Пересечение линии с поверхностью

Пересечение линии с поверхностью

В общем случае для графического определения положения точек пересечения линии с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в следующей последовательности: заключить линию во вспомогательную поверхность; определить линию пересечения этой поверхности с заданной поверхностью; отметить точки пересечения построенной линии с заданной.

Этот алгоритм является универсальным, пригодным для решения любых задач. Ранее (лекция 4, рис. 4.5 и 4.6) он применялся для построения проекций точки пересечения прямой с плоскостью, где в качестве вспомогательной секущей поверхности использовалась плоскость и строилась прямая линии пересечения ее с заданной плоскостью, а искомая проекция точки пересечения определялась как место пересечения этой линии с заданной прямой.

На рис. 12.1-12.3 проиллюстрирован тот же алгоритм применительно к построению точки пересечения кривой линии с плоскостью . В качестве секущей поверхности в данном случае следует использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, в частности, горизонтально-проецирующую , в которую должна быть заключена кривая . Для этого на чертеже (рис. 13.3) обозначаем горизонтальный след этой поверхности — Горизонтальная проекция линии ее пересечения с заданной плоскостью совпадает с ним, располагаясь между точками .

Для построения ее фронтальной проекции воспользуемся произвольными вспомогательными прямыми линиями, принадлежащими плоскости. Вначале задаем их горизонтальные проекции, например, через вершину . Затем по

точкам их пересечения со стороной находим фронтальные проекции вспомогательных прямых и определяем на них фронтальные проекции точек пересечения с ними заданной кривой. Проводим через найденные точки плавную кривую линию, являющуюся, таким образом, фронтальной проекцией линии пересечения, и отмечаем на ней место пересечения с фронтальной проекцией заданной кривой — точку . Это и будет фронтальная проекция искомой точки пересечения заданной кривой с плоскостью . Затем, воспользовавшись линией связи, находим горизонтальную проекцию точки пересечения.

Этот алгоритм применен и для построения точек пересечения прямой линии с поверхностями геометрических тел — призмы, пирамиды и самопересекающегося тора (рис. 12.8, а, б, в). Поскольку поверхности этих тел являются замкнутыми, то необходимо найти по две точки пересечения на каждой из них.

При пересечении с призмой (рис. 12.8, а) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой использовалась фронтально-проецирующая плоскость При пересечении с пирамидой (рис. 12.8, б) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой использовалась горизонтально-проецирующая плоскость Он- При пересечении с самопересекающимся тором (рис. 12.8, в) в качестве секущей плоскости для заключения в нее заданной прямой использовалась фронтальная плоскость . Далее все действия аналогичны рассмотренным. В каждом случае вначале строилась линия пересечения поверхности плоскостью, исходя из ее проецирующего положения, определялись на ней точки пересечения с заданной прямой, а при окончательном оформлении — видимость на чертеже.

В качестве секущей плоскости при определении точек пересечения прямой с поверхностью могут использоваться также плоскости общего положения, пересекающие поверхность вдоль ее образующих (рис. 12.8, г, д). Так, для построения точек пересечения прямой общего положения с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.8, г) показано использование плоскости общего положения а, проходящей через вершину конуса и заданную прямую. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. Одна из них — это заданная прямая , вторая — пересекающаяся с ней произвольная прямая , проходящая через вершину конуса. Для построения проекций образующих, вдоль которых плоскость пересекает поверхность конуса, найден ее горизонтальный след, затем проекции и точек его пересечения с горизонтальным следом основания конуса и фронтальные проекции и этих точек. Искомые проекции точек и пересечения заданной прямой общего положения с поверхностью конуса находятся в местах пересечения с ней построенных образующих.

Аналогичные действия выполнены и для построения проекций и точек пересечения прямой общего положения с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис. 12.8, г)). Для этого использовалось задание плоскости общего положения также двумя пересекающимися прямыми, одна из которых, как и в предыдущем случае, — это заданная прямая а пересекающаяся с ней в произвольной точке вторая прямая линия — это прямая , параллельная образующим цилиндра.

Строился горизонтальный след этой плоскости и по точкам пересечения его с горизонтальным следом заданного цилиндра находились образующие, по которым вспомогательная плоскость общего положения пересекает цилиндр. В местах пересечения с проекциями этих образующих проекций прямой общего положения находятся искомые проекции и точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра.

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Цилиндрические и конические винтовые линии
Кривые поверхности
Касательные плоскости и нормаль к поверхности
Метод проекций. Образование чертежа по Монжу. Проекции точки