Оптика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по оптике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «оптика», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Оптика. Геометрическая оптика. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Развитие взглядов на природу света

Первые попытки понимания природы света на основе опытных данных относятся к XVII веку (Ньютон, Гюйгенс). Великий английский физик Исаак Ньютон полагал, что свет представляет собой поток частиц («корпускул» — отсюда термины «корпускулярная модель света», «корпускулярная теория света»). Приблизительно в это же время голландский ученый Христиан Гюйгенс высказал идею о том, что свет имеет волновую природу.
В 1801 году английский оптик Томас Юнг впервые наблюдал явление интерференции света, т.е. явление образования картины темных и светлых линий при наложении двух световых пучков. Это явление можно объяснить только на основе представления о свете как о волне. Так была доказана волновая природа света.

В 1861 году английский физик Джеймс Клерк Максвелл вывел систему уравнений для электрического и магнитного полей, из которой следовала возможность существования электромагнитной волны. Максвелл вычислил скорость распространения электромагнитной волны и получил величину, близкую к скорости света (около 300 тыс. км/с). Это позволило Максвеллу сделать вывод о том, что свет представляет собой электромагнитную волну.
В 1888 году немецкий физик Генрих Герц экспериментально обнаружил предсказанные Максвеллом электромагнитные волны и исследовал их свойства. Герц установил, что электромагнитные волны способны испытывать отражение и преломление, т.е. обладают такими же свойствами, как и свет. Этот факт послужил доказательством электромагнитной природы света.
Наконец, в 1900 году немецкий физик Макс Планк пришел к выводу о существовании элементарных неделимых порций света («световые кванты» или «фотоны»).
В настоящее время считается, что свет имеет двоякую природу: в одних явлениях он проявляет себя как волна (интерференция, дифракция света), а в других явлениях — как поток частиц (фотоэффект).

Закон прямолинейного распространения света. Понятие луча

В геометрической оптике рассматриваются законы распространения света в прозрачных средах на основе представления о свете как о совокупности световых лучей — линий, вдоль которых распространяется энергия световых волн. Представление о световом луче можно получить, например, если пропустить солнечный свет через небольшое отверстие в ставне и наблюдать его распространение в темной комнате. Уменьшая диаметр отверстия, можно до определенного предела уточнять направление распространения света. Однако получить сколь угодно тонкий пучок света невозможно, т.к. когда диаметр отверстия окажется сравнимым с длиной волны, пучок начнет сильно расширяться за счет дифракции. Световой луч — это геометрическое понятие, вводимое для того, чтобы приближенно описать распространение света в пространстве, пользуясь законами геометрической оптики. Эти законы были установлены экспериментально задолго до выяснения природы света. В то же время, они вытекают из волновой теории света как приближение, справедливое, если длина волны света исчезающе мала по сравнению с размерами препятствий на пути света.

Наблюдения показывают, что в оптически однородной среде т.е. в среде, в которой показатель преломления везде одинаков, свет распространяется прямолинейно.

В однородной среде световые лучи представляют собой прямые линии.

Интенсивность (плотность потока) излучения

Воздействие света на глаз или какой-либо регистрирующий прибор состоит прежде всего в передаче этому прибору энергии, переносимой световой волной. Важной энергетической характеристикой световой волны является введенная ранее для электромагнитных волн плотность потока излучения (см. раздел 3.5). Так называется электромагнитная энергия, проходящая за единицу времени через площадку единичной площади, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Эту величину часто называют также интенсивностью волны. Плотность потока излучения в СИ измеряется в ваттах на квадратный метр .
Плотность потока (интенсивность) излучения пропорциональна квадрату напряженности электрического поля в волне и четвертой степени ее частоты (см. раздел 3.5).
Поток излучения через какую-либо поверхность определяется как энергия, переносимая электромагнитной волной через эту поверхность в единицу времени. Эта величина измеряется в ваттах (Вт).

Световой поток

Для восприятия световой энергии человеком особое значение имеет не полная энергия, переносимая электромагнитными волнами, а лишь та ее часть, которая непосредственно воздействует на глаз.
Глаз человека воспринимает электромагнитной излучение в сравнительно небольшом интервале длин волн: примерно от до м. Наиболее чувствителен глаз к желто-зеленым лучам с длиной волны м. У разных людей чувствительность глаза к излучениям различных длин волн различна. Но в среднем различия оказываются небольшими, и можно говорить о вполне определенной (усредненной) спектральной чувствительности здорового глаза.
Для оценки световой энергии введена особая физическая величина — световой поток. Световым потоком Ф через некоторую поверхность называется световая энергия, протекающая через эту поверхность в единицу времени и оцениваемая непосредственно человеческим глазом. Для оценки этой величины выбирают эталонный источник света. Световой поток от этого источника с помощью глаза сравнивают со световыми потоками от других источников.
За единицу светового потока в СИ принимается люмен (лм). Световой поток в 1 лм соответствует потоку энергии электромагнитного излучения в 1/683 Вт при частоте .

Освещенность

Световой поток создается источником света и действует на окружающие источник тела. Для характеристики источника вводят специальную величину — силу света, а для характеристики действия света на поверхность тел — освещенность.
Сила света источника определяется как световой поток, созданный им в единичном телесном угле. Если источник создает в телесном угле световой поток , то сила света источника по определению
равна:

(4.1.1)

Сила света точечного источника, создающего равномерный по всем направления световой поток, одинакова по всем направлениям и равна

(4.1.2)

Единицей силы света в СИ является кандела (кд). Кандела равна силе света в заданном направлении от источника, испускающего монохроматическое излучение частотой Гц, сила излучения которого в этом направлении составляет 1 /683 Вт/ср.
Освещенностью называется отношение светового потока , падающего на некоторый участок поверхности, к площади этого участка:

(4.1.3)

Единица освещенности в СИ называется люксом (лк). Люкс равен освещенности поверхности площадью 1 при световом потоке падающего на него излучения, равном 1 лм.
Для фотометрических расчетов важно знать, как зависит освещенность какой-либо поверхности от ее расположения по отношению к падающим лучам, от расстояния до источника света и от силы света источника. При этом направление падающих на поверхность лучей принято характеризовать углом падения, т.е. углом между лучом и перпендикуляром, восстановленным к поверхности в точке падения луча.
Освещенность поверхности, создаваемая точечным источником, подчиняется следующему простому закону. Она прямо пропорциональна силе света источника , косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до поверхности:

(4.1.4)

Если источников несколько, то общая освещенность равна сумме освещенностей, создаваемых каждым источником в отдельности.

Законы отражения света. Плоское зеркало

Пусть световой луч падает на плоскую поверхность, зеркально отражающую свет (плоское зеркало). Направления падающего и отраженного от зеркала лучей характеризуются углами падения и отражения, которые образуют, соответственно, падающий и отраженный лучи и перпендикуляр к зеркалу, восстановленный в точке падения. Плоскостью падения называется плоскость, содержащая падающий луч и тот же перпендикуляр. В опытах с зеркалами и тонкими световыми пучками установлены следующие законы отражения света:

  1. падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к зеркалу, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости (плоскости падения);
  2. угол падения равен углу отражения.

Построение изображений в плоском зеркале

На рис. 4.1.1 показано построение изображения светящейся точки в плоском зеркале. Это изображение является мнимым, так как оно образовано пересечением

Рис. 4.1.1. Изображение светящейся точки в плоском зеркале

не самих отраженных лучей, а их продолжениями (на рисунке показаны пунктиром). Из рисунка видно, что изображение светящейся точки в плоском зеркале лежит на продолжении перпендикуляра, проведенного от источника к зеркалу, а расстояние от зеркала до изображения равно расстоянию от источника до зеркала.

Сферическое зеркало

Сферическим зеркалом называют поверхность тела, имеющую форму сферического сегмента и зеркально отражающую свет. Если лучи отражаются от внутренней поверхности сферического сегмента, то зеркало называют вогнутым. В случае отражения лучей от наружной поверхности зеркало называется выпуклым.
Центр сферы, из которой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала (точка на рис. 4.1.2). Вершину сферического сегмента (точка ) называют полюсом зеркала. «Любую прямую, проходящую через оптический центр, называют оптической осью зеркала. Прямую, проходящую через оптический центр и полюс зеркала (прямая на рис. 4.1.2), называют главной оптической осью зеркала. Главная оптическая ось отличается от остальных (побочных) оптических осей зеркала только своим симметричным расположением по отношению к краям зеркала.

Рис. 4.1.2. Сферическое зеркало

При описании свойств сферических зеркал будем рассматривать лишь так называемые параксиальные (приосевые) пучки света, т.е. пучки, образованные лучами, проходящими на малом расстоянии от главной оптической оси зеркала и образующими с ней малые углы. Необходимо помнить, что все перечисленные ниже простые свойства сферических зеркал справедливы только для параксиальных пучков.
Если на вогнутое сферическое зеркало падает параллельно главной оптической оси узкий пучок параллельных лучей (рис. 4.1.3, а), то после отражения от зеркала все лучи пересекаются в одной точке , называемой главным фокусом зеркала. Расстояние от полюса зеркала до главного фокуса называется фокусным расстоянием . Оно равно половине радиуса кривизны зеркала :

(4.1.5)

При падении на вогнутое зеркало параллельного пучка лучей, распространяющегося параллельно какой-либо побочной оптической оси (рис. 4.1.3, б), все отраженные лучи сойдутся в точке, удаленной от зеркала на такое же расстояние, что и главный фокус. Совокупность всех подобных точек образует определенную поверхность. Рассматривая лишь малые углы между главной и побочной осями, можно приближенно считать эту поверхность плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси. Она называется фокальной плоскостью зеркала (штриховая линия на рис. 4.1.3, б).

Рис. 4.1.3. Узкий пучок параллельных лучей падает на зеркало параллельно его главной оптической оси (а) и параллельно какой-либо побочной оптической оси зеркала (б)

Если направить узкий параллельный пучок лучей параллельно главной оптической оси на выпуклое зеркало, то отраженные лучи будут расходящимися (рис. 4.1.4). Их продолжения пересекаются в определенной точке, находящейся за зеркалом. Эту точку называют главным фокусом выпуклого зеркала. Поскольку в фокусе выпуклого зеркала пересекаются не сами лучи, а их продолжения, фокус в данном случае является мнимым. Фокусное расстояние выпуклого зеркала

Рис. 4.1.4. Выпуклое сферическое зеркало

вычисляется по формуле (4.1.5), где под , как и ранее, понимается радиус кривизны зеркала. Для выпуклого зеркала также используется понятие фокальной плоскости, которая в данном случае является мнимой.

Построение изображений в сферическом зеркале

Все лучи, исходящие из какой-либо светящейся точки и идущие под малыми углами к оптической оси зеркала, после отражения от зеркала либо пересекаются в одной точке, либо расходятся так, что в одной точке пересекаются их продолжения. Поэтому сферические зеркала обладают свойством формировать изображения светящихся предметов.
Задача построения изображения сводится к нахождению направления произвольного луча после отражения его от зеркала в некоторой точке. Простой способ такого построения показан на рис. 4.1.5, а, где — падающий луч, — параллельная ему побочная оптическая ось, — фокальная плоскость, — отраженный луч.

Рис. 4.1.5. Построение изображения в сферическом зеркале: а — светящейся точки S; б — точки А предмета GA.

Для построения изображения какой-либо точки А предмета наиболее удобны следующие лучи (рис. 4.1.5, б):

  1. луч , проходящий через оптический центр зеркала; отраженный луч идет по той же прямой;

2. луч , проходящий через фокус зеркала; отраженный луч параллелен главной оптической оси;

3. луч , падающий на зеркало в его полюсе; отраженный луч симметричен с падающим относительно главной оптической оси;

4. луч , параллельный главной оптической оси зеркала; отраженный луч проходит через фокус зеркала.

Все отраженные лучи проходят через точку , являющуюся изображением точки . Поэтому для построения точки можно взять любые два из перечисленных лучей. Чтобы построить изображение предмета, лежащего в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, достаточно построить изображения крайних точек этого предмета.
Таким же образом строится изображение предмета, расположенного ближе фокуса вогнутого зеркала (рис. 4.1.6), а также изображение предмета в выпуклом зеркале (рис. 4.1.7). В обоих этих случаях изображение оказывается мнимым.

Рис. 4.1.6. Изображение предмета в вогнутом зеркале. Расстояние от предмета до зеркала меньше фокуса
Рис. 4.1.7. Изображение предмета в выпуклом зеркале

Заметим, что выпуклое зеркало дает только мнимое уменьшенное изображение предмета, расположенное между мнимым фокусом и полюсом.
Мнимые изображения всегда являются прямыми (неперевернутыми), а действительные изображения, наоборот, всегда перевернуты по отношению к предмету.
Расстояние от светящейся точки до зеркала, расстояние от зеркала до изображения этой точки и фокусное расстояние зеркала связаны между собой соотношением, которое называется формулой сферического зеркала. Эту формулу легко получить, например построив изображение светящейся точки , расположенной на главной оптической оси вогнутого зеркала (рис. 4.1.8). В самом деле, применяя теорему о внешнем угле треугольника для и и учитывая, что по закону отражения , приходим к

Рис. 4.1.8. Построение изображения S’ светящейся точки S, расположенной на главной оптической оси вогнутого зеркала

соотношению: . Так как все рассматриваемые углы малы, справедливы приближенные равенства:

Подставляя эти значения углов в записанное выше соотношение и сокращая на , получаем:

(4.1.6)

Равенство (4.1.6) называется формулой сферического зеркала. В таком виде она справедлива, если изображение и фокус являются действительными. При практическом использовании этой формулы нужно соблюдать следующее правило: если изображение или фокус являются мнимыми, то перед соответствующими членами в (4.1.6) нужно ставить знак «минус».
Сказанное о знаках для и относится и к величине . Мнимым источником называют точку, в которой пересекаются продолжения лучей, падающих на зеркало сходящимся пучком. Для мнимого источника .

Законы преломления света

Из опыта известно, что если световой луч падает на границу раздела двух сред, то он меняет направление распространения. Это явление получило название преломления света. Преломление света происходит на границах раздела таких сред как воздух и вода, воздух и стекло, стекло и вода и т.п. Углом падения называется угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела, восстановленным в точке падения. Углом преломления называется угол между перпендикуляром к границе раздела, восстановленным в точке падения и преломленным лучом. Плоскостью падения называется плоскость, содержащая падающий луч и перпендикуляр к границе раздела, восстановленный в точке падения. Опытным путем установлены следующие законы преломления света:

  1. падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости;
  2. отношение синуса угла падения к синусу угла преломления не зависит от угла падения, если преломленный луч существует (закон Снеллиуса).

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления зависит от того, какие среды образуют границу раздела и называется относительным показателем преломления второй среды (т.е. среды, в которой распространяется преломленный луч) по отношению к первой. Если луч света падает на границу среды из вакуума, то отношение синуса угла падения к синусу угла преломления называется абсолютным показателем преломления или просто показателем преломления среды. Математически закон Снеллиуса записывается следующим образом:

(4.1.7)

Картина преломления светового луча на границе раздела двух сред показана на рис. 4.1.9. Здесь — угол падения, — угол преломления, — абсолютный показатель преломления первой среды, — абсолютный показатель преломления второй среды. Величина есть относительный показатель преломления второй среды по отношению к первой. Абсолютный показатель преломления среды равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в данной среде:

(4.1.8)
Рис. 4.1.9.

Преломление светового луча на границе раздела двух сред, .

Ход лучей в призме

Преломление светового луча стеклянной призмой показано на рис 4.1.10. Изменение направления луча на границах призмы определяется на основании закона преломления света. Угол , на который призма отклоняет световой луч зависит от преломляющего угла призмы (обозначен на рисунке буквой ), угла падения и показателя преломления стекла, из которого изготовлена призма.
Показатель преломления стекла зависит от длины волны падающего света (дисперсия света). Поэтому, если на призму падает пучок белого света, она разлагает его на цветные компоненты (разлагает в спектр). При этом коротковолновое излучение (фиолетовый цвет) преломляется призмой сильнее, чем длинноволновое (красный цвет).

Рис. 4.1.10. Преломление светового луча в стеклянной призме

Явление полного (внутреннего) отражения

Рассмотрим преломление светового луча на границе раздела двух сред в условиях, когда луч переходит из среды с большим показателем преломления () в среду с меньшим показателем преломления (). т.е. из оптически более плотной среды в менее плотную. Согласно формуле (4.1.7), в этом случае угол преломления будет больше угла падения. Угол падения, при котором угол преломления равен прямому углу, называется критическим углом падения. Критический угол падения выражается формулой

(4.1.9)

Если угол падения больше критического, то преломленный луч отсутствует, и падающий луч полностью отражается от границы раздела.

Тонкие линзы

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей может быть плоской. Примеры линз показаны на рис. 4.1.11. Линза, которая в середине толще, чем у краев, называется выпуклой или собирающей (рис. 4.1.11 а, б, в). Линза, которая у краев толще, чем в середине, называется вогнутой или рассеивающей (рис. 4.1.11 г, д, е).

Рис. 4.1.11. Тонкие линзы

Обозначения тонких линз: (а) собирающая, (б) рассеивающая
Проходящие через линзу лучи преломляются дважды. Однако, если толщина линзы много меньше, чем радиусы кривизны ограничивающих ее поверхностей, при построении хода лучей преломление на обеих поверхностях можно приближенно заменить одним преломлением в так называемой главной плоскости линзы. Идеализированные линзы, удовлетворяющие такому условию, называются тонкими линзами. Для тонкой линзы вершины преломляющих поверхностей сливаются в одну точку, называемую центром линзы. Обозначения тонких линз в оптических схемах представлены на рис. 4.1.12.

Рис. 4.1.12. Обозначения тонких линз: (а) собирающая, (б) рассеивающая

Прямая, проходящая через центр линзы, называется оптической осью линзы. Оптическая ось, пересекающая главную плоскость линзы по нормали к ней, называется главной оптической осью линзы. Остальные оси называются побочными.

Фокусное расстояние и оптическая сила линзы

Если на тонкую собирающую линзу направить пучок света, параллельный ее главной оптической оси, то после преломления в линзе все лучи, образующие пучок, пройдут через одну точку на главной оптической оси за линзой Эта точка называется главным фокусом собирающей линзы.
Все лучи, параллельные главной оптической оси рассеивающей линзы, после преломления в ней отклоняются от оптической оси так, что их продолжения пересекаются в одной точке на главной оптической оси перед линзой. Эта точка называется главным фокусом рассеивающей линзы. Главные фокусы рассеивающей линзы мнимые, т.к. в действительности лучи света в них не собираются.
Расстояние от фокуса до центра линзы называется фокусным расстоянием линзы. Фокусное расстояние обозначают буквой или и измеряют в метрах. Величина, обратная фокусному расстоянию, , называется оптической силой линзы и измеряется в диоптриях (дптр). Одна диоптрия — это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием в один метр. Оптическая сила собирающей линзы положительна, оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна.

Два главных фокуса любой линзы лежат на главной оптической оси на одинаковом расстоянии от центра линзы по разные стороны от нее. Плоскости, проходящие через главные фокусы линзы перпендикулярно главной оптической оси, называются фокальными плоскостями. Любая линза обладает двумя фокальными плоскостями, расположенными симметрично относительно линзы по разные стороны от нее.

Световые лучи, параллельные побочной оптической оси собирающей линзы, сходятся в точке пересечения побочной оси с фокальной плоскостью. Лучи, параллельные побочной оптической оси рассеивающей линзы преломляются так, что их продолжения сходятся в точке пересечения побочной оси с фокальной плоскостью перед линзой.

Построение изображения в собирающих и рассеивающих линзах. Световые лучи, исходящие из какой-либо светящейся точки, линза преломляет таким образом, что все они (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Таким образом, линза строит изображение светящейся точки. Произвольный объект можно рассматривать как совокупность светящихся точек.

Поэтому линза строит также и изображение произвольного объекта.

Рис. 4.1.13. Луч падает параллельно главной оптической оси линзы
Рис. 4.1.14. Падающий луч (или его продолжение) проходит через фокус линзы
Рис. 4.1.15. Падающий луч проходит через центр линзы

Изображение, создаваемое линзой, называется действительным, если оно образовано пересечением световых лучей, прошедших через линзу. При этом в пространстве возникает область концентрации световой интенсивности, геометрически подобная светящемуся объекту. Ее можно наблюдать на экране, регистрировать с помощью фотоэмульсии и т.п. В противоположность этому изображение называется мнимым, если оно образовано пересечением не самих световых лучей, а их продолжений. Мнимое изображение не является областью концентрации световой интенсивности. Для его наблюдения или регистрации необходим по крайней мере еще один оптический прибор, например глаз человека.
Изображение может быть прямым или обратным (перевернутым), в зависимости от взаимной ориентации объекта и изображения. Для характеристики размера изображения вводят величину линейного увеличения, даваемого линзой. По определению, линейное увеличение есть отношение размера изображения к размеру объекта.
При построении изображений в линзах следует руководствоваться следующими правилами:

  1. световой луч, падающий на линзу параллельно ее главной оптической оси, линза преломляет таким образом, что прошедший луч (или его продолжение) пересекает главную оптическую ось линзы в фокусе (рис. 4.1.13);
  2. если световой луч (или его продолжение) проходит через фокус линзы, то преломленный луч распространяется параллельно ее главной оптической оси (рис. 4.1.14);
  3. луч, проходящий через центр линзы, не преломляется (рис. 4.1.15).

Формула линзы. Увеличение, даваемое линзами

Пример построения изображения в собирающей линзе показан на рис. 4.1.16. Линза строит действительное перевернутое увеличенное изображение объекта (стрелки).

Рис. 4.1.16.

Построение изображения предмета (стрелки длиной ) в собирающей линзе.

Используя рисунок, нетрудно вывести формулы для увеличения, даваемого линзой:

(4.1.10)

а также соотношение между фокусным расстоянием линзы , расстоянием от объекта до линзы и расстоянием от линзы до изображения . Это соотношение имеет вид:

(4.1.11)

и называется формулой линзы. На основе сформулированных выше правил построения изображений в линзах аналогичные формулы могут быть получены и для других случаев: рассеивающей линзы, мнимого изображения и т.п.

Оптические приборы: лупа, фотоаппарат, проекционный аппарат, микроскоп. Ход лучей в этих приборах. Глаз

Лупа предназначена для рассматривания мелких объектов (построения увеличенных изображений). Она представляет собой собирающую линзу, вставленную в оправу с ручкой. Ход лучей в лупе показан на рис. 4.1.17.

Рис. 4.1.17. Ход лучей в лупе

Как видно из рисунка, лупа строит мнимое прямое увеличенное изображение объекта. Объект следует располагать между линзой и фокусом вблизи фокуса. При этом лучи, исходящие из одной точки предмета, не собираются в одну точку за линзой, а выходят из нее расходящимся пучком. Расходящийся пучок света при попадании в глаз человека воспринимается исходящим из одной точки, в которой пересекаются продолжения лучей. Эта точка является мнимым изображением соответствующей точки объекта. Увеличение, даваемое лупой,

(4.1.12)

Оно тем больше, чем ближе к фокусу расположен объект.
Фотоаппарат предназначен для фотографической регистрации изображений объектов. Он представляет собой камеру с объективом. Фотопленка располагается вблизи задней стенки камеры. Объектив строит на пленке сильно уменьшенное действительное перевернутое изображение объекта. В простейшем случае объектив представляет собой собирающую линзу, фокусное расстояние которой примерно равно расстоянию от линзы до плоскости, в которой расположена фотопленка. Ход лучей в фотоаппарате показан на рис. 4.1.18.

Рис. 4.1.18. Ход лучей в фотоаппарате


Проекционный аппарат предназначен для формирования сильно увеличенных действительных изображений объектов (обычно снятых на пленку). Ход лучей в проекционном аппарате иллюстрирует предыдущий рисунок, только объектом теперь следует считать стрелку , а изображением стрелку .

Микроскоп предназначен для получения сильно увеличенных мнимых изображений очень мелких объектов. В микроскопе реализуется предельное увеличение, достижимое в оптике.
Минимальный размер объекта, который можно рассмотреть в микроскоп, имеет порядок длины световой волны, т.е. около метра. Микроскоп состоит из объектива и окуляра. В простейшем случае и объектив и окуляр представляют собой собирающие линзы. Объектив обращен к объекту, через окуляр глазом наблюдают изображение объекта. Ход лучей в микроскопе показан на рис. 4.1.19.

Рис. 4.1.19. Ход лучей в микроскопе

Глаз. Оптическая система глаза человека подобна оптической системе фотоаппарата. При формировании изображения предметов на сетчатке 4 глаза (рис. 4.1.20) основную роль играет преломление света на сферической поверхности границы раздела «роговица — воздух» 1, дополнительное преломление осуществляется хрусталиком 2, находящимся за радужной оболочкой 5.

Рис. 4.1.20. Оптическая система человеческого глаза

Хрусталик имеет форму двояковыпуклой линзы. Радиус кривизны хрусталика изменяется под действием специальной мышцы 3. Этот процесс называется аккомодацией. Путем аккомодации изменяется фокусное расстояние оптической системы глаза и получается четкое изображение на сетчатке.

Указания по решению задач

Решение задач по теме «Отражение и преломление света» существенно облегчается, если аккуратно вычертить рисунок, изображающий ход лучей в рассматриваемой системе. На рисунке должны быть соблюдены основные закономерности поведения лучей света на границе раздела сред. В частности, попадая в среду, оптически более плотную, луч отклоняется в сторону нормали к границе раздела сред.
Наоборот, переходя в оптически менее плотную среду, луч отклоняется от нормали к границе раздела.
Задачи по теме «Тонкие линзы» основываются на изложенных выше приемах построения изображений. При этом нужно иметь в виду, что изображение каждой точки предмета создается не только теми двумя или тремя лучами, которые использованы при его построении, а всем множеством лучей, испущенных точкой предмета и собравшихся в точке изображения.

Если размер предмета больше размера линзы и луч проведенный, например, через фокус, проходит мимо нее, следует мысленно продлить линзу, придав ей такие размеры, при которых построение характерных лучей можно было бы легко выполнить.
Если необходимо построить изображение, даваемое не одной линзой, а системой линз, то правила построения следует применять последовательно: считать изображение, построенное первой линзой, объектом для второй линзы и т.д.
При использовании формулы линзы нужно иметь в виду, что фокусное расстояние рассеивающей линзы, а также расстояние от линзы до мнимого изображения в формулу линзы входят со знаком «минус».

Примеры решения задач

К оглавлению…

Отражение и преломление света

Задача4.1.1.

Точечный источник света расположен на дне водоема глубиной м. В некоторой точке поверхности воды вышедший в воздух преломленный луч оказался перпендикулярным лучу, отраженному от поверхности воды обратно в воду. На каком расстоянии от источника на дне водоема достигнет дна отраженный луч? Показатель преломления воды .

Решение:

Ход лучей изображен на рисунке, откуда видно, что искомое расстояние . По закону преломления

С другой стороны, по условию задачи . Следовательно, и . Ответ: .

Задача 4.1.2.

Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщины см под углом . Какое расстояние будет между лучами: прошедшим пластину без отражения (А) и претерпевшим двукратное отражение от ее граней (Б)? Показатель преломления стекла .

Решение:

Ход лучей изображен на рисунке. Учитывая, что , длину отрезка (см. рисунок), можно выразить следующим образом:

Поскольку искомое расстояние , ответ имеет вид:

Задача4.1.3.

Луч света падает нормально на переднюю грань призмы, как показано на рисунке (а). Преломляющий угол призмы равен . Каким должен быть показатель преломления материала призмы п для того, чтобы угол отклонения луча призмой был равен ?

Решение:

Как видно из рисунка (б), для того чтобы угол отклонения луча призмой был равен , угол преломления должен составлять . Таким образом,

Отсюда легко получить ответ:

Задача4.1.4.

На поверхности воды плавает непрозрачный шар радиусом м, наполовину погруженный в воду. На какой максимальной глубине нужно поместить под центром шара точечный источник света, чтобы ни один световой луч не прошел в воздух? Показатель преломления воды .

Решение:

Искомое положение источника изображено на рисунке. Оно определяется из условия, что касательные к шару лучи света, испущенные источником, падают на границу раздела «вода — воздух» под предельным углом полного отражения. В этом случае действительно ни один луч от источника не выйдет в воздух, т.к. часть лучей будет перекрыта шаром, а все остальные лучи заведомо испытают полное отражение на границе раздела сред. Если переместить источник на меньшую глубину, свет по-прежнему не выйдет из воды, если же, наоборот, погрузить источник глубже, чем , то найдется часть лучей, которые будут падать на границу под углами, меньшими предельного угла полного отражения, и пройдут в воздух.
Минимальный угол падения луча на границу «вода — воздух» определяется равенством

Поскольку при полном отражении

Задача4.1.5.

