Начертательная геометрия

Оглавление:

Начертательная геометрия

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «Начертательная геометрия».

Лекции подготовлены для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «начертательная геометрия».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, правила и примеры.

Начерта́тельная геоме́трия — инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов для исследования свойств геометрических объектов. Практически начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов трёхмерного евклидова пространства. Исходные данные должны быть представлены в виде двух независимых проекций. В большинстве задач и алгоритмов используются две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. В настоящее время дисциплина не имеет практической ценности в силу развития вычислительной техники и аппарата линейной алгебры, но, вероятно, незаменима как составляющая общего инженерного образования на машиностроительных и строительных специальностях. Начерта́тельная геоме́трия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проецирования (проложения) перпендикулярами на некоторые три плоскости, которые рассматриваются затем совмещёнными одна с другой. wikipedia.org/wiki/Начертательная_геометрия

Введение в начертательную геометрию

Геометрия (греч. Начертательная геометрия — Земля, Начертательная геометрия — мерить) является разделом математики, изучающим пространственные отношения объектов материального мира и их обобщения.

В геометрии выделяют несколько разделов.

Элементарная геометрия — геометрия точек, прямых и плоскостей, а также фигур на плоскости и тел в пространстве. Включает в себя планиметрию и стереометрию. Традиционно считается, что родоначальниками геометрии являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в науку. Превращение это произошло путём абстрагирования от всяких свойств тел, кроме взаимного положения и величины. Наукой геометрия стала, когда началось установление обших закономерностей.

Греки составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 лет до и. э. «Начала» Евклида. Этот труд и поныне остаётся образцовым изложением аксиоматического метода — все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явных и недоказываемых предположений — аксиом.

Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов.

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции и связанная с попыткой построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом. Первую такую полную систему аксиом создал Д. Гильберт в 1899 г, она состоит из 20 аксиом, разбитых на 5 групп.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода. Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. Изучает линии, векторы, фигуры и преобразования, которые задаются алгебраическими уравнениями в аффинных или декартовых координатах, методами алгебры.

Одновременно Паскалем и Дезаргом было начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел геометрии получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями. Дифференциальная геометрия изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, а также их отображения.

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема понятию интеграла и т.д.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 г.). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовых геометрий — в первую очередь гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского) и эллиптической (геометрии Римана).

Геометрия Лобачевского — геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых (так называемого пятого постулата Евклида), которая заменяется на гиперболическую аксиому о параллельных прямых (аксиому Лобачевского). Теория создана и разработана Н. И. Лобачевским, который впервые сообщил о ней 23 февраля 1826. Ранее независимо от него и друг от друга к аналогичным выводам приходили Карл Гаусс и Янош Бойяи, но их труды не получили своевременной известности.

Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия. Родоначальником римановой геометрии является немецкий математик Бернхард Риман, который изложил её основные понятия в 1854 году.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Начертательная геометрия для 1 курса

Роль, предмет и основные задачи курса начертательной геометрии

В ряду геометрических наук особое место занимает начертательная (дескриптивная) геометрия — один из разделов геометрии, особенностью которой, отличающей ее от других направлений геометрической науки, является графический метод отображения и исследования геометрических задач и закономерностей с помощью чертежа, т.е. в начертательной геометрии именно чертеж является основным средством, с помощью которого изучаются свойства фигур.

Исключительное значение чертежа в начертательной геометрии обусловливает ряд требований, предъявленных к нему.

Наиболее существенными из этих требований являются следующие:

  1. обратимость — свойство чертежа (изображения), позволяющее по нему однозначно восстановить действительную форму и размеры предмета, а также его положение в пространстве;
  2. наглядность — свойство чертежа, дающее возможность легко составить по нему пространственное представление о предмете;
  3. единство условностей, принятых при выполнении изображения: они должны быть такими, чтобы каждый человек мог прочесть чертеж, выполненный другим лицом;
  4. геометрическую равноценность оригиналу, т.е. чертеж должен обеспечивать возможность выполнения на изображении тех же геометрических операций, которые выполнимы па самом предмете.
  5. точность графических решений.

Основное содержание курса начертательной геометрии сводится к следующим основным задачам:

  1. Исследование и изучение законов перехода от пространственного представления геометрических фигур к ее планиметрическому изображению (чертежу) на плоскости.
  2. Исследование и изучение законов воспроизведения в пространстве элементов геометрической формы по данному планиметрическому изображению (чертежу).
  3. Изучение и исследование методов графического решения пространственных задач с помощью изображений (чертежей).

В связи с этим определение предмета начертательной геометрии можно сформулировать так: начертательная геометрия является математической наукой о методах построения плоских геометрических моделей трехмерного пространства и способах решения задач геометрического характера (позиционных, метрических и конструктивных) с их помощью.

Позиционными задачами называются задачи на взаимную принадлежность и пересечение геометрических тел, метрическими — на определение натуральных величин линейных или угловых параметров фигур. Построение геометрических тел, отвечающих заданным условиям, составляет содержание конструктивных задач.

Геометрических фигур много, однако к основным (базовым) фигурам геометрического пространства относятся обычно всего лишь три: точка, прямая и плоскость. Геометрическим пространством в геометрии принято называть совокупность однородных объектов. Чаще всего оно состоит из множества точек, прямых и плоскостей. В зависимости от свойств объектов геометрическое пространство наделяется различными свойствами. Так, евклидово пространство использует систему аксиом Евклида-Гильберта.

Любая геометрическая фигура любой степени сложности может быть представлена как совокупность базовых фигур: точки могут быть вершинами, прямые — ребрами, отсеки плоскостей — гранями. Часть плоскости, ограниченная лежащей в ней замкнутой линией, называется отсеком.

Принятые обозначения для изучения начертательной геометрии

Точки в пространстве — прописные буквы латинского алфавита Начертательная геометрия или цифрами 1,2,3 ….

Произвольные линии с пространстве — строчные буквы латинского алфавита Начертательная геометрия….

Прямые, параллельные плоскостям проекций — горизонтали — Начертательная геометрия, фронтали — Начертательная геометрия, профильные прямые Начертательная геометрия.

Плоскости общего положения, поверхности — заглавные буквы греческого алфавита Начертательная геометрия

Плоскости проекций — буква греческого алфавита Начертательная геометрия с добавлением нижнего индекса 1,2,3…

Основные плоскости проекций: горизонтальная — Начертательная геометрия фронтальная Начертательная геометрия, профильная — Начертательная геометрия.

Проекции точек, прямых и плоскостей на чертеже обозначаются теми же буквами, что и в пространстве, с добавлением подстрочного индекса 1, 2, 3, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены.

Обозначение основных операций: совпадение отмечается знаком Начертательная геометрия ; взаимная принадлежность — знаком Начертательная геометрия ; пересечение отмечается знаком Начертательная геометрия;

результат построения (логическое следствие) — знаком Начертательная геометрия .

Метод проекций и его виды

Законы перехода от пространственного представления о предмете к его плоскому изображению — чертежу и от чертежа к натуральным формам предмета в пространстве составляют суть метода проекций. Чертежи, построенные с помощью этого метода, называют проекционными.

Метод проекций предполагает наличие плоскости, па которой строится изображение — плоскости проекций, геометрической фигуры, проецирующих лучей.

Построение проекционного изображения фигуры сводится к двум основным операциям проецирования и сечения.

Операция проецирования состоит в замене оригинала геометрической фигуры совокупностью проецирующих прямых, проходящих через центр проекций Начертательная геометрия.

Операция сечения состоит в пересечении пучка проецирующих лучей плоскостью проекций, т.е. получению плоского сечения.

Проекции, полученные при помощи пучка проецирующих лучей, выходящих из одной точки — центра проекций, называются центральными или коническими. Изображения предметов, построенные в центральных проекциях, ближе всего к действительному зрительному восприятию, т.к. соответствуют физике человеческого зрения. Но на таких изображениях многие элементы предмета искажаются. Центральные проекции широко применяются в архитектуре, аэрофото геодезии.

При удалении центра проецирования в бесконечность проецирующие лучи будут взаимно параллельны. Проекции, полученные при помощи параллельных проецирующих лучей, называются параллельными или цилиндрическими и являются частным видом центральных проекций.

Для того, чтобы получить изображение точки на плоскости необходимо через неё провести проецирующий луч и найти точку пересечения его с плоскостью проекций (рис. 1.1). Это изображение называется проекцией точки.

Начертательная геометрия

В зависимости от угла между проецирующими лучами и плоскостью проекций параллельные проекции делятся на прямоугольные и косоугольные.

Если направление проецирующего луча изменить, то на той же плоскости Начертательная геометрия можно построить множество проекций одной и той же точки. Очевидно, для того, чтобы одной точке пространства отвечало бы единственное изображение, надо задать определённое направление проецирующего луча.

Если направление проецирования перпендикулярно Начертательная геометрия — прямоугольное, если не перпендикулярно — косоугольное.

Параллельные проекции предмета вместе с осями прямоугольных координат, к которым отнесен предмет, называют аксонометрическими ( или параллельной аксонометрией ). Аксонометрические изображения являются достаточно наглядным изображением предмета, на них размеры предметов искажаются в меньшей степени, чем в центральных.

Параллельная прямоугольная проекция предмета на плоскость называется ортогональной проекцией, при этом направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций. Ортогональные проекции в свою очередь являются частным случаем параллельных проекций. Эти проекции являются основным методом построения изображений во всех отраслях техники благодаря простоте построений и измерений по ним.

Начертательная геометрия

В геодезии и топографии находят применение проекции с числовыми отметками, представляющие собой параллельные прямоугольные проекции на одну плоскость, при этом каждая проекция точки снабжается числом, характеризующим удаление точек изображаемого предмета от плоскости проекций.

Кроме указанных выше четырех видов проекционных изображений, получивших наибольшее распространение в большинстве отраслей техники, существуют специальные виды проекций, появление которых связано со специфическими требованиями, отсутствующими в рассмотренных типах проекций.

К их числу относятся стереографические ( в картографии), векторные или федоровские ( в горном деле и кристаллографии), а также применяемые в этих же областях циклографические проекции.

Для определения положения предмета в пространстве, т.е. получения обратимого чертежа, в разных видах проекций необходимы дополнительные условия, например, наличие еще одной или даже двух дополнительных проекций.

Чертеж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций фигуры, называется комплексным чертежом. Если на чертеже присутствуют две проекции, чертеж называется двухкартинным, если одна — однопартийным.

Перспективные, аксонометрические проекции и проекции с числовыми отметками относятся к однокартинным чертежам и будут рассмотрены позже, ортогональные же проекции являются двухкартинными чертежами.

Рассмотрение методов проецирования начнем с ортогонального параллельного проецирования, являющегося основой построения современных технических изображений.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по начертательной геометрии

Ортогональное параллельное проецирование

Для того, чтобы построить параллельную проекцию геометрической фигуры, необходимо через каждую её точку провести проецирующие лучи, параллельные заданному направлению и найти точки пересечения их с плоскостью проекций.

Отметим некоторые основные свойства параллельных проекций.

Проекция точки — точка.

Проекция прямой в общем случае является прямой (рис. 1.1). В частном случае, если направление прямой совпадает с направлением проецирования, проекция прямой — точка.

Множество проецирующих лучей, проходящих через точки прямой, будет представлять собой плоскость, которую называют проецирующей.

Пересечение проецирующей плоскости с плоскостью проекций и есть проекция прямой.

Совокупность проецирующих лучей может представлять собой и проецирующую поверхность — цилиндрическую или призматическую, если направление образующих поверхности совпадает с направлением проецирования.

Если точка принадлежит прямой, то и проекция ее принадлежит проекции этой прямой.

Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков. Свойство следует из подобия треугольников Начертательная геометрия и Начертательная геометрия (где Начертательная геометрияНачертательная геометрия).

Проекции параллельных прямых параллельны, а длины их находятся в том же соотношении, как и длины самих отрезков (рис.1.2.).

Поскольку проецирующие плоскости Начертательная геометрия и Начертательная геометрия параллельны, то и линии пересечения их плоскостью проекций — тоже параллельны, т.е. Начертательная геометрия.

При параллельном перемещении плоскости проекций величина проекции прямой не меняется. На рис.1. 1. параллельные плоскости Начертательная геометрия и Начертательная геометрия пересекаются плоскостью £ по параллельным прямым.

Любая фигура, расположенная в плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

Начертательная геометрия

Метод Монжа. Комплексный чертеж точки

Способ построения обратимого чертежа на основе ортогонального параллельного проецирования был предложен французским ученым Гаспаром Мон-жем.

Для построения проекций геометрической фигуры выбираются две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых вертикальна, вторая — горизонтальна.

Обозначение этих плоскостей проекций: Начертательная геометрия — горизонтальная плоскость проекций; Начертательная геометрия — фронтальная плоскость проекций.

Линия их пересечения Начертательная геометрия называется осью координат (абсцисс).

Эти две плоскости делят все пространство на 4 части или четверти. Порядок отсчета дан на рисунке 1.3.

Направление проецирования при этом принимают перпендикулярным соответствующей плоскости проекций.

Спроецируем некоторую точку Начертательная геометрия на плоскости Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, получим проекции: Начертательная геометрия — горизонтальную, Начертательная геометрия — фронтальную.

Проецирующие прямые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия будут определять проецирующую плоскость, перпендикулярную к Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, а следовательно и к Начертательная геометрия, отсюда Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Отрезок Начертательная геометрия — показывает расстояние точки до плоскости Начертательная геометрия, отрезок Начертательная геометрия — до плоскости Начертательная геометрия.

Если заданы проекции Начертательная геометрия и Начертательная геометрия точки, то по ним можно найти единственную точку А пространства. Для этого из каждой проекции к плоскостям проекций Начертательная геометрия и Начертательная геометрия надо восставить перпендикуляры, которые пересекутся в единственной точке Начертательная геометрия. Итак, две проекции вполне определяют положение геометрической фигуры в пространстве, а следовательно, могут заменить эту фигуру.

Для того, чтобы получить плоский чертеж или эпюр (от фр. ерше), совместим плоскость Начертательная геометрия с плоскостью Начертательная геометрия вращая Начертательная геометрия вокруг оси Начертательная геометрия по направлению, указанному на чертеже. В результате совпадения плоскостей проекций получим эпюр Монжа, или комплексный чертеж точки, состоящий их двух проекций Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, которые будут лежать на одной прямой, перпендикулярной оси Начертательная геометрия (рис. 1.4.).

Начертательная геометрия

Таким образом, под методом Монжа понимается параллельное ортогональное проецирование фигуры на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых вертикальна, а вторая горизонтальна, с последующим поворотом горизонтальной плоскости на Начертательная геометрия до совмещения с вертикальной.

Линия Начертательная геометрия, соединяющая на чертеже две проекции одной и той же точки, называется линией связи. Начертательная геометрия.

Такой чертеж является обратимым, т.к. повернув плоскость Начертательная геометрия в обратном направлении и произведя операции обратные проецированию восстановим единственное положение точки Начертательная геометрия.

Необходимо отметить, что сама точка-оригинал на чертеже отсутствует. Ортогональное проецирование точки пространства на взаимно перпендикулярные плоскости проекций и последующее совмещение этих плоскостей с одной плоскостью чертежа создает комплексный чертеж, являющийся плоскостной моделью пространства, который обладает всеми свойствами самостоятельного пространства.

В зависимости от положения точки в пространстве эпюр ее будет видоизменяться. Так, если точка во второй четверти, то на чертеже проекции ее располагаются выше оси Начертательная геометрия (рис.1.5.). Эпюр точки, расположенной в третьей четверти показан на рис. 1.6.; в четвертой — на рис. 1.7.

Если же она принадлежит плоскости Начертательная геометрия — рис. 1.8, или Начертательная геометрия — рис. 1.9, оси Начертательная геометрия — рис.1.10.

Начертательная геометрия

Таким образом, зная, как расположены проекции точки относительно оси Начертательная геометрия, можно по чертежу определить, в какой четверти расположена точка и насколько удалена она от плоскостей проекций.

В некоторых случаях для обеспечения большей наглядности проекций и облегчения понимания формы предмета прибегают к использованию третьей плоскости проекций. Эта плоскость, перпендикулярная к двум имеющимся, называется профильной и обозначается Начертательная геометрия. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов, называемых октантами, порядок нумерации которых приведен на рис. 1.11.

Показанные на этом рисунке координатные оси Начертательная геометрия, Начертательная геометрия и Начертательная геометрия имеют положительные направления. Они соответствуют правой или европейской системе расположения проекций. Ось Начертательная геометрия направлена от начала координат влево, Начертательная геометрия вперед к наблюдателю, Начертательная геометрия — вверх. Обратные направления координатных осей считают отрицательными.

При построении комплексного чертежа в системе трех плоскостей горизонтальная плоскость проекций совмещается с фронтальной плоскостью проекций гак, как указано выше, а профильная плоскость совмещается с фронтальной вращением против часовой стрелки вокруг оси Начертательная геометрия ( если смотреть сверху).

Несмотря на то, что точки могут располагаться в разных октантах, для простоты построения чертежей обычно пользуются только первым октантом.

Комплексный чертеж точки, лежащей в 1 октанте, в системе грех проекций показан на рис. 1.12. По нему видно, что по двум любым ортогональным проекциям точки можно построить третью проекцию этой точки. Комплексный чертеж в системе трех проекций является трехкартииным.

На комплексном чертеже положение точки в пространстве определяется при помощи отрезков прямых, графически показывающих расстояние от точки до соответствующей плоскости проекций. Длины этих отрезков, измеренные установленной единицей длины, называют координатами точки.

Расстояние от точки до плоскости Начертательная геометрия — аппликата.

Расстояние от точки до плоскости Начертательная геометрия — ордината.

Расстояние от точки до плоскости Начертательная геометрия — абсцисса.

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Три координаты точки в совокупности составляют определитель точки, условная запись которого Начертательная геометрия. Положение соответствующей проекции точки определяют две координаты:

  • фронтальную проекцию на плоскости Начертательная геометрия определяют координаты Начертательная геометрия и Начертательная геометрияНачертательная геометрия;
  • горизонтальную проекцию на плоскости Начертательная геометрия определяют координаты Начертательная геометрия и Начертательная геометрияНачертательная геометрия;
  • профильную проекцию на плоскости Начертательная геометрия определяют координаты Начертательная геометрия и Начертательная геометрия Начертательная геометрия.

Две точки, которые принадлежат одному проецирующему лучу, называют конкурирующими. На рис. 1.13 это точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, лежащие на одной горизонтально проецирующей прямой. Они могут использоваться для определения видимости элементов.

Начертательная геометрия

Из двух горизонтально-конкурирующих точек на горизонтальной проекции видима та, которая в пространстве расположена выше.

Это означает, что для того чтобы определить видимость горизонтально-конкурирующих точек, необходимо через точку, в которой совпадают их горизонтальные проекции, провести вертикальную линию связи до пересечения с фронтальными проекциями этих точек. Видимой на горизонтальной проекции будет та точка, фронтальная проекция которой будет выше. На рис. 1.13 на виде сверху видимой является точка Начертательная геометрия.

Из двух фронтально-конкурирующих точек па фронтальной плоскости проекций будет видна та, которая будет расположена ближе к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости проекций.

Поэтому, чтобы определить видимость конкурирующих точек па фронтальной проекции, необходимо через точку, в которой совпадают их фронтальные проекции, провести вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальными проекциями этих точек. Видимой на фронтальной проекции будет та точка, горизонтальная проекция которой будет удалена дальше от плоскости Начертательная геометрия.

Прямая и плоскость как основные элементы геометрического пространства

Проекции прямой Прямые общего и частного положения. Следы прямой.

Относительное положение двух прямых. Плоскость Способы задания плоскости.

Проекции прямой линии

Прямая линия в пространстве определяется двумя точками, а так как проекция прямой — прямая, то на чертеже она может быть задана проекциями двух ее точек (рис. 2Л).

Очевидно, что пара проекций прямой Начертательная геометрия и Начертательная геометрия определяет в пространстве единственную прямую. Действительно, если Начертательная геометрия и Начертательная геометрия то Начертательная геометрия ( рис. 2.2.).

Если точка принадлежит прямой, то ее горизонтальная проекция будет принадлежать горизонтальной проекции прямой, а фронтальная проекция -фронтальной проекции прямой (рис.2.2.), т.е. Начертательная геометрия и Начертательная геометрия. Если же хотя бы одна проекция точки не совпадает с соответствующей проекцией прямой, то данная точка не принадлежит прямой.

На рис. 2.2. точка Начертательная геометрия не принадлежит отрезку Начертательная геометрия, т.к. ее фронтальная проекция Начертательная геометрия не принадлежит фронтальной проекции отрезка Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Точка, лежащая на прямой, делит ее в том же соотношении, в каком проекции точки делят соответствующие проекции прямой. Согласно этому свойству параллельного проецирования Начертательная геометрия но и Начертательная геометрияНачертательная геометрия, тогда Начертательная геометрия ( рис 2.3). Следовательно, для того, чтобы найти па чертеже проекцию точки, которая в пространстве делит отрезок Начертательная геометрия в отношении 1:3, достаточно разделить только одну проекцию.

Начертательная геометрия

В зависимости от положения прямой относительно плоскостей проекций прямые делятся па прямые обшего и частного положения.

Прямые общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций, частного — параллельны одной или двум плоскостям проекций.

Прямые, параллельные одной плоскости проекций, называются прямыми уровня, параллельные двум и, как следствие, перпендикулярные третьей плоскости проекций — проецирующими.

Чертеж прямой частного положения отличается от чертежа прямой общего положения. На рис. 2.4 показана прямая а, параллельная горизонтальной плоскости проекций — горизонталь. Ее определяющим признаком является фронтальная проекция, расположенная параллельно оси Начертательная геометрия. Таким образом, если прямая Начертательная геометрия, то Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

На рис. 2.5. показана вторая часто встречающаяся линия частного положения — фронталь, которая параллельна плоскости Начертательная геометрия. Ее горизонтальная проекция параллельна оси Начертательная геометрия.

Следовательно, если прямая Начертательная геометрия,то ее горизонтальная проекция Начертательная геометрия.

Таким образом, у прямой уровня направление одной из проекций постоянно — параллельно оси координат.

Начертательная геометрия

В таблице 1.1 приведены названия, наглядные изображения, чертежи и характерные признаки прямых частного положения.

Начертательная геометрия

Следы прямой

Следами прямой называются точки пересечения ее с плоскостями проекций (рис.2. 6.).

В общем случае прямая общего положения в системе трех плоскостей проекций может иметь три следа ( горизонтальный, фронтальный и профильный ) -три точки пересечения с плоскостями Начертательная геометрия, Начертательная геометрия и Начертательная геометрия соответственно.

Прямые частного положения имеют два ( прямые уровня ) или даже один след ( проецирующие прямые ).

Для того, чтобы найти точку пересечения прямой общего положения с плоскостью Начертательная геометрия — горизонтальный след, необходимо:

Продлить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Провести перпендикуляр к оси Начертательная геометрия до пересечения с горизонтальной проекций прямой

Начертательная геометрия

Проекции Начертательная геометрия и Начертательная геометрия — определяют положение горизонтального следа, при этом сам след совпадает со своей горизонтальной проекцией.

Для нахождения фронтального следа необходимо:

Продлить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Провести перпендикуляр к оси Начертательная геометрия до пересечения с фронтальной проекций прямой

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия и Начертательная геометрия — проекции фронтального следа, при этом сам след совпадает со своей фронтальной проекцией.

Начертательная геометрия

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Относительное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться, т.е. не пересекаться и пе быть параллельными.

Судить по эпюру об относительном расположении прямых в каждом отдельном случае можно по следующим признакам:

Если прямые параллельны, то одноименные проекции их на любую плоскость также параллельны Начертательная геометрия. Справедливо и обратное: если на эпюре одноимённые проекции двух прямых параллельны, то параллельны и сами прямые в пространстве Начертательная геометрия

Па рис.2.7. дан эпюр параллельных прямых, занимающих в пространстве общее положение относительно плоскостей проекций.

Начертательная геометрия

На рис. 2.8 показан частный случай: прямые лежат в горизонтальной проецирующей плоскости (т. е. в плоскости, перпендикулярной плоскости Начертательная геометрия).

Для того, чтобы судить по эпюру о параллельности прямых, достаточно двух проекций каждой прямой. Только в случае профильных прямых могут возникнуть затруднения. Действительно, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых (рис. 2.9.) всегда параллельны, но отсюда не следует, что и сами прямые параллельны: необходимо ещё, чтобы и профильные проекции их были параллельны. На рис.2.9. отрезки прямых Начертательная геометрия и Начертательная геометрия параллельны.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноимённых проекций (Начертательная геометрия и Начертательная геометрия) лежат на одном перпендикуляре к оси Начертательная геометрия (рис.2.10.) Это следует из того, что Начертательная геометрия и Начертательная геометрия являются проекциями одной и той же точки Начертательная геометрия, общей для обеих прямых.

Если Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, то Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

В частном случае одна пара одноимённых прямых проекций двух пересекающихся прямых может совпадать. Это значит, что плоскость, которую определяют обе прямые, перпендикулярна к соответствующей плоскости проекций (рис, 2.11).

Угол, образованный пересекающимися прямыми, проецируется без искажения только тогда, когда его плоскость параллельна плоскости проекций. Прямой же угол проецируется без искажения и тогда, когда только одна его сторона параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна (теорема о проекциях прямого угла).

Как известно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны. Следовательно, если на эпюре ни один из признаков пересечения или параллельности не выполняется, то мы имеем дело с эпюром скрещивающихся прямых. Так на эпюре (рис. 2.12) одноимённые проекции прямых Начертательная геометрия и Начертательная геометрия пересекаются в точках Начертательная геометрия и Начертательная геометрия лежащих на различных перпендикулярах к оси хо. Прямые же в пространстве не пересекаются, но и не параллельны.

Точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия являются здесь проекциями разных точек. В точку Начертательная геометрия проецируются точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, из которых одна принадлежит прямой Начертательная геометрия, другая — прямой Начертательная геометрия, в точку Начертательная геометрия проецируются точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия тоже находящиеся на разных прямых.

Точки скрещивающихся прямых, лежащие попарно на проецирующих прямых, называются конкурирующими. Они используются для определения видимости элементов.

Для того чтобы определить видимость на горизонтальной проекции двух скрещивающихся прямых, необходимо через точку пересечения горизонтальных проекций этих прямых провести линию связи до пересечения с фронтальными проекциями этих же прямых. Точки пересечения будут фронтальными проекциями конкурирующих точек. Видимой будет та точка, фронтальная проекция которой будет выше.

Чтобы определить видимость на фронтальной проекции двух скрещивающихся прямых, необходимо через точку пересечения фронтальных проекций этих прямых провести линию связи до пересечения с горизонтальными проекциями этих же прямых. Точки пересечения будут горизонтальными проекциями конкурирующих точек. Видимой будет та точка, горизонтальная проекция будет удалена дальше от плоскости Начертательная геометрия

Плоскость

Способы изображения плоскости

Плоскость можно представить как совокупность последовательных положений непрерывно движущейся прямой линии Начертательная геометрия, проходящей через неподвижную точку Начертательная геометрия пространства и скользящей по некоторой неподвижной прямой линии Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Укажем следующие свойства плоскости:

  1. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.
  2. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
  3. Если две различные плоскости имеют одну общую точку, то их пересечение есть прямая.

Если точки некоторой плоскости Начертательная геометрия спроецировать на плоскости проекций, то проекции точек плоскости Начертательная геометрия покроют плоскости проекций и мы не получим никакого изображения.

В частном случае, когда проецирующие лучи направлены вдоль изображаемой плоскости, можно получить изображение плоскости посредством проецирования всех ее точек (рис.2.13 а).

Начертательная геометрия

акую плоскость называют проецирующей. Ее проекция имеет вид прямой линии. При ортогональном проецировании ( рис.2.13 б) плоскость изобразится в виде прямой линии только тогда, когда изображаемая плоскость расположена перпендикулярно к плоскости проекций.

Для построения эпюра плоскости общего положения используется понятие определителя плоскости.

Определителем называется совокупность условий, необходимых и достаточных для определения геометрической фигуры в пространстве.

Из свойства плоскости известно, что через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. В этом случае плоскость определяется определителем Начертательная геометрия (рис.2.14 а).

Как следствие этого свойства:

  1. Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость. Определитель в этом случае Начертательная геометрия (рис.2.14 б).
  2. Через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Определитель плоскости будет Начертательная геометрия (рис.2.14 в).
  3. Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость Начертательная геометрия (рис.2.14 г).

Поэтому проекции упомянутых сочетаний точек и прямых можно рассматривать как проекции определителей плоскости (рис.2.14 ).

Каждый из перечисленных способов задания плоскости можно свести к любому из остальных. Так, например, задание тремя точками Начертательная геометрия и Начертательная геометрия (рис.2.14 а ) равносильно заданию той же плоскости двумя пересекающимися прямыми (например, Начертательная геометрия и Начертательная геометрия) или двумя параллельными прямыми. Для чего достаточно через одну из заданных точек провести прямую, параллельную прямой, проходящей через остальные две точки. Во многих случаях практики подобные переходы одного способа задания к другому позволяют упрощать графические построения в процессе решения задач, связанные с плоскостью.

Начертательная геометрия

Плоскость, будучи неограниченной, в общем случае пересекает обе плоскости проекций (рис.2.15).

Получающиеся при этом линии пересечения носят названия горизонтального следаНачертательная геометрия, и фронтального следа Начертательная геометрия плоскости.

Точку пересечения следов будем называть точкою схода следов и обозначать Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Следы плоскости, в зависимости от ее положения относительно плоскостей проекций, либо пересекаются ( рис.2.15), либо параллельны друг к другу и оси проекций ( рис.2.16). В последнем случае плоскость является профильно проецирующей.

Таким образом, следы представляют собой случай задания плоскости двумя пересекающимися прямыми Начертательная геометрия или параллельными прямыми Начертательная геометрия

Эпюры плоскостей, изображенных на рис. 2.15 и 2.16, будут иметь вид, указанный на рис.2.17 и 2.18.

Начертательная геометрия

Если рассматривать плоскость в системе трех плоскостей проекций Начертательная геометрияНачертательная геометрия то в общем случае плоскость пересекает каждую из плоскостей проекций (рис.2.19) и прямая Начертательная геометрия; называется профильным следом плоскости.

Начертательная геометрия

Любые два следа плоскости, как две пересекающиеся или параллельные прямые, вполне определяют положение плоскости в пространстве. Третий след плоскости всегда можно построить по двум данным.

Таким образом, на чертеже плоскость может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями прямой и точки вне этой прямой; проекциями двух пересекающихся или двух параллельных прямых, которые могут быть следами плоскости, а также проекциями любой плоской фигуры.

Графические операции на плоскости. Частные случаи взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве

Прямые и точки в плоскости. Главные линии в плоскости. Плоскости общего и частного положения Частные случаи взаимного положения двух прямых, а также прямой и плоскости.

Прямые линии и точки, расположенные в плоскости

Основными графическими операциями, выполняемыми на плоскости, являются построение принадлежащих ей прямых линий и отдельных точек.

Вопрос о принадлежности прямой дайной плоскости решается на основании аксиомы, связанной с понятием принадлежности: прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Начертательная геометрия

Прямая также лежит в плоскости, если она проходит через точку, лежащую в плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой же плоскости.

Задача №1

Достроить недостающую проекцию прямой Начертательная геометрия, принадлежащей плоскости Начертательная геометрия, заданной двумя пересекающимися прямыми Начертательная геометрия и Начертательная геометрия (рис.3.1).

Начертательная геометрия

На основании аксиомы принадлежности на заданных прямых Начертательная геометрия и Начертательная геометрия отмечаем точки пересечения заданной фронтальной проекции прямой Начертательная геометрия, лежащей в плоскости Начертательная геометрия, с прямыми , задающими эту плоскость (Начертательная геометрия и Начертательная геометрия ).

Опуская линии связи на горизонтальные проекции линий Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, получаем горизонтальные проекции точек Начертательная геометрия и Начертательная геометрия , которые и определяют горизонтальную проекцию искомой прямой Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Задача №2

Достроить фронтальную проекцию прямой 1, лежащей в плоскости Начертательная геометрия, заданной двумя пересекающимися прямыми Начертательная геометрия и Начертательная геометрия Начертательная геометрия (рис. 3.2.).

Па проекции прямой Начертательная геометрия отмечаем точку Начертательная геометрия ее пересечения с заданной проекции прямой Начертательная геометрия. Достраиваем фронтальную проекцию этой точки Начертательная геометрия.

Через неё проводим проекцию прямой Начертательная геометрия параллельно фронтальной проекции прямой Начертательная геометрия, задающей плоскость.

Начертательная геометрия

Условие принадлежности точки плоскости также вытекаег из известной аксиомы планиметрии — точка принадлежит плоскости, если она лежит на любой прямой данной плоскости.

Задача №3

Дана горизонтальная проекция точки Начертательная геометрия. лежащей в плоскости Начертательная геометрия. Построить недостающую проекцию точки Начертательная геометрия (рис. 3.3).

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Через проекцию точки Начертательная геометрия проводим произвольную прямую Начертательная геометрия Строим её фронтальную проекцию Начертательная геометрия по точкам пересечения с прямыми Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, задающим плоскость. С помощью линии связи находим Начертательная геометрия

Из решения данной задачи следует, что для любой точки плоскости можно на чертеже задать произвольно только одну ее проекцию. Вторая проекция строится с помощью вспомогательной прямой.

Главные линии плоскости

На любой плоскости можно провести бесчисленное множество прямых в самых различных направлениях.

Среди этих линий особое место занимают прямые уровня следующих направлений:

а) горизонтали — прямые, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рис. 3.4).

Фронтальная проекция горизонтали плоскости как линии, параллельной плоскости Начертательная геометрия — параллельна оси Начертательная геометрия (перпендикулярна линиям связи).

б) фронтали прямые, расположенные в плоскости и параллельные плоскости Начертательная геометрия (рис. 3.5).

Горизонтальная проекция фронтали плоскости как линии, параллельной плоскости Начертательная геометрия, параллельна оси Начертательная геометрия (перпендикулярна линиям связи).

Начертательная геометрия

в) профильные прямые — прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны плоскости Начертательная геометрия (рис.3.6).

г) линии наибольшего наклона к плоскостям Начертательная геометрия, Начертательная геометрия и Начертательная геометрия — это прямые, расположенные в плоскости и перпендикулярные к горизонталям, фронталям и профильным линиям плоскости соответственно. Линии наибольшего наклона к плоскости Начертательная геометрия называют линиями ската.

Начертательная геометрия

Перечисленные прямые называют главными линиями плоскости. На любой плоскости можно провести бесчисленное множество главных линий. Все горизонтали плоскости параллельны между собой, все фронтали плоскости также параллельны друг другу и т. д.

Следует заметить, что следы плоскости также можно отнести к главным линиям. Горизонтальный след — это горизонталь плоскости, фронтальный фронталь, профильный — профильная линия плоскости.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по начертательной геометрии

Плоскости общею и частного положения

Плоскости в зависимости от положения относительно плоскостей проекций делятся на плоскости общего и частного положения. Плоскости, которые не перпендикулярны ни к одной из плоскостей проекций, носят название плоскостей общего положения.

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные к одной (проецирующие плоскости) или двум (плоскости уровня) плоскостям проекций.

Проекция такой плоскости вырождается в прямую линию на ту плоскость, к которой она перпендикулярна. На этой прямой лежат проекции всех точек, линий и фигур, принадлежащих данной проецирующей плоскости.

Плоскости, перпендикулярные к одной плоскости проекций

I. Плоскость Начертательная геометрия, перпендикулярна плоскости Начертательная геометрия — горизонтально проецирующая плоскость ( рис. 3.7.). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является горизонтальным следом Начертательная геометрия плоскости.

Начертательная геометрия

Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с вырожденной горизонтальной проекцией Начертательная геометрия плоскости. Угол Начертательная геометрия, который образуется между плоскостями Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, проецируются на Начертательная геометрия без искажения.

Плоскость Начертательная геометрия, перпендикулярная плоскости Начертательная геометрия — фронтально — проецирующая плоскость (рис.3.8.). Фронтальная проекция такой плоскости представляет прямую, которая совпадает с фронтальным следом Начертательная геометрия плоскости. Угол Начертательная геометрия между плоскостями Начертательная геометрия и Начертательная геометрия проецируется на Начертательная геометрия без искажения.

Начертательная геометрия

На рис. 3.9. изображена плоскость Начертательная геометрия, перпендикулярная плоскости Начертательная геометрия — профильно проецирующая плоскость. Профильная проекция плоскости прямая линия Начертательная геометрия из Угол Начертательная геометрия между плоскостями Начертательная геометрия и Начертательная геометрия проецируется на плоскость Начертательная геометрия в натуральную величину.

Начертательная геометрия

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня.

Плоскости, параллельные горизонтальной плоскости проекций Начертательная геометрия,называется горизонтальными плоскостями уровня. На рис. 3.10. такая плоскость, заданная треугольником Начертательная геометрия, перпендикулярна двум плоскостям проекций Начертательная геометрия и Начертательная геометрия. Фронтальная и профильная проекции такой плоскости — горизонтальные прямые, совпадающие со своими одноименными следами. Любая фигура, расположенная в такой плоскости, на горизонтальную плоскость проекций Начертательная геометрия проецируется без искажения.

Начертательная геометрия

Плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций Начертательная геометрия, называется фронтальными плоскостями уровня (рис.3.11.). Такие плоскости перпендикулярны к плоскостям Начертательная геометрия и Начертательная геометрия;. Горизонтальная и профильная проекции такой плоскости — прямые линии, совпадающие со своими одноименными следами. Любая фигура, расположенная в такой плоскости, на фронтальную плоскость проекций Начертательная геометрия проецируется без искажения.

Начертательная геометрия

Плоскости, параллельные профильной плоскости проекции Начертательная геометрия называются профильными плоскостями уровня. Их фронтальные и горизонтальная проекции — прямые линии, перпендикулярные оси Начертательная геометрия (рис. 3.12 ). Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на плоскость Начертательная геометрия в натуральную величину.

Частные случаи взаимного положении прямой и плоскости, а также двух плоскостей

Прямая линия и плоскость в пространстве могут быть параллельны ( в частном случае совпадая друг с другом ) либо пересекаться. Прямая линия, перпендикулярная плоскости, представляет собой частный случай пересекающихся прямой и плоскости.

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными ( в частном случае совпадая друг с другом ), либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

Вопросы пересечения двух плоскостей, а также прямой и плоскости под произвольным углом будут рассмотрены далее, здесь же рассмотрим лишь случаи частного взаимного положения этих элементов — перпендикулярность и параллельность прямой и плоскости, а также двух плоскостей.

Прямая линия, перпендикулярная плоскости

Из стереометрии известна аксиома: «Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны ».

Отсюда следует, что для построения плоскости, перпендикулярной данной прямой Начертательная геометрия, достаточно построить две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой. В качестве этих прямых целесообразно взять прямые уровня (рис.3. 13).

Начертательная геометрия

В этом случае теорема о перпендикуляре к плоскости будет формулироваться так:

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали той же плоскости.

Если Начертательная геометрия

Или если Начертательная геометрия

При профильно проецирующей плоскости этого признака недостаточно. Это и понятно: прямая, перпендикулярная к двум параллельным прямым плоскости, не обязательно должна быть перпендикулярна к самой плоскости. В этом случае надо обязательно рассмотреть взаимное положение прямой и плоскости на третьей, профильной плоскости проекций.

Задача №4

Опустить перпендикуляр из точки Начертательная геометрия на плоскость Начертательная геометрия

Строим проекции фронтали и горизонтали плоскости Начертательная геометрия, проходящей через вершину Начертательная геометрия ( рис. 3.14).

Опускаем перпендикуляр Начертательная геометрия

Если плоскость задана следами, то Начертательная геометрия перпендикулярна горизонтальному следу, а Начертательная геометрия — фронтальному следу плоскости.

Начертательная геометрия

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Задача №5

Построить плоскость Начертательная геометрия, проходящую через точку Начертательная геометрия и перпендикулярную к плоскости Начертательная геометрия, заданной двумя пересекающимися прямыми Начертательная геометрия (рис. 3.15).

Поскольку задача имеет множество решений, т. к. через один перпендикуляр можно провести пучок плоскостей, необходимо дополнительное условие, обеспечивающее единственность решения.

Примем, что одна из прямых, задающих плоскость должна быть параллельна прямой Начертательная геометрия, задающей плоскость.

Проводим перпендикуляр из точки Начертательная геометрия к плоскости Начертательная геометрия.

Через точку Начертательная геометрия проводим прямую Начертательная геометрия, параллельную Начертательная геометрия. Эти две прямые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия определяют искомую плоскость Начертательная геометрия, перпендикулярную Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Прямая линия, параллельная плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости вытекает из известной аксиомы: «Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости».

Через данную точку пространства можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной плоскости, поэтому для единственного решения требуются дополнительные условия.

Задача №6

Через точку Начертательная геометрия провести прямую Начертательная геометрия и плоскости проекций Начертательная геометрия ( рис. 3.16 ).

Прямая, параллельная двум плоскостям проекций одновременно, параллельна линии их пересечения. Линией пересечения плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью проекций является горизонталь.

Строим горизонталь, проходящую через вершину Начертательная геометрия.

Через проекции точки Начертательная геометрия проводим проекции прямой Начертательная геометрия параллельно соответствующим проекциям построенной горизонтали.

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Две взаимно параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Задачи построения плоскости, параллельной заданной, решается в следующей последовательности:

  1. в заданной плоскости строим или выделяем две пересекающиеся прямые.
  2. через заданную точку Начертательная геометрия вне плоскости строим две прямые, параллельные выделенным прямым.

Задача №7

Через точку Начертательная геометрия провести плоскость Начертательная геометрия, параллельную плоскости Начертательная геометрия (рис. 3. 17) .

В плоскости Начертательная геометрия строим две проекции произвольной прямой Начертательная геометрия. На основании аксиомы о параллельности двух плоскостей через проекции точки Начертательная геометрия проводим соответствующие проекции двух прямых Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, параллельных прямым Начертательная геометрия и Начертательная геометрия плоскости Начертательная геометрия соответственно. Эти прямые и задают искомую плоскость Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Задача №8

Через точку Начертательная геометрия провести плоскость Начертательная геометрия, параллельную плоскости Начертательная геометрия (рис. 3.18).

Через точку Начертательная геометрия проводим горизонталь Начертательная геометрия параллельно плоскости Начертательная геометрия (Начертательная геометрия. Начертательная геометрия — фронтальный след горизонтали этой горизонтали. Поэтому след Начертательная геометрия пройдет через точку Начертательная геометрия параллельно Начертательная геометрияНачертательная геометрия через точку Начертательная геометрия параллельно следу Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Плоскости взаимно параллельны, если их одноименные следы взаимно параллельны.

Кривые линии

Виды кривых. Касательные к кривым линиям. Замена кривой линии. Особые точки кривой. Цилиндрическая винтовая линия. Спрямление кривой линии.

Виды кривых

Кривые линии повсеместно встречаются в окружающем мире. Это — очертания различных пространственных форм, линии пересечения поверхностей, графическое выражение различных функциональных математических зависимостей и т.п.

Кривую линию будем рассматривать как траекторию движущейся точки, т.е. будем задавать кинематическим образом.

Кривые лииии разделяются на плоские, все точки которых лежат в одной плоскости (например, эллипс, окружность, парабола и т.п.), и пространственные, точки которых в одной плоскости не лежат (например, винтовая линия).

Совокупность лучей, проецирующих плоскую или пространственную кривую на какую-либо плоскость проекций, образует в общем случае цилиндрическую поверхность, которая в пересечении с плоскостью проекций дает кривую линию. Таким образом, в общем случае проекцией плоской или пространственной кривой линии является плоская кривая ( рис. 4.1).

Начертательная геометрия

Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции принадлежат одноименным проекциям этой кривой.

Проекции множества точек, принадлежащих кривой линии на чертеже, определяют положение кривой в пространстве.

Если известен математический закон образования кривой линии, то любую её точку можно считать заданной. Такая кривая называется закономерной; её проекции могут быть построены с любой практически доступной точностью.

Если кривая задана конечным числом точек, то она называется каркасной, а задающие её точки — каркасом кривой линии. Участки кривой между точками каркаса могут быть определены лишь приближенно.

Кривые, заданные их проекциями и не подчиненные какому-либо закону, называются графическими. Например, горизонтали — линии пересечения горизонтальных плоскостей с рельефом местности.

Каркасные и графические линии являются незакономерными, т.к. не подчинены известным математическим законам.

Если хотя бы одна проекция кривой дважды пересекается с линией проекционной связи, проведенной через произвольную точку кривой, то чертёж не определяет положение кривой в пространстве. В этом случае необходимо задать па проекциях кривой несколько точек и указать последовательность расположения их на кривой (рис.4.2).

Начертательная геометрия

Кривая Начертательная геометрия может быть задана чертежом только в пределах, определяемых граничными точками Начертательная геометрия и Начертательная геометрия. Точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия относительно плоскости проекций Начертательная геометрия и точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия относительно плоскости проекций Начертательная геометрия, называются конкурирующими. Точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия называются точками кажущегося самопересечения.

На рис. 4.3 изображена самопересекающаяся кривая Начертательная геометрия. Так как проекции точки Начертательная геометрия располагаются на одной линии связи, то в этой точке Начертательная геометрия кривая а пересекается сама с собой.

Начертательная геометрия

Для создания обратимости чертежа кривой линии необходимо задать несколько точек принадлежащих этой кривой Начертательная геометрия. Чтобы установить, какова кривая линия — плоская или пространственная, следует взять четыре точки кривой и проверить, лежат ли они в одной плоскости (рис.4.4). Выберем на кривой Начертательная геометрия четыре точки Начертательная геометрия и проверим, лежат ли они в одной плоскости. Соединим точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, Начертательная геометрия и Начертательная геометрия прямыми линиями. Если точки Начертательная геометрия лежат в одной плоскости, то прямые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия также принадлежат этой плоскости и будут пересекаться. В этом случае точки пересечения одноименных проекций прямых должны лежать на одной линии связи. На чертеже прямые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия — скрещивающиеся, следовательно, кривая линия а — пространственная кривая. Но если четыре точки кривой и лежат в одной плоскости, это еще не значит, что кривая плоская, так как именно в этих точках кривая может пересекать плоскость. Поэтому нужно взять пятую точку и проверить лежит ли она в плоскости ранее взятых четырех точек, а затем шестую, седьмую и т.д., доведя проверку до необходимой точности.

Начертательная геометрия

Касательные к кривым линиям

Касательной Начертательная геометрия к кривой Начертательная геометрия в точке Начертательная геометрия называется предельное положение секущей, проходящей через точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, когда Начертательная геометрия, непрерывно перемещаясь по кривой Начертательная геометрия, стремится к точке Начертательная геометрия (рис. 4. 5).

Начертательная геометрия

Прямая Начертательная геометрия, лежащая в плоскости кривой линии и перпендикулярная к касательной Начертательная геометрия в точке касания Начертательная геометрия, называется нормалью к этой кривой в данной точке. Прямая Начертательная геометрия, перпендикулярная к плоскости Начертательная геометрия в любой точке кривой Начертательная геометрия, называется бинормалью этой кривой в рассматриваемой точке. Бинормаль Начертательная геометрия и касательная Начертательная геометрия образуют плоскость, касательную к кривой в точке Начертательная геометрия.

Задача №9

Построить касательную Начертательная геометрия к кривой Начертательная геометрия через точку Начертательная геометрия, не лежащую на кривой.

Из точки Начертательная геометрия (рис. 4. 6) проводим ряд хорд Начертательная геометрия и т.д., середины которых соединяем плавной кривой. Эта кривая (кривая ошибок) пересечет данную кривую в точке Начертательная геометрия — это и есть точка касания. Прямая Начертательная геометрия будет касательной к данной кривой, а прямая, перпендикулярная к Начертательная геометрия в точке Начертательная геометрия, будет нормалью.

Начертательная геометрия

Задача №10

Провести касательную к кривой через точку Начертательная геометрия, лежащую на кривой (рис. 4. 7).

Проведем произвольную прямую Начертательная геометрия (примерно-перпендикулярно к предполагаемому направлению касательной), а через точку Начертательная геометрия ряд хорд Начертательная геометрияНачертательная геометрия пересекающих прямую Начертательная геометрия в точках Начертательная геометрия. На этих хордах откладываем отрезки Начертательная геометрия Начертательная геометрия. Соединяем полученные точки Начертательная геометрия плавной кривой (кривой ошибок), которая пересекает взятую прямую Начертательная геометрия в точке Начертательная геометрия. Прямая Начертательная геометрия и будет искомой касательной.

Начертательная геометрия

Задача №11

Построить касательную Начертательная геометрия к кривой Начертательная геометрия, параллельно заданном направлению Начертательная геометрия ( рис.4. 8).

Проводим ряд хорд параллельных заданному направлению Начертательная геометрия, рассекающих кривую Начертательная геометрия, в точках Начертательная геометрия и т.д. Через середины полученных хорд Начертательная геометрия проводим кривую ошибок, которая пересечет кривую Начертательная геометрия в точке Начертательная геометрия, точке касания. Проведем прямую через Начертательная геометрия параллельно заданному направлению. Это и будет искомая касательная Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Замена кривой линии кривой, состоящей из дуг окружностей

Заменяя отдельные части кривой дугами окружности, получают новую кривую, которая очень близко подходит по своему очертанию к данной кривой. Кривые, состоящие из дуг окружностей, носят название коробовых. Коро-бовые кривые могут быть как плоские, так и пространственные.

Задача №12

Кривую Начертательная геометрия заменить коробовой кривой ( рис.4. 9).

Возьмем на кривой ряд точек Начертательная геометрия и заменим части кривой Начертательная геометрияНачертательная геометрия и Начертательная геометрия дугами окружности. Центры дуг определяем как пересечение соседних нормалей, проведенных через Начертательная геометрия соответственно. Радиус Начертательная геометрия опишет дугу Начертательная геометрия из центра Начертательная геометрия; радиус Начертательная геометрия опишет дугу Начертательная геометрия из центра Начертательная геометрия и так далее, в результате кривая Начертательная геометрия будет заменена на коробовую кривую.

Начертательная геометрия

Особые точки кривой

Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называют гладкой. Кривая, состоящая из одних гладких точек, называется гладкой кривой.

Различают обыкновенные и особые точки кривой линии.

Точка кривой называется обыкновенной, если при ее движении по кривой линии направление ее движения и направления поворота касательной не изменяются (рис.4.10).

Начертательная геометрия

Точки, не отвечающие этим требованиям, называются особыми. Такие точки могут получиться на чертеже при проецировании пространственных кривых и при построении линии пересечения поверхностей.

К особым точкам можно отнести:

  1. Точка перегиба, в которой кривая, касаясь прямой, переходит с одной ее стороны на другую.
  2. Точка возврата (точка заострения) первого либо второго рода, в которой точка возвращается по другую сторону касательной, либо по ту же сторону касательной и направление касательной не меняется для обеих ветвей кривой.
  3. Двойная точка (узел), в которой кривая пересекает сама себя. Могут быть тройные, четверные и т.д. точки. В этих точках можно провести одну, две, три и большее число касательных к заданной кривой ( рис. 4.11 ).
Начертательная геометрия

Цилиндрическая винтовая линия

Наиболее распространенной из пространственных кривых является цилиндрическая винтовая линия.

Цилиндрическая винтовая линия образуется равномерным перемещением точки Начертательная геометрия вдоль образующей цилиндра, которая, в свою очередь, равномерно вращается около параллельной ей оси цилиндра Точка Начертательная геометрия участвующая в двух движениях опишет пространственную кривую линию, называемую цилиндрической винтовой линией. Ось цилиндра называется осью винтовой линии ( рис. 4.12 ). На развертке цилиндрической поверхности винтовая линия представляется в виде прямой линии Начертательная геометрия, наклоненной под углом Начертательная геометрия к горизонтальной прямой. Угол Начертательная геометрия называется углом наклона винтовой линии. Один полный оборот винтовой линии называется витком винтовой линии.

Витком винтовой линии можно назвать любую часть винтовой линии, находящуюся между двумя её точками, лежащими на одной образующей цилиндра.

Расстояние между двумя точками винтовой линии, лежащими на одной образующей называется шагом или ходом ( Начертательная геометрия ) винтовой линии.

Зависимость между углом наклона и шагом винтовой линии следующая:

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Если при взгляде вдоль оси образующего цилиндра точка будет удаляться от наблюдателя, вращаясь по часовой стрелке, то винтовая линия называется правой.

Если точка будет удалятся от наблюдателя вращаясь против часовой стрелки, то винтовая линия — левая.

Построить цилиндрическую винтовую линию на чертеже, можно разделив горизонтальную проекцию на некоторое равное число частей и построить образующие на фронтальной проекции цилиндра.

Разделив шаг винтовой линии на то же число частей, что и горизонтальную проекцию основание цилиндра, проведем через полученные точки горизонтальные прямые до пересечения с соответствующими проекциями образующих.

Винтовую линию можно построить с помощью развертки винтовой линии, навернув прямоугольный треугольник с катетами Начертательная геометрия и Начертательная геометрия на образующий цилиндр, в этом случае гипотенуза станет винтовой линией.

Спрямление кривой линии

Спрямлением кривой линии называется построение отрезка прямой, равного длине дуги кривой линии. Приближенное построение показано на рис. 4.13.

Разделим, например, горизонтальную проекцию кривой на некоторое количество частей. Проведем горизонтальную прямую через Начертательная геометрия. Отложим длины дуг Начертательная геометрия и т.д., на горизонтальном отрезке , заменяя длину дуги величиной стягивающей её хорды. Построим через каждую точку Начертательная геометрия и т.д. линии проекционной связи, перпендикулярные построенной прямой, найдем точки Начертательная геометрия и т.д. их пересечения с горизонтальными прямыми, проведенными через фронтальные проекции соответствующих точек заданной линии. Соединив найденные точки плавной кривой линией, получим развертку кривой.

На произвольно взятой прямой линии отложим участки кривой развертки, заменяя кривые стягивающими их хордами Начертательная геометрия и т.д. и получим спрямленную кривую Начертательная геометрия в виде отрезка Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Поверхности

Способы задания поверхности на чертеже. Основные виды поверхностей в строительной практике. Точка и линия на поверхности.

В начертательной геометрии рассматривают кинематический способ образования поверхности.

Под поверхностью понимают совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей.

Начертательная геометрия

Она может быть прямой или кривой, постоянной или непрерывно изменяющейся. Образующей может быть также поверхность (рис. 5.1). Многообразие поверхностей зависит не только от формы образующей, но и от закона ее перемещения.

Закон перемещения образующей может быть оговорен словесно (перемещение поступательное, вращательное, винтовое) или же задан графически проекциями Рис. 5. 1. неподвижной линии, по которой

скользит образующая. Эту линию называют направляющей поверхности. Образующие и направляющие могут меняться местами.

На каждой поверхности можно выделить два множества линий: множество образующих и множество направляющих, при этом должно быть выполнено условие, что линии одного множества между собой не пересекаются, но каждая линия одного множества пересекает все линии другого множества.

Многие поверхности можно рассматривать, как образованные различными приемами, так, например, поверхность цилиндра вращения (рис.5.2) можно рассматривать как поверхность, образованную вращением вокруг оси прямой или кривой линии, принадлежащей поверхности, или же как поверхность, образованную поступательным перемещением окружности, когда центр окружности перемещается по неподвижной оси цилиндра, а плоскость окружности остается перпендикулярной этой оси.

Из множества вариантов образования поверхности следует выбирать те из них, которые сочетают простую форму образующей с несложной кинематикой ее перемещения, так как такие варианты удобны для изображения данной поверхности на чертеже и решения конкретных задач, связанных с ней.

Способы задания поверхности на чертеже

Поверхность считается на чертеже заданной, если относительно каждой точки пространства можно однозначно решить вопрос о ее принадлежности данной поверхности.

Вопрос принадлежности точки поверхности решается аналогично тому, как это делалось при решении вопроса принадлежности точки плоскости (см. рис.5.2).

Точка принадлежит поверхности в том случае, если она принадлежит некоторой линии данной поверхности. В качестве таких линий выбирают обычно графически простые линии поверхности (прямые или окружности).

В инженерной практике поверхность задают различными способами:

  • моделью;
  • геометрическим множеством точек, отвечающих определенным условиям;
  • уравнением;
  • чертежом и т. д.
Начертательная геометрия

Рассмотрим способы задания поверхности чертежом.

Поверхность па чертеже может быть задана определителем, очерком или каркасом, а также их сочетанием.

Совокупность условий, однозначно определяющих поверхность, т.е, выделяющих ее из всего многообразия поверхностей, называют определителем поверхности.

В определитель поверхности входят форма образующей и направляющей — геометрическая часть определителя, а также дополнительные условия, позволяющие реализовать или наиболее полно описать закон перемещения образующей.

Задача №13

Построить недостающую проекцию точки Начертательная геометрия, принадлежащей данной поверхности Начертательная геометрия ( рис 5.3.).

Дано: Начертательная геометрия — заданная поверхность. Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Решение:

Начертательная геометрия

Через известную проекцию точки А проводим образующую Начертательная геометрия до пересечения с горизонтальной проекцией направляющей Начертательная геометрия. Строим вторую проекцию образующей Начертательная геометрия, через Начертательная геометрия — фронтальную проекцию точки 1. На Начертательная геометрия с помощью линии связи получаем Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Задание поверхности на чертеже проекциями ее определителя не обладает достаточной наглядностью, поэтому с целью увеличения наглядности на чертеже, кроме наиболее важных точек и линий, определяющих поверхность, строят еще и ее очерк. В некоторых случаях поверхность может быть задана только очерком.

Очерком поверхности на данной плоскости проекций (рис. 5.4.) называют линию пересечения плоскости проекций с проецирующей поверхностью, образованной лучами, касающимися данной поверхности. Линию касания заданной поверхности с проецирующей поверхностью называют линией контура. Очерк поверхности можно рассматривать также как проекцию линии контура поверхности на данную плоскость проекций.

Линия контура делит поверхность на видимую и невидимую части. Видима на данной плоскости проекций та часть поверхности, которая расположена между глазом наблюдателя и линией контура; та же часть поверхности, которая расположена за линией контура — невидима. Так, в проекции на плоскость Начертательная геометрия точка Начертательная геометрия видима, а точка Начертательная геометрия невидима; на плоскость Начертательная геометрия точка Начертательная геометрия видима, точка Начертательная геометрия невидима.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости. По расположению этой линии на проекциях судят о видимости точек в той или иной проекции.

Начертательная геометрия

В общем случае поверхность может быть задана каркасом.

Каркас поверхности — это совокупность некоторого числа линий ей принадлежащих (рис.5.5).

Каркас может быть непрерывный и дискретный. Под непрерывным каркасом поверхности понимают множество линий, сплошь заполняющее данную поверхность, это по существу кинематический способ задания поверхности на чертеже.

Дискретный каркас поверхности — это совокупность отдельных линий данной поверхности.

Задание поверхности дискретным каркасом не является достаточно полным, так как при этом не определяется однозначно положение точек поверхности, расположенных между отдельными линиями каркаса.

Это значит, что при одном и том же дискретном каркасе можно получить поверхности, несколько отличающиеся друг от друга.

К заданию поверхности дискретным каркасом прибегают в том случае, если образование поверхности не подчинено никакому геометрическому закону.

Примером поверхностей, задаваемых дискретным каркасом, являются поверхности обшивки самолетов, кузова автомобилей, рельеф земной поверхности и т. д.

На чертеже такие поверхности задают обычно проекциями некоторых линий каркаса, которые рассматривают как результат пересечения поверхности плоскостями уровня (рис. 5.6.).

Начертательная геометрия

Основные виды поверхностей в строительной практике

Поверхности по их определенным признакам могут быть разбиты на ряд отдельных классов, причем деление это во многих случаях условное, так как одна и та же поверхность, исходя из того, какой ее признак положен в основу классификации, может быть отнесена одновременно к двум и более классам.

  • По форме образующей поверхности делят на линейчатые и нелинейчатые.

Поверхность, которая может быть образована перемещением прямой линии, называется линейчатой.

Поверхность, для которой образующей может быть только кривая линия, называется нелинейчатой, т. е. криволинейной.

  • По закону движения образующей поверхности делят на: поверхности вращения, поверхности с поступательным перемещением образующей, винтовые поверхности.
  • По признаку развертываемости поверхности делят на развертываемые и неразвертываемые.

Развертываемые поверхности можно без разрывов и складок совместить с плоскостью проекций.

  • По закону образования поверхности делят на закономерные и незакономерные.
  • Если известен закон образования поверхности, ее называют закономерной; в противном случае поверхность незакономерная.
  • Если поверхность состоит из отсеков плоскостей, ее называют гранной, все остальные поверхности кривые.

Следует отметить, что это неполная классификация поверхностей, так как кроме перечисленных в основу могли быть взяты иные признаки поверхности.

Торсовые поверхности

Возьмем кривую линию двоякой кривизны п (рис.5.7.) и отметим на ней ряд произвольных точек Начертательная геометрия и проведем секущие Начертательная геометрия

Если точки Начертательная геометрия взяты достаточно близко друг к другу, то секущие пары Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, Начертательная геометрия и Начертательная геометрия и т.д., образуют плоскости, которые наклонены друг к другу. Совокупность всех плоских элементов образует многогранную поверхность, т.к. кривая п пространственная. У такой поверхности, пересекающиеся прямые Начертательная геометрия и т.д. образуют грани, а прямые Начертательная геометрия и т.д. -ребра. При бесконечном увеличении точек на кривой хорды Начертательная геометрия будут стремиться к нулю, а секущие перейдут в касательные и многогранная поверхность перейдет в линейчатую кривую поверхность называемую торсом (рис. 5.8).

Начертательная геометрия

Иными словами, торсом называется поверхность, образованная непрерывным перемещением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касающейся некоторой пространственной кривой — ребра возврата.

В случае вырождения ребра возврата в точку (конечную или бесконечно удаленную) поверхность торса превращается в коническую или цилиндрическую.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

Линейчатые поверхности с двумя направляющими требуют дополнительного условия для их задания, т.к. две направляющие не определяют однозначно положения поверхности в пространстве. Таким дополнительным условием является направляющая плоскость или плоскость параллелизма, которой параллельны все образующие рассматриваемой поверхности.

а) Цилиндроид.

Кривая поверхность образованная непрерывным перемещением прямолинейной образующей Начертательная геометрия во всех своих положениях пересекающей две пространственные кривые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия (направляющие) и остающейся параллельной заданной плоскости параллелизма называется цилиндроидом (рис.5. 9 а).

б) Коноид.

Кривая поверхность образованная непрерывным перемещением прямолинейной образующей Начертательная геометрия во всех своих положениях пересекающей одну пространственную кривую Начертательная геометрия и вторую прямолинейную направляющую Начертательная геометрия и остающейся параллельной заданной плоскости параллелизма называется коноидом ( рис.5.9 б).

Начертательная геометрия

в) Косая плоскость или гиперболический параболоид.

Кривая поверхность образованная непрерывным перемещением прямолинейной образующей Начертательная геометрия во всех своих положениях пересекающей две скрещивающиеся прямые шипи остающейся параллельной заданной плоскости параллелизма называется косой плоскостью (рис.5.10).

Начертательная геометрия

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (образующей поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности. Образующей поверхности вращения может быть любая плоская или пространственная кривая линия, в частности ею может быть прямая линия.

Поверхность вращения считается заданной, если известны её образующая и ось, которые и являются определителем поверхности.

Рассмотрим поверхность вращения (тело) общего вида (рис. 5.11). Для удобства ось поверхности возьмём перпендикулярной плоскости Начертательная геометрия.

Все точки образующей Начертательная геометрия при её вращении вокруг оси Начертательная геометрия описывают радиус окружности, плоскости которых перпендикулярны оси поверхности, т. е. являются плоскостями уровня. Эти окружности называют параллелями поверхности. Они проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой они параллельны.

Начертательная геометрия

Среди множества ближайших смежных параллелей поверхности выделяют параллель наименьшего радиуса, которую называют горлом поверхности и параллель наибольшего радиуса, называемую экватором поверхности. Поверхность может иметь несколько параллелей, называемых горлом и экватором.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, например, плоскость Начертательная геометрия, пересекает её по образующим, называемым меридианами поверхности. У поверхности вращения все меридианы равны.

Тот меридиан, проекция которого даёт очерк поверхности, называют главным меридианом.

Меридиан, принадлежащий плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций, называют не только главным, но ещё и фронтальным, а меридиан, расположенный в плоскости, параллельной профильной плоскости проекций, называют профильным меридианом.

Для поверхности вращения любая меридиальная плоскость является плоскостью симметрии. Заметим, что каркас поверхности вращения может быть составлен из меридианов и параллелей.

Для поверхности вращения графически простой линией является её параллель, т.е. окружность. Поэтому для того, чтобы построить недостающую проекцию точки, принадлежащей поверхности вращения, в качестве вспомогательной линии, проходящей через данную точку поверхности, проводят её параллель.

Построение вспомогательной параллели начинают с проведения той её проекции, которая одноимённа с заданной проекцией точки.

Так, на рис.5.11. через заданную фронтальную проекцию Начертательная геометрия точки Начертательная геометрия проведена фронтальная (вырожденная) проекция параллели, т.е. горизонтальная прямая, пересечение которой с фронтальным очерком даёт радиус параллели. Построив горизонтальную проекцию параллели, намечаем на ней искомую горизонтальную проекцию Начертательная геометрия с учётом того, что по условию задачи точка Начертательная геометрия в проекции на Начертательная геометрия видима. Заметим, что во фронтальной проекции видимы те точки поверхности, которые расположены перед фронтальным меридианом .

Горизонтальную проекцию фронтального меридиана, иначе горизонтальную проекцию фронтального очерка называют линией видимости для проекции на плоскость Начертательная геометрия.

Поэтому во фронтальной проекции видимы те точки поверхности, которые расположены перед линией видимости для плоскости Начертательная геометрия.

Аналогично можно сказать, что в профильной проекции видимы те точки поверхности, которые расположены перед линией видимости для плоскости Начертательная геометрия (см. стрелку на Начертательная геометрия).

Видимость точки в горизонтальной проекции определяется видимостью в горизонтальной проекции соответствующей параллели, которой принадлежит точка.

Поверхность вращения называют линейчатой в том случае, если ее образующей является прямая линия.

Если прямая образующей поверхности вращения параллельна оси поверхности, получаем поверхность цилиндра вращения; если пересекает ось, получаем поверхность конуса вращения и если скрещивается — поверхность одно-полостного гиперболоида вращения.

Поверхности как правило задают на чертеже их отсеками, что во многих случаях совпадает с изображением на чертеже соответствующих геометрических тел.

Точка и линии на поверхности

В общем случае линия на любой поверхности строится по точкам.

Среди множества точек линии выделяют так называемые характерные (опорные) точки. К ним относятся:

  • точки видимости, расположенные на очерковых образующих. Они делят линию на видимую и невидимую части;
  • точки, лежащие на осях симметрии;
  • экстремальные точки, т. е. наиболее близкие или удалённые от плоскости проекций;
  • для многогранников — точки, лежащие па ребрах.

Эти точки подлежат обязательному построению.

Кроме опорных точек в зависимости от вида линии для ее построения может быть использовано любое количество случайных точек.

Ниже показаны приемы построения точек и линий на различных поверхностях.

Многогранники

Поверхности, ограниченные отсеками плоскостей, называют гранными.

Многогранником называют тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Элементами многогранников являются его вершины и ребра. Из многогранников рассмотрим призму и пирамиду. У призмы боковые ребра параллельны друг другу, у пирамиды они пересекаются в одной точке.

Призма. Рассмотрим построение проекций линии, принадлежащей боковой поверхности призмы по заданной ее фронтальной проекции (рис. 5.12.). Задачу будем решать в трех проекциях, так как в инженерной практике во многих случаях требуется умение выполнять проекции изделия более чем на двух плоскостях проекций. Данная призма прямая. Ее ребра горизонтально проецирующие прямые, значит, боковые грани призмы представляют собой тоже горизонтально проецирующие плоскости.

Начертательная геометрия

Горизонтальная проекция такой призмы вырождается в треугольник, обладающий собирательным свойством. Это значит, что горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих боковой поверхности призмы располагаются на этом треугольнике — горизонтальном очерке призмы.

Строим профильную проекцию призмы, принимая за базу отсчета измерений в направлении оси Начертательная геометрия заднюю грань призмы. Построение недостающих проекций точек заданной линии начинаем с того, что обозначаем на фронтальной проекции цифрами точки, подлежащие определению в других проекциях. Это будут точки, принадлежащие ребрам призмы (1, 2, 3, 5) и точка излома (4).

Отметив горизонтальные проекции обозначенных точек, строим их профильные проекции, используя для этого измерения в направлении осей Начертательная геометрия, Начертательная геометрия.

Соединение полученных точек в профильной проекции производим с учетом видимости в последовательности, определяемой их расположением во фронтальной проекции. Заметим, что отрезками прямых соединяем точки, принадлежащие одной грани и на видимой грани получаем видимые отрезки прямых.

Пирамида. Рассмотрим построение линии па поверхности пирамиды по ее фронтальной проекции (рис.5.13.).

Начертательная геометрия

Анализируя проекции пирамиды, видим, что две передние грани ее являются плоскостями общего положения, задняя грань — профильно проецирующая плоскость, основание — горизонтальная плоскость. Отмечаем на фронтальной проекции точки, подлежащие определению в двух других проекциях. Это будут точки принадлежащие рёбрам пирамиды (1, 3, 4, 5) и точка излома (2). Горизонтальные и профильные проекции отмеченных точек находим исходя из принадлежности их к ребру или грани пирамиды. При этом помним, что точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой плоскости. Так, для определения горизонтальной проекции точки 2 проведена фронтальная проекция вспомогательной прямой, параллельной ребру основания пирамиды, найдена её горизонтальная проекция и на ней отмечена проекция Начертательная геометрия.

Профильные проекции отмеченных точек строят по двум проекциям (фронтальной и горизонтальной), используя для этого измерения в направлении осей Начертательная геометрия и Начертательная геометрия. Заметим, что проекции Начертательная геометрия располагаются на вырожденной проекции грани Начертательная геометрия.

Поверхности вращения

Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения и двумя секущими плоскостями, называют круговым цилиндром.

На рис. 5.14. показан цилиндр вращения, ось которого перпендикулярна плоскости Начертательная геометрия,. Такой цилиндр называют горизонтально проецирующим, так как все его образующие горизонтально проецирующие прямые. Его боковая поверхность в проекции на горизонтальную плоскость вырождается в окружность, обладающую собирательным свойством. Это значит, что горизонтальные проекции всех точек и линии, принадлежащих боковой поверхности цилиндра располагаются на этой окружности.

Начертательная геометрия

Рассмотрим построение линии на поверхности цилиндра гю заданной ее фронтальной проекции ( рис. 5.14.). Построение проекций заданной линии начинаем с того, что отмечаем на ней цифрами точки, принадлежащие очерковым образующим и точки излома линии. Эти точки называют характерными. Между ними в случае надобности отмечают так называемые случайные точки, помогающие установить характер линии.

Точка 3 принадлежит передней образующей, 5 — задней, 4 — правой, 6 -левой. Правая и левая образующие в проекции на плоскость Начертательная геометрия сливаются с осью цилиндра. Точка 2 — точка излома, точки 7, 8, 9 — случайные. Так как данный цилиндр горизонтально проецирующий, то горизонтальные проекции всех отмеченных точек располагаются на вырожденной проекции боковой поверхности цилиндра, т. е. на окружности. Профильные проекции точек строим по двум заданным, при этом за базу отсчета измерений в направлении оси у принимаем фронтальную плоскость, проходящую через ось поверхности.

При соединении точек в профильной проекции следует учитывать их видимость и характер получаемой линии.

Для определения видимости в профильной проекции делаем анализ расположения точек относительно линии видимости для плоскости Начертательная геометрия. Точки 1, 2, 9, 6 в профильной проекции невидимы, так как они расположены правее линии видимости для Начертательная геометрия.

Заметим, что цилиндрическую поверхность вращения можно рассматривать как множество прямых, отстоящих от данной прямой (оси цилиндра) на расстоянии, равном радиусу цилиндра.

Конус. Тело, ограниченное конической поверхностью вращения и плоскостью, пересекающей все образующие конуса, называют круговым конусом.

Принадлежность точки поверхности конуса определяются с помощью образующих или параллелей конуса, проходящих через данную точку (рис.5 .15 а, б).

Задача №14

Начертательная геометрия — конус вращения; Начертательная геометрияНачертательная геометрия.

Недостающие проекции точки Начертательная геометрия строим с помощью образующей Начертательная геометрия, проходящей через эту точку, а проекции Начертательная геометрия с помощью параллели (окружности) Начертательная геометрия.

Точка Начертательная геометрия видима во фронтальной проекции и невидима в профильной. Точка Начертательная геометрия видима во фронтальной и профильной проекции. На горизонтальной проекции обе точки видимы.

При построении линии, принадлежащей поверхности конуса, в первую очередь строят характерные точки, принадлежащие очерковым образующим конуса, затем строят случайные точки данной линии.

Коническую поверхность вращения можно рассматривать как множество прямых, составляющих с данной прямой, осью конуса, определенный угол.

Начертательная геометрия

Шар. При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Часть пространства, ограниченную сферой, называют шаром. Все три очерка шара одинаковы ( рис.5 16.). Фронтальный очерк шара является фронтальной проекцией главного фронтального меридиана шара, горизонтальной — проекцией экватора шара, профильный — профильной проекцией его профильного меридиана. Если точка принадлежит очерку шара, то проекции точки располагаются на соответствующих проекциях этого очерка (см. точки 1, 2, 3).

Начертательная геометрия

Видимость точек определяется из анализа расположения их относительно линии видимости соответствующей плоскости проекций. Точка 1 невидима в профильной проекции, точки 3 и Начертательная геометрия невидима в горизонтальной. Остальные проекции отмеченных точек видимы.

Всякая произвольная точка на поверхности шара может быть построена с помощью параллели шара.

Заметим, что так как у шара за ось вращения может быть принят любой его диаметр, то на поверхности шара можно выделить для построения параллели, параллельные любой из плоскостей проекций Начертательная геометрия

Если необходимо построить проекции линии, принадлежащей поверхности шара, то строят проекции отдельных точек линии, выделяя в первую очередь характерные точки, т. е. точки, расположенные на очерках шара.

Тор. Поверхность, образованная вращением окружности Начертательная геометрия вокруг оси Начертательная геометрия, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр, называется тором.

Пример тора дан на рис. 5. 17.

Начертательная геометрия

Проекции точки, принадлежащей поверхности тора, строят с помощью параллели тора.

Задача №15

Начертательная геометрия — поверхность тора: Начертательная геометрия

Точка видима во всех проекциях. Если требуется построить проекции линии, принадлежащей поверхности тора, строят прежде всего проекции ее характерных точек, принадлежащих очерковым образующим, затем находят ее случайные точки.

Пересечение фигур

Случаи пересечения фигур. Характерные и случайные точки при построении линии пересечения. Алгоритм 1 и 2 случая пересечения фигур.

Случаи пересечения фигур

В пересечении двух заданных фигур (прямой, плоскости, поверхности) могут быть получены:

  • точка или несколько точек, если прямая пересекает плоскость или поверхность;
  • прямая линия, если пересекаются две плоскости;
  • плоская кривая или ломаная, если пересекается плоскость и поверхность;
  • пространственная кривая или ломаная, если пересекаются две поверхности.

Если фигурой пересечения является плоская или пространственная кривая, то построение проекций этой линии проводится по отдельным точкам, которые затем соединяются между собой. Среди множества точек линии обязательному построению подлежат так называемые характерные (опорные) точки. К ним относятся:

  • точки видимости, расположенные на очерковых образующих. Они делят фигуру пересечения на видимую и невидимую части;
  • точки, лежащие на осях симметрии;
  • экстремальные точки, т. е. наиболее близкие или удалённые от плоскости проекций;
  • для многогранников точки, лежащие па ребрах.

Заметим, если две заданные фигуры имеют общую плоскость симметрии, то искомая фигура пересечения будет иметь ось симметрии, расположенную в плоскости симметрии. Если общая плоскость симметрии проецирующая, то проекция фигуры пересечения симметрична относительно вырожденной проекции — следа плоскости.

Чтобы построить проекции фигуры пересечения, необходимо найти проекции точек фигуры пересечения заданных фигур. Решение задачи на проекционном чертеже значительно упрощается, если заданные фигуры (или одна из них) занимают проецирующее положение.

Все задачи на пересечение фигур можно отнести к одному из трёх возможных случаев:

  • случай 1 — обе геометрические фигуры занимают проецирующее положение;
  • случай 2 — одна фигура занимает проецирующее положение, а вторая-общее положение;
  • случай 3 — обе геометрические фигуры занимают общее положение.

Решение задачи на построение проекций фигуры пересечения необходимо выполнять в последовательности:

  1. провести анализ заданных геометрических фигур — выяснить вид фигуры пересечения, уточнить положение заданных фигур относительно плоскостей проекций с целью выявления случая пересечения;
  2. построить проекции фигуры пересечения по алгоритму, соответствующему данному случаю пересечения;
  3. установить видимость отдельных частей пересекающихся фигур и фигуры пересечения.

Для каждого из названных ранее случаев расположения заданных фигур относительно плоскостей проекций существует единый общий алгоритм решения. т. е. построения проекций фигуры пересечения.

Первый случай пересечения фигур

Обе заданные фигуры занимают проецирующее положение.

Если обе геометрические фигуры, заданные на чертеже, занимают проецирующее положение безразлично к одной и той же или различным плоскостям проекций, то две проекции общей фигуры пересечения уже непосредственно заданы на чертеже. Они совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Проиллюстрируем это на примерах.

Задача №16

Дано:

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Решение:

Начертательная геометрия

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка Начертательная геометрия. Фронтальная проекция этой точки находится на пересечении Начертательная геометрия и Начертательная геометрия. Горизонтальная проекция совпадает с вырожденной проекцией Начертательная геометрия.

Задача №17

Дано:

Начертательная геометрия

решение:

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Задача №18

Дано: Начертательная геометрия — призматическая поверхность (рис. 6.3).

Начертательная геометрия

Решение: Начертательная геометрия — ломанная линия

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Задача №19

Дано: Начертательная геометрия— цилиндрические поверхности ( рис. 6.4.)

Начертательная геометрия

Решение:

1) Начертательная геометрия

Обе заданные поверхности являются проецирующими, т.е. имеет место первый случай пересечения.

Фигурой пересечения двух цилиндров является пространственная кривая линия.

Начертательная геометрия — пространственная кривая.

2) Проекции линии пересечения совпадают с частями вырожденных проекций одной проецирующей фигуры, находящихся внутри контура второй фигуры.

Так, горизонтальная проекция линии пересечения Начертательная геометрия совпадает с частью вырожденной горизонтальной проекции цилиндра Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Фронтальная проекция линии пересечения Начертательная геометрия совпадает с частью вырожденной фронтальной проекции цилиндра Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

3) Профильная проекция построена по отдельным точкам, которые соединены потом плавной кривой. Построение показано для точки 2.

Начертательная геометрия

Второй случай пересечении фигур

Одна из геометрических фигур занимает проецирующее положение, а вторая — общее положение.

Если одна из геометрических фигур занимает проецирующее положение, то одна проекция искомой фигуры пересечения уже непосредственно задана на чертеже.

Она совпадает с вырожденной проекцией (или с ее частью) проецирующей фигуры. Вторая проекция фигуры пересечения строится на основе условия принадлежности ее точек поверхности фигуры общего положения.

Таким образом, задача на пересечение практически сводится к решению более простой — задачи иа принадлежность.

Рассмотрим графическое построение на примерах.

Задача №20

Дано: Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Решение: Начертательная геометрия — общего положения Начертательная геометрия

2) Так как Начертательная геометрия и Начертательная геометрия

В тоже время Начертательная геометрия

Определяем Начертательная геометрия — горизонтальная проекция точки пересечения является пересечением горизонтальной проекции прямой и вырожденной проекцией плоскости.

Начертательная геометрия — фронтальная проекция точки пересечения строится из условия ее принадлежности прямой Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Определяем видимость на плоскости Начертательная геометрия с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 2.

Отметим, что если среди двух заданных геометрических фигур одна является проецирующей плоскостью, то на эпюре часто видимость определяют по представлению, не прибегая к помощи конкурирующих точек.

Задача №21

Дано:

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Решение:

Начертательная геометрия

Горизонтальную проекцию искомой точки Начертательная геометрия построим на основе принадлежности её плоскости общего положения при помощи вспомогательной прямой плоскости — прямой Начертательная геометрия.

Видимость прямой Начертательная геометрия на плоскости Начертательная геометрия определим при помощи горизонтально конкурирующих точек 2 и 3.

Задача №22

Дано: Начертательная геометрия — коническая поверхность, Начертательная геометрия ( рис. 6. 7).

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Решение:

Начертательная геометрия

Горизонтальные проекции точек Начертательная геометрия и Начертательная геометрия определяем из условия их принадлежности боковой поверхности конуса с помощью его образующих. Очевидно, что на горизонтальной проекции эти точки видимы. Часть проекции прямой между точками Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, находящуюся внутри конуса, на чертеже показывают тонкой сплошной линией построения.

Задача №23

Дано: Начертательная геометрия ( рис. 6. 8).

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Решение: Начертательная геометрия — прямая

Начертательная геометрия

Горизонтальную проекцию искомой прямой Начертательная геометрия построим на основе принадлежности её плоскости общего положения Начертательная геометрия т.е.

Начертательная геометрия

Видимость на плоскости Начертательная геометрия определена по представлению.

Задача №24

Дано: Начертательная геометрия — сфера; Начертательная геометрия (рис. 6. 9).

Начертательная геометрия

Решение: I) Начертательная геометрия — окружность.

2) Начертательная геометрия

На плоскость Начертательная геометрия окружность проецируется в виде эллипса. Горизонтальную и профильную проекции Начертательная геометрия строим по отдельным точкам исходя из принадлежности их сферической поверхности.

Сначала строим проекции опорных точек — точки видимости Начертательная геометрияНачертательная геометрия на соответствующих линиях поверхности сферы. Посередине отрезка Начертательная геометрия на фронтальной проекции отмечена точка Начертательная геометрия -фронтальная проекция центра окружности — сечения. По линии связи находим горизонтальную проекцию Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

этого центра. На направлении линии связи Начертательная геометрия в обе стороны от точки Начертательная геометрия можно отложить радиус окружности сечения, равный Начертательная геометрия Это даёт одну ось эллипса Начертательная геометрия, вторая ось — Начертательная геометрия

Для построения случайных точек используем параллель — окружность поверхности. На чертеже показано построение случайных точек 1,2.

Видимость найденной линии пересечения меняется от точек Начертательная геометрия — на Начертательная геометрия и Начертательная геометрия-на Начертательная геометрия.

Задача №25

Дано: Начертательная геометрия — призма ( рис. 6. 10).

Начертательная геометрия

Решение: Начертательная геометрия — ломанная

Начертательная геометрия

2) Горизонтальная проекция плоской ломаной Начертательная геометрия совпадает с горизонтальной проекцией боковой поверхности призмы, т.е. Начертательная геометрия Фронтальную проекцию этой линии строим на основе принадлежности ее плоскости Начертательная геометрия

На плоскости Начертательная геометрия видимы те участки ломаной, которые расположены на видимых гранях призмы.

Задача №26

Дано: Начертательная геометрия — поверхность цилиндра

Начертательная геометрия — поверхность конуса ( рис. 6. 11.) Начертательная геометрия

Решение: 1) Начертательная геометрия — пространственная кривая 2) Начертательная геометрия и ФНачертательная геометрия

Имея фронтальную проекцию искомой кривой, отмечаем опорные точки Начертательная геометрия на плоскости Начертательная геометрия. Горизонтальные и профильные проекции этих точек находим их условия принадлежности их соответствующим образующим или параллелям конуса.

Начертательная геометрия

Случайные точки 1, 2, 3, 4 построены с помощью параллелей конуса.

Заметим, что заданные фигуры имеют общую плоскость симметрии -фронтальную плоскость Начертательная геометрия. Поэтому горизонтальная и профильная проекция искомой кривой Начертательная геометрия симметричны относительно соответствующих проекций плоскости Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

При определении видимости отдельных частей кривой Начертательная геометрия учитываем, что на проекции та часть линии пересечения видима, которая расположена на видимой части двух заданных пересекающихся фигур.

Таким образом, решение задачи на пересечение геометрических фигур, когда одна из них является проецирующей фигурой, выполняется в такой поел едовател ьности:

  1. выделяем из 2-х заданных фигур проецирующую и отмечаем ее вырожденную проекцию;
  2. обозначаем ту проекцию искомой фигуры пересечения ( точки, линии), которая совпадает с вырожденной проекцией проецирующей фигуры Если совпадение только частичное, то находим границы общей части;
  3. строим вторую проекцию искомых общих точек по условию их принадлежности геометрической фигуре общего положения.

Третий случай пересечение фигур

Способ плоскостей-посредников.

Обе геометрические фигуры занимают общее положение.

Если две пересекающиеся геометрические фигуры занимают общее (не проецирующее) положение, то основой алгоритма решения такой задачи является использование вспомогательных поверхностей — посредников (чаще всего плоскостей или сфер) с целью выявления общих точек заданных фигур.

Сущность способа вспомогательных сечений плоскостями — посредниками заключается в следующем:

  1. Две заданные фигуры пересекаем некоторой вспомогательной поверхностью — Начертательная геометрия (рис.7.1.).
  2. Находим пересечение поверхности — посредника с заданными фигурами Начертательная геометрия
  3. Определяем точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, общие для заданных фигур и поверхности посредника Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Если для нахождения пересечения заданных фигур необходимо найти множество точек, то, повторяя этот прием несколько раз, определяем достаточное количество точек, необходимых для построения искомой фигуры пересечения.

Посредники выбирают так, чтобы в пересечении с заданными фигурами они давали графически простые линии (прямые или окружности), при этом окружности должны проецироваться без искажения на плоскости проекций.

В зависимости от условия задачи поверхность-посредник может пересекать заданные геометрические фигуры (рис. 7.1.) или же проходить через одну из них (см. рис. 7.2.), если одна из заданных фигур является линией (прямой или кривой).

С помощью указанного алгоритма можно выяснить любое положение прямой относительно заданной плоскости (рис.7.2).

Начертательная геометрия

Так, если:

Начертательная геометрия

Рассмотрим графические построения, связанные с нахождением пересечения фигур общего положения, на примерах.

Задача №27

Дано:Начертательная геометрия(рис. 7.3)

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Решение: 1) Начертательная геометрия — общего положения

Начертательная геометрия

2) Точку пересечения прямой с плоскостью определяют вышеуказанным способом сечений. В качестве посредника целесообразно выбрать проецирующую плоскость, проходящую через заданную прямую.

Алгоритм решения этой задачи состоит из трех операций.

а) Начертательная геометрия (вводим плоскость — посредник Начертательная геометрия);

б) Начертательная геометрия

в) Начертательная геометрия

3) Видимость прямой Начертательная геометрия определяется методом конкурирующих точек. Поскольку из двух фронтально конкурирующих точек Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, лежащих на прямых Начертательная геометрия и Начертательная геометрия соответственно, дальше от плоскости Начертательная геометрия расположена точка Начертательная геометрия, то в этом месте чертежа видимой будет заданная прямая Начертательная геометрия до точки пересечения Начертательная геометрия (см. рис. 7.3). Далее прямая Начертательная геометрия невидима.

Задача №28

Дано: Начертательная геометрия — поверхность вращения; Начертательная геометрия (рис.7.4.)

Начертательная геометрия

Решение:

1) Начертательная геометрия — общего положения Начертательная геометрия

2) Точки пересечения прямой с поверхностью, «точки входа и выхода» Начертательная геометрия и Начертательная геометрия определяются с помощью способа вспомогательных сечений. Прямую Начертательная геометрия заключаем в проецирующую плоскость Начертательная геометрия. Критерием выбора вспомогательной плоскости является наибольшая простота построения полученной на поверхности кривой сечения.

Алгоритм решения:

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия строим по точкам, исходя из принадлежности их заданной поверхности Начертательная геометрия.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

3). При определении видимости отдельных участков прямой исходим из того, что прямая будет видима, если она пересекает поверхность в видимой точке. Участок прямой, заключенный внутри поверхности, изображаем тонкой сплошной линией.

Из рассмотренных примеров видно, что для построения точек (точки) пересечения прямой с поверхностью (плоскостью) достаточно применить одну вспомогательную проецирующую плоскость — посредник, проходящую через данную прямую.

В ряде случаев, выбрав оптимальный путь решения задачи, построения можно упростить.

Задача №29

Дано: Начертательная геометрия — наклонный цилиндр с осью Начертательная геометрия и основанием Начертательная геометрия;

Начертательная геометрия — прямая (рис. 7.5).

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Решение:

Начертательная геометрия

Заключаем прямую Начертательная геометрия в плоскость Начертательная геометрия.

Для этого плоскость Начертательная геометрия задаем пересекающимися прямыми Начертательная геометрия, лежащей в плоскости основания цилиндра, и прямой Начертательная геометрия параллельной оси цилиндра Начертательная геометрия. Обозначим точки взаимного пересечения трех прямых Начертательная геометрия соответственно Начертательная геометрия

Так как плоскость посредник Начертательная геометрия, то она пересечет боковую поверхность цилиндра по образующим Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, положение которых определяют точки 1 и 2 пересечения прямой Начертательная геометрия и окружности основания Начертательная геометрия. Остается только отметить на чертеже точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, как результат пересечения прямой Начертательная геометрия с образующими цилиндра Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

Пример 4. Построить пересечение двух плоскостей. Дано: Начертательная геометрия (рис. 7.6.) Начертательная геометрия

Решение: 1). Начертательная геометрия — прямая общего положения. 2). Так как прямую вполне определяют две точки, то для построения прямой пересечения Начертательная геометрия достаточно ввести две вспомогательные проецирующие плоскости Начертательная геометрия и Начертательная геометрия. Алгоритм решения заключается в следующем:

Начертательная геометрия

4) Поскольку в условии задачи плоскости не заданы ограниченными наложенными друг на друга контурами, их взаимная видимость не определяем.

Начертательная геометрия

Задача №30

Найти фигуру сечения пирамиды плоскостью общего положения.

Дано: Начертательная геометрия (рис.7.7) Начертательная геометрия

Решение: 1) Начертательная геометрия — плоская ломаная линия.

Сечение многогранника — это множество точек, общих для секущей плоскости и граней поверхности.

Невырожденное плоское сечение есть многоугольник, число вершин которого равно числу пересекаемых ребер, а число сторон равно числу пересекаемых граней. Сечение можно найти, построив либо его вершины, как точки пересечения ребер с секущей плоскостью, либо его стороны, как линии пересечения граней с той же плоскостью, или комбинируя первый прием со вторым.

Начертательная геометрия

На рис. 7.7. показано решение первым способом. Вспомогательные секущие плоскости посредника проведены через ребра пирамиды. Отсюда алгоритм решения:

Начертательная геометрия

Остальные вершины искомого сечения определяем путем проведения аналогичных операций.

Начертательная геометрия

И далее:

Начертательная геометрия

Найденные точки сечения соединяем так, чтобы две из них лежали в одной грани пирамиды. Точка Начертательная геометрия лежит за пределами секущей плоскости Начертательная геометрия, поэтому контур сечения ограничиваем точками Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, между которыми прямая Начертательная геометрия пересекает грани пирамиды.

3) При определении видимости контуров найденного сечения следует исходить из условия, что прямая будет видимой, если она лежит в видимой грани пирамиды.

Задача №31

Построить фигуру сечения конуса плоскостью общего положения.

Дано: Начертательная геометрия — конус;

Начертательная геометрия (рис. 7.8 а) Начертательная геометрия

Решение: 1) Начертательная геометрия — плоская кривая

2) Секущая плоскость в не проходит через вершину конуса, следовательно, фигурой сечения конуса Начертательная геометрия плоскостью Начертательная геометрия будет кривая Начертательная геометрия (эллипс или его часть).

Для построения этой кривой находим необходимое количество точек, ей принадлежащих. Вначале определяют характерные точки, которые определяют характер искомой кривой.

Так, для нахождения наивысшей точки кривой Начертательная геометрия, вспомогательная плоскость Начертательная геометрия проводится через вершину конуса, перпендикулярно горизонтальному следу секущей плоскости Начертательная геометрия. Плоскость Начертательная геометрия будет являться плоскостью симметрии сечения (рис. 7.8 б)

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия

Для нахождения видимости, лежащей на очерковой образующей конуса, проводим фронтальную плоскость-посредник, проходящую через вершину конуса.

Начертательная геометрия

Точки границы видимости Начертательная геометрия и Начертательная геометрия получены как результат пересечения фронтального очерка конуса Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

Для построения случайных точек кривой Начертательная геометрия, проводим секущие горизонтальные плоскости.

  1. Начертательная геометрия
  2. Начертательная геометрия — окружность; Начертательная геометрия
  3. Начертательная геометрия
  4. Начертательная геометрия и т.д. представляют собой точки искомого эллипса.
Начертательная геометрия

Задача №32

Построить фигуру пересечения двух поверхностей вращения. Дано: Начертательная геометрия — сфера;

Начертательная геометрия — поверхность вращения (рис. 7.9) Начертательная геометрия

Решение: 1). Начертательная геометрия — пространственная кривая

2). Плоскость симметрии обеих фигур параллельна фронтальной плоскости проекций, поэтому точки Начертательная геометрия и Начертательная геометрия пересечения фронтальных образующих фигур будут являться точками линии их пересечения.

Начертательная геометрия

3). Промежуточные точки найдем с помощью плоскостей — посредников, параллельных плоскости Начертательная геометрия

Для нахождения точки 2 проведем плоскость Начертательная геометрия Начертательная геометрия — окружность радиуса Начертательная геометрия; Начертательная геометрия — окружность радиуса Начертательная геометрия. Пересечение этих окружностей дает две точки 2 и Начертательная геометрия. Точки 3, 4, 5, 6 находятся аналогично с помощью плоскостей — посредников Начертательная геометрия и Начертательная геометрия соответственно.

Пересечение соосных поверхностей вращения. Метод сфер-посредников. Теорема Монжа.

Линией пересечения поверхностей второго порядка является в общем случае кривая четвертого порядка. Для ее построения не всегда целесообразно воспользоваться плоскостями-посредниками, т. к. их применение в ряде усложняет промежуточные построения. В качестве посредников при решении таких задач применяются вспомогательные сферические поверхности. Их применение основано на свойстве соосных поверхностей пересекаться по окружностям.

Построение линии пересечения соосных поверхностей вращения

Поверхности вращения называются соосными, если их оси вращения совпадают.

Начертательная геометрия — поверхность вращения;

Начертательная геометрия — поверхность вращения (рис. 8.1.)

Начертательная геометрия

Теорема. Две соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, число которых равно числу пересечения образующих, находящихся по одну сторону общей оси вращения. Плоскости этих окружностей перпендикулярны общей оси вращения.

Доказательство. Поверхности заданы главными меридианами Начертательная геометрия и Начертательная геометрия (рис. 8.1.), пересекающимися в точках Начертательная геометрия и Начертательная геометрия Каждая из этих точек опишет окружность при образовании поверхностей Начертательная геометрия и Начертательная геометрия Другие точки, принадлежащие меридианам и лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения, например Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, при образовании поверхностей также опишут концентрические окружности.

На рис 8.2. приведены примеры пересечений цилиндра и конуса с шаром. В обоих указанных случаях шар является соосным с поверхностью вращения, так как центр его расположен на осях этих поверхностей.

Поэтому конус и цилиндр вращения пересекаются с шаром по окружностям. Проекции этих окружностей на плоскость, параллельную оси вращения поверхностей, вырождаются в прямые линии, так как плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения цилиндра и конуса.

Метод концентрических сфер-посредников

Для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями целесообразно в качестве посредников применять сферические поверхности, соосные с обеими пересекающимися поверхностями. Центры таких сфер должны находится в точке пересечения осей данных поверхностей. Сфера-посредник пересекает каждую из поверхностей по окружностям, принадлежащим этому посреднику, а пересечения на выбранной сфере-посреднике окружностей одной поверхности с окружностями другой поверхности даст точки искомой линии пересечения данных поверхностей. При последовательном применении ряда сфер-посредников получаем достаточное количество точек искомой линии пересечения.

Начертательная геометрия

Применение концентрических сфер-посредников для построения линии пересечения возможно при двух условиях:

  • если обе поверхности являются поверхностями вращения;
  • если оси их пересекаются, так как только при этом можно построить сферические посредники, соосные одновременно обеим поверхностям. Для более удобного решения задачи плоскость пересекающихся осей должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Задача №33

Построить линию пересечения конуса с цилиндром.

Дано: Начертательная геометрия — конус вращения;

Начертательная геометрия — цилиндр вращения (рис.8.3.)

Начертательная геометрия

Решение: 1. Начертательная геометрия — две пространственные кривые.

Для решения задачи используем рассмотренный алгоритм применения концентрических сфер-посредников.

Оси вращения этих поверхностей пересекаются и параллельны плоскости Начертательная геометрия. Очерковые образующие поверхностей конуса и цилиндра лежат в одной плоскости Начертательная геометрия и параллельны плоскости Начертательная геометрия. Следовательно, фронтальные проекции Начертательная геометрия этих точек находятся в пересечении очерковых образующих на Начертательная геометрия. Горизонтальные проекции Начертательная геометрия, тех же точек будут принадлежать вырожденной проекции Начертательная геометрия плоскости Начертательная геометрия. Для построения других точек линии пересечения в качестве посредников выбраны концентрические сферы с центром в точке пересечения осей вращения цилиндра и конуса. Поверхности вращения пересекутся с этим посредником по окружностям, плоскости которых перпендикулярны соответственно оси конуса и оси цилиндра и поэтому проекции окружностей вырождаются на Начертательная геометрия в прямые.

При построении линии пересечения прежде всего надо провести две сферы радиусами Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

Все остальные посредники должны располагаться между ними. Сфера наименьшего радиуса выбирается так, чтобы она касалась одной из поверхностей и одновременно пересекала бы другую поверхность.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия равен расстоянию от центра сфер-посредников до наиболее удаленной от него точки пересечения очерковых образующих. В данной задаче это точка 4.

При нахождении достаточного количества точек, принадлежащих пространственным кривым Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, соединяем их с помощью лекала с учетом видимости отдельных участков кривых. Кривую будем считать видимой, если ее точки принадлежат одновременно двум видимым образующим конуса и цилиндра. При определении характера линии пересечения, полученной с помощью метода сферических посредников, учитываем, что поверхность, в которую вписывалась сфера с наименьшим радиусом, пресекается со второй поверхностью частично, не все ее образующие имеют на себе точки, принадлежащие искомой пространственной кривой.

Начертательная геометрия

Метод эксцентрических сфер-посредников

В некоторых случаях возможно использование сфер-посредников, центры которых не лежат в одной точке. Этот способ иногда называют способом скользящих сфер. Он применим в случаях, когда оси заданных фигур не имеют точки пересечения, когда одна из поверхностей не является поверхностью вращения, но имеет две системы круговых сечений.

Задача №34

Построить линию пересечения конуса с тором.

Дано: Начертательная геометрия — конус вращения;

Начертательная геометрия круговой тор ( рис.8. 4.) Начертательная геометрия

Начертательная геометрия — пространственная кривая.

Оси заданных поверхностей не пересекаются, но поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости Начертательная геометрия. В качестве посредников в этой задаче целесообразно использовать эксцентрические сферы-посредники, центры которых лежат в разных точках на оси симметрии конуса.

Выбор центра и радиуса сферы-посредника производится так:

а), через ось тора проводим произвольную фронтально проецирующую плоскость Начертательная геометрия. пересекающую тор по окружности Начертательная геометрия с центром Начертательная геометрия.

б), находим центр сферы-посредника, которая бы проходила через полученную окружность и пересекала конус по окружности Начертательная геометрия. Этот центр будет расположен в точке Начертательная геометрия на пересечении оси конуса с перпендикуляром, восстановленным из точки Начертательная геометрия к фронтальному следу плоскости Начертательная геометрия.

В пересечении окружностей Начертательная геометрия и Начертательная геометрия будут получены точки 2 и Начертательная геометрия.

Пересекая тор фронтально проецирующими плоскостями Начертательная геометрия и производя построения, аналогичные выполненным, находим точки 3, 4, 5. Точки 1 и 6 получены как принадлежащие фронтальной плоскости симметрии обеих поверхностей.

Горизонтальные проекции построенных точек можно построить с помощью окружностей-параллелей конуса, проходящих через эти точки.

Начертательная геометрия

Кстати тут дополнительная теория из учебников по начертательной геометрии.

Теорема Монжа

В особых случаях пространственная кривая, полученная в результате пересечения двух поверхностей вращения, распадается на плоские кривые или прямую (линию 1-го порядка) и кривую 3-го порядка и т. д. Так, если две поверхности второго порядка соприкасаются в двух точках, то кривая пересечения распадается па две кривые второго порядка.

В курсе аналитической геометрии доказывается теорема Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум плоским кривым второго порядка, причем плоскости этих кривых проходят через прямую, определяемую точками соприкосновения всех трех поверхностей.

Поясним смысл теоремы на примере пересечения двух цилиндров вращения равного диаметра.

Задача №35

Найти линию пересечения двух цилиндров (рис. 8.5.).

Дано: Начертательная геометрия и Начертательная геометрия -цилиндры вращения Начертательная геометрия

Решение: Начертательная геометрия — плоские кривые.

Обе цилиндрические поверхности Начертательная геометрия и Начертательная геометрия можно рассматривать как описанные около поверхности сферы Начертательная геометрия. Очевидно, что поверхности Начертательная геометрия и Начертательная геометрия будут касаться поверхности сферы соответственно по окружностям Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, точки пересечения которых Начертательная геометрия и Начертательная геометрия будут общими для всех трех поверхностей. Эти две точки и являются точками соприкосновения, отмеченными в теореме Монжа. Соединив по диагонали проекции точек пересечения фронтальных очерковых цилиндров Начертательная геометрия и Начертательная геометрия , мы получим вырожденные фронтальные проекции плоских кривых их пересечения Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

В данном примере кривые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия представляют собой эллипсы, пересекающиеся в точках соприкосновения Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, а значит, их плоскости проходят через отрезок Начертательная геометрия, что отвечает требованию теоремы.

На практике эта теорема находит широкое применение в случае пересечения поверхностей вращения, описанных около общей для них сферы.

Начертательная геометрия

Рассмотрим приложение выше сказанного к построению линий пересечения двух прямых круговых конусов: вертикального Начертательная геометрия и горизонтального Начертательная геометрия.

Задача №36

Найти линию пересечению двух прямых круговых конусов Дано: Начертательная геометрия и Начертательная геометрия конусы (рис. 8. 6). Начертательная геометрия

Решение: Начертательная геометрия — две плоские кривые.

Начертательная геометрия

Оба конуса описаны около общей сферы, следовательно, пересекутся по двум плоским кривым. Боковая поверхность конуса Начертательная геометрия будет касаться сферы по окружности Начертательная геометрия, а конуса Начертательная геометрия по окружности Начертательная геометрия. Обе окружности пересекутся в точках Начертательная геометрия и Начертательная геометрия так как принадлежат одной сфере. Это и есть точки соприкосновения двух рассматриваемых конусов. Остается только соответственно соединить фронтальные проекции точек пересечения очерковых Начертательная геометрия и мы получим вырожденные фронтальные проекции плоских кривых пересечения Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, которые и в этом случае будут эллипсами. Если задача решена с достаточной точностью, то Начертательная геометрия и Начертательная геометрия обязательно пересекутся в точках соприкосновения Начертательная геометрия и Начертательная геометрия.

В других случаях, отвечающих условиям теоремы Монжа, при изменении относительных размеров и взаимного положения поверхностей вращения в пространстве линии их пересечения могут принимать форму гипербол или парабол.

Следует отметить, что пересечение по теореме Монжа является пограничным случаем в очертании линий пересечения поверхностей вращения.

Если в последней задаче изменить относительные размеры конусов так чтобы сфера минимального радиуса (Начертательная геометрия) вписывалась бы в вертикальный конус Начертательная геометрия, а горизонтальный пересекала, то линии их пересечения распадутся па две пространственные кривые Начертательная геометрия и Начертательная геометрия, полностью пересекающие образующие горизонтального конуса Начертательная геометрия (рис. 8.7). В этом случае горизонтальный конус протыкает вертикальный.

При изменении параметров конусов таким образом, чтобы сфера минимального радиуса Начертательная геометрия вписывалась в горизонтальный конус и пересекала вертикальный (рис. 8.8), характер пересечения меняется. Теперь уже вертикальный конус протыкает горизонтальный.