Помощь с линейной алгеброй — решение заданий и задач онлайн

Оглавление:

Помощь с линейной алгеброй
Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Как получить помощь в выполнении заданий по линейной алгеброй

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько стоит помощь

Стоимость помощи зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения

Минимальный срок выполнения составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки.

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по некоторым темам линейной алгебры, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

При изучении темы линейная алгебра вы познакомитесь на примерах с понятиями линейного (векторного) пространства, линейного оператора, его матрицы, образа, ядра, ранга, дефекта, собственных векторов и собственных значений. Вы научитесь выполнять различные операции с операторами и матрицами, исследовать и решать системы линейных уравнений, получать всю информацию об операторе (матрицу, образ, ядро, ранг и дефект, собственные векторы и собственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы и матрицы при изменениях базисов.

С помощью моего теоретического материала вы можете выполнить все действия с матрицами, привести матрицу к редуцированному (гауссову) виду, вычислить определители, обратную матрицу, решить системы уравнений, проверить линейность оператора, решить характеристическое уравнение, найти собственные векторы и собственные значения оператора, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

Правило Крамера

Пример оформления задания №1

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Помощь по линейной алгеброй

по правилу Крамера.

План решения. Если определитель матрицы системы

Помощь по линейной алгеброй

отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно. Это решение определяется формулами

Помощь по линейной алгеброй
(1)

где Помощь по линейной алгеброй — определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой Помощь по линейной алгеброй столбца столбцом свободных членов.

  1. Вычисляем определитель матрицы системы Помощь по линейной алгеброй и убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно система уравнений имеет единственное решение.
  2. Вычисляем определители
Помощь по линейной алгеброй

3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

Помощь по линейной алгеброй

Пример оформления задания №2

Решить систему уравнений

Помощь по линейной алгеброй

по правилу Крамера.

Решение.

  1. Вычисляем определитель матрицы системы, разлагая его по первой строке:
Помощь по линейной алгеброй

Так как он не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение.

2. Вычисляем определители

Помощь по линейной алгеброй

3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений
Помощь по линейной алгеброй
Ответ. Помощь по линейной алгеброй

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Обратная матрица

Пример оформления задания №3

Задана квадратная матрица третьего порядка

Помощь по линейной алгеброй

Установить существование и найти обратную матрицу Помощь по линейной алгеброй.

План решения. Матрица Помощь по линейной алгеброй называется обратной квадратной матрице Помощь по линейной алгеброй, если
Помощь по линейной алгеброй
где Помощь по линейной алгеброй — единичная матрица.
Если Помощь по линейной алгеброй (матрица Помощь по линейной алгеброй — невырожденная), то матрица Помощь по линейной алгеброй имеет обратную, если Помощь по линейной алгеброй, то матрица Помощь по линейной алгеброй не имеет обратной.

  1. Вычисляем определитель матрицы Помощь по линейной алгеброй. Если Помощь по линейной алгеброй, то матрица Помощь по линейной алгеброй имеет обратную.
  2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений
Помощь по линейной алгеброй

3. Транспонируем матрицу Помощь по линейной алгеброй

Помощь по линейной алгеброй

4. Разделив матрицу Помощь по линейной алгеброй на определитель, получаем искомую обратную матрицу

Помощь по линейной алгеброй

5. Проверяем, что Помощь по линейной алгеброй и записываем ответ.

Пример оформления задания №4

Задана квадратная матрица третьего порядка

Помощь по линейной алгеброй

Установить существование и найти обратную матрицу Помощь по линейной алгеброй

Решение.

  1. Вычисляем определитель матрицы Помощь по линейной алгеброй
Помощь по линейной алгеброй

Так как Помощь по линейной алгеброй то матрица Помощь по линейной алгеброй имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений

Помощь по линейной алгеброй

3. Транспонируем матрицу Помощь по линейной алгеброй

Помощь по линейной алгеброй

4. Разделив матрицу Помощь по линейной алгеброй на определитель, получаем искомую обратную матрицу

Помощь по линейной алгеброй

5. Проверяем

Помощь по линейной алгеброй

Ответ. Матрица, обратная матрице Помощь по линейной алгеброй, есть

Помощь по линейной алгеброй

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по линейной алгебре

Понятие линейного пространства

Пример оформления задания №5

Образует ли линейное пространство заданное множество Помощь по линейной алгеброй, в котором определены ’’сумма” Помощь по линейной алгеброй любых двух элементов Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй и ’’произведение” Помощь по линейной алгеброй любого элемента Помощь по линейной алгеброй на любое число Помощь по линейной алгеброй?

План решения. Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

  1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в Помощь по линейной алгеброй, т.е. верно ли, что Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй
Помощь по линейной алгеброй

Если нет, то множество Помощь по линейной алгеброй не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

  1. Находим нулевой элемент Помощь по линейной алгеброй такой, что Помощь по линейной алгеброй
Помощь по линейной алгеброй

Если такого элемента не существует, то множество Помощь по линейной алгеброй не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента Помощь по линейной алгеброй определяем противоположный элемент Помощь по линейной алгеброй такой, что

Помощь по линейной алгеброй

Если такого элемента не существует, то множество Помощь по линейной алгеброй не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй

Помощь по линейной алгеброй

Если хотя бы одна из аксиом нарушается, то множество Помощь по линейной алгеброй не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество Помощь по линейной алгеброй — линейное пространство.

Пример оформления задания №6

Образует ли линейное пространство множество положительных чисел Помощь по линейной алгеброй, в котором операции “сложения” и “умножения на число” определены следующим образом: Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй

Помощь по линейной алгеброй

Решение.

  1. Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, так как если Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй то
Помощь по линейной алгеброй

т.е. Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй

2. В качестве нулевого элемента нужно взять единицу Помощь по линейной алгеброй, так как

Помощь по линейной алгеброй

иными словами,

Помощь по линейной алгеброй

3. В качестве элемента Помощь по линейной алгеброй противоположного элементу Помощь по линейной алгеброй, нужно взять Помощь по линейной алгеброй так как

Помощь по линейной алгеброй

иными словами,

Помощь по линейной алгеброй

Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй

Помощь по линейной алгеброй

Все аксиомы выполнены.
Ответ. Помощь по линейной алгеброй — линейное пространство.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Системы линейных уравнений

Пример оформления задания №7

Найти размерность Помощь по линейной алгеброй пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений

Помощь по линейной алгеброй

План решения.

  1. Записываем матрицу системы:
Помощь по линейной алгеброй

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Помощь по линейной алгеброй так, чтобы в максимальном числе столбцов оказалось по одной единице (в разных строках у разных столбцов), а остальные элементы столбцов были нулями. Очевидно, что такие столбцы линейно независимы. Они называются базисными.

Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозначать Помощь по линейной алгеброй Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна исходной Помощь по линейной алгеброй и система уравнений с матрицей Помощь по линейной алгеброй эквивалентна исходной системе уравнений.

  1. Так как Помощь по линейной алгеброй то вычисляем ранг Помощь по линейной алгеброй как количество базисных столбцов матрицы Помощь по линейной алгеброй:
Помощь по линейной алгеброй

Следовательно, размерность пространства решений есть Помощь по линейной алгеброй Если Помощь по линейной алгеброй то однородная система имеет единственное (нулевое) решение, если Помощь по линейной алгеброй то фундаментальная система состоит из Помощь по линейной алгеброй линейно независимых решений.

3. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, называются базисными, остальные — свободными (или параметрическими).
Запишем систему уравнений с матрицей Помощь по линейной алгеброй и перенесем Помощь по линейной алгеброй свободных неизвестных в правые части уравнений системы. Придавая свободным неизвестным Помощь по линейной алгеброй наборов значений (по одной единице, остальные — нули), для каждого такого набора решаем систему уравнений и находим соответствующие значения базисных неизвестных. Убедимся, что полученные решения Помощь по линейной алгеброй линейно независимы, составив матрицу из столбцов Помощь по линейной алгеброй и вычислив ее ранг.
Записываем фундаментальную систему решений Помощь по линейной алгеброй и общее решение однородной системы линейных уравнений

Помощь по линейной алгеброй

где Помощь по линейной алгеброй — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и Помощь по линейной алгеброй — произвольные постоянные.

Пример оформления задания №8

Найти размерность Помощь по линейной алгеброй пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений

Помощь по линейной алгеброй

Решение.

  1. Записываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:
Помощь по линейной алгеброй

Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы Помощь по линейной алгеброй (и исходной матрицы Помощь по линейной алгеброй) линейно независимы, а остальные столбцы являются их линейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы — базисные.

2. Так как количество линейно независимых столбцов матрицы Помощь по линейной алгеброй равно двум, то

Помощь по линейной алгеброй

Следовательно, размерность пространства решений

Помощь по линейной алгеброй

и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.

3. Неизвестные Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй, соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные Помощь по линейной алгеброй — свободными.
Запишем систему уравнений с матрицей Помощь по линейной алгеброй (эта система эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы:

Помощь по линейной алгеброй

Для первого набора свободных неизвестных Помощь по линейной алгеброй получаем Помощь по линейной алгеброй первое решение имеет вид системы

Помощь по линейной алгеброй

Для второго набора свободных неизвестных Помощь по линейной алгеброй получаем Помощь по линейной алгеброй т.е. второе решение имеет вид системы

Помощь по линейной алгеброй

Для третьего набора свободных неизвестных Помощь по линейной алгеброй получаем Помощь по линейной алгеброй т.е. третье решение системы имеет вид

Помощь по линейной алгеброй

Сделаем проверку, подставив эти решения в исходную систему уравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (ранг матрицы, составленной из столбцов Помощь по линейной алгеброй, равен 3).
Следовательно, решения Помощь по линейной алгеброй образуют базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений).
Ответ. Размерность пространства решений есть Помощь по линейной алгеброй Фундаментальная система решений есть

Помощь по линейной алгеброй

и общее решение однородной системы имеет вид

Помощь по линейной алгеброй

где Помощь по линейной алгеброй и Помощь по линейной алгеброй — произвольные постоянные.

Задача 2. Неоднородные системы уравнений

Пример оформления задания №9

Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Помощь по линейной алгеброй

План решения.

  1. Записываем расширенную матрицу системы
Помощь по линейной алгеброй

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Помощь по линейной алгеброй к редуцированному виду.

2. Вычисляем ранги основной матрицы системы Помощь по линейной алгеброй и расширенной матрицы Помощь по линейной алгеброй Если Помощь по линейной алгеброй то система совместна, если Помощь по линейной алгеброй то система несовместна (решений не имеет).

3. Пусть Помощь по линейной алгеброй Тогда общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

Помощь по линейной алгеброй

где Помощь по линейной алгеброй — какое-либо частное решение неоднородной системы, Помощь по линейной алгеброй — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и Помощь по линейной алгеброй — произвольные постоянные.
Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений Помощь по линейной алгеброй, повторим операции, изложенные в задаче 1.

4. Столбец свободных членов Помощь с линейной алгеброй онлайн расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы Помощь с линейной алгеброй онлайн. Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем разложение столбца свободных членов по всем столбцам матрицы Помощь с линейной алгеброй онлайн. Коэффициенты этого разложения образуют частное решение неоднородной системы Помощь с линейной алгеброй онлайн.

5. Записываем общее решение неоднородной системы линейных уравнений:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

где Помощь с линейной алгеброй онлайн — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, Помощь с линейной алгеброй онлайн — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений и Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольные постоянные.

Пример оформления задания №10

Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Решение.

  1. Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн к редуцированному виду:
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Так как Помощь с линейной алгеброй онлайн то система совместна. Так как Помощь с линейной алгеброй онлайн то общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

Помощь с линейной алгеброй онлайн

где Помощь с линейной алгеброй онлайн — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, Помощь с линейной алгеброй онлайн — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольные постоянные.

3. Запишем соответствующую однородную систему уравнений

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Она совпадает с системой, приведенной в примере 1. (Если однородная система уравнений не совпадает с системой, приведенной в примере 1, то для нахождения фундаментальной системы решений повторим операции, использованные при решении примера 1.)
При решении примера 1 была найдена фундаментальная система решений однородной системы уравнений:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

4. Найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы. Столбец свободных членов Помощь с линейной алгеброй онлайн расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы Помощь с линейной алгеброй онлайн, т.е. столбцов Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получим

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Коэффициенты в этом разложении образуют частное решение неоднородной системы

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Сделаем проверку, подставив Помощь с линейной алгеброй онлайн в исходную систему уравнений.
Ответ. Общее решение системы имеет вид

Помощь с линейной алгеброй онлайн

где Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольные постоянные.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Линейные операторы

Пример оформления задания №11

Пусть в некотором базисе линейного пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн задан произвольный вектор Помощь с линейной алгеброй онлайн Является ли линейным оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн такой, что
Помощь с линейной алгеброй онлайн где Помощь с линейной алгеброй онлайн — некоторые функции Помощь с линейной алгеброй онлайн переменных?

План решения. Если Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольные векторы пространства Помощь с линейной алгеброй онлайнПомощь с линейной алгеброй онлайн
Проверяем условия линейности оператора:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Если условия линейности выполнены, т.е.

Помощь с линейной алгеброй онлайн

при Помощь с линейной алгеброй онлайн то оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн линеен, в противном случае оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн нелинеен.

Пример оформления задания №12

Пусть в некотором базисе линейного пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн задан произвольный вектор Помощь с линейной алгеброй онлайн Является ли линейным оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн такой, что
Помощь с линейной алгеброй онлайн

Решение.

Пусть Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольные векторы пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн. Тогда Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн

*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравнений и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.

Проверяем условия линейности оператора:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн линеен.
Ответ. Оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн линеен.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора

Пример оформления задания №13

Задан оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн, осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн Доказать линейность, найти матрицу (в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн), образ, ядро, ранг и дефект оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн.

План решения.

  1. По определению доказываем линейность оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн, используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что Помощь с линейной алгеброй онлайн
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Строим по определению матрицу оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн. Для этого находим образы базисных векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн и записываем их координаты в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн, исходя из их определений.

Пример оформления задания №14

Доказать линейность, найти матрицу (в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн) образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн на плоскость Помощь с линейной алгеброй онлайн.

Решение.

  1. Докажем по определению линейность оператора проецирования. Пусть в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн имеем произвольный вектор Помощь с линейной алгеброй онлайн. Тогда его образ (проекция) есть Помощь с линейной алгеброй онлайн.
    По правилам операций с геометрическими векторами в координатной форме Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн имеем
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн и запишем их координаты в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Таким образом, матрица оператора проецирования Помощь с линейной алгеброй онлайн есть

Помощь с линейной алгеброй онлайн

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн, исходя из определений.
Образ оператора проецирования Помощь с линейной алгеброй онлайн — это множество векторов, лежащих в плоскости Помощь с линейной алгеброй онлайн, следовательно, в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Отсюда Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн — это множество векторов, коллинеарных оси Помощь с линейной алгеброй онлайн, следовательно, в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Отсюда Помощь с линейной алгеброй онлайн
Заметим, что Помощь с линейной алгеброй онлайн
Ответ. Оператор Помощь с линейной алгеброй онлайн линеен. Его матрица в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн есть

Помощь с линейной алгеброй онлайн
Помощь с линейной алгеброй онлайн

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Действия с операторами и их матрицами

Пример оформления задания №15

В некотором базисе трехмерного линейного пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн заданы отображения

Помощь с линейной алгеброй онлайн
Помощь с линейной алгеброй онлайн

где Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольный вектор пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн.
Найти координаты вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн (в том же базисе), где Помощь с линейной алгеброй онлайн — многочлен относительно операторов Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн.

План решения. Так как при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении на число — умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн, где Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн — матрицы операторов Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн. Затем столбец координат вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн находим по формуле Помощь с линейной алгеброй онлайн, где Помощь с линейной алгеброй онлайн — столбец координат вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн.

  1. Построим матрицы операторов Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн:
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц находим матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

3. Находим столбец координат образа вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Записываем ответ в виде Помощь с линейной алгеброй онлайн

Пример оформления задания №16

В некотором базисе трехмерного линейного пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн заданы отображения

Помощь с линейной алгеброй онлайн

где Помощь с линейной алгеброй онлайн — произвольный вектор пространства Помощь с линейной алгеброй онлайн. Найти координаты вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн в том же базисе.

Решение.

  1. Построим матрицы операторов Помощь с линейной алгеброй онлайн и. Помощь с линейной алгеброй онлайн:
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц вычисляем матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн
Помощь с линейной алгеброй онлайн

3. Находим столбец координат образа вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Ответ.

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Преобразование координат вектора

Пример оформления задания №17

Вектор Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн имеет координаты Помощь с линейной алгеброй онлайн Найти координаты вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн где

Помощь с линейной алгеброй онлайн

План решения. Координаты вектора при переходе от базиса Помощь с линейной алгеброй онлайн к базису Помощь с линейной алгеброй онлайн преобразуются по формуле

Помощь с линейной алгеброй онлайн
(1)

где Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн — столбцы координат вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисах Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн — матрица перехода от базиса Помощь с линейной алгеброй онлайн к базису Помощь с линейной алгеброй онлайн

  1. Находим матрицу перехода Помощь с линейной алгеброй онлайн. Так как столбцы матрицы перехода от базиса Помощь с линейной алгеброй онлайн к базису Помощь с линейной алгеброй онлайн — это столбцы координат векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн, то матрица перехода имеет вид
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Находим обратную матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн и проверяем, что Помощь с линейной алгеброй онлайн.

3. По формуле (1) находим столбец координат вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе
Помощь с линейной алгеброй онлайн:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Записываем ответ в виде Помощь с линейной алгеброй онлайн

Пример оформления задания №18

Вектор Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн имеет координаты {1,2,3}.
Найти координаты вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн, где

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Решение.

  1. Находим матрицу перехода
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Находим обратную матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн методом Гаусса:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Таким образом,

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Проверяем, что Помощь с линейной алгеброй онлайн

3. По формуле (1) находим столбец координат вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Ответ. Помощь с линейной алгеброй онлайн

Преобразование матрицы оператора

Пример оформления задания №19

Найти матрицу некоторого оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн, где

Помощь с линейной алгеброй онлайн

если в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн его матрица имеет вид

Помощь с линейной алгеброй онлайн

План решения. При переходе от базиса Помощь с линейной алгеброй онлайн к базису Помощь с линейной алгеброй онлайн матрица оператора преобразуется по формуле

Помощь с линейной алгеброй онлайн
(1)

где Помощь с линейной алгеброй онлайн — матрица перехода от базиса Помощь с линейной алгеброй онлайн к базису Помощь с линейной алгеброй онлайн.

  1. Находим матрицу перехода Помощь с линейной алгеброй онлайн. Так как столбцы матрицы перехода от базиса Помощь с линейной алгеброй онлайн к базису Помощь с линейной алгеброй онлайн — это столбцы координат векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн, то
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Находим обратную матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн и проверяем, что Помощь с линейной алгеброй онлайн

Находим матрицу оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн по формуле (1)

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Пример оформления задания №20

Найти матрицу оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн, где

Помощь с линейной алгеброй онлайн

если в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн его матрица имеет вид

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Решение.

  1. Находим матрицу перехода
Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Находим обратную матрицу Помощь с линейной алгеброй онлайн методом Гаусса:

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Таким образом,

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Убеждаемся, что Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

3. Находим матрицу оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн в базисе Помощь с линейной алгеброй онлайн по формуле (1)

Помощь с линейной алгеброй онлайн
Помощь с линейной алгеброй онлайн
Помощь с линейной алгеброй онлайн

Ответ. Помощь с линейной алгеброй онлайн

Собственные значения и собственные векторы оператора

Пример оформления задания №21

Найти собственные значения и собственные векторы оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн, заданного в некотором базисе матрицей

Помощь с линейной алгеброй онлайн

План решения. Собственные значения оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн являются корнями его характеристического уравнения Помощь с линейной алгеброй онлайн

  1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди них могут быть и кратные).
  2. Для каждого собственного значения Помощь с линейной алгеброй онлайн найдем собственные векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений
Помощь с линейной алгеброй онлайн

и находим фундаментальную систему решений Помощь с линейной алгеброй онлайн, где Помощь с линейной алгеброй онлайн — ранг матрицы системы Помощь с линейной алгеброй онлайн (Заметим, что Помощь с линейной алгеброй онлайн так как Помощь с линейной алгеброй онлайн

3. Столбцы Помощь с линейной алгеброй онлайн являются столбцами координат искомых собственных векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн. Окончательно для Помощь с линейной алгеброй онлайн записываем ответ в виде

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Замечание. Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению Помощь с линейной алгеброй онлайн, можно записать в виде

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Пример оформления задания №22

Найти собственные значения и собственные векторы оператора Помощь с линейной алгеброй онлайн, заданного в некотором базисе матрицей

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Решение.

  1. Составляем характеристическое уравнение:
Помощь с линейной алгеброй онлайн

Поэтому Помощь с линейной алгеброй онлайн

2. Для собственного значения Помощь с линейной алгеброй онлайн найдем собственные векторы. Запишем однородную систему уравнений Помощь с линейной алгеброй онлайн

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Очевидно, ранг матрицы этой системы равен Помощь с линейной алгеброй онлайн — размерность пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система решений имеет вид

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Итак, двукратному собственному значению Помощь с линейной алгеброй онлайн соответствуют два линейно независимых собственных вектора Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн. Множество всех собственных векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн, соответствующих собственному значению Помощь с линейной алгеброй онлайн, имеет вид

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному значению Помощь с линейной алгеброй онлайн Получим Помощь с линейной алгеброй онлайн Поэтому множество всех собственных векторов Помощь с линейной алгеброй онлайн, соответствующих собственному значению Помощь с линейной алгеброй онлайн, имеет вид

Помощь с линейной алгеброй онлайн

Ответ.
Помощь с линейной алгеброй онлайн, где Помощь с линейной алгеброй онлайн и Помощь с линейной алгеброй онлайн;
Помощь с линейной алгеброй онлайн, где Помощь с линейной алгеброй онлайн.