Помощь с линейной алгеброй

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по некоторым темам линейной алгебры, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

При изучении темы линейная алгебра вы познакомитесь на примерах с понятиями линейного (векторного) пространства, линейного оператора, его матрицы, образа, ядра, ранга, дефекта, собственных векторов и собственных значений. Вы научитесь выполнять различные операции с операторами и матрицами, исследовать и решать системы линейных уравнений, получать всю информацию об операторе (матрицу, образ, ядро, ранг и дефект, собственные векторы и собственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы и матрицы при изменениях базисов.

С помощью моего теоретического материала вы можете выполнить все действия с матрицами, привести матрицу к редуцированному (гауссову) виду, вычислить определители, обратную матрицу, решить системы уравнений, проверить линейность оператора, решить характеристическое уравнение, найти собственные векторы и собственные значения оператора, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

Правило Крамера

К оглавлению…

Пример оформления задания №1

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

по правилу Крамера.

План решения. Если определитель матрицы системы

отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно. Это решение определяется формулами

(1)

где — определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца столбцом свободных членов.

  1. Вычисляем определитель матрицы системы и убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно система уравнений имеет единственное решение.
  2. Вычисляем определители

3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

Пример оформления задания №2

Решить систему уравнений

по правилу Крамера.

Решение.

  1. Вычисляем определитель матрицы системы, разлагая его по первой строке:

Так как он не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение.

2. Вычисляем определители

3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

Ответ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Обратная матрица

К оглавлению…

Пример оформления задания №3

Задана квадратная матрица третьего порядка

Установить существование и найти обратную матрицу .

План решения. Матрица называется обратной квадратной матрице , если

где — единичная матрица.
Если (матрица — невырожденная), то матрица имеет обратную, если , то матрица не имеет обратной.

  1. Вычисляем определитель матрицы . Если , то матрица имеет обратную.
  2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений

3. Транспонируем матрицу

4. Разделив матрицу на определитель, получаем искомую обратную матрицу

5. Проверяем, что и записываем ответ.

Пример оформления задания №4

Задана квадратная матрица третьего порядка

Установить существование и найти обратную матрицу

Решение.

  1. Вычисляем определитель матрицы

Так как то матрица имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений

3. Транспонируем матрицу

4. Разделив матрицу на определитель, получаем искомую обратную матрицу

5. Проверяем

Ответ. Матрица, обратная матрице , есть

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по линейной алгебре

Понятие линейного пространства

К оглавлению…

Пример оформления задания №5

Образует ли линейное пространство заданное множество , в котором определены ’’сумма” любых двух элементов и и ’’произведение” любого элемента на любое число ?

План решения. Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

  1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в , т.е. верно ли, что и

Если нет, то множество не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

  1. Находим нулевой элемент такой, что

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент такой, что

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и

Если хотя бы одна из аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество — линейное пространство.

Пример оформления задания №6

Образует ли линейное пространство множество положительных чисел , в котором операции “сложения” и “умножения на число” определены следующим образом: и

Решение.

  1. Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, так как если и то

т.е. и

2. В качестве нулевого элемента нужно взять единицу , так как

иными словами,

3. В качестве элемента противоположного элементу , нужно взять так как

иными словами,

Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и

Все аксиомы выполнены.
Ответ. — линейное пространство.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Системы линейных уравнений

К оглавлению…

Пример оформления задания №7

Найти размерность пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений

План решения.

  1. Записываем матрицу системы:

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу так, чтобы в максимальном числе столбцов оказалось по одной единице (в разных строках у разных столбцов), а остальные элементы столбцов были нулями. Очевидно, что такие столбцы линейно независимы. Они называются базисными.

Полученную матрицу будем называть редуцированной и обозначать Отметим, что редуцированная матрица эквивалентна исходной и система уравнений с матрицей эквивалентна исходной системе уравнений.

  1. Так как то вычисляем ранг как количество базисных столбцов матрицы :

Следовательно, размерность пространства решений есть Если то однородная система имеет единственное (нулевое) решение, если то фундаментальная система состоит из линейно независимых решений.

3. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, называются базисными, остальные — свободными (или параметрическими).
Запишем систему уравнений с матрицей и перенесем свободных неизвестных в правые части уравнений системы. Придавая свободным неизвестным наборов значений (по одной единице, остальные — нули), для каждого такого набора решаем систему уравнений и находим соответствующие значения базисных неизвестных. Убедимся, что полученные решения линейно независимы, составив матрицу из столбцов и вычислив ее ранг.
Записываем фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

где — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и — произвольные постоянные.

Пример оформления задания №8

Найти размерность пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений

Решение.

  1. Записываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:

Очевидно, что первый и второй столбцы матрицы (и исходной матрицы ) линейно независимы, а остальные столбцы являются их линейными комбинациями. Поэтому первый и второй столбцы — базисные.

2. Так как количество линейно независимых столбцов матрицы равно двум, то

Следовательно, размерность пространства решений

и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.

3. Неизвестные и , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные — свободными.
Запишем систему уравнений с матрицей (эта система эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы:

Для первого набора свободных неизвестных получаем первое решение имеет вид системы

Для второго набора свободных неизвестных получаем т.е. второе решение имеет вид системы

Для третьего набора свободных неизвестных получаем т.е. третье решение системы имеет вид

Сделаем проверку, подставив эти решения в исходную систему уравнений, а также убедимся, что решения линейно независимы (ранг матрицы, составленной из столбцов , равен 3).
Следовательно, решения образуют базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений).
Ответ. Размерность пространства решений есть Фундаментальная система решений есть

и общее решение однородной системы имеет вид

где и — произвольные постоянные.

Задача 2. Неоднородные системы уравнений

Пример оформления задания №9

Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений

План решения.

  1. Записываем расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу к редуцированному виду.

2. Вычисляем ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы Если то система совместна, если то система несовместна (решений не имеет).

3. Пусть Тогда общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

где — какое-либо частное решение неоднородной системы, — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и — произвольные постоянные.
Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений , повторим операции, изложенные в задаче 1.

4. Столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы . Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем разложение столбца свободных членов по всем столбцам матрицы . Коэффициенты этого разложения образуют частное решение неоднородной системы .

5. Записываем общее решение неоднородной системы линейных уравнений:

где — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений и — произвольные постоянные.

Пример оформления задания №10

Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Решение.

  1. Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу к редуцированному виду:

2. Так как то система совместна. Так как то общее решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

где — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы и — произвольные постоянные.

3. Запишем соответствующую однородную систему уравнений

Она совпадает с системой, приведенной в примере 1. (Если однородная система уравнений не совпадает с системой, приведенной в примере 1, то для нахождения фундаментальной системы решений повторим операции, использованные при решении примера 1.)
При решении примера 1 была найдена фундаментальная система решений однородной системы уравнений:

4. Найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы. Столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы , т.е. столбцов и :

Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получим

Коэффициенты в этом разложении образуют частное решение неоднородной системы

Сделаем проверку, подставив в исходную систему уравнений.
Ответ. Общее решение системы имеет вид

где и — произвольные постоянные.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Линейные операторы

К оглавлению…

Пример оформления задания №11

Пусть в некотором базисе линейного пространства задан произвольный вектор Является ли линейным оператор такой, что
где — некоторые функции переменных?

План решения. Если и — произвольные векторы пространства
Проверяем условия линейности оператора:

Если условия линейности выполнены, т.е.

при то оператор линеен, в противном случае оператор нелинеен.

Пример оформления задания №12

Пусть в некотором базисе линейного пространства задан произвольный вектор Является ли линейным оператор такой, что

Решение.

Пусть и — произвольные векторы пространства . Тогда и

*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравнений и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.

Проверяем условия линейности оператора:

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор линеен.
Ответ. Оператор линеен.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора

К оглавлению…

Пример оформления задания №13

Задан оператор , осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов Доказать линейность, найти матрицу (в базисе ), образ, ядро, ранг и дефект оператора .

План решения.

  1. По определению доказываем линейность оператора , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что

2. Строим по определению матрицу оператора . Для этого находим образы базисных векторов и записываем их координаты в базисе . Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора , исходя из их определений.

Пример оформления задания №14

Доказать линейность, найти матрицу (в базисе ) образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов на плоскость .

Решение.

  1. Докажем по определению линейность оператора проецирования. Пусть в базисе имеем произвольный вектор . Тогда его образ (проекция) есть .
    По правилам операций с геометрическими векторами в координатной форме и имеем

2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов и запишем их координаты в базисе :

Таким образом, матрица оператора проецирования есть

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора , исходя из определений.
Образ оператора проецирования — это множество векторов, лежащих в плоскости , следовательно, в базисе

Отсюда

— это множество векторов, коллинеарных оси , следовательно, в базисе

Отсюда
Заметим, что
Ответ. Оператор линеен. Его матрица в базисе есть

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Действия с операторами и их матрицами

К оглавлению…

Пример оформления задания №15

В некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

где — произвольный вектор пространства .
Найти координаты вектора (в том же базисе), где — многочлен относительно операторов и .

План решения. Так как при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении на число — умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти матрицу , где и — матрицы операторов и . Затем столбец координат вектора находим по формуле , где — столбец координат вектора .

  1. Построим матрицы операторов и :

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц находим матрицу

3. Находим столбец координат образа вектора

Записываем ответ в виде

Пример оформления задания №16

В некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

где — произвольный вектор пространства . Найти координаты вектора в том же базисе.

Решение.

  1. Построим матрицы операторов и. :

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц вычисляем матрицу

3. Находим столбец координат образа вектора

Ответ.

Преобразование координат вектора

К оглавлению…

Пример оформления задания №17

Вектор в базисе имеет координаты Найти координаты вектора в базисе где

План решения. Координаты вектора при переходе от базиса к базису преобразуются по формуле

(1)

где и — столбцы координат вектора в базисах и — матрица перехода от базиса к базису

  1. Находим матрицу перехода . Так как столбцы матрицы перехода от базиса к базису — это столбцы координат векторов в базисе , то матрица перехода имеет вид

2. Находим обратную матрицу и проверяем, что .

3. По формуле (1) находим столбец координат вектора в базисе
:

Записываем ответ в виде

Пример оформления задания №18

Вектор в базисе имеет координаты {1,2,3}.
Найти координаты вектора в базисе , где

Решение.

  1. Находим матрицу перехода

2. Находим обратную матрицу методом Гаусса:

Таким образом,

Проверяем, что

3. По формуле (1) находим столбец координат вектора в базисе :

Ответ.

Преобразование матрицы оператора

К оглавлению…

Пример оформления задания №19

Найти матрицу некоторого оператора в базисе , где

если в базисе его матрица имеет вид

План решения. При переходе от базиса к базису матрица оператора преобразуется по формуле

(1)

где — матрица перехода от базиса к базису .

  1. Находим матрицу перехода . Так как столбцы матрицы перехода от базиса к базису — это столбцы координат векторов в базисе , то

2. Находим обратную матрицу и проверяем, что

Находим матрицу оператора в базисе по формуле (1)

Пример оформления задания №20

Найти матрицу оператора в базисе , где

если в базисе его матрица имеет вид

Решение.

  1. Находим матрицу перехода

2. Находим обратную матрицу методом Гаусса:

Таким образом,

Убеждаемся, что

3. Находим матрицу оператора в базисе по формуле (1)

Ответ.

Собственные значения и собственные векторы оператора

К оглавлению…

Пример оформления задания №21

Найти собственные значения и собственные векторы оператора , заданного в некотором базисе матрицей

План решения. Собственные значения оператора являются корнями его характеристического уравнения

  1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди них могут быть и кратные).
  2. Для каждого собственного значения найдем собственные векторы. Для этого записываем однородную систему уравнений

и находим фундаментальную систему решений , где — ранг матрицы системы (Заметим, что так как

3. Столбцы являются столбцами координат искомых собственных векторов . Окончательно для записываем ответ в виде

Замечание. Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению , можно записать в виде

Пример оформления задания №22

Найти собственные значения и собственные векторы оператора , заданного в некотором базисе матрицей

Решение.

  1. Составляем характеристическое уравнение:

Поэтому

2. Для собственного значения найдем собственные векторы. Запишем однородную систему уравнений

Очевидно, ранг матрицы этой системы равен — размерность пространства решений), следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система решений имеет вид

Итак, двукратному собственному значению соответствуют два линейно независимых собственных вектора и . Множество всех собственных векторов , соответствующих собственному значению , имеет вид

Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному значению Получим Поэтому множество всех собственных векторов , соответствующих собственному значению , имеет вид

Ответ.
, где и ;
, где .