Помощь по технической механике — решение заданий и задач онлайн

Оглавление:

Помощь по технической механике
Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Как получить помощь в выполнении заданий по технической механике

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько стоит помощь

Стоимость помощи зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения

Минимальный срок выполнения составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки.

Чуть ниже я предоставила лекции по всем темам предмета техническая механика, чтобы вы смогли подготовиться к сдаче заказанной у меня работы, так как иногда преподаватели спрашивают теорию.

Основные понятия и аксиомы статики

Техническая механика — комплексная дисциплина. Она включает три раздела: «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Детали машин». «Теоретическая механика» — раздел, в котором излагаются основные законы движения твердых тел и их взаимодействия. В разделе «Сопротивление материалов» изучаются основы прочности материалов и методы расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость под действием внешних сил. В заключительном разделе «Технической механики» «Детали машин» рассматриваются основы конструирования и расчета деталей и сборочных единиц общего назначения.

Дисциплина «Техническая механика» является общепрофсссиональной, обеспечивающей базовые знания при усвоении специальных дисциплин, изучаемых в дальнейшем. Задачи теоретической механики

Техническая механика — наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тела в пространстве и во времени по отношению к другим телам, в частности к Земле.

Для удобства изучения теоретическую механику подразделяют на статику, кинематику и динамику.

Статика изучает условия равновесия тел под действием сил.

Кинематика рассматривает движение тел как перемещение в пространстве; характеристики тел и причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Динамика изучает движение тел под действием сил.

В отличие от физики теоретическая механика изучает законы движения некоторых абстрактных абсолютно твердых тел: здесь материалы, форма тел существенного значения не имеют. При движении абсолютно твердое тело не деформируется и не разрушается. В случае, когда размерами тела можно пренебречь, тело заменяют материальной точкой. Это упрощение, принятое в теоретической механике, значительно облегчает решение задач о движении. Понятие о силе и системе сил

Сила — это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Взаимодействие характеризуется величиной и направлением, т.е. сила есть величина векторная характеризующаяся точкой приложения (Помощь по технической механике онлайн), направлением (линией действия), величиной (модулем) (рис. 1.1).

Помощь по технической механике онлайн

Силу измеряют в ньютонах,

Помощь по технической механике онлайн

Силы, действующие на тело (или систему тел), делятся на внешние и внутренние. Внешние силы бывают активные и реактивные. Активные силы вызывают перемещение тела, реактивные стремятся противодействовать перемещению тела под действием внешних сил.

Внутренние силы возникают в теле под действием внешних сил. Совокупность сил, действующих на какое-либо тело, называют системой сил. Эквивалентная система сил — система сил, действующая так же, как заданная. Уравновешенной (эквивалентной нулю) системой сил называется такая система, которая, будучи приложенной к телу, не изменяет его состояния.

Систему сил, действующих на тело, можно заменить одной равнодействующей, действующей так, как система сил.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет техническая механика

Аксиомы статики

В результате обобщения человеческого опыта были установлены общие закономерности механического движения, выраженные в виде законов и теорем. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений. Эти положения называют аксиомами статики.

Первая аксиома

Под действием уравновешенной системы сил абсолютно твердое тело или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно (закон инерции).

Вторая аксиома

Две силы, равные по модулю и направленные по одной прямой в разные стороны, уравновешиваются (рис. 1.2).

Помощь по технической механике онлайн

Третья аксиома

Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3).

Помощь по технической механике онлайн

Четвертая аксиома (правило параллелограмма сил)

Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке и является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис. 1.4).

Помощь по технической механике онлайн

Вместо параллелограмма можно построить треугольник сил: силы вычерчивают одну за другой в любом порядке; равнодействующая двух сил соединяет начало первой силы с концом второй.

Пятая аксиома

При взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие (рис. 1.5). Силы действующие и противодействующие всегда приложены к разным телам, поэтому они не уравновешиваются .

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в разные стороны.

Помощь по технической механике онлайн

Следствие из второй и третьей аксиом

Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).

Помощь по технической механике онлайн

Сила Помощь по технической механике онлайн приложена в точке Помощь по технической механике онлайн. Требуется перенести ее в точку Помощь по технической механике онлайн. Используя третью аксиому, добавим в точке Помощь по технической механике онлайн уравновешенную систему сил Помощь по технической механике онлайн

Образуется уравновешенная по второй аксиоме система сил Помощь по технической механике онлайн. Убираем ее и получим в точке Помощь по технической механике онлайн силу Помощь по технической механике онлайн, равную заданной Помощь по технической механике онлайн.

Связи и реакции связей

Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.

Все тела делятся на свободные и связанные.

Свободные тела — тела, перемещение которых не ограничено.

Связанные тела — тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей. Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться. Всякое связанное тело можно представить свободным, если

связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей). Все связи можно разделить на несколько типов.

Связь — гладкая опора (без трения)

Помощь по технической механике онлайн

Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлен перпендикулярно опоре (рис. 1.7).

Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь)

Груз подвешен на двух нитях (рис. 1.8).

Помощь по технической механике онлайн

Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.

Жесткий стержень

На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9).

Помощь по технической механике онлайн

Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убирая стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называет? такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями. Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка Помощь по технической механике онлайн опускается вниз, отодвигаясь а стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.

Шарнирная опора

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.

Подвижный шарнир

Помощь по технической механике онлайн

Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 1.10).

Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.

Неподвижный шарнир

Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной Помощь по технической механике онлайнПомощь по технической механике онлайн (рис. 1.11).

Помощь по технической механике онлайн

Защемление или «заделка»

Помощь по технической механике онлайн

Любые перемещения точки крепления невозможны. Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент Помощь по технической механике онлайн, препятствующий повороту (рис. 1.12). Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат

Помощь по технической механике онлайн

Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом

Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Уметь определять равнодействующую, решать задачи на равновесие в геометрической форме.

Плоская система сходящихся сил

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся (рис. 2.1).

Помощь по технической механике онлайн

Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил Помощь по технической механике онлайнПомощь по технической механике онлайн — число сил, входящих в систему.

По следствию из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными в одной точке.

Равнодействующая сходящихся сил

Равнодействующую двух пересекающихся сил можно определить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я аксиома) (вис. 2.2).

Помощь по технической механике онлайн

Используя свойства векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил (рис. 2.3).

Вектор равнодействующей силы соединит начало первого вектора с концом последнего.

Помощь по технической механике онлайн

При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится. Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называют геометрическим.

Замечание. При вычерчивании многоугольника обращать внимание на параллельность сторон многоугольника соответствующим векторам сил.

Порядок построения многоугольника сил

  1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом последующего.
  2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
  3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил

При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.

Если в системе гри силы, образуется треугольник сил.

Сравните два треугольника сил (рис. 2.4) и сделайте вывод о количестве сил, входящих в каждую систему. Рекомендация. Обратить внимание на направление векторов.

Помощь по технической механике онлайн

Решение задач на равновесие геометрическим способом

Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим). Порядок решения задач:

  1. Определить возможное направление реакций связей.
  2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура.)
  3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
  4. Для уточнения решения рекомендуется определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.

Пример 1.

Груз подвешен на стержнях и находится в равновесии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.5а).

Решение

  • Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а).

Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».

Помощь по технической механике онлайн

Усилия направлены вдоль стержней.

  • Освободим точку Помощь по технической механике онлайн от связей, заменив действие связей их реакциями (рис. 2.5б).
  • Система находится в равновесии. Построим треугольник сил. Построение начнем с известной силы, вычертив вектор Помощь по технической механике онлайн в некотором масштабе.

Из концов вектора Помощь по технической механике онлайн проводим линии, параллельные реакциям Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн.

Пересекаясь, линии создадут треугольник (рис. 2.5в). Зная масштаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно определить величину реакций в стержнях.

  • Для более точных расчетов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла — величина постоянная.

Для данного случая:

Помощь по технической механике онлайн

Возможно эта страница вам будет полезна:

Техническая механика задачи

Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом

Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящейся системы сил в аналитической форме. Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси решать задачи на равновесие в аналитической форме.

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Помощь по технической механике онлайн

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

Помощь по технической механике онлайн

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

Помощь по технической механике онлайн

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси (рис. 3.4а). Складываем проекции всех векторов на оси Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн (рис. 3.4б).

Помощь по технической механике онлайн

Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:

Помощь по технической механике онлайн

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующей с осями координат (рис. 3.5).

Помощь по технической механике онлайн

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:

Помощь по технической механике онлайн

Условия равновесия в аналитической форме можно сформулировать следующим образом: Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.

Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил:

Помощь по технической механике онлайн

В задачах координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Пара сил и момент силы относительно точки

Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил.

Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.

Пара сил, момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил Помощь по технической механике онлайн, образующих пару.

Пара сил вызывает вращение тела и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т. к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1).

Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействующей).

Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары). Момент считают положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1(б)):

Помощь по технической механике онлайн

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Помощь по технической механике онлайн

Свойства пар (без доказательств):

  • Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.
  • Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, (рис. 4.2) эквивалентны (действие их на тело аналогично).
  • Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.

Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему (рис. 4.3):

Помощь по технической механике онлайн
  • Равновесие пар.

Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю:

Помощь по технической механике онлайн

Момент силы относительно точки

Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.

Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линий действия силы. Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (рис. 4.4), называется плечом силы. Обозначение момента Помощь по технической механике онлайн) или Помощь по технической механике онлайн,

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Единица измерения Помощь по технической механике онлайн

Момент считается положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по технической механике

Плоская система произвольно расположенных сил

Иметь представление о главном векторе, главном моменте, равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил.

Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке, приведение произвольной плоской системы сил к точке, три формы уравнений равновесия.

Уметь заменять произвольную плоскую систему сил одной силой и одной парой.

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил

Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Помощь по технической механике онлайн

Дано: сила в точке Помощь по технической механике онлайн (рис. 5.1).

Добавим в точке Помощь по технической механике онлайн уравновешенную систему сил Помощь по технической механике онлайн. Образуется пара сил Помощь по технической механике онлайн. Получим силу в точке Помощь по технической механике онлайн и момент пары Помощь по технической механике онлайн

Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку — точку приведения. Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил. Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами. Дана плоская система произвольно расположенных сил (рис. 5.2).

Переносим все силы в точку Помощь по технической механике онлайн. Получим пучок сил в точке Помощь по технической механике онлайн, который можно заменить одной силой — главным вектором системы. Образующуюся систему пар сил можно заменить одной эквивалентной парой — главным моментом системы.

Помощь по технической механике онлайн

Главный вектор равен геометрической сумме векторов произвольной плоской системы сил. Проецируем все силы системы на оси координат и, сложив соответствующие проекции на оси, получим проекции главного вектора.

Помощь по технической механике онлайн

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

Помощь по технической механике онлайн

Главный момент системы сил равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно точки приведения.

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, произвольная плоская система сил приводится к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

Влияние точки приведения

Точка приведения выбрана произвольно. При изменении положения точки приведения величина главного вектора не изменится.

Величина главного момента при переносе точки приведения изменится, т. к. меняются расстояния от векторов-сил до новой точки приведения.

С помощью теоремы Вариньона о моменте равнодействующей можно определить точку на плоскости, относительно которой главный момент равен нулю. Тогда произвольная плоская система сил может быть заменена одной силой. Эту силу называют равнодействующей системы сил.

Численно равнодействующая равна главному вектору системы сил, но приложена в другой точке, относительно которой главный момент равен нулю. Равнодействующую принято обозначать. Помощь по технической механике онлайн Численно ее значение определяется так же, как главный вектор системы сил:

Помощь по технической механике онлайн

Точку приложения равнодействующей можно определить по формуле

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — расстояние от выбранной точки приведения до точки приложения равнодействующей; Помощь по технической механике онлайн — величина главного момента относительно выбранной точки приведения; Помощь по технической механике онлайн — величина главного вектора системы сил.

Частные случаи приведения системы сил к точке

При приведении системы сил к точке возможны следующие варианты:

Помощь по технической механике онлайн

тело вращается вокруг неподвижной оси. тело движется прямолинейно ускоренно, тело находится в равновесии.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил

  • При равновесии главный вектор системы равен нулю . Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:
Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн— проекции векторов на оси координат.

  • Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:
Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн к Помощь по технической механике онлайн — разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю. Получим основную форму уравнения равновесия:

Помощь по технической механике онлайн

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически доказано, что на плоскости можно составить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии. Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным. Для разных случаев используются три группы уравнений равновесия.

Помощь по технической механике онлайн

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия

Помощь по технической механике онлайн

Ось Помощь по технической механике онлайн системы координат параллельна линии действия сил.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач технической механике

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов Защемления

Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.

Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем. Уметь выполнять проверку правильности решения.

Виды нагрузок и разновидности опор

Виды нагрузок

По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной.

Часто нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.

В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — интенсивность нагрузки; Помощь по технической механике онлайн — длина стержня;

Помощь по технической механике онлайн — равнодействующая распределенной нагрузки. Рис. 6.1 Разновидности опор балочных систем (см. лекцию 1)

Балка — конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами. Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной. Жесткая заделка (защемление) (рис.6.2)

Помощь по технической механике онлайн

Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн и парой с моментом Помощь по технической механике онлайн.

Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений в виде

Помощь по технической механике онлайн

Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок.

Для контроля правильности решений используют дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Шарнирпо-подвижная опора (рис. 6.3) Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)

Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.

Балка на двух шарнирных опорах (рис. 6.5)

Помощь по технической механике онлайн

Не известны три силы, две из них — вертикальные, следовательно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:

Помощь по технической механике онлайн

Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.

Из уравнения Помощь по технической механике онлайн определяется реакция Помощь по технической механике онлайн.

Из уравнения Помощь по технической механике онлайн определяется реакция Помощь по технической механике онлайн.

Из уравнения Помощь по технической механике онлайн определяется реакция Помощь по технической механике онлайн.

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение

Помощь по технической механике онлайн

При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 6.6):

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Пространственная система сил

Знать момент силы относительно оси, свойства моменте аналитический способ определения равнодействующей, условия равновесия пространственной системы сил.

Уметь выполнять разложение силы на три взаимно перпендикулярные оси, определять момент силы относительно оси.

Пространственная система сил — система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а).

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — расстояние от оси до проекции Помощь по технической механике онлайн;

пр Помощь по технической механике онлайн — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Момент считаем положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке. Смотреть со стороны положительного направления оси.

Если линия действия силы пересекает ось или линия действия силы параллельна оси, моменты силы относительно этой оси равны нулю (рис. 7.16).

Силы и ось лежат в одной плоскости, они не смогут повернуть тело вокруг этой оси. Помощь по технической механике онлайн пересекает ось; Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

Пространственная сходящаяся система сил

Вектор в пространстве

В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2).

Модуль вектора может быть получен из зависимости

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — углы между вектором Помощь по технической механике онлайн и осями координат.

Пространственная сходящаяся система сил

Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоугольник (рис. 7.3),

Помощь по технической механике онлайн

Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия сил системы.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил можно определить аналитически, использовав метод проекций.

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формул

Помощь по технической механике онлайн

Направление вектора равнодействующей определяется углами

Помощь по технической механике онлайн

где

Помощь по технической механике онлайн

Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру Помощь по технической механике онлайн

Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру Помощь по технической механике онлайн.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения. В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) Помощь по технической механике онлайн (рис. 7.56).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы Помощь по технической механике онлайн (главный момент). Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.

Помощь по технической механике онлайн

Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5в).

Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.56) равно

Помощь по технической механике онлайн

где

Помощь по технической механике онлайн

Абсолютное значение главного момента определяется по формуле

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

где

Помощь по технической механике онлайн

Уравнения равновесия пространственной системы

При равновесии Помощь по технической механике онлайн. Получаем шесть уравнений равновесия:

Помощь по технической механике онлайн

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил соответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Центр тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.’,

Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Сила тяжести

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Точка приложения силы тяжести

Для определения точки приложения силы тяжести (равнодействующей параллельных сил) используем теорему Вариньона о моменте равнодействующей:

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно этой оси. Изображаем тело, составленное из некоторых частей, в пространственной системе координат (рис. 8.2).

Помощь по технической механике онлайн

Тело состоит из частей, силы тяжести которых приложены в центрах тяжести (ЦТ) этих частей.Пусть равнодействующая (сила тяжести всего тела) приложена в неизвестном пока центре Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн — координаты центра тяжести Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн — координаты центров тяжести частей тела

Из теоремы Вариньона следует:

Помощь по технической механике онлайн

аналогично для оси Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

В однородном теле сила тяжести пропорциональна объему Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — вес единицы объема.

Следовательно, в формулах для однородных тел:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — объем элемента тела; Помощь по технической механике онлайн — объем всего тела.

Центр тяжести однородных плоских тел (плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: Помощь по технической механике онлайн, где Помощь по технической механике онлайн — площадь фигуры, Помощь по технической механике онлайн — ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — площадь части сечения; сечения. Помощь по технической механике онлайн — координаты ЦТ частей Выражение Помощь по технической механике онлайн называют статическим моментом площади Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

Помощь по технической механике онлайн

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

Помощь по технической механике онлайн

При решении задач используются следующие методы:

1) метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

2) метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;

3) метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по технической механике

Основные понятия кинематики. Кинематика точки

Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении .Знать способы задания движения точки (естественный и координатный). Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скоростей и ускорений (без вывода).

Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.

Основные кинематические параметры

Траектория

Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией.

Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией. Уравнение траектории при плоском движении: Помощь по технической механике онлайн.

Пройденный путь

Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение — Помощь по технической механике онлайн, единицы измерения — метры. Уравнение движения точки :

Уравнение, определяющее положение движущейся точки в зависимости от времени, называется уравнением движения.

Положение точки в каждый момент времени можно определить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматриваемой как начало отсчета. Такой способ задания движения называется естественным.

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, уравнение движения можно представить в виде Помощь по технической механике онлайн

Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени (рис. 9.2). Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

В случае пространственного движения добавляется и третья координата Помощь по технической механике онлайнТакой способ задания движения называют координатным.

Скорость движения

Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.

Скорость — вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону направления движения (рис. 9.3).

Если точка за равные промежутки времени проходит равные расстояния, то движение называют равномерным.

Средняя скорость на пути Помощь по технической механике онлайн определяется как где Помощь по технической механике онлайн — пройденный путь за время Помощь по технической механике онлайн — промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным. В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

При рассмотрении малых промежутков времени Помощь по технической механике онлайн средняя скорость становится равной истинной скорости движения в данный момент. Поэтому скорость в данный момент определяют как производную пути по времени:

Помощь по технической механике онлайн

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеряют в км/ч,

Помощь по технической механике онлайн

Ускорение точки

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки Помощь по технической механике онлайн в точку Помощь по технической механике онлайн меняется по величине и направлению. Среднее значение ускорения этот промежуток времени

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени средне ускорение превратится в ускорение данный момент:

Помощь по технической механике онлайн

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательно (рис. 9.5).

Нормальное ускорение Помощь по технической механике онлайн характеризует изменение скорости по направлению и определяется как Помощь по технической механике онлайн, где Помощь по технической механике онлайн — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги. ; Касательное ускорение Помощь по технической механике онлайн характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению вектора скорости, формула для определения касательного ускорения имеет вид:

Помощь по технической механике онлайн

Значение полного ускорения определяется как

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Кинематика точки

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различных видах движения точки.

Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равнопеременного движений точки. Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.

Анализ видов и кинетических параметров движений Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью:

Помощь по технической механике онлайн

Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Полное ускорение движения точки равно нулю: Помощь по технической механике онлайн При криволинейном равномерном движении (рис. 10.16)

Помощь по технической механике онлайн

Полное ускорение равно нормальному ускорению: Помощь по технической механике онлайн.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.

Так как Помощь по технической механике онлайн закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой: Помощь по технической механике онлайн,

где Помощь по технической механике онлайн — путь, пройденный до начала отсчета.

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным касательным ускорением:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Для прямолинейного равнопеременного движения

Помощь по технической механике онлайн

Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 10.2):

Помощь по технической механике онлайн

Учитывая, что:

Помощь по технической механике онлайн

и сделав ряд преобразований:

Помощь по технической механике онлайн

получим значение скорости при равнопеременном движении

Помощь по технической механике онлайн

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — начальная скорость движения;

Помощь по технической механике онлайн — путь, пройденный до начала отсчета; Помощь по технической механике онлайн — постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются. Уравнение неравномерного движения в общем виде представляет собой уравнение третьей Помощь по технической механике онлайнПомощь по технической механике онлайн и выше степени.

Кинематические графики

Кинематические графики — это графики изменения пути, скорости и ускорений в зависимости от времени.

Помощь по технической механике онлайн

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задании ее движении

Если движение точки задано в координатной форме, то каждое параметрическое уравнений , взятое отдельно, описывает движение не самой точки, а ее проекции вдоль соответствующих осей. Пусть движение точки Помощь по технической механике онлайн в плоской системе координат задано уравнениями

Помощь по технической механике онлайн

Первое из уравнений определяет закон изменения абсциссы Помощь по технической механике онлайн движущейся точки (рис. 1.118), т. е. описывает движение по оси абсцисс точки Помощь по технической механике онлайн — проекции точки Помощь по технической механике онлайн на ось Помощь по технической механике онлайн. Второе уравнение определяет закон изменения ординаты у точки Помощь по технической механике онлайн, т. е. описывает движение по оси ординат ее проекции Помощь по технической механике онлайн на эту ось. Допустим, что в данный момент времени Помощь по технической механике онлайн точка А имеет скорость Помощь по технической механике онлайн, тогда Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн — проекции точки на оси Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн—движутся по осям со скоростями Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн, модули которых равны проекциям скорости Помощь по технической механике онлайн на соответствующие оси (рис. 10.5). Следовательно, дифференцируя каждое из заданных уравнений, найдем модули скоростей Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн или, иначе говоря, проекции скорости Помощь по технической механике онлайн на оси координат. Итак,

Помощь по технической механике онлайн

Если из начала и конца вектора Помощь по технической механике онлайн провести прямые, параллельные осям координат, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой к Помощь по технической механике онлайн и катетами Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн. Отсюда модуль искомой скорости

Помощь по технической механике онлайн

Направление скорости Помощь по технической механике онлайн, т.е. углы Помощь по технической механике онлайн или Помощь по технической механике онлайн, находим по одной из следующих формул:

Помощь по технической механике онлайн

Аналогично определяется и вектор ускорения Помощь по технической механике онлайн. Сначала находим его проекции на оси Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн

а затем модуль

Помощь по технической механике онлайн

и направление, т. е. углы Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн (угол Помощь по технической механике онлайн на рис. 1.118 не обозначен):

От координатного способа задания движения точки нетрудно перейти к естественному способу. Ранее мы рассмотрели , что, исключив время из уравнений движения Помощь по технической механике онлайн, Помощь по технической механике онлайн, получаем уравнение траектории Помощь по технической механике онлайн. Уравнение движения Помощь по технической механике онлайн по этой траектории получаем следующим образом. Так как Помощь по технической механике онлайн то Помощь по технической механике онлайн; подставив сюда значение Помощь по технической механике онлайн полученное из уравнений движения в осях координат, и проинтегрировав:

Помощь по технической механике онлайн

получим уравнения движения вида Помощь по технической механике онлайн.

Например, если движение точки задано уравнениями Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн, то точка движется по прямолинейной траектории, уравнение которой Помощь по технической механике онлайн.

Из заданных уравнений движения следует, что проекции скорости на оси координат

Помощь по технической механике онлайн

а модуль скорости в любой момент времени

Помощь по технической механике онлайн

Из уравнения (1.108)

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, точка движется прямолинейно по траектории Помощь по технической механике онлайн согласно уравнению Помощь по технической механике онлайнПомощь по технической механике онлайн.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по технической механике

Простейшие движения твердого тела

Иметь представление о поступательном движении, его особенностях и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах. Знать формулы для определения параметров поступательного и вращательного движений тела.

Уметь определять кинематические параметры тела при поступательном и вращательном движениях, определять параметры любой точки тела.

Поступательное движение

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2). При поступательном движении всс точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы. Поэтому для описания движения тела можно рассматривать движение одной его точки, обычно центра масс.

Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Помощь по технической механике онлайн

Вращательное движение

При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

При этом каждая точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию точки до оси

вращения. Точки на оси вращения не перемещаются.

Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси можно использовать только угловые параметры (рис. 11.3): Помощь по технической механике онлайн — угол поворота тела, Помощь по технической механике онлайн;

Помощь по технической механике онлайн — угловая скорость, определяет изменение угла поворота в единицу времени, Помощь по технической механике онлайн.

Для определения положения тела в любой момент времени используется уравнение Помощь по технической механике онлайн

Следовательно, для определения угловой скорости можно пользоваться выражением Помощь по технической механике онлайн

Иногда для оценки быстроты вращения используют угловую частоту вращения Помощь по технической механике онлайн, которая оценивается в оборотах в минуту.

Помощь по технической механике онлайн

Угловая скорость и частота ; вращения физически близкие величины:

Помощь по технической механике онлайн

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением Помощь по технической механике онлайн;

Помощь по технической механике онлайн

Частные случаи вращательного движения

Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):

Помощь по технической механике онлайн

Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет вид:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — угол поворота до начала отсчета.

Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 11.4.

Помощь по технической механике онлайн

Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно):

Помощь по технической механике онлайн

Уравнение (закон) равнопеременного вращения

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — начальная угловая скорость.

Угловое ускорение при ускоренном движении — величина положительная; угловая скорость будет все время возрастать.

Угловое ускорение при замедленном движении — величина отрицательная угловая скорость убывает.

Для данного движения кинематические графики представлены на рис. 11.5.

Помощь по технической механике онлайн

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Тело вращается вокруг точки Помощь по технической механике онлайн. Определим параметры движения точки Помощь по технической механике онлайн, расположенной на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от оси вращения (рис. 11.6, 11.7). Путь точки Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн

Линейная скорость точки Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн

Ускорения точки Помощь по технической механике онлайн: Помощь по технической механике онлайн — касательное;

Помощь по технической механике онлайн — нормальное, где Помощь по технической механике онлайн — радиус окружности, траектории точки Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Примеры решения задач

Пример 1.

По заданному графику угловой скорости (рис. 11.8) определить вид вращательного движения.

Помощь по технической механике онлайн

Решение

  1. Участок 1 — неравномерное ускоренное движение, Помощь по технической механике онлайн
  2. Участок 2 — скорость постоянна — движение равномерное, . Помощь по технической механике онлайн
  3. Участок 3 — скорость убывает равномерно — равнозамедленное движение, Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела

Иметь представление о системах координат, об абсолютном, относительном и переносном движениях. Знать разложение сложного движения на относительное и переносное, теорему сложения скоростей. Знать разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное, способы определения мгновенного центра скоростей.

Основные определения

Сложным движением считают движение, которое можно разложить на несколько простых. Простыми движениями считают поступательное и вращательное.

Для рассмотрения сложного движения точки выбирают две системы отсчета: подвижную и неподвижную.

Движение точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета называют сложным, или абсолютным.

Подвижную систему отсчета обычно связывают с движущимся телом. Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной называют переносным.

Движение материальной точки (тела) по отношению к подвижной системе называют относительным.

Примером может служить движение человека по эскалатору метро. Движение эскалатора — переносное движение, движение человека вниз или вверх по эскалатору — относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам станции — сложное (абсолютное) движение. При решении задач используют теорему о сложении скоростей:

При сложном движении точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометрической сумме переносной Помощь по технической механике онлайн и относительной Помощь по технической механике онлайн скоростей:

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — угол между векторами Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн.

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются параллельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета плоскости.

Плоскопараллельное движение можно изучать, рассматривая любое плоское сечение тела, параллельное неподвижной плоскости, называемой основной (рис. 12.1).

Все точки тела, расположенные на прямой, перпендикулярной к основной плоскости, движутся одинаково.

Плоскопараллельное движение изучается двумя методами: методом разложения сложного движения на поступательное и вращательное и методом мгновенных центров скоростей.

Помощь по технической механике онлайн

Метод разложения сложного движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное относительно этого полюса.

Разложение используют для определения скорости любой точки тела, применяя теорему о сложении скоростей (рис. 12.2).

Помощь по технической механике онлайн

Точка Помощь по технической механике онлайн движется вместе с точкой Помощь по технической механике онлайн, а затем поворачивается вокруг Помощь по технической механике онлайн с угловой скоростью Помощь по технической механике онлайн, тогда абсолютная скорость точки Помощь по технической механике онлайн будет равна

Помощь по технической механике онлайн

Примером плоскопараллельного движения может быть движение колеса на прямолинейном участке дороги (рис. 12.3). Скорость точки Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — скорость центра колеса переносная; Помощь по технической механике онлайн — скорость вокруг центра относительная. Помощь по технической механике онлайн — неподвижная система координат, Помощь по технической механике онлайн — подвижная система координат, связанная с осью колеса.

Метод определения мгновенного центра скоростей

Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение представляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача сводится к определению положения мгновенного центра 1 вращений (скоростей) (рис. 12.4).

Мгновенным центром скоростей (МЦС) является точка на плоскости, абсолютная скорость которой в данный момент равна нулю.

Вокруг этой точки тело совершает поворот со скоростью Помощь по технической механике онлайн. Скорость точки Помощь по технической механике онлайн в данный момент равна

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

т.к. Помощь по технической механике онлайн — линейная скорость точки Помощь по технической механике онлайн, вращающейся вокруг МЦС.

Существуют три способа определения положения мгновенного центра скоростей.

Первый способ. Известна скорость одной точки тела Помощь по технической механике онлайн и угловая скорость вращения тела Помощь по технической механике онлайн (рис. 12.5).

Точку Помощь по технической механике онлайн находим на перпендикуляре к вектору скорости Помощь по технической механике онлайн. Соединяем точку Помощь по технической механике онлайн с точкой Помощь по технической механике онлайн, замеряем расстояние Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

Второй способ. Известны скорости двух точек тела Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн, и они не параллельны (рис. 12.6). Проводим из точек Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн два перпендикуляра к известным векторам скоростей. На пересечении перпендикуляров находим МЦС. Далее можно найти скорость любой точки Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Третий способ. Известны скорости двух точек тела, и они параллельны Помощь по технической механике онлайн (рис. 12.7).

Помощь по технической механике онлайн

Соединяем концы векторов, МЦС находится на пересечении линии, соединяющей концы векторов с линией Помощь по технической механике онлайн (рис. 12.7). При поступательном движении тела (рис. 12.7в) МЦС отсутствует.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по технической механике

Основные понятия и аксиомы динамики

Понятие о трении

Иметь представление о массе тела и ускорении свободного падения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики. Знать аксиомы динамики и математическое выражение самого закона динамики. Знать зависимости для определения силы трения.

Содержание и задачи динамики

Динамика — раздел теоретической механики, в котором устанавливается связь между движением тел и действующими на них нами. В динамике решают два типа задач:

— определяют параметры движения по заданным силам;

— определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематическим параметрам движения. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку. Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка падает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.

Аксиомы динамики

Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах, называют классической механикой.

Первая аксиома (принцип инерции)

Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния. Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку; из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы — килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)

Зависимость между силой, действующей на материальную точку, и сообщаемым ею ускорением следующая:

Помощь по технической механике онлайн

Где Помощь по технической механике онлайн — масса точки, кг; Помощь по технической механике онлайн — ускорение точки, Помощь по технической механике онлайн.

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорционально величине силы и совпадает с направлением силы.

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

Помощь по технической механике онлайн

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн, ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона)

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1):

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Откуда

Помощь по технической механике онлайн

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам. Четвертая аксиома (закон независимости действия сил) Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности (рис. 13.2):

Помощь по технической механике онлайн

Понятие о трении. Виды трения

Трение — сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при качении — трение качения. Природа сопротивлений движению в разных случаях различна. Трение скольжения

Причина — механическое зацепление выступов. Сила сопротивления движению при скольжении называется силой трения скольжения (рис. 13.3а).

Помощь по технической механике онлайн

Законы трения скольжения:

  • Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления
Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — сила нормального давления, направлена перпендикулярно опорной поверхности; Помощь по технической механике онлайн — коэффициент трения скольжения.

В случае движения тела по наклонной плоскости (рис. 13.36)

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — угол наклона плоскости к горизонту.

Сила трения всегда направлена в сторону, обратную направлению движения.

  • Сила трения меняется от нуля до некоторого максимального значения, называемого силой трения покоя (статическое трение):
Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — статическая сила трения (сила трения покоя).

  • Сила трения при движении меньше силы трения покоя Сила трения при движении называется динамической силой трения Помощь по технической механике онлайн

Поскольку сила нормального давления, зависящая от веса и направления опорной поверхности, не меняется, то различают статический и динамический коэффициенты трения:

Помощь по технической механике онлайн

Коэффициент трения скольжения зависит от следующих факторов:

— от материала: материалы делятся на фрикционные (с большим коэффициентом трения) и антифрикционные (с малым коэффициентом трения), например Помощь по технической механике онлайн (при скольжении стали по стали всухую), Помощь по технической механике онлайн (при скольжении стали по текстолиту);— от наличия смазки, например Помощь по технической механике онлайн (при скольжении стали по стали со смазкой);

— от скорости взаимного перемещения.

Трение качения

Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.

Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном деформируется грунт, и в каждый момент колесо должно перекатываться через выступ грунта. Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу Помощь по технической механике онлайн (рис. 13.4).

Помощь по технической механике онлайн

Условие качения колеса состоит в том, что движущийся момент должен быть не меньше момента сопротивления:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — максимальное значение плеча (половина колеи) принимается за коэффициент трения качения, размерность — сантиметры.

Ориентировочные значения Помощь по технической механике онлайн (определяются экспериментально):

сталь по стали: Помощь по технической механике онлайн;

резиновая шина по шоссе — Помощь по технической механике онлайн

Возможно эта страница вам будет полезна:

Яблонский решебник

Движение материальной точки. Метод кинетостатики

Иметь представление о свободных и несвободных материальных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач. Знать формулы для расчета силы инерции при поступательном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.

Свободная и несвободная точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи решаются с помощью основного закона динамики.

Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются несвободными. Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничивающих движение реакций связей (пассивных сил). Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождасмости от связей).

Сила инерции

Инертность — способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции — сила, возникающая при разгоне или торможении тела (материальной точки) и направленная в обратную сторону от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом. Рассчитано, что сила инерции равна

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, силы, действующие на материальные точки Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн (рис. 14.1), при разгоне платформы соответственно равны

Помощь по технической механике онлайн

Разгоняющееся тело (платформа с массой Помощь по технической механике онлайн (рис. 14.1)) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вообще был бы невозможен. При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального Помощь по технической механике онлайн и касательного Помощь по технической механике онлайн (рис. 14.2).

Поэтому при рассмотрении криволинейного движения могут возникнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

При равномерном движении по дуге всегда возникает нормальное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги (рис. 14.3).

Помощь по технической механике онлайн

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики. Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии;

Помощь по технической механике онлайн

Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера

  1. Составить расчетную схему.
  2. Выбрать систему координат.
  3. Выяснить направление и величину ускорения.
  4. Условно приложить силу инерции.
  5. Составить систему уравнений равновесия.
  6. Определить неизвестные величины.

Примеры решений задач

Пример 1.

Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).
Решение

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре Помощь по технической механике онлайн. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнения равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — движущая сила; Помощь по технической механике онлайн — сила трения; Помощь по технической механике онлайн — сила тяжести; Помощь по технической механике онлайн — реакция опоры; Помощь по технической механике онлайн — сила инерции; Помощь по технической механике онлайн — коэффициент трения.

Пример 2.

Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению Помощь по технической механике онлайн (рис. 14.5). Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость Помощь по технической механике онлайн.

Решение

  • Составим расчетную схему, выберем систему координат с осью Помощь по технической механике онлайн вдоль наклонной плоскости.

Активные силы: движущая, сила трения, сила тяжести. Наносим реакцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить силу инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения. При Помощь по технической механике онлайн движение равноускоренное.

  • Определяем ускорение движения:
Помощь по технической механике онлайн

Силу Помощь по технической механике онлайн направим в обратную от ускорения сторону.

  • По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:
Помощь по технической механике онлайн
  • Подставим все известные величины в уравнения равновесия:
Помощь по технической механике онлайн

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

Помощь по технической механике онлайн

Работа и мощность

Иметь представление о работе силы при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о jмощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия. Знать зависимости для определения силы трения, формулы для расчета работы и мощности при поступательном и вращательном движениях.

Уметь рассчитывать работу и мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Работа

Для характеристики действия силы на некотором перемещении точки ее приложения вводят понятие «работа силы».

Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная величина. Работа постоянной силы на прямолинейном пути

Работа силы в общем случае численно равна произведению модуля силы на длину пройденного пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (рис. 15.1):

Помощь по технической механике онлайн

Единицы измерения работы:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Рассмотрим частные случаи.

  1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, называются движущими силами.

Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения (рис. 15.2).

В этом случае Помощь по технической механике онлайн. Тогда Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн
  • Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят (рис. 15.3). Сила Помощь по технической механике онлайн перпендикулярна направлению перемещения, Помощь по технической механике онлайн.
  • Силы, направленные в обратную от направления перемещения сторону, называются силами сопротивления (рис. 15.4).

Сила Помощь по технической механике онлайн направлена в обратную от перемещения Помощь по технической механике онлайн сторону. В этом случае Помощь по технической механике онлайн, следовательно, Помощь по технической механике онлайн.

Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы сопротивления уменьшают скорость.

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, работа может быть положительной и отрицательной в зависимости от направления силы и скорости.

Работа постоянной силы на криволинейном пути

Пусть точка Помощь по технической механике онлайн движется по дуге окружности и сила Помощь по технической механике онлайн составляет некоторый угол а с касательной к окружности (рис. 15.5).

Помощь по технической механике онлайн

Вектор силы можно разложить на две составляющие

Помощь по технической механике онлайн

Используя принцип независимости действия сил, определим работу каждой из составляющих силы отдельно:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — пройденный путь, Помощь по технической механике онлайн.

Нормальная составляющая силы Помощь по технической механике онлайн всегда направлена перпендикулярно перемещению и, следовательно, работы не производит:

Помощь по технической механике онлайн

При перемещении по дуге обе составляющие силы разворачиваются вместе с точкой Помощь по технической механике онлайн. Таким образом, касательная составляющая силы всегда совпадает по направлению с перемещением. Будем иметь:

Помощь по технической механике онлайн

Касательную силу Помощь по технической механике онлайн обычно называют окружной силой. Работа при криволинейном пути — это работа окружной силы:

Помощь по технической механике онлайн

Произведение окружной силы на радиус называют вращающим моментом:

Помощь по технической механике онлайн

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угол поворота:

Помощь по технической механике онлайн

Работа силы тяжести

Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки (рис. 15.6):

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — изменение высоты. При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.

Работа равнодействующей силы

Под действием системы сил точка массой Помощь по технической механике онлайн перемещается из положения Помощь по технической механике онлайн в положение Помощь по технической механике онлайн (рис. 15.7).

В случае движения под действием системы сил пользуются теоремой о работе равнодействующей.

Помощь по технической механике онлайн

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении

Помощь по технической механике онлайн

Работа равнодействующей силы

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Примеры решения задач

Пример 1.

Тело массой 200 кг поднимают по наклонной илос кости (рис. 15.8).

Определите работу при перемещении на 10 см постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Решение

  • При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопротивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:
Помощь по технической механике онлайн
  • Используем теорему о работе равнодействующей:
Помощь по технической механике онлайн
  • Подставляем входящие величины и определяем работу по подъему:
Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Пример 2.

Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки Помощь по технической механике онлайн в точку Помощь по технической механике онлайн по наклонной плоскости (рис. 15.9). Сила тяжести тела 1500 Н. Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Решение

  • Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты груза. Изменение высоты при перемещении из точки Помощь по технической механике онлайн в Помощь по технической механике онлайн:
Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн
  • Работа силы тяжести:
Помощь по технической механике онлайн

Работа и мощность. Коэффициент полезного действия

Иметь представление о мощности при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения мощности при поступательном и вращательном движениях, КПД.

Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Мощность

Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.

Мощность — работа, выполненная в единицу времени:

Помощь по технической механике онлайн

Единицы измерения мощности: ватты, киловатты. Мощность при поступательном движении (рис. 16.1)

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Учитывая, что Помощь по технической механике онлайн получи

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — модуль силы, действующей на тело;

Помощь по технической механике онлайн — средняя скорость движения тела. Средняя мощность при поступательном движении равна произведению модуля силы на среднюю скорость перемещения и на косинус угла между направлениями силы и скорости.

Мощность при вращении

Тело движется по дуге радиуса из точки Помощь по технической механике онлайн в точку Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Работа силы

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — вращающий момент

Помощь по технической механике онлайн

Учитывая, что, Помощь по технической механике онлайн получим

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — средняя угловая скорость.

Мощность силы при вращении равна произведению вращающее го момента на среднюю угловую скорость.

Если при выполнении работы усилие машины и скорость движения меняются, можно определить мощность в любой момент времени, зная значения усилия и скорости в данный момент.

Коэффициент полезного действия

Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений.

Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнительную работу.

Отношение полезной работы к полной работе или полезной мощности ко всей затраченной мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД):

Помощь по технической механике онлайн

Полезная работа (мощность) расходуется на движение с заданной скоростью и определяется по формулам:

Помощь по технической механике онлайн

Затраченная мощность больше полезной на величину мощности, идущей на преодоление трения в звеньях машины, на утечки и тому подобные потери. Чем выше КПД, тем совершеннее машина.

Общие теоремы динамики

Иметь представление о понятиях «импульс силы», «количество движения», «кинетическая энергия», о системе материальных точек, о внутренних и внешних силах системы.

Знать основные теоремы динамики, основные уравнения динамики при поступательном и вращательном движениях твердого тела, формулы для расчета моментов инерции некоторых однородных твердых тел.

Уметь определять параметры движения с помощью теорем динамики.

Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость Помощь по технической механике онлайн.

Вектор количества движения совпадает по направлению с вектором скорости. Единица измерения Помощь по технической механике онлайн.

Произведение постоянного вектора силы на некоторый промежуток времени, в течение которого действует эта сила, называется импульсом силы Помощь по технической механике онлайн .

Вектор импульса силы по направлению совпадает с вектором силы. Помощь по технической механике онлайн Использовав основное уравнение динамики, после преобразования можно получить соотношение между количеством движения и импульсом силы (рис. 17.1).

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Проинтегрируем обе части равенства:

Помощь по технической механике онлайн

Полученное соотношение выражает теорему об изменении количества движения точки: Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующему на точку в течение того же промежутка времени.

Теорема об изменении кинетической энергии

Энергией называется способность тела совершать механическую работу.

Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения.

Потенциальная энергия (П) определяет способность тела совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря. Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести.

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — высота точки над уровнем моря.

Кинетическая энергия Помощь по технической механике онлайн определяется способностью движущегося тела совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия рассчитывается по формуле

Помощь по технической механике онлайн

Кинетическая энергия — величина скалярная, положительная.

Единицы измерения:

Помощь по технической механике онлайн

Энергия имеет размерность работы.

Запишем для материальной точки (рис. 17.2) основное уравнение движения

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Спроектируем обе части векторного равенства на направление скорости:

Помощь по технической механике онлайн

Известно, что

Помощь по технической механике онлайн

Откуда

Помощь по технической механике онлайн

Умножив обе части полученного выражения на некоторое перемещение Помощь по технической механике онлайн, получим:

Помощь по технической механике онлайн

Интегрируем обе части равенства

Помощь по технической механике онлайн

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии точки: Изменение кинетической энергии на некотором пути равно работе всех действующих на точку сил на том же пути.

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения остальных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними.

К внешним силам относятся силы, действующие со стороны точек, не входящих в эту систему. Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др. К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы Помощь по технической механике онлайн

Где Помощь по технической механике онлайн — масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс системы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы. Движение центра масс определяет движение всей системы только при поступательном движении, при котором все точки тела движутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — суммарная масса тела; Помощь по технической механике онлайн — ускорение центра масс тела. В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается вокруг оси Помощь по технической механике онлайн с угловой скоростью Помощь по технической механике онлайн (рис. 17.3).

Помощь по технической механике онлайн

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем се на множество материальных точек с массами Помощь по технической механике онлайн. Каждая точка движется по окружности радиуса Помощь по технической механике онлайн

с касательным ускорением Помощь по технической механике онлайн

и нормальным ускорением Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбсра и приложим силы инерции:

— касательную Помощь по технической механике онлайн

— нормальную Помощь по технической механике онлайн

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю:

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции Помощь по технической механике онлайн равны нулю, т. к. силы пересекают ось Помощь по технической механике онлайн. Силы, направленные по касательной к окружности, равны

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Помощь по технической механике онлайн

Величина Помощь по технической механике онлайн называется моментом инерции тела относительно оси вращения и обозначается Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — сумма моментов внешних сил относительно оси; Помощь по технической механике онлайн — угловое ускорение тела. Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении. По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ Помощь по технической механике онлайн.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от Оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса Со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4)

Помощь по технической механике онлайн

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)

Помощь по технической механике онлайн

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

Помощь по технической механике онлайн

относительно Помощь по технической механике онлайн, рис. 17.6а

Помощь по технической механике онлайн

относительно Помощь по технической механике онлайн, рис. 17.6б

Момент инерции шара (рис. 17.7)

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Основные положения. Нагрузки внешние и внутренние, метод сечений

Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений.

Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.

Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.

Внешние силы должны быть определены методами теоретической механики, а внутренние определяются основным методом сопротивления материалов — методом сечсний.

В сопротивлении материалов тела рассматриваются в равновесии. Для решения задач используют уравнения равновесия, полученные в теоретической механике для тела в пространстве.

Используется система координат, связанная с телом. Чаще продольную ось детали обозначают Помощь по технической механике онлайн, начало координат совмещают с левым краем и размещают в центре тяжести сечения.

Метод сечений

Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных частей.

Если всс тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил.

Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой части тела.

Рассекаем тело поперек плоскостью (рис. 19.1). Рассматриваем правую часть. На нее действуют внешние силы Помощь по технической механике онлайн и внутренние силы упругости Помощь по технической механике онлайн, распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором Помощь по технической механике онлайн помешенным в центр тяжести сечения, и суммарным моментом сил Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Разложив главный вектор Помощь по технической механике онлайн по осям получим три составляющие

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — продольная сила;

Помощь по технической механике онлайн — поперечная сила по оси Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — поперечная сила по оси Помощь по технической механике онлайн.

Главный момент тоже принято представлять в виде моментов пар сил в трех плоскостях проекции:

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — момент сил относительно Помощь по технической механике онлайн;

Помощь по технической механике онлайн — момент сил относительно Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — момент сил относительно Помощь по технической механике онлайн.

Полученные составляющие сил упругости носят название внутренних силовых факторов. Каждый из внутренних силовых факторов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние силовые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу детали внешние силы. Используя шесть уравнений равновесия, можно получить величину внутренних силовых факторов:

Помощь по технической механике онлайн

Из приведенных уравнений следует, что:

Помощь по технической механике онлайн — продольная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Помощь по технической механике онлайн внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса; вызывает растяжение или сжатие;

Помощь по технической механике онлайн — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Помощь по технической механике онлайн внешних сил, действующих на отсеченную часть;

Помощь по технической механике онлайн — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Помощь по технической механике онлайн внешних сил, действующих на отсеченную часть;

силы Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн вызывают сдвиг сечения;

Помощь по технической механике онлайн — крутящийся момент, равный алгебраической сумме моментов внешних сил относительно продольной оси Помощь по технической механике онлайн; вызывает скручивание бруса;

Помощь по технической механике онлайн — изгибающий момент, равный алгебраической сумме моментов внешних сил относительно оси Помощь по технической механике онлайн;

Помощь по технической механике онлайн — изгибающий момент, равный алгебраической сумме моментов внешних сил относительно оси Помощь по технической механике онлайн;

моменты Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн вызывают изгиб бруса в соответствующей плоскости.

Напряжения

Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочности необходимо определить величину силы, приходящуюся на любую точку поперечного сечения.

Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют механическим напряжением. Напряжение характеризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу площади поперечного сечения.

Рассмотрим брус, к которому приложена внешняя нагрузка (рис. 19.2). С помощью метода сечений рассечем брус поперечной плоскостью, отбросим левую часть и рассмотрим равновесие оставшейся правой части. Выделим на секущей плоскости малую площадку Помощь по технической механике онлайн На этой площадке действует равнодействующая внутренних сил упругости.

Направление напряжения Помощь по технической механике онлайн совпадает с направлением внутренней силы в этом сечении.

Вектор Помощь по технической механике онлайн называют полным напряжением. Его принято раскладывать на два вектора (рис. 19.3):

Помощь по технической механике онлайн — лежащий в площадке сечения и

Помощь по технической механике онлайн — направленный перпендикулярно площадке.

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Если вектор Помощь по технической механике онлайн — пространственный, то его раскладывают на три составляющие:

Помощь по технической механике онлайн

Нормальное напряжение характеризует сопротивление сечения растяжению или сжатию.

Касательное напряжение характеризует сопротивление сечения сдвигу.

Сила Помощь по технической механике онлайн (продольная) вызывает появление нормального напряжения Помощь по технической механике онлайн.

Силы Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн вызывают появление касательных напряжений Помощь по технической механике онлайн. Моменты изгибающие Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн вызывают появление нормальных напряжений Помощь по технической механике онлайн, переменных по сечению.

Крутящий момент Помощь по технической механике онлайн вызывает сдвиг сечения вокруг продольной оси, поэтому появляются касательные напряжения Помощь по технической механике онлайн.

Растяжение и сжатие. Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр

Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в поперечных сечениях.

Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса.

Уметь строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений

Растяжение и сжатие

Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила.

Продольные силы меняются по длине бруса. При расчетах после определения величин продольных сил по сечениям строится график — эпюра продольных сил.

Условно назначают знак продольной силы.

Помощь по технической механике онлайн

Если продольная сила направлена от положительной деформацией (рис. 20.1а).

Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжатие считают отрицательной деформацией (рис. 20.16).

Примеры построения эпюры продольных сил

Помощь по технической механике онлайн

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения.

Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами. На представленном рисунке 3 участка нагружения.

Воспользуемся методом сечений и определим внутренние силовые факторы внутри каждого участка.

Расчет начинаем со свободного конца бруса, чтобы не определять величины реакций в опорах.
Участок 1:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Продольная сила положительна, участок 1 — растянут.

Участок 2:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Продольная сила положительна, участок 2 — растянут.

Участок 3:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Продольная сила отрицательна, участок 3 — сжат. Полученное значениеПомощь по технической механике онлайн равно реакции в заделке.

Помощь по технической механике онлайн

Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис. 20.26).

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз. В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Помощь по технической механике онлайн.

Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы.

На эпюре проставляются значения Помощь по технической механике онлайн. Величины продольны: сил откладывают в заранее выбранном масштабе.

Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховывается поперек оси.

Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения граничных условий.

Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси

Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечении равномерно.

Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.

Напряжения при растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.

Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении (рис. 20.3).

Помощь по технической механике онлайн

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по формуле

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — продольная сила в сечении; Помощь по технической механике онлайн — площадь поперечного сечения. Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

действуют при растяжении от сечения (рис. 20.4а), а при сжатии к сечению (рис. 20.46). Размерность (единица измерения)

напряжений — Помощь по технической механике онлайн (Па), однако это слишком малая единица, и практически напряжения рассчитывают в Помощь по технической механике онлайн (МПа):

Помощь по технической механике онлайн

При определении напряжений брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.

Помощь по технической механике онлайн

Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра продольных сил. Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси (рис. 20.5). Обнаруживаем три участка нагружения и определяем величины продольных сил.

Участок 1:

Помощь по технической механике онлайн

Внутренние продольные силы равны нулю.

Участок 2:

Помощь по технической механике онлайн

Продольная сила на участке положительна.

Участок 3:

Помощь по технической механике онлайн

Продольная сила на участке отрицательна.

Брус —ступенчатый. С учетом изменений величин площади поперечного сечения участков напряжений больше.

Помощь по технической механике онлайн

Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.

Геометрические характеристики плоских сечений

Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивляется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь.

Помощь по технической механике онлайн

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сечения деформированию.

Статический момент площади сечения

Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).

Если разбить сечение на бесконечно малые площадки Помощь по технической механике онлайн и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выражение, получим статический момент площади сечения:

  • 1) относительно оси Помощь по технической механике онлайн
  • 2) относительно оси Помощь по технической механике онлайн

Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по величине и имеют разный знак. Следовательно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.

Статический момент используется при определении положения центра тяжести сечения:

Помощь по технической механике онлайн

Формулы для определения положения центра тяжести можно зависать в виде

Помощь по технической механике онлайн

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ко всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Помощь по технической механике онлайн

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен кулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю. Называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называют главными центральными осями сечения.

Осевые моменты инерции

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

1) осевой момент инерции сечения относительно оси Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

2) осевой момент инерции сечения относительно оси Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

Полярный момент инерции сечения

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — расстояние до полюса (центра поворота) (рис. 25.1).

Поскольку Помощь по технической механике онлайн, получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:

Помощь по технической механике онлайн

Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сечения повороту относительно соответствующей оси.

Полярный момент инерция характеризует сопротивление сечения повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измерения моментов инерции: Помощь по технической механике онлайн

Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Помощь по технической механике онлайн

Представим прямоугольник высотой Помощь по технической механике онлайн и шириной Помощь по технической механике онлайн в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы:, Помощь по технической механике онлайн. Подставим в формулу осевого момента; инерции относительно оси Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Помощь по технической механике онлайн, получим

Помощь по технической механике онлайн

Очевидно, что при Помощь по технической механике онлайн сопротивление повороту относительно оси Помощь по технической механике онлайн больше, чем относительно Помощь по технической механике онлайн.

Для квадрата:

Помощь по технической механике онлайн

Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рассчитать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Подставим это выражение для площади в формулу для полярного момента инерции:

Помощь по технической механике онлайн

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Помощь по технической механике онлайн

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — наружный диаметр кольца; Помощь по технической механике онлайн — внутренний диаметр кольца. Если обозначить Помощь по технической механике онлайн, то

Помощь по технической механике онлайн

Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении. Построение эпюр крутящих моментов

Иметь представление о деформациях при кручении, о внутренних силовых факторах при кручении. Уметь строить эпюры крутящих моментов.

Деформации при кручении

Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол Помощь по технической механике онлайн, называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачиваются на угол Помощь по технической механике онлайн, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1). Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.

Помощь по технической механике онлайн

Связь между угловыми деформациями определяется соотношением

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — длина бруса; Помощь по технической механике онлайн — радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следовательно, Помощь по технической механике онлайн. Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах.

Гипотезы при кручении

  1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.
  2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).
  3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных селений не меняются.

Внутренние силовые факторы при кручении Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил. Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1). Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны Отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса простив часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила Помощь по технической механике онлайн(рис. 26.16). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возникает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы Образуют пару с моментом Помощь по технической механике онлайн — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю: Помощь по технической механике онлайн С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

Помощь по технической механике онлайн

Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса. Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1 в):

Помощь по технической механике онлайн

Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае момент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или; вниз, масштаб построение выдерживать обязательно

Помощь по технической механике онлайн

Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол Помощь по технической механике онлайн, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и нсискривления радиусов поперечных ссчений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16). При сдвиге на боковой поверхности элемента 1,2,3,4, возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1 в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига. Закон Гука при сдвиге Помощь по технической механике онлайн — модуль упругости при сдвиге, Помощь по технической механике онлайн — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости Помощь по технической механике онлайн (рис. 27.2).

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — касательное напряжение;

Помощь по технической механике онлайн — элементарная площадка. В силу симметрии сечения силы Помощь по технической механике онлайн образуют пары (см. лекцию 26). Элементарный момент силы Помощь по технической механике онлайн относительно центра круга

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

Помощь по технической механике онлайн

После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:

Помощь по технической механике онлайн

При Помощь по технической механике онлайн; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Помощь по технической механике онлайн (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Помощь по технической механике онлайн Является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для Помощь по технической механике онлайн показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — крутящий момент в сечении; Помощь по технической механике онлайн — расстояние от точки Помощь по технической механике онлайн до центра; Помощь по технической механике онлайн — напряжение в точке Помощь по технической механике онлайн; Помощь по технической механике онлайн — максимальное напряжение.

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что Помощь по технической механике онлайн, где Помощь по технической механике онлайн — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле

Помощь по технической механике онлайн

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Помощь по технической механике онлайн

Обычно Помощь по технической механике онлайн обозначают Помощь по технической механике онлайн и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

Помощь по технической механике онлайн

Для круглого сечения

Помощь по технической механике онлайн

Для кольцевого сечения

Помощь по технической механике онлайн

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность

  • Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала)в опасном сечении:
Помощь по технической механике онлайн

Откуда

Помощь по технической механике онлайн
  • Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
Помощь по технической механике онлайн
  • Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
Помощь по технической механике онлайн

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом Помощь по технической механике онлайн (рис. 27.4).

При кручении деформация оценивается углом закручивания:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Здесь Помощь по технической механике онлайн — угол закручивания; Помощь по технической механике онлайн— угол сдвига; Помощь по технической механике онлайн — длина бруса; Помощь по технической механике онлайн — радиус; Помощь по технической механике онлайн. Откуда

Помощь по технической механике онлайн

Закон Гука имеет вид Помощь по технической механике онлайн. Подставим выражение для Помощь по технической механике онлайн, получим

Помощь по технической механике онлайн

Откуда

Помощь по технической механике онлайн

Произведение Помощь по технической механике онлайн называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как Помощь по технической механике онлайн. Для стали Помощь по технической механике онлайн.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) Помощь по технической механике онлайн.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — относительный угол закручивания, Помощь по технической механике онлайн;

Помощь по технической механике онлайн — допускаемый относительный угол закручивания.

Изгиб. Классификация видов изгиба. Внутренние силовые факторы при изгибе

Иметь представление о видах изгиба и внутренних силовых факторах.

Знать методы для определения внутренних силовых факторов и уметь ими пользоваться для определения внутренних силовых факторов при прямом изгибе.

Основные определения

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор —изгибающий момент. Брус , работающий на изгиб, называют балкой.

Изображен брус, закрепленный справа (за-щемление), нагруженный внешними силами и моментом (рис. 29.1). Плоскость, в которой расположены внешние силы и моменты, называют силовой плоскостью.Если все силы лежат в одной плоскости, изгиб называют плоским. Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из главных центральных осей его поперечного сечения, называется главной плоскостью бруса.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью бруса, изгиб называют прямым (рис. 29.1).

Если силовая плоскость не проходит через главную плоскость бруса, изгиб называют косым изгибом (рис. 29.2).

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Внутренние силовые факторы при изгибе

Пример 1.

Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом Помощь по технической механике онлайн и внешняя сила Помощь по технической механике онлайн (рис. 29.3а). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом сечений.

Рассмотрим равновесие участка 1 (рис. 29.36).

Под действием внешней пары сил участок стремится развернуться по часовой стрелке. Силы упругости, возникающие в сечении 1, удерживают участок в равновесии.

Продольные силы упругости выше оси бруса направлены направо, а силы ниже оси направлены налево. Таким образом, при равновесии участка 1 получим: Помощь по технической механике онлайн. Продольная сила Помощь по технической механике онлайн в сечении равна нулю. Момент сил упругости относительно оси Помощь по технической механике онлайн может быть получен, если суммировать элементарные моменты сил упругости в сечении 1-1 относительно оси Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

Этот момент называют изгибающим моментом Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Из схемы вала на рис. 29.3 б видно, что часть волокон (выше оси) испытывают сжатие, а волокна ниже оси растянуты. Следовательно, в ссчснии должен существовать слой не растянутый и не сжатый, где напряжения а равны нулю.

Такой слой называют нейтральным слоем (НС). Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называют нейтральной осью.

Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Здесь нейтральный слой совпадает с осью Помощь по технической механике онлайн.

Практически величина изгибающего момента в сечении определяется из уравнения равновесия:

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, в сечении 1-1 продольная сила равна нулю, изгибающий момент в сечении постоянен.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Рассмотрим равновесие участка бруса от свободного конца до сечения 2 (рис. 29.Зв). Запишем уравнения равновесия для участка бруса:

Помощь по технической механике онлайн

В сечении бруса 2-2 действует поперечная сила, вызывающая сдвиг.

Помощь по технической механике онлайн

Изгибающий момент в сечении:

Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн — расстояние от сечения 2 до начала координат.

Изгибающий момент зависит от расстояния сечения до начала координат.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным изгибом.

Принятые в машиностроении знаки поперечных сил и изгибающих моментов

Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке (рис. 29.4а), если против, — отрицательной (рис. 29.4б).

Помощь по технической механике онлайн

Знаки изгибающих моментов

Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным (рис. 29.5а), если наоборот — отрицательным (рис. 29.5 б).

Помощь по технической механике онлайн

Выводы

При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент, постоянный по величине. При поперечном изгибе в сечении возникает изгибающий момент и поперечная сила.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно рассматриваемого сечения. Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченной части на соответствующую ось.

Пример 2.

На балку действует пара сил с моментом Помощь по технической механике онлайн и распределенная нагрузка интенсивностью Помощь по технической механике онлайн. Балка защемлена справа (рис. 29.6).

Помощь по технической механике онлайн

Рассечем балку на участке 1 на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от левого края. Рассмотрим равновесие отсеченной части. Из уравнения Помощь по технической механике онлайн получим:

Помощь по технической механике онлайн

Участок 1 — участок чистого изгиба.

Рассечем балку на участке 2 на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от края, Помощь по технической механике онлайн — расстояние сечения от начала координат.

Из уравнения Помощь по технической механике онлайн найдем поперечную силу Помощь по технической механике онлайн. Заменяем распределенную нагрузку на рассматриваемом участке равнодействующей силой Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Из уравнения моментов определяем изгибающий момент в сечении:

Помощь по технической механике онлайн

На втором участке возникает поперечный изгиб.

Помощь по технической механике онлайн

Выводы

При действии распределенной нагрузки возникает поперечная сила, линейно зависящая от координаты сечения.

Изгибающий момент на участке с распределенной нагрузкой меняется в зависимости от координаты сечения по параболическому закону.

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов существенно упрощается при использовании дифференциальных зависимостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью равномерно распределенной нагрузки (теорема Журав-ского):

Поперечная сила равна производной от изгибающего момента по длине балки:

Помощь по технической механике онлайн

Интенсивность «равномерно распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы по длине балки:

Помощь по технической механике онлайн

Из выше указанного следует:

если

Помощь по технической механике онлайн

то

Помощь по технической механике онлайн

если

Помощь по технической механике онлайн

то

Помощь по технической механике онлайн

Кратко напомним, что при растяжении или сжатии возникает внутренний силовой фактор — продольная сила, при сдвиге — поперечная сила, а при кручении — крутящий момент в плоскости поперечного сечения.

Изгиб отличается от рассмотренных видов нагружения тем, что в этом случае появляются два внутренних силовых фактора: поперечная сила Помощь по технической механике онлайн, как при сдвиге, и изгибающий момент Помощь по технической механике онлайн (рис. 101). Рассмотрим изгиб, при котором плоскость изгибающей нагрузки совпадает с одной из главных осей инерции

Помощь по технической механике онлайн

поперечного сечения. Такой изгиб иногда называется прямым, а чаще просто изгибом. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Частный вид изгиба, при котором поперечная сила равна нулю, называется чистым изгибом (рис. 102). В этом случае в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент Помощь по технической механике онлайн. В отличие от него изгиб, при котором поперечная сила не равна нулю, называется поперечным изгибом (см. рис. 101).

Изгиб относится к простому виду нагружения, несмотря на то, что при изгибе балки возникают два внутренних силовых фактора Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн.

Однако, как покажет дальнейшее рассмотрение изгиба, определяющим внутренним силовым фактором при изгибе является единственный внутренний силовой, фактор — изгибающий момент. Влиянием перерезывающей силы при изгибе балки можно пренебречь.

Внутренние силовые факторы при изгибе Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн определяются методом сечений (см. рис. 101). Рассмотрим условия равновесия отсеченной части балки. Проекция всех сил на ось у равна нулю:

Помощь по технической механике онлайн

Момент относительно сечения Помощь по технической механике онлайн всех сил равен нулю

Помощь по технической механике онлайн

Поперечная сила Помощь по технической механике онлайн в сечении Помощь по технической механике онлайн равна действующей на отсеченную часть внешней силе Помощь по технической механике онлайн, а изгибающий момент Помощь по технической механике онлайн равен моменту внешней силы относительно рассматриваемого сечения.

Теперь рассмотрим действие нескольких внешних сил на балку (рис. 103). В дальнейшем будем изображать балку в виде прямой линии — геометрического места центров тяжести поперечных сечений балки. Определим внутренние силовые факторы в произвольном сечении Помощь по технической механике онлайн Для этого рассечем балку по сечению Помощь по технической механике онлайн, приложим в этом сечении неизвестные внутренние силовые факторы при изгибе Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн и составим уравнение равновесия для отсеченной части балки:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Сумма всех сил на ось Помощь по технической механике онлайн тождественно равна нулю, поскольку продольные силы на балку не действуют. В дальнейшем рассматриваем только два приведенных уравнения равновесия, индекс Помощь по технической механике онлайн не указываем. Из первого уравнения следует

Помощь по технической механике онлайн

откуда определяем поперечную силу в сечении Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Определение внутренних силовых факторов при изгибе методов сечения.

Полученное выражение можно обобщить Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения:

Помощь по технической механике онлайн

Поскольку речь идет об алгебраической сумме, в которой необходимо учитывать знак действующих сил, необходимо сформулировать правило знаков при определении значений поперечной силы в сечении; внешние силы активные и реактивные, лежащие по левую сторону от сечения, считаются положительными, если они направлены вверх, отрицательными — вниз, а по правую сторону — наоборот (рис. 104).

Помощь по технической механике онлайн

Перейдем к рассмотрению второго уравнения равновесия. Определим сумму моментов относительно рассматриваемого сечения Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

откуда

Помощь по технической механике онлайн

Это выражение также обобщим. Изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме моментов относительно этого сечения всех внешних сил и моментов, действующих на балку до рассматриваемого сечения:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Сформулируем правило знаков при определении значения изгибающего момента: момент, изгибающий балку выпуклостью вниз, считается положительным, а вверх — отрицательным (рис. 105). Для лучшего запоминания правила знаков изгибающего момента следует отметить, что его значение откладывается в сторону сжатого волокна (см. рис. 105): при изгибе выпуклостью вниз сжатое волокно наверху балки, т. е. в плюс, а при изгибе выпуклостью вверх, сжатое волокно внизу — момент откладывается вниз — минус. Напомним, что существует три вида опор балок:

  • 1) шарнирно-подвижная опора (рис. 106);
  • 2) шарнирно-неподвижная опора (рис. 107);
  • 3) жесткая заделка или защемление (рис. 108).

В опорах возникают силовые факторы, называемые реакциями опор. Два первых вида шарнирных опор допускают свободное проворачивание балки, и поэтому в них не возникает опорных моментов. Только жесткая заделка, не допускающая поворота балки в опоре, создает реактивный опорный момент.

Помощь по технической механике онлайн

Подвижная шарнирная опора допускает свободное осевое перемещение балки на катках, поэтому в ней возникает только одна опорная реакция.

Помощь по технической механике онлайн

В неподвижной шарнирной опоре возникает реакция под углом а к горизонтальной оси, эта реакция может быть разложена на две реакции в горизонтальном и вертикальном направлениях. Угол Помощь по технической механике онлайн определяет отношение величин горизонтальной и вертикальной составляющих реакций опор:

Помощь по технической механике онлайн

Жесткая заделка, или защемление, дает три реакции: Помощь по технической механике онлайн.

Рассмотрим, например, балку, нагруженную силой Помощь по технической механике онлайн, защемленную с одной стороны, и свободную с другой (рис. 109). Такую балку называют консольной. Ось у направим вертикально, а ось Помощь по технической механике онлайн — горизонтально.

Действующую под углом Помощь по технической механике онлайн силу Помощь по технической механике онлайн разложим по осям Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн на Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн (см. рис. 109). В защемлении возникают три неизвестные реакции: две силы Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн и момент Помощь по технической механике онлайн. Приложим к балке неизвестные опорные реакции и получим расчетную схему (рис. 110). Балка находится в равновесии, и поэтому должны быть справедливы три уравнения равновесия

Помощь по технической механике онлайн

Подставим в эти уравнения силы и моменты, действующие на консоль:

Помощь по технической механике онлайн

Момент взят относительно точки Помощь по технической механике онлайн для простоты, чтобы исключить моменты неизвестных опорных реакций Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн. Определим

Помощь по технической механике онлайн

Из рассмотрения этого примера следует, что если действующие силы будут перпендикулярны оси балки, т. е. угол Помощь по технической механике онлайн, то горизонтальных составляющих опорных реакций не будет: Помощь по технической механике онлайн.

Теперь можно перейти к рассмотрению способов построения графиков изменения внутренних силовых факторов при изгибе Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн по длине балки или эпюр Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн.

Предварительно рассмотрим несколько простейших примеров. Некоторые из них приведены в приложении III.

Пример 1.

Построить эпюры Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн при изгибе балки на двух опорах или двухопорной балки под действием сосредоточенной силы Помощь по технической механике онлайн (рис. 111).

Решение. Определим опорные реакции Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн из уравнений равновесия балки

Помощь по технической механике онлайн

Из первого уравнения найдем Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

а из второго уравнения определим Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн

Разобьем балку на два участка и запишем выражение поперечных сил и изгибающих моментов для каждого из участков с учетом выведенных выше соотношений и принятых правил знаков:

для участка Помощь по технической механике онлайн на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от опоры Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

где

Помощь по технической механике онлайн

при

Помощь по технической механике онлайн

при

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

для участка II на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от опоры Помощь по технической механике онлайн

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Где

Помощь по технической механике онлайн

при

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

при

Помощь по технической механике онлайн

Таким образом, на каждом участке балки Помощь по технической механике онлайн постоянно, причем для участка I — положительно, а для II — отрицательно, а момент имеет линейную зависимость от Помощь по технической механике онлайн и на участке I возрастает от 0 до Помощь по технической механике онлайн, а на участке II убывает от этой величины до нуля. С учетом этого построим эпюры Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн (см. рис. 111). Следует отметить, что там, где действует сила, на эпюре поперечных сил наблюдается скачок, равный по величине действующей силе. Так, на эпюре Помощь по технической механике онлайн имеется три скачка там, где действуют силы Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Если сила имеет знак плюс, скачок наблюдается вверх, если минус — вниз, в случае действия силы Помощь по технической механике онлайн.

Определим связь между нормальным напряжением при изгибе балки а и изгибающим моментом Помощь по технической механике онлайн. Рассмотрим условия чистого изгиба балки (рис. 114), когда Помощь по технической механике онлайн и в сечении действует только изгибающий момент. Опыт показывает, что соотношение для о при чистом изгибе можно использовать для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе.

Рассмотрим положение двух плоскостей I , II , лежащих друг от друга на малом расстоянии Помощь по технической механике онлайн (см. рис. 114). При изгибе так же, как и при растяжении и кручении, справедлива гипотеза плоских сечений. Сечения I и II, плоские до изгиба, остались плоскими и после изгиба Помощь по технической механике онлайн. Только при этом повернулись на некоторый малый угол Помощь по технической механике онлайн, оставаясь перпендикулярными к наружным поверхностям балки. При этом верхние волокна балки растянулись, их длина Помощь по технической механике онлайн стала больше прежней Помощь по технической механике онлайн, а нижние волокна балки Помощь по технической механике онлайн сжались и приняли положение Помощь по технической механике онлайн.

Логично предположить, что между верхними и нижними волокнами имеется линия раздела 1—2, называемая нейтральным слоем, который при изгибе не будет менять своей длины. При чистом изгибе он примет форму дуги окружности радиуса Помощь по технической механике онлайн. Рассмотрим деформацию произвольного волокна Помощь по технической механике онлайн балки на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от нейтрального слоя 1—2 (рис. 115). Проведем из точки 2 прямую Помощь по технической механике онлайн, параллельную Помощь по технической механике онлайн, тогда Помощь по технической механике онлайн будет равна удлинению волокна Помощь по технической механике онлайн. Ввиду малости угла Помощь по технической механике онлайн определим дуги Помощь по технической механике онлайн и Помощь по технической механике онлайн, откуда следует

Помощь по технической механике онлайн

если учесть, что Помощь по технической механике онлайн — длина волокна Помощь по технической механике онлайн до деформации (см. рис. 114), то станет ясно, что Помощь по технической механике онлайн является деформацией волокна Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Полученная зависимость показывает что деформация волокна прямо пропорциональна её расстоянию у от нейтрального слоя. Максимальные деформации балка испытывает в точках поперечного сечения максимально удаленных от нейтрального слоя. Для определения напряжений воспользуемся законом Гука

Помощь по технической механике онлайн

откуда следует после подстановки соотношение

Помощь по технической механике онлайн

Нормальное напряжение в поперечном сечении при изгибе балки прямо пропорционально расстоянию от нейтральной оси балки. Пользуясь этой зависимостью, можно построить эпюру распределения нормальных напряжений по сечению балки (рис. 116). В нейтральном слое не возникает ни нормальных напряжений, ни деформаций. Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением балки называется нейтральной осью.

Определим положение нейтральной оси. Для этого вспомним, что в поперечном сечении сумма всех сил на ось Помощь по технической механике онлайн равна нулю, так как при изгибе балки продольных сил нет.

Помощь по технической механике онлайн

Продольная элементарная сила, действующая на элементарную площадку Помощь по технической механике онлайн,

Помощь по технической механике онлайн

Просуммировав по всей площади, получим

Помощь по технической механике онлайн

С учетом того, что постоянная величина Помощь по технической механике онлайн, следует равенство

Помощь по технической механике онлайн

Ранее при рассмотрении геометрических характеристик сечений было показано, что это равенство не что иное, как равенство нулю статического момента площади сечения относительно оси Помощь по технической механике онлайн, что свидетельствует о том, что нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения 0 (см. рис. 116).

Для количественного определения напряжений необходимо найти радиус кривизны нейтрального слоя деформированной балки Помощь по технической механике онлайн. Запишем очевидное равенство действующего в сечении изгибающего момента Помощь по технической механике онлайн моменту от нормальных сил. Элементарная нормальная сила на расстоянии Помощь по технической механике онлайн от нейтральной оси, действующая на элементарную площадку Помощь по технической механике онлайн,

Помощь по технической механике онлайн

а элементарный момент относительно нейтральной оси

Помощь по технической механике онлайн

Суммируя элементарные моменты по площади сечения и подставляя выражение

Помощь по технической механике онлайн

найдем

Помощь по технической механике онлайн

Отсюда определим кривизну изогнутой оси бруса

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн момент инерции поперечного сечения относительно оси Помощь по технической механике онлайн. Подставим выражение кривизны в формулу для Помощь по технической механике онлайн и окончательно после элементарных преобразований получим

Помощь по технической механике онлайн

Поскольку нас больше всего интересует максимальное напряжение, то из эпюры изгибающих моментов необходимо найти максимальный изгибающий момент Помощь по технической механике онлайн и для поперечного сечения, соответствующего Помощь по технической механике онлайн, найти максимальные нормальные напряжения по формуле

Помощь по технической механике онлайн

Где Помощь по технической механике онлайн — момент сопротивления изгибу.

Формулы для определения момента сопротивления основных сечений изгибу приведены в табл. Эти формулы встречаются в расчетной практике. Числовые значения моментов сопротивления для стандартных профилей проката указаны в соответствующих ГОСТах на прокат.

Момент сопротивления изгибу измеряется в Помощь по технической механике онлайн. Если материал балки пластичный, например, сталь, то условие прочности определяется по максимальному напряжению

Помощь по технической механике онлайн

В случае хрупкого материала (чугун) требуется проверка прочности по напряжениям, как растяжения, так и сжатия:

Помощь по технической механике онлайн

С учетом условий прочности решаются три основные задачи: 1) задача проверки прочности — по заданным нагрузкам и геометрическим размерам поперечного сечения определяют максимальное напряжение в сечении, называемом опасным

Помощь по технической механике онлайн

и оно сопоставляется с допускаемым Помощь по технической механике онлайн;

2) проектная задача, когда по заданным нагрузкам и допускаемым напряжениям определяют поперечное сечение балки, исходя из момента сопротивления изгибу:

Помощь по технической механике онлайн

3) задача определения допускаемой нагрузки

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — допускаемая нагрузка, определяемая по опасному сечению балки.

Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн
Помощь по технической механике онлайн

Понятие о касательных напряжениях при изгибе. Линейные и угловые перемещения при изгибе, их определение

Иметь представление о касательных напряжениях при изгибе, об упругой линии балки, о деформациях при изгибе и методах определения линейных и угловых перемещений.

Знать один из методов определения линейных и угловых перемещений. Поперечный изгиб. Внутренние силовые факторы.

Напряжения

Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой Помощь по технической механике онлайн (рис. 33.1).

Помощь по технической механике онлайн

В поперечном сечении возникает изгибающий момент, меняющийся по длине балки, и постоянная поперечная сила Помощь по технической механике онлайн.

Рассмотрим участок балки длиной Помощь по технической механике онлайн (рис. 33.16). Изгибающий момент, как известно, является равнодействующим элементарных моментов, возникающих в результате действия продольных сил упругости. Связь между нормальными напряжениями в точках поперечного сечения и изгибающим моментом уже рассматривалась:

Помощь по технической механике онлайн

Поперечная сила представляет собой равнодействующую касательных сил упругости, возникающих в поперечных сечениях (рис. 33.1 в), и связана с касательными напряжениями зависимостью

В силу парности касательных

Помощь по технической механике онлайн

напряжений в продольных сечениях балок, параллельных нейтральному слою, возникают такие же по величине касательные напряжения (рис. 33.1 г).

Появление касательных напряжений в продольных слоях балок подтверждается следующим опытом. Рассмотрим поперечный изгиб двух балок, одна — цельная, другая — составленная из нескольких положенных друг на друга слоев (рис. 33.2). Цельная балка изогнется (рис. 33.2а), брусья второй балки сдвинутся (рис. 33.26). Каждый из брусьев деформируется независимо. В цельной балке сдвигу слоев препятствуют возникающие касательные напряжения.

Помощь по технической механике онлайн

На поверхности касательные напряжения равны нулю. Формула для расчета касательных напряжений для балки квадратного сечения была получена в 1855 году русским инженером Д. И. Журавским,

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — поперечная сила в сечении; Помощь по технической механике онлайн — статический момент отсеченной части относительно оси Помощь по технической механике онлайн — площадь поперечного сечения отсеченной части (рис. 33.3); Помощь по технической механике онлайн — момент инерции сечения; Помощь по технической механике онлайн — ширина балки.

Наибольшее значение касательного напряжения достигается на нейтральной оси: Помощь по технической механике онлайн — площадь сечения.

Помощь по технической механике онлайн

Максимальное

Помощь по технической механике онлайн

Напряжение при поперечном изгибе в полтора раза больше среднего значения

Помощь по технической механике онлайн

Обнаруживается, что максимальные нормальные напряжения в сечении не совпадают с максимальными касательным (рис 33.4)

Помощь по технической механике онлайн

Для длинных балок расчет проводят только по нормальным напряжениям, т. к. касательные здесь незначительны. Для коротких балок, нагруженных значительными поперечными силами вблизи опор, проводят расчет по касательным напряжениям. Однако для тонкостенных профилей (двутавр, швеллер) необходимо проверять £ прочность балки в точках, где полка сочленяется со стенкой. Здесь и нормальные, и касательные напряжения значительны (рис. 33.5). Понятия о линейных и угловых перемещениях при изгибе Под действием поперечных нагрузок продольная ось искривляется (рис. 33.6). Если материал подчиняется закону Гука, после снятия нагрузок брус выпрямляется, поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией. По форме упругой линии балки можно судить о перемещениях при изгибе.

Помощь по технической механике онлайн

При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений получает вертикальное и горизонтальное перемещение, а само сечение поворачивается на некоторый угол Помощь по технической механике онлайн.

Помощь по технической механике онлайн

Деформации должны иметь упругий характер, они достаточно малы. В этом случае горизонтальные перемещения сечений ничтожно малы и не учитываются. Рассматривают вертикальные перемещения центра тяжести сечения, называемые прогибами Помощь по технической механике онлайн. Максимальные прогибы обозначают Помощь по технической механике онлайн. Для обеспечения нормальной работы устанавливаемого на балках оборудования проводят расчет на жесткость. Условие жесткости выражается неравенством где Помощь по технической механике онлайн — максимальный расчетный прогиб балки; Помощь по технической механике онлайн — допускаемый прогиб. Иногда проверяется угол поворота сечения Помощь по технической механике онлайн. Допускаемый прогиб невелик: от 1/200 до 1/1000 пролета балки; допускаемый угол поворота Помощь по технической механике онлайн рад.

Существует несколько методов определения перемещений сечений при изгибе. Один из них основан на дифференцировании уравнения упругой линии, более рациональный способ — использование интегралов Мора. Метод Мора — универсальный способ определения линейных и угловых перемещений в любых системах.

Для облегчения расчетов на жесткость можно использовать формулы прогибов и углов поворота сечений балок для простейших случаев нагружений. Наиболее распространенные случаи нагружения и расчетные формулы приведены в таблице.

При решении используем принцип независимости действия сил. Заданный случай нагружения делится на составляющие, для которых прогибы рассчитываются по известным табличным формулам, результаты расчетов суммируются.

Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников.

В этом случае проверяется дополнительное условие жесткости:

Помощь по технической механике онлайн

Сочетание основных деформаций. Гипотезы прочности

Иметь представление о напряженном состоянии в точке упругого тела, о теории предельных напряженных состояний, об эквивалентном напряженном состоянии, о гипотезах прочности.

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Напряженное состояние в точке

Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Точку принято изображать в виде маленького элемента в форме параллелепипеда (рис. 34.1).

Положения теории напряженного состояния:

  1. Напряженное состояние в данной точке полностью определено, если известны напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам.
  2. Среди множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, эти площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие на них, называются главными напряжениями: Помощь по технической механике онлайн (рис. 34.1).

Одно из этих напряжений — максимально, одно — минимально. Максимальное обозначают Помощь по технической механике онлайн, минимальное — Помощь по технической механике онлайн.

Классификация видов напряженного состояния производится по главным напряжениям:

—если все три главных напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называют объемным (трехосным) (рис. 34.1 а);

—если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским (двухосным) (рис. 34.16);

—если два из главных напряжений Помощь по технической механике онлайн) противоположны по знаку, напряженное состояние называют упрощенным плоским состоянием; — если лишь одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние линейное (рис. 34.1 в).

Помощь по технической механике онлайн

Понятие о сложном деформированном состоянии

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.

Сложное деформированное состояние возникает, если деталь одновременно подвергается нескольким простейшим нагружениям.

Такие состояния возникают в заклепочных соединениях (срез и смятие), в болтовых соединениях (растяжение и скручивание), при поперечном изгибе бруса (изгиб и сдвиг).

Часто одним из нагружений (незначительным) пренебрегают.

Например, длинные балки рассчитывают только на изгиб.

В ряде случаев нормальные и касательные напряжения, возникающие в детали, имеют одинаковый порядок и ими нельзя пренебрегать. Тогда расчет проводят при сложном деформированном состоянии.

Сложность расчета заключается в отсутствии экспериментальных данных о предельных напряжениях, т.к. провести испытания из-за множества вариантов нагружения практически невозможно.

Для упрощения расчетов в этом случае применяют теории прочности. Смысл теорий заключается в замене реального сложного деформированного состояния равноопасным простым.

Опасное состояние может быть вызвано различными факторами: нормальные напряжения могут достигнуть предела текучести или предела прочности, касательные напряжения могут достигнуть опасного значения или накопленная энергия деформирования может стать слишком большой и вызвать разрушение.

Универсального критерия, позволяющего рассчитать предельное состояние для любого материала, нет. Разработано несколько различных гипотез предельных состояний, при расчетах используют наиболее подходящую гипотезу. Расчеты по гипотезам прочности позволяют избегать дорогостоящих испытаний конструкции.

В настоящее время для расчета валов при совместном действии изгиба и кручения используют только третью и пятую теории прочности.

Сравнение разнотипных состояний производится с помощью эквивалентного (простого) напряженного состояния. Обычно сложное напряженное состояние заменяют простым растяжением (рис. 34.2).

Расчетное напряжение, соответствующее выбранному одноосному растяжению, называют эквивалентным напряжением (рис. 34.26).

Помощь по технической механике онлайн

Полученное расчетным путем эквивалентное напряжение для точки сравнивают с предельным (рис. 34.2в).

Напряженное состояние в точке равноопасно эквивалентному напряженному состоянию. Условие прочности получим, сопоставив эквивалентное напряжение с предельным, полученным экспериментально для выбранного материала:, где Помощь по технической механике онлайн — допускаемый запас прочности

Помощь по технической механике онлайн

Как известно, предельным напряжением для пластичных материалов является предел текучести Помощь по технической механике онлайн, а для хрупкого — предел прочности Помощь по технической механике онлайн. Предельное напряженное состояние у пластичных материалов наступает в результате пластических деформаций, а у хрупких — в результате разрушения.

Для пластичных материалов расчет может выполняться по гипотезе максимальных касательных напряжений: два напряженных состояния равноопасны, если максимальные касательные напряжения у них одинаковы (третья теория прочности).

Расчет можно проводить и по теории потенциальной энергии формоизменения: два напряженных состояния равноопасны, если энергия формоизменения у них одинакова (пятая теорема прочности).

Для хрупких и хрупко-пластичных материалов применяют теорию прочности Мора.

Расчет эквивалентного напряжения для точки по теории максимальных касательных напряжений выполняется по формуле

Помощь по технической механике онлайн

а по теории энергии формоизменения по формуле

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — действующее в точке нормальное напряжение; Помощь по технической механике онлайн — действующее в точке касательное напряжение.

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением

В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кручения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возникают на поверхности. Расчет следует вести по теории прочности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным простым.

Помощь по технической механике онлайн

Максимальное напряжение кручения в сечении

Помощь по технической механике онлайн

Максимальное напряжение изгиба в сечении

Помощь по технической механике онлайн

По одной из теорий прочности в зависимости от материала бруса рассчитывают эквивалентное напряжение для опасного сечения и проверяют брус на прочность, используя допускаемое напряжение изгиба для материала бруса. Для круглого бруса моменты сопротивления сечения следующие:

при кручении

Помощь по технической механике онлайн

при изгибе

Помощь по технической механике онлайн

При расчете по третьей теории прочности, теории максимальных касательных напряжений, эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле

Помощь по технической механике онлайн

Теория применима для пластичных материалов. При расчете по теории энергии формоизменения эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле

Помощь по технической механике онлайн

Теория применима для пластичных и хрупких материалов. Эквивалентное напряжение при расчете по теории максимальных касательных напряжений:

Помощь по технической механике онлайн

где

Помощь по технической механике онлайн

эквивалентный момент.

Условие прочности

Помощь по технической механике онлайн

Эквивалентное напряжение при расчете по теории энергии формоизменения:

Помощь по технической механике онлайн

где

Помощь по технической механике онлайн

эквивалентный момент.

Условие прочности

Помощь по технической механике онлайн

Устойчивость сжатых стержней. Основные положения

Иметь представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе и коэффициенте запаса устойчивости, о критическом напряжении, гибкости стержня и предельной гибкости.

Знать условие устойчивости сжатых стержней, формулу Эйлера и эмпирические формулы для расчета критической силы и критического напряжения.

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под действием осевых сжимающих сил изгибаются и теряют равновесие. Такие стержни работают на изгиб и сжатие.

Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму (рис. 36.1). Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым.

Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом.

На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы.

Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой. Даже при небольшом превышении критического значения силы стержень недопустимо деформируется и разрушается.

Помощь по технической механике онлайн

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — действующая сжимающая сила;

Помощь по технической механике онлайн — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;

Помощь по технической механике онлайн — критическая сила;

Помощь по технической механике онлайн — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Обычно для сталей Помощь по технической механике онлайн; для чугуна Помощь по технической механике онлайн; для дерева Помощь по технической механике онлайн.

Способы определения критической силы

Расчет по формуле Эйлера

Задачу определения критической силы математически решил Л. Эйлер в 1744 г.

Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — модуль упругости;

Помощь по технической механике онлайн — минимальный осевой момент инерции стержня;

Помощь по технической механике онлайн — длина стержня.

Помощь по технической механике онлайн

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу входит минимальный из осевых моментов инерции сечения (Помощь по технической механике онлайн или Помощь по технической механике онлайн).

Формулу распространили на другие формы закрепления стержней, рассмотрев форму потери устойчивости в каждом случае.

Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учитывающим форму потери устойчивости в каждом случае: Помощь по технической механике онлайн где Помощь по технической механике онлайн — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рис. 36.3). Формула для расчета критической силы для всех случаев

Помощь по технической механике онлайн

Критические напряжения.

Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответствующее критической силе.

Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть минимальным радиусом инерции Помощь по технической механике онлайн:

Помощь по технической механике онлайн

Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде

Помощь по технической механике онлайн

Отношение Помощь по технической механике онлайн носит название гибкости стержня Помощь по технической механике онлайн. Гибкость стержня — величина безразмерная, чем больше гибкость, тем меньше напряжен

Помощь по технической механике онлайн

Заметим, что гибкость не зависит от материала, а определяется только геометрией стержня.

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.

Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала.

Предел упругости при расчетах можно заменять пределом пропорциональности. Таким образом,

Помощь по технической механике онлайн

где Помощь по технической механике онлайн — предел упругости; Помощь по технической механике онлайн — предел пропорциональности материала;

Помощь по технической механике онлайн

Откуда гибкость стержня:

Помощь по технической механике онлайн

Предельная гибкость:

Помощь по технической механике онлайн

В случае, если Помощь по технической механике онлайн в материале стержня возникают остаточные деформации. Поскольку в реальных конструкциях могут возникать пластические деформации, не приводящие к потере работоспособности, созданы эмпирические формулы для расчетов в этих случаях.