Помощь по теории вероятности

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила формулы чтобы вы освежили знания и примеры оформления заказов по некоторым темам теории вероятностей, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Основные комбинаторные формулы

К оглавлению…

Пусть имеется множество , состоящее из различных элементов. -выборкой называется множество, состоящее из элементов, взятых из множества .

Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Число упорядоченных -выборок (размещений) с повторениями и без повторений равно

Если , то размещения без повторений называются перестановками, т. е. это — расположение элементов исходного множества в определенном порядке. Число перестановок из элементов равно

Пустое множество можно упорядочить только одним способом:

Число неупорядоченных -выборок (сочетаний) с повторениями , и без повторений равно

Число различных разбиений множества из элементов на непересекающихся подмножеств (причем в первом подмножестве элементов, во втором элементов и т. д., а ) равно

Пример оформления заказа №1.

В партии транзисторов стандартных и бракованных. При контроле оказалось, что первые транзисторов стандартны. Найти вероятность того, что следующий транзистор будет стандартным.

Решение:

Всего осталось для проверки транзисторов, из которых стандартных . По формуле классического определения вероятности

Пример оформления заказа №2.

Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этого состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут в совет.

Решение:

Число способов выбрать пять человек из 3 + 5 + 7= 15 равно числу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений):

Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом. Оставшихся двух членов совета можно выбрать способами:

Искомая вероятность

Пример оформления заказа №3.

Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шести дисков с восемью буквами на каждом. Сейф открывается при наборе единственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф, причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 с. Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в его распоряжении 1 ч?

Решение:

Обозначим искомую вероятность через . По формуле (1.1) она будет равна . Здесь — общее число исходов, равное числу кодовых комбинаций замка, оно определяется по формуле (1.3) и равно — число благоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций, которые успеет испробовать злоумышленник за 1 ч, т. е. 360. Таким образом, искомая вероятность будет равна

Теоремы сложения и умножения вероятностей

К оглавлению…

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

Вероятность суммы трех совместных событии вычисляется по следующей формуле:

Вероятность суммы событии равна

С учетом того, что , вероятность суммы событий (если ) удобнее вычислять по формуле

Вероятность произведения двух событии равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

Для независимых событий

Вероятность произведения п событии равна

где — вероятность появления события при условии, что события в данном опыте произошли.

В случае независимых событий данная формула упрощается:

Пример оформления заказа №4.

Сообщение передается одновременно по каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью . Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами с вероятностью ; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.

Решение:

Обозначим события:

= {хотя бы один раз сообщение передано без искажений};

= {по -му каналу сообщение хотя бы один раз было передано без искажений}.

Для выполнения события -й канал, во-первых, не должен быть забит помехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно быть искажено.

Вероятность того, что канал не «забит» помехами, равна .

Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех, равна ( — вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями).

Тогда

Вероятность события , состоящего в том, что хотя бы на одном канале произойдет событие, равна:

Пример оформления заказа №5.

Какова вероятность угадать в спортлото «5 из 36» не менее трех номеров?

Решение:

Событие — угадать не менее трех номеров в спортлото, разбивается на сумму трех несовместных событий:

— угадать ровно три номера;

— угадать ровно четыре номера;

— угадать ровно пять номеров.

При этом , так как события несовместны.

Найдем вероятность . Для этого воспользуемся формулой (1.1). Здесь общее число комбинаций по формуле (1.7) будет равно числу возможных заполнений карточек:

Число благоприятствующих комбинаций в этом случае определяется следующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается с выбором двух неправильных номеров. Число таких выборок равно . Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведению найденных чисел:

Тогда

Аналогично вычисляются

Таким образом, искомая вероятность будет равна

Пример оформления заказа №6.

В урне белых черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение:

Введем следующие обозначения: — шар белый, — шар черный, — шары разных цветов. Событие может появиться в двух несовместных вариантах: (Б, Ч) или (Ч, Б). По правилу умножения вероятностей:

По правилу сложения вероятностей несовместных событий

Формула полной вероятности. Формула Байеса

К оглавлению…

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать исключающих друг друга предположений {гипотез): при .

Событие может появляться совместно с одной из гипотез . Тогда полная вероятность события равна

Если опыт произведен и произошло некоторое событие , то определить вероятность гипотезы с учетом того, что произошло событие , можно по формуле Байеса:

Пример оформления заказа №7.

В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго — 5 % и третьего — 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % — со второго и 20 % — с третьего?

Решение:

С рассматриваемым событием = {приобретенный телевизор оказался с дефектом} связано три гипотезы: = {телевизор выпущен первым заводом}, = {выпущен вторым заводом}, = {выпущен третьим заводом}. Вероятности этих событий определяются из условия задачи:

Условные вероятности события также определяются из условия задачи:

Отсюда по формуле полной вероятности следует:

Пример оформления заказа №8.

На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел?

Решение:

С рассматриваемым событием = {приемник зарегистрировал наличие сигнала} связано две гипотезы: = {пришел сигнал и помеха}, = {пришла только помеха}. Вероятности этих гипотез

Условные вероятности события по отношению к гипотезам и находим из условия задачи:

Требуется определить условную вероятность гипотезы по отношению к событию , для чего воспользуемся формулой Байеса:

Пример оформления заказа №9.

Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме с вероятностью 0,9, а если в кино — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что студент разберется в теме?

Решение:

Применим формулу полной вероятности (3.1). Пусть — событие, состоящее в том, что студент разобрался в теме, событие (гипотеза) — студент идет в кино, — студент идет на лекцию. Известны из условия задачи следующие вероятности:

Искомая вероятность события будет равна

Пример оформления заказа №10.

Пусть одна монета из 10 000 000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается десять раз, причем во всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами?

Решение:

Применим формулу Байеса (3.2). Пусть событие состоит в том, что монета десять раз подряд падает гербом кверху. Гипотезы: — выбрана обычная монета; — выбрана монета с двумя гербами. По условию задачи необходимо определить условную вероятность . Неизвестные в формуле (3.2) вероятности равны

Следовательно,

Повторения независимых опытов

К оглавлению…

Пусть производится независимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие появляется с вероятностью . Вероятность того, что в последовательности из опытов событие произойдет ровно раз (формула Бернулли), равна

где — вероятность того, что событие не произойдет в одном опыте.

Вычисление вероятностей при больших значениях по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул:

1) если количество испытаний велико , а вероятность события мала , так что и то используется формула Пуассона:

2) если количество испытаний велико, вероятности и не малы, так что выполняются следующие условия:

то применяются приближенные формулы Муавра-Лапласа:

  • локальная

где

  • интегральная

где

функция Лапласса.

Функции и табулированы (прил. 1,2). При использовании таблиц следует помнить, что является четной , а функция Лапласа — нечетной .

Пусть производится серия из независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий с вероятностями соответственно.

Вероятность того, что в серии из испытаний событие наступит ровно раз, событие раз,событие раз равна:

Пример оформления заказа №11.

По каналу связи передается сообщений, каждое из которых независимо от других, с вероятностью оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий:

= {ровно два сообщения из шести искажены},

= {не менее двух сообщений из шести искажены},

= {все сообщения будут переданы без искажений},

= {все сообщения будут искажены}.

Решение:

По формуле Бернулли (4.1)

Пример оформления заказа №12.

Вероятность появления события А за время испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится: а) 80 раз; б) не менее 75 и не более 90 раз; в) не менее 75 раз.

Решение:

  • Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:

тогда

  • Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа

Значение функции Лапласа определяем по таблице Лапласа:

Случайная величина. Закон распределения

К оглавлению…

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными (ДСВ) или непрерывными (НСВ).

Закон распределения случайной величины — это любая функция, таблица, правило и т. п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.

Функцией распределения случайной величины называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции :

Свойства функции распределения:

Рядом распределения дискретной называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения , а в нижней — вероятности их появления

Так как события

несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:

Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения

Основные свойства плотности распределения:

  1. Плотность распределения неотрицательна: .
  2. Условие нормировки:.
  3. Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок равна:
  • Функция распределения случайной величины выражается через ее плотность:

Пример оформления заказа №13.

По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пяти ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске одной ракеты равна 0,6. Число попаданий в цель — случайная величина . Определить ряд распределения и функцию распределения величины .

Решение:

Случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найдем вероятность принятия величиной этих значений, используя формулу Бернулли:

Ряд распределения имеет вид:

Пример оформления заказа №14.

Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Найти константу , функцию распределения и вычислить .

Решение:

Константу вычислим исходя из условия нормировки:

откуда = 0,5.

Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности:

Окончательно имеем

Вероятность

Числовые характеристики случайной величины

К оглавлению…

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:

Свойства математического ожидания:

Начальный момент -го порядка есть математическое ожидание — й степени этой случайной величины:

Центрированной случайной величиной называется СВ, математическое ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси) .

Операция центрирования (переход от нецентрированной величины к центрированной ) имеет вид:

Центральный момент порядка есть математическое ожидание — й степени центрированной случайной величины :

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по следующей формуле:

Свойства дисперсии:

Средним квадратическим отклонением (СКО) называется характеристика

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Правило За. Практически все значения СВ находятся в интервале

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т. е. то значение, для которого вероятность (для дискретной СВ) или (для непрерывных СВ) достигает максимума.

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется условие

Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Квантилью случайной величины является такое ее значение, для которого выполняется условие

Пример оформления заказа №15.

Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке.

Решение:

По условию задачи принимает следующие значения:

Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно

нестандартных изделий, вычисляется по формуле

откуда

Дисперсию определим по формулам:

Тогда

Пример оформления заказа №16.

Непрерывная СВ распределена по закону Лапласа:

Найти коэффициент , математическое ожидание дисперсию , среднее квадратическое отклонение .

Решение:

Для нахождения коэффициента воспользуемся свойством нормировки плотности распределения

откуда

Так как функция — нечетная, то

дисперсия

соответственно равны:

Типовые законы распределения

К оглавлению…

Дискретная имеет геометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями

где — параметр распределения

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная имеет биномиальное распределение, если она принимает значения со следующими вероятностями:

где — параметры распределения

Числовые характеристики биномиального распределения:

Дискретная имеет распределение Пуассона, если она принимает значения со следующими вероятностями:

где — параметр распределения .

Числовые характеристики пуассоновской СВ:

Непрерывная имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале постоянна, т. е. если все значения в этом интервале равновероятны:

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

Непрерывная , принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

где — параметр распределения .

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

Непрерывная имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

где — параметры распределения — функция Лапласа.

Значения функции Лапласа приведены в прил. 2. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что

Числовые характеристики нормальной СВ:

Пример оформления заказа №17.

Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной , распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы составляет 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение:

Так как среднее время безотказной работы, т. е. математическое ожидание, равно 100 часов, то параметр экспоненциального закона будет равен

Искомая вероятность будет равна

Пример оформления заказа №18.

Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратичную ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные величины распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение:

Из условия задачи следует, что

Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание равно нулю (систематические ошибки отсутствуют), то

По таблице функции Лапласа находим аргумент

откуда

Функции одного случайного аргумента

К оглавлению…

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента . Если — непрерывная случайная величина, то плотность вероятности величины определяется по формуле

где — плотность вероятности величины ;

— функции, обратные функции ;

— число обратных функций для данного . Весь диапазон значений необходимо разбить на интервалы, в которых число обратных функций постоянно, и определить вид по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если — дискретная случайная величина, принимающая значения то величина будет принимать дискретные значения с вероятностями

Числовые характеристики функции одного случайного аргумента Xопределяются по следующим формулам: — начальные моменты:

  • математическое ожидание:
  • центральные моменты:
  • дисперсия:

Пример оформления заказа №19.

Определить плотность вероятности величины если — случайная величина, равномерно распределенная на интервале [-1,2].

Решение:

Так как равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности по формуле (7.4) равна:

Построим график величины для в интервале [-1, 2] и в зависимости от числа к обратных функций выделим следующие интервалы для (рис. 8.1):

Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов .

В интервале [0,1] две обратных функции:

По формуле (8.1) получим

В интервале (1,4] одна обратная функция

следовательно,

Таким образом, плотность вероятности величины равна

Пример оформления заказа №20.

Случайная величина равномерно распределена от -1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины .

Решение:

Плотность вероятности равна:

Вычислим математическое ожидание по формуле (8.3):

Дисперсию рассчитаем по формуле (8.5):

Двухмерные случайные величины

К оглавлению…

Функцией распределения двухмерной случайной величины называется вероятность совместного выполнения двух событий и :

Свойства двухмерной функции распределения:

Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.

Для непрерывной двухмерной случайной величины существует двухмерная плотность распределения:

Свойства двухмерной плотности:

Для дискретных случайных величин закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности появления всех возможных пар значений :

удовлетворяющих условию

Одномерные ряды вероятностей составляющих определяются по следующим формулам:

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности для непрерывных составляющих и определяются по следующим формулам:

Условные ряды распределения для дискретных составляющих и определяются по следующим формулам:

Величина независима от величины , если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина . Для независимых величин выполняются следующие соотношения:

1 )

2) для непрерывных —

3) для дискретных —

Пример оформления заказа №21.

Двухмерная случайная величина распределена по закону, приведенному ниже в таблице:

Определить одномерные ряды вероятностей величин и , условный ряд вероятностей величины при условии, что . Исследовать зависимость случайных величин и .

Решение:

Определим ряды вероятностей и по формулам (9.9) и (9.10), т. е. выполним суммирование по столбцам и по строкам.

Условный ряд при получаем по формуле (9.13):

Величины и зависимы, т. к.

Пример оформления заказа №22.

Двухмерная случайная величина равномерно распределена в области ограниченной прямыми

Исследовать зависимость случайных величин и .

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:

Определим , используя условие нормировки (9.5):

Определим одномерные плотности величин и по формуле (9.6):

Очевидно, что критерий независимости (9.16) величин не выполняется, т. е.

следовательно, величины и зависимы.

Числовые характеристики двухмерных случайных величин

К оглавлению…

Рассмотрим основные числовые характеристики двухмерной случайной величины .

Смешанный начальный момент порядка равен математическому ожиданию произведения и :

Смешанный центральный момент порядка равен математическому ожиданию произведения центрированных величин и :

где — элементы матрицы вероятностей дискретной величины ;

— совместная плотность вероятности непрерывной величины .

Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

Корреляционный момент характеризует степень тесноты линейной зависимости величин и и рассеивание относительно точки :

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости величин:

Для любых случайных величин . Если величины и независимы, то .

Пример оформления заказа №23.

Определить коэффициент корреляции величин и для примера 9.1.

Решение:

Определим математические ожидания величин и по формуле (10.3):

Определим по формуле (10.1):

Найдем значение по формуле (10.5)

Определим дисперсии величин и по формуле (10.4):

Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле (10.6):

Пример оформления заказа №24.

Определить коэффициент корреляции величин и для примера 9.2.

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины по формулам (10.3) и (10.4) соответственно:

Так как область симметрична относительно осей координат, то величины и будут иметь одинаковые числовые характеристики:

Определим корреляционный момент по формуле (10.5):

Коэффициент корреляции величин и будет равен по формуле (10.6):

Функции случайных величин

К оглавлению…

Рассмотрим функцию двух случайных аргументов . Функция распределения величины определяется по формуле

где — совместная плотность вероятности величин и .

В формуле (11.1) интегрирование производится по области , которая определяется из условия .

В случае, когда , функция распределения

а плотность вероятности

Если величины и независимы, то

Числовые характеристики функции двух случайных непрерывных величин и имеющих совместную плотность , определяются по следующим формулам:

  • начальные моменты:
  • центральные моменты:

В случае, когда закон распределения аргументов и неизвестен, а известны только их числовые характеристики -математическое ожидание и дисперсия величины , могут быть определены по следующим формулам:

Если , то математическое ожидание равно

В случае независимых сомножителей и дисперсия может быть определена по формуле.

Если — заданные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия равны:

Пусть — независимые случайные величины, значит математическое ожидание и дисперсия равны:

Отметим, что если независимые случайные величины распределены по нормальному закону, то также будет распределена по нормальному закону. В этом случае, вычислив и по формулам (11.11, 11.12) и подставив их в формулу нормального закона, можно полностью определить закон распределения .

Пример оформления заказа №25.

Устройство состоит из двух блоков — основного и резервного. При отказе основного блока автоматически включается резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 ч, если время безотказной работы блоков случайно и распределено по показательному закону, а среднее время наработки на отказ — 10 ч.

Решение:

Определим закон распределения вероятностей времени безотказной работы устройства:

где — время безотказной работы блоков.

Величины и независимы и имеют одинаковую плотность вероятностей:

Вычислим величину . Для показательного закона . Определим плотность вероятности по формуле (11.4):

Вычислим вероятность того, что :

Пример оформления заказа №26.

Величины независимы и имеют следующие числовые характеристики:

Определить коэффициент корреляции величин и :

Решение:

Вычислим математические ожидания и по формуле (11.11):

Вычислим дисперсии и по формуле (11.12), учитывая, что величины независимы и :

Рассчитаем корреляционный момент по формуле (10.5). Для этого определим :

Так как

Таким образом,

Тогда

Величину определим по формуле (10.6):

Оценка закона распределения

К оглавлению…

Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины.

Выборка — множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка , полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

Эмпирическая функция распределения является наилучшей оценкой функции распределения (несмещенной, состоятельной, эффективной).

Если анализируемая является дискретной с известным множеством значений , то по исходной выборке объемом определяется статистический ряд распределения вероятностей.

где — частота появления -го значения;

— число значений в выборке.

Если анализируемая является непрерывной, то по исходной выборке строится интервальный статистический ряд вероятностей.

где — номер интервала;

— число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

где — целая часть числа . Желательно, чтобы без остатка делилось на ;

— левая и правая границы -го интервала причем ;

— длина -го интервала;

— количество чисел в выборке, попадающих в -й интервал;

— частота попадания в у-и интервал;

— статистическая плотность вероятности в -м интервале.

При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы: 1) равноинтервальный, т. е. все интервалы одинаковой длинны:

2) равновероятностный, т. е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы без остатка делилось на ):

Гистограмма — статистический аналог графика плотности вероятности и она строится по интервальному статистическому ряду. Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале.

Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода — одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна единице.

Пример оформления заказа №27.

Задана выборка случайной величины : {4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4, 5}. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения .

Решение:

Вариационный ряд случайной величины имеет вид {2, 3, 3, 3, 4, 4,4,4,5,5}.

Определяем значения эмпирической функции распределения F\x) по формуле (12.1):

График функции имеет вид:

Замечание. В каждой точке оси , соответствующей значениям функция имеет скачок. В точке разрыва F*(x) непрерывна слева и принимает значение, выделенное знаком .

Пример оформления заказа №28.

Вариационный ряд случайной величины имеет следующий вид:

Построить гистограмму равноинтервальным и равновероятностным методами.

Решение:

Объем выборки равен 100. Количество интервалов определяем по формуле (12.2):

Для равноинтервального метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины рассчитаны по формулам (12.3), (12.4) :

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:

Для равновероятностного метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины рассчитаны по формулам (12.5), (12.6):

Равновероятностная гистограмма имеет вид:

Точечные оценки числовых характеристик и параметров

К оглавлению…

Статистической оценкой параметра распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке).

Точечной называется оценка, определяемая одним числом.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки она сходится по вероятности к значению параметра :

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру для любого объема выборки:

Несмещенная оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра.

Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним , вычисляется по формуле

Числовые характеристики :

Состоятельная несмещенная оценка дисперсии равна

Числовые характеристики :

Состоятельная несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения:

Состоятельная оценка начального момента -го порядка определяется по формуле

Состоятельная оценка центрального момента -го порядка равна

Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности случайного события в схеме независимых опытов Бернулли:

где — число опытов, в которых произошло событие ; — число проведенных опытов.

Числовые характеристики :

Для вычисления оценок параметров распределения чаще всего применяются методы моментов и максимального правдоподобия.

Суть метода моментов заключается в следующем. Пусть имеется выборка независимых значений случайной величины с известным законом распределения и неизвестными параметрами . Последовательность вычислений следующая:

  • Вычислить значения начальных и/или центральных теоретических моментов:
  • Определить соответствующих выборочных начальных и/или центральных моментов по формулам (13.4), (13.5).
  • Составить и решить относительно неизвестных параметров систему из уравнений, в которых приравниваются теоретические и выборочные моменты. Каждое уравнение имеет вид или . Найденные корни являются оценками неизвестных параметров.

Замечание. Часть уравнений может содержать начальные моменты, а оставшаяся часть — центральные.

Согласно методу максимального правдоподобия оценки получаются из условия максимума по параметрам положительной функции правдоподобия

Если случайная величина непрерывна, а значения независимы, то

Если случайная величина дискретна и принимает независимые значения с вероятностями

то функция правдоподобия равна

Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух
видах:

Найденные корни выбранной системы уравнений являются оценками неизвестных параметров .

Пример оформления заказа №29.

Случайная величина распределена по равномерному закону, т. е.

Необходимо определить оценки параметров и .

Решение:

Для данного закона распределения определяем теоретические выражения двух (по числу неизвестных параметров) моментов:

По исходной выборке определяем оценки этих же моментов и по формулам (13.1) и (13.2) соответственно. Составляем систему их двух уравнений:

Решив ее относительно неизвестных параметров и , получим оценки:

Пример оформления заказа №30.

Пусть — независимые значения случайной величины , распределенной по экспоненциальному закону, т. е.

Необходимо получить оценку параметра методом максимального правдоподобия.

Решение:

Функция правдоподобия имеет вид

Далее записываем уравнение

Решив его, получаем выражение для оценки параметра :

Интервальные оценки числовых характеристик

К оглавлению…

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) попадают значения параметра . Вероятность выбирается близкой к единице: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания случайной величины с неизвестным законом распределения:

где — значение аргумента функции Лапласа (прил. 2).

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания нормально распределенной случайной величины :

где — значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента (прил. 3).

Доверительный интервал надежностью для дисперсии случайной величины с неизвестным законом распределения:

— значение аргумента функции Лапласа (прил. 2).

Доверительный интервал надежностью для дисперсии нормально распределенной случайной величины :

где — значения, взятые из таблицы распределения (прил. 4).

Доверительный интервал надежностью для вероятности события в схеме независимых опытов Бернулли:

где — частота появления события в опытах;

— число опытов, в которых произошло событие ; — число проведенных опытов.

Пример оформления заказа №31.

Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события . В 100 опытах событие произошло 40 раз.

Частота события

принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1.

Решение:

Необходимо определить с надежность следующий доверительный интервал:

т. е.

(см. формулу (14.5)).

С учетом того, что

искомая вероятность

Пример оформления заказа №32.

Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если

Решение:

Из условия задачи известно, что

В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического ожидания

Из таблицы функции Лапласа выбираем значение

Следовательно,

Пример оформления заказа №33.

По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии . Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.

Решение:

Воспользуемся формулой (14.4), т. к. погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы выбираем значение

Поэтому

Проверка статистических гипотез о законе распределения

К оглавлению…

Критерием согласия называется случайная величина

где — значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения.

Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия :

  • Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму.
  • По виду гистограммы выдвинуть гипотезу:

где — плотность и функция гипотетического закона распределения.

  • Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения.
  • Вычислить значение критерия по формуле

где — теоретическая вероятность попадания случайной величины в -й интервал при условии, что гипотеза верна:

Замечания. При расчете и в качестве крайних границ первого и последнего интервалов следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения. Например, для нормального закона . После вычисления всех вероятностей проверить, выполняется ли контрольное соотношение

Из таблицы распределения (прил. 4) выбирается значение , где — заданный уровень значимости ( = 0,05 или 0,01), а — число степеней свободы, определяемое по формуле

где — число параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3.

Если то гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая:

  • Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения (см. (12.1)).
  • По виду графика выдвинуть гипотезу:

где — функция гипотетического закона распределения.

  • Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения.
  • Рассчитать 10-20 значений функции и построить ее график в одной системе координат с функцией .
  • По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями и .
  • Вычислить значение критерия Колмогорова
  • Из таблицы распределения Колмогорова (прил. 5) выбрать критическое значение Здесь — заданный уровень значимости ( = 0,05 или 0,01).
  • Если , то нулевая гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Пример оформления заказа №34.

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее с помощью критерия . Вариационный ряд, интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределения случайной величины приведены в примере 12.2. Уровень значимости а равен 0,05.

Решение:

По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону:

Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров и гипотетического (нормального) закона распределения:

Значение критерия вычисляем по формуле (15.1):

При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности рассчитываем по формуле (15.2):

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

После этого из таблицы распределения выбираем критическое значение

Так как

то гипотеза принимается (нет основания ее отклонить).

Пример оформления заказа №35.

По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения

случайной величины по выборке объема 10: 2,68; 1,83; 2,90; 1,03; 0,90; 4,07; 5,05; 0,94; 0,71; 1,16, уровень значимости

Решение:

Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71; 0,90; 0,94; 1,03; 1,16; 1,83; 2,68; 2,90; 4,07; 5,05. Построим график эмпирической функции распределения .

Теоретическая функция распределения равномерного закона равна

Максимальная разность по модулю между графиками и :

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение

Так как

гипотеза о равномерном законе распределения принимается.

Оценка коэффициента корреляции и линейной регрессии

К оглавлению…

Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых двухмерная принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида

Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих и как одномерных величин (см. раздел 12 — 15) и вычисление оценок присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам.

Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна:

где — значения, которые приняли случайные величины в -м опыте; — средние значения случайных величин и соответственно. Состоятельная оценка коэффициента корреляции:

Доверительный интервал с надежностью для коэффициента корреляции и случая двухмерного нормального распределения:

где

значение аргумента функции Лапласа (прил. 2).

Алгоритм проверки гипотезы оботсутствия корреляционной зависимости следующий (предполагается, что двухмерная случайная величина () распределена по нормальному закону):

  • Формулируется гипотеза:

Здесь — теоретический коэффициент корреляции.

  • Вычисляется оценка коэффициента корреляции по формуле (16.2).
  • Определяется значение критерия

который распределен по закону Стьюдента с степенями свободы, если гипотеза верна.

  • По заданному уровню значимости вычисляется доверительная вероятность и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение .
  • Если то гипотеза отклоняется, а следовательно, величины коррелированны. В противном случае гипотеза принимается.

Регрессией случайной величины на называется условное математическое ожидание случайной величины при условии, что :

Регрессия на устанавливает зависимость среднего значения величины от величины . Если и независимы, то

Если величины распределены по нормальному закону, то регрессия является линейной:

Оценки параметров и по методу наименьших вычисляются по следующим формулам:

где — оценки математического ожидания величин и ;

— оценка дисперсии величины ;

— оценки корреляционного момента величин и .

Для визуальной проверки правильности вычисления величин необходимо построить диаграмму рассеивания и график .

Если оценки параметров рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех точек от прямой должна быть минимально возможной.

Пример оформления заказа №36.

Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, . Найти 90 %-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции .

Решение:

Из таблицы Лапласа выбирается значение

Тогда

Доверительный интервал вычисляем по формуле (16.3).

Пример оформления заказа №37.

Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных:

Предполагается также, что двухмерный закон распределения — нормальный.

Решение:

Вначале вычислим значение критерия по формуле (16.4):

Из таблица Стьюдента выбираем критическое значение

Так как то гипотеза принимается, потому что нет оснований ее отклонить.

Возможно эти страницы вам будут полезны: