Онлайн помощь по математическому анализу

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно по матанализу, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила теорию для того чтобы вы освежили свои знания и примеры оформления работ по математическому анализу, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Свойства действительных чисел

К оглавлению…

  1. Свойства действительных чисел. Основные подмножества множества действительных чисел
  2. Числовые множества
  3. Предел последовательности
  4. Свойства и доказательство пределов последовательностей
  5. Число e
  6. О неопределенностях, возникающих при вычислении пределов

Пример оформления заказа №1.

Убедиться по определению, что

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

Зафиксируем произвольное малое Математический анализ онлайн помощь и подберем номер Математический анализ онлайн помощь, после которого выполняется неравенство

Математический анализ онлайн помощь

В нашем случае

Математический анализ онлайн помощь

Из неравенства

Математический анализ онлайн помощь

находим:

Математический анализ онлайн помощь

Следовательно, в качестве номера Математический анализ онлайн помощь можно взять число

Математический анализ онлайн помощь

где Математический анализ онлайн помощь обозначает целую часть числа, т. е. наибольшее целое, не превосходящее данное число.

Аналогично можно убедиться в том, что

Математический анализ онлайн помощь

Введем понятие бесконечного предела последовательности Математический анализ онлайн помощь. Если для любого (можно считать сколь угодно большого) числа Математический анализ онлайн помощь существует номер Математический анализ онлайн помощь такой, что

Математический анализ онлайн помощь

то пределом данной последовательности считается бесконечность, т. е.

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №2.

Доказать по определению, что

Математический анализ онлайн помощь

Доказательство. Здесь

Математический анализ онлайн помощь

Следовательно, если, при заданном Математический анализ онлайн помощь, мы возьмем Математический анализ онлайн помощь, то

Математический анализ онлайн помощь

что и требовалось доказать.

Отметим еще тот очевидный факт, что Математический анализ онлайн помощь

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Соответственно. расходящейся называется последовательность, предел которой равен бесконечности или не существует.

Пример оформления заказа №3.

Вычислить предел

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

В данном случае возникает не определенность вида Математический анализ онлайн помощь. Так как числитель и знаменатель содержат степенные выражения переменной Математический анализ онлайн помощь, то раскрыть эту неопределенность мы можем, разделив числитель и знаменатель дроби на общую старшую степень Математический анализ онлайн помощь:

Математический анализ онлайн помощь

Воспользовавшись свойствами 7) продела, получим:

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №4.

Найти предел

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

Здесь имеем неопределенность вида Математический анализ онлайн помощь. Преобразуем последовательность под знаком предела:

Математический анализ онлайн помощь

Мы получили предел с неопределенностью вида Математический анализ онлайн помощь. Разделим числитель и знаменатель последней дроби на Математический анализ онлайн помощь и используем свойства 7) предела:

Математический анализ онлайн помощь

Предел функции

К оглавлению…

В этом параграфе мы обобщим понятие предела на случай числовой функции одной действительной переменной.

  1. Числовая функция и некоторые ее элементарные свойства
  2. Предел функции: определение и его свойства
  3. Два важных правила в анализе предела
  4. Бесконечно малые (бесконечно большие) функции, их свойства и использование

Пример оформления заказа №5

Проверить по определению, что

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

В первом случае Математический анализ онлайн помощь для всех Математический анализ онлайн помощь что и доказывает равенство. Для второго предела

Математический анализ онлайн помощь

Отсюда следует, что, если по заданному малому Математический анализ онлайн помощь выбрать Математический анализ онлайн помощь, то при всех Математический анализ онлайн помощь таких, что Математический анализ онлайн помощь справедливо неравенство

Математический анализ онлайн помощь

которое и доказывает утверждение.

Введем теперь определение кон сытного предела функции Математический анализ онлайн помощь при Математический анализ онлайн помощь стремящемся к бесконечности. Пусть эта функция определена при всех действительных Математический анализ онлайн помощь или вне некоторого интервала. Число Математический анализ онлайн помощь считается пределом функции Математический анализ онлайн помощь при Математический анализ онлайн помощь, если для всякого положительного Математический анализ онлайн помощь существует такое число Математический анализ онлайн помощь. что. как только Математический анализ онлайн помощь, то Математический анализ онлайн помощь

Например.

Математический анализ онлайн помощь

гак как при заданном Математический анализ онлайн помощь неравенство Математический анализ онлайн помощь выполняется, очевидно, при Математический анализ онлайн помощь

Осталось ввести определение бесконечного предела функции. Пусть функция Математический анализ онлайн помощь определена. в некотором интервале, содержащем точку Математический анализ онлайн помощь, исключая, возможно, саму гонку .то (соответственно, вне некоторого интервала). Если для любого (сколь угодно большого’) положительного числа Математический анализ онлайн помощь существует положительное число Математический анализ онлайн помощь (соответственно, Математический анализ онлайн помощь) такое, что для любого Математический анализ онлайн помощь из множества

Математический анализ онлайн помощь

справедливо неравенство

Математический анализ онлайн помощь

то

Математический анализ онлайн помощь

Пользуясь этим определением, несложно убедиться, например, в том, что

Математический анализ онлайн помощь

В определении предела функции при Математический анализ онлайн помощь аргумент Математический анализ онлайн помощь приближается к точке Математический анализ онлайн помощь с обеих сторон, оставаясь как меньше, так и больше числа Математический анализ онлайн помощь. Если же заставить аргумент приближаться к точке Математический анализ онлайн помощь только слева (справа), то мы получим односторонний предел. Приведем его точное определение.

Пусть функция Математический анализ онлайн помощь определена в некотором интервале Математический анализ онлайн помощь (соответственно, Математический анализ онлайн помощь. Число Математический анализ онлайн помощь(соответственно, Математический анализ онлайн помощь) называется левосторонним (соответственно, правосторонним) пределом функции Математический анализ онлайн помощь при Математический анализ онлайн помощь стремящемся к Математический анализ онлайн помощь если для любого Математический анализ онлайн помощь существует Математический анализ онлайн помощь (соответственно, Математический анализ онлайн помощь) такое, что при Математический анализ онлайн помощь (соответственно, Математический анализ онлайн помощь выполняется неравенство

Математический анализ онлайн помощь

Обозначается левосторонний (соответственно, правосторонний) предел через

Математический анализ онлайн помощь

Перейдем теперь к изучению свойств конечных пределов функций.

1) Для того, чтобы существовал конечный предел Математический анализ онлайн помощь необходимо и достаточно, чтобы, существовали и, были равны, оба односторонних. предела Математический анализ онлайн помощь

Для доказательства достаточно сравнить определения предела функции и односторонних пределов.

2) Предположим, что функция Математический анализ онлайн помощь определена, в некотором интервале, содержащем точку Математический анализ онлайн помощь. кроме, возможно, точки Математический анализ онлайн помощь и существует конечный предел Математический анализ онлайн помощь, а функция Математический анализ онлайн помощь определена в некотором интервале, содержащем область значений функции Математический анализ онлайн помощьи точку Математический анализ онлайн помощь кроме, возможно, точки Математический анализ онлайн помощь и существует предел Математический анализ онлайн помощь. Тогда существует предел композиции функций

Математический анализ онлайн помощь

Действительно, по определению предела функции для любого Математический анализ онлайн помощь найдется число Математический анализ онлайн помощь такое, что при всех у из множества Математический анализ онлайн помощь справедливо неравенство Математический анализ онлайн помощь свою очередь для числа Математический анализ онлайн помощь отыщется такое Математический анализ онлайн помощь, что при любом Математический анализ онлайн помощь, принадлежащем множеству Математический анализ онлайн помощь выполняется неравенство Математический анализ онлайн помощь. Отсюда следует справедливость неравенства Математический анализ онлайн помощь при всех Математический анализ онлайн помощь таких, что Математический анализ онлайн помощь Свойство доказано.

Теперь сформулируем свойства пределов функций, которые аналогичны (вместе с доказательствами) соответствующим свойствам пределов последовательностей. Во всех этих свойствах мы будем предполагать, что функции определены некотором интервале Математический анализ онлайн помощь, содержащем точку «о, кроме, может быть, самой точки .то.

3) Функция имеет не более одного предела.

4) Если при всех х из интервала Математический анализ онлайн помощь выполняется неравенство

Математический анализ онлайн помощь

и существуют, равные друг другу пределы, Математический анализ онлайн помощь, то существует также, предел lМатематический анализ онлайн помощь, причем

Математический анализ онлайн помощь

5) Если для любого Математический анализ онлайн помощь справедливо неравенство Математический анализ онлайн помощь и существует конечный предел Математический анализ онлайн помощь.

Это свойство, очевидно, справедливо и для односторонних пределов.

6) Если /функция монотонна и ограничена в интервале Математический анализ онлайн помощь (соответственно, Математический анализ онлайн помощь). то существует левосторонний предел Математический анализ онлайн помощь (соответственно, правосторонний предел /Математический анализ онлайн помощь.

7) Если для функций Математический анализ онлайн помощь существуют конечные пределы Математический анализ онлайн помощь то существуют также пределы функций Математический анализ онлайн помощь причем

Математический анализ онлайн помощь

Если, сверх того, Математический анализ онлайн помощь. то существует также предел дроби Математический анализ онлайн помощь и

Математический анализ онлайн помощь

Покажем, пользуясь свойствами 2), 6) и 7). что

Математический анализ онлайн помощь

Прежде всего заметим, тгго по свойству 6) существуют односторонние пределы этих функций. Так как благодаря свойству 7)

Математический анализ онлайн помощь

то для проверки этих равенств достаточно доказать, что

Математический анализ онлайн помощь

Используя свойства 2) и 7) получим:

Математический анализ онлайн помощь

откуда и следует справедливость утверждений (2), а, значит, и (1)

Предположим, что функции Математический анализ онлайн помощь определены в некотором интервале, содержащем точку го. кроме, может быть, самой точки то и существуют конечные пределы

Математический анализ онлайн помощь

Найдем, пользуясь пределами (1) и свойством 2) предел функции Математический анализ онлайн помощь.

Математический анализ онлайн помощь

Замечание. Свойства 2) — 7) co специальными оговорками, касающимися областей опре-деления и значений функций, справедливы и для конечных пределов функций па бесконечности.

Сделаем еще одно замечание, касающееся алгебраических операций над пределами функций. Если один из пределов Математический анализ онлайн помощьконечен, а второй равен бесконечности, то. как следует из определения предела,

Математический анализ онлайн помощь

Если оба этих предела равны бесконечности или один из них конечен и не равен нулю, а второй равен бесконечности, то

Математический анализ онлайн помощь

Наконец, если Математический анализ онлайн помощь или наоборот, то

Математический анализ онлайн помощь

В остальных случаях, как и при вычислении пределов последовательностей (§3, пункт 4) могут возникать неопределенности вида Математический анализ онлайн помощь.

Пример оформления заказа №6

Найти предел

Математический анализ онлайн помощь

где

Математический анализ онлайн помощь

— полиномы степеней Математический анализ онлайн помощь соответственно.

Решение:

Здесь возникает неопределенность вида Математический анализ онлайн помощь которую мы раскроем, разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень. Возможны три случая: Математический анализ онлайн помощь и Математический анализ онлайн помощь. Рассмотрим, например, второй из них. разделив числитель и знаменатель дроби на Математический анализ онлайн помощь и воспользовавшись свойствами 7) предела:

Математический анализ онлайн помощь

Аналогично, в случае Математический анализ онлайн помощь мы получим Математический анализ онлайн помощь, если же Математический анализ онлайн помощь. то Математический анализ онлайн помощь.

Таким образом, окончательно,

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №7

Вычислить предел

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

В этом случае возникает неопределенность вида Математический анализ онлайн помощь которую мы раскроем, разложив числитель и знаменатель дроби на. множители:

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №8

Найти предел. Математический анализ онлайн помощь.

Решение:

Здесь мы имеем неопределенность вида Математический анализ онлайн помощьИспользуем для ее раскрытия тригонометрические пределы (4):

Математический анализ онлайн помощь

b) Число Математический анализ онлайн помощь

Для проверки данного равенства используем уже найденный нами в параграфе 3, пункт 3 предел:

Математический анализ онлайн помощь

Ограничимся для определенности положительными значения ми аргумента х. Обозначим через Математический анализ онлайн помощь целую часть числа х, т. е. наибольшее целое, нс превосходящее это число. Так как при любом Математический анализ онлайн помощь справедливы неравенства

Математический анализ онлайн помощь
Математический анализ онлайн помощь

Из последнего неравенства, воспользовавшись тем, что

Математический анализ онлайн помощь

и свойством 11 предела функции, мы и получим, что

Математический анализ онлайн помощь

Благодаря свойству 2) предела композиции функций

Математический анализ онлайн помощь

В частности,

Математический анализ онлайн помощь

Предел (5) используется для раскрытия неопределенностей вида Математический анализ онлайн помощь.

Пример оформления заказа №9

Вычислить предел Математический анализ онлайн помощь.

Решение:

В этом случае мы имеем неопределенность вида Математический анализ онлайн помощь Попробуем раскрыть ее с помощью предела (5). Так как

Математический анализ онлайн помощь

то, использовав предел (5) п тригонометрический предел, получим:

Математический анализ онлайн помощь

и, следовательно, сославшись на предел (3) из предыдущего пункта, мы заключаем, что

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №10

Сравнить бесконечно малые Математический анализ онлайн помощь в точке Математический анализ онлайн помощь (функции.

Решение:

Использовав тригонометрический предел (4) из пункта 3, получим:

Математический анализ онлайн помощь

Таким образом, Математический анализ онлайн помощь, т. e. бесконечно малая Математический анализ онлайн помощь имеет более высокий порядок малости относительно бесконечно малой Математический анализ онлайн помощь. Найдем этот порядок. По аналогии с предыдущим пределом мы можем убедиться в том, что

Математический анализ онлайн помощь

и, следовательно, искомый порядок малости равен 3.

Аналогично мы можем сравнивать бесконечно большие.

В частности, две бесконечно большие в точке Математический анализ онлайн помощь функции Математический анализ онлайн помощь функции называются эквивалентными, если

Математический анализ онлайн помощь

Обсудим теперь, как использовать эквивалентные бесконечно малые (бесконечно большие) при вычислении пределов.

Утверждение 1. Пусть Математический анализ онлайн помощь — две бесконечно малые [бесконечно большие) в точке Математический анализ онлайн помощь и существует предел

Математический анализ онлайн помощь

Тогда при. вычислении этого предела любую из данных (функций мы можем заменить на эквивалентную ей.

Действительно, если, например, Математический анализ онлайн помощь, то существует также предел

Математический анализ онлайн помощь

Аналогично проверяется и

Утверждение 2. Пусть Математический анализ онлайн помощь — бесконечно малая и бесконечно большая в точке Математический анализ онлайн помощь существует предел

Математический анализ онлайн помощь

Тогда любую из этих функций при вычислении предела мы можем заменить на соответствующую эквивалентную.

Эти несложные утверждения иногда упрощают вычисление пределов.

Рассмотрим несколько пар эквивалентных бесконечно малых, которые являются следствиями соответствующих пределов из предыдущего пункта. Во всех нижеследующих соотношениях Математический анализ онлайн помощь — бесконечно малая в точке Математический анализ онлайн помощь.

Математический анализ онлайн помощь

Докажем последнее из этих утверждений. В самом деле, использовав пределы (5) и (1) из пунктов 3 и 2 соответственно, получим:

Математический анализ онлайн помощь

т. e. Математический анализ онлайн помощь.

Пример оформления заказа №11

Вычислить предел.

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

Используем эквивалентные бесконечно малые 1) — 3). 5). Так как

Математический анализ онлайн помощь

то

Математический анализ онлайн помощь

Замечание. Все сформулированные выше определения и утверждения справедливы, естественно, и для бесконечно малых и бесконечно больших функций на бесконечности.

Непрерывность функции

К оглавлению…

Познакомимся теперь с таким важнейшим как в самой математике, так и в се приложениях свойством функции, как непрерывность.

  1. Определение непрерывности функции. Общие свойства непрерывности
  2. Классификация точек разрыва функции с примером
  3. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их доказательство
  4. Доказательство непрерывности элементарных функций

Пример оформления заказа №12

Исследовать на непрерывность функцию

Математический анализ онлайн помощь

Решение:

На полуосях и интервалах Математический анализ онлайн помощь функция Математический анализ онлайн помощь непрерывна. поскольку она является там элементарной. Проверим функцию на непрерывность в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т. е. в точкахМатематический анализ онлайн помощь. Для этого вычислим односторонние пределы функции в этих точках.

Математический анализ онлайн помощь

Так как Математический анализ онлайн помощь то в точке Математический анализ онлайн помощь данная функция непрерывна. В точке Математический анализ онлайн помощь имеем:

Математический анализ онлайн помощь

Здесь Математический анализ онлайн помощь, следовательно, Математический анализ онлайн помощь — точка разрыва первого рода. Наконец, в точке Математический анализ онлайн помощь

Математический анализ онлайн помощь

и, таким образом, в точке Математический анализ онлайн помощь функция испытывает разрыв второго рода.

График этой функции имеет вид:

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №13

Показать, что функция Математический анализ онлайн помощь не является равномерно непрерывной на промежутке [0, 1).

Решение:

Возьмем на промежутке [0, 1) две последовательности Математический анализ онлайн помощь.

Для этих последовательностей

Математический анализ онлайн помощь

откуда и следует, что данная функция нс может быть равномерно непрерывной па данном промежутке, так как элементы этих двух последовательностей сколь угодно близки, а разность соответствующих значений функции сколь угодно велика.

Сформулируем в заключение этого параграфа теорему, которая утверждает, что для промежутка. содержащего свои граничные точки, т. е. отрезка, свойства непрерывности и равномерной непрерывности равносильны.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она и равномерно непрерывна на нем.

С доказательств ом теоремы Кантора можно ознакомиться в первом томе трехтомника Фихтенгольца Г.М., имеющегося в списке литературы.

Производная. Исследование функций с помощью производной

К оглавлению…

В этой главе мы изучим такую важнейшую характеристику Функции. как ее производная и научимся ее использовать для исследования функции. Важность производной невозможно переоценить, так как опа характеризует скорость изменения любого процесса.

  1. Определение производной и дифференциала и их основные свойства
  2. Дифференцирование элементарных функций. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков
  3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций для математического анализа
  4. Правило Лопиталя для математического анализа

Пример оформления заказа №14

Найти производные функций: Математический анализ онлайн помощь.

Решение:

а) Здесь Математический анализ онлайн помощь и таким образом, Математический анализ онлайн помощь.

b В этом случае

Математический анализ онлайн помощь

следовательно, Математический анализ онлайн помощь.

с) Для этой функции

Математический анализ онлайн помощь

и, стало быть, Математический анализ онлайн помощь. Покажем, ото в точке Математический анализ онлайн помощь производная этой функции не существует. В самом деле,

Математический анализ онлайн помощь

Ио аналогии с односторонними пределами можно ввести также определение односторонних-производных. Конечный предел (если он существует)

Математический анализ онлайн помощь

называется левосторонней, соответственно, правосторонней производной функции Математический анализ онлайн помощь в точке Математический анализ онлайн помощь и обозначается через Математический анализ онлайн помощь, соответственно, Математический анализ онлайн помощь. Очевидно, для существования производной Математический анализ онлайн помощь необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны обе односторонние производные Математический анализ онлайн помощь.

Разностное отношение Математический анализ онлайн помощь представляет собой среднюю скорость изменения функции па отрезке Математический анализ онлайн помощь, следовательно, производная характеризует скорость изменения функции в точке Математический анализ онлайн помощь. Например, если точка двигается по прямой и известна зависимость Математический анализ онлайн помощь пройденного пути от времени, то скорость этой точки в момент времени t равна Математический анализ онлайн помощь, соответственно, ускорение равно производной от скорости по времени, т. е. Математический анализ онлайн помощь.

Выясним теперь геометрический смысл производной.

Математический анализ онлайн помощь

Угловой коэффициент Математический анализ онлайн помощь секущей Математический анализ онлайн помощь равен

Математический анализ онлайн помощь

поэтому, если производная Математический анализ онлайн помощь существует, то

Математический анализ онлайн помощь

и, таким образом, секущая Математический анализ онлайн помощь стремится занять некоторое предельное положение, которое естественно считать касательной к графику функции в точке Математический анализ онлайн помощь. Угловой коэффициент касательной равен

Математический анализ онлайн помощь

Следовательно, геометрически, производная Математический анализ онлайн помощьпредставляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке Математический анализ онлайн помощь. Уравнение касательной имеет вид:

Математический анализ онлайн помощь

В приложениях иногда используется нормальная прямая или нормаль, т. е. прямая, проходящая через тоxку Математический анализ онлайн помощьперпендикулярно касательной. Поскольку вектор Математический анализ онлайн помощь является нормальным для касательной, то дня нормальной прямой он является направляющим и, следовательно, мы можем записать каноническое уравнение нормальной прямой:

Математический анализ онлайн помощь

Пример оформления заказа №15

Найти уравнение касательной, параллельной вектору Математический анализ онлайн помощь(12. 1) к графику функции Математический анализ онлайн помощь в первой четверти.

Решение:

Найдем точку на графике, -через которую проходит касательная. Так как угловой коэффициент касательной равен Математический анализ онлайн помощь(пример 1, с)), то

Математический анализ онлайн помощь

Таким образом, касательная проходит через точку Математический анализ онлайн помощь(8, 2) графика функции и ее уравнение имеет вид:

Математический анализ онлайн помощь

Рассмотрим теперь неразрывно связанные с производной понятия дифференцируемости функции и ее дифференциала.

Функция Математический анализ онлайн помощь, определенная в некотором интервале, содержащем точку .го называется дифференцируемой в точке Математический анализ онлайн помощь, если ее приращение в этой точке представляется в виде:

Математический анализ онлайн помощь

где А — некоторое действительное число, Математический анализ онлайн помощь — бесконечно малая более высокого порядка, чем Математический анализ онлайн помощь т.е.Математический анализ онлайн помощь.

Разделив обе части равенства (2) на приращение аргумента Математический анализ онлайн помощь, в пределе получим:

Математический анализ онлайн помощь

Таким образом, если функция дифференцируема в точке Математический анализ онлайн помощь. то существует производная Математический анализ онлайн помощь и приращение этой функции мы можем записать в виде:

Математический анализ онлайн помощь

Покажем, что верно и обратное, т. е. из существования производной следует дифференцируемость функции в данной точке. Действительно, пусть в точке .То существует производная Математический анализ онлайн помощь. Так как функция

Математический анализ онлайн помощь

доопределенная в нуле нулем, является, очевидно, бесконечно малой при Математический анализ онлайн помощь, то

Математический анализ онлайн помощь

что и означает дифференцируемость функции Математический анализ онлайн помощь в точке Математический анализ онлайн помощь

Таким образом, мы доказали, что существование производной функции эквивалентно ее дифференцируемости. В связи с этим, часто в дальнейшем процесс нахождения производной мы будем называть коротко дифференцированием функции.

Определение 2. Линейная часть Математический анализ онлайн помощь приращения дифференцируемой в точке Математический анализ онлайн помощь функции Математический анализ онлайн помощь называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается через Математический анализ онлайн помощь.

Перепишем, учитывая это определение, формулу (3) для приращения функции:

Математический анализ онлайн помощь

Эту формулу мы можем использовать, в частности, для приближенного вычисления значений функции с помощью дифференциала, так как при малых значениях приращения Онлайн помощь по математическому анализу из нес следует, что

Онлайн помощь по математическому анализу

с погрешностью Онлайн помощь по математическому анализу.

Предполагая, что функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в интервале Онлайн помощь по математическому анализу. т. е. в любой точке этого интервала, и считая по определению, что Онлайн помощь по математическому анализу, мы можем записать выражение для дифференциала функции в произвольной точке интервала в следующей симметричной форме:

Онлайн помощь по математическому анализу

Этой формулой оправдывается еще одно обозначение для производной: Онлайн помощь по математическому анализу.

Как следует из уравнения (1) касательной к графику функции, дифференциал Онлайн помощь по математическому анализу Онлайн помощь по математическому анализу равен приращению ординаты касательной, которое соответствует приращению аргумента Онлайн помощь по математическому анализу.

Онлайн помощь по математическому анализу

Изучим теперь основные свойства производной и дифференциала.

1) Если функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в точке Онлайн помощь по математическому анализу. то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, из формулы (3) следует, что

Онлайн помощь по математическому анализу

что и доказывает непрерывность функции в точке Онлайн помощь по математическому анализу (глава IV, §5, пункт 1).

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция Онлайн помощь по математическому анализу Онлайн помощь по математическому анализу из примера 1, с), которая непрерывна в любой точке как элементарная, но не является дифференцируемой в нуле.

2) Если функция Онлайн помощь по математическому анализу монотонна и непрерывна на отрезке Онлайн помощь по математическому анализу и дифференцируема в некоторой точке Онлайн помощь по математическому анализу. причем Онлайн помощь по математическому анализу. то обратная функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в точке Онлайн помощь по математическому анализу и

Онлайн помощь по математическому анализу

Доказательство. По теореме о непрерывности обратной функции (глава IV, §5, пункт 3) обратная функция Онлайн помощь по математическому анализу существует, монотонна в том же смысле, что и функция Онлайн помощь по математическому анализу Онлайн помощь по математическому анализу и непрерывна в своей области определения. Заметим далее, что приращение аргумента Онлайн помощь по математическому анализу функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке Онлайн помощь по математическому анализу является приращением обратной функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке Онлайн помощь по математическому анализу, и наоборот, приращение аргумента Онлайн помощь по математическому анализу функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке Онлайн помощь по математическому анализу является приращением функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке Онлайн помощь по математическому анализу, причем, ввиду монотонности этих функций, если Онлайн помощь по математическому анализу, то и Онлайн помощь по математическому анализу и наоборот. Кроме того, из непрерывности данной функции и обратной к ней следует, что приращения Онлайн помощь по математическому анализу бесконечно малы одновременно, т. е.

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Формуле (5) мы можем придать более симметричный вид, если будем использовать следующие обозначения для производных: Онлайн помощь по математическому анализу Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Сформулируем теперь свойства производной, связанные с арифметическими операциями над функциями (правила дифференцирования).

3) Если функции Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируемы в точке х, то функции Онлайн помощь по математическому анализу где Онлайн помощь по математическому анализу — действительные числа, и Онлайн помощь по математическому анализу также дифференцируемы в этой точке и

Онлайн помощь по математическому анализу

Если, вдобавок, функция Онлайн помощь по математическому анализу отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку х, то дифференцируемой является и функция Онлайн помощь по математическому анализу причем

Онлайн помощь по математическому анализу

Первая из этих формул немедленно следует из определения производной и соответствующих свойств пределов функций (глава IV. §4. пункт 2).

Убедимся в справедливости формулы дифференцирования произведения. Прежде всего заметим. что по свойству 1) функция Онлайн помощь по математическому анализу непрерывна в точке х и, значит,

Онлайн помощь по математическому анализу

Преобразуем приращение функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке х :

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда, использовав свойства 7), а) и b) пределов функций (глава IV, §4, пункт 2) получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Формула дифференцирования частного двух функций доказывается аналогично. Установим, наконец, правгело дифференцирования композиции функций.

4) Если, функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в точке х. а. функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в точке Онлайн помощь по математическому анализу. то композиция функций Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в точке х и

Онлайн помощь по математическому анализу

Для доказательства запишем приращение композиции в точке х, воспользовавшись формулой (1) для функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке Онлайн помощь по математическому анализу:

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу — бесконечно малая при Онлайн помощь по математическому анализу функция. Отсюда, учитывая непрерывность функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке х, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Поскольку дифференциал функции пропорционален дифференциалу аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным производной, то правила дифференцирования 3) переносятся и на дифференциал-.

Онлайн помощь по математическому анализу

Правило дифференцирования композиции функций позволяет установить свойство инвариантности дифференциала. Пусть функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в некотором интервале. Дифференциал этой функции равен:

Онлайн помощь по математическому анализу

Предположим теперь, что аргумент x является, в свою очередь, дифференцируемой функцией Онлайн помощь по математическому анализу переменной Онлайн помощь по математическому анализу. Найдем дифференциал композиции функций Онлайн помощь по математическому анализу. пользуясь свойством 1) производной:

Онлайн помощь по математическому анализу

т. e.

Онлайн помощь по математическому анализу

Сравнивая формулы (6) и (7), мы можем утверждать, что вид дифференциала функции не зависит ст того, является ли ее аргумент независимым или функцией другой переменной.

В этом и заключается свойство инвариантности дифференциала, которое мы будем активно использовать при интегрировании функций.

Пример оформления заказа №16

Найти производную (функции Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Воспользовавшись таблицей и правилом дифференцирования композиции функций, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом, Онлайн помощь по математическому анализу.

Замечание. При вычислении производной степенного выражения Онлайн помощь по математическому анализу. где Онлайн помощь по математическому анализу — Дифференцируемые в некотором интервале функции, причем в этом интервале Онлайн помощь по математическому анализу, удобно предварительно прологарифмировать обе части данного равенства.

Пример оформления заказа №17

Найти производную функции Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Так как Онлайн помощь по математическому анализу, то

Онлайн помощь по математическому анализу

или

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №18

Найти, производную функции, заданной неявно уравнением Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Найдем производную по переменной х от обеих частей данного уравнения:

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №19

Найти уравнение касательной в любой точке эллипса.

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

Воспользуемся уравнением касательной (1) из предыдущего параграфа. Найдем сначала производную неявной функции, определяемой уравнением эллипса:

Онлайн помощь по математическому анализу

Запишем теперь уравнение касательной в точке эллипса с координатами Онлайн помощь по математическому анализу, учитывая, что угловой коэффициент этой касательной равен Онлайн помощь по математическому анализу :

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда

Онлайн помощь по математическому анализу

и, таким образом, искомое уравнение касательной имеет вид:

Онлайн помощь по математическому анализу

Ь) Производная функции, заданной параметрически.

Предположим, что переменные х и у являются функциями аргумента t. который мы будем называть параметром. т. е.

Онлайн помощь по математическому анализу

причем функцию Онлайн помощь по математическому анализу мы будем считать монотонной и дифференцируемой с ненулевой производной в указанном интервале, а функцию Онлайн помощь по математическому анализу мы будем предполагать дифференцируемой в интервале Онлайн помощь по математическому анализу. Благодаря свойству 2) предыдущего параграф в некотором интервале Онлайн помощь по математическому анализу существует дифференцируемая обратная для Онлайн помощь по математическому анализуфункция Онлайн помощь по математическому анализу и, стало быть, в интервале Онлайн помощь по математическому анализу определена функция Онлайн помощь по математическому анализу аргумента x, которую мы будем называть функцией, заданной параметрически уравнениями (3). Найдем выражение для производной этой функции в любой точке х интервала Онлайн помощь по математическому анализу через параметр 1. воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций и связью между производными взаимно обратных функций (свойство 4) и формула (5) предыдущего параграфа):

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно, производная параметрически заданной функции может быть найдена по формуле:

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №20

Найти уравнения касательных в точке Онлайн помощь по математическому анализулинии, которая задана параметрически уравнениями

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

Так как для этой линии Онлайн помощь по математическому анализу, то она представляет собой совокупность двух симметричных относительно оси Оу спиралей.

Онлайн помощь по математическому анализу

Через точку Онлайн помощь по математическому анализу эти спирали проходят при Онлайн помощь по математическому анализу. Найдем угловые коэффициенты касательных, соответствующих этим значениям параметра. Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то

Онлайн помощь по математическому анализу

и, следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Осталось записать уравнения двух касательных в данной точке:

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №21

Найти вторые производные (функций:

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

а) Найдем первую производную данной неявно заданной функции. Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то

Онлайн помощь по математическому анализу

и, следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Дифференцируя повторно, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

b) Для этой параметрически заданной функции

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №22

Убедиться в том, что для функции Онлайн помощь по математическому анализу, где Онлайн помощь по математическому анализу — попарно различные действительные числа, уравнение Онлайн помощь по математическому анализу имеет два различных действительных корня.

Решение:

Для определенности будем считать, что Онлайн помощь по математическому анализу. Так как Онлайн помощь по математическому анализуОнлайн помощь по математическому анализу, то по теореме Релля в интервалах Онлайн помощь по математическому анализу существуют различные корни уравнения Онлайн помощь по математическому анализу. Так как это уравнение является квадратным, то других корней оно иметь не может.

Пример оформления заказа №23

Вычислить пределы:

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

а) Здесь мы имеем неопределенность вида Онлайн помощь по математическому анализу Так как Онлайн помощь по математическому анализу (глава IV. §4, пункт 4. формула 2)), то

Онлайн помощь по математическому анализу

К последнему пределу применим правило Лопиталя:

Онлайн помощь по математическому анализу

b) В этом случае возникает неопределенность вида Онлайн помощь по математическому анализукоторую мы раскроем с помощью правила Лопиталя:

Онлайн помощь по математическому анализу

Мы пришли к неопределенности вида Онлайн помощь по математическому анализу. Используем правило Лопиталя повторно:

Онлайн помощь по математическому анализу

Замечание 3. Если при вычислении предела возникает неопределенность другого вида, то ее следует предварительно преобразовать к неопределенности вида Онлайн помощь по математическому анализу и вслед за этим уже применить правило Лопиталя. В случае одной из степенных неопределенностей Онлайн помощь по математическому анализу, воспользовавшись непрерывностью логарифма, мы можем сначала вычислить предел логарифма функции, а затем найти экспоненту от этого предела.

Пример оформления заказа №24

Найти предел:

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

В этом случае возникает неопределенность вида Онлайн помощь по математическому анализу. Найдем предел логарифма этой функции. Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то появившуюся здесь неопределенность вида Онлайн помощь по математическому анализу мы можем раскрыть по правилу Лопиталя:

Онлайн помощь по математическому анализу

так как Онлайн помощь по математическому анализу. В последнем пределе имеется неопределенность вида Онлайн помощь по математическому анализу, которую мы также раскрываем по правилу Лопиталя:

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно, Онлайн помощь по математическому анализу.

Замечание 4. Использовать правило Лопиталя необходимо с известной осторожностью, так как предел

Онлайн помощь по математическому анализу

может существовать, в то время как предела

Онлайн помощь по математическому анализу

может и не быть. Например, предел

Онлайн помощь по математическому анализу

с неопределенностью Онлайн помощь по математическому анализу существует и равен

Онлайн помощь по математическому анализу

так как функция Онлайн помощь по математическому анализу является бесконечно малой на бесконечности, как произведение бесконечно малой Онлайн помощь по математическому анализу и ограниченной функции Онлайн помощь по математическому анализу (глава IV, §4. пункт 4). В то же время воспользоваться правилом Лопиталя мы здесь не можем, так как

Онлайн помощь по математическому анализу

а пределОнлайн помощь по математическому анализу не существует. Действительно, на бесконечно большой последовательности Онлайн помощь по математическому анализу

Онлайн помощь по математическому анализу

а па другой бесконечно большой последовательности Онлайн помощь по математическому анализу

Онлайн помощь по математическому анализу

следовательно, ввиду свойства, единственности предела (глава IV, §4, пункт 2, свойство 3)) Онлайн помощь по математическому анализу не существует.

Формула Тейлора

К оглавлению…

Сравнительно простыми и хорошо изученными функциями являются полиномы. Найдем формулу, которая позволяет приближенно представить дифференцируемую вблизи некоторой точки Онлайн помощь по математическому анализу функцию в виде полинома по степеням Онлайн помощь по математическому анализу.

  1. Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена
  2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Пример оформления заказа №25

Записать формулу Тейлора (3), пункт 1 произвольного порядка в точке Онлайн помощь по математическому анализу для функции

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то достаточно найти разложения по формуле Тейлора для каждой из дробей

Онлайн помощь по математическому анализу

Выполнив подстановку Онлайн помощь по математическому анализу, мы сведем тем самым задачу представления дробей по формуле Тейлора к задаче их разложения по формуле Маклорена. Для первой дроби

Онлайн помощь по математическому анализу

поэтому, воспользовавшись формулой (6) при Онлайн помощь по математическому анализу, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Аналогично,

Онлайн помощь по математическому анализу

Воспользовавшись, наконец, предыдущим замечанием, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Графики данной функции и ее полинома Тейлора

Онлайн помощь по математическому анализу

вблизи точки Онлайн помощь по математическому анализу имеют вид:

Онлайн помощь по математическому анализу

Исследование функции с помощью производной

К оглавлению…

В этом параграфе мы научимся использовать производную для исследования геометрических свойств функции, таких как монотонность и выпуклость, а также для нахождения экстремумов и точек перегиба функции.

  1. Монотонность. Точки экстремума: теорема и доказательство
  2. Выпуклость функции. Точки перегиба: теорема и доказательство
  3. Асимптоты функции. Алгоритм полного исследования функции
  4. Векторная функция действительного аргумента: определение, теорема и доказательство

Пример оформления заказа №26

Найти интервалы, монотонности и точки экстремума функции

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

Функция определена па множество Онлайн помощь по математическому анализу. Найдем се производную:

Онлайн помощь по математическому анализу

Определим критические точки функции:

Онлайн помощь по математическому анализу

Производная сохраняет знак в интервалах, па которые область определения функции разбивается критическими точками и точкой Онлайн помощь по математическому анализу.

Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом, в интервалах Онлайн помощь по математическому анализу функция возрастает и, следовательно, в точке Онлайн помощь по математическому анализу экстремума нет. В интервалах Онлайн помощь по математическому анализу функция убывает и возрастает соответственно, поэтому Онлайн помощь по математическому анализу — точка строгого минимума данной функции и Онлайн помощь по математическому анализу

В заключение этого пункта обсудим как находить с помощью производной так называемые глобальные экстремумы функции на отрезке, т.е. ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, которые мы будем обозначать через Онлайн помощь по математическому анализу. соответственно.

Пусть функция Онлайн помощь по математическому анализу непрерывна на отрезке Онлайн помощь по математическому анализу. По теореме Вейерштрасса (глава IV, §5. пункт 3) функция достигает на отрезке Онлайн помощь по математическому анализу своих наименьшего и наибольшего значений. Если какое-то из них достигается внутри отрезка, то это происходит непременно в критической точке функции. Отсюда следует, что для нахождения глобальных экстремумов непрерывной на отрезке функции необходимо найти ее критические точки, попадающие на отрезок, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и среди всех этих значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример оформления заказа №27

Найти глобальные экстремумы функции

Онлайн помощь по математическому анализу

на отрезке Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Решим сначала эту задачу для функции Онлайн помощь по математическому анализу. Так как Онлайн помощь по математическому анализу. то критическими точками функции Онлайн помощь по математическому анализу являются числа Онлайн помощь по математическому анализу и Онлайн помощь по математическому анализу. Поскольку Онлайн помощь по математическому анализу; то

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда, учитывая, что Онлайн помощь по математическому анализу. мы окончательно находим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №28

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

Онлайн помощь по математическому анализу

из примера 1 предыдущего пункта.

Решение:

Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то

Онлайн помощь по математическому анализу

Производная имеет единственную критическую точку Онлайн помощь по математическому анализу. Очевидно, Онлайн помощь по математическому анализу при Онлайн помощь по математическому анализу и Онлайн помощь по математическому анализу. Следовательно, Онлайн помощь по математическому анализу — точка перегиба функции, так как слева от нее функция вогнута, а справа — выпукла.

Пример оформления заказа №29

Найти предельный вектор

Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

Найдем пределы координат данной векторной функции.

Онлайн помощь по математическому анализу

Здесь мы использовали правило Лопиталя (§4 настоящей главы) и непрерывность элементарных функций (глава IV. §5, пункт 4). Для вычисления предела второй координаты векторной функции используем эквивалентные бесконечно малые в нуле функции Онлайн помощь по математическому анализу. и Онлайн помощь по математическому анализу(глава IV, §4, пункт 4):

Онлайн помощь по математическому анализу

Предел третьей координаты мы найдем с помощью пределов (5) и (3) (глава IV, §1, пункты 3 и 2 соответственно):

Онлайн помощь по математическому анализу

Применив теперь доказанную выше теорему, окончательно получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

т. e. предельным для данной векторной функции является вектор Онлайн помощь по математическому анализу.

Как и для числовой функции, мы можем ввести понятие непрерывности для векторной функции. Пусть векторная функция Онлайн помощь по математическому анализу определена в интервале Онлайн помощь по математическому анализу, содержащем точку Онлайн помощь по математическому анализу. Она называется непрерывной в точке Онлайн помощь по математическому анализу. если существует Онлайн помощь по математическому анализуи

Онлайн помощь по математическому анализу

Из доказанной выше теоремы следует, что для непрерывности векторной функции необходимо и достаточно, чтобы были- непрерывными ее координаты.

Если векторная функция непрерывна в любой точке интервала Онлайн помощь по математическому анализу, то она называется непрерывной в этом, интервале.

Если векторные функции Онлайн помощь по математическому анализу непрерывны, то, как следует из определения непрерывности и свойств предельного вектора, сформулированных выше, непрерывными являются векторные функции Онлайн помощь по математическому анализу, а также числовые функции Онлайн помощь по математическому анализу.

Векторная функция считается разрывной в некоторой точке, если она не является непрерывной в пей.

Введем теперь определение вектора производной векторной функции. Предположим, что векторная функция Онлайн помощь по математическому анализу определена в интервале Онлайн помощь по математическому анализу. Обозначим через Онлайн помощь по математическому анализу — приращение векторной функции в точке Онлайн помощь по математическому анализу, соответствующее приращению аргумента Онлайн помощь по математическому анализу.

Определение 2. Если существует предельный вектор

Онлайн помощь по математическому анализу

то он называется вектором производной векторной функции Онлайн помощь по математическому анализу в точке Онлайн помощь по математическому анализу и обозначается через Онлайн помощь по математическому анализу.

Как и в случае числовой функции, если для векторной функции существует вектор производной в некоторой точке, то будем говорить, что векторная функция дифференцируема в этой точке.

Из доказанной в этом параграфе теоремы следует, что векторная функция (1) дифференцируема тогда, и только тогда, когда дифференцируемы ее координаты, и координатами вектора производной являются производные координат векторной функции, т. е.

Онлайн помощь по математическому анализу

Выясним геометрический смысл вектора производной дифференцируемой в точке Онлайн помощь по математическому анализу векторной функции Онлайн помощь по математическому анализу.

Онлайн помощь по математическому анализу

Вектор Онлайн помощь по математическому анализу является направляющим для секущей Онлайн помощь по математическому анализу и направлен он в сторону перемещения вдоль траектории L векторной функции. В пределе при Онлайн помощь по математическому анализу секущая будет занимать некоторое предельное положение, соответствующее касательной к траектории в точке Онлайн помощь по математическому анализу. и направляющим вектором касательной будет служить как раз вектор производной Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом, вектор производной представляет собой направляющий вектор касательной к траектории векторной функции в соответствующей точке, направленный в сторону перемещения по траектории.

Запишем, учитывая (5), канонические уравнения касательной к траектории дифференцируемой векторной функции (1) (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями (21) в точке Онлайн помощь по математическому анализу:

Онлайн помощь по математическому анализу

Плоскость, проходящая через точку Онлайн помощь по математическому анализу перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью к траектории дифференцируемой векторной функции (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями). Поскольку вектор Онлайн помощь по математическому анализу является нормальным для нормальной плоскости, то ее общее уравнение имеет вид:

Онлайн помощь по математическому анализу

Пример оформления заказа №30

Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к траектории векторной функции

Онлайн помощь по математическому анализу

в точке Онлайн помощь по математическому анализу

Решение:

Найдем производную этой векторной функции:

Онлайн помощь по математическому анализу

Точке Онлайн помощь по математическому анализу соответствует значение параметра Онлайн помощь по математическому анализу. поэтому направляющим для касательной является вектор Онлайн помощь по математическому анализу. Следовательно, искомые уравнения касательной и нормальной плоскости имеют вид

Онлайн помощь по математическому анализу

и

Онлайн помощь по математическому анализу

соответственно.

Если векторные функции Онлайн помощь по математическому анализу определены в интервале Онлайн помощь по математическому анализу и дифференцируемы в точке Онлайн помощь по математическому анализу, то

Онлайн помощь по математическому анализу

Первая из этих формул очевидна, а остальные доказываются с помощью представления этих произведений векторных функций в координатах (глава II §§3—5) и правил дифференцирования суммы и произведения функций (§1 настоящей главы). Например, если

Онлайн помощь по математическому анализу

то

Онлайн помощь по математическому анализу

Замечание 2. Аналогично мы можем определить векторную функцию действительного аргумента и линию в n-мерном евклидовом пространстве Онлайн помощь по математическому анализу.

Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители

К оглавлению…

  1. Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители

Пример оформления заказа №31

Вычислить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Онлайн помощь по математическому анализу Онлайн помощь по математическому анализу, а также степень Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Воспользовавшись определением алгебраических операций, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Для вычисления степени, заметим сначала, что

Онлайн помощь по математическому анализу

Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию комплексного ’плела, которая даст нам возможность представить комплексное число в так называемой тригонометрической форме.

Выберем на плоскости декартову систему координат Оху. Тогда на этой плоскости комплексное число Онлайн помощь по математическому анализу мы можем представлять себе как точку Онлайн помощь по математическому анализу или радиус-вектор Онлайн помощь по математическому анализу и, наоборот, точку или ее радиус-вектор считать соответствующим комплексным числом.

Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом заполненную комплексными числами плоскость мы будем называть комплексной плоскостью. Действительные числа располагаются на оси О.г, поэтому ее называют действительной осью комплексной плоскости, чисто мнимые — на осп Оу, которая называется мнимой осью комплексной плоскости.

Па комплексной плоскости сложение и вычитание комплексных чисел равносильно этим же операциям над соответствующими радиусами-векторами.

Длина r радиуса-вектора Онлайн помощь по математическому анализу называется модулем комплексного числа z, угол Онлайн помощь по математическому анализу. который образует этот радиус-вектор с положительным направлением оси Ох, называется аргументом данного комплексного числа (для модуля и аргумента иногда используются обозначения |z| и arg 2 соответственно). Очевидно, чго, если аргумент р найден, то любой из утлой Онлайн помощь по математическому анализуОнлайн помощь по математическому анализу также является аргументом. Чтобы однозначно зафиксировать аргумент, будем выбирать его значение в пределах полного угла, например, из промежутка Онлайн помощь по математическому анализу.

Из прямоугольного треугольника OMN следует, что. с одной стороны,

Онлайн помощь по математическому анализу

а. с другой,

Онлайн помощь по математическому анализу

(мы здесь, естественно, подразумеваем, что Онлайн помощь по математическому анализу. Если Онлайн помощь по математическому анализу. то Онлайн помощь по математическому анализу, а аргумент Онлайн помощь по математическому анализу не определен). Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом, комплексное число Онлайн помощь по математическому анализу мы можем записать в виде

Онлайн помощь по математическому анализу

где модуль r и аргумент Онлайн помощь по математическому анализу находятся по формулам (1). Это представление называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если складывать и вычитать комплексные числа удобно, когда они представлены в своей первоначальной, алгебраической /форме, то при умножении, делении и возведении в степень гораздо удобнее использовать тригонометрическую форму. Действительно, пусть

Онлайн помощь по математическому анализу

два. комплексных числа, представленные в тригонометрической форме. Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом,

Онлайн помощь по математическому анализу

т.е. при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются. Аналогично. если Онлайн помощь по математическому анализу, то

Онлайн помощь по математическому анализу

и, таким образом, деление комплексных чисел приводит к делению их модулей и. вычитанию аргументов. Из последних двух формул следует, что, если Онлайн помощь по математическому анализу то для любого целого n

Онлайн помощь по математическому анализу

— формула Муавра.

Научимся теперь извлекать корни из комплексных чисел. По определению, для произвольного натурального Онлайн помощь по математическому анализу корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число Онлайн помощь по математическому анализу. для которого ( v’z)” = z. В отличие от степени корень из комплексного числа находится неоднозначно. Для вычисления корня также удобно использовать тригонометрическую форму. Пусть

Онлайн помощь по математическому анализу

Воспользовавшись определением корня и формулой Муавра, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда, Онлайн помощь по математическому анализу или

Онлайн помощь по математическому анализу

Полагая целое число m равным n последовательным значениям, например, Онлайн помощь по математическому анализу. мы получим п различных значений аргумента, а. значит, и n различных значений корня. Вес остальные аргументы будут отличаться от указанных на угол, кратный Онлайн помощь по математическому анализу и поэтому новых значений корня они не добавят.

Таким образом, корень п-ой степени из комплексного числа Онлайн помощь по математическому анализу имеет п различных значений и все они вычисляются по формуле

Онлайн помощь по математическому анализу

Заметим еще, что, как видно из формулы, переход от одного значения корня к соседнему происходит поворотом на один и тот же угол Онлайн помощь по математическому анализу поэтому все корни n-ой степени из комплексного числа z находятся на окружности радиуса Онлайн помощь по математическому анализу с центром в начале координат в вершинах правильного n-угольника.

Пример оформления заказа №32

Решить уравнение Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Из данного уравнения следует, что Онлайн помощь по математическому анализу. Представим комплексное число Онлайн помощь по математическому анализу в тригонометрической форме. По формулам (1)

Онлайн помощь по математическому анализу

Тогда Онлайн помощь по математическому анализу и, следовательно, искомые корни могут быть вычислены ио формуле (2):

Онлайн помощь по математическому анализу

Таким образом, данное уравнение имеет три различных комплексных корня

Онлайн помощь по математическому анализу

которые располагаются на окружности радиуса Онлайн помощь по математическому анализу с центром в начале координат в вершинах равностороннего треугольника.

Онлайн помощь по математическому анализу

Рассмотрим еще одну форму представления комплексного числа — показательную. Положим по определению

Онлайн помощь по математическому анализу

Поясним (нестрого!) эту формулу, использовав разложение экспоненты по формуле Маклорена произвольного порядка для аргумента Онлайн помощь по математическому анализу (§5, пункт 2. формула (11:

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда формально и следует соотношение (3). гак как выражения в скобках в последней формуле представляют собой разложения функций Онлайн помощь по математическому анализу по формуле Маклорена (§5. пункт 2. формулы (3) и (2) соответственно).

Использовав (3) и формулы умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы можем убедиться в справедливости следующих свойств экспоненты Онлайн помощь по математическому анализу. которые повторяют соответствующие свойства показательной функции действительного аргумента:

Онлайн помощь по математическому анализу

С учетом (3) тригонометрическая форма представления комплексного числа

Онлайн помощь по математическому анализу

превращается в показательную

Онлайн помощь по математическому анализу

Показательная форма позволяет, учитывая приведенные выше свойства экспоненты Онлайн помощь по математическому анализу, компактно записать операции умножения, деления, а также возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел. Действительно, если Онлайн помощь по математическому анализу,

Онлайн помощь по математическому анализу

Формула (3) дает возможность определить комплексную экспоненту. Действительно, для произвольного комплексного числа Онлайн помощь по математическому анализу положим по определению

Онлайн помощь по математическому анализу

Свойства этой функции совершенно аналогичны приведенным выше соответствующим свойствам функции Онлайн помощь по математическому анализу

Покажем, от о операция комплексного сопряжения над результатом любой алгебраической операции приводит к точно такой же операции над сопряженными комплексными числами. Для сложения и вычитания это очевидным образом следует из определения этих операций, т. е.

Онлайн помощь по математическому анализу

Далее, гак как операция комплексного сопряжения не меняет модуля комплексного числа, но меняет знак его аргумента на противоположный, т. е. Онлайн помощь по математическому анализу. то, использовав формулы (4), мы можем записать:

Онлайн помощь по математическому анализу

Если действительная и мнимая части комплексного числа зависят от некоторой дейст-вительной переменной, то мы вправе говорить о комплексной функции действительного аргумента.

Определение 2. Закономерность, по которой каждому действительному числу t из некоторого интервала Онлайн помощь по математическому анализу ставится в соответствие, определенное комплексное число z(t). называется комплексной функцией действительного аргумента.

Пусть Онлайн помощь по математическому анализу. Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Значения комплексной функции заполняют на плоскости Оху некоторую кривую L, которая является траекторией векторной функции

Онлайн помощь по математическому анализу

Комплексным уравнением кривой L является уравнение

Онлайн помощь по математическому анализу

Поскольку задание комплексной функции z(t) равносильно заданию соответствующей векторной функции Онлайн помощь по математическому анализу, то введенные для векторной функции в предыдущем параграфе понятия предела, непрерывности и производной автоматически переносятся и на комплексную функцию. В частности, если функция Онлайн помощь по математическому анализу дифференцируема в точке Онлайн помощь по математическому анализу, то ее действительная и мнимая части также дифференцируемы в этой точке и

Онлайн помощь по математическому анализу

Производная Онлайн помощь по математическому анализу является направляющим вектором касательной к кривой L в точке Онлайн помощь по математическому анализу. Использовав векторное уравнение прямой на плоскости (глава III. §3), мы можем записать комплексное уравнение касательной:

Онлайн помощь по математическому анализу

Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.

Пример оформления заказа №33

Построить кривую L, заданную комплексным уравнением

Онлайн помощь по математическому анализу

и найти комплексное уравнение касательной к этой кривой в точке Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Кривая L задана параметрическими уравнениями

Онлайн помощь по математическому анализу

Из свойств функций Онлайн помощь по математическому анализу следует, что эта кривая симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов, поэтому достаточно построить ее в первой четверти и затем отразить относительно координатных осей. Найдем первую и вторую производные функции

Онлайн помощь по математическому анализу

заданной параметрически (§2. пункты 2 и 3). Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то

Онлайн помощь по математическому анализу

Далее,

Онлайн помощь по математическому анализу

Так какОнлайн помощь по математическому анализу первой четверти кривая L является графиком убывающей выпуклой функции. Построим эту кривую.

Онлайн помощь по математическому анализу

Она называется астроидой.

Toчке Онлайн помощь по математическому анализу соответствует значение параметра Онлайн помощь по математическому анализуНаправляющим вектором касательной к кривой L в точке Онлайн помощь по математическому анализу является вектор Онлайн помощь по математическому анализу Тогда комплексное уравнение касательной имеет вид:

Онлайн помощь по математическому анализу

В следующем семестре при изучении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами нам придется рассматривать комплексную функцию

Онлайн помощь по математическому анализу

действительного аргумента x. Покажем, что как и для действительной функции

Онлайн помощь по математическому анализу

В самом деле, если Онлайн помощь по математическому анализу, то

Онлайн помощь по математическому анализу

и, следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Вернемся теперь к исходному пункту этого параграфа, а именно, к задаче решения алгебраического уравнения. Рассмотрим полином степени Онлайн помощь по математическому анализу комплексной переменной z с комплексными коэффициентами

Онлайн помощь по математическому анализу

На вопрос о разрешимости уравнения

Онлайн помощь по математическому анализу

отвечает сформулированная ниже теорема, которую называют иногда основной теоремой алгебры.

Теорема Гаусса. Уравнение (7) имеет комплексный корень.

Пусть Онлайн помощь по математическому анализу — корень уравнения (7). существование которого гарантирует теорема. Гаусса. Тогда, учитывая, что при любом натуральном к

Онлайн помощь по математическому анализу

получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу некоторый полином степени Онлайн помощь по математическому анализу. Если, далее, Онлайн помощь по математическому анализу— корень уравнения Онлайн помощь по математическому анализу.

то

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу — полином степени Онлайн помощь по математическому анализу, и, таким образом,

Онлайн помощь по математическому анализу

Продолжая этот процесс, мы через Онлайн помощь по математическому анализу шагов придем к следующему представлению для полинома Онлайн помощь по математическому анализу:

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу — полином степени Онлайн помощь по математическому анализу . причем Онлайн помощь по математическому анализу. Число Онлайн помощь по математическому анализу называется кратностью корня Онлайн помощь по математическому анализу. Если Онлайн помощь по математическому анализу. то уравнение Онлайн помощь по математическому анализу по теореме Гаусса имеет корень Онлайн помощь по математическому анализу. Для этого корня мы по аналогии с (81 можем записать разложение

Онлайн помощь по математическому анализу

в котором Онлайн помощь по математическому анализу — полином степени Онлайн помощь по математическому анализу. Следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

Повторяя эту процедуру для всех оставшихся корней уравнения (7), мы придем к следующему разложению полинома Онлайн помощь по математическому анализу па множители:

Онлайн помощь по математическому анализу

где все корни Онлайн помощь по математическому анализу кратностей Онлайн помощь по математическому анализу, соответственно, различны. В частном случае уравнение может иметь n различных и, значит. простых, т. е. кратностей 1. корней. Тогда

Онлайн помощь по математическому анализу

Обсудим теперь один важный частный случай, когда все коэффициенты полинома Онлайн помощь по математическому анализудействительного аргумента х действительны. Для этого полинома также справедливо представление (9), однако в нем могут быть комплексные множители. Поставим себе целью найти разложение этого полинома на действительные множители. Для этого заметим, что в данном случае

Онлайн помощь по математическому анализу

для любого комплексного числа z. В самом деле, воспользовавшись свойствами (5) и (6) комплексного сопряжения и тем, что коэффициенты полинома Онлайн помощь по математическому анализу действительны, получим:

Онлайн помощь по математическому анализу

Из (10) сразу же следует, что, если уравнение

Онлайн помощь по математическому анализу

имеет комплексный корень Онлайн помощь по математическому анализу. то и сопряженное к нему число го также является корнем этого уравнения. Так как квадратичное выражение

Онлайн помощь по математическому анализу

имеет действительные коэффициенты Онлайн помощь по математическому анализу, то полином Онлайн помощь по математическому анализу мы можем представить в виде

Онлайн помощь по математическому анализу

где полином Онлайн помощь по математическому анализу степени Онлайн помощь по математическому анализу также имеет действительные коэффициенты. Если уравнение Онлайн помощь по математическому анализу также имеет пару комплексно сопряженных корней Онлайн помощь по математическому анализу, то из полинома

Онлайн помощь по математическому анализу мы, в свою очередь, можем выделить квадратичный множитель Онлайн помощь по математическому анализу и, следовательно,

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу — полином степени Онлайн помощь по математическому анализу с действительными коэффициентами. Повторяя эту процедуру, мы через Онлайн помощь по математическому анализу шагов, где Онлайн помощь по математическому анализу — общая кратность пары комплексно сопряженных корней Онлайн помощь по математическому анализу уравнения (11). придем к равенству

Онлайн помощь по математическому анализу

Здесь полином Онлайн помощь по математическому анализу степени Онлайн помощь по математическому анализу имеет действительные коэффициенты и Онлайн помощь по математическому анализу. Таким образом, мы можем утверждать, что, если уравнение (11) имеет к действительных корней Онлайн помощь по математическому анализу с кратностями Онлайн помощь по математическому анализу. соответственно, и l пар комплексно сопряженных корней Онлайн помощь по математическому анализукратностей, соответственно. Онлайн помощь по математическому анализу то полином Онлайн помощь по математическому анализу имеет, следующее разложение по степеням действительных линейных и квадратичных множителей:

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу,

В заключение этого параграфа, научимся находить кратность корня уравнения (11) с помощью производной.

Корень Онлайн помощь по математическому анализу уравнения (11) имеет кратность Онлайн помощь по математическому анализу тогда и только тогда, когда

Онлайн помощь по математическому анализу

Действительно, предположим сначала, что Онлайн помощь по математическому анализу-кратный корень уравнения (11). Тогда ввиду (8)

Онлайн помощь по математическому анализу

Отсюда и следует утверждение, так как первые Онлайн помощь по математическому анализу производных будут содержать множитель Онлайн помощь по математическому анализу и, следовательно, они равны нулю в точке Онлайн помощь по математическому анализу, а

Онлайн помощь по математическому анализу

где Онлайн помощь по математическому анализу — полипом степени Онлайн помощь по математическому анализу, и поэтому Онлайн помощь по математическому анализу.

Обратно, пусть имеют место соотношения (13). Запишем для полинома Онлайн помощь по математическому анализу формулу Тейлора порядка п в точке ;гр с остатком в форме Лагранжа (§5, пункт 1. формула (1)):

Онлайн помощь по математическому анализу

так как здесь

Онлайн помощь по математическому анализу

Из формулы Тейлора и соотношений (13) следует, что

Онлайн помощь по математическому анализу

где

Онлайн помощь по математическому анализу

Следовательно, Онлайн помощь по математическому анализу. что и означает, что Онлайн помощь по математическому анализу — корень кратности s уравнения (11).

Замечание. Сформулированное утверждение справедливо и для кратных комплексных корней уравнения (11).

Пример оформления заказа №34

Разложить на множители полином Онлайн помощь по математическому анализу.

Решение:

Онлайн помощь по математическому анализу. Найдем кратности корней Онлайн помощь по математическому анализу. Так как

Онлайн помощь по математическому анализу

то Онлайн помощь по математическому анализу. Далее.

Онлайн помощь по математическому анализу

следовательно. Онлайн помощь по математическому анализу. Отсюда следует. что Онлайн помощь по математическому анализу — трехкратный, а Онлайн помощь по математическому анализу -двукратный корень уравнения Онлайн помощь по математическому анализу

и. таким образом,

Онлайн помощь по математическому анализу

Кстати возможно эти страницы вам будут полезны:

  1. Предмет математический анализ
  2. Решение задач по математическому анализу
  3. Примеры решения по математическому анализу
  4. Задачи по математическому анализу
  5. Методическое пособие по математическому анализу
  6. Математический анализ для 1 курса
  7. Сборники и решебники задач по математическому анализу