Помощь по математике

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по математике, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Кроме примеров, я разместила и полный курс теории в виде лекций, если вдруг вы захотите попробовать сами решить.

Элементы линейной алгебры

К оглавлению…

  1. Матрица в математике
  2. Операции над матрицами в математике
  3. Определитель матрицы в математике
  4. Обратная матрица в математике
  5. Системы линейных уравнений n*n в математике
  6. Ранг матрицы в математике
  7. Системы линейных уравнений m*n в математике

Пример оформления заказа1.4.

Задана система линейных алгебраических уравнений:

Требуется, используя метод Гаусса, найти общее и соответствующее ему базисное решение заданной системы уравнений.

► Совместность системы. Выпишем расширенную матрицу системы , найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы коэффициентов заданной системы уравнений:

Для этого с помощью серии элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме.

Вначале исключим переменную из всех уравнений, кроме первого. Для этого умножим первую строку матрицы на коэффициент —2/1 = —2 и почленно сложим полученную строку со второй строкой расширенной матрицы. Затем умножим первую строку матрицы на—1/1 = — 1 и почленно сложим полученную строку с третьей строкой расширенной матрицы:

Заметим, что в полученной матрице вторая и третья строки содержат только отрицательные ненулевые элементы. Для большего удобства запишем эти строки в эквивалентную матрицу с обратными знаками. Затем исключим переменную у из третьего уравнения. Для этого умножим вторую строку матрицы на коэффициент — 1/1 = —1 и почленно сложим полученную строку с третьей строкой расширенной матрицы:

В результате получим эквивалентную запись расширенной матрицы и матрицы коэффициентов системы в трапециевидной форме:

Как видно, ранг матрицы коэффициентов системы равен 3 и добавлением столбца не может быть увеличен. Из этого следует, что исходная система уравнений совместна.

Решение системы. Найдем общее решение полученной системы, воспользовавшись ее трапециевидной структурой

Так как число неизвестных системы больше числа уравнений , то переменные необходимо разделить на свободные и базисные. Число базисных переменных будет равно рангу матрицы коэффициентов системы . Выберем в качестве базисных три произвольные переменные такие, что определитель, составленный из их коэффициентов, будет отличен от нуля. Пусть это будут переменные :

Тогда переменная остается свободной. Выразим через базисные переменные , перенося в правую часть равенства, начиная с последнего.

Из третьего уравнения найдем выражение для :

Из второго уравнения найдем выражение для :

Наконец, из первого уравнения найдем выражение для :

Общее решение заданной системы уравнений найдено:

Соответствующее ему базисное решение найдем приравняв к нулю свободную переменную, т.е. при = 0:

Матрицы и квадратичные формы

К оглавлению…

  1. Собственные значения и собственные векторы матрицы в математике
  2. Квадратичные формы в матричной записи в математике

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

К оглавлению…

  1. Декартовы координаты в математике
  2. Векторы и операции над ними в математике
  3. Линейная зависимость и координаты векторов в математике
  4. Линейные операции над векторами в координатной форме в математике
  5. Уравнение прямой на плоскости в математике
  6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве в математике
  7. Уравнения линий второго порядка на плоскости в математике
  8. Эллипс в математике
  9. Гипербола в математике
  10. Парабола в математике

Пример оформления заказа2.4.

Дано уравнение окружности

Требуется найти координаты центра и радиус окружности.

► Выделяя полные квадраты для членов, содержащих , и членов, содержащих , приведем это уравнение к виду

Таким образом, центр данной окружности находится в точке (1; —2), а радиус окружности .

Пример оформления заказа2.5.

Дано уравнение гиперболы

Требуется найти параметры гиперболы.

► Приведем данное уравнение к каноническому виду

Для этого разделим заданное уравнение на 36:

Отсюда следует, что действительная полуось гиперболы , а мнимая полуось . По формуле т.е. координаты фокусов . Эксцентриситет гиперболы равен

Введение в анализ функций одной переменной

К оглавлению…

  1. Предел последовательности в математике
  2. Функция одной переменной в математике
  3. Предел функции в математике
  4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции в математике
  5. Раскрытие неопределённостей в математике
  6. Непрерывность функции в математике
  7. Асимптоты графика функции в математике

Пример оформления заказа3.7.

Найти асимптоты графика функции

► Так как функция непрерывна на всей оси, кроме точки то вертикальная асимптота может существовать лишь в этой точке:

и, следовательно, прямая вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты. Так как

то прямая

является наклонной асимптотой.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

К оглавлению…

  1. Определение производной функции в математике
  2. Производные основных элементарных функций в математике
  3. Дифференциал функции в математике
  4. Производные и дифференциалы высших порядков в математике
  5. Теоремы о дифференцируемых функциях в математике
  6. Правило Лопиталя в математике

Пример оформления заказа4.1.

Вычислить предел из примера 3.3 (п.3.5) с применением правила Лопиталя.

► В данном пределе при числитель и знаменатель дроби неограниченно убывают, т.е. мы сталкиваемся с неопределенностью вида

Сравнивая два приема раскрытия неопределенностей делаем вывод, что применение правила Лопиталя существенно снижает трудоемкость процесса.

Исследование функций

К оглавлению…

Одним из важнейших приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графиков.

  1. Возрастание и убывание функции в математике
  2. Максимум и минимум функции в математике
  3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в математике
  4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба в математике

Схема исследования функции и построения ее графика

К оглавлению…

  1. Найти область определения функции;
  2. Исследовать функцию на непрерывность и найти асимптоты графика функции;
  3. Найти критические точки первого рода, интервалы возрастания, убывания функции и точки ее экстремума;
  4. Найти критические точки второго рода, интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба;
  5. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и при необходимости составить таблицу дополнительных точек;
  6. Построить график функции в системе координат на основании полученных данных.

Пример оформления заказа4.2.

Требуется, используя методы дифференциального исчисления, провести исследование заданных функций и на основании полученных данных построить их графики:

► 1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента :

следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

  • Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения коэффициентов уравнения асимптоты воспользуемся формулами:

В нашем случае имеем:

Следовательно, график функции не имеет наклонных асимптот.

  • Исследуем функцию на экстремумы и определим интервалы монотонности. С этой целью найдем и приравняем к нулю ее производную:

Решая полученное квадратное уравнение, находим координаты двух критических точек первого рода:

Разбиваем область определения функции этими точками на части и по знаку ее первой производной выявляем интервалы монотонности и наличие экстремумов.

  • Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Решая полученное уравнение, находим координаты критической точки второго рода:

Разбиваем область определения функции полученной точкой на части и по знаку ее второй производной выявляем интервалы выпуклости и наличие точки перегиба.

  • Для построения графика в выбранной системе координат изобразим: точку максимума , минимума , перегиба и точку пересечения графика функции с осью — точку . В качестве дополнительных точек можно использовать точки пересечения графика функции с осью и
  • С учетом результатов проведенных исследований построим график функции и все характерные точки в системе координат (см. рис. 4.5).

► 1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , за исключением точки в которой знаменатель дроби становится равен нулю. Это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки = 4 в которой она претерпевает разрыв:

  • Для классификации точки разрыва вычислим односторонние пределы функции в этой точке:

Таким образом, данная точка является точкой разрыва второго рода, а прямая = 4 — вертикальной асимптотой графика.

Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения коэффициентов уравнения асимптоты воспользуемся формулами:

В нашем случае имеем:

Из этого следует, что прямая является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.

  • Исследуем функцию на экстремумы и определим интервалы монотонности. С этой целью найдем ее критические точки первого рода для чего приравняем к нулю первую производную функции:

Решая полученное квадратное уравнение, находим координаты двух критических точек первого рода:

Разбиваем область определения функции найденными точками на части и на основании знака ее первой производной выявляем интервалы монотонности и наличие экстремумов.

  • Для определения точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графика необходимо отыскать критические точки второго рода для заданной функции. С этой целью найдем вторую производную функции и приравняем ее числитель к нулю:

Отсюда следует, что исследуемая функция не имеет ни одной точки перегиба.

В таком случае, разобьем область определения функции точкой разрыва = 4 на две части, в каждой из которых установим знак второй производной.

  • Для построения графика в выбранной системе координат изобразим: точку максимума , минимума . точку пересечения вертикальной асимптоты с наклонной — точку и точку пересечения графика функции с осью — точку .
  • С учетом результатов проведенных исследований построим график функции, его асимптоты и все характерные точки в системе координат (см. рис. 4.6).

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

К оглавлению…

  1. Функция многих переменных в математике
  2. Непрерывность и частные производные в математике
  3. Полное приращение и дифференциал в математике
  4. Достаточное условие дифференцируемости в математике
  5. Производная по направлению и градиент в математике
  6. Экстремум функции двух переменных в математике
  7. Необходимое условие экстремума двух переменных в математике
  8. Достаточное условие экстремума в математике
  9. Наибольшее и наименьшее значения функции в математике

Пример оформления заказа5.6.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой ограниченной области , заданной системой неравенств:

Все полученные линии и характерные точки изобразить в системе координат .

► 1. Для решения поставленной задачи изобразим заданную область в системе координат .

Первому неравенству соответствует полуплоскость, лежащая справа от оси . Второе неравенство отсекает от этой полуплоскости часть, лежащую ниже параболы , а третье неравенство отсекает часть, лежащую выше горизонтальной линии . В результате получим область G, изображенную на рис. 5.5.

Точки, соответствующие пересечению линий, которые ограничивают область , обозначим буквами

  • Для исследования функции на экстремум вначале найдем ее частные производные первого порядка и и, используя необходимое условие экстремума, найдем координаты критических точек:

Решив систему уравнений:

найдем две точки и , удовлетворяющие необходимому условию экстремума.

Первая из них принадлежит границе области (см. рис. 5.5). Следовательно, единственной внутренней точкой, в которой функция 2 может иметь экстремум, является точка .

Отыскав частные производные второго порядка

найдем значение выражения в точке :

Так как и , то функция в точке имеет минимум:

  • Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения могут находиться как внутри области, так и на ее границе.

Если функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке области, то она имеет в этой точке экстремум. Единственной точкой экстремума, лежащей внутри исследуемой области является точка .

Исследуем функцию на границе, которая состоит из отрезков и дуги параболы .

Линия . На отрезке выполняется равенство , поэтому на этом отрезке функция . При это возрастающая функция одной переменной . Наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка .

Линия . На отрезке выполняется равенство , следовательно, на этом отрезке функция

представляет собой функцию одной переменной . Наибольшее и наименьшее значения этой функции находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка .

Исследуем полученную функцию на экстремум. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

Решив уравнение , находим координаты критических точек . Заданном}’ условию удовлетворяет лишь одно значение . На отрезке ему соответствует точка .

Итак, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся среди ее значений в точках и (см. рис. 5.5).

Линия . На линии выполняется равенство

в результате исследуемая функция имеет вид

Исследуем полученную функцию на экстремум. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

Решив уравнение = 0, находим координаты критических точек

Координаты обеих найденных точек удовлетворяют заданному неравенству . На дуге этим значениям соответствуют точки

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на дуге находятся среди ее значений в точках и .

На основании выше изложенного можно сделать вывод о том, что наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой ограниченной области , заданной системой неравенств

находятся среди ее значений в точках и .

Координаты указанных точек и значения функции в них приведены в таблице:

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области соответственно равны = 12 (точка А) и = — 1

(точка ). Все полученные линии и характерные точки в системе координат показаны на рис. 5.5.

Интегральное исчисление функций одной переменной

К оглавлению…

  1. Первообразная и интеграл в математике
  2. Основные методы интегрирования в математике
  3. Интегрирование некоторых классов функций в математике
  4. Интегрирование рациональных дробей в математике
  5. Интегрирование иррациональных функций в математике

Пример оформления заказа6.1.

Требуется найти неопределенные интегралы от указанных тригонометрических функций:

► Для вычисления этого интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой :

Используя замену переменной проинтегрируем полученную функцию, а затем, возвращаясь к первоначальным переменным окончательно запишем:

Заметим, что подынтегральная функция

является нечетной:

Поэтому воспользуемся заменой и, учитывая, что , получим:

► Так как подынтегральная функция имеет вид и показатель степени — нечетный, то для ее интегрирования выполним подстановку . С учетом того, что получим:

Так как подынтегральная функция имеет вид , то для ее интегрирования воспользуемся заменой :

Полученная подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, следовательно, произведя деление многочленов, получим легко интегрируемую сумму многочлена и правильной рациональной дроби:

► Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой, преобразующей произведение двух тригонометрических функций в их сумму, которая интегрируется с помощью простейшей замены переменных:

Завершая обзор методов интегрирования, заметим, что хотя для всякой непрерывной функции существует первообразная, но не для всякой элементарной функции эта первообразная сама является элементарной функцией. Например, первообразная для функции не может быть выражена в элементарных функциях. Неопределенные интегралы от подобных функций принято называть «неберущимися».

Понятие определенного интеграла

К оглавлению…

Пример оформления заказа6.4.

Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

► В соответствии с формулой интегрирования по частям принимаем:

Дифференцируя функцию и интегрируя дифференциал функции получим:

При нахождении последнего интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть

тогда

и искомый интеграл может быть приведен к табличному виду:

Таким образом,

Понятие о несобственных интегралах

К оглавлению…

  1. Понятие о несобственных интегралах в математике
  2. Вычисление площади плоской фигуры в математике

Обыкновенные дифференциальные уравнения

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения в математике
  2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными в математике
  3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в математике
  4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в математике
  5. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике
  6. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике

Пример оформления заказа7.2.

В демографии известно, что число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно, значения которых специфичны для каждого региона. Описать протекание демографического процесса (т. е. установить закон изменения численности населения с течением времени).

► Обозначим число жителей в момент через . Прирост населения за время равен разности между числом родившихся и числом умерших за это время, т. е.

Поделим обе части равенства на :

Переходя к пределу при приходим к уравнению:

решая которое (см. пример 7.1), получаем математическую модель демографического процесса

где — постоянная, определяемая начальными условиями. В данном случае численностью населения в начальный момент времени.

Пример оформления заказа7.7.

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

► Составим характеристическое уравнение:

Дискриминант уравнения больше нуля: 0. В таком случае: 1.

Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего исходному, имеет вид

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения: . Имеем II случай. Число

следовательно = 0. Запишем частное решение в виде

Для определения неизвестных коэффициентов дважды продифференцируем полученную форму частного решения:

Подставим выражения для в исходное дифференциальное уравнение. После группировки по одноименным тригонометрическим функциям аргумента получим следующее уравнение:

Приравняв коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях, перейдем к эквивалентной системе уравнений:

Находим значения неизвестных коэффициентов, решая последнюю систему:

Подстановляя значения коэффициентов, получим

Тогда, искомое общее решение можно записать в виде

3 случай. Пусть правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является суммой нескольких функций.

Тогда частное решение такого уравнения будет равно сумме частных решений:

где каждое из частных решений соответствует дифференциальному уравнению:

при

Числовые ряды. Степенные ряды

К оглавлению…

Функциональные и степенные ряды

К оглавлению…

Ряды Тейлора и Маклорена

К оглавлению…

Приложения степенных рядов

К оглавлению…

  1. Вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов
  2. Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов

Возможно эти страницы вам будут полезны: