Математический анализ для 1 курса

Оглавление:

Курс лекций для студентов 1 курса по математическому анализу любых форм обучения. Я собрала теорию и примеры с решениями к каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Введение в математический анализ

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

Функция. Предел функции

Математический анализ — раздел математики, в котором изучаются функции. В экономическом анализе часто исследуют, например, зависимости спроса и предложения от цены (функции спроса и предложения), зависимость издержек производства от объема продукции (функцию издержек) и др. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому элементу Математический анализ для 1 курса ставится в соответствие единственный элемент Математический анализ для 1 курса, обозначаемый Математический анализ для 1 курса. При этом элементы Математический анализ для 1 курса называются независимыми переменными (или аргументами), а элементы Математический анализ для 1 курса называются зависимыми переменными (или значениями функции). Множество X называют областью определения функции, а множество У — областью значений функции. Функция называется сложной (или композицией функций, или функцией от функций), если ее аргумент в свою очередь является функцией другой переменной: Математический анализ для 1 курса.

В школьном курсе изучались следующие функции: постоянная Математический анализ для 1 курса Математический анализ для 1 курса, степенная Математический анализ для 1 курса, показательная Математический анализ для 1 курса, логарифмическая Математический анализ для 1 курса, тригонометрические Математический анализ для 1 курса и обратные тригонометрические Математический анализ для 1 курса Все эти функции называются основными элементарными функциями. Функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложных функций над основными элементарными функциями называются элементарными. Это класс функций, с которыми мы будем работать на протяжении всего курса.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Одним из основных понятий математического анализа является предел. Примерами применения понятия предела могут служить окружность как предел вписанных и описанных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон или касательная как предельное положение секущей при сближении точек пересечения. Говорят, что функция Математический анализ для 1 курса имеет предел А при х стремящемся к Математический анализ для 1 курса, если значения функции Математический анализ для 1 курса сколь угодно близко приближаются к числу А, когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу Математический анализ для 1 курса.

Используя логические символы: Математический анализ для 1 курса — «для любого», Математический анализ для 1 курса — «существует», символ равносильности Математический анализ для 1 курса — «тогда и только тогда, когда», символ следствия Математический анализ для 1 курса — «следует, что», и символ : — «такое, что», определение предела можно записать в виде:

Математический анализ для 1 курса

Внимание! Определение предела не требует существования функции в самой предельной точке Математический анализ для 1 курса, т.к. рассматривает значения Математический анализ для 1 курса в некоторой окрестности точки Математический анализ для 1 курса.

Если функция Математический анализ для 1 курса определена в некоторой точке Математический анализ для 1 курса и в некоторой ее окрестности существует предел функции при Математический анализ для 1 курса, равный значению функции в этой точке:

Математический анализ для 1 курса

то функция Математический анализ для 1 курса называется непрерывной в точке Математический анализ для 1 курса. Говорят, что функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Следовательно, в случае непрерывных функций очень просто находятся пределы в любой точке области определения: для этого достаточно вычислить значение функции в данной точке.

Утверждение 1. Любая элементарная функция непрерывна в области определения.

Утверждение 2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу: Математический анализ для 1 курса

Пример №1

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса

Решение:

Данная функция элементарная, т.к. получена из основных элементарных функций (постоянной и степенной) с помощью конечного числа арифметических действий. Поскольку Математический анализ для 1 курса принадлежит области определения функции, то ее предел в точке Математический анализ для 1 курса равен значению функции в этой точке, т.е.

Математический анализ для 1 курса

Заметим, что не всякий производственный процесс непрерывен во времени. Аргумент функции может изменяться лишь в отдельные моменты. Так, приняв за область определения функции множество натуральных чисел Математический анализ для 1 курса, получим функцию Математический анализ для 1 курса натурального аргумента, которую называют числовой последовательностью. Число Математический анализ для 1 курса называют общим членом числовой последовательности. Например, арифметическая или геометрическая прогрессии — числовые последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности Математический анализ для 1 курса, если для любой окрестности точки А все члены последовательности, начиная с некоторого номера N, принадлежат этой окрестности. Обозначение: Математический анализ для 1 курса.

(Символ Математический анализ для 1 курса означает «бесконечно большую величину».)

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции на бесконечности, которое на языке логических символов имеет вид:

Математический анализ для 1 курса

Замечание. Переменная Математический анализ для 1 курса может неограниченно стремиться либо в сторону отрицательных значений: Математический анализ для 1 курса, либо в сторону положительных значений: Математический анализ для 1 курса. Символ ос является объединением двух символов: Математический анализ для 1 курса. Очевидно, что

Математический анализ для 1 курса

В общем случае если при стремлении Математический анализ для 1 курса переменная Математический анализ для 1 курса принимает лишь значения, меньшие Математический анализ для 1 курса, и при этом функция Математический анализ для 1 курса стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции слева:

Математический анализ для 1 курса

И наоборот, если при стремлении Математический анализ для 1 курса переменная х принимает лишь значения, большие Математический анализ для 1 курса, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции справа:

Математический анализ для 1 курса

(При Математический анализ для 1 курса на практике вместо 0-0 пишут -0, а вместо 0+0 — +0.)

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в данной точке. Следовательно,

Математический анализ для 1 курса

В следующем параграфе мы познакомимся с основными правилами вычисления пределов при х—»хо(ос).

Основные теоремы о пределах

Внимание! Если предел существует, то он единственный.

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: Математический анализ для 1 курса.

Теорема 2. Пусть Математический анализ для 1 курса. Тогда:

1) предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций:

Математический анализ для 1 курса

2) предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Математический анализ для 1 курса

в частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Математический анализ для 1 курса

3) предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю:

Математический анализ для 1 курса

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по математическому анализу

Пример №2

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса

Решение:

Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим

Математический анализ для 1 курса

Пример №3

Вычислить предел последовательности

Математический анализ для 1 курса

Решение:

Теорему о пределе суммы конечного числа функций здесь применить нельзя. Заметим, что Математический анализ для 1 курса является суммой n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем Математический анализ для 1 курса и первым членом Математический анализ для 1 курса. Следовательно,

Математический анализ для 1 курса

Тогда по теоремам о пределах функций имеем:

Математический анализ для 1 курса

Рассмотрим соотношения пределов суммы, произведения, частного, распространенные на случай бесконечного предела функции.

Математический анализ для 1 курса

Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида Математический анализ для 1 курса, необходимо провести дополнительные исследования, т.е. «раскрыть неопределенность».

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса. Пусть Математический анализ для 1 курса.

1. Если Математический анализ для 1 курса — рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по математическому анализу

Пример №4

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса

Решение:

Числитель и знаменатель дроби Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида Математический анализ для 1 курса. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, а затем применим теоремы о пределах частного, суммы и произведения:

Математический анализ для 1 курса

2. Если Математический анализ для 1 курса — дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида Математический анализ для 1 курса достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.

Пример №5

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Имеем неопределенность вида Математический анализ для 1 курса. Избавимся от иррациональности в числителе, умножив и разделив дробь на сопряженное к числителю выражение Математический анализ для 1 курса. Получим:

Математический анализ для 1 курса

3. В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида Математический анализ для 1 курса используют первый замечательный предел (см. п. 3.4) или эквивалентные бесконечно малые функции (см. п. 3.5).

Раскрытие неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса. Пусть Математический анализ для 1 курса

Если Математический анализ для 1 курса — рациональная дробь или дробь, содержащая иррациональности, то числитель и знаменатель делят на х в старшей степени.

Пример №6

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса, если 1) а=2; 2) а— 1; 3) а=4.

Решение:

Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида Математический анализ для 1 курса. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень Математический анализ для 1 курса (в первом и втором случаях на Математический анализ для 1 курса, во третьем — на Математический анализ для 1 курса), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

Математический анализ для 1 курса

Вывод. Предел рациональной дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени совпадают, нулю — если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя и бесконечности в противном случае.

Замечание. Для раскрытия неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса используют также правило Лопиталя (см. п. 3.8).

Раскрытие неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса. Неопределенное выражение вида Математический анализ для 1 курса преобразуется к неопределенности вида Математический анализ для 1 курса или Математический анализ для 1 курса. Методику раскрытия такой неопределенности покажем на примерах.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по математическому анализу

Пример №7

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Имеем неопределенность вида Математический анализ для 1 курса которая преобразуется к неопределенности вида Математический анализ для 1 курса приведением функции к общему знаменателю:

Математический анализ для 1 курса

Пример №8

Вычислить предел последовательности

Математический анализ для 1 курса

Решение:

Для раскрытия неопределенности вида Математический анализ для 1 курса умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное:

Математический анализ для 1 курса

Получили неопределенность вида Математический анализ для 1 курса. Раскроем ее, разделив все члены полученного выражения на n:

Математический анализ для 1 курса

Раскрытие неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса. Неопределенное выражение вида Математический анализ для 1 курса получается при нахождении пределов вида Математический анализ для 1 курса, где Математический анализ для 1 курса, и сводится к неопределенности вида Математический анализ для 1 курса или Математический анализ для 1 курса следующим образом:

Математический анализ для 1 курса

Замечание. При вычислении пределов показательно-степенных функций Математический анализ для 1 курса могут получиться неопределенности вида Математический анализ для 1 курса, для раскрытия которых используют второй замечательный предел или правило Ло-питаля.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Математический анализ для 1 курса

Следовательно,

Математический анализ для 1 курса

Математический анализ для 1 курса (аналогично).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Пример №9

Найти Математический анализ для 1 курса

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Математический анализ для 1 курса

Второй замечательный предел. Числом е называется предел функции Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

(Для запоминания: Математический анализ для 1 курса — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,

Математический анализ для 1 курса

Задача о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил Математический анализ для 1 курса денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно Математический анализ для 1 курса годовых. Необходимо найти размер вклада Математический анализ для 1 курса через Математический анализ для 1 курса лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в Математический анализ для 1 курса раз и через Математический анализ для 1 курса лет составит Математический анализ для 1 курса. Если же начислять проценты n раз в году, то будущая сумма составит Математический анализ для 1 курса. Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие Математический анализ для 1 курса, ежеквартально Математический анализ для 1 курса, ежемесячно Математический анализ для 1 курса, каждый день Математический анализ для 1 курса, каждый час Математический анализ для 1 курса и, наконец, непрерывно Математический анализ для 1 курса. Тогда за год размер вклада составит:

Математический анализ для 1 курса

а за Математический анализ для 1 курса лет:

Математический анализ для 1 курса

Пример №10

Найти Математический анализ для 1 курса

Решение:

Т.к. Математический анализ для 1 курса, имеем неопределенность вида Математический анализ для 1 курса. Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Математический анализ для 1 курса
Математический анализ для 1 курса

Пример №11

Найти Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим:

Математический анализ для 1 курса

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Математическая интерпретация явления часто заключается в том, что практически очень малые величины принимаются за бесконечно малые. Так, рассматривая годовое производство, мы можем отдельный день представить себе как бесконечно малую частицу годового периода и получать при этом практически верные результаты.

Функция Математический анализ для 1 курса называется бесконечно малой при Математический анализ для 1 курса, если ее предел равен нулю: Математический анализ для 1 курса.

Функция Математический анализ для 1 курса называется бесконечно большой при Математический анализ для 1 курса, если ее предел равен бесконечности: Математический анализ для 1 курса.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь: если Математический анализ для 1 курса — бесконечно малая функция при Математический анализ для 1 курса, то Математический анализ для 1 курса бесконечно большая функция при Математический анализ для 1 курса и наоборот.

Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при Математический анализ для 1 курса есть бесконечно малая функция при Математический анализ для 1 курса.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при Математический анализ для 1 курса функции на ограниченную есть бесконечно малая функция при Математический анализ для 1 курса.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Пример №12

Найти Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Т.к. Математический анализ для 1 курса — ограниченная функция для любых Математический анализ для 1 курса, а Математический анализ для 1 курса — бесконечно малая функция при Математический анализ для 1 курса — бесконечно малая функция при Математический анализ для 1 курса, т.е. Математический анализ для 1 курса.

Если Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса — бесконечно малые функции при Математический анализ для 1 курса, то Математический анализ для 1 курса может быть равен либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, предел может не существовать.

Если Математический анализ для 1 курса не существует, то Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса называют несравнимыми бесконечно малыми при Математический анализ для 1 курса.

Если Математический анализ для 1 курса, то функция Математический анализ для 1 курса стремится к нулю быстрее, чем Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса. Говорят, что Математический анализ для 1 курса — бесконечно малая более высокого порядка, чем Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса и пишут: Математический анализ для 1 курса (читается «Математический анализ для 1 курса есть о малое от Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса).

Если Математический анализ для 1 курса, то Математический анализ для 1 курса называют бесконечно малой более низкого порядка, чем Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса и пишут: Математический анализ для 1 курса.

Если Математический анализ для 1 курса, то Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса называют бесконечно малыми одного порядка при Математический анализ для 1 курса и пишут: Математический анализ для 1 курса.

Особенно важен частный случай, когда Математический анализ для 1 курса. Тогда Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса называют эквивалентными бесконечно малыми при Математический анализ для 1 курса и пишут: Математический анализ для 1 курса, Математический анализ для 1 курса.

Пример №13

Показать, что Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Функции Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса являются бесконечно малыми Математический анализ для 1 курса. Найдем предел их отношения Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

что и требовалось доказать.

Переход к пределу под символом логарифма возможен, т.к. логарифмическая функция непрерывна.

Утверждение. Если Математический анализ для 1 курса, то при Математический анализ для 1 курса следующие функции эквивалентны:

Математический анализ для 1 курса

Данная цепочка эквивалентностей используется при нахождении пределов.

Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Пример №14

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Для нахождения предела используем свойства эквивалентности бесконечно малых функций:

Математический анализ для 1 курса

Пример №15

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Используя теорему об эквивалентных бесконечно малых, получаем:

Математический анализ для 1 курса

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. Но стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка Математический анализ для 1 курса называется точкой устранимого разрыва функции Математический анализ для 1 курса, если предел Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса существует, но не равен значению функции в данной точке, т.е.

Математический анализ для 1 курса

Чтобы устранить разрыв в точке Математический анализ для 1 курса достаточно положить Математический анализ для 1 курса Математический анализ для 1 курса. В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке Математический анализ для 1 курса.

2. Точка Хо называется точкой разрыва первого рода функции Математический анализ для 1 курса, если в этой точке функция Математический анализ для 1 курса имеет конечные пределы слева Математический анализ для 1 курса и справа Математический анализ для 1 курса, не равные друг другу:

Математический анализ для 1 курса

При этом величина Математический анализ для 1 курса называется скачком функции Математический анализ для 1 курса в точке Математический анализ для 1 курса.

3. Если хотя бы один из односторонних пределов Математический анализ для 1 курса равен бесконечности или не существует, то Математический анализ для 1 курса называется точкой разрыва второго рода функции Математический анализ для 1 курса.

Пример №16

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Математический анализ для 1 курса

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения Математический анализ для 1 курса. При Математический анализ для 1 курса функция Математический анализ для 1 курса не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как

Математический анализ для 1 курса

тo Математический анализ для 1 курса— точка устранимого разрыва.

Если положить Математический анализ для 1 курса, то функция

Математический анализ для 1 курса

будет непрерывной для всех х.

2. Функция Математический анализ для 1 курса является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения Математический анализ для 1 курса — точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Математический анализ для 1 курса

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то Математический анализ для 1 курса -точка разрыва второго рода.

Пример №17

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Математический анализ для 1 курса

Решение:

Область определения этой функции — вся числовая прямая: Математический анализ для 1 курса. Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Математический анализ для 1 курса. Исследуем точку Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

Так как Математический анализ для 1 курса — точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен Математический анализ для 1 курса.

Исследуем точку Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

Поскольку Математический анализ для 1 курса, то в точке Математический анализ для 1 курса функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех Математический анализ для 1 курса.

Построим график функции.

Математический анализ для 1 курса

Дифференциальное исчисление

Производная функции, ее геометрический и физический смыслы

При изучении различных экономических процессов, описываемых функциями, существенную роль играют скорость роста процесса, ускорение роста, оптимальный режим и другие характеристики, которые исследуются с помощью производной.

Рассмотрим геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Пусть на плоскости Математический анализ для 1 курса дана непрерывная кривая Математический анализ для 1 курса. Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке Математический анализ для 1 курса. Уравнение прямой, проходящей через точку Математический анализ для 1 курса, имеет вид:

Математический анализ для 1 курса

Касательной называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой. Дадим аргументу Математический анализ для 1 курса приращение Математический анализ для 1 курса и перейдем на кривой Математический анализ для 1 курса от точки Математический анализ для 1 курса к точке Математический анализ для 1 курса. Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей Математический анализ для 1 курса может быть найден по формуле:

Математический анализ для 1 курса

Тогда угловой коэффициент касательной

Математический анализ для 1 курса

Это и есть производная функции Математический анализ для 1 курса в точке Математический анализ для 1 курса. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания (геометрический смысл производной).

Производная функции имеет несколько обозначений:

Математический анализ для 1 курса

Следовательно, уравнение касательной к кривой Математический анализ для 1 курса в точке Математический анализ для 1 курса можно записать в виде:

Математический анализ для 1 курса

Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки. Пусть точка М движется прямолинейно и Математический анализ для 1 курса — путь, проходимый ею за время Математический анализ для 1 курса. Средней скоростью прямолинейного движения за время Математический анализ для 1 курса называется от-ношение пройденного пути к затраченному времени: Математический анализ для 1 курса. Если существует предел Математический анализ для 1 курса, то он называется (мгновенной) скоростью в некоторый момент времени Математический анализ для 1 курса. В этом состоит физический смысл производной.

Если Математический анализ для 1 курса — функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени Математический анализ для 1 курса, то (мгновенное) ускорение материальной точки в фиксированный момент времени Математический анализ для 1 курса есть производная от скорости по времени: Математический анализ для 1 курса.

Вывод. Производная есть предел отношения приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента.

Важно отметить, что запись Математический анализ для 1 курса имеет не только символическое значение как способ написания производной, но и смысловое: производная функции есть отношение ее дифференциала Математический анализ для 1 курса к дифференциалу аргумента Математический анализ для 1 курса.

Дифференциалом функции одной переменной называется произведение ее производной на приращение аргумента: Математический анализ для 1 курса. Для функции Математический анализ для 1 курса получаем Математический анализ для 1 курса. Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Отсюда Математический анализ для 1 курса (подробнее см. литературу).

Нахождение для заданной функции ее производной называется дифференцированием данной функции. А учение о производной и ее приложениях является предметом дифференциального исчисления. Фундамент дифференциального исчисления составляют основные правила и формулы дифференцирования функций. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.

Основные правила дифференцирования

Внимание! Для существования производной в некоторой точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная в точке функция имеет в ней производную.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю: Математический анализ для 1 курса.

Теорема 2. Пусть Математический анализ для 1 курса — дифференцируемые функции. Тогда:

1) производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Математический анализ для 1 курса

2) производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

Математический анализ для 1 курса

в частности, постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Математический анализ для 1 курса

3) производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Математический анализ для 1 курса

Теорема 3. Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

Действительно, пусть задана сложная функция Математический анализ для 1 курса. Тогда

Математический анализ для 1 курса

Теорема 4. Производная обратной функции есть величина, обратная производной прямой функции.

Так, если Математический анализ для 1 курса — взаимно обратные функции и Математический анализ для 1 курса, то Математический анализ для 1 курса

Таблица производных

Приведем основные формулы дифференцирования функций. Пусть Математический анализ для 1 курса~ дифференцируемая функция. Тогда

Математический анализ для 1 курса

Выведем производные некоторых функций.

1. Если Математический анализ для 1 курса, то

Математический анализ для 1 курса

Используя формулу разности синусов

Математический анализ для 1 курса

получим

Математический анализ для 1 курса

Так как любую тригонометрическую функцию можно вывести через синус, то нетрудно найти производные остальных тригонометрических функций.

2. Пусть Математический анализ для 1 курса. Тогда по теореме о производной сложной функции

Математический анализ для 1 курса

3. Для функции Математический анализ для 1 курса воспользуемся правилом дифференцирования частного:

Математический анализ для 1 курса

4. Представим Математический анализ для 1 курса как степенную функцию от тангенса. Тогда

Математический анализ для 1 курса

5. Вычислим производную Математический анализ для 1 курса, где Математический анализ для 1 курса. Обратная функция имеет вид Математический анализ для 1 курса. Причем Математический анализ для 1 курса, если Математический анализ для 1 курса теореме дифференцирования обратной функции

Математический анализ для 1 курса

и при Математический анализ для 1 курса производная не существует.

6. Производную Математический анализ для 1 курса получим из соотношения Математический анализ для 1 курса Следовательно,

Математический анализ для 1 курса

Предельный анализ в экономике

Задача о производительности труда. Пусть функция Математический анализ для 1 курса выражает количество произведенной продукции у за время Математический анализ для 1 курса и необходимо найти производительность труда в момент времени Математический анализ для 1 курса. Очевидно, за период времени от Математический анализ для 1 курса до Математический анализ для 1 курса количество произведенной продукции изменится от Математический анализ для 1 курса и составит Математический анализ для 1 курса.

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.

Математический анализ для 1 курса

Производительность труда в момент времени Математический анализ для 1 курса можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от Математический анализ для 1 курса до Математический анализ для 1 курса при Математический анализ для 1 курса, т.е.

Математический анализ для 1 курса

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Пример №18

Объем продукции хлебобулочных изделий, произведенных бригадой пекарей в течение смены, может быть описан функцией

Математический анализ для 1 курса

где Математический анализ для 1 курса — время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы.

Решение:

Производительность труда выражается производной

Математический анализ для 1 курса

В заданный момент времени соответственно имеем:

Математический анализ для 1 курса

Задача о предельных издержках производства. Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции Математический анализ для 1 курса. Тогда Математический анализ для 1 курса — приращение издержек производства с увеличением объема произведенной продукции на Математический анализ для 1 курса. Среднее приращение издержек производства на единицу продукции есть Математический анализ для 1 курса. Производная Математический анализ для 1 курса выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины.

Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции. Эластичностью функции Математический анализ для 1 курса называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной, если приращение переменной стремится к нулю:

Математический анализ для 1 курса

Эластичность дает приближенный процентный прирост функции при изменении независимой переменой на 1%. Например, эластичность спроса у относительно цены х показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы Математический анализ для 1 курса, то спрос считают эластичным, если Математический анализ для 1 курса — нейтральным, если Математический анализ для 1 курса — неэластичным относительно цены.

Пример №19

Опытным путем установлены функции спроса Математический анализ для 1 курса и предложения Математический анализ для 1 курса, где Математический анализ для 1 курса — количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, Математический анализ для 1 курса — цена товара. Найти:

1) равновесную цену, при которой спрос и предложение совпадают;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены;

3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

1) равновесная цепа определяется из условия Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

откуда Математический анализ для 1 курса ден. ед.

2) найдем эластичности спроса и предложения:

Математический анализ для 1 курса

Для равновесной цены Математический анализ для 1 курса имеем:

Математический анализ для 1 курса

T.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то спрос и предложение данного товара при рыночной цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. А именно, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0.3%, предложение увеличится на 0.8%.

3) при увеличении цены на 5% относительно равновесной спрос уменьшится па (5-0.3)%= 1.5%, и, следовательно, доход возрастет па 3.5%.

Пример №20

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции Математический анализ для 1 курса выражается функцией Математический анализ для 1 курса. Требуется:

1) определить средние и предельные издержки при объеме продукции Математический анализ для 1 курса условных единиц;

2) найти эластичность издержек при выпуске продукции, равном Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса условных единиц.

Решение:

1) функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением

Математический анализ для 1 курса

При Математический анализ для 1 курса средние издержки равны

Математический анализ для 1 курса

Функция предельных издержек выражается производной

Математический анализ для 1 курса

При Математический анализ для 1 курса предельные издержки составят

Математический анализ для 1 курса

что вдвое меньше средних издержек.

2) эластичность издержек у относительно объема выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

Математический анализ для 1 курса

При Математический анализ для 1 курса. Это означает, что при увеличении количества произведенной продукции на 1% (с 1 до 1.01) издержки уменьшатся на 1%.

При Математический анализ для 1 курса, т.е. с увеличением количества произведенной продукции на 1% (с 3 до 3.01) затраты уменьшатся на 17%.

Уравнение нормали к плоской кривой

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Если касательная в точке Математический анализ для 1 курса к графику непрерывной функции Математический анализ для 1 курса имеет вид Математический анализ для 1 курса (см. п. 4.1), то перпендикулярная к ней прямая имеет угловой коэффициент

Математический анализ для 1 курса

Таким образом, при Математический анализ для 1 курса уравнение нормали в точке Математический анализ для 1 курса имеет вид

Математический анализ для 1 курса

Если же Математический анализ для 1 курса, то нормаль параллельна оси Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

Задача. Показать, что для гиперболы Математический анализ для 1 курса площадь треугольника, образованного координатными осями и касательной в точке Математический анализ для 1 курса, равна квадрату полуоси гиперболы.

Решение:

Математический анализ для 1 курса

В общем курсе аналитической геометрии давалось каноническое уравнение гиперболы. «Школьная» гипербола Математический анализ для 1 курса получается из уравнения Математический анализ для 1 курсапреобразованием поворота, которое нашей программой не предусмотрено. Полуось гиперболы определим как расстояние между вершиной и центром симметрии гиперболы. Очевидно, вершины гиперболы Математический анализ для 1 курса находятся в точках Математический анализ для 1 курса, а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда полуось гиперболы равна Математический анализ для 1 курса. Следовательно, квадрат полуоси гиперболы равен 2.

Составим уравнение касательной к гиперболе Математический анализ для 1 курса в вершине Математический анализ для 1 курса. Общее уравнение касательной к кривой Математический анализ для 1 курса в точке Математический анализ для 1 курса имеет вид:

Математический анализ для 1 курса

В нашем случае

Математический анализ для 1 курса
Математический анализ для 1 курса

Искомое уравнение касательной имеет вид:

Математический анализ для 1 курса

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

Математический анализ для 1 курса

Тогда треугольник, образованный координатными осями и касательной, будет иметь вершины Математический анализ для 1 курса. Т.к. треугольник прямоугольный, то его площадь равна

Математический анализ для 1 курса

2=2. Задача решена.

Производные высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную Математический анализ для 1 курса от функции Математический анализ для 1 курса, называемую производной первого порядка. Но производная Математический анализ для 1 курса сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка Математический анализ для 1 курса и обозначается Математический анализ для 1 курса и т.д. В общем случае, производной n-го порядка называется производная от производной Математический анализ для 1 курса-ro порядка (для обозначения производных выше третьего порядка используются арабские цифры в скобках): Математический анализ для 1 курса.

Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону Математический анализ для 1 курса (где s — путь, t — время), то Математический анализ для 1 курса представляет скорость изменения пути в момент Математический анализ для 1 курса. Следовательно, ускорение точки в момент Математический анализ для 1 курса есть вторая производная пути по времени:

Математический анализ для 1 курса

В этом состоит механический смысл второй производной.

Задача. Известно, что траекторией брошенного камня является парабола. Найти его скорость и ускорение.

Решение:

Запишем уравнение траектории брошенного камня Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса — парабола с вершиной в точке Математический анализ для 1 курса, ветви которой направлены вниз, Математический анализ для 1 курса — гравитационная постоянная.

Тогда Математический анализ для 1 курса — скорость камня;

Математический анализ для 1 курса — его ускорение, что согласуется с известным физическим законом: всякое брошенное тело испытывает постоянное ускорение свободного падения.

Производная неявной функции

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных формулой Математический анализ для 1 курса, правая часть которых не содержала зависимой переменной. Если же функция Математический анализ для 1 курса задана уравнением Математический анализ для 1 курса не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция у задана неявно.

Внимание! Не всякое уравнение Математический анализ для 1 курса определяет неявную функцию. Например, уравнение Математический анализ для 1 курса в действительной области не определяет никакой функции. Иногда одно уравнение такого вида может определять несколько функций. Например, уравнение Математический анализ для 1 курса определяет две функции: Математический анализ для 1 курса и Математический анализ для 1 курса.

Часто разрешить уравнение Математический анализ для 1 курса относительно переменной затруднительно. В таком случае функцию приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим ее. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением Математический анализ для 1 курса.

Для нахождения производной функции Математический анализ для 1 курса, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от Математический анализ для 1 курса. Затем из полученного уравнения найти производную Математический анализ для 1 курса.

Пример №21

Покажите, что функция Математический анализ для 1 курса, заданная неявно выражением Математический анализ для 1 курса, удовлетворяет уравнению Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Найдем первую производную данной функции. Для этого продифференцируем обе части уравнения Математический анализ для 1 курса, используя формулы и правила дифференцирования:

Математический анализ для 1 курса

Найдем вторую производную:

Математический анализ для 1 курса

Подставим найденные выражения в дифференциальное уравнение:

Математический анализ для 1 курса

Правило Лопиталя

С помощью производной можно находить многие пределы. Следующее утверждение позволит свести предел отношения двух функций с случае неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:

Математический анализ для 1 курса

Внимание! В правой части формул берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №22

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса

Решение:

Имеем неопределенность вида Математический анализ для 1 курса. Т.к. числитель и знаменатель дроби непрерывны и дифференцируемы, то можно применить правило Лопиталя:

Математический анализ для 1 курса

Замечание Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к соотношению неопределенностей вида Математический анализ для 1 курса.

Пример №23

Вычислить предел Математический анализ для 1 курса

Решение:

Числитель и знаменатель дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к бесконечности. Следовательно, можно применить правило Лопиталя (в данном примере мы воспользовались им дважды):

Математический анализ для 1 курса

Замечание. Другие неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, если их предварительно свести к основному виду Математический анализ для 1 курса с помощью тождественных преобразований.

Пример №24

Найти Математический анализ для 1 курса .

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательной функции, получим:

Математический анализ для 1 курса

Оптимизация

В этом параграфе оптимизацию будем понимать как процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) экономических функций, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных. Говорят, что в точке Математический анализ для 1 курса функция Математический анализ для 1 курса имеет (локальный) максимум, если существует такая окрестность точки Математический анализ для 1 курса, что для всех Математический анализ для 1 курса из этой окрестности выполнено условие Математический анализ для 1 курса. Аналогично, функция Математический анализ для 1 курса в точке Математический анализ для 1 курсаимеет (локальный) минимум, если существует такая окрестность точки Математический анализ для 1 курса, что для всех х из этой окрестности выполнено условие Математический анализ для 1 курса. Точки (локальных) максимума и минимума называются точками (локального) экстремума, а значение функции в них — (локальными) экстремумами функции.

Внимание! Не следует путать понятие локального экстремума функции с ее наибольшим или наименьшим значением (так называемым глобальным максимумом или минимумом). На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум может оказаться больше максимума подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем невысокая вершина. А наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Геометрически в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна, либо не существует.

Следовательно, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна пулю или не существует (необходимое условие экстремума). Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. (Иногда точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными.)

Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Это лишь точка возможного экстремума функции.

Достаточное условие экстремума. Если в критической точке вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна — точка максимума.

Для запоминания этой теоремы предлагаем мнемоническое правило: если плюс — котелок наполняется, если минус — опустошается.

Математический анализ для 1 курса

Пример №25

Пусть в краткосрочном плане производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид

Математический анализ для 1 курса

где у — выпуск продукции, а n — число работающих. Определить численность персонала, при которой выпуск у достигает максимального значения.

Решение:

Выпуск продукции Математический анализ для 1 курса — функция натурального аргумента. Для решения задачи рассмотрим обобщенную функцию действительного аргумента Математический анализ для 1 курса. Новая функция везде непрерывна и дифференцируема. Найдем стационарные точки, для чего вычислим производную и приравняем ее к нулю:

Математический анализ для 1 курса

Решая квадратное уравнение, легко находим Математический анализ для 1 курса. Вычисляем вторую производную:

Математический анализ для 1 курса

При Математический анализ для 1 курса имеем

Математический анализ для 1 курса

следовательно, в данной точке имеется минимум. Это естественно, т.к. нет выпуска продукции, если нет рабочих. Для второй точки

Математический анализ для 1 курса

Поэтому в точке Математический анализ для 1 курса максимум. Соответствующий выпуск продукции

Математический анализ для 1 курса

Исследование функции на монотонность

С помощью производной можно найти промежутки возрастания и убывания функции. Функция Математический анализ для 1 курса называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции:

Математический анализ для 1 курса

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Достаточное условие монотонности. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке:

Математический анализ для 1 курса

Таким образом, если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то это точка (локального) максимума, а если с минуса на плюс — точка (локального) минимума (достаточное условие экстремума):

Математический анализ для 1 курса

Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет.

Пример №26

Исследовать функцию Математический анализ для 1 курса па монотонность.

Решение:

Область определения функции Математический анализ для 1 курса. С помощью первой производной найдем точки возможного экстремума:

Математический анализ для 1 курса

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в таблице.

Математический анализ для 1 курса

Итак, функция убывает на интервалах Математический анализ для 1 курса и возрастает на интервале Математический анализ для 1 курса; в точке Математический анализ для 1 курса— имеем минимум: Математический анализ для 1 курсаМатематический анализ для 1 курса

а Математический анализ для 1 курса точка максимума: Математический анализ для 1 курса

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции Математический анализ для 1 курса называется выпуклым (выпуклым вверх) в точке Математический анализ для 1 курса, если он расположен ниже касательной в некоторой окрестности этой точки. Аналогично, график дифференцируемой функции Математический анализ для 1 курса называется вогнутым (выпуклым вниз) в точке х0, если он расположен выше касательной в некоторой окрестности этой точки. Однако могут существовать точки, слева от которых в некоторой в достаточно малой окрестности график лежит по одну сторону от касательной, а справа — по другую. Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Достаточное условие направления выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна [положительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла (вогнута) на этом промежутке:

Математический анализ для 1 курса

Следовательно, если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то это точка перегиба (достаточное условие перегиба):

Математический анализ для 1 курса точка перегиба Математический анализ для 1 курса или Математический анализ для 1 курса точка перегиба Математический анализ для 1 курса.

Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю или не существует.

Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то это точка перегиба.

Пример №27

Исследовать функцию Математический анализ для 1 курса на выпуклость и точки перегиба.

Решение:

Область определения функции Математический анализ для 1 курса. С помощью второй производной найдем точки возможного перегиба:

Математический анализ для 1 курса

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, в которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты удобно представить в таблице.

Математический анализ для 1 курса

Кривая, изображающая график функции, выпукла на интервалах Математический анализ для 1 курсаМатематический анализ для 1 курсаи вогнута на интервалах Математический анализ для 1 курса. В точках Математический анализ для 1 курса, Математический анализ для 1 курса имеем перегиб:

Математический анализ для 1 курса

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая Математический анализ для 1 курса называется вертикальной асимптотой графика функции Математический анализ для 1 курса, если хотя бы один из односторонних пределов в точке Математический анализ для 1 курса равен бесконечности: Математический анализ для 1 курса. Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции Математический анализ для 1 курса имел наклонную асимптоту Математический анализ для 1 курса, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Математический анализ для 1 курса

Частным случаем наклонной асимптоты Математический анализ для 1 курса является горизонтальная асимптота.

Пример №28

Найти асимптоты графика функции Математический анализ для 1 курса.

Решение:

Функция Математический анализ для 1 курса непрерывна в области определения Математический анализ для 1 курса как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот пет. Найдем наклонные асимптоты Математический анализ для 1 курса:

Математический анализ для 1 курса

Получаем горизонтальную асимптоту Математический анализ для 1 курса.

Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

  1. Найти область определения функции Математический анализ для 1 курса
  2. Исследовать функцию на четность Математический анализ для 1 курса; нечетность Математический анализ для 1 курса; периодичность Математический анализ для 1 курса.
  3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
  4. Найти асимптоты графика функции.
  5. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
  6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
  7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример №29

Провести полное исследование функции Математический анализ для 1 курса и построить ее график.

Решение:

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: Математический анализ для 1 курса.
  2. Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и Математический анализ для 1 курса:
Математический анализ для 1 курса

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для Математический анализ для 1 курса.

3. Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку Математический анализ для 1 курса, точек разрыва нет.

4. Строим график функции, используя результаты исследования.

Математический анализ для 1 курса