В стекле с показателем преломления имеется сферическая полость радиуса см, заполненная водой. Показатель преломления воды . На полость падает широкий пучок параллельных световых лучей. Определить радиус пучка световых лучей, которые проникают в полость.

Решение:

Поскольку свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , для части лучей на границе стекла и воды возникнет полное отражение. Те лучи, угол падения которых на границу раздела превышает критическое значение , отразятся от границы и в полость не попадут. Следовательно, радиус пучка лучей, которые проникают внутрь полости, равен . Ответ: .

Задача4.1.6.

Два параллельных луча, расстояние между которыми равно радиусу R круглого прямого прозрачного цилиндра, падают на боковую поверхность этого цилиндра. Лучи параллельны основанию цилиндра. Найти величину показателя преломления материала цилиндра, при которой лучи пересекаются на его поверхности.

Решение:

Ход лучей, преломленных на передней поверхности цилиндра и пересекающихся на его задней поверхности, изображен на рисунке. По условию задачи угол падения каждого из лучей на переднюю поверхность цилиндра . Из рисунка видно, что угол преломления этих лучей на границе воздух — стекло равен . Учитывая, что , получаем ответ:

Задача4.1.7.

Луч света падает на стеклянный полушар радиуса на расстоянии от его оси симметрии параллельно ей. На какой угол отклонится вышедший после преломления в полушаре луч, если ?

Решение:

Ход луча изображен на рисунке. Видно, что угол преломления луча на границе «стекло — воздух» равен , где — угол падения луча на эту границу, причем . По закону преломления

Следовательно, . Отсюда получаем ответ:

Задача4.1.8.

Световой луч падает на поверхность стеклянного шара. Угол падения , показатель преломления стекла . Найти угол между падающим лучом и лучом, вышедшим из шара.

Решение:

Световой луч испытывает преломление дважды: при входе в стеклянный шар и при выходе из него (см. ход лучей, изображенный на рисунке). При этом нормаль к преломляющей поверхности в точках падения луча совпадает с радиусом шара, проведенным в эти точки. Из рисунка видно, что искомый угол

где — угол падения луча на поверхность шара, совпадающий с углом преломления на выходе луча из шара, — угол преломления на границе «воздух — стекло», совпадающий с углом падения на границу «стекло — воздух». По закону преломления
откуда
Следовательно,

Задача4.1.9.

На стеклянный шар радиусом с показателем преломления п падает узкий пучок света, образуя угол с осью, проведенной через точку падения и центр шара. На каком расстоянии от этой оси пучок выйдет из шара?

Решение:

Пучок света испытывает преломление дважды: при входе в стеклянный шар и при выходе из него. При этом нормали к преломляющей поверхности в точках падения пучка совпадают с радиусами шара, проведенными в эти точки.

Из рисунка видно, что искомое расстояние

где — угол преломления. По закону преломления

Следовательно, . Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача4.1.10.

На поверхность стеклянного шара с показателем преломления падает узкий пучок света, образуя малый угол с осью шара, проведенной через точку падения и центр шара. Под каким углом к этой оси пучок выйдет из шара? При расчетах положить .

Решение:

Ход одного из лучей, образующих пучок света, изображен на рисунке. Видно, что искомый угол

где — угол преломления. Из закона преломления при малых и следует, что . Ответ имеет вид: .

Задача4.1.11.

Снаружи от прозрачного шара вплотную к его поверхности помещен точечный источник света. При каких значениях показателя преломления материала шара все выходящие из него лучи (за исключением луча, прошедшего через центр шара) будут наклонены по направлению к оси, проведенной через источник и центр шара?

Решение:

Точечный источник испускает лучи света во всех направлениях. Часть этих лучей попадает внутрь шара. Из рисунка видно, что условие задачи выполнено, если для луча с произвольным углом падения справедливо неравенство .
Учитывая, что , это неравенство можно заменить равносильным:

Используя закон преломления и тригонометрическое тождество , преобразуем последнее неравенство к виду: (для всех ). Очевидно, что это неравенство должно быть выполнено прежде всего при , тогда оно будет справедливо и для всех других . Полагая , получаем ответ: .

Задача4.1.12.

Луч света, лежащий в плоскости рисунка, падает на боковую грань призмы, имеющей при вершине угол 90°. В каких пределах лежат возможные значения угла падения , если известно,

что луч выходит из боковой грани ? Показатель преломления призмы .

Решение:

Для того чтобы луч мог выйти из задней грани призмы (грани ), нужно, чтобы угол его падения на эту грань был меньше критического. Поскольку . Если — критический угол , то . Соответствующий угол падения на переднюю грань определяется равенством:

Легко видеть, что если луч падает на переднюю грань призмы под меньшим углом, то на задней грани призмы произойдет его полное отражение (угол уменьшится, а угол возрастет). Наоборот, если угол падения луча на переднюю грань призмы увеличить, то угол также увеличится, а угол уменьшится и луч выйдет из задней грани призмы. Таким образом, для того, чтобы луч вышел из задней грани, угол падения его на переднюю грань должен удовлетворять условию:

Задача4.1.13.

Снаружи круглого прозрачного стержня вблизи от центра его торца помещен точечный источник света. При каких значениях показателя преломления материала стержня свет не будет выходить через его боковую поверхность?

Решение:

Рассмотрим луч, падающий на торец стержня под углом . Для этого луча . Преломленный под таким углом луч не выйдет из боковой поверхности стержня, если .

Поскольку , это неравенство эквивалентно следующему: . Отсюда получаем ответ: .

Задача4.1.14.

Снаружи круглого прозрачного стержня вблизи от центра его торца помещен точечный источник света. Найти ширину области на боковой поверхности стержня, через которую будут выходить наружу световые лучи. Радиус стержня , показатель преломления .

Решение:

На рисунке изображены два луча, определяющие границы области на боковой поверхности стержня, из которой свет будет выходить наружу.

Верхняя граница образуется лучами, наиболее отклоненными от оси стержня (т.е. преломленными при касательном падении света на торец стержня). Таким образом, угол находится из условия

и . Нижняя граница определяется условием полного отражения на боковой поверхности стержня:

Следовательно, . Поскольку , ответ имеет вид: .

Задача4.1.15.

Торец круглого прозрачного стержня с показателем преломления п освещается рассеянным светом. Под каким максимальным углом к оси стержня будут выходить световые лучи через его боковую поверхность?

Решение:

Максимальный угол к оси стержня составляют лучи, угол преломления которых на боковой поверхности стержня минимален. Это лучи, падающие на торец стержня под углом и преломляющиеся под углом , удовлетворяющим условию: . Угол падения этих лучей на боковую поверхность стержня ,

поэтому

Учитывая, что , находим . Ответ:

Задача4.1.16.

На поверхности водоема, имеющего глубину м, плавает фанерный круг радиусом м. На оси круга расположен точечный источник света, высота которого над поверхностью круга может изменяться. Чему равен максимальный радиус тени круга на дне , если показатель преломления воды ?

Решение:

Ход лучей, ограничивающих тень от круга на дне водоема при двух положениях источника света изображен на рисунке. Радиус тени определяется равенством:


Из рисунка видно, что радиус тени увеличивается с уменьшением высоты источника. Поэтому радиус тени максимален, когда источник расположен непосредственно на поверхности круга. В этом случае лучи света касательны к границе раздела воздуха и воды, т.е. угол падения и . Подставляя это значение в выражение для радиуса тени, получаем ответ:

Задача4.1.17.

Высота солнца над горизонтом составляет угол . Пользуясь зеркалом, пускают «зайчик» в водоем. Под каким углом к горизонту нужно расположить зеркало, чтобы луч света шел в воде под углом к вертикали . Показатель преломления воды . Нормаль к зеркалу лежит в вертикальной плоскости.

Решение:

Ход луча и расположение зеркала представлены на рисунке, где штрихпунктирной линией изображена нормаль к поверхности зеркала. Из рисунка видно, что отраженный от зеркала луч образует с горизонтом угол .

Следовательно, угол падения этого луча на поверхность воды равен

откуда . С другой стороны, по закону преломления . Отсюда .
Ответ:

Задача4.1.18.

Узкий пучок световых лучей падает на стеклянный клин перпендикулярно его передней грани, расположенной вертикально. Пройдя клин, пучок попадает на вертикальный экран. На какое расстояние сместится световое пятно на экране, если сдвинуть клин вверх на расстояние см? Показатель преломления клина , угол при его вершине . При расчетах положить .

Решение:

Ход луча, преломленного клином при двух его положениях изображен на рисунке сплошной и штриховой линиями. Видно, что при сдвигании клина вверх на расстояние точка, в которой преломленный луч выходит в воздух, смещается по горизонтали вправо на расстояние . В результате возникает смещение луча вверх на расстояние, равное по величине катету , лежащему против угла в прямоугольном треугольнике, другой катет которого (см. рисунок). Таким образом, . Для определения угла рассмотрим преломление луча на границе стекло — воздух, изображенное крупным планом на врезке вверху рисунка. В силу малости угла падения закон преломления можно приближенно записать в виде: . Поэтому . Объединяя записанные выражения, получаем ответ: .

Задача4.1.19.

Две призмы с равными углами при вершине , имеющие разные показатели преломления, плотно прижаты друг к другу и расположены, как показано на рисунке. При освещении этой системы призм параллельным пучком света, падающим нормально на переднюю грань системы, оказалось, что вышедший из нее пучок отклонился от первоначального направления на угол
. Найти разность показателей преломления материалов призм. При расчетах положить .

Решение:

Ход одного из лучей, преломленных призмой, изображен на рисунке, где рассмотрен случай , при котором вышедший из системы луч отклоняется вниз. По закону преломления

аналогично,

Из рисунка видно, что . Следовательно, . Подставляя найденное в первое уравнение, получаем, что .
Таким образом, . После элементарных преобразований находим ответ: .

Задача4.1.20.

На равнобедренную стеклянную призму падает широкий параллельный пучок света, перпендикулярный грани , ширина которой см. На каком расстоянии от грани преломленный призмой свет разделится на два не перекрывающихся пучка? Показатель преломления стекла , угол при основании призмы . При расчетах учесть, что для малых углов .

Решение:

Каждый из лучей света, падающих на призму, преломляется дважды: на передней и задней ее гранях (см. рисунок). Закон преломления на этих гранях, записанный с учетом малости углов падения и преломления, дает следующие соотношения: . Поскольку , получаем для угла преломления значение .

Из рисунка видно, что пучки света, преломленные призмой, перестанут перекрываться на расстоянии , удовлетворяющем условию:
Объединяя записанные выражения, находим: .

Задача4.1.21.

На стеклянный клин перпендикулярно его передней грани падает тонкий луч света. Показатель преломления стекла , угол при вершине клина . Построив ход преломленных и отраженных от граней клина лучей, определить, сколько светлых пятен будет видно на экране, поставленном за клином.

Решение:

Ход лучей изображен на рисунке. Видно, что угол падения исходного луча на заднюю (наклонную) грань равен , угол падения на эту грань луча, испытавшего первое отражение от передней грани, равен . Вообще, после отражения от передней грани угол падения луча на заднюю грань .

Лучи будут выходить из задней грани при условии , где — угол полного отражения, определяемый условием т.е. . По условию а = 10°. Следовательно, , причем . Поэтому из задней грани клина выйдут только два луча, которые и попадут на экран.

Задача4.1.22.

Стеклянная призма имеет равные углы при основании. Чему равен угол при вершине призмы, если известно, что произвольный луч, падающий на ее основание в плоскости чертежа, после двукратного отражения от граней А и Б призмы выходит параллельно первоначальному направлению.

Решение:

Ход луча изображен на рисунке. Видно, что искомый угол — угол между нормалями к боковым граням призмы, равный

Здесь и — углы падения луча на эти грани. Поскольку падающий на основание призмы и вышедший из него лучи по условию параллельны, и .

Следовательно, по свойству углов, образованных параллельными прямыми и секущей, . Объединяя записанные выражения, получаем ответ: .

Задача4.1.23.

В фокусе сферического зеркала прожектора помещен источник света в виде светящегося диска радиусом см. Найти диаметр освещенного пятна на стене, расположенной на расстоянии м от прожектора перпендикулярно главной оптической оси, если фокусное расстояние сферического зеркала см, а диаметр зеркала см.

Решение:

Из условия задачи следует, что все световые лучи, испущенные источником и падающие на зеркало прожектора, являются параксиальными. Следовательно, после отражения от зеркала лучи

от каждой точки источника распространяются параллельным пучком, наклоненным к оптической оси зеркала. При этом наибольший наклон к оси имеют лучи, испущенные крайними точками источника. Рассмотрим одну из таких точек, например, точку . Ход нескольких лучей, испущенных этой точкой, изображен на рисунке. Видно, что
причем
Ответ:

Тонкие линзы

Задача4.1.24.

На поверхность собирающей линзы с фокусным расстоянием падает луч света на расстоянии от центра линзы под углом к ее главной оптической оси. Под каким углом к главной оптической оси выйдет луч из линзы?

Решение:

Ход падающего и преломленного в линзе лучей изображен на рисунке. При построении преломленного луча использован вспомогательный луч , параллельный падающему на линзу лучу и проходящий через оптический центр линзы без преломления. Согласно известному свойству тонкой собирающей линзы, все параллельные лучи, падающие на нее, пересекаются в точке фокальной плоскости.

Из треугольников и имеем:
откуда

Следовательно,

Задача4.1.25.

На поверхность рассеивающей линзы с фокусным расстоянием падает луч света на расстоянии от центра линзы под углом к ее главной оптической оси. Под каким углом к главной оптической оси выйдет луч из линзы?

Решение:

Ход лучей изображен на рисунке. При построении преломленного в линзе луча использован вспомогательный луч , параллельный падающему и проходящий через оптический центр линзы без преломления. Согласно известному свойству тонкой рассеивающей линзы, продолжения всех параллельных лучей, падающих на нее, пересекаются в точке фокальной плоскости.

С учетом того, что фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно, из треугольников и находим: откуда
Следовательно,

Задача4.1.26.

Тонкая линза с фокусным расстоянием = 0,4 м создает на экране увеличенное изображение предмета, который помещен на расстоянии = 2,5 м от экрана. Каково расстояние от предмета до линзы?

Решение:

При фиксированном расстоянии между предметом и экраном, превышающем , существуют два положения линзы, при которых она дает на экране изображение предмета.

Это следует из того, что формула тонкой линзы

связывающая расстояние от предмета до линзы а, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние линзы , симметрична относительно и : при замене эта формула остается справедливой. Построение изображения предмета проиллюстрировано на рисунке, где упомянутые положения линзы изображены сплошной и штриховой линиями, а через и обозначены плоскости объекта и изображения, соответственно. Видно, что когда линза занимает ближнее к предмету положение, она дает увеличенное изображение (штриховые линии), а если дальнее, то уменьшенное изображение (сплошные линии).
По условию задачи . Подставляя эти значения в формулу линзы, имеем:

Отсюда после несложных преобразований получаем квадратное уравнение относительно :

Корни этого уравнения имеют вид:

Условию задачи удовлетворяет меньший корень, поскольку линза дает увеличенное изображение. Ответ:

Задача4.1.27.

С помощью тонкой собирающей линзы на экране, установленном перпендикулярно оптической оси, получают изображение светящегося диска. Диаметр изображения в раз меньше, чем сам диск. Когда линзу отодвинули от экрана на см, то на экране снова получилось изображение диска. Определить фокусное расстояние линзы.

Решение:

Из рисунка к задаче 4.1.26 видно, что отношение размера изображения (или ) к размеру объекта (увеличение , даваемое линзой), может принимать два значения: и . В нашем случае при первоначальном положении линзы , т.е. (изображение уменьшенное). При отодвигании линзы от экрана на нем формируется увеличенное изображение предмета.
По условию задачи . Отсюда

Из формулы тонкой линзы следует, что
Подставляя сюда найденные и , получаем ответ:

Задача4.1.28.

Мнимое изображение предмета в рассеивающей линзе находится от нее на расстоянии, в два раза меньшем, чем предмет. Найти расстояние от линзы до изображения, если фокусное расстояние линзы известно.

Решение:

Построение изображения предмета представлено на рисунке. Видно, что роль расстояния между предметом и линзой и расстояния между линзой и изображением играют величины и , соответственно.

Учитывая, что формула линзы в данном случае имеет вид

И получаем ответ:

Задача4.1.29.

С помощью линзы с фокусным расстоянием см на экране получено изображение предмета с увеличением . Чему равно расстояние между предметом и экраном?

Решение:

Поскольку увеличение изображения связано с расстоянием от предмета до линзы и расстоянием от линзы до изображения соотношением , формулу линзы можно записать в виде:

Отсюда . Учитывая, что искомое расстояние , получаем ответ: .

Задача4.1.30.

Тонкая линза дает на экране изображение предмета с линейным увеличением . Во сколько раз нужно изменить расстояние между предметом и экраном, чтобы получить на экране изображение предмета с увеличением ?

Решение:

Обозначим через и расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения в первом случае, а через и — те же расстояния во втором случае. Увеличение, даваемое линзой в первом случае,
По формуле тонкой линзы Из этих соотношений находим

Расстояние между предметом и изображением в первом случае

Аналогично, во втором случае, . Ответ:

Задача4.1.31.

Начало системы координат помещено в центр тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием , причем ось совпадает с главной оптической осью линзы. Точечный источник света удаляется от линзы равномерно со скоростью по прямой, параллельной оси и проходящей на расстоянии от нее. Найти координаты изображения источника как функции времени. При источник находился в фокальной плоскости линзы.

Решение:

Ход лучей при построении изображения источника показан на рисунке. Видно, что изображение источника располагается на прямой, проходящей через правый фокус линзы и через точку пересечения линии, по которой движется источник, с преломляющей плоскостью линзы.

В начальный момент времени источник находится в фокальной плоскости линзы и его изображение бесконечно удалено. По мере перемещения источника в направлении от линзы его изображение приближается к линзе.
Из подобных треугольников (см. рисунок) находим отношения:

Выражая отсюда н , получаем ответ:

Задача4.1.32.

Начало системы координат помещено в центр тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием , причем ось совпадает с главной оптической осью линзы. Точечный источник света удаляется от линзы по прямой, проходящей через фокус линзы под углом , с постоянной скоростью . Найти координаты изображения источника в зависимости от времени. При источник находился в фокусе линзы.

Решение:

Ход лучей при построении изображения источника показан на рисунке. Видно, что изображение источника располагается на прямой, параллельной главной оптической оси линзы и проходящей через точку пересечения линии, по которой движется источник, с преломляющей плоскостью линзы.

В начальный момент времени источник находится в фокальной плоскости линзы и его изображение бесконечно удалено. По мере перемещения источника в направлении от линзы его изображение приближается к линзе. Из рисунка видно, что

где . Выражая из записанного выше отношения, после несложных преобразований получаем ответ:

Задача4.1.33.

Отрезок расположен вдоль прямой, проходящей через фокус собирающей линзы под углом к главной оптической оси. Найти длину изображения этого отрезка. Фокусное расстояние линзы , а расстояния от точек и до фокуса равны, соответственно, и .

Решение:

Изображение отрезка располагается на прямой, параллельной главной оптической оси линзы и проходящей через точку пересечения линии, по которой находится отрезок, с преломляющей плоскостью линзы (см. решение задачи 4.1.32). Обозначим через и расстояния от точек и до линзы, соответственно. Легко видеть, что . Обозначив через и расстояния от линзы до изображений точек и , соответственно, из формулы линзы получаем:

Учитывая, что , находим ответ:

Задача4.1.34.

На рисунке представлены светящаяся точка и ее изображение , даваемое линзой, главная оптическая ось которой — прямая . Расстояния от точек и до оптической оси равны, соответственно, = 20 см и = 30 см, расстояние между точками и равно = 15 см. Найти фокусное расстояние линзы .

Решение:

Поскольку находится по ту же сторону от главной оптической оси линзы, что и , причем , изображение объекта увеличенное и прямое. Такое изображение может дать только собирающая линза, причем это изображение является мнимым.

Соответствующий ход лучей и найденное построением положение линзы и ее фокуса показаны на рисунке. Из подобия треугольников вытекает отношение . Отсюда
С другой стороны, из формулы линзы, записанной учетом того, что изображение мнимое:

вытекает, что Объединяя записанные выражения, получаем ответ

Задача4.1.35.

Изображение предмета наблюдают на экране, расположенном на расстоянии = 5 см от тонкой линзы, фокусное расстояние которой = 3,5 см. «Линзу смещают в направлении, перпендикулярном ее главной оптической оси, на расстояние = 7 мм. На какое расстояние х сместится при этом изображение предмета?

Решение:

Ход лучей, дающих изображение точечного предмета при исходном и смещенном положении линзы изображен на рисунке сплошными и штриховыми линиями, соответственно.

Из подобия треугольников (см. рисунок) следует, что

По формуле линзы Подставляя в записанное выше равенство и выражая из него , получаем ответ:

Задача4.1.36.

Светящаяся нить лампы в осветителе имеет форму отрезка длины = 1 см и расположена вдоль главной оптической оси линзы диаметра = 5 см с фокусным расстоянием = 9 см таким образом, что дальний от линзы конец нити находится в фокусе линзы. Построив ход лучей, определить диаметр d светлого пятна на экране, расположенном на расстоянии = 72 см от линзы перпендикулярно ее главной оптической оси.

Решение:

Ход лучей, испущенных двумя точками, находящимися на противоположных концах нити, изображен на рисунке. Видно, что диаметр светового пятна на экране определяется лучами, выходящими из ближнего к линзе конца нити и проходящими через край линзы. Из подобия треугольников (см. рисунок) имеем:

Исключая их этих отношений , находим :

Учитывая, что , получаем ответ: 10 см.

Задача4.1.37.

Светящаяся нить лампы имеет форму отрезка длины = 1 см и расположена вдоль главной оптической оси линзы с фокусным расстоянием = 5 см так, что ближний к линзе конец нити находится в ее фокусе. На расстоянии от линзы перпендикулярно ее главной оптической оси расположен экран. Построив ход лучей, определить, при каком значении размер пятна на экране превысит диаметр линзы?

Решение:

Ход лучей, испущенных двумя точками, находящимися на противоположных концах нити, изображен на рисунке. Видно, лучи, вышедшие из дальнего от линзы конца нити и преломившиеся в линзе, на некотором расстоянии от нее пересекут лучи, вышедшие из конца нити, расположенного в фокусе.

Диаметр светового пятна на экране будет превышать диаметр линзы в том случае, когда экран расположен от линзы на расстоянии .
Из подобия треугольников (см. рисунок) имеем: . Исключая их этих отношений , находим : . Ответ:

Задача4.1.38.

Точечный источник света лежит на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием = 70 см. Расстояние от источника до центра линзы равно . На какое расстояние сместится изображение источника, если линзу повернуть так, чтобы прямая, проведенная от источника к центру линзы, составляла угол главной оптической осью линзы? Центр линзы остается неподвижным.

Решение:

Когда линза не повернута, изображение находится от нее на расстоянии, равном . Ход лучей при построении изображения, даваемого повернутой линзой, приведен на рисунке штриховыми линиями. Так как один из лучей совпадает с главной оптической осью не повернутой линзы, изображение источника при повороте линзы останется на той же прямой.

Введем следующие обозначения (см. рисунок): . Тогда . Из подобия треугольников имеем: , откуда , причем . Из формулы тонкой линзы следует, что . Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований находим значение :

Ответ:

Задача4.1.39.

Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием = 0,6 м и тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием = -1 м имеют общую оптическую ось и расположены на расстоянии = 0,2 м друг от друга.

На собирающую линзу вдоль общей оптической оси падает пучок параллельных лучей света. На каком расстоянии от рассеивающей линзы он будет сфокусирован?

Решение:

Ход одного из лучей, преломляющегося в первой и второй линзах, построен на рисунке. Из подобия треугольников имеем:

Исключая из этих отношений и выражая , получаем ответ:

Задача4.1.40.

Оптическая система состоит из двух одинаковых собирающих линз с фокусным расстоянием , расположенных так, что их фокусы совпадают. Предмет находится на расстоянии перед первой линзой. На каком расстоянии от второй линзы будет располагаться изображение предмета?

Решение:

Для построения изображения предмета воспользуемся двумя лучами, ход которых изображен на рисунке. Один из этих лучей идет параллельно главной оптической оси системы и после преломления в первой линзе пересекает оптическую ось в правом фокусе этой линзы (точка на рисунке).

Второй луч направлен так, что его продолжение пересекает оптическую ось в левом фокусе первой линзы (точка на рисунке), в результате чего после преломления в первой линзе он идет параллельно главной оптической оси. Преломляясь во второй линзе, эти лучи пересекаются в точке . Из треугольника находим, что . Из подобия треугольников и следует:

Подставляя сюда найденное , получаем ответ: .

Задача4.1.41.

Человек, страдающий дальнозоркостью, рассматривает предмет, находящийся на расстоянии = 20 см перед его глазами. При этом изображение предмета оказывается смещенным за поверхность сетчатки глаза на расстояние = 2,2 мм. Определить оптическую силу контактной линзы, устраняющей это смещение. Считать, что оптическая система глаза — это тонкая линза с фокусным расстоянием = 2 см, а контактная линза вплотную примыкает к ней.

Решение:

Обозначим через расстояние от хрусталика до сетчатки глаза. Учитывая, что оптическая сила системы «глаз 4- контактная линза» равна , по формуле тонкой линзы имеем:

Поскольку расстояние от хрусталика до изображения предмета в отсутствие контактной линзы равно , формула тонкой линзы для этого случая имеет вид:

Исключая из этих соотношений , получаем ответ:

Задача4.1.42.

Человек, страдающий близорукостью, рассматривает предмет, находящийся на расстоянии = 202 см перед его глазами с использованием контактной линзы оптической силы = — 5 дптр. При этом изображение предмета оказывается точно в плоскости сетчатки глаза. Определить, на какое расстояние сместится плоскость изображения, если человек снимет контактные линзы. Считать, что оптическая система глаза — это тонкая линза с фокусным расстоянием = 2 см, а контактная линза вплотную примыкает к ней.

Решение:

Обозначим через расстояние от хрусталика до сетчатки глаза. Учитывая, что оптическая сила системы «глаз 4- контактная линза» равна , по формуле тонкой линзы имеем:

Поскольку расстояние от хрусталика до изображения предмета в отсутствие контактной линзы равно (у близорукого человека изображение смещено в сторону хрусталика), формула тонкой линзы для этого случая имеет вид:

Исключая из этих соотношений , получаем ответ:

Изображение смещено в сторону хрусталика.

Задача4.1.43.

Рассеивающая и собирающая линзы с одинаковыми по величине фокусными расстояниями = 10 см расположены на расстоянии друг от друга так, что их главные оптические оси совпадают. Предмет находится на расстоянии = 20 см от рассеивающей линзы. На каком расстоянии от собирающей линзы находится изображение предмета, показанное на рисунке штриховой линией?

Решение:

Ход лучей при построении изображения предмета показан на рисунке. Из подобия треугольников и имеем:

Из подобия треугольников и следует: . Отсюда . Искомое расстояние, как видно из рисунка, равно , причем . Ответ:

Задача4.1.44.

Собирающая и рассеивающая линзы с одинаковыми по величине фокусными расстояниями = 20 см расположены на расстоянии друг от друга так, что их главные оптические оси совпадают. Предмет находится на некотором расстоянии от собирающей линзы. Чему равно увеличение системы , т.е. отношение размера изображения к размеру предмета, если известно, что действительное изображение предмета, показанное на рисунке штриховой линией, находится на расстоянии = 30 см от рассеивающей линзы?

Решение:

Ход лучей при построении изображения предмета показан на рисунке. Из подобия треугольников и следует, что

С другой стороны, увеличение системы . Объединяя эти выражения, получаем ответ:

Задача4.1.45.

Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы. По другую сторону линзы находится экран, перпендикулярный ее главной оптической оси. Найти радиус г светового пятна на экране, если известно, что расстояние от источника до линзы = 30 см, расстояние от линзы до экрана = 80 см, фокусное расстояние линзы = 20 см, а ее радиус = 3 см.

Решение:

Все световые лучи, испущенные источником и попавшие в линзу, пересекаются на ее главной оптической оси в точке , являющейся изображением источника (см. рисунок).

Пройдя далее до экрана, они образуют на нем освещенное круглое пятно. Из подобных треугольников и имеем:

С другой стороны, по формуле тонкой линзы

Используя эти соотношения, после несложных преобразований получаем ответ:

Задача4.1.46.

Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием = 20 см. По другую сторону линзы на расстоянии = 80 см от нее находится экран, перпендикулярный ее главной оптической оси. Известно, что если переместить экран на расстояние = 40 см в сторону линзы, то размер пятна света, создаваемого источником на экране, не изменится. Определить расстояние от источника света до линзы.

Решение:

Все световые лучи, испущенные источником и попавшие в линзу, пересекаются на ее главной оптической оси в точке , являющееся изображением источника (см. рисунок). Пройдя далее до экрана, они образуют на нем освещенное круглое пятно. Из рисунка видно, что размер пятна не изменится, если расстояние , на которое перемещают экран, удовлетворяет соотношению

С другой стороны, по формуле тонкой линзы

Используя эти соотношения, после несложных преобразований получаем ответ:

Задача4.1.47.

Точечный источник света находится на главной оптической оси рассеивающей линзы.

Если поместить источник в точку , то его изображение расположится в точке . Если поместить источник в точку , то его изображение расположится в точке . Зная расстояния между точками и = 20 см и между точками и = Ю см, найти фокусное расстояние линзы .

Решение:

Расположение линзы, ее фокальной плоскости, источника и его изображений показано на рисунке. Записывая формулу тонкой линзы с использованием для соответствующих расстояний обозначений, приведенных на рисунке, имеем:

В этих выражениях учтено, что расстояние от линзы до мнимого изображения, а также модуль фокусного расстояния рассеивающей линзы должны войти в формулу линзы со знаком «минус». Кроме того, справедливы также следующие соотношения:

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Элементы физической оптики. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Волновые свойства света проявляются в эффектах, присущих любому волновому движению. К таким эффектам в первую очередь относятся интерференция и дифракция света (см. ниже).

Электромагнитная природа света

На основе многочисленных экспериментов установлено, что свет и электромагнитные волны имеют ряд общих свойств: одинаковую скорость распространения, наличие поляризации (см. ниже), способность испытывать отражение и преломление и т.п. Это позволило сделать вывод о том, что свет имеет электромагнитную природу, т.е. представляет собой электромагнитные волны определенного частотного диапазона. Длины волн видимого света в вакууме лежат в диапазоне от 0,39 микрона (фиолетовый свет) до 0,77 микрона (красный свет).

Поляризацией света называется физическая характеристика оптического излучения, связанная с зависимостью свойств света от направления в плоскости фронта световой волны. Поляризованными могут быть только поперечные волны. Поперечность световых волн доказана многочисленными экспериментами по распространению света в кристаллах.
Свет называется линейно — поляризованным, если в световой волне направления колебаний электрического и магнитного полей строго фиксированы и перпендикулярны направлению распространения. Естественный свет не поляризован, направления колебаний электрического и магнитного полей в нем хаотически меняются так, что все направления колебаний в плоскости, перпендикулярной лучу, равновероятны.

Существуют различные способы получения поляризованного света. Устройства (как правило, прозрачные кристаллы), с помощью которых из естественного света выделяют поляризованный свет, называются поляризаторами. Для обнаружения поляризации служат анализаторы, которые по своему принципу действия идентичны поляризаторам. Поляризатор пропускает свет только с определенным направлением колебаний электрического (и соответственно магнитного) поля. В зависимости от ориентации анализатора поляризованный свет либо проходит, либо не проходит через него. При скрещенном положении поляризатора и анализатора, когда они повернуты друг относительно друга на 90°, световые волны через них не проходят.

Скорость света в однородной среде определяется формулой

(4.2.1)

где — скорость света в вакууме , — показатель преломления среды. Длина световой волны в веществе с показателем преломления уменьшается по сравнению с длиной волны в вакууме: . На расстоянии , которое проходит в веществе световая волна, укладывается в раз большее число длин волн, чем в вакууме.

Дисперсией света называется явление зависимости показателя преломления среды от частоты (длины волны) света. Из (4.2.1) вытекает, что дисперсия света может определяться также как явление зависимости скорости распространения световой волны в веществе от ее частоты (длины волны).

Спектроскоп — это прибор для наблюдения спектрального состава света. Простейшим спектроскопом служит стеклянная призма, с помощью которой можно наблюдать разложение белого света в спектр, т.е. на составляющие с различными длинами волн (рис. 4.2.1).

Рис. 4.2.1. Спектр белого света

Инфракрасное излучение — невидимое электромагнитное излучение, длина волны которого превышает длину волны красного света. Инфракрасные волны имеют длины волн в диапазоне … … .

Ультрафиолетовое излучение — невидимое электромагнитное излучение, длина волны которого меньше длины волны фиолетового света и лежит в диапазоне м.

Интерференция света — это пространственное перераспределение энергии светового излучения при наложении двух или нескольких световых волн. Правильное объяснение интерференции света как типично волнового явления было дано в начале XIX века Т. Юнгом и О. Френелем. Интерференция света характеризуется образованием стационарной (постоянной во времени) интерференционной картины — регулярного чередования в пространстве областей повышенной и пониженной интенсивности света, получающейся в результате наложения когерентных световых волн, т.е. волн одинаковой частоты, имеющих постоянную разность фаз. Добиться постоянной разности фаз волн от независимых источников практически невозможно. Поэтому для получения когерентных световых волн обычно используется следующий способ: свет от одного источника каким-либо образом разделяют на два или несколько пучков и, пустив их по разным путям, сводят их затем вместе.

Интерференция наблюдается также при отражении света от тонкой мыльной пленки, от нефтяных пленок на поверхности воды. Интерференционная картина при этом образуется за счет наложения световых волн, отраженных от наружной и внутренней поверхностей пленки. Когерентность интерферирующих волн обеспечивается тем, что обе они испущены от одного источника.
Простая для наблюдения интерференционная картина возникает в тонкой прослойке воздуха между стеклянной пластикой и прижатой к ней плосковыпуклой линзой большого радиуса кривизны. Эта картина имеет вид концентрических колец, получивших название колец Ньютона.

Максимум в интерференционной картине наблюдается при условии, что световые волны от когерентных источников приходят в точку наблюдения в одной и той же фазе (оптическая разность хода лучей от источников до данной точки равна при этом четному числу полуволн). Минимум в интерференционной картине наблюдается при условии, что световые волны от когерентных источников приходят в точку наблюдения в противофазе (когда оптическая разность хода лучей равна нечетному числу полуволн).
При наблюдении интерференции в монохроматическом свете с определенной длиной волны интерференционная картина на экране представляет собой чередование светлых и темных мест. Интерференционная картина в белом свете является окрашенной, ибо каждая составляющая белого света дает усиления и ослабления света в своих местах на экране.

Дифракция света — это огибание лучами света границы непрозрачных тел, в том числе проникновение света в область геометрической тени. Впервые дифракцию света наблюдал Ф. Гримальди в середине XVII века. Совместное проявление интерференции и дифракции света наблюдалось в классическом опыте Юнга, поставленном им в 1802 г.

Рис. 4.2.2. Схема опыта Юнга

Схема опыта изображена на рис. 4.2.2. Свет, прошедший через маленькое отверстие в непрозрачной ширме, падал на другую ширму с двумя близко расположенными маленькими отверстиями и . Сферическая волна от отверстия возбуждала в отверстиях и когерентные световые колебания. В результате интерференции волн от отверстий и на экране появлялись чередующиеся темные и светлые полосы. Закрывая одно из отверстий Юнг, обнаруживал, что интерференционные полосы исчезали. С помощью этого опыта Юнгом были весьма точно измерены длины волн, соответствующие световым лучам разного цвета.
Принципиальное значение опыта Юнга состоит в том, что он дал первое неопровержимое доказательство волновой природы света.

Принцип Гюйгенса-Френеля является основным принципом волновой оптики. Он используется для решения дифракционных задач — отыскания распределения интенсивности световой волны, распространяющейся в среде с препятствиями (непрозрачными телами). Согласно этому принципу каждая точка пространства, которой достигла в настоящий момент распространяющаяся волна, становится источником элементарных сферических волн. Световое поле в следующий момент времени образуется в результате интерференции элементарных волн, излучаемых точками волновой поверхности в направлении распространения волны (элементарные волны, излучаемые точками волновой поверхности в обратном направлении, во внимание не принимаются).

В отличие от принципа Гюйгенса, областью применимости которого является геометрическая оптика, дающая лишь направление распространения световых лучей, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет найти амплитуду и фазу световой волны в любой точке пространства. С его помощью Френелю удалось объяснить дифракцию света на отверстии, на диске, на краю экрана и в других задачах.
Исследования явлений дифракции отчетливо показывают приближенный характер законов геометрической оптики. Эти законы выполняются достаточно точно лишь в том случае, когда поперечные размеры непрозрачных препятствий на пути распространения света намного больше длины световой волны.

Дифракционная решетка — это пространственная периодическая структура, период которой соизмерим с длиной световой волны. В простейшем случае решетка представляет собой систему щелей в непрозрачном экране (рис. 4.2.3). Если на решетку падает плоская монохроматическая волна, то дифракционная картина, полученная с помощью линзы на экране, имеет в результате интерференции света от различных щелей вид чередующихся светлых и темных полос.

Рис. 4.2.3. Дифракция света на решетке

При этом угловые направления на максимумы дифракционной картины определяются уравнением:

(4.2.2)

Здесь — период решетки (т.е. расстояние между соседними щелями), — угол между нормалью к решетке и направлением на один из максимумов дифракционной картины, — длина световой волны, — целое число, называемое порядком дифракционного максимума. Если на решетку падает белый свет, то решетка разлагает его в спектр. При этом все максимумы, кроме центрального , будут окрашены. Дифракционную решетку часто используют как спектральный прибор: проводят с ее помощью измерение длин световых волн и т.п.

Корпускулярные свойства света проявляются в явлениях взаимодействия света с веществом, в частности, при испускании и поглощении света атомами. В соответствии с законами квантовой физики атомы способны испускать и поглощать свет не в любых количествах, а лишь строго определенными порциями (квантами). Энергия кванта света определяется формулой Планка

(4.2.3)

Здесь — частота света, — постоянная Планка.

Фотоэффект

В развитии представлений о природе света важный шаг был сделан при изучении явления, открытого Герцем в 1887 г. и тщательно исследованного Столетовым в 1888 г. Это явление, состоящее в испускании электронов веществом под действием света, получило название фотоэффекта.

Рис. 4.2.4. Схема установки для наблюдения фотоэффекта
Рис. 4.2.5. Зависимость силы фототока I от напряжения U

Схема установки для наблюдения фотоэффекта изображена на рис. 4.2.4. В стеклянный баллон, из которого выкачан воздух, помещены два электрода. На один из электродов свет поступает через кварцевое окно, прозрачное не только для видимого, но и для ультрафиолетового излучения. На электроды подается напряжение, которое можно менять с помощью потенциометра и измерять вольтметром. Ток в цепи измеряется миллиамперметром. Типичный график зависимости силы фототока от напряжения между катодом и анодом изображен на рис. 4.2.5.
Исследования, выполненные Столетовым и другими учеными в конце XIX — начале XX веков, позволили установить следующие законы фотоэффекта’.

  1. число электронов, испускаемых поверхностью металла, и сила фототока насыщения пропорциональны освещенности катода;
  2. энергия вылетающих при фотоэффекте электронов зависит от частоты света и вещества катода, но не зависит от освещенности катода;
  3. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта — такая наименьшая частота (или наибольшая, «красная» длина волны) падающего света, при которой еще возможен фотоэффект.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Фотон

Объяснение законов фотоэффекта дал Эйнштейн в 1905 г. Развивая идеи Планка, он предположил, что свет существует в виде элементарных неделимых порций (фотонов) с энергией, определяемой формулой (4.2.3). Эйнштейн теоретически обосновал связь между энергией, получаемой фотоэлектроном при его освобождении светом, и частотой этого света.

Он допустил, что, вся энергия, полученная электроном, доставляется ему светом в виде определенной порции и поглощается им целиком. При этом электрон не заимствует энергию от атомов катода. Эйнштейн получил для фотоэффекта уравнение

(4.2.4)

где — максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, — работа выхода, т.е. энергия, необходимая для удаления электрона из металла. В 1915 году Милликен экспериментально исследовал зависимость максимальной энергии электронов, испускаемых металлом при фотоэффекте, от частоты падающего света и подтвердил уравнение Эйнштейна.

Давление света. Опыты Лебедева по измерению давления света

Важное свойство света состоит в том, что он оказывает давление на непрозрачные тела. Из электромагнитной теории Максвелла следует, что сила давления света определяется формулой

(4.2.5)

где — мощность света, — скорость света, — коэффициент отражения, т.е. отношение интенсивности отраженного света к интенсивности падающего. В квантовой оптике световое давление объясняется тем, что у каждого фотона имеется импульс , который при столкновении фотона с телом передается атомам или молекулам вещества. Численные оценки по формуле (4.2.5) показывают, что обычно сила светового давления чрезвычайно мала. Поэтому экспериментальное обнаружение сил светового давления представляет собой трудную задачу. Эту задачу решил Лебедев в 1898 году. В его опытах свет мощной дуговой лампы направлялся на легкий каркас с укрепленными на нем тонкими «крылышками» — светлыми и темными дисками из платиновой фольги толщиной от 0,01 до 0,1 мм. Диски располагались симметрично относительно оси, вокруг которой каркас, подвешенный на тонкой стеклянной нити, мог поворачиваться. Система помещалась в сосуд, из которого был выкачан воздух. Свет, падая на светлые и затемненные диски, оказывал на них различное давление, вызывая закручивание нити. Лебедев измерял мощность падающего светового пучка и угловое отклонение каркаса. В результате опытов он установил, что

  1. падающий пучок света производит давление как на поглощающие, так и на отражающие поверхности;
  2. сила давления света прямо пропорциональна мощности падающего пучка;
  3. наблюдаемая сила давления света количественно равна силе, определяемой формулой (4.2.5).

Таким образом, существование сил светового давления было доказано экспериментально.

Постулаты Эйнштейна

В начале XX века Эйнштейн сформулировал следующие два постулата, положенные им в основу теории относительности:

  1. в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково. Иными словами, никакими физическими опытами, проведенными внутри данной системы отсчета, нельзя установить находится ли данная система в состоянии покоя или равномерно прямолинейно движется (принцип относительности);
  2. во всех инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме одинакова и не зависит от скорости движения источника света (принцип постоянства скорости света).

Связь между массой и энергией

Одним из важнейших для ядерной физики и физики элементарных частиц следствий теории относительности является взаимосвязь массы тела (частицы) и его энергии, выражаемая формулой

(4.2.6)

где — масса тела, — его скорость. Выражение

(4.2.7)

представляет собой энергию покоя тела (частицы).
Между полной энергией , энергией покоя и импульсом тела (частицы) существует релятивистская связь энергии и импульса:

(4.2.8)

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача4.2.1.

Два когерентных источника и испускают монохроматический свет с длиной волны = 0,6 мкм. Определить, на каком расстоянии от точки, расположенной на экране на равном расстоянии от источников, будет находиться первый максимум освещенности. Экран удален от источников на расстояние = 3 м, расстояние между источниками = 0,5 мм.

Решение:

Максимумы освещенности образуются в тех точках на экране, в которых световые волны, пришедшие от источников, оказываются в фазе. Условия максимумов интерференционной картины имеют вид: , где и — расстояния от источников до данной точки на экране (см. рисунок), — целое число (порядок интерференционного максимума).

Для волн, дающих первый максимум, = 1. Из рисунка видно, что . Отсюда .
Преобразуем это равенство к виду: . Учитывая, что , можно записать: . Тогда . Объединяя это равенство с записанным выше условием максимума первого порядка, получаем ответ:

Задача4.2.2.

Два когерентных пучка света падают на экран: один по нормали, а другой — под углом = 0,01 рад. Найти период интерференционной картины, т.е. расстояние между соседними светлыми полосами на экране, если длина световой волны в обоих пучках равна = 0,5 мкм.

Решение:

На рисунке изображены волновые фронты двух пучков: падающего на экран нормально и падающего на экран наклонно . Пусть в некоторой точке наблюдается один из максимумов интерференционной картины. Это означает, что фазы обеих световых волн в этой точке совпадают. Соседний максимум интенсивности находится в точке , для которой также выполняется условие равенства фаз обеих волн. Это имеет место, если расстояние между точками и равно длине световой волны . Из треугольника имеем: . Учитывая, что , получаем ответ:

Задача4.2.3.

На стеклянную пластинку нанесен тонкий слой прозрачного покрытия, показатель преломления которого = 1,41 меньше показателя преломления стекла. На пластинку под углом = 30° падает пучок белого света. Какова минимальная толщина покрытия , если в отраженном свете оно кажется зеленым? Длина волны зеленого света = 0,53 мкм.

Решение:

Ход двух интерферирующих лучей изображен на рисунке. Один из этих лучей (1) преломляется на верхней грани покрытия, отражается от его нижней грани и, преломившись второй раз на верхней грани, выходит в воздух.

Другой луч (2) падает на верхнюю грань покрытия в точке выхода первого луча и отражается от этой грани. Оптическая длина пути первого луча в диэлектрике равна

Разность хода первого и второго лучей до падения на покрытие (см. рисунок) составляет величину

Разность хода между интерферирующими лучами равна

Амплитуды волн будут складываться, если . Отсюда получаем минимальную толщину покрытия:

Задача4.2.4.

Катод фотоэлемента облучается светом с длиной волны . Какая энергия передана фотоэлектронам, если в цепи фотоэлемента протек заряд Кл? Постоянная Планка , величина заряда электрона Кл, скорость света м/с.

Решение:

Величина протекшего в цепи заряда равна , где — число фотоэлектронов. Отсюда . Энергия одного светового кванта с длиной волны равна . Следовательно, фотоэлектронам передана энергия . Ответ: .

Задача4.2.5.

Какой максимальный заряд может быть накоплен на конденсаторе емкостью , одна из обкладок которого облучается светом с длиной волны м? Работа выхода электрона составляет Дж, постоянная Планка , величина заряда электрона Кл, скорость света м/с.

Решение:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия светового кванта расходуется на преодоление работы выхода и на сообщение фотоэлектрону кинетической энергии:
откуда
Покидающие облучаемую обкладку конденсатора фотоэлектроны уносят отрицательный заряд, в результате чего эта обкладка заряжается положительно. Создаваемое ею электрическое поле наводит такой же по величине отрицательный заряд на другой обкладке. Между обкладками возникает разность потенциалов , где — величина заряда на каждой из обкладок. Электрическое поле конденсатора стремится вернуть электроны на положительно заряженную обкладку. Если потенциальная энергия электронов в окрестности отрицательно заряженной обкладки станет равной их начальной кинетической энергии, то все электроны, покидающие облучаемую обкладку, будут возвращаться на нее, и зарядка конденсатора прекратится. Таким образом, условие достижения максимального напряжения между обкладками имеет вид:
или
Ответ:

Задача4.2.6.

На металлическую пластинку сквозь сетку, параллельную пластинке, падает свет с длиной волны = 0,4 мкм. Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов между пластинкой и сеткой = 0,95 В. Определить красную границу фотоэффекта (максимальную длину волны ). Постоянная Планка , величина заряда электрона Кл, скорость света м/с.

Решение:

Фототок прекращается, когда потенциальная энергия электронов в задерживающем поле становится равной кинетической энергии электронов, покидающих пластинку, т.е. . Используя уравнение Эйнштейна, получаем работу выхода для материала пластинки:

Длина волны , соответствующая красной границе фотоэффекта, определяется из условия, что энергия кванта равна работе выхода:

Объединяя записанные соотношения, получаем ответ:

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: