Помощь по высшей математике

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по некоторым темам высшей математики, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Производная функции и ее приложения

К оглавлению…

В заданиях 1, 2, 3 требуется вычислить предел функции в данной точке. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Если функция непрерывна в точке , то ее предел в этой точке равен значению функции в данной точке, т.е.

Пример оформления заказа №1

Найти предел функции

Решение:

Так как данная функция не определена в точке , то вычисление предела производится по следующей схеме

При решении задания 2 необходимо использовать замечательные пределы:

Пример оформления заказа №2

Найти пределы функций

Решение:

1) Применяя первый замечательный предел, находим

При решении второго примера используем второй замечательный предел

В задании 3 для вычисления предела нужно применить правило Лопиталя. Если функции и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки , причем

тогда

если последний предел существует. По правилу Лопиталя раскрывают также неопределенности вида .

Пример оформления заказа №3

Найти предел, используя правило Лопиталя

Решение:

В данном случае, имеем неопределенность вида . Прежде, чем применить правило Лопиталя нужно преобразовать неопределенность в неопределенность вида 0/0 или . Обозначим

Так как

то, применяя правило Лопиталя, находим

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

При дифференцировании функций применяют правила дифференцирования и таблицу производных. Пусть — постоянная, — дифференцируемые функции,тогда

Таблица производных

Производная сложной функции вычисляется по формуле

Например,

Пример оформления заказа №4

Найти производную функции .

Решение:

Применяя правила дифференцирования, имеем

Пример оформления заказа №5

Найти производную функции .

Решение:

Применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем

Пример оформления заказа №6

Найти производные функций

Решение:

В первом случае функция задана неявно, поэтому для нахождения производной дифференцируем обе части равенства

отсюда

Во втором случае функция задана параметрическими уравнениями, поэтому ее производная вычисляется по формуле .

Так как

то производная данной функции равна

Пусть — дифференциальная функция. Дифференциал первого порядка вычисляется по формуле , дифференциал -го порядка вычисляется по формуле .

Пример оформления заказа №7

Найти второй дифференциал функции

Решение:

Для вычисления второго дифференциала сначала нужно найти вторую производную

следовательно, согласно формуле

Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для любого значения из этой окрестности имеет место формула Тэйлора -го порядка

где — остаточный член в форме Лагранжа.

Пример оформления заказа №8

Написать формулу Тэйлора третьего порядка для функции

с остаточным членом в форме Лагранжа в точке .

Решение:

Находим производные до четвертого порядка включительно

Следовательно, по формуле Тэйлора

Пример оформления заказа №9

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение:

Исследование функции производится по следующей схеме.

1) Область определения функции состоит из трех интервалов

2) Функция имеет две точки разрыва . Исследуем поведение функции на границах области определения

Аналогичным образом находим, что

3) Функция нечетная, так как .

4) Находим точки пересечения с осями координат

Следовательно, график функции проходит через начало координат.

5) Находим промежутки возрастания и убывания. Так как производная равна

и функция возрастает, если , то для определения промежутков возрастания нужно решить неравенство . Решая это неравенство получим, что в интервале функция возрастает. В интервале функция убывает.

6) Точки экстремума. Для определения точек экстремума находим критические точки, т.е. точки, в которых производная равна 0 или не существует , , , точки не входят в область определения функции.

Для определения точек экстремума теперь необходимо исследовать изменение знака производной при переходе через критические точки. Полученные данные удобно изобразить графически

Так как при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», то в этой точке функция имеет минимум. Соответственно, в точке функция имеет максимум. Так как при переходе через точку производная не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

7) Промежутки выпуклости. Для определения промежутков выпуклости вверх и вниз определяет знак второй производной на области определения

Следовательно, в интервалах график выпуклый вниз, в интервалах — выпуклый вверх. Точка — точка перегиба.

8) Асимптоты. Так как

то прямые и являются вертикальными асимптотами.

Для определения наклонных асимптот нужно вычислить следующие пределы:

Следовательно, прямая является асимптотой.

9) На основании исследования функции строим ее график.

Неопределенный интеграл

К оглавлению…

Функция называется первообразной для функции на отрезке , если на этом отрезке выполняется равенство

Совокупность всех первообразных от функции называется неопределенным интегралом и обозначается

Отыскание для функции всех ее первообразных называется интегрированием. При вычислении интегралов используют таблицу основных интегралов.

Пример оформления заказа №10

Вычислить интеграл

Решение:

Используя свойства интеграла и таблицу интегралов, находим

Пример оформления заказа №11

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления данного интеграла необходимо сделать замену переменной . Приравнивая дифференциалы, получим , . После подстановки в интеграл, получим

Пример оформления заказа №12

Вычислить интеграл

Решение:

Для решения задания 3 нужно применить формулу интегрирования по частям

В данном случае имеем

Рациональной дробью называется дробь вида

где и — многочлены степени и соответственно. Если , то предварительно выделяют целую часть дроби, т.е. выполняют деление многочлена на

Затем правильную дробь раскладывают в сумму простейших дробей вида:

После этого переходят к интегрированию данной рациональной дроби

Пример оформления заказа №13

Вычислить интеграл

Решение:

Сначала разделим числитель подынтегральной дроби на знаменатель

В данном примере частное . Остаток . Следовательно, подынтегральная дробь запишется в виде

Теперь переходим к разложению на простейшие дроби

Приравнивая числители, получим тождество

При имеем: .

При имеем: .

При имеем .

Таким образом

В задании требуется вычислить интеграл от выражений, содержащих тригонометрические функции.

Интеграл вида

находится с помощью подстановок или , если одно из чисел или являются нечетными. Если и — четные числа, то при вычислении интеграла применяют формулы понижения степени:

Интегралы вида

сводятся к табличным с помощью формул

Интегралы, содержащие функции от , вычисляются при помощи подстановки .

При вычислении интегралов от рациональных выражений, содержащих функции применяют универсальную тригонометрическую подстановку

Пример оформления заказа №14

Вычислить интегралы

Решение:

Для вычисления первого интеграла применим подстановку
. После подстановки, получим

Для вычисления второго интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку .

В задании необходимо вычислить интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен

Для вычисления таких интегралов сначала в числителе дроби выделяют дифференциал .

Пример оформления заказа №15

Вычислить интеграл

Решение:

Так как дифференциал , то интеграл вычисляется следующим образом:

При вычислении второго интеграла в знаменателе был выделен полный квадрат.

В задании необходимо вычислить интеграл от иррациональной функции. Интегралы вида

где — рациональная функция своих аргументов, — целые числа, вычисляются с помощью подстановки

где — общий знаменатель дробей .

Интеграл вида

путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной сводятся к одному из следующих типов:

Эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических подстановок

— соответственно.

Пример оформления заказа №16

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем замену , тогда . В итоге получим

Определенный интеграл

К оглавлению…

Пусть функция определена на отрезке , — разбиение отрезка на частей , — произвольная точка, принадлежащая отрезку . Сумма вида

называется интегральной суммой для функции . Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что , не зависящий от способа разбиения отрезка на части и выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции . Таким образом

Геометрически определенный интеграл от функции равен площади криволинейной трапеции

Если функция непрерывна на отрезке и — любая ее первообразная, то имеет место формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла

Пример оформления заказа №17

Вычислить интеграл

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

В задании 2 интеграл вычисляется с помощью замены переменной. Если функция — непрерывная на отрезке функция, — непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, , , то справедлива формула замены переменной

Пример оформления заказа №18

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления интеграла сделаем замену переменной

В задании 3 применяется формула интегрирования по частям

Пример оформления заказа №19

Вычислить интеграл

Решение:

Для решения четвертого задания необходимо применить одну из формул для вычисления площади плоской фигуры.

1)

2) Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , то площадь находится по формуле

3) Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами и и кривой, заданной в полярных координатах уравнением , находится по формуле

Пример оформления заказа №20

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Находим точки пересечения указанных линий и строим фигуру.

Согласно формуле (1), площадь данной фигуры равна

Длина дуги кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , то длина дуги вычисляется по формуле

В случае, когда кривая задана в полярных координатах — , , длина дуги вычисляется по формуле

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси является непрерывной на отрезке функцией, то объем тела вычисляется по формуле

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Пример оформления заказа №21

1) Найти длину кардиоиды . 2) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение:

1) Так как ,

и кардиоида симметрична относительно полярной оси, то длина всей кардиоиды равна

2) Данная фигура построена в задании 4. Искомый объем равен разности двух объемов: объема , полученного вращением отрезка прямой , и объема , полученного вращением параболы . Следовательно

В шестом задании требуется вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. Если функциях непрерывна при , то, по определению, интеграл с бесконечным пределом

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то интеграл называется расходящимся. Аналогично определяются несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и интеграл

Если функция непрерывна при и , то по определению, несобственный интеграл от неограниченной в точке функции

Аналогично определяется интеграл в случае

В случае, когда , несобственный интеграл определяется следующим образом:

Пример оформления заказа №22

Вычислить интегралы

Решение:

График подынтегральной функции имеет вид

Согласно определению несобственных интегралов имеем:

1)

2)

Следовательно данный интеграл расходится.

Аналитическая геометрия

К оглавлению…

Пример оформления заказа №23

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, по формулам Крамена и матричным способом.

Решение:

Метод Гаусса решения линейной системы основан на последовательном исключении неизвестных. Умножим первое уравнение на -2 и прибавим ко второму. Затем умножим первое уравнение на 2 и прибавим к третьему уравнению. В итоге получим систему, эквивалентную исходной

Из последнего уравнения исключаем . Для этого умножим второе уравнение на 3 и прибавим к третьему. В итоге получим систему

Из этой системы последовательно находим .

Для решения системы по формулам Крамера вычислим определители

По формулам Крамера .

Для решения системы матричным способом запишем ее в матричном виде

где

Так как , то решение системы имеет вид: , где — матрица, обратная матрице . Обратная матрица вычисляется по формуле

где — алгебраическое дополнение элемента .

Следовательно, равна

Решение системы

Пусть . При выполнении задания 2 необходимо пользоваться следующими формулами:

длина вектора

скалярное произведение

векторное и смешанное произведения

проекция вектора на вектор

угол между векторами и

Пример оформления заказа №24

Даны вершины треугольника .

Найти:

  1. длины сторон треугольника ;
  2. уравнения сторон треугольника;
  3. угол при вершине ;
  4. уравнение медианы, проведенной через вершину ;
  5. длину высоты, опущенной из вершины ;
  6. площадь треугольника.

Решение:

1) Длина стороны вычисляется по формуле

Уравнение стороны определяется по формуле

2), 3) Уравнение стороны . Пусть , — угловые коэффициенты прямых и , тогда

4) Координаты точки , в которой отрезок делится пополам равны: . Уравнение медианы

5) Длину высоты определяем по формуле

6) Векторы и равны , .

Площадь треугольника определяем по формуле

Пример оформления заказа №25

Пусть в пространстве задана точка и плоскость .

Решение:

При выполнении задания необходимо записать параметрическое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости . Так как нормальный вектор плоскости равен и он является направляющим вектором для прямой , то параметрическое уравнение прямой имеет вид

Расстояние от точки до плоскости вычисляем по формуле

Пример оформления заказа №26

Составить уравнение линии, если отношение расстояния от каждой точки линии до точки к расстоянию от точки до прямой равно 1.

Решение:

Пусть — произвольная точка искомой линии. Расстояние от точки до точки равно

Расстояние от точки до прямой равно

По условию таким образом

После преобразования получим уравнение линии

Графиком данной линии является парабола.

Возможно эти страницы вам будут полезны: