8):

Теория автоматического управления

Коэффициенты (5.64) при малых значениях такта квантования Теория автоматического управления связаны с соответствующими коэффициентами непрерывных ПИД-алгоритмов управления (5.8) следующими соотношениями:

Теория автоматического управления

Если рассмотренные выше коэффициенты подставить в выражение (5.59), то дискретная передаточная функция регулятора примет вид

Теория автоматического управления

Следует отметить, что рассмотренный выше алгоритм управления второго порядка является аналогом непрерывного ПИД-регу-лятора с положительными параметрами только в том случае, если выполняются условия (5.64) и (5.65).

На рис. 5.7 показана реакция такого дискретного ПИД-регуля-тора на единичный ступенчатый скачок.

На основе формул для настройки непрерывных регуляторов, приведенных в табл. 5.5, могут быть получены параметры оптимальной динамической настройки дискретных регуляторов. Например, для дискретной передаточной функции ПИД-регулятора, представленной в виде (5.66), коэффициенты передачи, дифференцирования и интегрирования дискретного ПИД-регулятора определяют по формулам:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — относительный период квантования, обусловленный процедурами квантования и фиксации сигналов;

Теория автоматического управления— относительное значение постоянной времени экстремали заданного переходного процесса.

Теория автоматического управления — относительная постоянная времени объекта, передаточная функция которого имеет вид инерционного звена первого порядка с запаздыванием.

Теория автоматического управления

Параметры дискретного ПИД-регулятора получены из соответствующих соотношений для непрерывных регуляторов путем замены в них чистого запаздывания величиной Теория автоматического управления.

Для того, чтобы эффект квантования по времени мало сказывался на динамику системы цифрового регулирования, рекомендуется выбирать период квантования из соотношения

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — время достижения выходным сигналом уровня 95 % от установившегося значения при подаче на вход объекта ступенчатого сигнала. Если объект первого порядка, то Теория автоматического управления.

Другой подход к выбору величины периода квантования основан на рекомендациях американских ученых Циглера и Никольса, согласно которым Теория автоматического управления , где Теория автоматического управления — период критических колебаний объекта управления.

В реальных условиях при управлении инерционными процессами значение Теория автоматического управления берется от 1 с до нескольких минут. При регулировании малоинерционных процессов (например, расхода жидкости) величина Теория автоматического управления может составлять десятые доли секунды. Нельзя выбирать большие периоды опроса, особенно для ответственных процессов, так как в этом случае аварийные ситуации будут ликвидироваться слишком медленно. В то же время при слишком малом периоде опроса повышаются требования к быстродействию ЭВМ и увеличивается влияние шумов.

С целью упрощения процедуры настройки цифрового ПИД-регулятора рекомендуется (согласно Циглеру и Никольсу) выбирать следующие значения отношений:

Теория автоматического управления

при

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — период критических колебаний объекта управления.

Чтобы получить приближенно оптимальный набор параметров непрерывных ПИД-регуляторов, часто применяют так называемые «правила настройки». Обычно эти правила предназначены для низкочастотных объектов регулирования.

Опубликовано большое количество модификаций дискретных алгоритмов управления, основанных на дискретизации дифференциальных уравнений непрерывных ПИД-регуляторов. Некоторые из них рассмотрены ниже.

Для уменьшения больших изменений управляющей переменной при резких изменениях задающего сигнала задающее воздействие исключают из дифференцирующего члена алгоритма функционирования ПИД-регулятора:

Теория автоматического управления

При этом используется модифицированный алгоритм

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Дополнительного уменьшения амплитуды управляющей переменной добиваются, оставляя значения задающего сигнала только в интегрирующем члене алгоритма:

Теория автоматического управления

В последнем алгоритме предпочтительнее использовать сигнал Теория автоматического управления вместо Теория автоматического управления. Рассмотренные модифицированные алгоритмы менее чувствительны к высокочастотным составляющим сигнала Теория автоматического управления, по сравнению с сигналом Теория автоматического управления. Поэтому параметры регуляторов, полученные в результате оптимизации для определенных типов возмущений, например, для возмущений на входе объекта и на выходе системы, будут отличаться незначительно. Существенные изменения управляющей переменной могут быть так же уменьшены путем ограничения скорости изменения задающей и (или) управляющей переменной. Поскольку такие ограничения оказываются эффективными для всех типов возмущений, их применение предпочтительнее использования модифицированных алгоритмов управления, описываемых уравнениями (5.70) и (5.71).

Другие модификации алгоритмов управления состоят в различных способах реализации дифференцирующей части. Часто регулируемая переменная содержит относительно высокочастотный шум, который не измеряется. Это приводит к нежелательным существенным колебаниям управляющей координаты, если дифференцирующая часть алгоритма сформирована с использованием первой разности в нерекуррентной форме

Теория автоматического управления

или рекуррентной форме (5.69)

Теория автоматического управления

Введение дифференцирующего члена в алгоритм управления часто может быть необходимым для улучшения качества процессов управления при наличии среднечастотных шумов не слишком большого уровня, поскольку в этом случае происходит приближенное сокращение полюсов объекта, что приводит к расширению областей устойчивости и возможности увеличения коэффициента передачи. Следовательно, при введении дифференцирующего члена в алгоритм управления следует, учитывая вышесказанное, выбирать его параметры для обеспечения допустимого компромисса.

Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбирать отношение Теория автоматического управления меньшим его оптимальной величины. Можно также сгладить дифференцирующие свойства алгоритма, используя четыре последовательных значения сигнала ошибки для формирования первой разности. Для этого сначала оценивается среднее значение ошибки

Теория автоматического управления

после чего все аппроксимации первой производной усредняются по отношению к Теория автоматического управления. Дифференцирующий член, представленный в нерекуррентной форме, в этом случае запишется в следующем виде:

Теория автоматического управления

Для рекуррентной формы имеем

Теория автоматического управления

Еще один подход, применимый лишь при выборе малых тактов квантования в системе, состоит в использовании такого дифференцирующего члена, как в непрерывной передаточной функции:

Теория автоматического управления

в применении соотношения

Теория автоматического управления

для аппроксимации непрерывных зависимостей. Из приведенного непрерывного в результате такой подстановки получим следующий дискретный алгоритм управления:

Теория автоматического управления

параметрами которого являются:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

для объектов, динамика которых может быть аппроксимирована передаточной функцией вида

Теория автоматического управления

Однако с помощью этих соотношений для непрерывных регуляторов можно получить параметры дискретных регуляторов, если вместо чистого запаздывания Теория автоматического управления подставить величину Теория автоматического управления, где Теория автоматического управления — аппроксимированное время задержки, обусловленное процедурами квантования и фиксации сигналов.

Правила настройки параметров, основанные на определении характеристик переходного процесса для модифицированных алгоритмов управления, приведены в табл.5.5.

Алгоритм управления:

Теория автоматического управления

Динамическая оптимизация одноконтурных систем автоматического регулирования

Метод полной компенсации в частном виде

Метод полной компенсации в частном виде — это один из методов расчета параметров оптимальной динамической настройки ПИ-регулятора для отработки скачка задания или крайнего внешнего возмущения.

Метод применяют в одноконтурной системе автоматического регулирования для объекта в виде инерционного звена второго порядка.

Теория автоматического управления

Дииамика объекта регулирования представлена в виде передаточной функции инерционного звена второго порядка без запаздывания:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи объекта;

Теория автоматического управления — большая постоянная времени объекта;

Теория автоматического управления — меньшая постоянная времени объекта;

Теория автоматического управления — оператор Лапласа. Передаточная функция ПИ-регулятора:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи ПИ-регулятора;

Теория автоматического управления — время интегрирования ПИ-регулятора.

Скачок наиболее опасного крайнего внешнего возмущения Теория автоматического управления можно заменить скачком задания на входе в регулятор.

Критерий оптимальности: считаются оптимальными такие параметры динамической настройки ПИ-регулятора, которые в замкнутой САР при отработке скачка задания обеспечат такую же динамику, как у колебательного звена с коэффициентом демпфирования Теория автоматического управления.

При этом система регулирования будет оптимальна по быстродействию в отработке скачка задания, а переходный процесс будет содержать одно колебание с максимальной величиной перерегулирования 4,3 % от скачка задания. МПКЧВ так называют, потому что происходит компенсация большей постоянной времени Теория автоматического управления передаточной функции объекта опережающим действием времени интегрирования Теория автоматического управления ПИ-регулятора, то есть для формулы (6.1) принимаем Теория автоматического управления.

Оптимальными параметрами динамической настройки ПИ-регулятора будем считать такие численные значения Теория автоматического управления и Теория автоматического управления, которые в замкнутой САР при отработке скачка задания обеспечивают переходный процесс, соответствующий колебательному звену в соответствии с принятым критерием оптимальности.

Передаточная функция замкнутой САР по задающему воздействию примет вид

Теория автоматического управления

где передаточная функция разомкнутой системы

Теория автоматического управления

Передаточная функция разомкнутой САР примет вид

Теория автоматического управления

Подставим (6.5) в (6.3):

Теория автоматического управления

Так как в качестве критерия оптимальности взято колебательное звено с коэффициентом передачи Теория автоматического управления = 1, получаем

Теория автоматического управления

Чтобы левая и правая части равенства (6.7) соответствовали друг другу, составим систему уравнений:

Теория автоматического управления

Возводим в квадрат обе части последнего равенства:

Теория автоматического управления

Из уравнения (6.9) находим Теория автоматического управления и, подставив в равенство (6.8), получаем

Теория автоматического управления

Так как Теория автоматического управления то получаем формулу для расчета оптимального значения коэффициента передачи регулятора

Теория автоматического управления

Если отработка задания не допускает перерегулирования, то коэффициент демпфирования принимается Теория автоматического управления = 1, поэтому формула (6.10) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

Для объектов с запаздыванием и передаточной функцией вида

Теория автоматического управления

применимы формулы МПКЧВ для объектов без запаздывания. В этом случае Теория автоматического управления заменяется на Теория автоматического управления, параметры динамической настройки ПИ-регулятора определяют по формулам

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Графоаналитический метод полной компенсации в общем виде

Метод полной компенсации в общем виде (МПКОВ) — это один из методов оптимальной настройки САР для оптимальной отработки крайнего внешнего возмущения. Указанный метод позволяет выбрать тип регулятора для конкретного объекта регулирования, а затем для выбранного типа регулятора вывести формулы расчета параметров оптимальной динамической настройки в соответствии с принятым критерием качества (рис. 6.2).

Теория автоматического управления

МПКОВ так называют, потому что динамика объекта регулирования представлена в общем виде:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — часть передаточной функции объекта регулирования, которая не содержит запаздывания и задана в общем виде; Теория автоматического управления — условное запаздывание;

Теория автоматического управления — оператор Лапласа.

Критерий оптимальности:

выбираем такой тип регулятора и параметры его динамической настройки, которые при отработке скачка задания обеспечивают переходной процесс, соответствующий последовательно соединенным звеньям условного запаздывания и инерционного звена первого порядка. При этом время разгона Теория автоматического управления инерционного звена принимают равным условному времени запаздывания Теория автоматического управления таким образом, чтобы максимальная скорость изменения регулируемого параметра при сработке скачка задания не способствовала появлению термических напряжений в металле котла

Теория автоматического управления

Выбранному критерию оптимальности будет соответствовать передаточная функция:

Теория автоматического управления

Принятый критерий оптимальности в виде последовательно соединенных звеньев чистого запаздывания и инерционного звена первого порядка графически можно представить в виде кривой 1 на рис. 6.3.

Теория автоматического управления

Запишем передаточную функцию замкнутой САР по задающему воздействию

Теория автоматического управления

Меняя тип регулятора и его настройки в формуле (6.17), можно получить любые переходные процессы замкнутой САР, а нужен один переходной процесс, соответствующий выбранному критерию оптимальности

Теория автоматического управления

Из равенства (6.18) находим передаточную функцию регулятора соответствующего вида и критерия оптимальности (6.16)

Теория автоматического управления

Разность Теория автоматического управления находим графическим путем. Для этого от скачка задания Теория автоматического управления графически отнимаем кривую 1 и получаем кривую 2 (см. рис. 6.3).

Кривую 2 можно представить в виде последовательно соединенных реального дифференцирующего звена и инерционного звена первого порядка:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент усиления;

Теория автоматического управления — время дифференцирования; Теория автоматического управления — постоянная времени фильтра.

При этом передаточной функции (6.20) будет соответствовать кривая 3 на рис. 6.3, а для того, чтобы выполнялось равенство (6.20), необходимо, чтобы площади Теория автоматического управления и Теория автоматического управления соответствовали друг другу, а это будет соблюдаться при выполнении следующих условий:

Теория автоматического управления

Подставив равенства (6.21), (6.22), (6.23) в передаточную функцию правой части равенства (6.20), получим

Теория автоматического управления

Подставив в передаточную функцию (6.19) передаточные функции объекта (6.14), оптимальной замкнутой САР (6.16), разности (6.24) с учетом условий (6.21) и (6.22), получим искомую передаточную функцию оптимального регулятора:

Теория автоматического управления

Если в передаточную функцию (6.25) подставить ту часть передаточной функции конкретного объекта, которая не содержит запаздывания, то формула (6.25) позволит установить тип регулятора, а затем рассчитать параметры его оптимальной динамической настройки, чтобы удовлетворить условие критерия оптимальности (6.16).

Пример 6.1.

На рис. 6.4 представлен график экспериментальной переходной характеристики объекта регулирования с запаздыванием по каналу регулирующего воздействия.

Передаточную функцию объекта регулирования представим в виде

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — часть передаточной функции объекта регулирования, которая не содержит запаздывания и задана в общем виде;

Теория автоматического управления — соответственно большая и меньшая постоянные времени передаточной функции объекта регулирования;

Теория автоматического управления

эквивалентная постоянная времени.

Теория автоматического управления

Требуется определить передаточную функцию оптимального регулятора на основе передаточной функции (6.25).

Алгоритм определения численных значений параметров передаточных функций объекта и оптимального регулятора:

  1. Проводим касательную Теория автоматического управления к переходной характеристике объекта (рис. 6.4) таким образом, чтобы как можно больше точек прямой Теория автоматического управления и переходной характеристики объекта совпали (отрезок Теория автоматического управления).
  2. Находим середину отрезка Теория автоматического управления (точка Теория автоматического управления).
  3. Восстанавливаем перпендикуляр с Теория автоматического управления.
  4. Полученный отрезок Теория автоматического управления.
  5. Опускаем перпендикуляр Теория автоматического управления на ось времени.
  6. Полученный отрезок Теория автоматического управления обозначим через Теория автоматического управления.
  7. Находим численное значение малой постоянной времени объекта Теория автоматического управления по формуле Теория автоматического управления и откладываем влево от точки Теория автоматического управления по оси времени так, чтобы Теория автоматического управления.
  8. С учетом найденного значения Теория автоматического управления определяем численное значение большей постоянной времени объекта Теория автоматического управления.
  9. Определяем численное значение условного запаздывания объекта Теория автоматического управления, где Теория автоматического управления — чистое запаздывание.

Определим структуру оптимального регулятора с использованием передаточной функции объекта в виде

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Подставив передаточную функцию (6.28) в передаточную функцию оптимального регулятора (6.25), построенного по методу полной компенсации в общем виде, получим:

Теория автоматического управления

Умножив числитель и знаменатель передаточной функции (6.29) на Теория автоматического управления запишем:

Теория автоматического управления

Из общего вида передаточной функции (6.30) следует, что для данного объекта оптимальным типовым регулятором является ПИД-регулятор с передаточной функцией вида:

Теория автоматического управления

параметры дииамичеекои наетроики которого путем сравнения соответствующих сомножителей уравнений (6.30) и (6.31) с учетом того, что

Теория автоматического управления

можно определить по следующим формулам:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — соответственно время интегрирования, время дифференцирования и коэффициент передачи регулятора.

Для получения максимального быстродействия в системе регулирования нужно принять Теория автоматического управления С учетом этого условия параметры оптимальной динамической настройки ПИД-регулятора находим по формулам метода полной компенсации в общем виде:

Теория автоматического управления

При этих настройках полное время отработки скачка задания в САР с ПИД-регулятором не превышает Теория автоматического управления в зависимости от величины зоны нечувствительности регулятора. Следует отметить, что при реализации ПИД-закона регулирования в соответствии с передаточной функцией (6.39) пропорциональная составляющая закона регулирования зависит от соотношения численных значений времени интегрирования и дифференцирования:

Теория автоматического управления

При малом значении времени дифференцирования и большой величине времени интегрирования Теория автоматического управления передаточная функция ПИД-регулятора принимает обычный вид:

Теория автоматического управления

В этом случае в качестве критерия оптимальности при отработке скачка задания можно принять колебательное звено с коэффициентом демпфирования, равным Теория автоматического управления и заданной постоянной времени разгона оптимального переходного процесса Теория автоматического управления Для расчета параметров оптимальной динамической настройки ПИД-регулятора в качестве исходной модели объекта можно использовать передаточную функцию

Теория автоматического управления

В этом случае параметры оптимальной динамической настройки ПИД-регулятора определяют по следующим формулам:

Теория автоматического управления

Эти настройки регулятора обеспечивают минимальное время отработки скачка задания. При этом величина максимального перерегулирования не превышает 5 %.

Дополнительная теория из учебников:

  1. Понятие устойчивости
  2. Общая постановка задачи устойчивости по А. М. Ляпунову
  3. Теоремы к. М. Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению
  4. Условия устойчивости линейных систем автоматического управления
  5. Алгебраические критерии устойчивости
  6. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
  7. Устойчивость нестационарных систем
  8. Методы оценки качества регулирования линейных систем
  9. Оценка качества переходного процесса при воздействии ступенчатой функции

Аналитический метод полной компенсации в общем виде

Динамика объекта регулирования задана в виде передаточной функции

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — часть передаточной функции объекта регулирования, которая не содержит запаздывания и задана в общем виде; Теория автоматического управления — условное запаздывания по каналу регулирующего воздействия;

Теория автоматического управления — оператор Лапласа.

Передаточная функция оптимального регулятора имеет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданная передаточная функция системы по задающему воздействию (критерий оптимальности), структура которой определяется структурой объекта регулирования:

Теория автоматического управления

Передаточную функцию условного запаздывания представим в следующем виде:

Теория автоматического управления

Подставив в передаточную функцию оптимального регулятора (6.46) передаточные функции (6.45), (6.47) и (6.48), получим:

Теория автоматического управления

Пример 6.2.

Передаточная функция объекта регулирования задана в виде инерционного звена первого порядка с условным запаздыванием:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Требуется определить оптимальную передаточную функцию регулятора на основе передаточной функции (6.49).

Заданная передаточная функция системы согласно (6.47) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Подставив в передаточную функцию оптимального регулятора (6.49) передаточные функции (6.51) и (6.53), получим

Теория автоматического управления

Получаем передаточную функцию реального ПИД-регулятора с одним параметром динамической настройки Теория автоматического управления который выбираем в соответствии с правилом золотого сечения, где за целое принимаем численное значение условного запаздывания Теория автоматического управления с учетом допустимой максимальной величины регулирующего воздействия.

Пример 6.3.

Передаточная функция объекта регулирования задана в виде инерционного звена второго порядка с запаздыванием:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи объекта по каналу регулирующего воздействия;

Теория автоматического управления — соответственно большая и меньшая постоянные времени передаточной функции объекта регулирования.

В этом случае заданная передаточная функция системы с учетом структуры (6.55) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

Подставив передаточные функции (6.55) и (6.56) в передаточную функцию оптимального регулятора (6.49), получим:

Теория автоматического управления

то есть передаточную функцию реального ПИДД-регулятора с инерционностью второго порядка.

Параметрическая оптимизация типовых двухконтурных систем автоматического регулирования

Параметрическая оптимизация типовых каскадных систем автоматического регулирования теплоэнергетических процессов

Рассмотрим каскадную систему автоматического регулирования (КСАР) с корректирующим и стабилизирующим регуляторами (рис. 7.1).

Теория автоматического управления

Методика определения параметров настройки регуляторов каскадной системы автоматического регулирования основана на возможности расчета одного контура (стабилизирующего или внутреннего) независимо от другого (корректирующего или внешнего). Для этого параметрическую оптимизацию стабилизирующего регулятора произведем с использованием метода частичной компенсации, а корректирующего регулятора — с использованием метода полной компенсации в общем виде.

Метод частичной компенсации предназначен для оптимальной отработки внутреннего возмущения с использованием ПИ-регулятора:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент усиления ПИ-регулятора; Теория автоматического управления — время интегрирования ПИ-регулятора; Теория автоматического управления — оператор Лапласа.

Передаточная функция опережающего участка объекта регулирования задана в виде инерционного звена второго порядка:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи опережающего участка;

Теория автоматического управления — соответственно большая и меньшая постоянные времени передаточной функции (7.2).

Критерий оптимальности — минимум интеграла квадрата ошибки регулирования при заданной степени затухания Теория автоматического управления переходного процесса:

Теория автоматического управления

Определяем параметры динамической настройки стабилизирующего ПИ-регулятора с учетом формул (5.32) и (5.33):

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — относительная постоянная времени объекта,

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления относительное время интегрирования.

При этом передаточная функция корректирующего регулятора, параметры динамической настройки которого позволяют оптимально отрабатывать крайнее внешнее возмущение, примет вид, согласно передаточной функции (6.25):

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — часть передаточной функции инерционного участка объекта регулирования, которая не содержит запаздывания Теория автоматического управления и задана в виде инерционного звена первого порядка с условным запаздыванием:

Теория автоматического управления

причем Теория автоматического управления, а малая постоянная времени дифференциатора (время фильтра)

Теория автоматического управления

В результате чего передаточная функция корректирующего регулятора примет вид ПИД-регулятора:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Параметрическая оптимизация типовых систем автоматического регулирования с дифференциатором

Структурная схема типовой двухконтурной САР с дифференциатором представлена на рис. 7.2.

Теория автоматического управления

Преобразуем ее в одноконтурную САР путем замены внутреннего контура, состоящего из регулятора, опережающего участка и дифференциатора, эквивалентной передаточной функцией:

Теория автоматического управления

При Теория автоматического управления получаем величину, обратную передаточной функции дифференциатора. Таким образом, эквивалентная передаточная функция (7.11) соответствует условному ПИ-регулятору с параметрами динамической настройки Теория автоматического управления. В результате двухконтурную САР с дифференциатором (рис. 7.2) преобразуем в одноконтурную (рис 7.3) с условным ПИ-регулятором и инерционным участком объекта регулирования.

Теория автоматического управления

Параметры оптимальной динамической настройки дифференциатора рассчитываем по методу полной компенсации в частном виде для оптимальной отработки крайнего внешнего возмущения Теория автоматического управления по передаточной функции инерционного участка объекта регулирования.

Согласно МПК в частном виде оптимальные параметры динамической настройки ПИ-регулятора рассчитываем по формулам (6.13):

Теория автоматического управления

С учетом (7.11) находим параметры динамической настройки дифференциатора через параметры настройки условного ПИ-регу-лятора для оптимальной отработки крайнего внешнего возмущения:

Теория автоматического управления

Для оптимальной отработки внутреннего возмущения настройку основного регулятора рассчитывают по структурной схеме внутреннего контура двухконтурной САР, представленной на рис. 7.4.

Теория автоматического управления

При этом следует учесть, что передаточная функция дифференциатора при достаточно больших значениях времени дифференцирования в момент времени Теория автоматического управления ведет себя как идеальное усилительное звено с коэффициентом усиления Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

В результате структурная схема САР для рис. 7.4 примет вид, как показано на рис. 7.5.

Теория автоматического управления

Коэффициент усиления дифференциатора Теория автоматического управления отнесем к опережающему участку объекта регулирования.

Для расчета настройки основного регулятора примем один из методов частичной компенсации на оптимальную отработку внутреннего возмущения Теория автоматического управления. При этом расчет настройки регулятора выполним по передаточной функции эквивалентного объекта:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Для упрощения расчета вводим относительные единицы. Находим относительный коэффициент усиления разомкнутой системы:

Теория автоматического управления

Относительная постоянная времени опережающего участка:

Теория автоматического управления

В качестве критерия оптимальности по МЧК принимаем

Теория автоматического управления

Относительное время интегрирования ПИ-регулятора

Теория автоматического управления

Относительный коэффициент усиления рассчитываем по формуле (7.14) с учетом (7.19):

Теория автоматического управления

Абсолютное значение коэффициента усиления регулятора Теория автоматического управления с учетом (7.17) и (7.18):

Теория автоматического управления

Относительное время интегрирования основного регулятора, согласно методу частичной компенсации, определяют по следующей формуле:

Теория автоматического управления

Затем рассчитывают абсолютное время интегрирования регулятора

Теория автоматического управления

Структурно-параметрическая оптимизация динамических систем

Структурно-параметрическая оптимизация на базе каскадных систем автоматического регулирования

Рассмотрим исходную каскадную систему автоматического регулирования с корректирующим и стабилизирующим регуляторами (см. рис. 7.1).

Выводим передаточную функцию оптимального регулятора, исходя из обратной модели объекта регулирования и оптимальной передаточной функции САР по задающему воздействию. Записываем передаточную функцию замкнутой САР по задающему воздействию:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция регулятора;

Теория автоматического управления — передаточная функция объекта регулирования; Теория автоматического управления — оператор Лапласа.

Передаточную функцию САР по задающему воздействию выбираем так, чтобы она соответствовала выбранному критерию качества:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления -оптимальная передаточная функция замкнутой САР по задающему воздействию:

Теория автоматического управления

из которой находим передаточную функцию оптимального регулятора:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — оптимальная передаточная функция регулятора, которая реализует оптимальную передаточную функцию замкнутой САР по задающему воздействию.

Структуру и оптимальную динамическую настройку внутреннего контура (стабилизирующий регулятор) выбираем на основе передаточной функции опережающего участка объекта регулирования:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция опережающего участка; Теория автоматического управления — коэффициент передачи;

Теория автоматического управления — постоянная времени передаточной функции опережающего участка.

В этом случае критерий оптимальности внутреннего контура при отработке скачка задания Теория автоматического управления примет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданное время инерционного звена первого порядка.

Подставив передаточные функции (8.5) и (8.6) в (8.4), получим оптимальную передаточную функцию стабилизирующего регулятора в виде идеального ПИ-регулятора:

Теория автоматического управления

Численное значение единственного параметра его динамической настройки Теория автоматического управления выбирают с использованием ряда чисел правила золотого сечения, приняв за целое Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Если передаточную функцию опережающего участка представить в виде инерционного звена второго порядка

Теория автоматического управления

то оптимальная передаточная функция стабилизирующего регулятора на базе передаточной функции (8.4) с учетом заданной передаточной функции

Теория автоматического управления

примет вид:

Теория автоматического управления

то есть реального ПИД-регулятора, где численное значение постоянной времени критерия оптимальности Теория автоматического управления находят из условия (8.8) с учетом допустимого значения максимальной величины регулирующего воздействия. Далее находим передаточную функцию эквивалентного объекта регулирования:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция инерционного участка объекта регулирования.

Затем определяют структуру передаточной функции корректирующего регулятора Теория автоматического управления с учетом структуры передаточной функции эквивалентного объекта (8.12).

В результате оптимальная передаточная функция корректирующего регулятора с учетом (8.4) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

здесь Теория автоматического управления — передаточная функция задающего фильтра;

Теория автоматического управления— передаточная функция критерия оптимальности САР по задающему воздействию Теория автоматического управления, рассчитываемая по формуле (2.8) с учетом структуры передаточной функции эквивалентного объекта регулирования (8.12).

Численное значение Теория автоматического управления выбирают, исходя из требуемого значения корректирующего воздействия с использованием ряда чисел правила золотого сечения. При этом за целое принимают численную величину условного запаздывания Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Структурную схему каскадной САР с учетом передаточной функции корректирующего регулятора (8.13) окончательно можно представить в виде, как показано на рис. 8.1.

Теория автоматического управления

Пример 8.1.

Структурно-параметрическая оптимизация на базе КСАР для объектов регулирования с самовыравниванием.

Передаточная функция опережающего участка объекта регулирования представлена в виде передаточной функции инерционного звена первого порядка

Теория автоматического управления

Передаточная функция инерционного участка объекта регулирования представлена в виде передаточной функции инерционного звена первого порядка с условным запаздыванием:

Теория автоматического управления

Необходимо определить оптимальную структуру и параметры динамической настройки системы.

Определяем оптимальные параметры динамической настройки стабилизирующего регулятора на основе передаточной функции (8.7):

Теория автоматического управления

где численные значения Теория автоматического управления находят из ряда чисел (8.8) с учетом допустимой максимальной величины регулирующего воздействия.

В этом случае передаточная функция стабилизирующего регулятора будет иметь вид

Теория автоматического управления

Далее определяем структуру корректирующего устройства на базе передаточной функции эквивалентного объекта (8.12):

Теория автоматического управления

С учетом структуры (8.21) оптимальная передаточная функция САР по задающему воздействию примет вид следующего критерия оптимальной отработки скачка Теория автоматического управления:

Теория автоматического управления

Затем находим оптимальную структуру корректирующего регулятора с учетом формул (8.13) и (8.14):

Теория автоматического управления

Выбираем следующие численные значения постоянных времени стабилизирующего и корректирующего регуляторов:

Теория автоматического управления

Схема моделирования переходных процессов оптимальной структурно-параметрической каскадной системы автоматического регулирования представлена на рис. 8.1. Графики переходных процессов при основных возмущениях приведены на рис. 8.2.

Из анализа графиков переходных процессов видно, что с уменьшением численного значения Теория автоматического управления критерия оптимальности по основной регулируемой величине качество регулирования улучшается, но при этом увеличивается максимальная величина регулирующего воздействия: например, при Теория автоматического управления полное время регулирования при отработке скачка задания в два раза меньше, чем у типового ПИД-регулятора Теория автоматического управления.

Теория автоматического управления

Пример 8.2.

Структурно-параметрическая оптимизация каскадной САР для объектов регулирования без самовыравнивапия (САР уровня воды в барабане парового котла).

Передаточная функция опережающего участка объекта регулирования представлена в виде передаточной функции инерционного звена первого порядка:

Теория автоматического управления

Передаточная функция инерционного участка объекта регулирования представлена в виде передаточной функции идеального интегрирующего звена с запаздыванием:

Теория автоматического управления

Передаточная функция крайнего внешнего возмущения имеет вид

Теория автоматического управления

Необходимо определить оптимальную структуру и параметры динамической настройки системы.

Определяем оптимальные параметры динамической настройки стабилизирующего регулятора (8.7) с учетом передаточной функции (8.24):

Теория автоматического управления

В результате передаточная функция стабилизирующего регулятора примет вид, где численные значения Теория автоматического управления находят из ряда чисел (8.8) с учетом максимальной величины регулирующего воздействия:

Теория автоматического управления

Определяем структуру корректирующего устройства на базе передаточной функции эквивалентного объекта (8.12):

Теория автоматического управления

С учетом структуры (8.30) оптимальная передаточная функция САР по задающему воздействию примет вид

Теория автоматического управления

Затем находим оптимальную структуру корректирующего регулятора с учетом формул (8.13) и (8.14):

Теория автоматического управления

С учетом формул (8.8) и (8.16) выбираем численные значения постоянных времени критериев оптимальности стабилизирующего и корректирующего регуляторов:

Теория автоматического управления

Схема моделирования переходных процессов системы при основных возмущениях представлена на рис. 8.1. Графики переходных процессов при основных возмущениях представлены па рис. 8.3.

Из графиков переходных процессов видно, что с уменьшением численного значения постоянной времени Теория автоматического управления критерия оптимальности основной регулируемой величины качество регулирования улучшается за счет увеличения максимальной величины регулирующего воздействия.

Теория автоматического управления

Структурно-параметрическая оптимизация систем автоматического регулирования с использованием модифицированного линейного упредителя Смита и передаточной функции оптимального регулятора

Структурно-параметрическая оптимизация систем автоматического регулирования с использованием модифицированного линейного упредителя Смита и передаточной функции оптимального регулятора позволяет повысить качество регулирования, однако требует реализации неполной и полной модели инерционного участка объекта регулирования с запаздыванием. Структурная схема САР представлена на рис. 8.4.

Теория автоматического управления

Передаточная функция опережающего участка объекта регулирования имеет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи опережающего участка;

Теория автоматического управления — постоянная времени опережающего участка; Теория автоматического управления — оператор Лапласа.

Передаточную функцию инерционного участка объекта регулирования представим в следующем виде:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи инерционного участка объекта;

Теория автоматического управления — постоянная времени передаточной функции инерционного участка объекта регулирования;

Теория автоматического управления — условное запаздывание по каналу регулирующего воздействия.

Для выбора структуры основного регулятора используем передаточную функцию оптимального регулятора, которую находим по передаточной функции эквивалентного объекта регулирования:

Теория автоматического управления

Заданная передаточная функция системы с учетом (8.35) при отработке скачка задания примет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданная постоянная времени критерия оптимальности переходного процесса внутреннего контура системы.

Оптимальная передаточная функция регулятора:

Теория автоматического управления

Подставив (8.35) и (8.36) в (8.37), получим передаточную функцию реального ПИД-регулятора:

Теория автоматического управления

На рис. 8.5 представлены графики переходных процессов САР (рис. 8.4) при различных значениях постоянной времени Теория автоматического управления заданной передаточной функции (8.34).

Теория автоматического управления

Из графиков переходных процессов видно, что с уменьшением численного значения Теория автоматического управления качество регулирования существенно улучшается. При отработке скачка задания время регулирования приближается к запаздыванию по каналу регулирующего воздействия, при отработке внешнего возмущения — к удвоенному значению условного запаздывания Теория автоматического управления.

Структурно-параметрическая оптимизация каскадных систем автоматического регулирования с использованием линейного упредителя Смита

Структурная схема каскадной САР с использованием линейного упредителя Смита приведена на рис. 8.6.

Теория автоматического управления

Каскадная система регулирования включает в себя внутренний (стабилизирующий регулятор — опережающий участок объекта регулирования с внутренней обратной связью) и внешний (корректирующий регулятор Смита — внутренний контур — инерционный участок объекта регулирования с главной обратной связью).

Передаточная функция опережающего участка объекта регулирования представлена в виде инерционного звена второго порядка:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи опережающего участка;

Теория автоматического управления — большая и меньшая постоянная времени опережающего участка;

Теория автоматического управления — оператор Лапласа.

Передаточная функция объекта регулирования задана в виде инерционного звена второго порядка:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи объекта по каналу регулирующего воздействия;

Теория автоматического управления — соответственно большая и меньшая постоянная времени передаточной функции объекта регулирования;

Теория автоматического управления — условное запаздывание по каналу регулирующего воздействия.

Так как численное значение постоянной времени Теория автоматического управления обычно на много больше, чем Теория автоматического управления, то передаточную функцию (8.39) представим в виде инерционного звена первого порядка:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Заданную передаточную функцию замкнутой САР внутреннего контура при отработке задающего сигнала Теория автоматического управления представим в виде

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданное время разгона экстремали оптимального переходного процесса внутреннего контура системы.

С учетом передаточных функций (8.41), (8.42) оптимальная передаточная функция стабилизирующего регулятора примет следующий вид:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи;

Теория автоматического управления — время интегрирования ПИ-регулятора, численные значения которого определяют по следующим формулам:

Теория автоматического управления

Обозначив заданное время разгона Теория автоматического управления, получим

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент, учитывающий долю Теория автоматического управления в заданном значении Теория автоматического управления, который целесообразно выбирать в соответствии с правилом золотого сечения с учетом максимальной величины регулирующего воздействия:

Теория автоматического управления

С учетом (8.40), (8.42) передаточная функция полной модели в упредителе Смита примет следующий вид:

Теория автоматического управления

а неполной модели

Теория автоматического управления

Однако так как численные значения постоянных времени Теория автоматического управления и Теория автоматического управления меньше Теория автоматического управления, передаточную функцию (8.49) можно представить в упрощенном виде:

Теория автоматического управления

где численное значение постоянной времени

Теория автоматического управления

В соответствии с этим заданную передаточную функцию системы регулирования по задающему воздействию целесообразно представить в виде инерционного звена второго порядка с одинаковыми постоянными времени Теория автоматического управления с учетом звена условного запаздывания:

Теория автоматического управления

так как при этом переходный процесс в системе будет апериодическим с заданной скоростью изменения регулируемого параметра.

В результате преобразований с учетом передаточных функций (8.50) и (8.51) оптимальная передаточная функция корректирующего регулятора упредителя Смита примет вид реального ПИД-регулятора:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

В этом случае за целое в правиле золотого сечения целесообразно принять численное значение условного запаздывания Теория автоматического управления, а коэффициент передачи регулятора представить в виде

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент, учитывающий долю Теория автоматического управления в заданном значении Теория автоматического управления, численную величину которого целесообразно выбирать из ряда чисел золотого сечения

Теория автоматического управления

Структурно-параметрическая оптимизация инвариантной системы автоматического регулирования для объектов без самовыравнивания и неизмеримыми возмущениями

Объекты регулирования без самовыравнивания описывают передаточными функциями в виде идеального интегрирующего звена с запаздыванием

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — постоянная времени интегрирующего звена;

Теория автоматического управления — время запаздывания по каналу регулирующего воздействия; Теория автоматического управления — оператор Лапласа или в виде реального интегрирующего звена:

Теория автоматического управления

На регулируемую величину влияют возмущающие воздействия. При этом самым опасным является возмущение, приложенное к выходу САР. В инвариантных САР компенсацию влияния возмущения на регулируемую величину достигают за счет введения дополнительного сигнала (с выхода устройства компенсации) на вход регулятора. На рис. 8.7 представлена инвариантная САР с неизмеряемым внешним возмущением.

Теория автоматического управления

Для определения структуры и оптимальных параметров динамической настройки регулятора применим метод структурно-параметрической оптимизации на основе передаточной функции оптимального регулятора. Для этого запишем передаточную функцию критерия оптимальности с учетом передаточной функции объекта (8.56):

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданная постоянная времени критерия оптимальности.

Подставив передаточные функции (8.56) и (8.57) в передаточную функцию оптимального регулятора (8.4), получим

Теория автоматического управления

то есть интегродифференцирующее звено.

Динамику объектов регулирования с самовыравииванием описывают передаточными функциями инерционных звеньев, а динамику объектов регулирования без самовыравнивапия — передаточными функциями интегрирующих звеньев. При этом графики переходных функций у данных объектов при единых исходных данных будут совпадать до момента времени Теория автоматического управления, когда у объекта регулирования с самовыравниванием переходная характеристика не начнет стабилизироваться на установившемся значении. Исходя из этого свойства до момента времени Теория автоматического управления нет разницы, какой передаточной функцией описывают объект регулирования (передаточной функцией интегрирующего звена или передаточной функцией инерционного звена). Более того, если до момента времени Теория автоматического управления, регулятор питания завершит переходный процесс, то его настройка будет считаться оптимальной. Исходя из этого передаточную функцию объекта регулирования (8.56) для вывода передаточной функции оптимального регулятора представим в виде апериодического звена второго порядка (8.59), как для объекта регулирования с самовыравииванием:

Теория автоматического управления

В этом случае передаточная функция регулятора (8.58) будет иметь вид реального ПИД-регулятора:

Теория автоматического управления

Условие компенсации эквивалентного внешнего возмущения Теория автоматического управления примет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция устройства компенсации внешнего возмущения;

Теория автоматического управления — передаточная функция САР по задающему воздействию, равная критерию оптимальности:

Теория автоматического управления

Из равенства (8.61) получаем:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — передаточная функция разомкнутой системы по каналу внешнего возмущения.

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управлениязаданная постоянная времени критерия оптимальности устройства компенсации внешнего возмущения.

Приняв Теория автоматического управления и подставив в (8.64), получим передаточную функцию дифференциатора:

Теория автоматического управления

Выбор численных значений Теория автоматического управления осуществляют в соответствии с правилом золотого сечения. При этом за целое принимают эквивалентную постоянную времени запаздывания по каналу регулирующего воздействия Теория автоматического управления.

Пример 8.3.

Структурная схема инвариантной САР представлена на рис. 8.7. Передаточная функция объекта регулирования представлена выражением (8.56), где

Теория автоматического управления

Передаточная функция внешнего возмущения расходом перегретого пара с явлением «набухания уровня» воды в барабане котла имеет следующий вид:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления

Передаточная функция топочного возмущения имеет вид:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент усиления возмущения; Теория автоматического управления — постоянная времени возмущения.

В качестве передаточной функции модели объекта регулирования Теория автоматического управления примем передаточную функцию (8.45), а в качестве значений заданной постоянной времени критерия оптимальности:

Теория автоматического управления

Графики переходных процессов САР с реальным ПИД-регулятором (8.60) при основных возмущениях представлены на рис. 8.8.

Теория автоматического управления

Из анализа графиков переходных процессов видно, что с уменьшением численного значения Теория автоматического управления качество регулирования улучшается, но при этом увеличивается величина регулирующего воздействия.

Структурно-параметрическая оптимизация систем автоматического управления нейтронной мощностью ядерного реактора аэс

Структурная схема системы автоматического управления (САУ) нейтронной мощностью ядерного реактора АЭС приведена на рис. 9.1.

Теория автоматического управления

Объект регулирования с передаточной функцией Теория автоматического управления, описывающий кинетику нейронов, соответствует типовому колебательному звену вида

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи звена; Теория автоматического управления — постоянная времени;

Теория автоматического управления — коэффициент демпфирования. Местная температурная обратная связь с передаточной функцией Теория автоматического управления соответствует инерционному звену первого порядка:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи звена; Теория автоматического управления — постоянная времени.

При этом ЛСУ обеспечивает отрицательную обратную связь, работающую в режиме обычного вычитания.

Запаздывание главной обратной связи системы управления соответствует звену чистого запаздывания:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — время чистого запаздывания.

Необходимо определить тип регулятора, обеспечивающего при отработке задающего воздействия требуемое быстродействие и отсутствие или минимальную величину перерегулирования, а также рассчитать значения параметров его оптимальной динамической настройки.

Передаточная функция внутреннего контура системы управления с учетом передаточных функций (9.1) и (9.2) примет следующий вид:

Теория автоматического управления

где

Теория автоматического управления
Теория автоматического управления

Структурно-параметрическая оптимизация САУ на основе передаточной функции оптимального регулятора

С учетом структуры передаточной функции эквивалентного объекта (9.4) заданная передаточная функция системы управления по задающему воздействию Теория автоматического управления примет вид

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — заданная постоянная времени, численное значение которой определяют по правилу золотого сечения, приняв за целое численное значение времени чистого запаздывания главной обратной связи с учетом максимальной величины регулирующего воздействия.

Таким образом, заданная передаточная функция системы управления относительно задающего воздействия (9.10) является критерием оптимальности при выборе структуры системы управления и параметров динамической настройки управляющего устройства.

Передаточная функция оптимального управляющего устройства с учетом запаздывания сигнала главной обратной связи (9.3) представим в следующем виде:

Теория автоматического управления

Подставив передаточные функции (9.4) и (9.10) в (9.11), получим искомую передаточную функцию оптимального управляющего устройства:

Теория автоматического управления

де передаточная функция фильтра Теория автоматического управления

Теория автоматического управления

В результате структурная схема моделирования переходных процессов системы управления примет вид, представленный па рис. 9.2.

Теория автоматического управления

Графики переходных процессов структурной схемы моделирования переходных процессов САУ нейтронной мощностью ядерного реактора АЭС на основе передаточной функции оптимального регулятора представлены на рис. 9.3.

Теория автоматического управления

Из анализа графиков переходных процессов следует, что САУ хорошо отрабатывает задание, однако имеет большую динамическую ошибку при отработке внутреннего возмущения.

Каскадная система автоматического регулирования мощности ядерного реактора АЭС

Для качественной отработки внутреннего возмущения используем каскадную систему автоматического управления (КСАУ), структурная схема которой приведена на рис. 9.4, где внутреннее возмущение оптимально отрабатывается внутренним контуром со стабилизирующим регулятором.

Теория автоматического управления

Здесь эквивалентный участок объекта описывается передаточной функцией (9.4).

При этом передаточная функция формирующего задание фильтра

Теория автоматического управления

здесь Теория автоматического управления — заданная постоянная времени передаточной функции внутреннего контура со стабилизирующим регулятором, передаточная функция которого соответствует передаточной функции оптимального регулятора для опережающего участка объекта регулирования с передаточной функцией в виде инерционного звена первого порядка:

Теория автоматического управления

где Теория автоматического управления — коэффициент передачи опережающего участка;

Теория автоматического управления — постоянная времени опережающего участка.

Передаточная функция стабилизирующего регулятора с учетом передаточной функции (9.15) и (9.16) примет вид

Теория автоматического управления

Причем численное значение постоянной времени Теория автоматического управления выбирают из ряда чисел правила золотого сечения. При этом в качестве целого принимают Теория автоматического управления с учетом максимальной величины регулирующего воздействия. Причем структуру передаточной функции корректирующего устройства Теория автоматического управления выбирают с учетом структуры произведения передаточных функций Теория автоматического управления, то есть для выравнивания порядка числителя и знаменателя передаточной функции фильтра Теория автоматического управления должна иметь вид

Теория автоматического управления

где численное значение постоянной времени Теория автоматического управления выбирают из ряда чисел правила золотого сечения из условия:

Теория автоматического управления

Графики моделирования переходных процессов каскадной системы автоматического управления мощности ядерного реактора АЭС представлены на рис. 9.5.

Из анализа графиков переходных процессов видно, что с уменьшением численного значения Теория автоматического управления качество регулирования улучшается. Максимальная динамическая ошибка регулирования при отработке внутреннего возмущения и величина регулирующего воздействия уменьшаются до 10 раз по сравнению со схемой, приведенной на рис. 9.2 (см. графики на рис. 9.3). Величина регулирующего воздействия при отработке скачка задающего воздействия также уменьшается и практически одинакова при рассмотренных значениях Теория автоматического управления. Таким образом, структурно-параметрическая оптимизация САР мощности ядерного реактора позволяет изменять нагрузки с заданной допустимой скоростью, а также получать максимально-допустимую величину ошибки регулирования при отработке внутреннего возмущения.

Теория автоматического управления