Помощь по теоретической механике

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по теоретической механике, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Кроме примеров, я разместила и полный курс теории в виде лекций, если вдруг вы захотите попробовать сами решить.

Сначала идёт теория, а потом идут оформленные примеры решения.

Статика

К оглавлению…

  1. Основные определения и понятия о статике

Система сходящихся сил

К оглавлению…

Система сходящихся сил — это силы, приложенные к телу, линии действия которых пересекаются в одной точке.

  1. Сложение системы сходящихся сил
  2. Аналитический способ определения равнодействующей системы сходящихся сил

Пример оформления задачи №2.1.

На рис. 2.4 показаны три силы. Проекции сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике на оси помощь по теоретической механике очевидны

помощь по теоретической механике

Чтобы найти проекцию силы помощь по теоретической механике на ось помощь по теоретической механике, нужно использовать правило двойного проектирования.

Проектируем силу сначала на плоскость помощь по теоретической механике, в которой расположена ось (см. рис. 2.4), получим вектор помощь по теоретической механике величиной помощь по теоретической механике, а затем его проектируем на ось помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Аналогично действуя, найдем проекцию на ось помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Проекция на ось помощь по теоретической механике находится проще:

помощь по теоретической механике

Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось помощь по теоретической механике равны:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

При определении этих проекций удобно воспользоваться рис. 2.5, видом сверху на расположение сил и осей.

Вернемся к системе помощь по теоретической механике сходящихся сил помощь по теоретической механике (рис. 2.6). Проведем оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил в точке помощь по теоретической механике. Мы уже знаем (2.1), что равнодействующая сил помощь по теоретической механике. Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проекции равнодействующей помощь по теоретической механике на оси помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину

помощь по теоретической механике

Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину ее как диагональ прямоугольного параллелепипеда

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Направление вектора помощь по теоретической механике найдем с помощью направляющих косинусов (см. рис. 2.6)

помощь по теоретической механике

Система сходящихся сил уравновешивается, если их равнодействующая помощь по теоретической механике, а это возможно только при выполнении условий

помощь по теоретической механике

Эти условия, алгебраические суммы проекций сил на оси равны нулю, называются уравнениями равновесия системы сходящихся сил, расположенных в пространстве.

Конечно, если все силы расположены в одной плоскости, например помощь по теоретической механике, третье уравнение обратится в тождество и останутся лишь два уравнения

помощь по теоретической механике

Следовательно, среди уравновешенных сил, расположенных в пространстве, можно найти три неизвестные величины; среди сил, расположенных в плоскости, — две.

Пример оформления задачи №2.2.

На шар, вес которого помощь по теоретической механике, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью помощь по теоретической механике, действует сила помощь по теоретической механике (рис.2.7). Определим реакции связей.

Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме в определенном порядке.

Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.

  • Надо выбрать (назначить) объект равновесия — тело, равновесие которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные.

В этой задаче, конечно, объект равновесия — шар.

помощь по теоретической механике
  • Построение расчетной схемы. Расчетная схема — это объект равновесия, изображенный отдельно свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него: реакциями и остальными силами.

Воспользовавшись рис. 1.4, показываем реакцию нити помощь по теоретической механике и нормальную реакцию плоскости — помощь по теоретической механике (см. рис.2.7). Кроме них на шар действуют заданные силы помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

  • Надо установить, какая получилась система сил, и составить соответствующие уравнения равновесия.

Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно)

помощь по теоретической механике

Решаем систему уравнений и находим неизвестные

помощь по теоретической механике

По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но по определению (I, п. 6) следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.

Пример оформления задачи №2.3.

Тело весом помощь по теоретической механике прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис. 2.8). Определим усилия в стержнях.

помощь по теоретической механике

В этой задаче объект равновесия — помощь по теоретической механике вместе с грузом. Он нарисован отдельно с реакциями, усилиями в стержнях помощь по теоретической механике и весом помощь по теоретической механике. Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равновесия

помощь по теоретической механике

Из первого уравнения следует:

помощь по теоретической механике

Тогда из третьего:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

а из второго:

помощь по теоретической механике

Когда мы направляли усилия в стержнях от узла, от объекта равновесия, то предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие помощь по теоретической механике в стержне помощь по теоретической механике получилось отрицательным. Это значит — стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает, как работает стержень: на растяжение или на сжатие.

Момент силы

К оглавлению…

  1. Момент силы относительно точки
  2. Момент силы относительно оси
  3. Зависимость между моментами силы относительно точки и относительно оси

Пример оформления задачи №2.4

Определим моменты сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике относительно осей помощь по теоретической механике (рис. 3.4).

помощь по теоретической механике

Моменты силы помощь по теоретической механике находятся просто:

помощь по теоретической механике

Моменты сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике — посложнее.

В тех случаях, когда вектор силы направлен под углом к оси, полезно разложить вектор силы на составляющие, параллельные осям, и затем находить сумму моментов этих составляющих.

Так, моменты силы помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

И силы помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике (линия действия силы помощь по теоретической механике пересекает ось помощь по теоретической механике).

Пара сил

К оглавлению…

  1. Пара сил. Момент, свойства, сложение пары сил

Произвольная система сил

К оглавлению…

  1. Приведение силы к точке

Пример оформления задачи №5.1.

Рама помощь по теоретической механике (рис. 5.4) удерживается в равновесии шарниром помощь по теоретической механике и стержнем помощь по теоретической механике. На краю рамы находится груз весом помощь по теоретической механике. Определим реакции шарнира и усилие в стержне.

помощь по теоретической механике

Порядок решения задач остается прежним (см. пример 2.2). Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчетную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на нее: реакции связей и вес груза помощь по теоретической механике. Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Каким вариантом уравнений (5.12) нужно воспользоваться? Желательно составить такие уравнения, чтобы в них было по одной неизвестной силе. Поэтому попробуем воспользоваться III вариантом, составляя уравнения моментов относительно трех точек, точек пересечения линий действия неизвестных сил.

В нашей задаче это точка помощь по теоретической механике, где приложены неизвестные помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике; точка помощь по теоретической механике, где пересекаются линии действия неизвестных сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике; точка помощь по теоретической механике — точка пересечения линий действия сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Но, поскольку расстояния до точки помощь по теоретической механике находятся не очень просто, воспользуемся II вариантом, составив уравнение проекций сил на ось помощь по теоретической механике (на ось помощь по теоретической механике проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой помощь по теоретической механике).

И прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчетной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо ее найти сложно, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу помощь по теоретической механике на две: помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (см. рис. 5.4) такие, что модули их

помощь по теоретической механике

Составляем уравнения:

помощь по теоретической механике

Из второго уравнения находим

помощь по теоретической механике

Из третьего уравнения

помощь по теоретической механике

Теперь из первого уравнения получим

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №5.2.

Прямоугольная полка весом помощь по теоретической механике удерживается в горизонтальном положении двумя стержнями помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике, прикрепленными к стене в точке помощь по теоретической механике (рис. 5.5). Стержни одинаковой длины, помощь по теоретической механике. Определим усилия в стержнях и реакции петель помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчетную схему. Реакции петель принято показывать двумя силами, перпендикулярными оси петли: помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Можем составить шесть уравнений. Неизвестных — тоже шесть.

помощь по теоретической механике

Какие уравнения составлять — надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в каждом было поменьше неизвестных. Составим такие уравнения:

помощь по теоретической механике

Из уравнения (5.13) получим

помощь по теоретической механике

Тогда

помощь по теоретической механике

Из уравнения (5,14)

помощь по теоретической механике

и по (5.17)

помощь по теоретической механике

Значит

помощь по теоретической механике

Так как

помощь по теоретической механике

то из уравнения (5.18) следует

помощь по теоретической механике

Тогда по уравнению (5.14)

помощь по теоретической механике

Из треугольника

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

следует

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Поэтому

помощь по теоретической механике

Для проверки решения можно составить еще одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:

помощь по теоретической механике

Задача решена правильно.

Центр тяжести

К оглавлению…

  1. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил
  2. Центр тяжести тел
  3. Распределённые силы

Пример оформления задачи №6.1.

Определим центр тяжести однородного тела, изображенного на рис. 6.4.

помощь по теоретической механике

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

помощь по теоретической механике

Объемы их:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Поэтому координаты центра тяжести тела

помощь по теоретической механике

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой малой толщины, то объем каждой пластины помощь по теоретической механике, где помощь по теоретической механике -площадь пластины, помощь по теоретической механике — толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей

помощь по теоретической механике

где помощь по теоретической механике — координаты центра тяжести отдельных пластин; помощь по теоретической механике — общая площадь тела.

Пример оформления задачи №6.2.

Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры — на чертеже (рис. 6.5).

Координаты центров тяжести помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике отдельных частей:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Их площади:

помощь по теоретической механике

Поэтому:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №6.3.

У квадратного листа 20×20 см вырезано квадратное отверстие 5×5 см (рис. 6.6). Найдем центр тяжести листа.

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием

помощь по теоретической механике

а координата

помощь по теоретической механике

так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Четвертое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или криволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их помощь по теоретической механике, где помощь по теоретической механике — длина, помощь по теоретической механике — вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков

помощь по теоретической механике

где помощь по теоретической механике — координата центра тяжести помощь по теоретической механике-го участка; помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №6.4.

Проволочная скобка (рис. 6.7) состоит из трех участков одинаковой длины помощь по теоретической механике.

Координаты центров тяжести участков:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Трение в механике

К оглавлению…

Трением называется сопротивление движению тела. Оно бывает нескольких видов: трения скольжения, качения, верчения, вязкое трение. Рассмотрим первые два.

  1. Трение скольжения
  2. Трение качения

Пример оформления задачи №6.5

На какое максимальное расстояние помощь по теоретической механике может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис. 7.3), если вес человека помощь по теоретической механике, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной помощь по теоретической механике, между лестницей и полом помощь по теоретической механике .

Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу помощь по теоретической механике, нормальные реакции помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике и добавляем силы трения:

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

Полагаем, что человек находится на расстоянии

помощь по теоретической механике

при большем значении которого начнется движение лестницы. Составляем уравнения равновесия.

помощь по теоретической механике

Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Теперь можно определить и угол, под которым надо поставить лестницу, чтобы добраться до стены. Полагая помощь по теоретической механике, получим после преобразований помощь по теоретической механике или помощь по теоретической механике.

При исследовании равновесия тел с учетом трения скольжения иногда бывает полезно воспользоваться понятием угла трения и конуса трения.

Углом трения называется угол помощь по теоретической механике между нормальной реакцией помощь по теоретической механике и полной реакцией плоскости помощь по теоретической механике (рис. 7.4). Если направление вектора силы трения на плоскости меняется, то вектор помощь по теоретической механике будет направлен по соответствующей образующей конуса, который называется конусом трения.

Очевидно,

помощь по теоретической механике

Заметим, что если равнодействующая помощь по теоретической механике всех активных сил (всех, кроме реакций) направлена под углом помощь по теоретической механике (рис. 7.4), то нормальная реакция помощь по теоретической механике, а сила трения помощь по теоретической механике. Для того чтобы началось скольжение, должно выполняться условие помощь по теоретической механике или помощь по теоретической механике. И так как помощь по теоретической механике то помощь по теоретической механике. Значит, угол помощь по теоретической механике должен быть больше угла помощь по теоретической механике. Следовательно, если сила помощь по теоретической механике действует внутри угла или конуса трения помощь по теоретической механике, то как бы ни была велика эта сила, скольжение тела не произойдет. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения.

Мы рассмотрели скольжение твердых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр (в частности каната, намотанного на причальные тумбы, кнехты, в морском порту).

Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную круглую цилиндрическую поверхность (рис. 7.5). За счет сил трения натяжения левого и правого концов этой нити будут различными.

Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяются равномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити длиной помощь по теоретической механике (рис. 7.6). На левом конце этого участка натяжение помощь по теоретической механике, на правом помощь по теоретической механике. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:

помощь по теоретической механике

Так как угол помощь по теоретической механике — малая величина, то полагаем

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

С учетом этого из уравнений находим

помощь по теоретической механике

и так как

помощь по теоретической механике

имеем

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Интегрируя, получим

помощь по теоретической механике

Или

помощь по теоретической механике

Этот результат называется формулой Эйлера. Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и помощь по теоретической механике, а коэффициент трения помощь по теоретической механике, то отношение натяжений

помощь по теоретической механике

А обернув цилиндр один раз

помощь по теоретической механике

то есть можно удержать груз на другом конце нити силой, почти в три раза меньшей веса тела.

Кинематика

Кинематика точки

К оглавлению…

  1. Способы задания движения точки
  2. Скорость точки
  3. Ускорение точки

Пример оформления задачи №8.3.

Движение точки задано уравнениями

помощь по теоретической механике

Из первого уравнения

помощь по теоретической механике

Подставив во второе, получим уравнение траектории:

помощь по теоретической механике

Это уравнение параболы (рис.8.7).

помощь по теоретической механике

В начале движения при помощь по теоретической механике 0 точка находилась на самом верху, в положении помощь по теоретической механике.

А например, при помощь по теоретической механике она будет в положении помощь по теоретической механике с координатами

помощь по теоретической механике

Проекции скорости на оси

помощь по теоретической механике

При

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

И модуль скорости

помощь по теоретической механике

Составляющие скорости по осям и вектор её показаны на рис. 8.7.

Проекция ускорения

помощь по теоретической механике

Так как проекция вектора помощь по теоретической механике на ось помощь по теоретической механике равна нулю, а на ось помощь по теоретической механике — отрицательна, то вектор ускорения направлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени.

Ускорение точки при естественном способе задания движения.

Прежде всего — несколько сведений из дифференциальной геометрии.

помощь по теоретической механике

Покажем в точке помощь по теоретической механике на пространственной линии три взаимно перпендикулярные оси. Ось помощь по теоретической механике направим по касательной к линии (рис. 8.8). Оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике — в плоскости, перпендикулярной оси помощь по теоретической механике (в нормальной плоскости I). Ось помощь по теоретической механике, которая называется главной нормалью, направлена по линии пересечения нормальной плоскости I и соприкасающейся плоскости II в сторону вогнутости линии.

Плоскость II названа соприкасающейся потому, что она как бы приставлена сбоку к кривой, соприкасается с ней.

Ось помощь по теоретической механике, перпендикулярная помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике, называется бинормалью («вторая» нормаль).

При движении точки помощь по теоретической механике эти оси движутся вместе с нею. Называются эти оси естественными осями. Единичные векторы помощь по теоретической механике, направленные по осям, являются ортами соответствующих осей.

Производная помощь по теоретической механике характеризует крутизну, кривизну линии в точке помощь по теоретической механике, помощь по теоретической механике — кривизна линии. А величина, обратная кривизне помощь по теоретической механике, называется радиусом кривизны в точке помощь по теоретической механике. Точка помощь по теоретической механике, расположенная на главной нормали помощь по теоретической механике на расстоянии помощь по теоретической механике, называется центром кривизны.

Вектор скорости точки направлен по оси помощь по теоретической механике. Поэтому его можно записать так: помощь по теоретической механике ( помощь по теоретической механике — алгебраическая величина скорости помощь по теоретической механике). Ускорение точки

помощь по теоретической механике

Следовательно, ускорение состоит из двух векторов. Первый вектор

помощь по теоретической механике

Величина его равна помощь по теоретической механике, а направлен вектор по оси помощь по теоретической механике.

Чтобы определить величину и направление второй составляющей, надо найти производную

помощь по теоретической механике

Поэтому второй вектор

помощь по теоретической механике

Теперь становится понятно, что вектор помощь по теоретической механике по модулю будет равен помощь по теоретической механике и направлен по главной нормали, по оси помощь по теоретической механике, так же как единичный вектор помощь по теоретической механике.

Так как первая составляющая ускорения направлена по касательной к траектории, это ускорение называют касательным ускорением

помощь по теоретической механике

вторую составляющую соответственно её направлению — нормальным ускорением

помощь по теоретической механике

Поэтому полное ускорение

помощь по теоретической механике

Величина этих составляющих ускорения

помощь по теоретической механике

Обратим внимание на то, что вектор ускорения помощь по теоретической механике находится в соприкасающейся плоскости, проекция его на бинормаль помощь по теоретической механике равна нулю, помощь по теоретической механике. Так как векторы помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике перпендикулярны друг другу, то

помощь по теоретической механике

Рассмотрим два частных случая.

Первый случай. Точка движется по прямой линии с переменной скоростью. Нормальное ускорение

помощь по теоретической механике

равно нулю, так как радиус кривизны прямой линии равен бесконечности. А касательное

помощь по теоретической механике

не равно нулю. Поэтому

помощь по теоретической механике

Второй случай. Точка движется по кривой линии, но с постоянной по величине скоростью. В этом случае

помощь по теоретической механике

так как радиус кривизны помощь по теоретической механике конечная величина. Значит, помощь по теоретической механике

Сравнение этих двух случаев позволяет сделать вывод, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное ускорение — изменение вектора скорости по направлению.

Пример оформления задачи №8.4

Точка движется по окружности радиусом помощь по теоретической механике по закону

помощь по теоретической механике

При

помощь по теоретической механике

Значит, движение началось из помощь по теоретической механике (рис. 8.9). Далее, при

помощь по теоретической механике

при

помощь по теоретической механике

при

помощь по теоретической механике

при

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Судя по этим результатам, точка сначала двигалась в положительном направлении, а затем пошла обратно. В крайнем положении скорость точки станет равной нулю.

Так как

помощь по теоретической механике

то, положив

помощь по теоретической механике

найдем время помощь по теоретической механике, момент, когда точка окажется в этом крайнем положении: помощь по теоретической механике Следовательно, помощь по теоретической механике определяет это положение точки.

Найдем скорость и ускорение точки при

помощь по теоретической механике

Скорость

помощь по теоретической механике

Направлен вектор скорости в положительном направлении помощь по теоретической механике.

Касательное ускорение

помощь по теоретической механике

Вектор помощь по теоретической механике направлен в отрицательном направлении. Нормальное ускорение

помощь по теоретической механике

(радиус кривизны дуги окружности равен её радиусу, помощь по теоретической механике). Полное ускорение

помощь по теоретической механике

Так как вектор скорости помощь по теоретической механике и вектор касательного ускорения помощь по теоретической механике направлены в противоположные стороны, точка в этот момент движется замедленно.

Основные виды движения твёрдого тела

К оглавлению…

  1. Поступательное движение тела
  2. Вращение тела вокруг неподвижной оси
  3. Вращение тела вокруг неподвижной точки
  4. Плоскопараллельное движение твердого тела
  5. План скоростей
  6. Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

Пример оформления задачи №9.1.

Маятник помощь по теоретической механике качается в вертикальной плоскости так, что помощь по теоретической механике. Длина помощь по теоретической механике (рис. 9.4). Маятник вращается вокруг горизонтальной оси помощь по теоретической механике, перпендикулярной вертикальной плоскости.

Угловая скорость маятника помощь по теоретической механике угловое ускорение помощь по теоретической механике.

Например, при помощь по теоретической механике (вращение по часовой стрелке); помощь по теоретической механике (угловое ускорение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное.

помощь по теоретической механике

Скорость точки помощь по теоретической механике помощь по теоретической механике (определяется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости — в сторону вращения.

Нормальное ускорение помощь по теоретической механике, касательное ускорение помощь по теоретической механике. (Определён опять модуль вектора касательного ускорения. Направлен вектор помощь по теоретической механике вниз, как указывает угловое ускорение).

Величина полного ускорения точки

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №9.2.

Водило помощь по теоретической механике, вращаясь вокруг вертикальной оси помощь по теоретической механике с угловой скоростью помощь по теоретической механике, заставляет диск радиусом помощь по теоретической механике кататься по горизонтальной плоскости (рис. 9.9).

Если представить диск как основание конуса с вершиной в неподвижной точке помощь по теоретической механике, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки помощь по теоретической механике.

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения помощь по теоретической механике проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости помощь по теоретической механике будет направлен по этой оси.

Точка помощь по теоретической механике вместе с водилом помощь по теоретической механике вращается вокруг оси помощь по теоретической механике. Поэтому её скорость помощь по теоретической механике (см. рис. 9.9). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси помощь по теоретической механике и направление вектора помощь по теоретической механике. Величина угловой скорости помощь по теоретической механике (помощь по теоретической механике — расстояние от помощь по теоретической механике до оси помощь по теоретической механике). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси помощь по теоретической механике. Так, например, скорость точки помощь по теоретической механике. Так как

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №9.3.

Продолжим исследование движения диска (пример 9.2).

Модуль угловой скорости

помощь по теоретической механике

Значит вектор помощь по теоретической механике вместе с осью помощь по теоретической механике, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси помощь по теоретической механике и описывает конус (рис. 9.12).

Точка помощь по теоретической механике на конце вектора помощь по теоретической механике движется по окружности радиусом

помощь по теоретической механике

с угловой скоростью помощь по теоретической механике. Поэтому угловое ускорение диска по теореме Резаля

помощь по теоретической механике

Откладывается вектор помощь по теоретической механике из неподвижной точки помощь по теоретической механике. Направлен он как скорость помощь по теоретической механике параллельно оси помощь по теоретической механике.

помощь по теоретической механике

Найдем ускорение точки помощь по теоретической механике.

Ускорение

помощь по теоретической механике

Направлен вектор помощь по теоретической механике перпендикулярно помощь по теоретической механике и расположен в плоскости помощь по теоретической механике.

Ускорение

помощь по теоретической механике

Вектор помощь по теоретической механике направлен по помощь по теоретической механике перпендикулярно мгновенной оси помощь по теоретической механике. Модуль вектора помощь по теоретической механике (этот вектор на рисунке не показан) найдём с помощью проекций, проектируя равенство (9.4) на оси помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Значит, ускорение точки помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №9.4.

Тело, имеющее форму катушки (рис. 9.23), катится своим средним цилиндром по неподвижной плоскости так, что расстояние помощь по теоретической механике. Радиусы цилиндров известны: помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механикепомощь по теоретической механике. Определим скорости точек помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

Мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью. Скорость полюса помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Угловая скорость катушки

помощь по теоретической механике

Скорости точек помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величины скоростей как при вращении вокруг мгновенного центра скоростей помощь по теоретической механике будут равны

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №9.5.

Стержень помощь по теоретической механике (рис. 9.24) скользит концами в вертикальной плоскости по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле с горизонтальной плоскостью, равном помощь по теоретической механике, скорость нижнего конца помощь по теоретической механике. Длина стержня помощь по теоретической механике. Определим скорость верхнего конца помощь по теоретической механике и угловую скорость стержня.

Нетрудно определить направление вектора скорости точки помощь по теоретической механике, скользящей по вертикальной прямой. Тогда помощь по теоретической механике находится на пересечении перпендикуляров к помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (рис. 9.24).

помощь по теоретической механике

Угловая скорость

помощь по теоретической механике

Скорость точки помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

А скорость центра стержня помощь по теоретической механике, например, направлена перпендикулярно помощь по теоретической механике и равна

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

При решении задач бывает полезна теорема о проекции скоростей точек на ось. Докажем её (рис. 9.25). Зависимость между скоростями двух точек помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Спроектируем это равенство на ось, проведённую по помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Но проекция скорости помощь по теоретической механике на ось равна нулю. Поэтому

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Вывод. Проекции скоростей двух точек тела на ось, проведённую по этим точкам, равны.

Так, в примере 9.5 скорость точки помощь по теоретической механике можно найти проще, используя эту теорему. Проектируя векторы скоростей на ось, проведенную по стержню помощь по теоретической механике, получим:

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №9.6.

На рис. 9.27 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость помощь по теоретической механике звена помощь по теоретической механике. Построим план скоростей механизма.

помощь по теоретической механике

Чтобы построить план скоростей, должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой.

В нашем примере можно определить скорость точки помощь по теоретической механике: помощь по теоретической механике и направление её вектора помощь по теоретической механике.

Откладываем (рис. 9.27, 6) из точки помощь по теоретической механике в масштабе помощь по теоретической механике. Известно направление вектора скорости ползуна помощь по теоретической механике — горизонтальное (рис. 9.27, а). Проводим на плане скоростей из точки помощь по теоретической механике прямую помощь по теоретической механике по направлению скорости помощь по теоретической механике, на которой должна находиться точка помощь по теоретической механике, определяющая скорость этой точки помощь по теоретической механике. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно помощь по теоретической механике до пересечения с прямой помощь по теоретической механике. Точка пересечения определит точку помощь по теоретической механике, а значит, и скорость точки помощь по теоретической механике: помощь по теоретической механике. По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка помощь по теоретической механике делит помощь по теоретической механике пополам, значит, и точка с должна делить помощь по теоретической механике пополам. Точка помощь по теоретической механике определит на плане скоростей величину и направление скорости помощь по теоретической механике (если помощь по теоретической механике соединить с точкой помощь по теоретической механике).

Скорость точки помощь по теоретической механике равна нулю, поэтому точка помощь по теоретической механике на плане скоростей совпадает с точкой помощь по теоретической механике.

Далее. Должно быть помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Проводим эти прямые, находим их точку пересечения помощь по теоретической механике. Отрезок помощь по теоретической механике определит вектор скорости помощь по теоретической механике.

Пример оформления задачи №9.7.

Диск катится без скольжения по прямой. Центр его помощь по теоретической механике имеет скорость помощь по теоретической механике и ускорение помощь по теоретической механике (рис. 9.29). Найдем ускорение точки помощь по теоретической механике.

Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей

помощь по теоретической механике

Угловое ускорение при качении колеса по прямой можно найти как производную от угловой скорости. Имея в виду, что помощь по теоретической механике, а точка помощь по теоретической механике движется по прямой, получим:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Если помощь по теоретической механике — полюс, то

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике

Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Тогда

помощь по теоретической механике

Ускорение мгновенного центра скоростей помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике

И так как

помощь по теоретической механике

то ускорение

помощь по теоретической механике

Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю.

Пример оформления задачи №9.8.

Вернёмся к примеру 9.5 (рис. 9.30). Найдём ускорение точки помощь по теоретической механике, полагая

помощь по теоретической механике

то есть ускорение

помощь по теоретической механике

По (9.6) имеем

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике

но направление вектора помощь по теоретической механике неизвестно, не известно и угловое ускорение помощь по теоретической механике.

Предположим, что вектор помощь по теоретической механике направлен перпендикулярно помощь по теоретической механике влево. Ускорение помощь по теоретической механике, конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки помощь по теоретической механике, предположим, вниз.

Спроектируем векторное равенство (9.7) на оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике, получим два уравнения

помощь по теоретической механике

Из второго уравнения находим ускорение точки помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Положительное значение помощь по теоретической механике указывает на то, что направление вектора помощь по теоретической механике выбрано было правильно. Из первого уравнения теперь можно найти ускорение

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

и угловое ускорение

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Рассмотрим ещё раз плоскопараллельное движение тела (рис. 9.31). Пусть известны ускорение полюса помощь по теоретической механике, угловая скорость тела помощь по теоретической механике и его угловое ускорение помощь по теоретической механике. Проведём из полюса помощь по теоретической механике прямую под углом помощь по теоретической механике таким, что

помощь по теоретической механике

отложим этот угол от вектора помощь по теоретической механике по направлению углового ускорения помощь по теоретической механике.

И на этой прямой найдём точку помощь по теоретической механике на расстоянии от помощь по теоретической механике равном

помощь по теоретической механике

Докажем, что ускорение этой точки помощь по теоретической механике равно нулю.

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

Найдём угол помощь по теоретической механике между вектором помощь по теоретической механике и прямой помощь по теоретической механике.

Тангенс его

помощь по теоретической механике

Значит

помощь по теоретической механике

И сумма векторов помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике равна нулю, то есть ускорение точки помощь по теоретической механике равно нулю.

Следовательно, при плоскопараллельном движении у тела можно отыскать точку, ускорение которой в этот момент времени равно нулю. Такая точка помощь по теоретической механике называется мгновенным центром ускорений.

Если у тела удастся найти эту точку, то определение ускорений точек тела значительно упрощается. Действительно, назначив точку помощь по теоретической механике: полюсом, ускорение которого равно нулю, формула сложения ускорений получится проще:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

То есть ускорения точек тела определяются как при вращении вокруг оси, проходящей через мгновенный центр ускорений перпендикулярно плоскости движения. Например, в примере 9.8 мгновенный центр ускорений находится в точке помощь по теоретической механике и ускорение точки помощь по теоретической механике будет определяться как при вращении её вокруг оси, проходящей через точку помощь по теоретической механике.

Так как угол помощь по теоретической механике между вектором ускорения точки и прямой, соединяющей её с мгновенным центром ускорений определяется лишь угловым ускорением помощь по теоретической механике и угловой скоростью помощь по теоретической механике (9.8), одинаковыми для всех точек, то эти углы, определяющие направление ускорений, для всех точек будут равными.

Например, на рис.9.32 показано распределение ускорений точек стержня помощь по теоретической механике (при помощь по теоретической механике угол помощь по теоретической механике).

Следует заметить, что мгновенный центр ускорений помощь по теоретической механике и мгновенный центр скоростей помощь по теоретической механике тела — это, как правило, разные точки.

Сложное движение точки

К оглавлению…

  1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки
  2. Определение абсолютной скорости точки
  3. Определение абсолютного ускорения точки

Пример оформления задачи №10.1.

Колечко помощь по теоретической механике движется по вращающемуся стержню так, что помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (рад) (рис. 10.4).

Ранее было установлено, что траектория относительного движения -прямая линия, совпадающая со стержнем, и движение это определяется уравнением помощь по теоретической механике. Траектория точки помощь по теоретической механике при переносном движении в момент времени помощь по теоретической механике — окружность радиусом помощь по теоретической механике. Поэтому относительная скорость помощь по теоретической механике и направлена по касательной к траектории вдоль стержня (см. рис. 10.4). Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси,

помощь по теоретической механике

Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории точки при переносном движении перпендикулярно стержню. Абсолютная скорость колечка

помощь по теоретической механике

Модуль ее, так как

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №10.2.

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси помощь по теоретической механике. По поверхности его движется точка помощь по теоретической механике (рис. 10.6). Конечно, скорость этого движения точки — относительная скорость помощь по теоретической механике, а скорость вращения тела — угловая скорость переносного движения помощь по теоретической механике.

Ускорение Кориолиса помощь по теоретической механике направлено перпендикулярно этим двум векторам по правилу направления вектора векторного произведения так, как показано на рис. 10.6.

Нетрудно сформулировать более удобное правило определения направления вектора помощь по теоретической механике: нужно спроектировать вектор относительной скорости помощь по теоретической механике на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлению переносного вращения. Конечное положение проекции вектора помощь по теоретической механике укажет направление кориолисова ускорения. Это правило было предложено Н.Е. Жуковским.

Пример оформления задачи №10.3.

Вернемся к примеру 10.1. Найдем абсолютное ускорение колечка помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Значит помощь по теоретической механике (рис. 10.7). Относительное ускорение

помощь по теоретической механике

Ускорение Кориолиса

помощь по теоретической механике

Вектор помощь по теоретической механике направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского).

Величину абсолютного ускорения колечка помощь по теоретической механике найдем с помощью проекций на подвижные оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Проектируя равенство (10.13) на оси, получим:

помощь по теоретической механике

Тогда

помощь по теоретической механике

Сложное движение твердого тела

К оглавлению…

Так же как при сложном движении точки, нередко и движение тела можно рассматривать как сумму нескольких движений. Например, как состоящее из двух поступательных движений или как поступательного движения и вращения вокруг оси. Часто встречаются движения, состоящие из двух вращений вокруг осей или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование движения точек, принадлежащих телу, совершающему сложное движение, можно проводить методами, изложенными в разд.Х, никаких трудностей это не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает некоторые особенности, которые следует рассмотреть специально.

  1. Сложение вращений тела вокруг двух осей
  2. Аксиомы динамики в теоретической механике
  3. Динамика материальной точки
  4. Определение движении точки естественным способом
  5. Относительное движение материальной точки

Пример оформления задачи №11.1.

Диск радиусом помощь по теоретической механике вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью помощь по теоретической механике, а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью помощь по теоретической механике (рис.11.4).

Горизонтальная ось — это ось относительного вращения диска помощь по теоретической механике; вертикальная ось — ось его переносного вращения помощь по теоретической механике. Соответственно угловые скорости

помощь по теоретической механике

векторы их направлены по осям помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Абсолютная угловая скорость диска

помощь по теоретической механике

а модуль ее, так как

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Скорость точки помощь по теоретической механике, например, можно найти как сумму переносной и относительной скоростей:

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси помощь по теоретической механике,

помощь по теоретической механике

Вектор скорости помощь по теоретической механике будет расположен в плоскости, перпендикулярной вектору помощь по теоретической механике и оси помощь по теоретической механике.

Пример оформления задачи №11.2.

Водило помощь по теоретической механике с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси помощь по теоретической механике с угловой скоростью помощь по теоретической механике. Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость помощь по теоретической механике этого колеса. Радиусы — помощь по теоретической механике (рис.11.5).

помощь по теоретической механике

Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращается вместе с водилом вокруг неподвижной оси помощь по теоретической механике и относительно своей оси помощь по теоретической механике.

Ось помощь по теоретической механике будет осью переносного вращения, ось помощь по теоретической механике — относительного.

Переносная угловая скорость колеса 3 — это угловая скорость водила помощь по теоретической механике, направленная по часовой стрелке, как помощь по теоретической механике.

Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью помощь по теоретической механике (рис. 11.6), а колесо 3 — вращающимся с относительной угловой скоростью помощь по теоретической механике против часовой стрелки. Так как

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому скорость

помощь по теоретической механике

и направлена так же, как помощь по теоретической механике против часовой стрелки. В частности, если

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

колесо 3 будет двигаться поступательно.

Исследование движения других подобных конструкций (планетарных и дифференциальных редукторов, передач) ведется аналогичным способом.

Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо колеса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо заставить вращаться с угловой скоростью водила, но в противоположную сторону.

Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную помощь по теоретической механике, где помощь по теоретической механике. Покажем (рис.11.7) единичные векторы помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (орты осей помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике), а векторы угловых скоростей запишем так:

помощь по теоретической механике

Тогда

помощь по теоретической механике

и угловое ускорение при

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Здесь

помощь по теоретической механике

и по формуле (10.10)

помощь по теоретической механике

Поэтому

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

где помощь по теоретической механике — угловое ускорение переносного вращения; помощь по теоретической механике — угловое ускорение относительного вращения; помощь по теоретической механике,- добавочное угловое ускорение, которое определяет изменение относительной угловой скорости помощь по теоретической механике, при переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осям помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике, как скорость конца вектора помощь по теоретической механике. Модуль добавочного углового ускорения помощь по теоретической механике, где помощь по теоретической механике -угол между осями.

Конечно, если оси вращения параллельны, это угловое ускорение помощь по теоретической механике будет равно нулю, так как помощь по теоретической механике.

помощь по теоретической механике

Общий случай движения тела

Произвольное движение тела — это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранным полюсом помощь по теоретической механике и вращения вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки помощь по теоретической механике,

помощь по теоретической механике

А второе движение — уравнениями вращения вокруг точки помощь по теоретической механике с помощью углов Эйлера

помощь по теоретической механике

Скорости и ускорения точек тела в общем случае при произвольном движении определяются такими же методами, как при сложном движении точки.

Пример оформления задачи №13.3.

Лыжник спускается по цилиндрической поверхности радиусом помощь по теоретической механике. Определим его движение, пренебрегая сопротивлениями движению (рис. 13.5).

Схема решения задачи та же, что и при координатном способе (пример 13.2). Отличие лишь в выборе осей. Здесь оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике движутся вместе с лыжником. Так как траектория — плоская линия, то ось помощь по теоретической механике, направленную по бинормали, показывать не нужно (проекции на ось помощь по теоретической механике действующих на лыжника сил будут равны нулю).

Дифференциальные уравнения по формуле (13.2) получим такие

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Первое уравнение получилось нелинейным:

помощь по теоретической механике

Так как

помощь по теоретической механике

то его можно переписать так:

помощь по теоретической механике

Такое уравнение можно один раз проинтегрировать. Запишем

помощь по теоретической механике

Тогда в дифференциальном уравнении переменные разделятся

помощь по теоретической механике

Интегрирование дает решение

помощь по теоретической механике

Так как при

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

а

помощь по теоретической механике

К сожалению, в элементарных функциях второй интеграл найти невозможно. Но и полученное решение позволяет сделать некоторые выводы. Можно найти скорость лыжника в любом положении как функцию угла помощь по теоретической механике. Так, в нижнем положении при

помощь по теоретической механике

А из второго уравнения (13.3) при

помощь по теоретической механике

можно определить давление

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

То есть давление на лыжника в нижнем положении равно его трехкратному весу.

Пример оформления задачи №13.4.

Вагон движется с постоянным ускорением помощь по теоретической механике. Определим траекторию движения предмета, упавшего с полки высотой помощь по теоретической механике, которую увидит наблюдатель, пассажир, сидящий в вагоне (рис. 13.7).

помощь по теоретической механике

Порядок решения задачи тот же, что и при определении абсолютного движения. Только оси надо провести по вагону и учесть кроме веса предмета помощь по теоретической механике переносную силу инерции

помощь по теоретической механике

(кориолисова сила инерции помощь по теоретической механике, переносное движение поступательное).

Дифференциальные уравнения относительного движения получаются такими:

помощь по теоретической механике

Решение этих уравнений:

помощь по теоретической механике

Используя начальные условия (при помощь по теоретической механике, так как помощь по теоретической механике), найдем постоянные интегрирования: помощь по теоретической механике помощь по теоретической механике. Поэтому уравнения движения

помощь по теоретической механике

Траекторию движения получим, исключив параметр помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Это уравнение прямой (см. рис. 13.7). Предмет упадет на пол вагона на расстоянии

помощь по теоретической механике

от края полки (при помощь по теоретической механике координата помощь по теоретической механике).

Если вагон будет двигаться равномерно помощь по теоретической механике, то помощь по теоретической механике. Наблюдатель увидит траекторию — вертикальную прямую, такую же, как и при неподвижном вагоне.

Пример оформления задачи №13.5.

Внутри трубки, вращающейся с постоянной угловой скоростью помощь по теоретической механике вокруг вертикальной оси, находится шарик помощь по теоретической механике, привязанный нитью длиной помощь по теоретической механике к оси вращения (рис. 13.8). Определим движение шарика в трубке после того, как нить оборвется. Сопротивление движению учитывать не будем.

Траектория движения шарика в трубке — прямая. Поэтому для определения этого движения достаточно одной координаты помощь по теоретической механике. Начало координат, точка помощь по теоретической механике, — на оси вращения. В промежуточном положении на шарик действуют силы: вес помощь по теоретической механике, две составляющие реакции трубки помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Добавляем переносную силу инерции

помощь по теоретической механике

кориолисову силу инерции

помощь по теоретической механике

и составляем дифференциальное уравнение движения

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Или после подстановки значения переносной силы инерции и преобразований

помощь по теоретической механике

Решение такого дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:

помощь по теоретической механике

Так как при

помощь по теоретической механике

и

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике

Значит

помощь по теоретической механике

и уравнение движения станет таким:

помощь по теоретической механике

Относительная скорость шарика

помощь по теоретической механике

А так как

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике

Можно теперь определить относительную скорость шарика в любом положении. Так, шарик вылетит из трубки длиной помощь по теоретической механике со скоростью

помощь по теоретической механике

Материальная система

К оглавлению…

  1. Основные определения и характеристики материальной системы
  2. Моменты инерции тел в теоретической механике

Пример оформления задачи №13.6

Определим момент инерции диска относительно оси помощь по теоретической механике, расположенной под углом помощь по теоретической механике к оси симметрии диска помощь по теоретической механике, в плоскости yCz (рис. 14.5).

помощь по теоретической механике

Оси помощь по теоретической механике — главные центральные оси инерции, так как они являются осями симметрии.

Тогда

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

где помощь по теоретической механике — угол между осями помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике; угол помощь по теоретической механике — угол между осями помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике; равный помощь по теоретической механике; угол помощь по теоретической механике — угол между осями помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике, равный 90°. Поэтому

помощь по теоретической механике

Энергия материальной системы

К оглавлению…

  1. Работа силы в материальной системы
  2. Потенциальная энергия
  3. Кинетическая энергия
  4. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы
  5. Закон сохранения энергии
  6. Принцип Даламбера
  7. Силы инерции твердого тела в теоретической механике

Пример оформления задачи №15.1.

Работа веса тела (силы тяжести) Пусть тело перемещается вблизи поверхности Земли из одного положения в другое так, что центр тяжести его движется по кривой линии (рис. 15.3). Элементарная работа силы помощь по теоретической механике, постоянной и направленной вертикально вниз, по выражению (15.4), помощь по теоретической механике Поэтому

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Следовательно, работа веса тела (постоянной силы тяжести) не зависит от траектории движения центра тяжести. Определяется лишь высотой, на которую опустится или поднимется центр тяжести.

Пример оформления задачи №5.12.

Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

помощь по теоретической механике

В этом случае (рис. 15.4) точка приложения силы помощь по теоретической механике движется по дуге окружности радиусом помощь по теоретической механике. Элементарная работа вычисляется по формуле (15.2) помощь по теоретической механике, где помощь по теоретической механике. Поэтому помощь по теоретической механике.

Но помощь по теоретической механике. Это нетрудно установить, разложив силу на три составляющие (см. рис. 15.4). (Моменты сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике относительно оси помощь по теоретической механике равны нулю). Значит,

помощь по теоретической механике

В частности, если момент силы относительно оси помощь по теоретической механике, работа силы при повороте тела на угол помощь по теоретической механике равна

помощь по теоретической механике

Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная.

Из формулы (15.7) следует и правило определения работы пары сил. Если пара с моментом помощь по теоретической механике расположена в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела, то ее работа при повороте тела на угол помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Если же пара сил действует в плоскости, не перпендикулярной оси вращения, то ее надо заменить двумя парами. Первую расположить в плоскости, перпендикулярной оси, другую — в плоскости параллельной оси. Моменты их определяются разложением вектора момента помощь по теоретической механике по соответствующим направлениям помощь по теоретической механике. Конечно, работу будет совершать только первая пара с моментом помощь по теоретической механике, где помощь по теоретической механике — угол между вектором помощь по теоретической механике и осью вращения помощь по теоретической механике,

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №15.3.

Работа силы упругости.

Такая сила (рис. 15.5) возникает при деформации упругого тела. Если сила подчиняется закону Гука, то ее величина будет пропорциональна деформации. Так, при удлинении, например, пружины на величину помощь по теоретической механике сила равна

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

(Постоянная, коэффициент помощь по теоретической механике — называется жесткостью пружины). Сила эта переменная. Поэтому по (15.4)

помощь по теоретической механике

И, если начало координат помощь по теоретической механике находится на конце недеформированной пружины, то полная работа при перемещении конца пружины от положения помощь по теоретической механике до помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Конечно, при увеличении деформации (сжатия или растяжения) работа силы — отрицательная; при уменьшении — положительная.

Этот результат верен для любого упругого тела. И деформацией может быть не только линейное перемещение, но и угол поворота, и объем тела и др. Соответственно изменится и размерность коэффициента жесткости.

Пример оформления задачи №15.4.

Какую скорость надо сообщить точке помощь по теоретической механике стержня, прикрепленного верхним концом с помощью шарнира помощь по теоретической механике к неподвижной поверхности (рис. 15.13), чтобы стержень совершил четверть оборота?

В первом вертикальном положении кинетическая энергия стержня, начавшего вращаться вокруг оси помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Во втором положении, где стержень достигнет горизонтального положения и остановится на мгновение,

помощь по теоретической механике

Работу совершит только вес стержня помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

По теореме получим уравнение

помощь по теоретической механике

из которого следует

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №16.1.

Шар весом помощь по теоретической механике скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Определим реакции плоскости и ускорение центра масс помощь по теоретической механике.

Показываем внешние силы, действующие на шар: вес помощь по теоретической механике, реакции помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (трение качения учитывать не будем). Добавляем силы инерции: главный вектор помощь по теоретической механике, приложенный к центру масс, и главный момент сил инерции относительно центральной оси (рис. 16.4). Величина их

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Составляем уравнения равновесия:

помощь по теоретической механике

Из первого уравнения находим ускорения центра масс. Так как

помощь по теоретической механике

то

помощь по теоретической механике

Из второго уравнения — силу трения

помощь по теоретической механике

из третьего — нормальную реакцию

помощь по теоретической механике

Так как при движении без скольжения сила трения помощь по теоретической механике то шар будет скатываться без скольжения, если выполняется условие

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №16.2.

Однородный стержень весом помощь по теоретической механике и длиной помощь по теоретической механике качается как маятник в вертикальной плоскости, вращаясь вокруг оси помощь по теоретической механике (рис. 16.5). Определим движение стержня и реакции оси.

На стержень действуют сила помощь по теоретической механике и реакции оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Добавляем силы инерции. Приводим их к точке помощь по теоретической механике на оси вращения. Главный вектор сил инерции, состоит из двух векторов, равным по величине:

помощь по теоретической механике

Главный момент сил инерции относительно оси вращения помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Направляем его в сторону, противоположную предполагаемому положительному направлению углового ускорения помощь по теоретической механике.

Составляем уравнение равновесия, уравнение моментов сил относительно оси помощь по теоретической механике,

помощь по теоретической механике

Подставив значение помощь по теоретической механике, получим дифференциальное уравнение вращения

помощь по теоретической механике

Это нелинейное дифференциальное уравнение. Решение его в элементарных функциях не существует. Но первый интеграл можно найти.

Так как

помощь по теоретической механике

то в уравнении (16.2) переменные разделяются:

помощь по теоретической механике

Проинтегрировав, получим

помощь по теоретической механике

Если движение началось из горизонтального положения (при помощь по теоретической механикепомощь по теоретической механике), то постоянная помощь по теоретической механике. И тогда

помощь по теоретической механике

Составив уравнения проекций сил на оси помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике,

помощь по теоретической механике

найдем реакцию:

помощь по теоретической механике

Так, например, в начале движения при

помощь по теоретической механике

А в нижнем положении при

помощь по теоретической механике

Заметим, что при решении этой задачи вместо главного вектора и главного момента сил инерции можно было показать только равнодействующую сил инерции, равную, конечно, главному вектору и приложенную к точке помощь по теоретической механике на расстоянии

помощь по теоретической механике

Принцип возможных перемещений

К оглавлению…

  1. Возможные перемещения. Классификация связей
  2. Принцип возможных перемещений при равновесии материальной системы
  3. Принцип возможных перемещений при движении материальной системы

Пример оформления задачи №17.1.

Какую силу помощь по теоретической механике надо приложить к желобу с грузом весом помощь по теоретической механике, чтобы удержать его в равновесии (рис. 17.3)?

Эту задачу можно решить известными методами статики, составляя уравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия в стержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу помощь по теоретической механике проще с помощью общего уравнения статики.

помощь по теоретической механике

Показываем активные силы помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Даем системе возможное перемещение, повернув стержень помощь по теоретической механике на угол помощь по теоретической механике (см. рис. 17.3). Так как желоб совершит поступательное движение, то значит перемещения всех его точек будут одинаковы

помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике

Составляем уравнения работа:

помощь по теоретической механике

Угол

помощь по теоретической механике

Поэтому получим

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Отсюда

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №17.2.

На рис. 17.4 изображена конструкция, состоящая из четырех одинаковых помощь по теоретической механике-образных рам, соединенных шарнирами помощь по теоретической механике.

помощь по теоретической механике

Опоры помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике — шарнирно-неподвижные, помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике — шарнирно-подвижные.

Определим горизонтальную составляющую помощь по теоретической механике реакции опоры помощь по теоретической механике, вызванную силой помощь по теоретической механике приложенной к левой раме.

Методы статики дадут довольно сложное и длинное решение, так как придется рассматривать равновесие четырех рам и решать систему из 12 уравнений с 12 неизвестными.

Принцип возможных перемещений дает более простое и короткое решение. Надо изменить конструкцию опоры помощь по теоретической механике. Сделаем ее подвижной, а чтобы система осталась в равновесии, приложим к опоре силу помощь по теоретической механике, ту силу, которую нужно определить (рис. 17.4, а).

Даем затем системе возможное перемещение, повернув левую раму вокруг опоры помощь по теоретической механике на угол помощь по теоретической механике. С помощью мгновенных центров скоростей помощь по теоретической механике, помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике каждой рамы обнаруживаем, что

помощь по теоретической механике

а

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Составляем уравнение работ, общее уравнение статистики

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Отсюда

помощь по теоретической механике

Чтобы определить вертикальную составляющую помощь по теоретической механике реакции опоры помощь по теоретической механике, ее надо вновь переделать (рис. 17.4, б), дать системе соответствующее возможное перемещение и составить уравнение работ.

Пример оформления задачи №7.3.

Определим ускорение груза помощь по теоретической механике (рис. 17.5). Вес цилиндра — помощь по теоретической механике, радиус — помощь по теоретической механике. Цилиндр катится по плоскости без скольжения. Показываем задаваемые силы — помощь по теоретической механике. Добавляем силы инерции. Сила инерции груза, движущегося поступательно:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Главный вектор сил инерции точек его

помощь по теоретической механике

Главный момент сил инерции относительно центральной оси помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

так как

помощь по теоретической механике

Даем системе возможное перемещение, сдвинув груз вниз на малую величину помощь по теоретической механике. Центр цилиндра сместится вправо на величину помощь по теоретической механике, а весь цилиндр повернется вокруг мгновенного центра скоростей помощь по теоретической механике на угол

помощь по теоретической механике

Вычисляем работу сил на этих перемещениях и составляем уравнение работ, общее уравнение динамики

помощь по теоретической механике

Так как

помощь по теоретической механике

то, подставив значения сил инерции, получим уравнение:

помощь по теоретической механике

из которого находим

помощь по теоретической механике

Уравнения Лагранжа

К оглавлению…

  1. Обобщенные координаты в теоретической механике
  2. Обобщенные силы
  3. Уравнения равновесия Лагранжа
  4. Обобщенные силы инерции в теоретической механике

Пример оформления задачи №18.1.

По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко помощь по теоретической механике весом помощь по теоретической механике (рис. 18.4). Стержень считаем невесомым.

Определим обобщенные силы.

Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Найдем обобщенную силу, соответствующую координате помощь по теоретической механике. Даем приращение помощь по теоретической механике этой координате и, оставив вторую координату помощь по теоретической механике неизменной, вычисляя работу единственной активной силы помощь по теоретической механике, получим обобщенную силу

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Затем даем приращение помощь по теоретической механике координате помощь по теоретической механике, полагая помощь по теоретической механике. При повороте стержня на угол помощь по теоретической механике точка приложения силы помощь по теоретической механике, колечко помощь по теоретической механике, переместится на помощь по теоретической механике. Обобщенная сила получится такой:

помощь по теоретической механике

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии

помощь по теоретической механике

Получим

помощь по теоретической механике

Получается гораздо проще.

Пример оформления задачи №18.2.

Стержень помощь по теоретической механике весом помощь по теоретической механике может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси помощь по теоретической механике (рис. 18.6). Найдем положения равновесия и исследуем их устойчивость.

Стержень имеет только одну степень свободы. Обобщенная координата — угол помощь по теоретической механике. Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия помощь по теоретической механике или

помощь по теоретической механике

В положении равновесия должно быть

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Отсюда имеем два положения, соответствующие углам помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (положения помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике).

Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную

помощь по теоретической механике

Конечно, при

помощь по теоретической механике

Положение равновесия устойчиво. А при

помощь по теоретической механике

Значит, второе положение равновесие — неустойчиво. Результаты очевидно.

Пример оформления задачи №18.3.

Продолжим исследование движения колечка помощь по теоретической механике на качающемся стержне (см. пример 18.1).

Обобщенные координаты назначены — помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике (рис. 18.7). Обобщенные силы определены: помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

Кинетическая энергия колечка

помощь по теоретической механике

Где

помощь по теоретической механике

а

помощь по теоретической механике

Поэтому

помощь по теоретической механике

Составляем два уравнения Лагранжа

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Так как

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

то уравнения получается такими:

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример оформления задачи №18.4.

Составим дифференциальное уравнение движения балочки помощь по теоретической механике, которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис. 18.8). Длина балочки помощь по теоретической механике, вес —помощь по теоретической механике.

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести помощь по теоретической механике ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение этой балочки определяется обобщенной координатой — углом помощь по теоретической механике.

помощь по теоретической механике

Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии помощь по теоретической механике, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и помощь по теоретической механике (помощь по теоретической механике равно длине дуги окружности с углом ф). Поэтому

помощь по теоретической механике

(см. рис. 18.8) и

помощь по теоретической механике

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

помощь по теоретической механике

Находим необходимые производные для уравнения

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Составляем уравнение

помощь по теоретической механике

Окончательно получаем

помощь по теоретической механике

Динамика

Общие теоремы динамики

К оглавлению…

В предыдущих разделах излагались методы определения движения материальной системы, которые сводились к составлению дифференциальных уравнений, как правило, второго порядка. И решение их оказывалось не всегда простым.

Если ввести новые обобщенные понятия, характеризующие свойства и движение системы в целом, то эти трудности нередко можно обойти. К ним относятся понятия о центре масс и кинетической энергии, которые уже нам знакомы, понятия о количестве движения материальной системы и моменте количества движения.

Теоремы, определяющие изменение этих характеристик, позволяют получить более полное представление о движении материальной системы.

  1. Теорема о движении центра масс
  2. Теорема об изменении количества движения
  3. Теорема об изменении момента количества движения
  4. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела
  5. Дифференциальное уравнение вращения тела при плоскопараллельном движении
  6. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения тела

Пример оформления задачи №19.1.

Человек перешел с кормы лодки на нос. Определим перемещение лодки помощь по теоретической механике (рис. 19.2). Вес лодки — помощь по теоретической механике человека — помощь по теоретической механике длина лодки — помощь по теоретической механике. Сопротивление движению не учитываем. Определим движение центра масс помощь по теоретической механике системы, состоящей из человека и лодки.

Составляем дифференциальное уравнение движения центра масс по оси помощь по теоретической механике (19.2):

помощь по теоретической механике

Но так как проекции внешних сил помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике на ось помощь по теоретической механике равны нулю, то помощь по теоретической механике. Проинтегрировав дважды это уравнение, получим помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике. Но в начале движения система была неподвижна : помощь по теоретической механике. Значит, помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

помощь по теоретической механике

Найдем координату помощь по теоретической механике в первом положении системы, когда человек находился на корме, как координату центра тяжести по формулам (14.2)

помощь по теоретической механике

И во втором положении, когда человек перейдет на нос лодки:

помощь по теоретической механике

Приравниваем координаты, так как помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Из этого равенства находим перемещение лодки

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №19.2.

Груз весом помощь по теоретической механике спускается по кузову автомобиля со скоростью помощь по теоретической механике (рис. 19.4). При этом сам автомобиль начнет движение. Определим его скорость помощь по теоретической механике. Вес автомобиля — помощь по теоретической механике. Сопротивления движению не учитываем.

Составим уравнение (19.10) для оси помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

В начале движения количество движения всей системы равно нулю помощь по теоретической механике, система была неподвижна. Во втором положении количество движения системы складывается из количества движения автомобиля помощь по теоретической механике (предполагается, что он движется вправо) и количества движения груза.

Абсолютная скорость груза помощь по теоретической механике. Относительная скорость помощь по теоретической механике, переносная помощь по теоретической механике. Соответственно этим скоростям показываем две составляющие вектора количества движения груза: помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике.

Все внешние силы (вес помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике, реакции плоскости помощь по теоретической механике) направлены вертикально, и импульсы их будут вертикальными. Составляем уравнение, проектируя все векторы на ось помощь по теоретической механике:

помощь по теоретической механике

Подставляем их значения:

помощь по теоретической механике

Отсюда

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №19.3.

Определим горизонтальное давление трубы на опору помощь по теоретической механике (рис. 19.5). В трубе движется жидкость со скоростью помощь по теоретической механике. Диаметр трубы — помощь по теоретической механике.

По теореме (19.9)

помощь по теоретической механике

Рассмотрим движение жидкости, заключенной между сечениями 1 и помощь по теоретической механике. Через время помощь по теоретической механике сечения окажутся в положениях 2 и помощь по теоретической механике соответственно (см. рис. 19.5).

В первом положении количество движения помощь по теоретической механике складывалось из количеств движения объемов I и II:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Во втором положении

помощь по теоретической механике

Тогда изменение количества движения

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

И уравнение (19.9) запишется так:

помощь по теоретической механике

Единственными внешними силами будут вес жидкости, вес трубы и реакция опоры помощь по теоретической механике. Проектируются на ось помощь по теоретической механике только вектор импульса реакции помощь по теоретической механике и вектор помощь по теоретической механике.

Проектируя равенство (*) на ось помощь по теоретической механике, получим помощь по теоретической механике. Так как объем жидкости помощь по теоретической механике и плотность ее помощь по теоретической механике, то помощь по теоретической механикепомощь по теоретической механике. Тогда по (**) получим уравнение

помощь по теоретической механике

из которого

помощь по теоретической механике

Давление на опору равно помощь по теоретической механике, но будет направлено, конечно, в противоположную сторону.

Пример оформления задачи №19.4.

Однородный сплошной цилиндр вращается вокруг горизонтальной оси помощь по теоретической механике под действием намотанной на него нити с грузом на конце (рис. 19.13). Вес цилиндра — помощь по теоретической механике груза — помощь по теоретической механике. Радиус цилиндра — помощь по теоретической механике.

помощь по теоретической механике

По теореме (19.19)

помощь по теоретической механике

так как

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

где

помощь по теоретической механике

то, взяв производную по времени и приняв ее к

помощь по теоретической механике

получим

помощь по теоретической механике

Отсюда угловое ускорение

помощь по теоретической механике

а ускорение груза

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №19.5.

Внутри трубки, вращающейся вокруг вертикальной оси (рис. 19.14), движется шарик помощь по теоретической механике. Вначале, когда шарик находился на расстоянии помощь по теоретической механике от оси, угловая скорость трубки была помощь по теоретической механике. Определим угловую скорость в зависимости от положения шарика, от расстояния помощь по теоретической механике. Вес шарика — помощь по теоретической механике трубки — помощь по теоретической механике, длина ее — помощь по теоретической механике.

Главный момент внешних сил (веса, реакций подшипников) относительно оси вращения равен нулю. Значит, помощь по теоретической механике или помощь по теоретической механике.

В первом положении, в начальном

помощь по теоретической механике

где момент инерции трубки относительно оси вращения как стержня

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Количество движения шарика в переносном движении

помощь по теоретической механике

Поэтому в первом положении

помощь по теоретической механике

Во втором положении, на расстоянии помощь по теоретической механике,

помощь по теоретической механике

(Момент вектора количества движения шарика в относительном движении помощь по теоретической механике относительно оси вращения равен нулю).

Приравнивая помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике получим уравнение

помощь по теоретической механике

из которого находим

помощь по теоретической механике

Скорость вращения трубки будет уменьшаться с увеличением расстояния помощь по теоретической механике.

Пример оформления задачи №19.6.

Стержень весом помощь по теоретической механике и длиной помощь по теоретической механике качается как маятник в вертикальной плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси помощь по теоретической механике (рис. 19.16). Составим уравнение качаний стержня.

помощь по теоретической механике

Так как помощь по теоретической механике, а реакция оси не учитываются, то по (19.21) получим

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №19.7.

Однородный круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости (рис. 19.18). Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Так как помощь по теоретической механике и, значит, помощь по теоретической механике, составим дифференциальное уравнение вращения относительно оси помощь по теоретической механике, проходящей через мгновенный центр скоростей.

Момент инерции цилиндра относительно оси помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Уравнение получится таким:

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Знак (-) указывает на направление углового ускорения — по часовой стрелке. Обратим внимание на то, что реакции не вошли в уравнение.

Чтобы определить реакцию помощь по теоретической механике, можно составить еще одно дифференциальное уравнение вращения относительно центральной оси помощь по теоретической механике (19.22):

помощь по теоретической механике

Отсюда

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Конечно,

помощь по теоретической механике

Чтобы тело катилось без скольжения, должно выполняться условие помощь по теоретической механике или помощь по теоретической механике. Поэтому коэффициент трения скольжения должен удовлетворять условию помощь по теоретической механике.

Пример оформления задачи №19.8.

Балочка помощь по теоретической механике длиной помощь по теоретической механике и весом помощь по теоретической механике падает, скользя концами по гладким поверхностям стены и пола (рис. 19.19). Составим дифференциальное уравнение вращения.

Здесь

помощь по теоретической механике

Поэтому опять выгоднее составить дифференциальное уравнение вращения относительно оси помощь по теоретической механике. Тем более, что неизвестные реакции помощь по теоретической механике и помощь по теоретической механике не войдут в это уравнение.

помощь по теоретической механике

Так как

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

то уравнение получится таким:

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике

Пример оформления задачи №19.9.

Тело, имеющее форму половины кругового цилиндра, катается по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 19.20). Вес его помощь по теоретической механике. Положение центра тяжести определяется расстоянием помощь по теоретической механике момент инерции относительно оси помощь по теоретической механике равен помощь по теоретической механике

помощь по теоретической механике

Поскольку неизвестны ни сила трения помощь по теоретической механике, ни нормальная реакция помощь по теоретической механике, выгоднее составить дифференциальное уравнение вращения относительно оси помощь по теоретической механике по формуле (19.23). Момент инерции тела относительно оси помощь по теоретической механике по теореме Гюйгенса-Штейнера

помощь по теоретической механике

а

помощь по теоретической механике

поэтому

помощь по теоретической механике

Расстояние

помощь по теоретической механике

производная

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Количество движения

помощь по теоретической механике

Составляем дифференциальное уравнение (19.23)

помощь по теоретической механике

После подстановки значения помощь по теоретической механике получим

помощь по теоретической механике

или окончательно, подставив значение

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Чтобы убедиться, что использованное здесь решение удобнее, стоит сравнить его с решением другим методом , которое заняло почти 1,5 страницы и где рассмотрен лишь только частный случай — малые колебания.

Пример оформления задачи №19.10.

Стержень качался как маятник, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг шарнира помощь по теоретической механике. В момент, когда стержень был в вертикальном положении и угловая скорость его была помощь по теоретической механике, шарнир разрушился.

Определим дальнейшее движение стержня.

Стержень начнет совершать плоскопараллельное движение. На рис. 19.21 показано его промежуточное положение.

Составим дифференциальные уравнения движения (19.24) и (19.25).

помощь по теоретической механике

или

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Начальные условия: при

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Подставив их в последние шесть уравнений, найдем значения постоянных:

помощь по теоретической механике
помощь по теоретической механике

Тогда уравнения плоскопараллельного движения стержня будут

помощь по теоретической механике

Например, стержень займет горизонтальное положение

помощь по теоретической механике

в момент

помощь по теоретической механике

когда центр масс его будет в точке с координатами

помощь по теоретической механике

Дополнительные лекции

Основы теории колебаний

К оглавлению…

  1. Основные определения колебательного движения
  2. Малые свободные колебания системы
  3. Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению
  4. Вынужденные колебания системы

Удар в механике

К оглавлению…

  1. Удар в теоретической механике
  2. Прямой центральный удар двух тел
  3. Удар по вращающемуся телу
  4. Ответы на вопросы по теоретической механике

Возможно эти страницы вам будут полезны: