Помощь по теории вероятности — решение заданий и задач онлайн

Оглавление:

Помощь по теории вероятности
Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Как получить помощь в выполнении заданий по теории вероятности

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько стоит помощь

Стоимость помощи зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения

Минимальный срок выполнения составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки.

Чуть ниже я предоставила формулы чтобы вы освежили знания и примеры оформления заказов по некоторым темам теории вероятностей, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Основные комбинаторные формулы

Пусть имеется множество Помощь по теории вероятности онлайн, состоящее из Помощь по теории вероятности онлайн различных элементов. Помощь по теории вероятности онлайн-выборкой называется множество, состоящее из Помощь по теории вероятности онлайн элементов, взятых из множества Помощь по теории вероятности онлайн.

Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества Помощь по теории вероятности онлайн может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Число упорядоченных Помощь по теории вероятности онлайн-выборок (размещений) с повторениями Помощь по теории вероятности онлайн и без повторений Помощь по теории вероятности онлайн равно

Помощь по теории вероятности онлайн

Если Помощь по теории вероятности онлайн, то размещения без повторений называются перестановками, т. е. это — расположение элементов исходного множества в определенном порядке. Число перестановок из Помощь по теории вероятности онлайн элементов равно

Помощь по теории вероятности онлайн

Пустое множество можно упорядочить только одним способом:

Помощь по теории вероятности онлайн

Число неупорядоченных Помощь по теории вероятности онлайн-выборок (сочетаний) с повторениями Помощь по теории вероятности онлайн, и без повторений Помощь по теории вероятности онлайн равно

Помощь по теории вероятности онлайн

Число различных разбиений множества из Помощь по теории вероятности онлайн элементов на Помощь по теории вероятности онлайн непересекающихся подмножеств (причем в первом подмножестве Помощь по теории вероятности онлайн элементов, во втором Помощь по теории вероятности онлайн элементов и т. д., а Помощь по теории вероятности онлайн) равно

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №1.

В партии транзисторов Помощь по теории вероятности онлайн стандартных и Помощь по теории вероятности онлайн бракованных. При контроле оказалось, что первые Помощь по теории вероятности онлайн транзисторов стандартны. Найти вероятность Помощь по теории вероятности онлайн того, что следующий транзистор будет стандартным.

Решение:

Всего осталось для проверки Помощь по теории вероятности онлайн транзисторов, из которых стандартных Помощь по теории вероятности онлайн. По формуле классического определения вероятности

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №2.

Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этого состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут в совет.

Решение:

Число способов выбрать пять человек из 3 + 5 + 7= 15 равно числу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений):

Помощь по теории вероятности онлайн

Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом. Оставшихся двух членов совета можно выбрать Помощь по теории вероятности онлайн способами:

Помощь по теории вероятности онлайн

Искомая вероятность

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №3.

Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шести дисков с восемью буквами на каждом. Сейф открывается при наборе единственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф, причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 с. Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в его распоряжении 1 ч?

Решение:

Обозначим искомую вероятность через Помощь по теории вероятности онлайн. По формуле (1.1) она будет равна Помощь по теории вероятности онлайн. Здесь Помощь по теории вероятности онлайн — общее число исходов, равное числу кодовых комбинаций замка, оно определяется по формуле (1.3) и равно Помощь по теории вероятности онлайн — число благоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций, которые успеет испробовать злоумышленник за 1 ч, т. е. 360. Таким образом, искомая вероятность будет равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий Помощь по теории вероятности онлайн равна сумме вероятностей этих событий

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность суммы трех совместных событии вычисляется по следующей формуле:

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность суммы Помощь по теории вероятности онлайн событии Помощь по теории вероятности онлайн равна

Помощь по теории вероятности онлайн

С учетом того, что Помощь по теории вероятности онлайн, вероятность суммы Помощь по теории вероятности онлайн событий (если Помощь по теории вероятности онлайн) удобнее вычислять по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность произведения двух событии равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

Помощь по теории вероятности онлайн

Для независимых событий

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность произведения п событии Помощь по теории вероятности онлайн равна

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — вероятность появления события Помощь по теории вероятности онлайн при условии, что события Помощь по теории вероятности онлайн в данном опыте произошли.

В случае независимых событий данная формула упрощается:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №4.

Сообщение передается одновременно по Помощь по теории вероятности онлайн каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется Помощь по теории вероятности онлайн раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью Помощь по теории вероятности онлайн. Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами с вероятностью Помощь по теории вероятности онлайн; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.

Решение:

Обозначим события:

Помощь по теории вероятности онлайн = {хотя бы один раз сообщение передано без искажений};

Помощь по теории вероятности онлайн = {по Помощь по теории вероятности онлайн-му каналу сообщение хотя бы один раз было передано без искажений}.

Для выполнения события Помощь по теории вероятности онлайн Помощь по теории вероятности онлайн-й канал, во-первых, не должен быть забит помехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно быть искажено.

Вероятность того, что канал не «забит» помехами, равна Помощь по теории вероятности онлайн.

Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех, равна Помощь по теории вероятности онлайн (Помощь по теории вероятности онлайн — вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями).

Тогда

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность события Помощь по теории вероятности онлайн, состоящего в том, что хотя бы на одном канале произойдет событие, равна:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №5.

Какова вероятность угадать в спортлото «5 из 36» не менее трех номеров?

Решение:

Событие Помощь по теории вероятности онлайн — угадать не менее трех номеров в спортлото, разбивается на сумму трех несовместных событий:

Помощь по теории вероятности онлайн — угадать ровно три номера;

Помощь по теории вероятности онлайн — угадать ровно четыре номера;

Помощь по теории вероятности онлайн — угадать ровно пять номеров.

При этом Помощь по теории вероятности онлайн, так как события несовместны.

Найдем вероятность Помощь по теории вероятности онлайн. Для этого воспользуемся формулой (1.1). Здесь общее число комбинаций Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (1.7) будет равно числу возможных заполнений карточек:

Помощь по теории вероятности онлайн

Число благоприятствующих комбинаций Помощь по теории вероятности онлайн в этом случае определяется следующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно Помощь по теории вероятности онлайн способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается с выбором двух неправильных номеров. Число таких выборок равно Помощь по теории вероятности онлайн. Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведению найденных чисел:

Помощь по теории вероятности онлайн

Тогда

Помощь по теории вероятности онлайн

Аналогично вычисляются

Помощь по теории вероятности онлайн

Таким образом, искомая вероятность будет равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №6.

В урне Помощь по теории вероятности онлайн белых Помощь по теории вероятности онлайн черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение:

Введем следующие обозначения: Помощь по теории вероятности онлайн — шар белый, Помощь по теории вероятности онлайн— шар черный, Помощь по теории вероятности онлайн — шары разных цветов. Событие Помощь по теории вероятности онлайн может появиться в двух несовместных вариантах: (Б, Ч) или (Ч, Б). По правилу умножения вероятностей:

Помощь по теории вероятности онлайн

По правилу сложения вероятностей несовместных событий

Помощь по теории вероятности онлайн

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать Помощь по теории вероятности онлайн исключающих друг друга предположений {гипотез): Помощь по теории вероятности онлайн Помощь по теории вероятности онлайн при Помощь по теории вероятности онлайн.

Событие Помощь по теории вероятности онлайн может появляться совместно с одной из гипотез Помощь по теории вероятности онлайн. Тогда полная вероятность события Помощь по теории вероятности онлайн равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Если опыт произведен и произошло некоторое событие Помощь по теории вероятности онлайн, то определить вероятность гипотезы Помощь по теории вероятности онлайн с учетом того, что произошло событие Помощь по теории вероятности онлайн, можно по формуле Байеса:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №7.

В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго — 5 % и третьего — 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % — со второго и 20 % — с третьего?

Решение:

С рассматриваемым событием Помощь по теории вероятности онлайн = {приобретенный телевизор оказался с дефектом} связано три гипотезы: Помощь по теории вероятности онлайн = {телевизор выпущен первым заводом}, Помощь по теории вероятности онлайн = {выпущен вторым заводом}, Помощь по теории вероятности онлайн = {выпущен третьим заводом}. Вероятности этих событий определяются из условия задачи:

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Условные вероятности события Помощь по теории вероятности онлайн также определяются из условия задачи:

Помощь по теории вероятности онлайн

Отсюда по формуле полной вероятности следует:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №8.

На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел?

Решение:

С рассматриваемым событием Помощь по теории вероятности онлайн = {приемник зарегистрировал наличие сигнала} связано две гипотезы: Помощь по теории вероятности онлайн = {пришел сигнал и помеха}, Помощь по теории вероятности онлайн = {пришла только помеха}. Вероятности этих гипотез

Помощь по теории вероятности онлайн

Условные вероятности события Помощь по теории вероятности онлайн по отношению к гипотезам Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн находим из условия задачи:

Помощь по теории вероятности онлайн

Требуется определить условную вероятность гипотезы Помощь по теории вероятности онлайн по отношению к событию Помощь по теории вероятности онлайн, для чего воспользуемся формулой Байеса:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №9.

Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме с вероятностью 0,9, а если в кино — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что студент разберется в теме?

Решение:

Применим формулу полной вероятности (3.1). Пусть Помощь по теории вероятности онлайн — событие, состоящее в том, что студент разобрался в теме, событие (гипотеза) Помощь по теории вероятности онлайн — студент идет в кино, Помощь по теории вероятности онлайн — студент идет на лекцию. Известны из условия задачи следующие вероятности:

Помощь по теории вероятности онлайн

Искомая вероятность события Помощь по теории вероятности онлайн будет равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №10.

Пусть одна монета из 10 000 000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается десять раз, причем во всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами?

Решение:

Применим формулу Байеса (3.2). Пусть событие Помощь по теории вероятности онлайн состоит в том, что монета десять раз подряд падает гербом кверху. Гипотезы: Помощь по теории вероятности онлайн — выбрана обычная монета; Помощь по теории вероятности онлайн — выбрана монета с двумя гербами. По условию задачи необходимо определить условную вероятность Помощь по теории вероятности онлайн. Неизвестные в формуле (3.2) вероятности равны

Помощь по теории вероятности онлайн

Следовательно,

Помощь по теории вероятности онлайн

Повторения независимых опытов

Пусть производится Помощь по теории вероятности онлайн независимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие Помощь по теории вероятности онлайн появляется с вероятностью Помощь по теории вероятности онлайн. Вероятность Помощь по теории вероятности онлайн того, что в последовательности из Помощь по теории вероятности онлайн опытов событие Помощь по теории вероятности онлайн произойдет ровно Помощь по теории вероятности онлайн раз (формула Бернулли), равна

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — вероятность того, что событие Помощь по теории вероятности онлайн не произойдет в одном опыте.

Вычисление вероятностей Помощь по теории вероятности онлайн при больших значениях Помощь по теории вероятности онлайн по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул:

1) если количество испытаний велико Помощь по теории вероятности онлайн, а вероятность события мала Помощь по теории вероятности онлайн, так что Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн то используется формула Пуассона:

Помощь по теории вероятности онлайн

2) если количество испытаний Помощь по теории вероятности онлайн велико, вероятности Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн не малы, так что выполняются следующие условия:

Помощь по теории вероятности онлайн

то применяются приближенные формулы Муавра-Лапласа:

  • локальная
Помощь по теории вероятности онлайн

где

Помощь по теории вероятности онлайн
  • интегральная
Помощь по теории вероятности онлайн

где

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

функция Лапласса.

Функции Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн табулированы (прил. 1,2). При использовании таблиц следует помнить, что Помощь по теории вероятности онлайн является четной Помощь по теории вероятности онлайн, а функция Лапласа — нечетной Помощь по теории вероятности онлайн.

Пусть производится серия из Помощь по теории вероятности онлайн независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий Помощь по теории вероятности онлайн с вероятностями Помощь по теории вероятности онлайн соответственно.

Вероятность того, что в серии из Помощь по теории вероятности онлайн испытаний событие Помощь по теории вероятности онлайн наступит ровно Помощь по теории вероятности онлайн раз, событие Помощь по теории вероятности онлайн раз,событие Помощь по теории вероятности онлайн раз Помощь по теории вероятности онлайн равна:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №11.

По каналу связи передается Помощь по теории вероятности онлайн сообщений, каждое из которых независимо от других, с вероятностью Помощь по теории вероятности онлайн оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий:

Помощь по теории вероятности онлайн = {ровно два сообщения из шести искажены},

Помощь по теории вероятности онлайн = {не менее двух сообщений из шести искажены},

Помощь по теории вероятности онлайн = {все сообщения будут переданы без искажений},

Помощь по теории вероятности онлайн = {все сообщения будут искажены}.

Решение:

По формуле Бернулли (4.1)

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №12.

Вероятность появления события АПомощь по теории вероятности онлайн за время испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие Помощь по теории вероятности онлайн появится: а) 80 раз; б) не менее 75 и не более 90 раз; в) не менее 75 раз.

Решение:

  • Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:
Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

тогда

Помощь по теории вероятности онлайн
  • Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа
Помощь по теории вероятности онлайн

Значение функции Лапласа определяем по таблице Лапласа:

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Случайная величина. Закон распределения

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными (ДСВ) или непрерывными (НСВ).

Закон распределения случайной величины — это любая функция, таблица, правило и т. п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.

Функцией распределения случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Свойства функции распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Рядом распределения дискретной Помощь по теории вероятности онлайн называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения Помощь по теории вероятности онлайн, а в нижней — вероятности их появления

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Так как события

Помощь по теории вероятности онлайн

несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение

Помощь по теории вероятности онлайн

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:

Помощь по теории вероятности онлайн

Плотностью распределения (плотностью вероятности) Помощь по теории вероятности онлайн непрерывной случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн называется производная ее функции распределения

Помощь по теории вероятности онлайн

Основные свойства плотности распределения:

  1. Плотность распределения неотрицательна: Помощь по теории вероятности онлайн.
  2. Условие нормировки:Помощь по теории вероятности онлайн.
  3. Вероятность попадания случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн на произвольный участок Помощь по теории вероятности онлайн равна:
Помощь по теории вероятности онлайн
  • Функция распределения Помощь по теории вероятности онлайн случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн выражается через ее плотность:
Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №13.

По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пяти ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске одной ракеты равна 0,6. Число попаданий в цель — случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн. Определить ряд распределения и функцию распределения величины Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найдем вероятность принятия величиной Помощь по теории вероятности онлайн этих значений, используя формулу Бернулли:

Помощь по теории вероятности онлайн

Ряд распределения имеет вид:

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №14.

Случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Помощь по теории вероятности онлайн

Найти константу Помощь по теории вероятности онлайн, функцию распределения Помощь по теории вероятности онлайн и вычислить Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Константу Помощь по теории вероятности онлайн вычислим исходя из условия нормировки:

Помощь по теории вероятности онлайн

откуда Помощь по теории вероятности онлайн = 0,5.

Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности:

Помощь по теории вероятности онлайн

Окончательно имеем

Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:

Помощь по теории вероятности онлайн

Свойства математического ожидания:

Помощь по теории вероятности онлайн

Начальный момент Помощь по теории вероятности онлайн-го порядка Помощь по теории вероятности онлайн есть математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн— й степени этой случайной величины:

Помощь по теории вероятности онлайн

Центрированной случайной величиной Помощь по теории вероятности онлайн называется СВ, математическое ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси) Помощь по теории вероятности онлайн.

Операция центрирования (переход от нецентрированной величины Помощь по теории вероятности онлайн к центрированной Помощь по теории вероятности онлайн) имеет вид:

Помощь по теории вероятности онлайн

Центральный момент порядка Помощь по теории вероятности онлайн Помощь по теории вероятности онлайн есть математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн— й степени центрированной случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по следующей формуле:

Помощь по теории вероятности онлайн

Свойства дисперсии:

Помощь по теории вероятности онлайн

Средним квадратическим отклонением (СКО) Помощь по теории вероятности онлайн называется характеристика

Помощь по теории вероятности онлайн

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Правило За. Практически все значения СВ находятся в интервале

Помощь по теории вероятности онлайн

Модой Помощь по теории вероятности онлайн случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т. е. то значение, для которого вероятность Помощь по теории вероятности онлайн (для дискретной СВ) или Помощь по теории вероятности онлайн (для непрерывных СВ) достигает максимума.

Медианой Помощь по теории вероятности онлайн случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн называется такое ее значение, для которого выполняется условие

Помощь по теории вероятности онлайн

Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Квантилью Помощь по теории вероятности онлайн случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн является такое ее значение, для которого выполняется условие

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №15.

Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке.

Решение:

По условию задачи Помощь по теории вероятности онлайн принимает следующие значения:

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно

Помощь по теории вероятности онлайн

нестандартных изделий, вычисляется по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

откуда

Помощь по теории вероятности онлайн

Дисперсию определим по формулам:

Помощь по теории вероятности онлайн

Тогда

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №16.

Непрерывная СВ распределена по закону Лапласа:

Помощь по теории вероятности онлайн

Найти коэффициент Помощь по теории вероятности онлайн, математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн дисперсию Помощь по теории вероятности онлайн, среднее квадратическое отклонение Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Для нахождения коэффициента Помощь по теории вероятности онлайн воспользуемся свойством нормировки плотности распределения

Помощь по теории вероятности онлайн

откуда

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как функция Помощь по теории вероятности онлайн — нечетная, то

Помощь по теории вероятности онлайн

дисперсия

Помощь по теории вероятности онлайн

соответственно равны:

Помощь по теории вероятности онлайн

Типовые законы распределения

Дискретная Помощь по теории вероятности онлайн имеет геометрическое распределение, если она принимает значения Помощь по теории вероятности онлайн с вероятностями

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — параметр распределения

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики геометрического распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Дискретная Помощь по теории вероятности онлайн имеет биномиальное распределение, если она принимает значения Помощь по теории вероятности онлайн со следующими вероятностями:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — параметры распределения

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики биномиального распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Дискретная Помощь по теории вероятности онлайн имеет распределение Пуассона, если она принимает значения Помощь по теории вероятности онлайн со следующими вероятностями:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — параметр распределения Помощь по теории вероятности онлайн.

Числовые характеристики пуассоновской СВ:

Помощь по теории вероятности онлайн

Непрерывная Помощь по теории вероятности онлайн имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале Помощь по теории вероятности онлайн постоянна, т. е. если все значения Помощь по теории вероятности онлайн в этом интервале равновероятны:

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

Помощь по теории вероятности онлайн

Непрерывная Помощь по теории вероятности онлайн, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — параметр распределения Помощь по теории вероятности онлайн.

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

Помощь по теории вероятности онлайн

Непрерывная Помощь по теории вероятности онлайн имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — параметры распределения Помощь по теории вероятности онлайн— функция Лапласа.

Значения функции Лапласа приведены в прил. 2. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики нормальной СВ:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №17.

Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Помощь по теории вероятности онлайн, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы составляет 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение:

Так как среднее время безотказной работы, т. е. математическое ожидание, равно 100 часов, то параметр Помощь по теории вероятности онлайн экспоненциального закона будет равен

Помощь по теории вероятности онлайн

Искомая вероятность будет равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №18.

Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратичную ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные величины распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение:

Из условия задачи следует, что

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн равно нулю (систематические ошибки отсутствуют), то

Помощь по теории вероятности онлайн

По таблице функции Лапласа находим аргумент

Помощь по теории вероятности онлайн

откуда

Помощь по теории вероятности онлайн

Функции одного случайного аргумента

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Помощь по теории вероятности онлайн. Если Помощь по теории вероятности онлайн— непрерывная случайная величина, то плотность вероятности Помощь по теории вероятности онлайн величины Помощь по теории вероятности онлайн определяется по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — плотность вероятности величины Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — функции, обратные функции Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — число обратных функций для данного Помощь по теории вероятности онлайн. Весь диапазон значений Помощь по теории вероятности онлайн необходимо разбить на интервалы, в которых число Помощь по теории вероятности онлайн обратных функций постоянно, и определить вид Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если Помощь по теории вероятности онлайн — дискретная случайная величина, принимающая значения Помощь по теории вероятности онлайн то величина Помощь по теории вероятности онлайн будет принимать дискретные значения Помощь по теории вероятности онлайн с вероятностями Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики функции Помощь по теории вероятности онлайн одного случайного аргумента Xопределяются по следующим формулам: — начальные моменты:

Помощь по теории вероятности онлайн
  • математическое ожидание:
Помощь по теории вероятности онлайн
  • центральные моменты:
Помощь по теории вероятности онлайн
  • дисперсия:
Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №19.

Определить плотность вероятности величины Помощь по теории вероятности онлайн если Помощь по теории вероятности онлайн — случайная величина, равномерно распределенная на интервале [-1,2].

Решение:

Так как Помощь по теории вероятности онлайн равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности по формуле (7.4) равна:

Помощь по теории вероятности онлайн

Построим график величины Помощь по теории вероятности онлайн для Помощь по теории вероятности онлайн в интервале [-1, 2] и в зависимости от числа к обратных функций выделим следующие интервалы для Помощь по теории вероятности онлайн (рис. 8.1):

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Так как на интервалах Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн обратная функция не существует, то для этих интервалов Помощь по теории вероятности онлайн.

В интервале [0,1] две обратных функции:

Помощь по теории вероятности онлайн

По формуле (8.1) получим

Помощь по теории вероятности онлайн

В интервале (1,4] одна обратная функция

Помощь по теории вероятности онлайн

следовательно,

Помощь по теории вероятности онлайн

Таким образом, плотность вероятности величины Помощь по теории вероятности онлайн равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №20.

Случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн равномерно распределена от -1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Плотность вероятности Помощь по теории вероятности онлайн равна:

Помощь по теории вероятности онлайн

Вычислим математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (8.3):

Помощь по теории вероятности онлайн

Дисперсию Помощь по теории вероятности онлайн рассчитаем по формуле (8.5):

Помощь по теории вероятности онлайн

Двухмерные случайные величины

Функцией распределения двухмерной случайной величины называется вероятность совместного выполнения двух событий Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Свойства двухмерной функции распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.

Для непрерывной двухмерной случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн существует двухмерная плотность распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Свойства двухмерной плотности:

Помощь по теории вероятности онлайн

Для дискретных случайных величин Помощь по теории вероятности онлайн закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности Помощь по теории вероятности онлайн появления всех возможных пар значений Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

удовлетворяющих условию

Помощь по теории вероятности онлайн

Одномерные ряды вероятностей составляющих Помощь по теории вероятности онлайн определяются по следующим формулам:

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности для непрерывных составляющих Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн определяются по следующим формулам:

Помощь по теории вероятности онлайн

Условные ряды распределения для дискретных составляющих Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн определяются по следующим формулам:

Помощь по теории вероятности онлайн

Величина Помощь по теории вероятности онлайн независима от величины Помощь по теории вероятности онлайн, если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина Помощь по теории вероятности онлайн. Для независимых величин выполняются следующие соотношения:

1 )Помощь по теории вероятности онлайн

2) для непрерывных — Помощь по теории вероятности онлайн

3) для дискретных — Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №21.

Двухмерная случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн распределена по закону, приведенному ниже в таблице:

Помощь по теории вероятности онлайн

Определить одномерные ряды вероятностей величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн, условный ряд вероятностей величины Помощь по теории вероятности онлайн при условии, что Помощь по теории вероятности онлайн. Исследовать зависимость случайных величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Определим ряды вероятностей Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формулам (9.9) и (9.10), т. е. выполним суммирование по столбцам и по строкам.

Помощь по теории вероятности онлайн

Условный ряд Помощь по теории вероятности онлайн при Помощь по теории вероятности онлайн получаем по формуле (9.13):

Помощь по теории вероятности онлайн

Величины Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн зависимы, т. к.

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №22.

Двухмерная случайная величина равномерно распределена в области Помощь по теории вероятности онлайн ограниченной прямыми

Помощь по теории вероятности онлайн

Исследовать зависимость случайных величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн.

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:

Помощь по теории вероятности онлайн

Определим Помощь по теории вероятности онлайн, используя условие нормировки (9.5):

Помощь по теории вероятности онлайн

Определим одномерные плотности Помощь по теории вероятности онлайн величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (9.6):

Помощь по теории вероятности онлайн

Очевидно, что критерий независимости (9.16) величин не выполняется, т. е.

Помощь по теории вероятности онлайн

следовательно, величины Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн зависимы.

Числовые характеристики двухмерных случайных величин

Рассмотрим основные числовые характеристики двухмерной случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн.

Смешанный начальный момент порядка Помощь по теории вероятности онлайн равен математическому ожиданию произведения Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Смешанный центральный момент порядка Помощь по теории вероятности онлайн равен математическому ожиданию произведения центрированных величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — элементы матрицы вероятностей дискретной величины Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — совместная плотность вероятности непрерывной величины Помощь по теории вероятности онлайн.

Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

Помощь по теории вероятности онлайн

Корреляционный момент Помощь по теории вероятности онлайн характеризует степень тесноты линейной зависимости величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн и рассеивание относительно точки Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Коэффициент корреляции Помощь по теории вероятности онлайн характеризует степень линейной зависимости величин:

Помощь по теории вероятности онлайн

Для любых случайных величин Помощь по теории вероятности онлайн. Если величины Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн независимы, то Помощь по теории вероятности онлайн.

Пример оформления заказа №23.

Определить коэффициент корреляции величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн для примера 9.1.

Решение:

Определим математические ожидания величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (10.3):

Помощь по теории вероятности онлайн

Определим Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (10.1):

Помощь по теории вероятности онлайн

Найдем значение Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (10.5)

Помощь по теории вероятности онлайн

Определим дисперсии величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (10.4):

Помощь по теории вероятности онлайн

Значение коэффициента корреляции Помощь по теории вероятности онлайн вычислим по формуле (10.6):

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №24.

Определить коэффициент корреляции величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн для примера 9.2.

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Помощь по теории вероятности онлайн по формулам (10.3) и (10.4) соответственно:

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как область Помощь по теории вероятности онлайн симметрична относительно осей координат, то величины Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн будут иметь одинаковые числовые характеристики:

Помощь по теории вероятности онлайн

Определим корреляционный момент Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (10.5):

Помощь по теории вероятности онлайн

Коэффициент корреляции величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн будет равен по формуле (10.6):

Помощь по теории вероятности онлайн

Функции случайных величин

Рассмотрим функцию двух случайных аргументов Помощь по теории вероятности онлайн. Функция распределения Помощь по теории вероятности онлайн величины Помощь по теории вероятности онлайн определяется по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — совместная плотность вероятности величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн.

В формуле (11.1) интегрирование производится по области Помощь по теории вероятности онлайн, которая определяется из условия Помощь по теории вероятности онлайн.

В случае, когда Помощь по теории вероятности онлайн, функция распределения

Помощь по теории вероятности онлайн

а плотность вероятности

Помощь по теории вероятности онлайн

Если величины Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн независимы, то

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики функции Помощь по теории вероятности онлайн двух случайных непрерывных величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн имеющих совместную плотность Помощь по теории вероятности онлайн, определяются по следующим формулам:

  • начальные моменты:
Помощь по теории вероятности онлайн
  • центральные моменты:
Помощь по теории вероятности онлайн

В случае, когда закон распределения аргументов Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн неизвестен, а известны только их числовые характеристики Помощь по теории вероятности онлайн -математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн и дисперсия Помощь по теории вероятности онлайн величины Помощь по теории вероятности онлайн, могут быть определены по следующим формулам:

Помощь по теории вероятности онлайн

Если Помощь по теории вероятности онлайн, то математическое ожидание Помощь по теории вероятности онлайн равно

Помощь по теории вероятности онлайн

В случае независимых сомножителей Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн дисперсия Помощь по теории вероятности онлайн может быть определена по формуле.

Если Помощь по теории вероятности онлайн — заданные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия Помощь по теории вероятности онлайн равны:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пусть Помощь по теории вероятности онлайн — независимые случайные величины, значит математическое ожидание и дисперсия Помощь по теории вероятности онлайн равны:

Помощь по теории вероятности онлайн

Отметим, что если независимые случайные величины Помощь по теории вероятности онлайн распределены по нормальному закону, то Помощь по теории вероятности онлайн также будет распределена по нормальному закону. В этом случае, вычислив Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формулам (11.11, 11.12) и подставив их в формулу нормального закона, можно полностью определить закон распределения Помощь по теории вероятности онлайн.

Пример оформления заказа №25.

Устройство состоит из двух блоков — основного и резервного. При отказе основного блока автоматически включается резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 ч, если время безотказной работы блоков случайно и распределено по показательному закону, а среднее время наработки на отказ — 10 ч.

Решение:

Определим закон распределения вероятностей времени Помощь по теории вероятности онлайн безотказной работы устройства:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — время безотказной работы блоков.

Величины Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн независимы и имеют одинаковую плотность вероятностей:

Помощь по теории вероятности онлайн

Вычислим величину Помощь по теории вероятности онлайн. Для показательного закона Помощь по теории вероятности онлайн. Определим плотность вероятности Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (11.4):

Помощь по теории вероятности онлайн

Вычислим вероятность того, что Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №26.

Величины Помощь по теории вероятности онлайн независимы и имеют следующие числовые характеристики:

Помощь по теории вероятности онлайн

Определить коэффициент корреляции Помощь по теории вероятности онлайн величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Решение:

Вычислим математические ожидания Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (11.11):

Помощь по теории вероятности онлайн

Вычислим дисперсии Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (11.12), учитывая, что величины Помощь по теории вероятности онлайн независимы и Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Рассчитаем корреляционный момент Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (10.5). Для этого определим Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как

Помощь по теории вероятности онлайн

Таким образом,

Помощь по теории вероятности онлайн

Тогда

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Величину Помощь по теории вероятности онлайн определим по формуле (10.6):

Помощь по теории вероятности онлайн

Оценка закона распределения

Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины.

Выборка — множество Помощь по теории вероятности онлайн случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.

Объемом выборки Помощь по теории вероятности онлайн называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка Помощь по теории вероятности онлайн, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения Помощь по теории вероятности онлайн называются вариантами.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

Помощь по теории вероятности онлайн

Эмпирическая функция распределения Помощь по теории вероятности онлайн является наилучшей оценкой функции распределения Помощь по теории вероятности онлайн (несмещенной, состоятельной, эффективной).

Если анализируемая Помощь по теории вероятности онлайн является дискретной с известным множеством значений Помощь по теории вероятности онлайн, то по исходной выборке объемом Помощь по теории вероятности онлайн определяется статистический ряд распределения вероятностей.

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — частота появления Помощь по теории вероятности онлайн-го значения;

Помощь по теории вероятности онлайн — число значений Помощь по теории вероятности онлайн в выборке.

Если анализируемая Помощь по теории вероятности онлайн является непрерывной, то по исходной выборке строится интервальный статистический ряд вероятностей.

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — номер интервала;

Помощь по теории вероятности онлайн — число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — целая часть числа Помощь по теории вероятности онлайн. Желательно, чтобы Помощь по теории вероятности онлайн без остатка делилось на Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — левая и правая границы Помощь по теории вероятности онлайн-го интервала Помощь по теории вероятности онлайн причем Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — длина Помощь по теории вероятности онлайн-го интервала;

Помощь по теории вероятности онлайн — количество чисел в выборке, попадающих в Помощь по теории вероятности онлайн-й интервал;

Помощь по теории вероятности онлайн — частота попадания в у-и интервал;

Помощь по теории вероятности онлайн — статистическая плотность вероятности в Помощь по теории вероятности онлайн-м интервале.

При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы: 1) равноинтервальный, т. е. все интервалы одинаковой длинны:

Помощь по теории вероятности онлайн

2) равновероятностный, т. е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы Помощь по теории вероятности онлайн без остатка делилось на Помощь по теории вероятности онлайн):

Помощь по теории вероятности онлайн

Гистограмма — статистический аналог графика плотности вероятности Помощь по теории вероятности онлайн и она строится по интервальному статистическому ряду. Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах Помощь по теории вероятности онлайн статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности Помощь по теории вероятности онлайн в соответствующем интервале.

Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода — одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна единице.

Пример оформления заказа №27.

Задана выборка случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн: {4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4, 5}. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Вариационный ряд случайной величины имеет вид {2, 3, 3, 3, 4, 4,4,4,5,5}.

Определяем значения эмпирической функции распределения F\x) по формуле (12.1):

Помощь по теории вероятности онлайн

График функции Помощь по теории вероятности онлайн имеет вид:

Помощь по теории вероятности онлайн

Замечание. В каждой точке оси Помощь по теории вероятности онлайн, соответствующей значениям Помощь по теории вероятности онлайн функция Помощь по теории вероятности онлайн имеет скачок. В точке разрыва F*(x) непрерывна слева и принимает значение, выделенное знаком Помощь по теории вероятности онлайн.

Пример оформления заказа №28.

Вариационный ряд случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн имеет следующий вид:

Помощь по теории вероятности онлайн

Построить гистограмму равноинтервальным и равновероятностным методами.

Решение:

Объем выборки равен 100. Количество интервалов определяем по формуле (12.2):

Помощь по теории вероятности онлайн

Для равноинтервального метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины Помощь по теории вероятности онлайн рассчитаны по формулам (12.3), (12.4) :

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:

Помощь по теории вероятности онлайн

Для равновероятностного метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины Помощь по теории вероятности онлайн рассчитаны по формулам (12.5), (12.6):

Помощь по теории вероятности онлайн

Равновероятностная гистограмма имеет вид:

Помощь по теории вероятности онлайн

Точечные оценки числовых характеристик и параметров

Статистической оценкой Помощь по теории вероятности онлайн параметра Помощь по теории вероятности онлайн распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке).

Точечной называется оценка, определяемая одним числом.

Оценка Помощь по теории вероятности онлайн называется состоятельной, если при увеличении объема выборки Помощь по теории вероятности онлайн она сходится по вероятности к значению параметра Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Оценка Помощь по теории вероятности онлайн называется несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру Помощь по теории вероятности онлайн для любого объема выборки:

Помощь по теории вероятности онлайн

Несмещенная оценка Помощь по теории вероятности онлайн является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра.

Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним Помощь по теории вероятности онлайн, вычисляется по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Состоятельная несмещенная оценка дисперсии равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Числовые характеристики Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Состоятельная несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Состоятельная оценка начального момента Помощь по теории вероятности онлайн-го порядка определяется по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

Состоятельная оценка центрального момента Помощь по теории вероятности онлайн-го порядка равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности случайного события Помощь по теории вероятности онлайн в схеме независимых опытов Бернулли:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — число опытов, в которых произошло событие Помощь по теории вероятности онлайн; Помощь по теории вероятности онлайн — число проведенных опытов.

Числовые характеристики Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Для вычисления оценок параметров распределения чаще всего применяются методы моментов и максимального правдоподобия.

Суть метода моментов заключается в следующем. Пусть имеется выборка Помощь по теории вероятности онлайн независимых значений случайной величины с известным законом распределения Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн неизвестными параметрами Помощь по теории вероятности онлайн. Последовательность вычислений следующая:

  • Вычислить значения Помощь по теории вероятности онлайн начальных и/или центральных теоретических моментов:
Помощь по теории вероятности онлайн
  • Определить Помощь по теории вероятности онлайн соответствующих выборочных начальных Помощь по теории вероятности онлайн и/или центральных Помощь по теории вероятности онлайн моментов по формулам (13.4), (13.5).
  • Составить и решить относительно неизвестных параметров Помощь по теории вероятности онлайн систему из Помощь по теории вероятности онлайн уравнений, в которых приравниваются теоретические и выборочные моменты. Каждое уравнение имеет вид Помощь по теории вероятности онлайн или Помощь по теории вероятности онлайн. Найденные корни являются оценками Помощь по теории вероятности онлайн неизвестных параметров.

Замечание. Часть уравнений может содержать начальные моменты, а оставшаяся часть — центральные.

Согласно методу максимального правдоподобия оценки Помощь по теории вероятности онлайн получаются из условия максимума по параметрам Помощь по теории вероятности онлайнположительной функции правдоподобия

Помощь по теории вероятности онлайн

Если случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн непрерывна, а значения Помощь по теории вероятности онлайн независимы, то

Помощь по теории вероятности онлайн

Если случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн дискретна и принимает независимые значения Помощь по теории вероятности онлайн с вероятностями

Помощь по теории вероятности онлайн

то функция правдоподобия равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух
видах:

Помощь по теории вероятности онлайн

Найденные корни выбранной системы уравнений являются оценками Помощь по теории вероятности онлайн неизвестных параметров Помощь по теории вероятности онлайн.

Пример оформления заказа №29.

Случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн распределена по равномерному закону, т. е.

Помощь по теории вероятности онлайн

Необходимо определить оценки параметров Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Для данного закона распределения определяем теоретические выражения двух (по числу неизвестных параметров) моментов:

Помощь по теории вероятности онлайн

По исходной выборке определяем оценки этих же моментов Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по формулам (13.1) и (13.2) соответственно. Составляем систему их двух уравнений:

Помощь по теории вероятности онлайн

Решив ее относительно неизвестных параметров Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн, получим оценки:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №30.

Пусть Помощь по теории вероятности онлайн — независимые значения случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн, распределенной по экспоненциальному закону, т. е.

Помощь по теории вероятности онлайн

Необходимо получить оценку параметра Помощь по теории вероятности онлайн методом максимального правдоподобия.

Решение:

Функция правдоподобия имеет вид

Помощь по теории вероятности онлайн

Далее записываем уравнение

Помощь по теории вероятности онлайн

Решив его, получаем выражение для оценки параметра Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Интервальные оценки числовых характеристик

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) Помощь по теории вероятности онлайн попадают значения параметра Помощь по теории вероятности онлайн. Вероятность Помощь по теории вероятности онлайн выбирается близкой к единице: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью Помощь по теории вероятности онлайн для математического ожидания случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн с неизвестным законом распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — значение аргумента функции Лапласа Помощь по теории вероятности онлайн (прил. 2).

Доверительный интервал надежностью Помощь по теории вероятности онлайн для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента (прил. 3).

Доверительный интервал надежностью Помощь по теории вероятности онлайн для дисперсии случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн с неизвестным законом распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Помощь по теории вероятности онлайн — значение аргумента функции Лапласа Помощь по теории вероятности онлайн (прил. 2).

Доверительный интервал надежностью Помощь по теории вероятности онлайн для дисперсии нормально распределенной случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — значения, взятые из таблицы распределения Помощь по теории вероятности онлайн(прил. 4).

Доверительный интервал надежностью Помощь по теории вероятности онлайн для вероятности события Помощь по теории вероятности онлайн в схеме независимых опытов Бернулли:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — частота появления события Помощь по теории вероятности онлайн в Помощь по теории вероятности онлайн опытах;

Помощь по теории вероятности онлайн — число опытов, в которых произошло событие Помощь по теории вероятности онлайн; Помощь по теории вероятности онлайн — число проведенных опытов.

Пример оформления заказа №31.

Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события Помощь по теории вероятности онлайн. В 100 опытах событие произошло 40 раз.

Частота события

Помощь по теории вероятности онлайн

принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1.

Решение:

Необходимо определить с надежность Помощь по теории вероятности онлайн следующий доверительный интервал:

Помощь по теории вероятности онлайн

т. е.

Помощь по теории вероятности онлайн

(см. формулу (14.5)).

С учетом того, что

Помощь по теории вероятности онлайн

искомая вероятность

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №32.

Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если Помощь по теории вероятности онлайн

Решение:

Из условия задачи известно, что

Помощь по теории вероятности онлайн

В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического ожидания

Помощь по теории вероятности онлайн

Из таблицы функции Лапласа выбираем значение

Помощь по теории вероятности онлайн

Следовательно,

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №33.

По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии Помощь по теории вероятности онлайн. Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.

Решение:

Воспользуемся формулой (14.4), т. к. погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы Помощь по теории вероятности онлайн выбираем значение

Помощь по теории вероятности онлайн

Поэтому

Помощь по теории вероятности онлайн

Проверка статистических гипотез о законе распределения

Критерием согласия называется случайная величина

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн— значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения.

Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия Помощь по теории вероятности онлайн:

  • Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму.
  • По виду гистограммы выдвинуть гипотезу:
Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — плотность и функция гипотетического закона распределения.

  • Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров Помощь по теории вероятности онлайн гипотетического закона распределения.
  • Вычислить значение критерия по формуле
Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — теоретическая вероятность попадания случайной величины в Помощь по теории вероятности онлайн-й интервал при условии, что гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн верна:

Помощь по теории вероятности онлайн

Замечания. При расчете Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн в качестве крайних границ первого и последнего интервалов Помощь по теории вероятности онлайн следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения. Например, для нормального закона Помощь по теории вероятности онлайн. После вычисления всех вероятностей Помощь по теории вероятности онлайн проверить, выполняется ли контрольное соотношение

Помощь по теории вероятности онлайн

Из таблицы распределения Помощь по теории вероятности онлайн (прил. 4) выбирается значение Помощь по теории вероятности онлайн, где Помощь по теории вероятности онлайн — заданный уровень значимости (Помощь по теории вероятности онлайн = 0,05 или 0,01), а Помощь по теории вероятности онлайн — число степеней свободы, определяемое по формуле

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — число параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3.

Если Помощь по теории вероятности онлайн то гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая:

  • Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения Помощь по теории вероятности онлайн (см. (12.1)).
  • По виду графика Помощь по теории вероятности онлайн выдвинуть гипотезу:
Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — функция гипотетического закона распределения.

  • Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров Помощь по теории вероятности онлайн гипотетического закона распределения.
  • Рассчитать 10-20 значений функции Помощь по теории вероятности онлайн и построить ее график в одной системе координат с функцией Помощь по теории вероятности онлайн.
  • По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн.
Помощь по теории вероятности онлайн
  • Вычислить значение критерия Колмогорова
Помощь по теории вероятности онлайн
  • Из таблицы распределения Колмогорова (прил. 5) выбрать критическое значение Помощь по теории вероятности онлайн Здесь Помощь по теории вероятности онлайн — заданный уровень значимости (Помощь по теории вероятности онлайн = 0,05 или 0,01).
  • Если Помощь по теории вероятности онлайн, то нулевая гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Пример оформления заказа №34.

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн и проверить ее с помощью критерия Помощь по теории вероятности онлайн. Вариационный ряд, интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределения случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн приведены в примере 12.2. Уровень значимости а равен 0,05.

Решение:

По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина Помощь по теории вероятности онлайн распределена по нормальному закону:

Помощь по теории вероятности онлайн

Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн гипотетического (нормального) закона распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

Значение критерия вычисляем по формуле (15.1):

Помощь по теории вероятности онлайн

При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае

Помощь по теории вероятности онлайн

Теоретические вероятности Помощь по теории вероятности онлайн рассчитываем по формуле (15.2):

Помощь по теории вероятности онлайн

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

Помощь по теории вероятности онлайн

После этого из таблицы распределения Помощь по теории вероятности онлайн выбираем критическое значение

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как

Помощь по теории вероятности онлайн

то гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн принимается (нет основания ее отклонить).

Пример оформления заказа №35.

По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения

Помощь по теории вероятности онлайн

случайной величины по выборке объема 10: 2,68; 1,83; 2,90; 1,03; 0,90; 4,07; 5,05; 0,94; 0,71; 1,16, уровень значимости

Помощь по теории вероятности онлайн

Решение:

Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71; 0,90; 0,94; 1,03; 1,16; 1,83; 2,68; 2,90; 4,07; 5,05. Построим график эмпирической функции распределения Помощь по теории вероятности онлайн.

Помощь по теории вероятности онлайн

Теоретическая функция распределения Помощь по теории вероятности онлайн равномерного закона Помощь по теории вероятности онлайн равна

Помощь по теории вероятности онлайн

Максимальная разность по модулю между графиками Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Помощь по теории вероятности онлайн

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как

Помощь по теории вероятности онлайн

гипотеза о равномерном законе распределения принимается.

Оценка коэффициента корреляции и линейной регрессии

Пусть проводится Помощь по теории вероятности онлайн независимых опытов, в каждом из которых двухмерная Помощь по теории вероятности онлайн принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида

Помощь по теории вероятности онлайн

Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн как одномерных величин (см. раздел 12 — 15) и вычисление оценок присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам.

Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна:

Помощь по теории вероятности онлайн

где Помощь по теории вероятности онлайн — значения, которые приняли случайные величины Помощь по теории вероятности онлайн в Помощь по теории вероятности онлайн-м опыте; Помощь по теории вероятности онлайн — средние значения случайных величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн соответственно. Состоятельная оценка коэффициента корреляции:

Помощь по теории вероятности онлайн

Доверительный интервал с надежностью Помощь по теории вероятности онлайн для коэффициента корреляции Помощь по теории вероятности онлайн и случая двухмерного нормального распределения:

Помощь по теории вероятности онлайн

где

Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн
Помощь по теории вероятности онлайн

значение аргумента функции Лапласа Помощь по теории вероятности онлайн (прил. 2).

Алгоритм проверки гипотезы оботсутствия корреляционной зависимости следующий (предполагается, что двухмерная случайная величина (Помощь по теории вероятности онлайн) распределена по нормальному закону):

  • Формулируется гипотеза:
Помощь по теории вероятности онлайн

Здесь Помощь по теории вероятности онлайн — теоретический коэффициент корреляции.

  • Вычисляется оценка коэффициента корреляции Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (16.2).
  • Определяется значение критерия
Помощь по теории вероятности онлайн

который распределен по закону Стьюдента с Помощь по теории вероятности онлайн степенями свободы, если гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн верна.

  • По заданному уровню значимости Помощь по теории вероятности онлайн вычисляется доверительная вероятность Помощь по теории вероятности онлайн и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение Помощь по теории вероятности онлайн.
  • Если Помощь по теории вероятности онлайн то гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн отклоняется, а следовательно, величины Помощь по теории вероятности онлайн коррелированны. В противном случае гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн принимается.

Регрессией случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн на Помощь по теории вероятности онлайн называется условное математическое ожидание случайной величины Помощь по теории вероятности онлайн при условии, что Помощь по теории вероятности онлайн:

Помощь по теории вероятности онлайн

Регрессия Помощь по теории вероятности онлайн на Помощь по теории вероятности онлайн устанавливает зависимость среднего значения величины Помощь по теории вероятности онлайн от величины Помощь по теории вероятности онлайн. Если Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн независимы, то

Помощь по теории вероятности онлайн

Если величины Помощь по теории вероятности онлайн распределены по нормальному закону, то регрессия является линейной:

Помощь по теории вероятности онлайн

Оценки параметров Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн по методу наименьших вычисляются по следующим формулам:

Помощь по теории вероятности онлайн

гдеПомощь по теории вероятности онлайн — оценки математического ожидания величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — оценка дисперсии величины Помощь по теории вероятности онлайн;

Помощь по теории вероятности онлайн — оценки корреляционного момента величин Помощь по теории вероятности онлайн и Помощь по теории вероятности онлайн.

Для визуальной проверки правильности вычисления величин Помощь по теории вероятности онлайн необходимо построить диаграмму рассеивания и график Помощь по теории вероятности онлайн.

Помощь по теории вероятности онлайн

Если оценки параметров Помощь по теории вероятности онлайн рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех точек Помощь по теории вероятности онлайн от прямой Помощь по теории вероятности онлайн должна быть минимально возможной.

Пример оформления заказа №36.

Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, Помощь по теории вероятности онлайн. Найти 90 %-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции Помощь по теории вероятности онлайн.

Решение:

Из таблицы Лапласа выбирается значение

Помощь по теории вероятности онлайн

Тогда

Помощь по теории вероятности онлайн

Доверительный интервал вычисляем по формуле (16.3).

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример оформления заказа №37.

Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных:

Помощь по теории вероятности онлайн

Предполагается также, что двухмерный закон распределения — нормальный.

Решение:

Вначале вычислим значение критерия Помощь по теории вероятности онлайн по формуле (16.4):

Помощь по теории вероятности онлайн

Из таблица Стьюдента выбираем критическое значение

Помощь по теории вероятности онлайн

Так как Помощь по теории вероятности онлайн то гипотеза Помощь по теории вероятности онлайн принимается, потому что нет оснований ее отклонить.

Возможно эти страницы вам будут полезны: