Линейная алгебра

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «линейная алгебра»

Лекции подготовлены для школьников и студентов и охватывает полный курс предмета « линейная алгебра ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры задач с подробным решением.

Изучаемый в математике и рассматриваемый как единое целое объект, с которым производятся какие-либо математические действия, будем называть математическим объектом. К математическим объектам относятся, например, числа, геометрические объекты (линии, поверхности и т. п.), переменные величины и т. д.

Матрицы

К оглавлению…

Термин «матрица» был введен Дж. Сильвестром в 1850 году, в математику — А. Кэли в 1857 году. Матрицей называется математический объект, состоящий из Линейная алгебра элементов, взятых в определенном порядке.


Для указания на порядок элементов матрицы их выписывают в виде таблицы из Линейная алгебра строк и Линейная алгебра столбцов. Элемент матрицы, стоящий на пересечении строки с номером Линейная алгебра и столбца с номером Линейная алгебра обозначают Линейная алгебра Если Линейная алгебра — числа, матрица называется числовой. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.
Обозначение матриц

Линейная алгебра

где Линейная алгебра

Иногда матрицу обозначают одной буквой, например, Линейная алгебра

Основные виды матриц

К оглавлению…

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, т. е. Линейная алгебра то матрица называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (или столбцов). Строки и столбцы матрицы называют ее рядами.

Обозначение квадратной матрицы порядка Линейная алгебра

Линейная алгебра

Линейная алгебра — квадратная матрица 3-го порядка.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другой матрицы: Линейная алгебра

В квадратной матрице элементы Линейная алгебра образуют главную диагональ, а элементы Линейная алгебра — побочную.
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы, стоящие по главной диагонали.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой отличны от нуля только элементы, стоящие по главной диагонали.

Линейная алгебра

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной Линейная алгебра Например,

Линейная алгебра Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю: Линейная алгебра

Симметрическая матрица — квадратная матрица, для которой Линейная алгебра Например, матрица Линейная алгебра симметрическая.

Трапециевидная матрица — матрица произвольных размеров, если она имеет вид

Линейная алгебра

где Линейная алгебра отличны от нуля.

Треугольная матрица (частный случай трапециевидной) -квадратная матрица, все элементы которой по одну или другую сторону от главной диагонали равны нулю. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. Например, матрица вида

Линейная алгебра называется верхней треугольной матрицей.

Матрица Линейная алгебра полученная из данной матрицы Линейная алгебра заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной.


Если Линейная алгебра

то Линейная алгебра

Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Она имеет вид Линейная алгебра Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Имеет вид Линейная алгебра

Действия над матрицами

К оглавлению…

К линейным операциям над матрицами относятся умножение матрицы на число, сложение матриц.

  1. Умножение, матрицы на число.
    Произведением матрицы Линейная алгебрана действительное число
    Линейная алгебра называется новая матрица Линейная алгебра где Линейная алгебра Обозначение: Линейная алгебра Например, Линейная алгебра


Матрица вида Линейная алгебра называется матрицей, противоположной матрице Линейная алгебра

Сложение, матриц

К оглавлению…

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров, т. е. имеющие одинаковое число строк и столбцов.

Суммой двух матриц Линейная алгебра и Линейная алгебра называется матрица Линейная алгебра где Линейная алгебра и обозначается Линейная алгебра

Пример №1.1.

Линейная алгебра

Разность матриц Линейная алгебра определяется так: Линейная алгебра

Умножение, матриц

К оглавлению…

Матрицу Линейная алгебра будем называть согласованной с матрицей Линейная алгебра если число столбцов матрицы Линейная алгебра равно числу строк матрицы Линейная алгебра

Пример №1.2.

Пусть

Линейная алгебра

Матрица Линейная алгебра согласована с матрицей Линейная алгебра но матрица Линейная алгебра не согласована с матрицей Линейная алгебра

Если матрица Линейная алгебра согласована с матрицей Линейная алгебра то произведением матрицы Линейная алгебра на матрицу Линейная алгебра называется новая матрица Линейная алгебра такая, что

Линейная алгебра

Формула (1.1) называется правилом произведения матриц.
Из определения произведения матриц следует, что для того, чтобы получить элемент произведения матриц Линейная алгебра стоящий в Линейная алгебра строке и Линейная алгебра столбце, нужно умножить элементы Линейная алгебра строки матрицы Линейная алгебра на соответствующие элементы Линейная алгебра столбца матрицы Линейная алгебра и эти произведения сложить.

Линейная алгебра

Пример №1.3.

Вычислить Линейная алгебра если Линейная алгебра

Линейная алгебра

Решение:

Матрица Линейная алгебра (три столбца) согласована с матрицей Линейная алгебра (три строки).

Линейная алгебра

Замечание. Умножить матрицу Линейная алгебра на Линейная алгебра в данном случае нельзя — число столбцов матрицы Линейная алгебра (три) не равно числу строк матрицы Линейная алгебра (двум).

Замечание. Так как в общем случае Линейная алгебра то произведение матриц не коммутативно.

Свойства действий над матрицами

К оглавлению…

Линейная алгебра (коммутативность относительно сложения).

Линейная алгебра (ассоциативность).

Линейная алгебра
Линейная алгебра
Линейная алгебра

Линейная алгебра где Линейная алгебра (дистрибутивность сложения матриц относительно умножения на число).

Линейная алгебра (дистрибутивность сложения чисел относительно умножения на матрицу).

Линейная алгебра (дистрибутивность умножения).

Транспонирование связано со сложением и умножением матриц нижепредставленными формулами.

Линейная алгебра
Линейная алгебра
Линейная алгебра
Линейная алгебра
Линейная алгебра

Линейная алгебра (ассоциативность).

Линейная алгебра

Доказательство этих формул вытекает непосредственно из определений соответствующих операций сложения и умножения.

Определители и их основные свойства

К оглавлению…

Понятие «определитель» было введено Г. Лейбницем и японским математиком Кова Секи независимо друг от друга в 1683 году.
Развитие теории определителей нашло свое отражение в работах Ю. Вронского, Э. Кристоффеля, О. Коши и Дж. Сильвестра.
Понятие определителя (детерминанта) матрицы вводится только для квадратной матрицы.

Дана квадратная матрица Линейная алгебра порядка

Линейная алгебра

Определитель Линейная алгебра порядка, порожденный матрицей Линейная алгебра порядка Линейная алгебра

имеет вид

Линейная алгебра

Определитель обозначается Линейная алгебра Определитель является числовой характеристикой квадратной матрицы.

Элементы, строки, столбцы и диагонали матрицы называют соответственно элементами, строками, столбцами и диагоналями определителя матрицы.

Определителем матрицы первого порядка Линейная алгебра называется сам элемент Линейная алгебра этой матрицы. Обозначение: Линейная алгебра

Определителем матрицы второго порядка Линейная алгебра называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, т. е.

Линейная алгебра

Пример №1.4.

Вычислить Линейная алгебра

Определитель третьего порядка имеет вид Линейная алгебра

Элементы Линейная алгебра стоят на главной диагонали, элементы Линейная алгебра — на побочной.

Существует ряд правил для вычисления определителей третьего порядка. Так, например, значение определителя третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников:

Линейная алгебра

Можно вычислить также по правилу Саррюса: к определителю приписывают справа первый и второй столбцы.

Линейная алгебра

Произведения из трех элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, ей параллельных, берутся со знаком «+», а произведения из трех элементов, стоящих на побочной диагонали и на прямых, ей параллельных, берутся со знаком «-».

Пример №1.5.

Вычислить определитель Линейная алгебра

Решение:

Воспользуемся правилом треугольников:

Линейная алгебра

или по правилу Саррюса

Линейная алгебра

Определители четвертого и более высоких порядков при вычислении сводятся к определителям более низких порядков (например, третьего).

Основные свойства определителей

К оглавлению…

Иллюстрация этих свойств будет приведена для определителей третьего порядка.

1. Свойство инвариантности (неизменности) определителя при транспонировании матрицы: при замене строк столбцами величина определителя не меняется (причем каждую строку следует заменить столбцом с тем же номером). Свойство выражает равноправность строк и столбцов. В дальнейшем слова «строка» и «столбец» заменим одним словом — ряд. Свойство записывается так:

Линейная алгебра
(1.2)

Доказательство. Проверим справедливость этого свойства, применяя правило треугольников к левой и правой части равенства (1.2) и сравним результаты:

Линейная алгебра

2. Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.
Так, например, переставляя первый и второй столбцы, получаем

Линейная алгебра
(1.3)

3. Если определитель имеет два одинаковых параллельных ряда, то он равен нулю.

4. Если в определителе элементы какого-либо ряда содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Линейная алгебра
(1.4)

Следствие 1. При умножении определителя на скаляр (число) необходимо умножить на этот скаляр только один из рядов определителя.
Следствие 2. Величина определителя равна нулю, если элементы какого-либо его ряда равны пулю.

5. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов пропорциональны, равен нулю.

6. Определитель, у которого каждый элемент некоторого ряда является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, у первого из которых в указанном ряду стоят первые слагаемые, а у второго — вторые слагаемые. Остальные ряды, параллельные указанному, у всех определителей одинаковы.

Линейная алгебра
(1.5)

Все сформулированные свойства (2-6) доказываются аналогично первому, т. е. по правилу треугольников.
Минором Линейная алгебра элемента Линейная алгебра называется определитель, который получается из данного путем вычеркивания строки с номером Линейная алгебра и столбца с номером Линейная алгебра Например, для элемента Линейная алгебра минором является определитель Линейная алгебра

Алгебраическим дополнением Линейная алгебра для элемента Линейная алгебра называется его минор Линейная алгебра, взятый со знаком Линейная алгебра, где Линейная алгебра — номер строки,
Линейная алгебра — номер столбца. Линейная алгебра Например, для элемента Линейная алгебра алгебраическое дополнение имеет вид

Линейная алгебра

7. Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого ряда.

Линейная алгебра

где

Линейная алгебра

Доказательство. Докажем в случае разложения по элементам первого столбца.

Линейная алгебра
(на основании правила треугольников)

Пример №1.6.

Вычислить определитель Линейная алгебра разлагая по элементам второго столбца.

Решение:

Линейная алгебра

8. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить элементы другого параллельного ему ряда, предварительно умноженные на одно и то же число. Например, убедимся, что

Линейная алгебра

На основании свойства 6

Линейная алгебра

В этой сумме второй определитель по свойству 3 равен 0. Свойство 8 широко используется для получения пулей в определителе и приведения его к треугольному виду.

Пример №1.7.

Вычислить определитель Линейная алгебра

Решение:

Если из пятой строки вычесть первую, а из четвертой — удвоенную вторую, то полученный определитель Линейная алгебра

будет с нулями под главной диагональю, и он равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали, Линейная алгебра

Пример №1.8.

Вычислить определитель Линейная алгебра

Решение:

Если из второй строки вычесть первую, из третьей -удвоенную первую, из четвертой — утроенную первую, то получим определитель Линейная алгебра равный исходному. Разложим полученный определитель по элементам первого столбца (используя свойство 7), и определитель примет вид Линейная алгебра

Используя свойство 8 можно записать Линейная алгебра по свойству 7

Линейная алгебра

9. Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения другого параллельного ему ряда равна нулю:

Линейная алгебра

Доказательство. Линейная алгебра Составим сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Линейная алгебра

Свойства определителей широко используются при вычислении определителей произвольного порядка.

Определитель произведения квадратных матриц

К оглавлению…

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Линейная алгебра
(1.6)

Доказательство теоремы проведем на примере матриц второго порядка.

Дано

Линейная алгебра

на основании свойства 6 определителей имеем

Линейная алгебра

На основании свойства 4 запишем

Линейная алгебра

Первый и четвертый определители равны нулю на основании свойства 3:

Линейная алгебра

Аналогично эта теорема доказывается для квадратных матриц любого порядка.

Обратная матрица

К оглавлению…

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы. Квадратная матрица Линейная алгебра называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т. е. Линейная алгебра и вырожденной, если Линейная алгебра
Матрица Линейная алгебра называется обратной квадратной матрице Линейная алгебра, если

Линейная алгебра
(1.7)

где Линейная алгебра — единичная матрица.

Союзной матрицей для квадратной матрицы

Линейная алгебра

называется матрица

Линейная алгебра
(1.8)

где Линейная алгебра — алгебраические дополнения к элементам Линейная алгебра матрицы Линейная алгебра где Линейная алгебра
Лемма. Если Линейная алгебра — союзная матрица для матрицы Линейная алгебра то

Линейная алгебра
(1.9)

Теорема (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы существовала матрица Линейная алгебра обратная матрице Линейная алгебра необходимо и достаточно, чтобы матрица Линейная алгебра была невырожденной.
Доказательство необходимости. Пусть для матрицы Линейная алгебра существует обратная матрица Линейная алгебра. Докажем, что Линейная алгебра Так как Линейная алгебра существует, то на основании формул (1.6) и (1.7) следует:

Линейная алгебра

т. е. матрица Линейная алгебра невырожденная.

Доказательство достаточности

К оглавлению…

Пусть Линейная алгебра Докажем, что Линейная алгебра существует.
Если Линейная алгебра — союзная матрица для матрицы Линейная алгебра то справедлива формула (1.9). Разделим равенство (1.9) на Линейная алгебра и получим

Линейная алгебра

Из этого равенства на основании формулы (1.7) следует, что в качестве обратной матрицы выступает матрица

Линейная алгебра

Замечание. Из доказательства достаточности следует правило нахождения обратной матрицы.

Линейная алгебра
(1.10)

где Линейная алгебра — алгебраические дополнения элемента Линейная алгебра матрицы Линейная алгебра
Свойства обратных матриц

Линейная алгебра

Правило для нахождения обратной матрицы

К оглавлению…

1. Вычислим определитель матрицы Линейная алгебра Пусть Линейная алгебра

2. Найдем алгебраические дополнения для элементов Линейная алгебра.
Составим матрицу алгебраических дополнений определителя Линейная алгебра Обозначим ее Линейная алгебра

3. Полученную матрицу Линейная алгебра транспонируем и обозначим ее Линейная алгебра (союзная матрица).

4. Союзную матрицу Линейная алгебра умножим на Линейная алгебра и получим обратную
А
матрицу Линейная алгебра.

Линейная алгебра

Пример №1.9.

Найти обратную матрицу матрице

Линейная алгебра

Решение:

Линейная алгебра
Линейная алгебра

Теорема. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. Докажем методом от противного. Предложим, что для матрицы Линейная алгебра существует две обратные матрицы Линейная алгебра и Линейная алгебра.

По определению обратной матрицы имеем Линейная алгебра и Линейная алгебра или Линейная алгебра

Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы. Основные определения

К оглавлению…

Системой Линейная алгебра линейных уравнений с Линейная алгебра неизвестными называется система вида

Линейная алгебра
(1.11)

где Линейная алгебра — действительные числа, называемые коэффициентами системы Линейная алгебра

Линейная алгебра — неизвестные системы; Линейная алгебра — свободные члены системы.

Все неизвестные в первой степени, поэтому система (1.11)- это система линейных уравнений.
Если все свободные члены системы (1.11) равны нулю, то система называется однородной.

Матрица Линейная алгебра составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы. Матрица Линейная алгебра полученная из матрицы Линейная алгебра добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы

Линейная алгебра

Если через Линейная алгебра обозначить матрицу-столбец из неизвестных, т. е.

Линейная алгебра а через Линейная алгебра — матрицу-столбец свободных членов, т. е.Линейная алгебра то так как матрица Линейная алгебра (имеет Линейная алгебра столбцов) согласована с матрицей Линейная алгебра (имеет Линейная алгебра строк), произведение Линейная алгебра существует и линейную систему (1.11) можно записать в матричном виде Линейная алгебра

Упорядоченная совокупность чисел Линейная алгебра называется решением системы (1.11), если каждое из уравнений (1.11) обращается в верное равенство после подстановки вместо Линейная алгебра соответственно чисел Линейная алгебра

Решение системы, записанное в виде матрицы-столбца Линейная алгебра

называется вектор-решением системы.

Если существует хотя бы одно решение системы (1.11), то она называется совместной, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна, и в случае совместности найти все ее решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если всякое решение одной из них является решением другой и наоборот.

Решение невырожденной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом и по формулам Крамера

К оглавлению…

Габриель Крамер (1704-1752) — швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры.
Рассмотрим систему Линейная алгебра линейных уравнений с Линейная алгебра неизвестными.

Линейная алгебра
(1.12)

или

Линейная алгебра
(1.12′)

Определитель матрицы А имеет вид

Линейная алгебра

и называется определителем системы. Если Линейная алгебра то система называется невырожденной. Найдем решение системы, предполагая что Линейная алгебра В этом случае матрица Линейная алгебра невырожденная и для нее существует единственная обратная матрица (по теоремам пп. 1.1.6)

Линейная алгебра

Умножим матричное уравнение (1.12′) слева на Линейная алгебра и получим

Линейная алгебра
(1.13)

Формула (1.13)- решение системы (1.12) в матричном виде. Это равенство можно записать так:

Линейная алгебра

где Линейная алгебра или

Линейная алгебра
(1.13′)

Из формулы (1.13′) видно, что любая переменная Линейная алгебра определяется по формуле

Линейная алгебра
(1.14)

где Линейная алгебра — определитель, полученный из Линейная алгебра заменой Линейная алгебра столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.14) называются формулами Крамера.

Пример №1.10.

Решить систему

Линейная алгебра

Решение:

Матрица Линейная алгебра имеет вид

Линейная алгебра

Вычислим Линейная алгебра

Линейная алгебра

Следовательно, матрица Линейная алгебра вырождена и система несовместна, т. е. нет решений.

Пример №1.11.

Решить систему Линейная алгебра

Решение:

Линейная алгебра

а) Так как Линейная алгебра то матрица Линейная алгебра невырожденная и решение системы найдем матричным методом, т. е. по формуле (1.13): Линейная алгебра Найдем обратную матрицу Линейная алгебра Составим алгебраические дополнения:

Линейная алгебра

В данном случае матричное равенство (1.13) запишем в виде

Линейная алгебра

б) Решим данную систему по формулам Крамера (1.14):

Линейная алгебра
Линейная алгебра

Ответ: Линейная алгебра

Ранг матрицы

К оглавлению…

Элементарные преобразования матрицы.

Рассмотрим матрицу Линейная алгебра и выделим в ней произвольно Линейная алгебра строк и Линейная алгебра столбцов:

Линейная алгебра

Определитель Линейная алгебра-го порядка, составленный из элементов матрицы Линейная алгебра стоящих на пересечении выделенных Линейная алгебра строк и Линейная алгебра столбцов, называется минором Линейная алгебра-го порядка этой матрицы и обозначается Линейная алгебра

Рангом матрицы Линейная алгебра называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Ранг обозначается любым из символов: Линейная алгебра


Из определения ранга следует:
1) для матрицы Линейная алгебра

2) Линейная алгебра тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю;
3) для квадратной матрицы Линейная алгебра-го порядка Линейная алгебра тогда и только тогда, когда матрица невырожденная Линейная алгебра

Отметим важное свойство миноров матрицы, которым пользуются при нахождении ранга.

Теорема 1. Если все миноры порядка Линейная алгебра данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка равны нулю.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы Лапласа (свойство 7).

Свойства ранга матрицы

К оглавлению…

1) Ранг матрицы, полученной изданной вычеркиванием какого-либо ряда, равен рангу данной матрицы или меньше его на 1.
2) Ранг матрицы, полученной из данной приписыванием к ней ряда, элементами которого являются произвольные числа, равен рангу исходной матрицы или больше его на 1.
3) Если вычеркнуть из матрицы или приписать к ней нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
4) Ранг матрицы, полученной из данной транспонированием, равен рангу данной матрицы.

Ранг матрицы обычно находят:

  • методом окаймляющих миноров (МОМ);
  • методом элементарных преобразований (МЭП).
    Метод МОМ.
    Минор Линейная алгебра порядка матрицы Линейная алгебра называется окаймляющим для минора Линейная алгебра, если он содержит все элементы Линейная алгебра (в любом порядке).
    Суть метода МОМ: если какой-нибудь минор Линейная алгебра а все его окаймляющие миноры Линейная алгебра то Линейная алгебра

Пример №1.12.

Определить ранг матрицы Линейная алгебра

Решение:

Среди элементов матрицы Линейная алгебра есть не равные нулю, например, элемент, который находится в левом верхнем углу Линейная алгебра Среди миноров второго порядка, которые окаймляют этот элемент, есть не равные нулю, например, Линейная алгебра следовательно, ранг матрицы равен 2 или больше. Вычисляем окаймляющие миноры для Линейная алгебра например, Линейная алгебра но Линейная алгебра

Следовательно, ранг матрицы равен 3 или больше, так как среди миноров третьего порядка есть отличный от нуля.

Вычисляем все окаймляющие миноры для Линейная алгебра

Линейная алгебра

Все они равны нулю (четвертая строка пропорциональна первой), и поэтому ранг матрицы не равен четырем. Итак, ранг матрицы Линейная алгебра равен трем.

Метод МЭП

К оглавлению…

Рассмотрим метод нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называют:
1) умножение некоторого ряда матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;
3) перестановку местами двух параллельных рядов.
Если матрица Линейная алгебра получена из матрицы Линейная алгебра с помощью элементарных преобразований, то матрицы Линейная алгебра и Линейная алгебра называются эквивалентными, при этом пишут Линейная алгебра (или Линейная алгебра).
Теорема 2 (об инвариантности ранга). Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы, т. е. если Линейная алгебра, то Линейная алгебра
Суть МЭП состоит в том, что данная матрица Линейная алгебра с помощью элементарных преобразований сводится к эквивалентной матрице Линейная алгебра трапециевидной (или треугольной) формы.

Линейная алгебра

Тогда в силу теоремы Линейная алгебра а ранг трапециевидной матрицы Линейная алгебра равен числу ее ненулевых строк (Линейная алгебра в левом верхнем углу не равен пулю) и, таким образом, Линейная алгебра

Пример №1.13.

Найти ранг матрицы

Линейная алгебра

Решение:

С помощью элементарных преобразований сведем матрицу к трапециевидной:

Линейная алгебра

Произвели следующие преобразования: ко второй строке матрицы Линейная алгебра прибавлена первая, умноженная на (-2); к третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-11); из четвертой строки вычтена первая, умноженная на 2; из новой третьей строки вычтена новая вторая, умноженная на 4; к четвертой строке прибавлена вторая.

Полученная матрица Линейная алгебра имеет ранг равный 2, так как она трапециевидна и имеет две ненулевые строки, следовательно, и ранг матрицы Линейная алгебра равен двум.

Пример №1.14.

Найти ранг матрицы Линейная алгебра

Решение:

Линейная алгебра

Матрица Линейная алгебра имеет трапециевидную форму. Минор второго порядка этой матрицы, составленный из элементов первой и второй строк, не равен нулю: например, Линейная алгебра

Следовательно, Линейная алгебра По теореме Линейная алгебра

Итак, Линейная алгебра

Пример №1.15.

Определить ранг матрицы

Линейная алгебра

Решение:

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу Линейная алгебра к трапециевидной форме или треугольной. Вычеркнем столбец из нулей. А затем элементы первой строки матрицы умножим на -3, 4 и сложим соответственно с элементами второй и четвертой строки и получим

Линейная алгебра

Из новой второй строки вычтем новую четвертую строку, четвертую строку вычеркнем и получим

Линейная алгебра

Минор третьего порядка матрицы Линейная алгебра

Линейная алгебра

По теореме Линейная алгебра Значит, Линейная алгебра

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Например, для матрицы Линейная алгебра базисный минор имеет вид Линейная алгебра

Для ненулевой матрицы существует не единственный базисный минор. Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными.

Если в матрице некоторый ряд может быть представлен в виде суммы Линейная алгебра других параллельных ему рядов, умноженных соответственно на числа Линейная алгебра то данный ряд является линейной комбинацией указанных рядов.

Линейная алгебра параллельных рядов матрицы линейно зависимы, если хотя бы один из этих рядов является линейной комбинацией остальных. В противном случае параллельные ряды называются линейно независимыми.

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы.

Теорема. Если ранг матрицы Линейная алгебра равен Линейная алгебра то существует Линейная алгебра линейно независимых строк (столбцов), от которых линейно зависят все остальные строки (столбцы).

Теорема (о связи ранга с независимостью рядов). Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой же матрице и равно ее рангу.

Например, дана матрица Линейная алгебра ранг Линейная алгебра а один из базисных миноров Линейная алгебра размещается в первых двух строках. Это означает, что третья строка является линейной комбинацией первой и второй строки. Если Линейная алгебра и Линейная алгебра то

Линейная алгебра

Решение произвольных систем
Теорема Кронекера-Капелли

К оглавлению…

Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений

Линейная алгебра

Число уравнений может быть и не равно числу неизвестных. Обозначим через Линейная алгебра матрицу данной системы, а через Линейная алгебра — матрицу, полученную из Линейная алгебра присоединением столбца свободных членов:

Линейная алгебра

Матрица Линейная алгебра называется расширенной матрицей системы.
Теорема Кронекера-Капелли (о совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы Линейная алгебра равнялся рангу расширенной матрицы Линейная алгебра.

Решение произвольных систем

К оглавлению…

Теорема. Если ранг матрицы Линейная алгебра равен рангу матрицы Линейная алгебра и равен числу неизвестных, т. е. Линейная алгебра где Линейная алгебра — число неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг матрицы Линейная алгебра равен рангу матрицы Линейная алгебра, но меньше числа неизвестных, т. е. Линейная алгебра то система имеет бесконечное множество различных решений.
Теорема. Если ранг матрицы Линейная алгебра не равен рангу матрицы Линейная алгебра, то система не имеет решений.

Базисными неизвестными совместной системы, ранг которой равен Линейная алгебра, назовем Линейная алгебра неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные назовем свободными. Так как базисный минор может быть выбран не единственным образом, то и совокупность базисных неизвестных может быть выбрана не единственным образом.

Пример №1.16.

Исследовать на совместность и решить следующие системы уравнений:

Линейная алгебра

Решение:

а) Матрица системы имеет вид Линейная алгебра

Преобразуем расширенную матрицу системы:

Линейная алгебра

В матрице Линейная алгебра из 3-й строки вычитаем удвоенную 2-ю и ставим полученную строку на 1-е место. Умножаем эту строку на -5, на -3 и складываем результаты соответственно со 2-й и 3-й строкой и получаем

Линейная алгебра

Так как миноры 2-го порядка, например, Линейная алгебра то Линейная алгебра следовательно, система совместна. Число неизвестных системы Линейная алгебра то система имеет бесчисленное множество решений. В качестве базисного минора можно взять, например, Линейная алгебра

При таком выборе базисного минора базисными неизвестными будут Линейная алгебра и Линейная алгебра, а свободным — Линейная алгебра.

Запишем систему в виде Линейная алгебра или Линейная алгебра

Полагая, что Линейная алгебра по формулам Крамера получим

Линейная алгебра

где Линейная алгебра

Ответ: Линейная алгебра

б) Линейная алгебра — матрица системы.

Преобразуем расширенную матрицу, умножив первую строку на -3 и на -2 и сложив с соответствующими элементами второй и третьей строками:

Линейная алгебра

Так как Линейная алгебра то система несовместна.

Системы линейных однородных уравнений

К оглавлению…

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

Линейная алгебра
(1.15)

Система (1.15) является частным случаем системы (1.11). Однородная система (1.15) всегда совместна, так как ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Решение Линейная алгебра является решением системы (1.15), оно называется нулевым или тривиальным.
Однородная система имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. В частности, когда Линейная алгебра то для того, чтобы система (1.15) имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля.
Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных Линейная алгебра то система (1.15) имеет бесчисленное множество решений и решается аналогично неоднородной произвольной системе.

Пример №1.17

Решить систему однородных уравнений

Линейная алгебра

Решение:

Найдем ранг матрицы системы, преобразовав матрицу:

Линейная алгебра

Так как ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то однородная система имеет единственное нулевое решение.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

К оглавлению…

Дана система Линейная алгебра уравнений с Линейная алгебра неизвестными:

Линейная алгебра

Для решения этой системы применим метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

С помощью элементарных преобразований над строками система Линейная алгебра линейных уравнений с Линейная алгебра неизвестными может быть приведена к трапециевидной форме:

Линейная алгебра
(1.16)

где Линейная алгебра
Система (1.16) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел Линейная алгебра отлично от нуля, то система (1.16), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же Линейная алгебра то система совместна и из уравнений (1.16) выражают последовательно, начиная с последнего уравнения, находим последовательно значения неизвестны Линейная алгебра

Пример №1.18.

Методом Гаусса решить систему

Линейная алгебра

Решение:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получим

Линейная алгебра

Этой матрице соответствует система

Линейная алгебра

Решив эту систему, получим Линейная алгебра
Ответ: Линейная алгебра

Пример №1.19.

Методом Гаусса решить систему

Линейная алгебра

Решение:

С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме:

Линейная алгебра

Этой матрице соответствует система

Линейная алгебра

решив которую получим Линейная алгебра

Пример №1.20.

Решить систему

Линейная алгебра

Решение:

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы получим.

Линейная алгебра

Поскольку Линейная алгебра и Линейная алгебра то Линейная алгебра

Этой матрице соответствует система

Линейная алгебра

Так как ранги равны, т. е. Линейная алгебра где Линейная алгебра то система имеет бесчисленное множество решений.
Данная система эквивалентна преобразованной системе.

Линейная алгебра

За базисные неизвестные примем Линейная алгебра и Линейная алгебра свободная неизвестная будет Линейная алгебра

Полагая, что Линейная алгебра решим систему по формулам Крамера:

Линейная алгебра

где Линейная алгебра Итак,

Линейная алгебра

Придавая с различные числовые значения, будем получать различные решения данной системы уравнений.

Возможно эти страницы вам будут полезны: