Определения сходимости знакочередующегося ряда составленного из модулей членов

Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей членов данного знакочередующегося ряда. Ряд является расходящимся гармоническим рядом. Следовательно, по определению, знакочередующийся ряд условно сходится, что и требовалось доказать.

Для определения характера сходимости знакочередующегося ряда удобно использовать следующий алгоритм:

  1. составить ряд из модулей членов данного ряда: ;
  2. исследовать положительный ряд на сходимость;
  3. если ряд сходится, го знакочередующийся ряд абсолютно сходится (следовательно, и просто сходится);
  4. если ряд расходится, то исследовать знакочередующийся ряд на сходимость;
  1. сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда .

Пример решения заказа контрольной работы №100.

Исследуйте характер сходимости знакочередующегося ряда

Решение:

Для исследования характера сходимости знакочередующегося ряда

воспользуемся алгоритмом.

Составим ряд из модулей членов данного ряда:

Исследуем полученный положительный ряд

признака Коши, т.к. общий член ряда представляет собой -ую степень выражения :

выпишем

найдём

найдём

(при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). В итоге,

Значит, по признаку Коши ряд

сходится.

Поскольку ряд

сходится, то по определению, знакочередующийся ряд

абсолютно сходится (следовательно, и просто сходится).

Ответ:

абсолютно сходится.

Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Заметим по определению, что исследование абсолютной сходимости знакочередующегося ряда фактически сводится к исследованию сходимости положительного ряда. Таким образом, для этой цели можно использовать все признаки сходимости положительных рядов.

Пример решения заказа контрольной работы №101.

Докажите, что знакочередующийся ряд абсолютно сходится.

Доказательство. Составим ряд из модулей членов данного ряда: .

Исследуем полученный положительный ряд на сходимость с помощью признака Даламбера по алгоритму.

В итоге,

Значит, по признаку Даламбера ряд сходится.

Следовательно, но определению, знакочередующийся ряд абсолютно требовалось доказать.

Для абсолютно сходящихся рядов справедливо утверждение: если знакочередующийся ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов , расходится.

Пример решения заказа контрольной работы №102.

Докажите, что знакочередующийся ряд условно сходится.

Доказательство. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда с помощью признака Лейбница по алгоритму.

Выпишем модуль общего члена исходного ряда:

Найдём

Неравенства справедливы, т.к. (первое условие признака Лейбница выполнено).

Найдём (второе условие признака Лейбница выполнено).

Следовательно, но признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Разложение функций в ряд Маклорена
Нахождение интервала сходимости для степенного ряда
Признак Даламбера для общего члена ряда
Основные свойства рядов