Контрольная работа: Нахождение определённых интегралов методом подстановки

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом подстановки.

Методические указания no выполнению работы:

Интегрирование подстановкой (заменой переменной) — осуществляется с использованием формулы

Для нахождения определенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:

  1. Введите новую переменную таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая (от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная .
  2. Найдите по формуле: .
  3. Выразите через .
  4. Найдите новые границы интегрирования и , подставив исходные границы в функцию .
  5. Подставьте и в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной . Смените границы интегрирования на и .
  6. Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный определенный интеграл с переменной .

Рассмотрим применение метода замены переменной на примере.

Пример решения заказа контрольной работы №71.

Вычислите

Решение:

  1. Выполним подстановку с целью прийти к интегралу от функции .
  2. Найдем по формуле
  3. Выразим из выражения пункта 2
  4. Вычислим новые границы интегрирования для переменной . Для этого подставим существующие границы в выражение .

Тогда нижняя граница верхняя граница

Подставим и в исходным интеграл (пока неопределенный):

Видим, что можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной

В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид:

Вычислим полученный интеграл. По таблице интегралов находим, что

Воспользуемся свойством 3 определенного интеграла, позволяющим менять границы интегрирования, при этом избавляясь от знака «минус» перед определенным интегралом

Тогда

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытии неопределенности вида бесконечности
Контрольная работа: Полное исследование функции и построение графика
Контрольная работа: Приложении определённого интеграла
Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной