Онлайн помощь по математическому анализу

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно по матанализу, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила теорию для того чтобы вы освежили свои знания и примеры оформления работ по математическому анализу, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Свойства действительных чисел

К оглавлению…

  1. Свойства действительных чисел. Основные подмножества множества действительных чисел
  2. Числовые множества
  3. Предел последовательности
  4. Свойства и доказательство пределов последовательностей
  5. Число e
  6. О неопределенностях, возникающих при вычислении пределов

Пример оформления заказа №1.

Убедиться по определению, что

Решение:

Зафиксируем произвольное малое и подберем номер , после которого выполняется неравенство

В нашем случае

Из неравенства

находим:

Следовательно, в качестве номера можно взять число

где обозначает целую часть числа, т. е. наибольшее целое, не превосходящее данное число.

Аналогично можно убедиться в том, что

Введем понятие бесконечного предела последовательности . Если для любого (можно считать сколь угодно большого) числа существует номер такой, что

то пределом данной последовательности считается бесконечность, т. е.

Пример оформления заказа №2.

Доказать по определению, что

Доказательство. Здесь

Следовательно, если, при заданном , мы возьмем , то

что и требовалось доказать.

Отметим еще тот очевидный факт, что

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Соответственно. расходящейся называется последовательность, предел которой равен бесконечности или не существует.

Пример оформления заказа №3.

Вычислить предел

Решение:

В данном случае возникает не определенность вида . Так как числитель и знаменатель содержат степенные выражения переменной , то раскрыть эту неопределенность мы можем, разделив числитель и знаменатель дроби на общую старшую степень :

Воспользовавшись свойствами 7) продела, получим:

Пример оформления заказа №4.

Найти предел

Решение:

Здесь имеем неопределенность вида . Преобразуем последовательность под знаком предела:

Мы получили предел с неопределенностью вида . Разделим числитель и знаменатель последней дроби на и используем свойства 7) предела:

Предел функции

К оглавлению…

В этом параграфе мы обобщим понятие предела на случай числовой функции одной действительной переменной.

  1. Числовая функция и некоторые ее элементарные свойства
  2. Предел функции: определение и его свойства
  3. Два важных правила в анализе предела
  4. Бесконечно малые (бесконечно большие) функции, их свойства и использование

Пример оформления заказа №5

Проверить по определению, что

Решение:

В первом случае для всех что и доказывает равенство. Для второго предела

Отсюда следует, что, если по заданному малому выбрать , то при всех таких, что справедливо неравенство

которое и доказывает утверждение.

Введем теперь определение кон сытного предела функции при стремящемся к бесконечности. Пусть эта функция определена при всех действительных или вне некоторого интервала. Число считается пределом функции при , если для всякого положительного существует такое число . что. как только , то

Например.

гак как при заданном неравенство выполняется, очевидно, при

Осталось ввести определение бесконечного предела функции. Пусть функция определена. в некотором интервале, содержащем точку , исключая, возможно, саму гонку .то (соответственно, вне некоторого интервала). Если для любого (сколь угодно большого’) положительного числа существует положительное число (соответственно, ) такое, что для любого из множества

справедливо неравенство

то

Пользуясь этим определением, несложно убедиться, например, в том, что

В определении предела функции при аргумент приближается к точке с обеих сторон, оставаясь как меньше, так и больше числа . Если же заставить аргумент приближаться к точке только слева (справа), то мы получим односторонний предел. Приведем его точное определение.

Пусть функция определена в некотором интервале (соответственно, . Число (соответственно, ) называется левосторонним (соответственно, правосторонним) пределом функции при стремящемся к если для любого существует (соответственно, ) такое, что при (соответственно, выполняется неравенство

Обозначается левосторонний (соответственно, правосторонний) предел через

Перейдем теперь к изучению свойств конечных пределов функций.

1) Для того, чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно, чтобы, существовали и, были равны, оба односторонних. предела

Для доказательства достаточно сравнить определения предела функции и односторонних пределов.

2) Предположим, что функция определена, в некотором интервале, содержащем точку . кроме, возможно, точки и существует конечный предел , а функция определена в некотором интервале, содержащем область значений функции и точку кроме, возможно, точки и существует предел . Тогда существует предел композиции функций

Действительно, по определению предела функции для любого найдется число такое, что при всех у из множества справедливо неравенство свою очередь для числа отыщется такое , что при любом , принадлежащем множеству выполняется неравенство . Отсюда следует справедливость неравенства при всех таких, что Свойство доказано.

Теперь сформулируем свойства пределов функций, которые аналогичны (вместе с доказательствами) соответствующим свойствам пределов последовательностей. Во всех этих свойствах мы будем предполагать, что функции определены некотором интервале , содержащем точку «о, кроме, может быть, самой точки .то.

3) Функция имеет не более одного предела.

4) Если при всех х из интервала выполняется неравенство

и существуют, равные друг другу пределы, , то существует также, предел l, причем

5) Если для любого справедливо неравенство и существует конечный предел .

Это свойство, очевидно, справедливо и для односторонних пределов.

6) Если /функция монотонна и ограничена в интервале (соответственно, ). то существует левосторонний предел (соответственно, правосторонний предел /.

7) Если для функций существуют конечные пределы то существуют также пределы функций причем

Если, сверх того, . то существует также предел дроби и

Покажем, пользуясь свойствами 2), 6) и 7). что

Прежде всего заметим, тгго по свойству 6) существуют односторонние пределы этих функций. Так как благодаря свойству 7)

то для проверки этих равенств достаточно доказать, что

Используя свойства 2) и 7) получим:

откуда и следует справедливость утверждений (2), а, значит, и (1)

Предположим, что функции определены в некотором интервале, содержащем точку го. кроме, может быть, самой точки то и существуют конечные пределы

Найдем, пользуясь пределами (1) и свойством 2) предел функции .

Замечание. Свойства 2) — 7) co специальными оговорками, касающимися областей опре-деления и значений функций, справедливы и для конечных пределов функций па бесконечности.

Сделаем еще одно замечание, касающееся алгебраических операций над пределами функций. Если один из пределов конечен, а второй равен бесконечности, то. как следует из определения предела,

Если оба этих предела равны бесконечности или один из них конечен и не равен нулю, а второй равен бесконечности, то

Наконец, если или наоборот, то

В остальных случаях, как и при вычислении пределов последовательностей (§3, пункт 4) могут возникать неопределенности вида .

Пример оформления заказа №6

Найти предел

где

— полиномы степеней соответственно.

Решение:

Здесь возникает неопределенность вида которую мы раскроем, разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень. Возможны три случая: и . Рассмотрим, например, второй из них. разделив числитель и знаменатель дроби на и воспользовавшись свойствами 7) предела:

Аналогично, в случае мы получим , если же . то .

Таким образом, окончательно,

Пример оформления заказа №7

Вычислить предел

Решение:

В этом случае возникает неопределенность вида которую мы раскроем, разложив числитель и знаменатель дроби на. множители:

Пример оформления заказа №8

Найти предел. .

Решение:

Здесь мы имеем неопределенность вида Используем для ее раскрытия тригонометрические пределы (4):

b) Число

Для проверки данного равенства используем уже найденный нами в параграфе 3, пункт 3 предел:

Ограничимся для определенности положительными значения ми аргумента х. Обозначим через целую часть числа х, т. е. наибольшее целое, нс превосходящее это число. Так как при любом справедливы неравенства

Из последнего неравенства, воспользовавшись тем, что

и свойством 11 предела функции, мы и получим, что

Благодаря свойству 2) предела композиции функций

В частности,

Предел (5) используется для раскрытия неопределенностей вида .

Пример оформления заказа №9

Вычислить предел .

Решение:

В этом случае мы имеем неопределенность вида Попробуем раскрыть ее с помощью предела (5). Так как

то, использовав предел (5) п тригонометрический предел, получим:

и, следовательно, сославшись на предел (3) из предыдущего пункта, мы заключаем, что

Пример оформления заказа №10

Сравнить бесконечно малые в точке (функции.

Решение:

Использовав тригонометрический предел (4) из пункта 3, получим:

Таким образом, , т. e. бесконечно малая имеет более высокий порядок малости относительно бесконечно малой . Найдем этот порядок. По аналогии с предыдущим пределом мы можем убедиться в том, что

и, следовательно, искомый порядок малости равен 3.

Аналогично мы можем сравнивать бесконечно большие.

В частности, две бесконечно большие в точке функции функции называются эквивалентными, если

Обсудим теперь, как использовать эквивалентные бесконечно малые (бесконечно большие) при вычислении пределов.

Утверждение 1. Пусть — две бесконечно малые [бесконечно большие) в точке и существует предел

Тогда при. вычислении этого предела любую из данных (функций мы можем заменить на эквивалентную ей.

Действительно, если, например, , то существует также предел

Аналогично проверяется и

Утверждение 2. Пусть — бесконечно малая и бесконечно большая в точке существует предел

Тогда любую из этих функций при вычислении предела мы можем заменить на соответствующую эквивалентную.

Эти несложные утверждения иногда упрощают вычисление пределов.

Рассмотрим несколько пар эквивалентных бесконечно малых, которые являются следствиями соответствующих пределов из предыдущего пункта. Во всех нижеследующих соотношениях — бесконечно малая в точке .

Докажем последнее из этих утверждений. В самом деле, использовав пределы (5) и (1) из пунктов 3 и 2 соответственно, получим:

т. e. .

Пример оформления заказа №11

Вычислить предел.

Решение:

Используем эквивалентные бесконечно малые 1) — 3). 5). Так как

то

Замечание. Все сформулированные выше определения и утверждения справедливы, естественно, и для бесконечно малых и бесконечно больших функций на бесконечности.

Непрерывность функции

К оглавлению…

Познакомимся теперь с таким важнейшим как в самой математике, так и в се приложениях свойством функции, как непрерывность.

  1. Определение непрерывности функции. Общие свойства непрерывности
  2. Классификация точек разрыва функции с примером
  3. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их доказательство
  4. Доказательство непрерывности элементарных функций

Пример оформления заказа №12

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

На полуосях и интервалах функция непрерывна. поскольку она является там элементарной. Проверим функцию на непрерывность в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т. е. в точках. Для этого вычислим односторонние пределы функции в этих точках.

Так как то в точке данная функция непрерывна. В точке имеем:

Здесь , следовательно, — точка разрыва первого рода. Наконец, в точке

и, таким образом, в точке функция испытывает разрыв второго рода.

График этой функции имеет вид:

Пример оформления заказа №13

Показать, что функция не является равномерно непрерывной на промежутке [0, 1).

Решение:

Возьмем на промежутке [0, 1) две последовательности .

Для этих последовательностей

откуда и следует, что данная функция нс может быть равномерно непрерывной па данном промежутке, так как элементы этих двух последовательностей сколь угодно близки, а разность соответствующих значений функции сколь угодно велика.

Сформулируем в заключение этого параграфа теорему, которая утверждает, что для промежутка. содержащего свои граничные точки, т. е. отрезка, свойства непрерывности и равномерной непрерывности равносильны.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она и равномерно непрерывна на нем.

С доказательств ом теоремы Кантора можно ознакомиться в первом томе трехтомника Фихтенгольца Г.М., имеющегося в списке литературы.

Производная. Исследование функций с помощью производной

К оглавлению…

В этой главе мы изучим такую важнейшую характеристику Функции. как ее производная и научимся ее использовать для исследования функции. Важность производной невозможно переоценить, так как опа характеризует скорость изменения любого процесса.

  1. Определение производной и дифференциала и их основные свойства
  2. Дифференцирование элементарных функций. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков
  3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций для математического анализа
  4. Правило Лопиталя для математического анализа

Пример оформления заказа №14

Найти производные функций: .

Решение:

а) Здесь и таким образом, .

b В этом случае

следовательно, .

с) Для этой функции

и, стало быть, . Покажем, ото в точке производная этой функции не существует. В самом деле,

Ио аналогии с односторонними пределами можно ввести также определение односторонних-производных. Конечный предел (если он существует)

называется левосторонней, соответственно, правосторонней производной функции в точке и обозначается через , соответственно, . Очевидно, для существования производной необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны обе односторонние производные .

Разностное отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции па отрезке , следовательно, производная характеризует скорость изменения функции в точке . Например, если точка двигается по прямой и известна зависимость пройденного пути от времени, то скорость этой точки в момент времени t равна , соответственно, ускорение равно производной от скорости по времени, т. е. .

Выясним теперь геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент секущей равен

поэтому, если производная существует, то

и, таким образом, секущая стремится занять некоторое предельное положение, которое естественно считать касательной к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной равен

Следовательно, геометрически, производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке . Уравнение касательной имеет вид:

В приложениях иногда используется нормальная прямая или нормаль, т. е. прямая, проходящая через тоxку перпендикулярно касательной. Поскольку вектор является нормальным для касательной, то дня нормальной прямой он является направляющим и, следовательно, мы можем записать каноническое уравнение нормальной прямой:

Пример оформления заказа №15

Найти уравнение касательной, параллельной вектору (12. 1) к графику функции в первой четверти.

Решение:

Найдем точку на графике, -через которую проходит касательная. Так как угловой коэффициент касательной равен (пример 1, с)), то

Таким образом, касательная проходит через точку (8, 2) графика функции и ее уравнение имеет вид:

Рассмотрим теперь неразрывно связанные с производной понятия дифференцируемости функции и ее дифференциала.

Функция , определенная в некотором интервале, содержащем точку .го называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке представляется в виде:

где А — некоторое действительное число, — бесконечно малая более высокого порядка, чем т.е..

Разделив обе части равенства (2) на приращение аргумента , в пределе получим:

Таким образом, если функция дифференцируема в точке . то существует производная и приращение этой функции мы можем записать в виде:

Покажем, что верно и обратное, т. е. из существования производной следует дифференцируемость функции в данной точке. Действительно, пусть в точке .То существует производная . Так как функция

доопределенная в нуле нулем, является, очевидно, бесконечно малой при , то

что и означает дифференцируемость функции в точке

Таким образом, мы доказали, что существование производной функции эквивалентно ее дифференцируемости. В связи с этим, часто в дальнейшем процесс нахождения производной мы будем называть коротко дифференцированием функции.

Определение 2. Линейная часть приращения дифференцируемой в точке функции называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается через .

Перепишем, учитывая это определение, формулу (3) для приращения функции:

Эту формулу мы можем использовать, в частности, для приближенного вычисления значений функции с помощью дифференциала, так как при малых значениях приращения из нес следует, что

с погрешностью .

Предполагая, что функция дифференцируема в интервале . т. е. в любой точке этого интервала, и считая по определению, что , мы можем записать выражение для дифференциала функции в произвольной точке интервала в следующей симметричной форме:

Этой формулой оправдывается еще одно обозначение для производной: .

Как следует из уравнения (1) касательной к графику функции, дифференциал равен приращению ординаты касательной, которое соответствует приращению аргумента .

Изучим теперь основные свойства производной и дифференциала.

1) Если функция дифференцируема в точке . то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, из формулы (3) следует, что

что и доказывает непрерывность функции в точке (глава IV, §5, пункт 1).

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция из примера 1, с), которая непрерывна в любой точке как элементарная, но не является дифференцируемой в нуле.

2) Если функция монотонна и непрерывна на отрезке и дифференцируема в некоторой точке . причем . то обратная функция дифференцируема в точке и

Доказательство. По теореме о непрерывности обратной функции (глава IV, §5, пункт 3) обратная функция существует, монотонна в том же смысле, что и функция и непрерывна в своей области определения. Заметим далее, что приращение аргумента функции в точке является приращением обратной функции в точке , и наоборот, приращение аргумента функции в точке является приращением функции в точке , причем, ввиду монотонности этих функций, если , то и и наоборот. Кроме того, из непрерывности данной функции и обратной к ней следует, что приращения бесконечно малы одновременно, т. е.

Следовательно,

Формуле (5) мы можем придать более симметричный вид, если будем использовать следующие обозначения для производных: Тогда

Сформулируем теперь свойства производной, связанные с арифметическими операциями над функциями (правила дифференцирования).

3) Если функции дифференцируемы в точке х, то функции где — действительные числа, и также дифференцируемы в этой точке и

Если, вдобавок, функция отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку х, то дифференцируемой является и функция причем

Первая из этих формул немедленно следует из определения производной и соответствующих свойств пределов функций (глава IV. §4. пункт 2).

Убедимся в справедливости формулы дифференцирования произведения. Прежде всего заметим. что по свойству 1) функция непрерывна в точке х и, значит,

Преобразуем приращение функции в точке х :

Отсюда, использовав свойства 7), а) и b) пределов функций (глава IV, §4, пункт 2) получим:

Формула дифференцирования частного двух функций доказывается аналогично. Установим, наконец, правгело дифференцирования композиции функций.

4) Если, функция дифференцируема в точке х. а. функция дифференцируема в точке . то композиция функций дифференцируема в точке х и

Для доказательства запишем приращение композиции в точке х, воспользовавшись формулой (1) для функции в точке :

где — бесконечно малая при функция. Отсюда, учитывая непрерывность функции в точке х, получим:

Поскольку дифференциал функции пропорционален дифференциалу аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным производной, то правила дифференцирования 3) переносятся и на дифференциал-.

Правило дифференцирования композиции функций позволяет установить свойство инвариантности дифференциала. Пусть функция дифференцируема в некотором интервале. Дифференциал этой функции равен:

Предположим теперь, что аргумент x является, в свою очередь, дифференцируемой функцией переменной . Найдем дифференциал композиции функций . пользуясь свойством 1) производной:

т. e.

Сравнивая формулы (6) и (7), мы можем утверждать, что вид дифференциала функции не зависит ст того, является ли ее аргумент независимым или функцией другой переменной.

В этом и заключается свойство инвариантности дифференциала, которое мы будем активно использовать при интегрировании функций.

Пример оформления заказа №16

Найти производную (функции .

Решение:

Воспользовавшись таблицей и правилом дифференцирования композиции функций, получим:

Таким образом, .

Замечание. При вычислении производной степенного выражения . где — Дифференцируемые в некотором интервале функции, причем в этом интервале , удобно предварительно прологарифмировать обе части данного равенства.

Пример оформления заказа №17

Найти производную функции .

Решение:

Так как , то

или

Отсюда

Пример оформления заказа №18

Найти, производную функции, заданной неявно уравнением .

Решение:

Найдем производную по переменной х от обеих частей данного уравнения:

Следовательно,

Пример оформления заказа №19

Найти уравнение касательной в любой точке эллипса.

Решение:

Воспользуемся уравнением касательной (1) из предыдущего параграфа. Найдем сначала производную неявной функции, определяемой уравнением эллипса:

Запишем теперь уравнение касательной в точке эллипса с координатами , учитывая, что угловой коэффициент этой касательной равен :

Отсюда

и, таким образом, искомое уравнение касательной имеет вид:

Ь) Производная функции, заданной параметрически.

Предположим, что переменные х и у являются функциями аргумента t. который мы будем называть параметром. т. е.

причем функцию мы будем считать монотонной и дифференцируемой с ненулевой производной в указанном интервале, а функцию мы будем предполагать дифференцируемой в интервале . Благодаря свойству 2) предыдущего параграф в некотором интервале существует дифференцируемая обратная для функция и, стало быть, в интервале определена функция аргумента x, которую мы будем называть функцией, заданной параметрически уравнениями (3). Найдем выражение для производной этой функции в любой точке х интервала через параметр 1. воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций и связью между производными взаимно обратных функций (свойство 4) и формула (5) предыдущего параграфа):

Следовательно, производная параметрически заданной функции может быть найдена по формуле:

Пример оформления заказа №20

Найти уравнения касательных в точке линии, которая задана параметрически уравнениями

Решение:

Так как для этой линии , то она представляет собой совокупность двух симметричных относительно оси Оу спиралей.

Через точку эти спирали проходят при . Найдем угловые коэффициенты касательных, соответствующих этим значениям параметра. Так как

то

и, следовательно,

Осталось записать уравнения двух касательных в данной точке:

Пример оформления заказа №21

Найти вторые производные (функций:

Решение:

а) Найдем первую производную данной неявно заданной функции. Так как

то

и, следовательно,

Дифференцируя повторно, получим:

b) Для этой параметрически заданной функции

Следовательно,

Тогда

Пример оформления заказа №22

Убедиться в том, что для функции , где — попарно различные действительные числа, уравнение имеет два различных действительных корня.

Решение:

Для определенности будем считать, что . Так как , то по теореме Релля в интервалах существуют различные корни уравнения . Так как это уравнение является квадратным, то других корней оно иметь не может.

Пример оформления заказа №23

Вычислить пределы:

Решение:

а) Здесь мы имеем неопределенность вида Так как (глава IV. §4, пункт 4. формула 2)), то

К последнему пределу применим правило Лопиталя:

b) В этом случае возникает неопределенность вида которую мы раскроем с помощью правила Лопиталя:

Мы пришли к неопределенности вида . Используем правило Лопиталя повторно:

Замечание 3. Если при вычислении предела возникает неопределенность другого вида, то ее следует предварительно преобразовать к неопределенности вида и вслед за этим уже применить правило Лопиталя. В случае одной из степенных неопределенностей , воспользовавшись непрерывностью логарифма, мы можем сначала вычислить предел логарифма функции, а затем найти экспоненту от этого предела.

Пример оформления заказа №24

Найти предел:

Решение:

В этом случае возникает неопределенность вида . Найдем предел логарифма этой функции. Так как

то появившуюся здесь неопределенность вида мы можем раскрыть по правилу Лопиталя:

так как . В последнем пределе имеется неопределенность вида , которую мы также раскрываем по правилу Лопиталя:

Следовательно, .

Замечание 4. Использовать правило Лопиталя необходимо с известной осторожностью, так как предел

может существовать, в то время как предела

может и не быть. Например, предел

с неопределенностью существует и равен

так как функция является бесконечно малой на бесконечности, как произведение бесконечно малой и ограниченной функции (глава IV, §4. пункт 4). В то же время воспользоваться правилом Лопиталя мы здесь не можем, так как

а предел не существует. Действительно, на бесконечно большой последовательности

а па другой бесконечно большой последовательности

следовательно, ввиду свойства, единственности предела (глава IV, §4, пункт 2, свойство 3)) не существует.

Формула Тейлора

К оглавлению…

Сравнительно простыми и хорошо изученными функциями являются полиномы. Найдем формулу, которая позволяет приближенно представить дифференцируемую вблизи некоторой точки функцию в виде полинома по степеням .

  1. Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена
  2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Пример оформления заказа №25

Записать формулу Тейлора (3), пункт 1 произвольного порядка в точке для функции

Решение:

Так как

то достаточно найти разложения по формуле Тейлора для каждой из дробей

Выполнив подстановку , мы сведем тем самым задачу представления дробей по формуле Тейлора к задаче их разложения по формуле Маклорена. Для первой дроби

поэтому, воспользовавшись формулой (6) при , получим:

Следовательно,

Аналогично,

Воспользовавшись, наконец, предыдущим замечанием, получим:

Графики данной функции и ее полинома Тейлора

вблизи точки имеют вид:

Исследование функции с помощью производной

К оглавлению…

В этом параграфе мы научимся использовать производную для исследования геометрических свойств функции, таких как монотонность и выпуклость, а также для нахождения экстремумов и точек перегиба функции.

  1. Монотонность. Точки экстремума: теорема и доказательство
  2. Выпуклость функции. Точки перегиба: теорема и доказательство
  3. Асимптоты функции. Алгоритм полного исследования функции
  4. Векторная функция действительного аргумента: определение, теорема и доказательство

Пример оформления заказа №26

Найти интервалы, монотонности и точки экстремума функции

Решение:

Функция определена па множество . Найдем се производную:

Определим критические точки функции:

Производная сохраняет знак в интервалах, па которые область определения функции разбивается критическими точками и точкой .

Таким образом, в интервалах функция возрастает и, следовательно, в точке экстремума нет. В интервалах функция убывает и возрастает соответственно, поэтому — точка строгого минимума данной функции и

В заключение этого пункта обсудим как находить с помощью производной так называемые глобальные экстремумы функции на отрезке, т.е. ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, которые мы будем обозначать через . соответственно.

Пусть функция непрерывна на отрезке . По теореме Вейерштрасса (глава IV, §5. пункт 3) функция достигает на отрезке своих наименьшего и наибольшего значений. Если какое-то из них достигается внутри отрезка, то это происходит непременно в критической точке функции. Отсюда следует, что для нахождения глобальных экстремумов непрерывной на отрезке функции необходимо найти ее критические точки, попадающие на отрезок, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и среди всех этих значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример оформления заказа №27

Найти глобальные экстремумы функции

на отрезке .

Решение:

Решим сначала эту задачу для функции . Так как . то критическими точками функции являются числа и . Поскольку ; то

Отсюда, учитывая, что . мы окончательно находим:

Пример оформления заказа №28

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

из примера 1 предыдущего пункта.

Решение:

Так как

то

Производная имеет единственную критическую точку . Очевидно, при и . Следовательно, — точка перегиба функции, так как слева от нее функция вогнута, а справа — выпукла.

Пример оформления заказа №29

Найти предельный вектор

Решение:

Найдем пределы координат данной векторной функции.

Здесь мы использовали правило Лопиталя (§4 настоящей главы) и непрерывность элементарных функций (глава IV. §5, пункт 4). Для вычисления предела второй координаты векторной функции используем эквивалентные бесконечно малые в нуле функции . и (глава IV, §4, пункт 4):

Предел третьей координаты мы найдем с помощью пределов (5) и (3) (глава IV, §1, пункты 3 и 2 соответственно):

Применив теперь доказанную выше теорему, окончательно получим:

т. e. предельным для данной векторной функции является вектор .

Как и для числовой функции, мы можем ввести понятие непрерывности для векторной функции. Пусть векторная функция определена в интервале , содержащем точку . Она называется непрерывной в точке . если существует и

Из доказанной выше теоремы следует, что для непрерывности векторной функции необходимо и достаточно, чтобы были- непрерывными ее координаты.

Если векторная функция непрерывна в любой точке интервала , то она называется непрерывной в этом, интервале.

Если векторные функции непрерывны, то, как следует из определения непрерывности и свойств предельного вектора, сформулированных выше, непрерывными являются векторные функции , а также числовые функции .

Векторная функция считается разрывной в некоторой точке, если она не является непрерывной в пей.

Введем теперь определение вектора производной векторной функции. Предположим, что векторная функция определена в интервале . Обозначим через — приращение векторной функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

Определение 2. Если существует предельный вектор

то он называется вектором производной векторной функции в точке и обозначается через .

Как и в случае числовой функции, если для векторной функции существует вектор производной в некоторой точке, то будем говорить, что векторная функция дифференцируема в этой точке.

Из доказанной в этом параграфе теоремы следует, что векторная функция (1) дифференцируема тогда, и только тогда, когда дифференцируемы ее координаты, и координатами вектора производной являются производные координат векторной функции, т. е.

Выясним геометрический смысл вектора производной дифференцируемой в точке векторной функции .

Вектор является направляющим для секущей и направлен он в сторону перемещения вдоль траектории L векторной функции. В пределе при секущая будет занимать некоторое предельное положение, соответствующее касательной к траектории в точке . и направляющим вектором касательной будет служить как раз вектор производной

Таким образом, вектор производной представляет собой направляющий вектор касательной к траектории векторной функции в соответствующей точке, направленный в сторону перемещения по траектории.

Запишем, учитывая (5), канонические уравнения касательной к траектории дифференцируемой векторной функции (1) (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями (21) в точке :

Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью к траектории дифференцируемой векторной функции (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями). Поскольку вектор является нормальным для нормальной плоскости, то ее общее уравнение имеет вид:

Пример оформления заказа №30

Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к траектории векторной функции

в точке

Решение:

Найдем производную этой векторной функции:

Точке соответствует значение параметра . поэтому направляющим для касательной является вектор . Следовательно, искомые уравнения касательной и нормальной плоскости имеют вид

и

соответственно.

Если векторные функции определены в интервале и дифференцируемы в точке , то

Первая из этих формул очевидна, а остальные доказываются с помощью представления этих произведений векторных функций в координатах (глава II §§3—5) и правил дифференцирования суммы и произведения функций (§1 настоящей главы). Например, если

то

Замечание 2. Аналогично мы можем определить векторную функцию действительного аргумента и линию в n-мерном евклидовом пространстве .

Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители

К оглавлению…

  1. Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители

Пример оформления заказа №31

Вычислить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел , а также степень .

Решение:

Воспользовавшись определением алгебраических операций, получим:

Для вычисления степени, заметим сначала, что

Тогда

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию комплексного ’плела, которая даст нам возможность представить комплексное число в так называемой тригонометрической форме.

Выберем на плоскости декартову систему координат Оху. Тогда на этой плоскости комплексное число мы можем представлять себе как точку или радиус-вектор и, наоборот, точку или ее радиус-вектор считать соответствующим комплексным числом.

Таким образом заполненную комплексными числами плоскость мы будем называть комплексной плоскостью. Действительные числа располагаются на оси О.г, поэтому ее называют действительной осью комплексной плоскости, чисто мнимые — на осп Оу, которая называется мнимой осью комплексной плоскости.

Па комплексной плоскости сложение и вычитание комплексных чисел равносильно этим же операциям над соответствующими радиусами-векторами.

Длина r радиуса-вектора называется модулем комплексного числа z, угол . который образует этот радиус-вектор с положительным направлением оси Ох, называется аргументом данного комплексного числа (для модуля и аргумента иногда используются обозначения |z| и arg 2 соответственно). Очевидно, чго, если аргумент р найден, то любой из утлой также является аргументом. Чтобы однозначно зафиксировать аргумент, будем выбирать его значение в пределах полного угла, например, из промежутка .

Из прямоугольного треугольника OMN следует, что. с одной стороны,

а. с другой,

(мы здесь, естественно, подразумеваем, что . Если . то , а аргумент не определен). Тогда

Таким образом, комплексное число мы можем записать в виде

где модуль r и аргумент находятся по формулам (1). Это представление называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если складывать и вычитать комплексные числа удобно, когда они представлены в своей первоначальной, алгебраической /форме, то при умножении, делении и возведении в степень гораздо удобнее использовать тригонометрическую форму. Действительно, пусть

два. комплексных числа, представленные в тригонометрической форме. Тогда

Таким образом,

т.е. при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются. Аналогично. если , то

и, таким образом, деление комплексных чисел приводит к делению их модулей и. вычитанию аргументов. Из последних двух формул следует, что, если то для любого целого n

— формула Муавра.

Научимся теперь извлекать корни из комплексных чисел. По определению, для произвольного натурального корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число . для которого ( v’z)” = z. В отличие от степени корень из комплексного числа находится неоднозначно. Для вычисления корня также удобно использовать тригонометрическую форму. Пусть

Воспользовавшись определением корня и формулой Муавра, получим:

Отсюда, или

Полагая целое число m равным n последовательным значениям, например, . мы получим п различных значений аргумента, а. значит, и n различных значений корня. Вес остальные аргументы будут отличаться от указанных на угол, кратный и поэтому новых значений корня они не добавят.

Таким образом, корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений и все они вычисляются по формуле

Заметим еще, что, как видно из формулы, переход от одного значения корня к соседнему происходит поворотом на один и тот же угол поэтому все корни n-ой степени из комплексного числа z находятся на окружности радиуса с центром в начале координат в вершинах правильного n-угольника.

Пример оформления заказа №32

Решить уравнение .

Решение:

Из данного уравнения следует, что . Представим комплексное число в тригонометрической форме. По формулам (1)

Тогда и, следовательно, искомые корни могут быть вычислены ио формуле (2):

Таким образом, данное уравнение имеет три различных комплексных корня

которые располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат в вершинах равностороннего треугольника.

Рассмотрим еще одну форму представления комплексного числа — показательную. Положим по определению

Поясним (нестрого!) эту формулу, использовав разложение экспоненты по формуле Маклорена произвольного порядка для аргумента (§5, пункт 2. формула (11:

Отсюда формально и следует соотношение (3). гак как выражения в скобках в последней формуле представляют собой разложения функций по формуле Маклорена (§5. пункт 2. формулы (3) и (2) соответственно).

Использовав (3) и формулы умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы можем убедиться в справедливости следующих свойств экспоненты . которые повторяют соответствующие свойства показательной функции действительного аргумента:

С учетом (3) тригонометрическая форма представления комплексного числа

превращается в показательную

Показательная форма позволяет, учитывая приведенные выше свойства экспоненты , компактно записать операции умножения, деления, а также возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел. Действительно, если ,

Формула (3) дает возможность определить комплексную экспоненту. Действительно, для произвольного комплексного числа положим по определению

Свойства этой функции совершенно аналогичны приведенным выше соответствующим свойствам функции

Покажем, от о операция комплексного сопряжения над результатом любой алгебраической операции приводит к точно такой же операции над сопряженными комплексными числами. Для сложения и вычитания это очевидным образом следует из определения этих операций, т. е.

Далее, гак как операция комплексного сопряжения не меняет модуля комплексного числа, но меняет знак его аргумента на противоположный, т. е. . то, использовав формулы (4), мы можем записать:

Если действительная и мнимая части комплексного числа зависят от некоторой дейст-вительной переменной, то мы вправе говорить о комплексной функции действительного аргумента.

Определение 2. Закономерность, по которой каждому действительному числу t из некоторого интервала ставится в соответствие, определенное комплексное число z(t). называется комплексной функцией действительного аргумента.

Пусть . Тогда

Значения комплексной функции заполняют на плоскости Оху некоторую кривую L, которая является траекторией векторной функции

Комплексным уравнением кривой L является уравнение

Поскольку задание комплексной функции z(t) равносильно заданию соответствующей векторной функции , то введенные для векторной функции в предыдущем параграфе понятия предела, непрерывности и производной автоматически переносятся и на комплексную функцию. В частности, если функция дифференцируема в точке , то ее действительная и мнимая части также дифференцируемы в этой точке и

Производная является направляющим вектором касательной к кривой L в точке . Использовав векторное уравнение прямой на плоскости (глава III. §3), мы можем записать комплексное уравнение касательной:

Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.

Пример оформления заказа №33

Построить кривую L, заданную комплексным уравнением

и найти комплексное уравнение касательной к этой кривой в точке .

Решение:

Кривая L задана параметрическими уравнениями

Из свойств функций следует, что эта кривая симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов, поэтому достаточно построить ее в первой четверти и затем отразить относительно координатных осей. Найдем первую и вторую производные функции

заданной параметрически (§2. пункты 2 и 3). Так как

то

Далее,

Так как первой четверти кривая L является графиком убывающей выпуклой функции. Построим эту кривую.

Она называется астроидой.

Toчке соответствует значение параметра Направляющим вектором касательной к кривой L в точке является вектор Тогда комплексное уравнение касательной имеет вид:

В следующем семестре при изучении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами нам придется рассматривать комплексную функцию

действительного аргумента x. Покажем, что как и для действительной функции

В самом деле, если , то

и, следовательно,

Вернемся теперь к исходному пункту этого параграфа, а именно, к задаче решения алгебраического уравнения. Рассмотрим полином степени комплексной переменной z с комплексными коэффициентами

На вопрос о разрешимости уравнения

отвечает сформулированная ниже теорема, которую называют иногда основной теоремой алгебры.

Теорема Гаусса. Уравнение (7) имеет комплексный корень.

Пусть — корень уравнения (7). существование которого гарантирует теорема. Гаусса. Тогда, учитывая, что при любом натуральном к

получим:

где некоторый полином степени . Если, далее, — корень уравнения .

то

где — полином степени , и, таким образом,

Продолжая этот процесс, мы через шагов придем к следующему представлению для полинома :

где — полином степени . причем . Число называется кратностью корня . Если . то уравнение по теореме Гаусса имеет корень . Для этого корня мы по аналогии с (81 можем записать разложение

в котором — полином степени . Следовательно,

Повторяя эту процедуру для всех оставшихся корней уравнения (7), мы придем к следующему разложению полинома па множители:

где все корни кратностей , соответственно, различны. В частном случае уравнение может иметь n различных и, значит. простых, т. е. кратностей 1. корней. Тогда

Обсудим теперь один важный частный случай, когда все коэффициенты полинома действительного аргумента х действительны. Для этого полинома также справедливо представление (9), однако в нем могут быть комплексные множители. Поставим себе целью найти разложение этого полинома на действительные множители. Для этого заметим, что в данном случае

для любого комплексного числа z. В самом деле, воспользовавшись свойствами (5) и (6) комплексного сопряжения и тем, что коэффициенты полинома действительны, получим:

Из (10) сразу же следует, что, если уравнение

имеет комплексный корень . то и сопряженное к нему число го также является корнем этого уравнения. Так как квадратичное выражение

имеет действительные коэффициенты , то полином мы можем представить в виде

где полином степени также имеет действительные коэффициенты. Если уравнение также имеет пару комплексно сопряженных корней , то из полинома

мы, в свою очередь, можем выделить квадратичный множитель и, следовательно,

где — полином степени с действительными коэффициентами. Повторяя эту процедуру, мы через шагов, где — общая кратность пары комплексно сопряженных корней уравнения (11). придем к равенству

Здесь полином степени имеет действительные коэффициенты и . Таким образом, мы можем утверждать, что, если уравнение (11) имеет к действительных корней с кратностями . соответственно, и l пар комплексно сопряженных корней кратностей, соответственно. то полином имеет, следующее разложение по степеням действительных линейных и квадратичных множителей:

где ,

В заключение этого параграфа, научимся находить кратность корня уравнения (11) с помощью производной.

Корень уравнения (11) имеет кратность тогда и только тогда, когда

Действительно, предположим сначала, что -кратный корень уравнения (11). Тогда ввиду (8)

Отсюда и следует утверждение, так как первые производных будут содержать множитель и, следовательно, они равны нулю в точке , а

где — полипом степени , и поэтому .

Обратно, пусть имеют место соотношения (13). Запишем для полинома формулу Тейлора порядка п в точке ;гр с остатком в форме Лагранжа (§5, пункт 1. формула (1)):

так как здесь

Из формулы Тейлора и соотношений (13) следует, что

где

Следовательно, . что и означает, что — корень кратности s уравнения (11).

Замечание. Сформулированное утверждение справедливо и для кратных комплексных корней уравнения (11).

Пример оформления заказа №34

Разложить на множители полином .

Решение:

. Найдем кратности корней . Так как

то . Далее.

следовательно. . Отсюда следует. что — трехкратный, а -двукратный корень уравнения

и. таким образом,

Кстати возможно эти страницы вам будут полезны:

  1. Предмет математический анализ
  2. Решение задач по математическому анализу
  3. Примеры решения по математическому анализу
  4. Задачи по математическому анализу
  5. Методическое пособие по математическому анализу
  6. Математический анализ для 1 курса
  7. Сборники и решебники задач по математическому анализу