Основные свойства рядов

Устанавливать сходимость или расходимость ряда в некоторых случаях позволяют свойства рядов. Рассмотрим основные свойства рядов.

Свойство 1. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным.

Свойство 2. Если ряд сходится, и его сумма равна , то для произвольного числа ряд

также сходится, и его сумма равна . Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

Свойство 3. Если ряды и сходятся, и их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно . Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Из свойства 3 вытекают два следствия.

Следствие 3.1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. Следствие 3.2. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Рассмотрим примеры использования свойств рядов при установлении их сходимости или расходимости.

Пример решения заказа контрольной работы №93.

Известно, что ряд — сходится, а ряд расходится. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость ряды:

Решение:

а) Поскольку данный ряд получается из сходящегося ряда умножением на число , следовательно, по свойству числовых рядов (свойство 2), он сходится.

б) Поскольку данный ряд представляет собой сумму сходящегося и расходящегося ряда, значит, по следствию из свойства рядов (следствие З.1.), он расходится.

Ответ: а) сходится; б) расходится.

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Определения сходимости знакочередующегося ряда составленного из модулей членов
Признак Даламбера для общего члена ряда
Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции
Пример вычисления подобного повторного интеграла