Методические указания по гидромеханике

Условные обозначения:
— работа
— модуль объемной упругости
— теплоемкость, скорость звука
— диаметр
— энергия
— коэффициент давления
— коэффициент сопротивления
— коэффициент подъемной силы
— вектор силы
— частота колебаний
— массовый расход
— объемный расход
— ускорение свободного падения

— показатель адиабаты, постоянная величина
— длина
— момент силы
— масса
— давление
— площадь
— время
— абсолютная температура
— вектор скорости
— модуль вектора скорости
— комплексная скорость
— модуль комплексной скорости
— вектор ускорения
— динамическая вязкость
— кинематическая вязкость
— плотность
— касательное напряжение
— потенциал скорости
— функция тока
— угловая скорость

Введение в гидромеханику

Особенность гидромеханики как механики сплошной среды.

Теоретическая механика изучает механические формы движения и взаимодействия материальных тел, используя понятия материальной точки и системы материальных точек. Материальная система может быть дискретной и сплошной. Дискретная состоит из отдельных материальных точек. Сплошная система имеет непрерывное распределение веществ, физических характеристик состояния и движения в пространстве. В этом случае систему называют сплошной материальной средой.

Раздел теоретической механики, занимающийся движением такого рода сред, носиг название механики сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообразным средам — механики жидкости и газа. Гидромеханика или гидродинамика это механика жидкости.

Модель жидкой или газообразной среды в гидромеханике характеризуется двумя основными свойствами:

Сплошность. Непрерывное распределение массы и физико-механических характеристик среды.

Подвижность или текучесть. Для большинства жидкостей касательные напряжения внутреннего трения отличны от нуля только при относительном сдвиге слоев среды. При относительном покое внутреннее трение отсутствует.

Гипотеза о непрерывности среды позволяет рассматривать все механические характеристики жидкой среды (скорость, давление, плотность и т.д.) как непрерывные и дифференцируемые функции координат точки и времени. В понятие жидкости включаются капельные и газообразные жидкости.

Частица жидкости или жидкая частица — бесконечно малый объём жидкости, неизменно окружающий её рассматриваемую точку. При движении этот объём деформируется, но заключённая в нём жидкость не смешивается с окружающей жидкостью. Аналогия — капля краски, пущенная в жидкость и перемещающаяся вместе с ней.

Жидкий объём — бесконечно малый или конечный объём жидкости, который во время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости. Аналогично определяются термины жидкая линия и жидкая поверхность.

Силы действующие на жидкость. В жидкости могут действовать лишь силы, распределённые по объёму или по поверхности её.

Массовые (объёмные) силы пропорциональны массе частицы и приложены ко всякой материальной частице рассматриваемого объёма жидкости. Например, силы тяжести, инерции.

Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности рассматриваемого объёма жидкости.

Интенсивность этих сил характеризуется напряжением. Как показано на рис. 1, напряжение массовой силы в некоторой точке определяется как

Напряжение нормальной силы в данной точке

называется гидродинамическим давлением (рис. 1). Напряжение касательной силы в той же точке

называется касательным напряжением.

Физические свойства жидкостей рассмотрены в первой части курса. Идеальная или невязкая жидкость — это жидкость, при движении которой возникают только нормальные напряжения.

Сведения, сообщаемые в курсе «Механика жидкости и газа», дают подготовку для последующих курсов: лопастные гидромашины и гидродинамические передачи, гидро- и пневмоавтоматика, динамика и регулирование гидронневмосистем. Гидромеханика — основа теории гидро- и турбомашин.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет гидромеханика

Гидромеханика идеальной жидкости

Область потока и её связность

Область или объём потока — часть пространства, в котором изучается движение жидкости. Границы области потока — непрерывные поверхности, которые отделяют рассматриваемую область от общего пространства. Границы выбираются произвольно. Естественные границы — стенки трубопровода, стенки корпуса и т.д. Границы могут быть — неподвижные или подвижные. Условные границы — условные сечения, от которых начинается рассматриваемая область потока.

Область называется связной, если две её точки могут быть соединены непрерывной линией, нигде не выходящей из границ области потока. Иначе: любую точку области можно перевести в другую, не выходя за пределы области. Связная область называется односвязной, если любая замкнутая линия, в ней заключающаяся, может быть стянута в точку непрерывным образом, не выходя из границ области. Если в области можно провести максимум сечений без нарушения связности, то такой объём называется + 1 -связным. Сечение должно целиком заключаться в области и опираться на замкнутую линию, лежащую на границах области. На рис. 1.2 приведены примеры одно— и многосвязных областей потока.

Два метода кинематического описания движения жидкости

Метод Лагранжа

Объект изучения — сама жидкость, точнее отдельные ее частицы, заполняющие некоторый движущийся жидкий объем. По методу Лагранжа задаются переменные координаты движущейся частицы жидкости в функциональной зависимости от времени и начальных координат этой же частицы:

В начальный момент времени координаты частицы суть . Время и называются переменными Лагранжа. Проекции скоростей и ускорений будут выражаться формулами:

Чтобы получить уравнение траектории, из уравнений (1.1) нужно исключить время .

Метод Эйлера

Объект изучения — не сама жидкость, а пространство, занятое движущейся жидкостью. Различные векторные и скалярные величины, характеризующие движение, задаются как функции координат точек пространства и времени . Эти величины называются переменными Эйлера. Например, задается поле скоростей:

Поле ускорений можно найти, если продифференцировать поле скоростей (1.4) по времени :

При этом необходимо иметь в виду, что могут рассматриваться как координаты движущейся частицы, которые зависят от времени :

Поэтому дифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции и получаем:

Иначе:

и аналогично

Следует различать неустановившееся (нестационарное) и установившееся (стационарное) движение жидкости. При неустановившемся движении имеем:

Если движение установившееся, то

Следовательно, при установившемся движении все частные производные по времени обращаются в нуль:

Линии тока, траектории, поверхности тока, особые точки поля скоростей

Линия тока — линия, в каждой точке которой вектор скорости по направлению совпадает с касательной в той же точке.

Линия тока строится для данного момента времени, как показано на рис. 1.2.

Траектория — линия, вдоль которой движется частица жид-кости. При установившемся движении линии тока и траектории совпадают.

Составим дифференциальное уравнение линии тока. В точке линии тока (рис. 1.3) вектор скорости направлен по касательной к ней. Его проекции на оси координат .

Выберем на линии тока точку , расположенную на бесконечно малом расстоянии от точки . Проекции направленного отрезка на оси координат равны . Направляющие косинусы вектора :

а отрезка :

Так как при стремлении точки к направление отрезка совпадает с направлением вектора скорости, то соответствующие направляющие косинусы будут равны друг другу и

Это уравнение называется дифференциальным уравнением линии тока. Чтобы найти уравнение линии тока, в (1.11) нужно подставить проекции скорости и проинтегрировать его.

Выберем в движущейся жидкости контур и через его точки проведем линии тока (рис 1.4). Получившееся линейчатая поверхность называется поверхностью тока. Проведем замкнутый контур . Соответствующая поверхность называется трубкой тока.

Через каждую точку пространства, заполненного жидкостью в данный момент времени может проходить только одна линия тока. Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько, либо даже бесчисленное множество линий тока, либо наоборот ни одной линии тока. Это — особые точки ноля скоростей (рис. 1.5).

Движение элементарного жидкого объема

В окрестности произвольной точки выделим элементарный жидкий объем в форме параллелепипеда (рис. 1.6).

Пусть — компоненты скорости в точке , а — компоненты скорости в точке . Тогда с точностью до бесконечно малых первого порядка:

Из уравнений (1.12) очевидно, что скорость в точке по сравнению со скоростью в точке характеризуется девятью добавочным и составляющими:

Выясним физический смысл этих производных.

Рассмотрим движение вдоль оси жидкого отрезка (ребра параллелепипеда) на рис. 1.7. За бесконечно малое время отрезок , удлиняется (или укорачивается) на:

Относительное удлинение будет:

Скорость относительного удлинения в направлении оси :

То же в направлении других осей:

Следовательно, одноименные производные в (1.13) представляют собой скорости относительного удлинения элементарных жидких отрезков вдоль осей координат:

Эти скорости имеют размерность 1/с.

Далее рассмотрим движение жидкой плоскости, показанной на рис. 1.8. За бесконечно малый промежуток времени точка переместится относительно точки на расстояние .

Скорость этого перемещения , а угловая скорость вращения отрезка , относительно оси, проходящей через точку и перпендикулярную плоскости чертежа:

Угловая скорость вращения ребра будет . Следовательно, разноименные производные (1.13) — это угловые скорости вращения соответствующих ребер.

Дадим следующее определение: компоненты угловой скорости вращения частицы — среднее арифметическое из компонентов угловой скорости ребер:

Можно доказать, что представляют собой угловые скорости вращения биссектрис углов, как показано на рис. 1.8. Для компонентов угловой скорости справедливо правило круговой перестановки:

При движении жидкой частицы прямые углы скашиваются.

Скорости скошения прямых углов:

и т.д. Для симметрии с формулами (1.15) вводятся половинные скорости:

В общем случае движение элементарной жидкой частицы можно разложить на три движения: поступательное вместе с произвольно выбранным полюсом, вращательное относительно оси, проходящей через выбранный полюс, и деформационное движение. Это утверждение составляет содержание теоремы Гельмголъца о движении жидкой частицы.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по гидромеханике

Движение жидкости без вращения частиц. Потенциал скорости

Так как частицы жидкости не вращаются, т.е.

то на основании (1.15)

Эти равенства — условия Коши—Римана для функций

в некоторый момент времени . Они являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы дифференциальное выражение

в данный момент времени было полным дифференциалом некоторой функции :

Функция называется потенциальной функцией, или потенциалом скорости.

Так как полный дифференциал потенциала скорости

то из (1.18) и (1.19) следует:

Всякому движению жидкости без вращения частиц соответствует свой потенциал скорости . И наоборот, если существует , то это движение без вращения частиц. Движение в этом случае называется потенциальным. Оно полностью характеризуется функцией . Производная от по любому направлению равна проекции скорости на это направление. Выберем декартову систему координат (рис. 1.9).

— фиксированная точка, а — переменная точка.

Потенциал является функцией точки:

Производной по направлению называется

Положение точки можно задать длиной отрезка:

где — выступает как параметр. Следовательно,

сложная функция, зависящая от через :

Так как

то

то есть имеет место равенство:

Производная характеризует быстроту изменения . Быстрее всего меняется в направлении . Когда совпадает с , то

Равным значениям потенциала скорости в различных точках пространства соответствуют поверхности уровня потенциала или поверхности равного потенциала. Уравнение семейства поверхностей равного потенциала будет:

Линии тока перпендикулярны поверхностям равного потенциала (рис. 1.10). Возьмем по касательной к поверхности . Так как , то . Следовательно, , т.е. перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Предполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образом заполняет пространство или определенную его часть и что во время движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения. Такие предположения налагают некоторые условия на изменения плотности и объема жидкости во время движения. Это условие называется уравнением неразрывности.

В потоке жидкости возьмем произвольную точку с координатами (рис. 1.11) и выделим в окрестности этой точки элементарный объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда гак, чтобы точка была бы одной из его вершин. Пусть площадь поверхности параллелепипеда равна , ребра параллелепипеда параллельны координатным осям, а их длины соответственно равны . За бесконечно малый промежуток времени внутрь рассматриваемого объема через левую грань площадью в направлении оси втекает масса жидкости .

За то же время через правую грань вытекает масса жидкости

Приращение массы жидкости, вытекающей за время из замкнутой поверхности в направлении оси :

Аналогичным образом, выразим приращение массы жидкости, вытекающей за время из замкнутой поверхности в направлении осей . Тогда, приращение массы жидкости , вытекающей за промежуток время из замкнутой поверхности :

Изменение массы внутри вызвано соответствующим изменением плотности жидкости. Подсчитаем это изменение массы. Внутри была масса , а через промежуток времени внутри она стала равной:

Следовательно, изменение массы за время :

Так как

Это выражение называется уравнением неразрывности.

Найдем другой вид уравнения неразрывности. Производные произведений двух функций будут:

Следовательно:

Так как

то уравнение неразрывности принимает вид:

Частные случаи.

  • Для несжимаемой жидкости уравнении неразрывности (1.23) выглядит так:
  • Если рассматривается потенциальное течение несжимаемой жидкости с потенциалом скорости , то по свойству (1.20) производные и формула (1.24) переходит в следующую:

Это уравнение для потенциала скорости называется уравнением Лапласа, а функция , удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической функцией.

В первой части курса рассматривали уравнение расхода, представляющее собой интегральную форму закона сохранения массы. Для трубки тока на рис. (1.12)

Уравнение (1.23) является дифференциальной формой закона сохранения массы.

Интеграл по замкнутой поверхности общей площадью

связан с интегралом по объему. По формуле Остроградского — Гаусса:

(При подсчете потока вектора скорости через замкнутую поверхность в левой части этого уравнения примем внешнее направление нормали к поверхности за положительное.) Но в силу уравнения неразрывности (1.24) расхождение вектора и интеграл по объему в правой части равен нулю. Представляя интеграл в левой части как сумму интегралов по участкам замкнутой поверхности и принимая во внимание, что в сечении внешняя нормаль направлена в сторону, противоположную , получим:

Так как на поверхности трубки тока , то последнее слагаемое в этом уравнении равно нулю и

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по гидромеханике

Линейный интеграл вектора скорости вдоль кривой. циркуляция вектора скорости

Линейным интегралом вектора скорости вдоль пространственной кривой (рис. 1.13). называется

Так как

Косинус угла между векторами и S равен сумме произведений направляющих косинусов:

Направляющие косинусы

и так далее. Поэтому и интеграл (1.26) выражается через проекции вектора скорости

как

По определению интеграла при изменении направления движения по кривой

Если, как показано на рис. 1.14а, кривую можно разбить на два участка и , то по определению

Рис. 1.14. Свойства интеграла вектора скорости вдоль кривой

Линейный интеграл вектора по замкнутой кривой (рис. 1.146) называется циркуляцией вектора по этой кривой и обозначается . Положительным направлением обхода

считается такое направление, при котором кривая остается слева. Это направление указано на рисунке стрелкой. В дальнейшем циркуляцией будем называть линейный интеграл и по незамкнутому контуру и также обозначать его Г .

Если течение жидкости потенциальное, то имеют место два свойства.

  • Линейный интеграл вектора равен разности значений потенциальной функции в точках и :
  • Если — однозначная функция, то значения линейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечных точек пути (рис. 1.14«). В частности, циркуляция будет равна нулю по замкнутому контуру.

Вихревые линии, поверхности и трубки

Движение жидкости с вращением частиц называется вихревым. Вращение частиц характеризуется вектором угловой скорости . Проекции этого вектора на оси координат определяются уравнениями (1.15).

Вихревая линия — это линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Построим вихревую линию (рис. 1.15л). В точке угловая скорость , в точке угловая скорость и т.д. Если расстояния … устремить к нулю, то полигон ,… превратится в гладкую кривую, которая и будет вихревой линией. Вихревая линия выполняет роль криволинейной оси вращения. Если не принимать во внимание деформацию частиц жидкости, то частицы как-твердые шарики с отверстиями нанизаны на нить, которая и служит вихревой линией.

Так как определение вихревой линии аналогично определению линии тока, то дифференциальное уравнение вихревой линии подобно (1.11):

В общем случае вихревые линии и линии тока не совпадают, как показано на рис. 1.156.

Вихревые поверхности и вихревые трубки строятся аналогично поверхностям и трубкам тока. Через точки замкнутого контура проведем вихревые линии. Эти вихревые линии образуют поверхность, называемую вихревой трубкой (рис. 1.16).

Удвоенный поток вектора через поперечное сечение вихревой трубки площадью называется интенсивностью вихревой трубки в этом сечении

Как следует из табл. 1.1, основные понятия для поля скоростей и поля вихрей одинаковы.

В случае плоского движения жидкости векторы скорости лежат, например, в плоскостях, параллельных плоскости и не изменяются вдоль оси . Как показано на рис. (6.1) учебника по гидромеханике [5], в этом случае вихревые линии — прямые, перпендикулярные плоскости . Они пронизывают всю эту плоскость.

Теорема стокса

Циркуляция скорости по замкнутому контуру в односвязном объёме равна суммарной интенсивности вихрей, пронизывающих поверхность, которая опирается данный контур.

Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный плоский контур в окрестности точки , как показано на рис. 1.17а. Вихревые линии перпендикулярны плоскости . Вектор угловой скорости вращения частиц имеет только одну проекцию . Элементарную циркуляцию по контуру можно представить как

Каждая из циркуляции по сторонам прямоугольника равна:

Складывая левые и правые части этих уравнений, после сокращений получим:

Так как по (1.15) угловая скорость вращения частицы в точке

что и доказывает теорему Стокса для бесконечно малого прямоугольного контура.

Далее рассмотрим плоский контур площадью конечных размеров (рис. 1.176). Вертикальными и горизонтальными линиями разделим этот контур на бесконечно малые прямоугольники. Элементарные циркуляции

Так как смежные стороны прямоугольников обходятся дважды в противоположных направлениях, то после суммирования левых и правых частей этих уравнений и перехода к пределу получим:

что также доказывает высказанное в начале параграфа предположение.

Рассмотрим общий случай (рис. 1.17в). Рассуждая точно также, как в предыдущем случае, получим тот же результат

Теперь докажем теорему Стокса для многосвязной области потока, показанной на рис. 1.17г. Эта область потока имеет внутри два выреза и . Так что область трёхсвязная. С помощью разрезов превратим эту область в односвязную. По доказанному выше для неё справедливо соотношение:

Площадь берётся за вычетом площади вырезов. При таком же направлении обхода внутренних контуров и , что и внешнего контура

Если число внутренних контуров , то

То есть, в многосвязной области циркуляция вектора скорости по внешнему контуру равна интенсивности вихрей, проходящих через поверхность, которая опирается на контур, плюс сумма циркуляции по внутренним контурам. При этом направление обхода всех контуров одинаковое.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по гидромеханике

Первая теорема Гельмгольца о постоянстве интенсивности вихревой трубки по ее длине

Интенсивность вихревой трубки в данный момент времени есть величина постоянная для всех её сечений.

Проведём на поверхности вихревой трубки замкнутый контур , как показано на рис. 1.18. Линии и образуют разрез. По теореме Стокса

Так как контур лежит на поверхности вихревой трубки, где

Представим эту циркуляцию в виде суммы:

Поэтому . Если изменить направление обхода контура на противоположное, то . Но по теореме Стокса

Следовательно,

что и доказывает теорему Гельмгольца.

На основании этой теоремы можно сделать заключение о форме вихревых трубок. По доказанному вдоль вихревой трубки

По теореме о среднем значении интеграла

где и — средние угловые скорости вращения частиц. Если предположить, что вихревая трубка заканчивается в жидкости остриём, т.е. то (рис. 1.19а). Но бесконечно большие скорости физически невозможны. Следовательно, вихревая трубка не может заканчиваться остриём в жидкости. Вихревая трубка заканчивается на границах области потока или замыкается сама на себя, как показано на рис. 1.196. Границами области потока служат боковые стенки сосуда, его дно и свободная поверхность жидкости, где и располагаются концы вихревых трубок. На рис. 1.24 представлена пелена вихревых трубок. Концы вихрей прикреплены к задней кромке крыла.

Динамика идеальной жидкости

Массовые и поверхностные силы, свойства давлении в идеальной жидкости

Массовая сила, отнесенная к единице массы, называется единичной массовой силой (рис. 1.20).

По определению единичная массовая сила в данной точке

Она численно равна ускорению и имеет размерность . Если проекции силы на оси координат то проекции единичных массовых сил:

В идеальной движущейся жидкости касательные напряжения равны нулю, и имеются только нормальные напряжения. Нормальное напряжение в данной точке жидкости называется давлением. Давление в идеальной движущейся жидкости обладает следующими свойствами:

  1. Давление направлено по нормали внутрь жидкости.
  2. Давление в данной точке по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от ориентировки площадки (рис. 1.21):

Уравнении движения идеальной жидкости в форме эгмера

Рассмотрим элементарную частицу жидкости, движущуюся с некоторым ускорение под действием приложенных к ней массовых и поверхностных сил (рис. 1.22).

Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось :

После сокращения на получим в проекции на ось :

и аналогично в проекции на другие оси

В этих уравнениях проекции единичных массовых сил известны. Неизвестные: . Три уравнения содержат пять неизвестных. Система незамкнута и не имеет решения. Поэтому к ней добавляются еще два уравнения: уравнение неразрывности

и уравнение состояния

Например, для совершенного газа . В частных случаях изотермического процесса

адиабатического процесса

где — показатель адиабаты. Если жидкость несжимаемая, то

Для интегрирования уравнений (1.38) — (140) должны быть заданы начальные и граничные условия. При этих условиях система пяти уравнений с пятью неизвестными будет иметь единственное решение.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методические указания по гидромеханике

Уравнении движения идеальной жидкости в форме Громека — Лемба

Для удобства интегрирования уравнений Эйлера формально преобразуем их. Вначале преобразуем правые части уравнений. В соответствии с (1.6) ускорение в проекции на ось :

Так как

то частная производная:

Согласно (1.15)

Подставляя соответствующие величины в (1.44), получим:

и по правилу круговой перестановки значков:

Далее преобразуем левые части уравнений Эйлера. Пусть внешние массовые силы имеют потенциал , т.е.

Кроме того, пусть некоторая функция — функция Громека обладает свойством:

После подстановок в (1.38) это уравнение приобретает вид:

Следовательно, уравнения движения идеальной жидкости в форме Громека — Лемба запишутся как

Так как в данный момент времени полный дифференциал потенциала внешних массовых сил

то потенциал можно найти из уравнения

Например, если жидкости движется в поле сил тяжести, а ось направлена вертикально вверх, то

и

Далее найдем функцию Громека. Умножая каждое из уравнений (1.46) на и складывая их, получим, что в данный момент времени

Если плотность жидкости зависит только от давления

то она называется баротропной. Жидкости, плотность которых не есть функция одного только давления, называются бароклин-ными. Примером бароклинной жидкости может служить совершенный газ, подчиняющийся уравнению состояния Менделеева — Клайперона

Для баротропной жидкости легко найти функцию Громека. Например, если жидкость несжимаемая

то

Если процесс изотермический, то

и

Если процесс адиабатический, то

и

Отметим, что потенциал внешних массовых сил и функция Громека определены с точностью до постоянных интегрирования.

Интегралы уравнений движении для частных случаев

Рассматриваем движение (1) идеальной (2) баротропной жидкости при наличии массовых сил, обладающих (3) однозначным потенциалом. Вначале интегрируем уравнения (1.47) для установившегося движения, при котором

Интеграл Эйлера. Дополнительно полагаем, что движение потенциальное. Тогда

и правые части уравнений (1.47) обращаются в нуль. Так что

Для установившегося движения трехчлен

в общем случае является функцией координат. Однако уравнения (1.55) показывают, что в рассматриваемом случае он не зависит от координат, и следовательно,

Интеграл Бернулли. Рассматриваем более общий случай вихревого движения. Выбираем частицы жидкости на данной линии тока, для которой

Умножим первую строку (1.47) на , вторую — на , третью -на , сложим уравнения почленно и получим:

Но вследствие (1.57) правая часть уравнения (1.58) обращается в нуль и поэтому:

Интеграл Громека. Если вихревые линии совпадают с линиями тока, то такое движение называется винтовым (рис. 1.23).

При таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока, как показано на рис. 1.23. Направляющие косинусы векторов и

Так как

то

Переписывая (1.58) в виде

и имея в виду (1.60), получаем

На рис. 1.24 показана вихревая пелена за крылом. Аналогичная пелена появляется за лопастью осевой гидромашины.

Вихревые нити «подвешены» к задней кромке крыла и при движении крыла сбегают с него, как нить с веретена. Движение частиц жидкости, составляющих пелену — винтовое. Поэтому для любых точек пелены справедливо соотношение (1.61).

Интеграл Лагранжа. Теперь интегрируем уравнения (1.47) для неустановившегося потенциального движения жидкости, при котором

В этом случае уравнения (1.47) принимают вид:

Частные производные от потенциала скорости по координатам равны:

Поскольку значение частной производной не зависит от порядка дифференцирования, то

Подставляя эти производные в предыдущие уравнения, найдем:

В общем случае неустановившегося движения четырехчлен

является функцией координат и времени. Однако уравнения (1.62) показывают, что в данном случае он не зависит от координат и поэтому в данный момент времени

Здесь — функция интегрирования, которая зависит от времени и не зависит от координат . В данный фиксированный момент времени эта функция постоянна.

Выясним физический смысл производной в уравнении (1.63). Выберем в потоке жидкости две произвольные точки 1 и 2 и соединим их дугой длиной (рис. 1.25). Дифференциал потенциала скорости равен дифференциалу циркуляции

Интегрируя это уравнение в данный момент времени от 1 до 2, получим:

Производная по времени от этого выражения

Так как и являются независимыми переменными, то выполним вначале дифференцирование под знаком интеграла, а затем интегрирование.

Производная — ускорение в данной точке или проекция инерционной силы, отнесённой к единице массы жидкости. Поэтому является элементарной работой инерционной силы на бесконечно малом пути — работа при перемещенни вдоль кривой or точки 1 до точки 2 . Следовательно, — это работа, а — энергия единицы массы жидкости в данной точке потока.

Уравнение (1.63) можно истолковать следующим образом. При неустановившемся потенциальном течении полная энергия единицы массы жидкости в любых двух точках потока в данный момент времени одинакова.

В частном случае движения несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Поэтому уравнения (1.56), (1.59) и (1.61) примут вид:

Причем, в случаях потенциального и винтового движений точки 1 и 2 — любые две точки потока. В случае вихревого движения точки 1 и 2 выбираются на данной линии тока. При тех же условиях интеграл Лагранжа ( 1.63) запишется так

В этом выражении точки 1 и 2 — любые две точки в области неустановившегося потенциального потока.

Вихревое движение невязкой жидкости

Теорема Томсона. Циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру в (I) идеальной, (2) баротропной жидкости при наличии массовых сил, (3) обладающих однозначным потенциалом, во всё время движения жидкости остаётся неизменной.

Проведём в движущейся жидкости в момент времени контур (рис. 1.26). Этот контур считается жидким. Каждая частица этого контура движется со скоростью и за промежуток времени пройдёт расстояние , переместившись в положение . В момент времени контур займёт новое положение . Пусть циркуляция вектора скорости в момент времени равна Г, а в момент времени она равна Г’. Тогда производная по времени от циркуляции по жидкому контуру

Необходимо доказать, что

Положение произвольной частицы жидкости на дуге в момент времени можно задать её расстоянием до точки (рис. 1.26). В таком случае декартовы координаты частицы

Пусть в данный момент времени проекции элемента дуги на оси координат равны а проекции перемещения частицы за промежуток времени на оси координат есть . Циркуляция в момент времени

а её производная по времени

вследствие независимости операций интегрирования по длине дуги и дифференцирования по времени.

Выполняя дифференцирование по времени под знаком интеграла, получим:

Так как скорость

удлинения отрезка вдоль оси равна разнице скоростей на его концах , то

Рассмотрим второе подынтегральное выражение. В соответствии с уравнениями Эйлера (1.38) — (1.40)

Так как в соответствии с условиями теоремы внешние массовые силы обладают потенциалом , а жидкость баротропна, то

Следовательно,

Если контур замкнут, то точки и совпадают и при однозначном потенциале

что и доказывает теорему Томсона.

Следствием этой теоремы являются ещё две теоремы. Вторая теорема Гельмгольца о сохранении вихревых трубок. При тех же предположениях, что и в теореме Томсона, вихревая трубка во всё время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Возьмём на поверхности вихревой трубки бесконечно малый контур (рис. 1.27а). По формуле (1.33)

Так как вектор касается поверхности , то во всякой точке этой поверхности нормальная составляющая вектора угловой скорости вращения частицы и циркуляция . В следующий момент времени жидкий контур займёт положение . Бесконечно малый контур будет лежать на поверхности образованной теми же частицами жидкости, которые раньше составляли поверхность . По теореме Томсона

Но тогда из формулы (1.33) следует, что

Бесконечно малый контур можно взять в любом месте поверхности . В таком случае во всякой точке поверхности

Это означает, что поверхность есть поверхность вихревой трубки. Каждая индивидуальная вихревая трубка перемещается в пространстве вместе с частицами, её составляющими. Таким же свойством сохраняемости обладают и вихревые линии. Вихревые нити с «нанизанными» на них частицами сохраняются во всё время движения, как показано на рис. 1.276.

Третьи теорема Гельмгольца о сохранении интенсивности вихревых трубок. При тех же предположениях, что и в теореме Томсона, интенсивность любой вихревой трубки во всё время движения остаётся постоянной.

Интенсивность вихревой трубки в момент времени равна циркуляции скорости по контуру , то есть , а в момент времени интенсивность . Но так как по теореме Томсона , то

На рис. 1.28 показана фотография пары развивающихся крупных атмосферных вихрей — циклонов над Индийским океаном.

Интенсивность обоих вихрей одинакова. Циркуляция скорости по контуру, охватывающему вихри в начальный момент их развития, равна нулю. Так как по теореме Томсона циркуляция должна сохраняться равной нулю и во все последующие моменты времени, то вихри будут вращаться в противоположные стороны, что и подтверждается фотографией. Теорема Томсона позволяет объяснить возникновение циркуляции вокруг крыла и пары вихрей — при разгоне и остановке крыла (рис. 1.29).

Однако, если какое-либо из трёх условии теоремы Томсона нарушается, то циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру может изменяться и в жидкости образуются или исчезают вихри. Так, при движении маловязкой жидкости вблизи твёрдых поверхностей её нельзя считать идеальной. В этих местах возможно образование вихрей. На рис. 1.30 показан вихрь, развивающийся за острым ребром в потоке жидкости.

На рис. 1.31 схематически показаны два вихря, возникшие в подводящей камере осевого насоса.

Вихри начинаются на стенках камеры и проходят сквозь рабочее колесо. Так как при этом на входе в рабочее колесо появляется циркуляция

то в соответствии с уравнением Эйлера изменяется теоретический напор

и напор насоса.

Вследствие неустойчивости вихрей работа насоса сопровождается колебаниями напора, подачи, и потребляемой мощности.

Свойства потенциального течения несжимаемой жидкости в односвязной области

Для установившегося движения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид:

Если движение жидкости обладает потенциалом, то

Следовательно, потенциал скорости удовлетворяет вышеупомянутому уравнению (1.25):

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением Лапласа, а функцияф, удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической. Уравнение Лапласа имеет единственное решение, т.е. потенциальное движение в односвязной области единственное, если задать граничные условия. Для решения уравнения на границах области задаются либо , либо , либо на одних частях границы и на остальных её частях. Потенциальные течения обладают следующими свойствами:

  • Для любой замкнутой поверхности , нормаль к которой

как показано на рис. 1.32л. Так как согласно (1.21) производная

Объемный расход через замкнутую поверхность равен нулю, что и доказывает свойство (1).

  • Ни в одной точке внутри жидкости потенциал скорости не может иметь максимума или минимума.

Предположим, что в некоторой точке потенциал скорости . Окружим эту точку сферической поверхностью площадью с центром в этой точке (рис. 1.326). Так как внешняя нормаль и радиус совпадают, то при условии максимума потенциала в точке производная . Поэтому в любой точке этой сферы

Следовательно, и интеграл по поверхности сферы

что противоречит свойству (1.70).

  • Ни в одной точке внутри жидкости модуль скорости не может иметь максимума.

Предположим, что в некоторой точке модуль скорости имеет максимум . Выберем оси в декартовых координатах так,

чтобы ось имела направление скорости в точке (рис. 1.32«). Тогда в этой точке

Дифференцируя по уравнение Лапласа

и изменяя порядок дифференцирования, убеждаемся, что также удовлетворяет уравнению Лапласа:

То есть является гармонической функцией, которая по предыдущему свойству не может иметь максимума или минимума в точке . Следовательно, по соседству с точкой найдутся точки, в которых будет

и в которых тогда и подавно будет

Но это противоречит предположению о том, что в точке скорость максимальна. Максимум или минимум скорости имеет место на границах области потока.

Например, при обтекании крылового профиля в точке разветвления потока скорость минимальна и равна нулю, а в точке входной кромки скорость достигает максимума, как показано на рис. 1.33. По уравнению Бернулли давление в этой точке минимальное. Если оно достигает давления насыщенного пара, то в окрестности точки развивается кавитация.

  • При существовании однозначного потенциала линии тока не могут быть замкнутыми.

В противном случае получилось бы, что циркуляция вдоль такой линии не обращается в нуль, гак как все произведения в выражении циркуляции имеют один и тот же знак. Но это противоречит теореме Стокса.

  • В односвязном объёме жидкости, ограниченном со всех сторон твёрдыми стенками, не может существовать безвихревое движение.

На рис. 1.32г изображён односвязный объём, ограниченный твёрдыми стенками. В таком объёме замкнутые линии тока типа а невозможны по предыдущему свойству. Так как на твёрдых стенках нормальная составляющая скорости , то линии тока не могут вытекать из границ или втекать в них и поэтому невозможны линии тока типа в. Поскольку внутри одно-связного объема линии тока не могут начинаться или заканчиваться, то линии тока типа с также невозможны. Следовательно, жидкость либо покоится, либо ее движение вихревое.

Для того, чтобы потенциальное течение несжимаемой жидкости было единственным в многосвязной области, помимо граничных условий необходимо задать значение циркуляции, как, например, на рис. 1.34. При заданной по величине и направлению скорости на бесконечности возможны разные варианты обтекания профиля с различным расположением точки схода потока. Каждому варианту отвечает вполне определенное значение циркуляции вектора скорости по контору, охватывающему профиль.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по гидромеханике

Задача 1.1.

Однородный поступательный поток.

К задаче 1.1

где — модуль скорости на бесконечности.

В соответствии с (1.14), (1.15) и (1.16) получаем соответственно следующие скорости относительного удлинения, угловые скорости вращения и угловые скорости скошения прямых углов:

Следовательно, это движение жидкости без деформации и вращения частиц. Жидкость движется поступательно со скоростью

как твердое тело. Жидкость замерзла.

Задача 1.2.

Движение вдоль концентрических окружностей

К задаче 1.2

Поле скоростей:

где

На основании (1.14), (1.15) и (1.16):

Деформация частиц отсутствует. Имеется вращение частиц. Любая частица вращается вокруг мгновенной оси, параллельной оси , с угловой скоростью равной . Так как

то линейная скорость вращения частиц вокруг начала координат прямо пропорциональна расстоянию частицы от начала координат. То есть жидкость вращается вокруг оси, проходящей через начало координат, так же, как твердое тело.

Задача 1.3.

Фрикционное течение.

Движение вязкой жидкости вызывается перемещением пластины с постоянной скоростью по поверхности жидкости в канале.

Поле скоростей:

Из уравнений (1.14), (1.15) и (1.16) следует, что

Линейная деформация частиц отсутствует. Прямые углы скашиваются. Частицы вращаются.Видно, как поворачивается биссектриса угла.

Задача 1.4.

Рассчитать циркуляцию вектора скорости для течений, изображенных на рисунке.

К задаче 1.4

  • Однородный поступательный поток вдоль оси . Поле скоростей:

Циркуляция вектора скорости по прямоугольнику :

Этот результат можно было предвидеть, так как рассматриваемое течение потенциальное, а потенциал — однозначная функция точки.

  • Вихрь в начале координат имеет поле скоростей:

Дифференциальное уравнение линии тока в соответствии с (1.11).

Подставляя (4) в (5) получим После интегрирования имеем:. Следовательно, линии тока — концентрические окружности с центром в начале координат. Модуль скорости

На окружности модуль скорости

Циркуляция вектора скорости вдоль окружности радиуса равна

При каждом новом обходе начала координат циркуляция увеличивается на .

Задача 1.5.

Трубопровод длиной и диаметром подключен к резервуару больших размеров. Напор в резервуаре постоянный. Определить закон нарастания скорости истечения во времени при мгновенном открытии заслонки. Сопротивлением трубопровода пренебречь.

Рассмотрим процесс истечения в некоторый произвольно выбранный момент времени после открытия трубы. Согласно (1.65) для двух точек потока 1 и 2 имеет место уравнение 1

По условию

Так как в данный момент времени скорость жидкости в любом месте трубопровода постоянна, то она зависит только от времени . Поэтому

После подстановок в уравнение (7) получим

Напор затрачивается на создание скоростного напора и на разгон жидкости в трубопроводе.

Если течение в трубопроводе установившееся, а его скорость , то напор затрачивается только на создание скоростного напора и

Из уравнений (8) и (9) следует, что

или

Интегрируя это уравнение при начальном условии при получим:

Если ввести безразмерное время

то уравнение (10) принимает вид:

Из (12) следует, что

Разрешая это уравнение относительно , получим

Таким образом, скорость жидкости в трубопроводе с течением времени увеличивается, асимптотически приближаясь к скорости установившегося движения , по закону гиперболического тангенса.

Согласно (12) скорость будет отличаться от скорости установившегося движения на 1%

через промежуток безразмерного времени

При уровне жидкости в баке, например в соответствии С (9) скорость

Если длина трубопровода , то по уравнению (11) промежуток времени

Гидродинамика вязкой жидкости

Закон вязкого трении Ньютона

При движении жидкости прямолинейными слоями, касательные напряжения, возникающие между слоями, пропорциональны градиенту скорости. Пусть жидкость движется параллельными слоями вдоль твердой стенки (рис. 3.1).

Распределение скоростей показано на этом рисунке. В вязкой жидкости скорость на твердой стенке равна нулю. Частицы жидкости прилипают к стенке. Это свойство называется условием прилипания. В слое, расположенном на расстоянии от начала координат — скорость равна . В соседнем слое скорость . Выберем на рис. 3.1 бесконечно малую частицу жидкости в виде прямоугольника . За бесконечно малый промежуток времени частица жидкости переместится в новое положение и примет форму параллелограмма . В соответствии с законом Ньютона касательные напряжения между слоями жидкости:

а касательная сила

где — площадь слоя жидкости, — динамическая вязкость.

Отметим два отличия законов трения в жидкости от таковых для твердых тел:

  1. Касательная сила не зависит от нормального давления.
  2. Касательное напряжение в твердом теле в соответствии с законом Гука пропорционально деформации, а в жидкости оно пропорционально скорости деформации. Например, чем больше угол закручивания твердого стержня, тем больше напряжения. Покажем, что в уравнении — это скорость деформации.

Из параллелограмма очевидно, что

Из этого соотношения следует, что

Т.е. производная в (3.1) — это скорость скошення прямого угла или скорость угловой деформации.

Уравнения Навье-Стокса

По сравнению с идеальной жидкостью в движущейся вязкой жидкости, появляются касательные силы которые отсутствуют в идеальной жидкости (рис. 3.2). Кроме этого имеются нормальные силы . Условимся положительным нормальным напряжением считать напряжение, направленное в сторону противоположную положительному направлению осей координат. Это же правило применяется и для касательных напряжений.

Рассмотрим бесконечно малый объем движущейся жидкости в виде параллелепипеда (рис. 3.3а). Этот же параллелепипед изображен на плоскости на рис. 3.36. Обозначим напряжения по граням параллелепипеда. В обозначениях нормальных и касательных напряжений, первый индекс обозначает грань, перпендикулярную некоторой оси; второй индекс обозначает проекцию на соответствующую ось.Вдоль каждой грани параллелепипеда дей

ствуют нормальные и касательные напряжения. Разложим последние по направлениям осей.

Напряженное состояние в данной точке жидкости характеризуется девятью напряжениями:

Т.к. напряжения рассматриваются как непрерывные функции координат, то при изменении координат на бесконечно малые величины, нормальные и касательные напряжения получат бесконечно малые приращения

и др.. как показано на рис. 3.36.

Мысленно остановим частицу и добавим к массовым силам силу инерции. Составим сумму моментов всех сил, действующих на эту частицу жидкости, относительно оси, проходящей через центр тяжести параллелепипеда и параллельную оси . Приравняем сумму нулю. Массовые силы приложены в центре тяжести частицы и моментов не дают. Моменты от сил, обусловленных нормальными напряжениями, равны нулю. Следовательно,

После деления на

получим

Когда размеры параллелепипеда стремятся к нулю, т.е.

Уравнения показывают, что касательные напряжения, действующие на взаимно перпендикулярных площадках одинаковы. Поэтому напряженное состояние в данной точке определяется только шестью напряжениями, а не девятью, как в (3.3).

Согласно второму закону Ньютона сумма проекций поверхностных и массовых сил на ось равна произведению массы частицы на проекцию ускорения на эту же ось:

После сокращения на , получим уравнение движения вязкой жидкости в напряжениях:

Вторая и третья строки уравнений записаны по аналогии с первой. Далее вводятся гипотезы о напряжениях. Под влиянием вязкости жидкости меняются нормальные напряжения и появляются касательные напряжения.

Нормальные напряжения. Ранее для идеальной невязкой жидкости все три нормальных напряжения были одинаковыми

причем давление называлось гидродинамическим давлением в идеальной жидкости. В вязкой жидкости появляются добавочные нормальные напряжения

так что

Вводятся предположения, что добавочные напряжения пропорциональны скоростям относительного удлинения частицы. Вдоль осей координат скорости относительного удлинения равны

Поэтому

Так как для несжимаемой жидкости

то сумма трех нормальных напряжении, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам:

В качестве гидродинамического давления в вязкой жидкости принимается среднее арифметическое трех нормальный напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам:

Если повернуть осп координат, как показано на рис. 3.4, то гидродинамическое давление не изменится. Другими словами оно — инвариант относительного поворота осей координат.

Касательные напряжения. При движении жидкости только вдоль оси касательные напряжения определяются уравнением (3.1). Они пропорциональны скорости скошения прямого угла. В случае сложного движения (как вдоль оси , так и ) касательные напряжения также считаются пропорциональными скоростям скошения соответствующих прямых углов (рис. 3.5). Т.е. закон Ньютона (3.1) обобщается на случай сложного движении и предполагается, что

Нормальные напряжения по уравнению (3.7) и касательные по (3.10) подставляем в уравнение (3.5) и получаем:

Так как для несжимаемой жидкости выполняется условие (3.8), то последние слагаемые в полученных уравнениях обращаются в нуль. Окончательно уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости запишутся так:

где — кинематическая вязкость жидкости.

Эти уравнения были выведены французским ученым Навье в 1822 г. н независимо от него английским ученым Стоксом в 1845 г. и называются уравнениями Навье-Стокса. Уравнения (3.11) есть уравнения в частных производных второго порядка. В -этих уравнениях известны плотность вязкость и проекции внешних массовых сил . Неизвестные величины: давление и три проекции скорости — всего четыре неизвестных.

Число неизвестных превышает число уравнений. Система уравнений незамкнута. К этой системе добавляется еще одно уравнение — уравнение неразрывности (3.8). Если задать граничные условия, то система уравнений (3.10) и (3.8) будет иметь единственное решение. Для неподвижной твердой поверхности граничное условие будет:

Выше это условие названо условием прилипания.

В частных случаях удается получить точные решения этих уравнений. Пренебрегая теми или иными членами в этих уравнениях, получаем приближенныерешения. В связи с широким распространением ЭВМ, возможно численное решение уравнений движения вязкой жидкости. Большое число решенных задач приведено в работе [13].

Пример точного решения уравнений Навье-Стокса

Рассмотрим поступательное плоское установившиеся течение тяжелой несжимаемой жидкости в канале с параллельными стенками в поле силы тяжести.

Найти потери напора на участке канала между сечениями 1-2 на расстоянии .

Уравнения Навье-Стокса для плоского движения:

Граничные условия: при

По условию задачи

тема уравнений (3.12) существенно упрощается

Давление

скорость

Интегрируем второе уравнение системы (3.13) по переменной :

где — функция интегрирования, зависит только от . Если дифференцировать уравнение (3.14) по , то получим второе уравнение системы (3.13). Следовательно, несмотря на движение жидкости, давление в данном сечении подчиняется гидростатическому закону: оно увеличивается пропорционально первой степени .

Дважды интегрируя первое уравнение системы (3.13). В этом уравнении — функция и Частные производные можно заменить на обыкновенные. Тогда получим

где , а постоянные интегрирования и находим из граничного условия

Поэтому

Распределение скоростей в данном сечении подчиняется параболическому закону. На стенках максимум скорости

в середине канала. (Знак минус, т.к. ). Расход жидкости

Средняя скорость

в полтора раза меньше максимальной. Проинтегрируем (3.16) и найдем потерю напора :

Поэтому

Потеря энергии пропорциональна первым степеням вязкости , средней скорости и длине рассматриваемого участка канала.

Аналогичным способом решается задача о ламинарном движении жидкости в круглой трубе. Для потерн напора получаем формулу Пуазейля

Пример приближенного решении уравнений Навье-Стокса (движение шара в вязкой жидкости)

Задача о медленном движении шара с постоянной скоростью в вязкой несжимаемой жидкости решена Стоксом. Так как рассматривается медленное движение, то в уравнениях (3.11) можно пренебречь инерционными членами:

Кроме того, пренебрегая внешними массовыми силами. Уравнения (3.1 Г) упрощаются и удается их проинтегрировать. По формуле Стокса действующая на шар сила равна:

где — скорость движения.

— динамическая вязкость жидкости,

— диаметр шара. Сила прямо пропорциональна первой степени вязкости и скорости. Действующую на шар силу можно выразить по обшей формуле подобия для сил:

где — безразмерный коэффициент силы, — плотность жидкости,

— площадь миделевого (диаметрального) сечения шара. Так как на основании (3.21)

то после подстановки в это уравнение силы согласно (3.20) получим

где — число Рейнольдса.

Сравним расчеты Стокса с экспериментом (рис. 3.7). Видно, что формула Стокса верна лишь для очень малых чисел . Эта формула находит применение в расчетах процессов отстаивания. В смеси воды с твердыми частицами последние под действием силы тяжести медленно оседают на дно сосуда. Смесь осветляется. Время осаждения составляет часы и может быть рассчитано с использование формулы Стокса.

Численные решения уравнений Навье-Стокса

В связи с развитием вычислительной техники в последние десятилетня созданы программные комплексы, которые позволяют решать эти уравнения для пространственных движений жидкости в неподвижных и вращающихся каналах. Примерами могут служить FlowVision, Ansys CFX, Fluent, Star-C’D, Cosmos Floworks и многие другие. На рис. приведены примеры расчетов потока.

Методы подобии и размерности

Эти методы весьма полезны при теоретическом и экспериментальном изучении движения жидкости.

Размерности физических величин

Размерные и безразмерные величины. Величины, числовое значение которых зависит от принятых масштабов, т.е. от системы единиц измерения, называются размерными или именованными величинами. Величины, числовое значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или отвлеченными величинами. Длина, сила, время размерные величины. Углы, отношение двух длин, отношение длины окружности к ее радиусу и др. — безразмерные величины.

Подразделение величин на размерные и безразмерные до некоторой степени условно. Например, угол можно измерять в радианах, в градусах, в долях прямого угла. Число, определяющее угол, зависит от выбора единицы измерения.

Основные (первичные) и вторичные величины и единицы их измерении. Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Если некоторые из этих величин принять за основные н установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называются основными, все остальные производными.

Метр равен 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями и атома криптона-86 [XI ГКМВ (1960г.), Резолюция ]

Килограмм равен массе международного прототипа килограмма [I ГКМВ (1889г.) и III ГКМВ (1901 г.)]

Секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями состояния атома цезия-133 [XIII ГКМВ (1967 г.). Резолюция 1].

Размерность какой-либо величины обозначают как . Размерность скорости , размерность ускорения .

Размерность динамической вязкости можно получить из закона Ньютона для касательных напряжений:

Её размерность:

Формула размерности имеет вид степенного одночлена:

Формулы размерности удобны для пересчета числового значения размерной величины при переходе от одной системы единиц измерения к другой:

Физические закономерности не зависят от выбранной системы единиц измерения.

Установившееся движении вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальной шероховатой круглой трубе

Схема течения показана на рис. 3.12. Заданы: — плотность жидкости, — динамическая вязкость жидкости, — средняя скорость движения, — диаметр трубы, — абсолютная шероховатость её стенок, —длина участка трубы. Найти перепад давлений

Из уравнения энергии для двух сечений потока жидкости

следует, что потеря удельной энергии на трение:

Перепад давлений зависит от шести величин, заданных при постановке задачи:

Имеется дополнительное соображение. Перепад прямо пропорционален . Поэтому можно вынести из-под знака функции и записать:

Как видно из (3.25), интересующая нас величина зависит от 5 переменных. Эту зависимость можно получить теоретически или экспериментально. Предположим, что зависимость (3.25) находим экспериментально. Будем считать, что для выяснения зависимости от одной переменной достаточно 5 опытов. В таком случае следует провести:

Необходимо выполнить очень большое число опытов — 3125. Число экспериментов можно существенно сократить, если выбрать новую систему единиц измерения.

Занесем в табл.3.1 переменные величины, входящие в уравнение (3.25), и их размерности в системе СИ. Далее перейдем к новой системе единиц, в которой в качестве новых единиц измерения выбраны:

Эти единицы имеют независимые размерности. Т.е.

невозможно получить из размерности

Единицу измерения получим следующим образом: запишем формулу размерности и под ней размерности величин в системе СИ.

Ясно, что равенство (3.27) выполняется только в том случае, если

Поэтому новой единицей измерения будет такая

величина: . Так как

измерения плотности:

Новые единицы представлены в табл.3.1. Разделив величины на соответствующие новые единицы измерения получим новые величины, как показано в таблице. В новых единицах зависимость (3.25) будет иметь вид:

В качестве новых единиц измерения можно выбрать три любые величины с независимыми размерностями, например Рассуждая точно также, как и ранее, получим второй вариант новых единиц и величин (табл.3). По второму варианту получим:

Зависимости (3.28) и (3.29) равноценны. Умножим обе части (3.29) на . Получим (3.28):

Для дальнейших рассуждений выберем (3.29).

Подводя итог вышеизложенному, отмечаем следующее:

  1. Вместо зависимости (3.25) между размерными величинами теперь имеем зависимость (3.28) или (3.29) между безразмерными величинами.
  2. Число переменных в правой части (3.28) или (3.29) уменьшилось на число величин с независимыми размерностями. Этот результат называется -теоремой в теории размерностей.
  3. Результаты эксперимента нужно представлять в виде зависимости (3.28) или (3.29) между безразмерными величинами.

Если в результате эксперимента вид функции найден, то перепад давлений

Так как па основании (3.23) перепад

то в соответствии с (3.30):

Обозначим

и перепишем (3.31) как

В гидравлике это выражение известно как формула Дарен для потерь в трубах. Следовательно, задача о движении жидкости в трубе свелась к изучению зависимости

где — число Рейнольдса,

— относительная шероховатость стенок трубы.

Эта зависимость изучена Ннкурадзе и представлена на рис. 3.13. На этом рисунке указана относительная гладкость трубы — отношение радиуса трубы к абсолютной шероховатости стенки , а не , что непринципиально. При больших вязкостях жидкости и малых скоростях её движения влияние инерционных сил становиться малым. Инерционная сила пропорциональна массе, которая в свою очередь зависит от плотности . В этом случае из числа определяющих параметров в (3.25) можно исключить плотность. Кроме того, будем рассматривать движение в гладкой трубе. Тогда исключается и шероховатость. Поэтому

После приведения к безразмерному виду получим:

Так что перепад давлений в этом случае

техническая шероховатость причем в соответствии с расчетами Пуазейля

Движение тела в вязкой жидкости

Тело заданной формы движется в вязкой жидкости с плотностью и вязкостью с постоянной скоростью как показано на рис.3.14. Так как форма тела задана, то для полного задания поверхности -этого тела достаточно задать какой-нибудь линейный размер -этого тела, например хорду . Направление движения определяется углом . Действующая на тело сила

зависит от четырех размерных величин , а и одной безразмерной -угла . Составим таблицу, аналогичную табл. 3.1 и найдем соответствующие безразмерные переменные:

Вместо зависимости (3.37) между размерными величинами имеем зависимость (3.38) между безразмерными величинами. В соответствии с -теоремой число переменных уменьшилось на число величин с независимыми размерностями, т.е. на три. Если теоретически или экспериментально найти функцию , то можно определить и силу

В частном случае крыла размахом и хордой , показанном на рис. 3.15:

Для плоского движения вводиться сила, приходящаяся на единицу размаха крыла . Разложим чту силу на две составляющие: вдоль вектора —сила сопротивления , а перпендикулярная составляющая — подъемная сила :

В этих выражениях

число Рейнольдса. Так что

Обычно чти формулы записывают в виде формул подобия для силы сопротивления и подъемной силы

где

называются коэффициентами силы сопротивления и подъемной силы.

Функции и можно найти либо теоретически, либо экспериментально. На рис. 3.16 представлены зависимости и для профиля Жуковского от угла атаки при числе

Еще в одном случае движения шара в вязкой жидкости с малой скоростью становятся несущественными инерционные силы. Так как сила инерции пропорциональна массе тела, а масса тела пропорциональна плотности , то в уравнении (3.33) плотность становиться несущественным параметром. Кроме того, для шара несущественным становится и угол . Поэтому зависимость (3.37) заменяется зависимостью

Выбирая в качестве новых единиц измерения и получим:

В соответствии с формулой Стокса (3.20) постоянная

Сама по себе теория подобия не дает возможности найти вид функциональной зависимости.

Теория из учебников тут.

Метод подобия

Изучение интересующего нас натурного явления заменяется изучением подобного физического явления на модели большего или меньшего размера.

Явления подобны, если все безразмерные характеристики имеют одинаковое численное значение (справедливо также и обратное утверждение).

Поясним это определение на примерах. В задаче о движении вязкой жидкости в круглой трубе в соответствии с уравнением (3.28) безразмерная потеря напора

Все безразмерные величины входящие в (3.46) будут иметь одинаковые численные значения в том случае, если выполняются следующие условия подобия:

  1. Геометрическое подобие (по условию рассматриваются круглые трубы).
  2. Схожие условия подвода и отвода жидкости.
  3. Равенство чисел Рейнольдса и относительных шероховатостей для модели (м) и натуры (н)

Следствием этих условий является равенство безразмерных перепадов давлений:

В частном случае больших чисел безразмерная потеря напора не зависит от числа , как видно по рис.3.13. В этом случае для моделирования необходимо, чтобы для модели и натуры равнялись относительные шероховатости, т.е. . И, наоборот, при малых числа относительная шероховатость становиться несущественным параметром (рис.3.13).

В задаче о движении тела заданной формы в вязкой жидкости в соответствии с (3.39) безразмерная сила:

Условия подобия:

  • Геометрическое подобие (одинаковая форма).
  • Равенство чисел Рейнольдса и углов

Следствием этих условий является равенство безразмерных сил:

Как видно из рис. 3.13. при больших числах Рейнольдса коэффициент трения не зависит от этого параметра. Поэтому равенство чисел Рейнольдса для модели и натуры необязательно. Имеется область автомодельности по этому параметру. При ламинарных течениях с числами < 2300 имеется область автомодельности по параметру относительной шероховатости (прямая 1 на рис.).

Как указано в работе [5], условия подобия составлены из величин, заданных при постановке задачи. Одинаковость этих чисел подобия обуславливает подобие двух сравниваемых течений. Поэтому эти числа можно назвать критериями подобия.

Приведем примеры. Пусть цилиндр диаметром обтекается однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости плотностью , вязкостью и скоростью на бесконечности . Необходимо найти коэффициент сопротивления

где — сила сопротивления на единицу длины цилиндра, Н/м. Сила сопротивления

Безразмерная сила сопротивления, т.е. коэффициент сопротивления:

где

число Рейнольдса.

Зависимость (3.52) представлена на рис. 3.17. Так как из условия (idem — одинаковый) следует , то в этой задаче критерием подобия является число Рейнольдса.

Обтекание цилиндра нестационарное. В кормовой части цилиндра то с одной, то с другой стороны срываются вихри. Ниже по течению образуется дорожка вихрей, как показано на рис. 3.18. По контуру, охватывающему цилиндр, появляется переменная циркуляция вектора скорости и на цилиндр действует знакопеременная поперечная сила.

Эта сила вызывается колебания цилиндра с периодом Период колебания:

Из этого соотношения следует:

или

Величина, обратная безразмерному периоду по имени чешского ученого, называется числом Струхаля:

Зависимость (3.55) представлена на рис. 3.19. Здесь же приведена и кривая . Видно, что в диапазоне , число Очевидно, что в этой задаче критерием подобия является число Рейнольдса. При как следствие

Изменим постановку задачи. Поместим в поток цилиндр и приведем его в заданный по желанию колебательный режим с периодом В этом случае

Число Струхаля становиться критерием подобия. Поэтому в разных задачах одни и те же величины могут выступать как критерии подобия или зависимые безразмерные величины.

Приведем заимствованную из работы [2] табл. 3.2, в которой указаны часто встречающиеся безразмерные параметры, названные по именам известных ученых.