Математика

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «математика»

Лекции подготовлены для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета « математика ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры задач с подробным решением.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Теория действительных чисел

К оглавлению…

«Математика (от греческого «знание, наука») — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».

«Арифметика (от греческого «число») — часть математики, наука о числах, в первую очередь о неотрицательных рациональных числах (целых и дробных), и действиях над ними».

Арифметика — это один из основополагающих разделов математики, занимающийся изучением природы и свойств чисел. Это та часть математики, с которой она исторически начала развиваться вначале как прикладное средство для решения практических задач, а затем и как самостоятельная наука. Как сказал великий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), «математика — царица наук, а арифметика — царица математики». Современное название данного раздела — теория чисел.

Из русских арифметических руководств начала XVIII века наибольшее значение имела «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703). В ней содержится следующее описание арифметики: «Арифметика, или численница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальней-шее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретённое и изложенное».

Рассмотрим наиболее важные вопросы, имеющие отношение к рассматриваемой теме, освещаемые в той или иной степени в школьном курсе элементарной математики и встречающиеся с завидным постоянством на вступительных экзаменах в МГУ и другие высшие учебные заведения. Прежде чем научиться хорошо решать задачи на свойства натуральных и целых чисел, необходимо тщательно изучить теоретическую базу этого раздела, усвоить определения, разобраться в основных понятиях и ознакомиться с важнейшими типами задач. Помощь в этом вам окажет данное пособие.

Натуральные и целые числа

К оглавлению…

  1. Натуральные и целые числа: определения, свойства, теоремы и законы
  2. Представление натурального числа в десятичной системе счисления и в системах счисления с произвольным основанием
  3. Признаки делимости натуральных чисел на 2,3,4, 5, 8, 9,10,11,25
  4. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики
  5. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритмы их нахождения и свойства

Некоторые приёмы и методы, используемые при решении задач с целочисленными величинами

К оглавлению…

Обратимся к приёмам, применяемым по отношению к задачам на целые числа. Эта весьма широкая группа методов. Среди них есть как узко специализированные, так и весьма универсальные и хорошо известные. Следует подчеркнуть, что довольно часто при решении одной задачи могут использоваться сразу несколько различных приёмов. Перечислим те из них, которые применяются наиболее часто, в том числе при решении уравнений и неравенств в целых числах, проиллюстрировав их использование примерами.

Начнём со специфических методов, существенно использующих целочисленность величин, фигурирующих в условиях задач.

  1. Разложение целого числа в сумму по степеням основания системы счисления
  2. Метод анализа делимости нацело. Использование признаков делимости
  3. Метод анализа остатков в математике
  4. Метод анализа последней цифры числа в математике
  5. Задачи на простые и составные числа в математике
  6. Задачи на НОД и НОК в математике
  7. Метод замены переменных в математике
  8. Метод оценок в математике с примерами решения
  9. Использование различных алгебраических преобразований, в том числе формул сокращённого умножения, приёма выделения полных квадратов
  10. Рассмотрение уравнения относительно некоторой величины
  11. Уравнения вида A*B=n, где А, В — целочисленные выражения, п — целое число
  12. Задачи, приводящие к ситуации, когда дробь должна принимать целочисленные значения
  13. Другие приёмы и методы при решении уравнений в целых числах

Рациональные, иррациональные и действительные числа Понятие арифметической дроби. Классификация дробей

К оглавлению…

  1. Понятие арифметической дроби. Классификация дробей в математике
  2. Правила перевода рационального числа из обыкновенной дроби в периодическую и обратно
  3. Сравнение рациональных чисел. Арифметические операции над рациональными числами
  4. Решение уравнений в рациональных числах
  5. Иррациональные и действительные числа в математике с примерами решения
  6. Сравнение действительных чисел в математике с примерами решения
  7. Алгебраические и трансцендентные числа в математике с примером решения
  8. Целая, дробная части действительного числа и их свойства

Степень действительного числа

К оглавлению…

  1. Степени с натуральными и целыми показателями и их свойства
  2. Арифметические и алгебраические корни n-й степени
  3. Свойства арифметических (алгебраических) корней с примером решения
  4. Степени с рациональными показателями и их свойства с примером решения
  5. Степени с иррациональными показателями с примером решения

Дополнительные лекции по математике, возможно они будут вам полезны:

  1. Элементы теории множеств
  2. Подмножества
  3. Операции над множествами
  4. Некоторые основные логические символы
  5. Круги Эйлера
  6. Понятия отображения и функции
  7. Сюръекция, инъекция и биекция
  8. Обратное отображение
  9. Композиция отображений
  10. Произведение множеств. График отображения

Числовые равенства и неравенства. Формулы сокращённого умножения. Известные алгебраические неравенства

К оглавлению…

  1. Числовые равенства и неравенства
  2. Числовые равенства и их свойства
  3. Пропорциональные отрезки. «Золотое сечение» с примером решения
  4. Числовые неравенства и их свойства с примерами решения

Формулы сокращённого умножения

К оглавлению…

  1. Основные формулы сокращённого умножения в математике
  2. Понятие n-факторнала. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля

Некоторые известные алгебраические неравенства

К оглавлению…

  1. Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел
  2. Наиболее известные средние величины и соотношения между ними
  3. Неравенство Коши в математике с примерами решения
  4. Неравенство между средним геометрическим и средним гармоническим
  5. Неравенства Бернулли в математике с примерами решения
  6. Неравенство Коши-Буняковского в математике с примерами решения
  7. Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным
  8. Задачи на доказательство различных алгебраических неравенств

Эти дополнительные лекции по математике возможно будут вам полезны:

  1. Упорядоченные множества. Элементы комбинаторики
  2. Ограниченные множества
  3. Функция и ее график
  4. Основные способы задания функции
  5. Сложная и взаимно обратные функции
  6. Периодические функции
  7. Монотонные функции
  8. Четные и нечетные функции
  9. Ограниченные функции
  10. Основные элементарные функции

Алгебраические уравнения и неравенства

К оглавлению…


«Алгебра — часть математики, изучающая (пользуясь буквенными обозначениями) общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений».

  1. Уравнения, тождества, неравенства: определения и классификация
  2. Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия в математике
  3. Примеры равносильных преобразований
  4. Примеры неравносильных преобразований в математике с примерами решения
  5. Целые алгебраические уравнения и неравенства. Линейные уравнения и неравенства с примерами решения
  6. Квадратные уравнения и неравенства
  7. Формула корней квадратного уравнения
  8. Теорема Виета. Обратная теорема. Теорема об определении знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
  9. Квадратные неравенства в математике с примерами решения
  10. Расположение корней квадратного трёхчлена относительно одной-двух заданных точек («метод парабол»)

Алгебраические уравнения и неравенства степени выше второй

К оглавлению…

Для решения целых алгебраических уравнений третьей и четвёртой степеней существуют формулы для нахождения корней, однако в силу их громоздкости они применяются редко. В общем случае не существует формул для нахождения корней любого алгебраического уравнения более высокой степени, чем четыре. Рассмотрим основные виды таких уравнений, а также приёмы, используемые на практике для их решения. Но перед этим приведём без доказательства некоторые достаточно важные теоремы о свойствах алгебраических многочленов, включая основную теорему алгебры.

  1. Теоремы о свойствах алгебраических многочленов
  2. Методы решения целых алгебраических уравнений с примерами решения
  3. Двучленные, трёхчленные и биквадратные уравнения с примером решения
  4. Однородные уравнения в математике с примерами решения
  5. Симметрические и кососимметрические уравнения в математике с примерами решения
  6. Возвратные уравнения в математике с примерами решения
  7. Тригонометрические подстановки с примером решения
  8. Частичная замена переменной и сведение к системе с примерами решения
  9. Графический подход (метод координат) в математике с примерами решения

Эти дополнительные лекции по математике возможно будут вам полезны:

  1. Некоторые элементарные функции
  2. Законы композиции
  3. Основные алгебраические структуры
  4. Группа подстановок
  5. Понятие метрического пространства
  6. Окрестности в метрическом пространстве
  7. Характерные точки множеств
  8. Замкнутые множества
  9. Компактные множества
  10. Определение непрерывного отображения

Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

К оглавлению…

  1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства с примерами решения
  2. Общий метод решения дробных неравенств в математике с примерами решения
  3. Метод интервалов для решения неравенств в математике с примерами решения
  4. Метод замены множителей на множители равных знаков в математике с примерами решения
  5. Рациональные неравенства, решаемые на отдельных промежутках ОДЗ в математике с примерами решения

Иррациональные алгебраические уравнения и неравенства

К оглавлению…

Уравнение (неравенство), содержащее неизвестную величину либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестной под знаком радикала, называют иррациональным уравнением (неравенством). В элементарной математике иррациональные уравнения и неравенства решают на множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных преобразований (умножения, деления, возведения в натуральную степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться не равносильным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать посторонние корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, вычислив корни полученного алгебраического уравнения, необходимо проверить, будут ли все они также и корнями исходного иррационального уравнения.

Основной подход к решению иррациональных уравнений (неравенств) — их рационализация, т.е. сведение к рациональным алгебраическим уравнениям (неравенствам). При этом могут быть использованы различные средства.

Для того чтобы найти множество решений иррационального неравенства тоже, как правило, приходится возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедур решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно, вообще говоря, не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет обычно конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой в основном бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путём подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы постоянно должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, равносильное исходному. Решая иррациональные неравенства, следует помнить, что при возведении его частей в нечётную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в чётную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны (одного знака).

Отсюда получаем различные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. Перечислим те из них, что характерны именно для решения задач с радикалами. Остальные — универсальные — методы решения, будут рассмотрены ниже.

  1. Метод возведения в степень иррациональных уравнений с примерами решения
  2. Стандартные задачи иррациональных уравнений и схемы их решения
  3. Метод домножения на сопряжённое выражение в математике с примерами решения
  4. Замена переменных: рационализирующие подстановки в математике с примерами решения

Решение задачи на отдельных промежутках ОДЗ

К оглавлению…

  1. Решение задачи на отдельных промежутках ОДЗ

Задачи с модулем

К оглавлению…

В силу важности задач, связанных с раскрытием модулей действительных чисел, и достаточной распространённости их во время конкурсных испытаний, задачи с модулем выделены в отдельный пункт. Понятие модуля действительного числа закладывает основы для введения в будущем таких понятий, как модуль комплексного числа, модуль вектора, а также дальнейшего обобщения -понятия нормы.

  1. Модуль действительного числа, его график и свойства
  2. Методы решения задач с модулями в математике

Эти дополнительные лекции по математике возможно будут вам полезны:

  1. Свойства непрерывного отображения множеств
  2. Линейно связные множества
  3. Равномерная непрерывность
  4. Переменные величины
  5. Понятие числовой последовательности
  6. Предел последовательности
  7. Признаки существования предела последовательности
  8. Число е
  9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
  10. Предел функции в точке

Специальные методы решения задач с модулями

К оглавлению…

  1. Раскрытие модулей но определению в математике с примерами решения
  2. Метод интервалов для модульных уравнений с примерами решения
  3. Метод областей для решения уравнений с примерами решения
  4. Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл с примером решения
  5. Раскрытие модулей на ОДЗ в математике с примерами решения
  6. Умножение на сопряжённое выражение в математике с примером решения
  7. Замена в неравенствах множителей множителями эквивалентного знака
  8. Задачи, содержащие «скрытый» модуль в математике с примерами решения
  9. Использование свойств модулей для решения задач с примерами решения
  10. Схемы решения типовых задач с применением модуля

Эти дополнительные лекции по математике возможно будут вам полезны:

  1. Предел сложной функции
  2. Два замечательных предела
  3. Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
  4. Понятие предела отображения
  5. Некоторые свойства предела отображения
  6. Пределы действительных функций
  7. Признаки существования предела действительной функции
  8. Непрерывность функции в точке
  9. Свойства функций, непрерывных в точке
  10. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

Универсальные методы решения задач с модулями

К оглавлению…

Наряду со специальными методами при решении задач с модулями могут быть использованы любые из известных в элементарной математике и широко применимых методов, не привязанных жёстко к какой-либо группе задач (отсюда их название — универсальные). Рассмотрим эти методы, проиллюстрировав их применение примерами.

  1. Возведение в степень по модулю с примерами решения
  2. Метод замены неизвестных в математике с примерами решения
  3. Разложение на множители неравенств с примерами решения
  4. Графический подход (метод координат) при решении уравнения (неравенства) с примерами решений
  5. Метод оценок для решения уравнений с примерами решения
  6. Метод «от частного к общему» пример решения
  7. Задачи, использующие понятия наименьшего и наибольшего из двух или нескольких чисел

Универсальные приёмы и методы решения уравнений и неравенств

К оглавлению…

Перечислим и кратко охарактеризуем наиболее известные (универсальные) приёмы и методы, используемые в элементарной математике при решении уравнений, неравенств и прочих задач, причём не только алгебраических. Часть из этих методов в приложении к решению целых алгебраических уравнений уже рассматривалась выше.

  1. Метод разложения на множители уравнений и неравенств с примерами решения
  2. Метод замены переменных при решении уравнений и неравенств с примерами решения
  3. Метод неопределённых коэффициентов при решении уравнений и неравенств с примерами решения
  4. Метод «от частного к общему» при решении уравнений и неравенств с примерами решения
  5. Графический подход (метод координат) при решении уравнений и неравенств с примерами решения
  6. Умножение на функцию при решении уравнений и неравенств с примерами решения
  7. Уравнения вида f(x)=g(x) где f(x)≤A, a g(x)≥A и другие задачи этого типа. Метод оценок
  8. Уравнения и неравенства вида f(x)=g(x), f(x)<g(x), где функции f(x) и g (x) имеют разную монотонность
  9. Уравнения и неравенства вида φ (f(x))=φ(g(x))<φ(g(x)), где φ(x) строго монотонная функция
  10. Уравнения и неравенства вида f(f(f(//f(x))))=x,f(f(f(//f(x))))>x
  11. Уравнения вида f(x)=f-1(x), где f(x)=f-1(x)- взаимно обратные возрастающие функции
  12. Геометрический подход при решении уравнений

Функциональные уравнения

К оглавлению…

  1. Функциональные уравнения в математике с примерами решения

Эти дополнительные лекции по математике возможно будут вам полезны:

  1. Свойства функций, непрерывных в промежутке
  2. Непрерывность основных элементарных функций
  3. О вычислении нуля функции, непрерывной на отрезке
  4. Сравнение бесконечно малых функций
  5. Эквивалентные бесконечно малые функции
  6. Главная часть бесконечно малой функции
  7. Сравнение бесконечно больших функций
  8. Наклонная асимптота графика функции
  9. Общие рекомендации по вычислению пределов

Вспомогательные приёмы и средства, используемые для преобразований в уравнениях и неравенствах

К оглавлению…

  1. Формулы сокращённого умножения для решения уравнений и неравенств
  2. Выделение полного квадрата (куба) для решения уравнений и неравенств
  3. Рассмотрение уравнения относительного некоторой величины

Приведём в заключение высказывания двух известных людей по поводу математики, удивительным образом совпавшие в главном:

«Решение задач является наиболее характерной и специфической разновидностью свободного мышления» (Уильям Джеймс (1842—1910), американский философ и психолог).

«Сущность математики заключается в её свободе» (Георг Кантор (1845—1918), немецкий математик).

Возможно эти страницы вам будут полезны: