Метод проекций

Метод проекций. Образование чертежа по Монжу. Проекции точки

Метод проекций. Проекции центральные и параллельные. Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование. Свойства параллельного проецирования. Метод Г. Монжа.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. Проекции могут быть центральными и параллельными. Если все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проекций , то проекции называются центральными. Если проецирующие лучи параллельны между собой, то проекции называются параллельными.

На рис. 1.1, а показано построение центральных проекций точек и (объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций . Проецирующие лучи, проведенные через центр проекций точку и заданные точки и , пересекаются с плоскостью проекций и определяют центральные проекции и точек и .

На рис. 1.1,6 показано построение параллельных проекций точек и (объекты проецирования) по заданному направлению проецирующих лучей на некоторую плоскость проекций . В результате проецирования на плоскости проекций построены параллельные проекции и взятых в пространстве точек и .

Запомните! Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

Соединив прямой линией взятые точки и мы получим отрезок , а соединив прямой линией построенные проекции точек мы получим центральную (рис. 1.1, а) и параллельную (рис. 1.1,6) проекции отрезка на плоскости проекций .

Параллельные проекции могут быть прямоугольными (ортогональными) или косоугольными:

  • если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то проекции (или проецирование) называются прямоугольными (ортогональными);
  • если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°), то проекции называются косоугольными.

Отметим некоторые свойства параллельного проецирования:

  • проекцией точки является точка;
  • проекцией прямой линии в общем случае является прямая;
  • если отрезок прямой делится точкой в определенном отношении, то проекции прямой делятся проекцией точки в том же отношении;
  • если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.

Точка в системе плоскостей проекций , и . Проекции точки в системе прямоугольных координат .

Для получения изображений предметов на чертежах французский геометр Гаспар Монж предложил следующий метод — метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

На рис. 1.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций:

  • фронтальная плоскость проекций ;
  • горизонтальная плоскость проекций ;
  • профильная плоскость проекций .

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами. Слева от плоскости проекций располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в 1-м октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют его на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций , и , построив соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции предмета.

В качестве объекта проецирования на рис. 1.2, а взята точка и построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:

  • — горизонтальная проекция точки;
  • — фронтальная проекция точки;
  • — профильная проекция точки.

Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций: ось , ось и ось .

Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат , и . Оси проекций пересекаются в точке — это точка начала координат.

Расстояния точки от каждой плоскости проекций определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами:

  • координата — расстояние от плоскости проекций (абсцисса);
  • координата — расстояние от плоскости проекций (ордината);
  • координата — расстояние от плоскости проекций (аппликата).

Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций , и и получить чертеж (эпюр), плоскости проекций первого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций следующим образом:

  • фронтальная плоскость проекций сохраняет свое положение;
  • горизонтальную плоскость проекций поворачивают относительно оси проекций вниз;
  • профильную плоскость проекций поворачивают относительно оси проекций вправо.

На чертеже (см. рис. 1.2, б) координатные оси проекций располагают следующим образом:

  • ось — горизонтально;
  • ось — вертикально;
  • ось — раздваивается и проводится как продолжение осей и от точки — начала координат.

Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета.

Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т. д.).

Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по координатам этой точки.

На рис. 1.2, б показано построение чертежа произвольной точки , заданной на рис. 1.2, а, положение которой в пространстве определяют координаты и . Для построения чертежа этой точки выполнены следующие графические действия:

  • влево от точки по оси отложен отрезок — координата ;
  • вниз от точки отложен отрезок — координата (отрезок на чертеже в 2 раза больше, чем на наглядной картине) и построена горизонтальная проекция точки .
  • вверх от точки отложен отрезок — координата и построена фронтальная проекция точки .

!!! Запомните! Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси , которая называется линией связи.

Чтобы построить профильную проекцию точки, следует провести горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций , и отложить от полученной точки отрезок равный координате (или отложить от точки вправо по оси отрезок и провести вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки .

!!! Запомните! Фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи, перпендикулярной оси проекций .

На рис. 1.3 показано построение чертежа точки по заданным (в скобках) координатам , и в миллиметрах. Выполнены следующие графические построения:

  • проведены оси координат , и на поле чертежа;
  • от точки влево отложен отрезок -координата и через точку проведена вертикальная линия связи;
  • вниз от точки по линии связи отложен отрезок — координата и построена горизонтальная проекция точки ;
  • вверх от точки по линии связи отложен отрезок — координата и построена фронтальная проекция точки ;
  • проведена горизонтальная линия связи от фронтальной проекции ;
  • от точки отложен вправо отрезок , равный координате , и построена профильная проекция точки .

Структуризация материала первой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 1.4 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 повторно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 1.5 и 1.6).

Аппарат проецирования объект проецирования; плоскость проекций; направление проецирующих лучей.

Проекции называют центральными, если проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проекций

Проекции называют параллельными, если проецирующие лучи параллельны (центр проекций удален в бесконечность).

Параллельные проекции могут быть

• Косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций

• Прямоугольными, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций

На чертеже

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита … и т.д, или арабскими цифрами 1, 2, 3, и т.д. Проекции точек обозначаются теме же буквами, или цифрами, но со штрихами и т.д.; , и т.д

Линии обозначаются строчными латинскими буквами и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами и т.д

Плоскости обозначаются греческими буквами и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами и т. д.

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Пересечение линии с поверхностью
Касательные плоскости и нормаль к поверхности
Прямые особого (частного) положения
Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Способ прямоугольного треугольника. Теорема о проекции прямого угла