Помощь по прикладной механике

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила формулы чтобы вы освежили знания и примеры оформления заказов по некоторым темам прикладной механике, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет прикладная механика

Напоминаю при решении в начале должны быть указаны исходные данные, т.е. условия задачи, схема и все заданные величины. Расчет следует сопровождать заголовками и краткими пояснениями. В аналитических выкладках вначале записываются формулы, а затем подставляются численные значения символов. В итоговых величинах указывается размерность. В окончательных результатах следует сохранять только оправданное количество значащих цифр.

Для измерения физических и механических величин используется международная система единиц. В качестве основных единиц в СИ приняты: метр (м); секунда (с); килограмм массы (кг); ньютон (Н); паскаль . Также используются кратные единицы: килоньютон и мегапа-скаль .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи прикладной механики

Кручение

К оглавлению…

Стержень подвергается деформации кручения, когда в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты. Их величина определяется методом сечений по участкам, границами которых являются места приложения внешних крутящих моментов, действующих на стержень. Из условия равновесия следует, что величина крутящего момента в поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент в поперечном сечении вала считается положительным, когда внешний крутящий момент действует по часовой стрелке при взгляде на соответствующий торец вала (рис. 1).

Эпюра крутящего момента — это график, показывающий изменение величины внутреннего крутящего момента в поперечных сечениях вала в зависимости от координаты .

Для цилиндрического стержня круглого поперечного сечения диаметром величина касательного напряжения в точке поперечного сечения, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2), определяется по формуле:

где — величина крутящего момента в сечении, — полярный момент инерции сечения. Для круглого сплошного сечения диаметром полярный момент инерции определяется по формуле:

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении вала действуют в точках, наиболее удаленных от центра, т. е. при (см. рис. 2). Их величина определяется по формуле:

где — полярный момент сопротивления. Для круглого сплошного сечения определяется по формуле:

Условие прочности при кручении имеет вид:

где — допускаемое касательное напряжение при кручении.

Угол закручивания на участке вала длиной и диаметром , где крутящий момент постоянен, определяется по формуле:

где — модуль сдвига материала вала.

Если стержень имеет несколько участков, то угол закручивания будет определяться как алгебраическая сумма углов закручивания на участках:

Величина наибольшего относительного угла закручивания (рад/м) на участке вала длиной определяется по формуле:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по прикладной механике

Пример оформления заказа № 1

К стальному валу приложены три известных момента (рис. 3). Требуется:

  1. Установить, при каком значении момента угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю.
  2. Для найденного значения построить эпюру крутящих моментов.
  3. При заданном значении определить диаметр вала и округлить его значение до ближайшего, равного: 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 47, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 60, 62, 63, 65, 67, 70, 71, 72, 80, 85, 90, 95, 100 мм.
  4. Построить эпюру углов закручивания.
  5. Найти наибольший относительный угол закручивания. Данные взять из табл. 1.

Исходные данные

Определение момента

Применим принцип независимости действия сил. Определим угол поворота сечения под действием каждого момента, деформирующего вал на определенном участке, по отдельности. Результирующий угол поворота будет равен алгебраической сумме всех углов поворота от действия каждого момента с учетом знака.

Допустим, что действует только момент на участке вала длиной:

Согласно рис. 1 знак момента будет отрицательным, а угол поворота сечения относительно неподвижной заделки в сечении будет равен:

Допустим, что действует только момент на участке вала длиной:

Тогда угол поворота сечения относительно неподвижной заделки равен:

Рассуждая аналогичным образом об остальных участках, получим следующие выражения:

По условию задачи угол поворота от действия всех крутящих моментов равен нулю, тогда:

откуда выразим искомый момент:

Так как значение момента получилось положительным, то его направление соответствует показанному направлению на расчетной схеме (см. рис. 3); в противном случае направление следует поменять на обратное.

Построение эпюры крутящих моментов

Не вычисляя по уравнениям равновесия значение реактивного момента в заделке и используя метод сечений, запишем выражения для крутящего момента по участкам вала. Будем двигаться при этом справа налево в сторону заделки, начиная со свободного конца и используя правило знаков согласно рис. 1.

Границы первого участка:

Границы второго участка:

Границы третьего участка:

Границы четвертого участка:

Полученные значения откладываем в масштабе на каждом из соответствующих участков вала (рис. 5). После построения эпюры крутящих моментов делаем ее проверку, используя правило проверки правильности построения эпюры крутящих моментов: в тех сечениях вала, где приложены сосредоточенные крутящие моменты, на эпюре будут скачки на их величину в соответствии с направлением хода построения и выбранным правилом знаков.

Определение диаметра вала

Так как сечение вала по длине не меняется, то по условию прочности определим минимальный диаметр вала круглого сплошного сечения:

Полученное значение округлим до ближайшего большего, заданного по условию задачи,

Построение эпюры углов закручивания

Сначала определим величину полярного момента инерции при кручении вала круглого сплошного сечения. Так как сечение вала по длине постоянно, то для каждого участка имеем:

Выражения для углов закручивания на каждом участке вала получены в п. 1.2.2, поэтому определим теперь их численные значения, начиная с левого конца вала.

Заделка неподвижна, поэтому угол закручивания сечения в ней . Угол поворота сечения относительно неподвижной заделки :

Угол поворота сечения относительно неподвижной заделки складывается из суммы углов поворотов сечения относительно и относительно , то есть

где

тогда

Аналогично определим углы закручивания сечений и относительно неподвижной заделки

Полученные значения углов закручивания сечений в соответствии с их знаками откладываем на эпюре в масштабе и соединяем их прямыми линиями (см. рис. 5).

Тот факт, что угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю, может служить проверкой проведенных вычислений.

Определение наибольшего относительного угла закручивании

По эпюре углов закручивания видно (см. рис. 5), что наибольший угол закручивания по абсолютной величине равен на участке длиной , тогда величина наибольшего относительного угла закручивания (рад/м) будет равна

Геометрические характеристики плоских сечений

К оглавлению…

При изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости стержней важную роль играют геометрические характеристики поперечных сечений стержня, такие как:

  • статические моменты площади;
  • моменты инерции сечений;
  • моменты сопротивления.

Площадь является простейшей геометрической характеристикой и имеет размерность . Если представить себе, что поперечное сечение состоит из бесчисленного множества элементарных площадок (рис. 6), то площадь всего сечения будет равна:

Отметим два важных свойства площади: она всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.

Остальные геометрические характеристики зависят не только от формы и размеров сечений, но также и от положения осей и точек, относительно которых они вычисляются.

Рассмотрим, например, два случая изгиба силой консольной балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7). Очевидно, что величина прогиба в первом случае будет больше, чем во втором . Так как площадь поперечного сечения не изменилась, то она не влияет на прогиб. Малый прогиб во втором случае обусловлен тем, что поперечные сечения балки при изгибе поворачиваются вокруг оси , относительно которой момент инерции прямоугольного поперечного сечения значительно больше (так как ), чем относительно оси , так как (при ).

Статические моменты площади сечения относительно осей и (рис. 8) определяются по следующим формулам:

где — площадь сечения, — элементарная площадка, и — координаты элементарной площадки в осях и .

Координаты центра тяжести и сечения площадью (рис. 9) определяются из выражений:

В случае, если сечение состоит из простейших фигур с площадями , и (рис. 10), статические моменты площади сечения могут определяться выражениями:

где и и — координаты центров тяжести простейших фигур.

Координаты центра тяжести и сечения, состоящего из простейших фигур (см. рис. 10), определяются из выражений:

где — площадь всего сечения.

Статические моменты площади сечения относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести поперечного сечения) равны нулю.

Статические моменты площади могут быть положительными и отрицательными в зависимости от выбора осей, относительно которых они определяются. Статические моменты площади имеют размерность .

Осевые моменты инерции сечения относительно осей и определяются по следующим формулам:

где — площадь сечения, — элементарная площадка, и — координаты элементарной площадки в осях и (рис. 11).

Полярный момент инерции сечения относительно данной точки (полюса) определяется по формуле:

где — расстояние от элементарной площадки до полюса (см. рис. 11).

В случае, когда полярный момент инерции вычисляется относительно начала системы координат,

Центробежный момент инерции сечения относительно осей и определяется по формуле:

Моменты инерции имеют размерность .

Величины полярного и осевых моментов инерции всегда больше нуля, центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции равен нулю при его вычислении относительно двух перпендикулярных осей, если хотя бы одна из них является осью симметрии. Эти оси называются главными осями. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения. В случае, когда сечение не имеет осей симметрии, всегда можно найти положение таких двух взаимно перпендикулярных осей, относительно которых центробежный момент инерции будет равен нулю.

Если известны моменты инерции сечения относительно собственных центральных осей и , то моменты инерции относительно параллельных им осей и определяются по формулам:

где — площадь сечения, и — расстояния между рассматриваемыми осями (рис. 12).

Моменты инерции относительно осей и , повернутых относительно центральных осей и на угол (рис. 13), определяются по формулам:

Главные центральные оси инерции поперечного сечения, т.е. две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, занимают положение, определяемое выражением

Положительное значение угла откладывается от оси против часовой стрелки (см. рис. 13), а отрицательное — наоборот, по ходу стрелки часов.

Главные моменты инерции сечения, вычисленные относительно главных центральных осей сечения, имеют следующие экстремальные значения:

Если < 0, то главная ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через первый и третий квадранты (I и III), если > 0, то главная ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через второй и четвертый квадранты (II и IV).

Для проверки правильности вычислений и можно использовать равенство:

Если известны значения моментов инерции относительно собственных центральных осей составных фигур, то моменты инерции для сложной фигуры относительно параллельных им осей и определяются по формулам:

Осевыми моментами сопротивления сечения относительно осей и называются величины и , определяемые соотношениями:

где и — соответственно наибольшие расстояния от осей и до наиболее удаленных точек сечения.

Полярным моментом сопротивления называется величина, определяемая выражением

где -расстояние от полюса до наиболее удаленной точки сечения. Моменты сопротивления имеют размерность .

Радиусами инерции поперечного сечения относительно осей и называются величины, определяемые, соответственно, по выражениям:

Геометрические характеристики стандартных металлических профилей, таких как двутавры, швеллеры и уголки (рис. 14), приводятся в таблицах сортамента прокатной стали (табл. 3-5). Зная величину , например, из расчета на прочность при изгибе, можно по сортаменту подобрать профиль искомой балки.

Примеры решения задач прикладной механике

Пример оформления заказа № 2

Для заданного сечения (рис. 19) требуется:

  1. Определить положение центра тяжести.
  2. Найти центробежный и осевые моменты инерции относительно центральных осей.
  3. Определить направление главных центральных осей.
  4. Найти моменты инерции относительно главных центральных осей.
  5. Вычертить сечение в масштабе с указанием всех величин и осей. Данные взять из табл. 2.

2.2.1 Исходные данные

  • Параметры швеллера
  • Параметры уголка

Центробежный момент инерции равнобокого уголка относительно его центральных осей и найдем по формуле:

где угол , так как для совмещения оси с осью надо повернуть ось по часовой стрелке (рис. 19), тогда

Определение положения центра тяжести сечения

Координаты центра тяжести всего сечения найдем по формулам:

где — координаты центров тяжести составных частей сечения (рис. 20), — площадь всего сечения,

Координаты центра тяжести всего сечения и наиболее удобно определять, взяв в качестве исходных осей координат центральные оси составных фигур сечения таким образом, чтобы большая часть всего сечения попадала в первый положительный квадрант. В данном случае такими осями являются оси и , так как точка их пересечения находится ниже и левее по отношению ко всему сечению.

Координаты центров тяжести швеллера и уголка в осях и будут, соответственно, равны:

Координаты центра тяжести всего сечения:

Все найденные величины откладываем на рис. 20 и проводим центральные оси всего сечения и .

Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей

Осевые моменты инерции будем определять по формулам

где расстояния между параллельными осями соответственно равны:

Тогда осевые моменты инерции относительно центральных осей и :

Центробежный момент инерции

Определение направления главных центральных осей

Определим положение главных осей по формуле:

где значения величин, входящих в эту формулу, уже были определены ранее.

Так как < 0, то главная ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через первый и третий квадранты (ось ).

Отложим этот угол против часовой стрелке от оси и проведем главную центральную ось , ось будет ей перпендикулярна (см. рис. 20).

Определение экстремальных моментов относительно главных центральных осей

Момент инерции относительно главной центральной оси

Момент инерции относительно главной центральной оси

Выполним проверку:

Изгиб

К оглавлению…

Деформация, при которой меняется кривизна геометрической оси, называется изгибом. Стержень при изгибе называется балкой.

При изгибе стержня за счет действия на него внешней поперечной нагрузки (сосредоточенных сил, моментов, распределенных нагрузок) в поперечных сечениях стержня возникают следующие внутренние силовые факторы: поперечные силы и , изгибающие моменты и .

Если плоскость, в которой лежат действующие нагрузки, совпадает с одной из главных плоскостей инерции, то такой изгиб называется прямым, а если не совпадает, то косым. Если величина поперечной силы в сечении не равна нулю, то такой изгиб называется поперечным. Если величина поперечной силы в сечении равна нулю и изгибающий момент постоянен, то такой изгиб называется чистым.

Далее будет рассмотрена теория прямого поперечного изгиба.

Величина поперечной силы в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось всех внешних сил, действующих по одну сторону (справа или слева) от рассматриваемого сечения. Поперечная сила считается положительной, если она направлена слева вверх и справа вниз. При противоположных направлениях поперечная сила считается отрицательной (рис. 21а).

Величина изгибающего момента в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме моментов внешних нагрузок, действующих по одну сторону (справа или слева) от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент считается положительным, если он направлен слева от сечения по часовой стрелке, а справа — против часовой стрелки. При противоположных направлениях считается отрицательным (рис. 216).

Эпюрой поперечных сил и изгибающих моментов называется график, показывающий изменение соответствующих величин в зависимости от координаты .

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе:

где — максимальное нормальное напряжение в поперечном сечении балки, — наибольшее по модулю значение изгибающего момента, взятое с его эпюры, — момент сопротивления поперечного сечения, — допускаемое нормальное напряжение при изгибе.

При изгибе балки существуют дифференциальные зависимости:

Из них следуют правила проверки построенных эпюр и :

  1. В тех сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы, включая опорные реакции, на эпюре будут скачки на их величину, а на эпюре -излом эпюры.
  2. В тех сечениях балки, где приложены сосредоточенные моменты, включая опорные в заделках, на эпюре будут скачки на их величину, а на эпюре особенностей не будет.
  3. На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка , на эпюре будет наклонная линия, а на эпюре — парабола, выпуклостью направленная навстречу нагрузке .
  4. Если эпюра проходит через ноль и меняет знак, то в этом сечении эпюра будет иметь экстремум.
  5. На участке, где отсутствует равномерно распределенная нагрузка , эпюра будет представлена горизонтальной линией, а эпюра — наклонной к оси прямой.
  6. На участке, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает, а если сила отрицательна, то момент убывает.
Заказать работу по прикладной механике

Пример оформления заказа № 3

Для заданных двух схем балок (рис. 23) требуется написать выражения и для каждого участка в общем виде, построить эпюры и , найти и подобрать:

  1. Для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения при = 8 МПа.
  2. Для схемы (б) стальную балку двутаврового поперечного сечения при = 160 МПа. Данные взять из табл. 6.

Исходные данные для деревянной балки

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Не вычисляя из уравнений равновесия значения реакций в заделке, используя метод сечений, запишем выражения для поперечной силы и изгибающего момента по участкам балки. Будем двигаться при этом справа налево в сторону заделки, начиная со свободного конца и используя правило знаков согласно рис. 21.

Границы первого участка:

Так как эпюра на первом участке не меняет свой знак, то на эпюре не будет экстремального значения. Поэтому для построения параболы на эпюре возьмем точку посередине первого участка и определим значение изгибающего момента в ней:

Границы второго участка:

Границы третьего участка:

Полученные значения откладываем в масштабе на каждом из соответствующих участков балки (см. рис. 24) и делаем проверку эпюр.

Подбор поперечного сечения деревянной балки

Для подбора деревянной балки круглого поперечного сечения используем условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе:

где — максимальное нормальное напряжение в поперечном сечении балки; — наибольшее по модулю значение изгибающего момента; — допускаемое нормальное напряжение при изгибе, = 8 МПа; — момент сопротивления площади поперечного сечения балки. Для круга диаметром момент сопротивления

Найдем минимальный диаметр балки круглого поперечного сечения:

Полученное значение округлим до ближайшего большего, получим

Исходные данные для стальной балки

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Перед построением эпюр в случае шарнирных балок следует определить реакции в опорных закреплениях, используя уравнения равновесия статики. Для этого отбросим опоры и и заменим их действие реакциями и , направив их предварительно вертикально вверх. Так как горизонтальных сил к балке не приложено, то . Распределенную нагрузку интенсивностью на участках и приведем к соответствующим равнодействующим в виде сосредоточенных сил и , направленных вертикально вниз из середины каждого участка и (рис. 26).

Для нахождения реакции составим сумму моментов всех действующих сил относительно точки :

Так как значение реакции при выбранном направлении оказалось отрицательным, то действие реакции следует изменить на расчетной схеме на противоположное, т.е. вниз, и считать ее положительной величиной (рис. 27).

При составлении суммы моментов всех действующих сил относительно точки (для нахождения реакции ) распределенную нагрузку удобнее привести к одной сосредоточенной силе , направленной вертикально вниз и действующей по середине участка , тогда

Так как значение реакции при выбранном направлении оказалось положительным, то действие реакции направлено вверх (см. рис. 27). Сделаем проверку найденных реакций:

Проверка сошлась, теперь на расчетной схеме все известно и можно приступать к построению эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

Заданная балка состоит из четырех участков. Рассечем ее последовательно на каждом из них и запишем выражения для поперечной силы и изгибающего момента, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, используя правило знаков согласно рис. 21.

Границы первого участка:

Границы второго участка:

Границы третьего участка:

Так как эпюра на третьем участке не меняет свой знак, то на эпюре не будет экстремального значения. Поэтому для построения параболы на эпюре возьмем третью точку посередине рассматриваемого участка и определим значение изгибающего момента в ней:

Границы четвертого участка:

Так как на данном участке эпюра меняет знак, то, приравняв выражение к нулю, найдем координату, при которой на эпюре будет экстремум

откуда

Экстремальное значение изгибающего момента:

В качестве дальнейшего обсуждения рассматриваемого вопроса можно показать, что значения эпюр не изменятся, если делать сечения, идя при этом с другой стороны. Так, например, сделаем сечение на участке и рассмотрим оставшуюся часть балки с правой стороны.

Границы пятого участка:

Определим экстремальное значение изгибающего момента на этом участке:

Полученные значения откладываем в масштабе на каждом из соответствующих участков балки (см. рис. 28). После построения эпюры делаем ее проверку, используя правила проверки правильности построения эпюр для поперечной силы и изгибающего момента.

Подбор поперечного сечения стальной балки

Для подбора стальной балки двутаврового поперечного сечения используем условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе:

где — максимальное нормальное напряжение в поперечном сечении балки;

— наибольшее по модулю значение изгибающего момента,

— допускаемое нормальное напряжение при изгибе,

— момент сопротивления площади поперечного сечения балки.

Выразим момент сопротивления из условия прочности:

По табл. 3 принимаем двутавр № 18, у которого момент сопротивления

Эти страницы вам могут пригодиться:

  1. Курсовая работа по прикладной механике
  2. Контрольная работа по прикладной механике