Магнетизм задачи и решения

Оглавление:

Прежде чем изучать готовые решения задач по магнетизму, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «магнетизм в физике», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Магнетизм. Определения, понятия и законы

Магнитное поле. Индукция магнитного поля (магнитная индукция)

Силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды, электрические токи и намагниченные тела (магниты), называется магнитным полем. В свою очередь, магнитное поле создается движущимися зарядами, токами и магнитами. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции Магнетизм задачи с решением. Понятие о векторе магнитной индукции вводится на основании следующих опытных фактов: а) ориентирующее действие магнитного поля на замкнутый плоский контур (рамку) с током, б) существование силы, действующей на проводник с током в магнитном поле, в) отклонение пучка заряженных частиц в магнитном поле.

Действие магнитного поля на рамку с током

На плоскую рамку с током, подвешенную на нити в однородном магнитном поле, действует момент сил, который стремится развернуть ее определенным образом.

Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.1. Выбор направления вектора магнитной индукции

Ориентирующее действие поля на рамку используется для выбора направления вектора магнитной индукции. С этой целью вводят понятие положительной нормали к рамке, которая определяется как единичный вектор, перпендикулярный плоскости рамки и направленный в сторону перемещения буравчика (винта), если вращать его по направлению тока в рамке (рис. 3.3.1). За направление вектора магнитной индукции в данной точке пространства принимается направление положительной нормали к рамке, свободно устанавливающейся в магнитном поле в окрестности данной точки. Это направление совпадает с направлением от южного полюса Магнетизм задачи с решением к северному полюсу Магнетизм задачи с решением свободно вращающейся магнитной стрелки.

Замкнутый контур площадью Магнетизм задачи с решением с током Магнетизм задачи с решением создает магнитный момент

Магнетизм задачи с решением
(3.3.1)

Направление магнитного момента рамки с током, свободно устанавливающейся в магнитном поле, совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Линии магнитной индукции

Графически магнитное поле изображают с помощью линий магнитной индукции, которые представляют собой линии, касательные к которым направлены так же, как вектор Магнетизм задачи с решением в данной точке, а густота которых пропорциональна величине поля в данной точке. В качестве примера на рис. 3.3.2 изображены линии магнитной индукции, создаваемой постоянным магнитом. Линии магнитной индукции всегда замкнуты. Представленные на рис. 3.3.2 линии замыкаются внутри магнита.

Для вычисления магнитного поля электрического тока используют формулу Био-Савара-Лапласа. Согласно этой формуле, магнитная

Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.2. Линии магнитной индукции, создаваемой постоянным магнитом

индукция, создаваемая отрезком проводника длиной Магнетизм задачи с решением, по которому течет ток Магнетизм задачи с решением, равна:

Магнетизм задачи с решением
(3.3.2)

где Магнетизм задачи с решением — радиус-вектор, проведенный от элемента Магнетизм задачи с решением, в точку наблюдения, Магнетизм задачи с решением — угол между векторами Магнетизм задачи с решением и Магнетизм задачи с решением — магнитная проницаемость среды, Магнетизм задачи с решением — магнитная постоянная.

Картины линий индукции магнитного поля прямого тока и соленоида

Формула (3.3.2) позволяет рассчитать магнитную индукцию Магнетизм задачи с решением, созданную проводником с током любой формы. Так, величина магнитной индукции бесконечно длинного проводника с током Магнетизм задачи с решением на расстоянии Магнетизм задачи с решением от него равна

Магнетизм задачи с решением
(3.3.3)

Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности в плоскостях, перпендикулярных проводнику (рис. 3.3.3). Направление магнитной индукции тока определяется правилом буравчика: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, то вращение рукоятки буравчика указывает направление магнитного поля.

Магнитное поле внутри длинного соленоида (катушки с током) вдали от его концов является однородным (рис. 3.3.4). Магнитная индукция внутри соленоида в точках, удаленных от его концов, равна

Магнетизм задачи с решением
(3.3.4)

где Магнетизм задачи с решением — ток, протекающий по виткам, Магнетизм задачи с решением — число витков, Магнетизм задачи с решением — длина соленоида. Магнитное поле вне соленоида подобно магнитному полю полосового постоянного магнита (ср. с рис. 3.3.2). Конец катушки, из которого выходят линии индукции, аналогичен северному полюсу магнита; другой конец аналогичен южному магнитному полюсу. Расположение полюсов катушки и направление магнитного поля

Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.3. Линии магнитной индукции бесконечно длинного прямого проводника с током
Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.4. Линии магнитной индукции соленоида

определяется по правилу буравчика: если вращать рукоятку буравчика по току, то перемещение буравчика укажет направление линий магнитной индукции.

Понятие о магнитном поле Земли

Земной шар является естественным постоянным магнитом, вокруг которого существует магнитное поле. Средняя величина магнитной индукции вблизи земной поверхности равна Магнетизм задачи с решением.

Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.5. Геомагнитное поле Земли

Согласно современным представлениям, основная часть магнитного поля Земли (геомагнитного поля) имеет внутриземное происхождение. Это поле создается электрическими токами, протекающими в жидком металлическом ядре планеты. На расстояниях, не превышающих Магнетизм задачи с решением (Магнетизм задачи с решением — радиус Земли), геомагнитное поле имеет структуру, изображенную на рис. 3.3.5. Она близка к структуре магнитного поля намагниченного шара (магнитного диполя). Радиус диполя порядка Магнетизм задачи с решением, его центр отстоит от центра Земли в сторону Тихого океана примерно на 450 км, ось диполя наклонена к оси вращения Земли на угол, равный 11,5°.
Магнитные полюса Земли смещены относительно географических, причем в северном полушарии находится южный магнитный полюс Магнетизм задачи с решением с координатами 75°53′ северной широты, 100 °23′ западной долготы, а в южном полушарии — северный магнитный полюс N с координатами 66°06′ южной широты, 139°36′ восточной долготы.
Незначительная часть (около 1 %) магнитного поля, окружающего Землю, создается электрическими токами, текущими в ионосфере — ионизованной части верхней атмосферы Земли.

На расстояниях, превышающих Магнетизм задачи с решением, структура магнитного поля Земли усложняется. Совместно с солнечным ветром (потоком заряженных частиц, испускаемым Солнцем), магнитное поле Земли формирует магнитосферу — многосвязную систему электрических и магнитных полей и потоков заряженных частиц. Магнитосфера несимметрична относительно дневной и ночной стороны Земли. С дневной стороны магнитосфера сжата солнечным ветром до расстояния Магнетизм задачи с решением, с ночной стороны она образует вытянутый «хвост», простирающийся на многие миллионы километров.

Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.6. Движение заряженных частиц в магнитном поле Земли

Магнитное поле Земли играет роль своеобразного «щита», защищающего все живое от потоков заряженных космических частиц (космических лучей). На больших расстояниях от Земли магнитное поле невелико, но захватывает громадные области пространства. Действуя на заряженные частицы длительное время, оно существенно изменяет их траектории, отклоняя потоки частиц от Земли. На расстояниях примерно от 500 до 60 000 км заряженные частицы движутся, навиваясь на линии индукции магнитного поля Земли (рис. 3.3.6). Они совершают колебания от одного магнитного полюса к другому с периодом от 0,1 до 1 с. Эта область космического пространства называется радиационным поясом Земли.
Лишь в полярных областях небольшая часть таких частиц вторгается в верхние слои атмосферы из радиационного пояса Земли и вызывает полярные сияния.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера

На проводник с током, находящийся в магнитное поле, действует сила Ампера:

Магнетизм задачи с решением
(3.3.5)
Магнетизм задачи с решением
Рис. 3.3.7. Взаимодействие двух параллельных проводников с током


где Магнетизм задачи с решением — длина отрезка проводника с током Магнетизм задачи с решением, Магнетизм задачи с решением — угол
между направлениями отрезка проводника и вектора магнитной индукции, Магнетизм задачи с решением — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к проводнику. Направление силы Ампера определяется правилом буравчика: рукоятку буравчика вращают от вектора Магнетизм задачи с решением к вектору Магнетизм задачи с решением, тогда направление его поступательного движения определяет направление силы Магнетизм задачи с решением, или правилом левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции Магнетизм задачи с решением входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по току, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление действующей на участок проводника силы.

Между двумя параллельно расположенными бесконечно длинными проводниками, по которым протекают постоянные токи (рис. 3.3.7), возникает сила взаимодействия, направление и величина которой могут быть найдены из закона Ампера. Поскольку проводник с током Магнетизм задачи с решением находится в поле с индукцией Магнетизм задачи с решением, созданным проводником с током Магнетизм задачи с решением, сила Ампера Магнетизм задачи с решением направлена, как показано на рисунке. Проводники с одинаково направленными токами притягиваются, с противоположно направленными — отталкиваются. Модуль силы взаимодействия между участками единичной длины двух бесконечных параллельных проводников, расположенных на расстоянии Магнетизм задачи с решением друг от друга, равен

Магнетизм задачи с решением
(3.3.6)

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

На заряд Магнетизм задачи с решением, движущийся в магнитном поле со скоростью Магнетизм задачи с решением, действует сила Лоренца:

Магнетизм задачи с решением
(3.3.7)

где Магнетизм задачи с решением — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к скорости частицы. Направление силы Лоренца также определяется правилом левой руки или правилом буравчика.
В однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен скорости заряженной частицы, она движется по окружности постоянного радиуса Магнетизм задачи с решением.

Магнетизм задачи с решением
(3.3.8)

где Магнетизм задачи с решением — масса частицы, Магнетизм задачи с решением — абсолютное значение ее заряда, Магнетизм задачи с решением — скорость частицы, Магнетизм задачи с решением — индукция магнитного поля. Движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной вектору Магнетизм задачи с решением. Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы. Ее работа всегда равна нулю, поскольку сила Лоренца в каждый момент времени перпендикулярна вектору мгновенной скорости частицы.

Магнитные свойства вещества. Гипотеза Ампера

Магнитные взаимодействия зависят от свойств среды, в которой они происходят. Физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля Магнетизм задачи с решением в однородном веществе отличается от индукции Магнетизм задачи с решением магнитного поля в вакууме, называется магнитной проницаемостью вещества:

Магнетизм задачи с решением
(3.3.9)

Согласно гипотезе Ампера магнитные свойства вещества определяются замкнутыми электрическими токами внутри него. В соответствии с современными представлениями, эти токи связаны с движением электронов в атомах вещества. Каждый электрон, движущийся в атоме вокруг ядра по замкнутой орбите, представляет собой элементарный электронный ток, магнитный момент которого, называемый орбитальным магнитным моментом, перпендикулярен плоскости орбиты.

Орбитальный магнитный момент атома равен векторной сумме орбитальных магнитных моментов его электронов. Если вещество состоит из молекул, то магнитный момент молекулы является векторной суммой орбитальных магнитных моментов ее атомов. Таким образом, атомы и молекулы в общем случае имеют магнитные моменты и могут создавать магнитное поле.

Магнетиками называются вещества, способные намагничиваться во внешнем магнитном поле, т.е. создавать собственное (внутреннее) магнитное поле самого вещества. По своим свойствам магнетики подразделяются на слабомагнитные и сильномагнитные вещества. К слабомагнитным веществам относятся диамагнетики и парамагнетики. Основную группу сильномагнитных веществ составляют ферромагнетики.

Диамагнетиками называются вещества, у которых атомы или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля не имеют магнитных моментов. Диамагнетиками являются инертные газы, ряд металлов (золото, серебро, ртуть, цинк, медь), вода, стекло, многие органические соединения. При внесении диамагнитного вещества в магнитное поле в каждом его атоме (или молекуле) индуцируется дополнительный атомный (или молекулярный) ток с некоторым магнитным моментом. Этот ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противоположно внешнему полю. Вектор магнитной индукции внутреннего поля направлен против внешнего поля и ослабляет его. В этом и состоит намагничивание диамагнетиков, для которых Магнетизм задачи с решением. Диамагнетизм является очень слабым эффектом. Магнитная проницаемость даже самых сильных диамагнетиков отличается от единицы не более, чем десятитысячные доли.

Атомы (или молекулы), обладающие в отсутствие внешнего поля небольшим магнитным моментом, называются парамагнитными, а состоящие из них вещества — парамагнетиками. К парамагнетикам относятся кислород, окись азота, алюминий, платина, щелочные и щелочноземельные металлы и др. В отсутствие внешнего магнитного поля тепловое движение атомов (молекул) парамагнетика препятствует возникновению упорядоченного расположения магнитных моментов отдельных атомов (молекул), и собственного магнитного поля в веществе не возникает. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле атомные (молекулярные) токи стремятся расположиться так, чтобы их магнитные моменты были параллельны вектору индукции внешнего поля. Совместное действие магнитного поля и теплового движения приводит к тому, что возникает преимущественная ориентация магнитных моментов атомов (молекул) по направлению внешнего поля. В парамагнитном веществе создается собственное (внутреннее) магнитное поле, вектор индукции которого направлен одинаково с вектором индукции внешнего поля. Для парамагнетиков Магнетизм задачи с решением, но эффект парамагнетизма очень слаб; магнитная проницаемость даже для наиболее сильных парамагнетиков отличается от единицы не более, чем на тысячные доли.

Ферромагнетики

Ферромагнетиками называется группа веществ в твердом кристаллическом состоянии, обладающих магнитными свойствами, обусловленными особым взаимодействием атомных носителей магнетизма. К ферромагнетикам относятся железо, никель, кобальт, а также ряд сплавов. Ферромагнетизм объясняется квантовыми магнитными свойствами электронов. Дело в том, что электрон, независимо от его пребывания в какой-либо системе частиц (атом, молекула, кристалл), обладает собственным моментом импульса (спином) и связанным с ним собственным (спиновым) магнитным моментом. Важная особенность спина электрона состоит в том, что в магнитном поле (как внешнем, так и созданном атомными и молекулярными токами) спин может быть ориентирован так, чтобы его проекция на направление вектора магнитной индукции принимала только два значения, равные по модулю и противоположные по знаку.

В результате этого, в некоторых кристаллах, например в кристаллах железа, возникают условия для параллельной ориентации собственных магнитных моментов электронов группы атомов.

Внутри кристалла ферромагнетика образуются намагниченные области размером порядка Магнетизм задачи с решением см, в которых спины электронов параллельны. Эти самопроизвольно намагниченные области называются доменами. В отдельных доменах магнитные поля имеют различные направления и в большом кристалле взаимно компенсируют друг друга. При внесении ферромагнитного образца во внешнее магнитное поле происходит частичное упорядочение ориентации магнитных моментов отдельных доменов и результирующая магнитная индукция в веществе растет. С увеличением магнитной индукции внешнего поля степень упорядоченности доменов повышается. При некотором значении индукции внешнего поля наступает полное упорядочение ориентации доменов и возрастание магнитной индукции в веществе прекращается. Это явление называется магнитным насыщением. В состоянии насыщения магнитная проницаемость ферромагнетиков имеет очень большие значения; например, для железа Магнетизм задачи с решением, для пермаллоя (сплав никеля с железом) Магнетизм задачи с решением.

При отключении внешнего магнитного поля значительная часть доменов в ферромагнитном образце сохраняет упорядоченную ориентацию — образец становится постоянным магнитом.
Упорядоченность ориентации доменов в ферромагнетике нарушается тепловыми колебаниями атомов в кристалле. Чем выше температура, тем интенсивнее разрушается порядок в ориентации доменов, в результате чего образец размагничивается. Температура, выше которой вещество теряет свойства ферромагнетика, называется температурой Кюри. Температура Кюри у железа 770 °C, у никеля 356 °C, у кобальта 1130 °C.

Указания по решению задач

Большинство задач данного раздела связано либо с равновесием, либо с движением тел под действием различных сил, включая силу Ампера и силу Лоренца. Поэтому, наряду с законами магнетизма и электромагнитной индукции, при решении задач необходимо использовать законы механики.

Примеры решения задач

Задача3.3.1.

Частица массой Магнетизм задачи с решением г, несущая заряд Магнетизм задачи с решением Кл, движется в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией Магнетизм задачи с решением Тл. Найти период обращения частицы Т. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости частицы Магнетизм задачи с решением и индукции Магнетизм задачи с решением.

Магнетизм задачи с решением

Под действием этой силы частица совершает движение по окружности радиусом Магнетизм задачи с решением, описываемое уравнением
Магнетизм задачи с решением
где Магнетизм задачи с решением — масса частицы. Учитывая, что период обращения частицы связан с ее скоростью и радиусом окружности соотношением
Магнетизм задачи с решением
получаем ответ: Магнетизм задачи с решением

Задача3.3.2.

Заряженная частица массой Магнетизм задачи с решением кг влетает со скоростью Магнетизм задачи с решением в область с постоянным и однородным магнитным полем, вектор индукции которого Магнетизм задачи с решением перпендикулярен Магнетизм задачи с решением. На какой угол Магнетизм задачи с решением отклонится частица, если область, занимаемая магнитным полем, в котором движется частица, ограничена плоскостями, перпендикулярными Магнетизм задачи с решением, расстояние между которыми Магнетизм задачи с решением? Заряд частицы Магнетизм задачи с решением, индукция магнитного поля В = 0,01 Тл. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Как только частица окажется в области, занимаемой магнитным полем, на нее начнет действовать сила Лоренца, направленная перпендикулярно скорости частицы. Под действием этой силы частица будет двигаться по дуге окружности радиусом R, который легко найти из уравнения движения (см. решение задачи 3.3.1): Магнетизм задачи с решением.Из рисунка видно, что угол а, на который отклонится частица, определяется

Магнетизм задачи с решением

соотношением между радиусом дуги R и длиной L области, занимаемой магнитным полем. В частности, при R > L
Магнетизм задачи с решением
Если Магнетизм задачи с решением, то частица опишет в области, занимаемой полем, полуокружность, и Магнетизм задачи с решением. Таким образом, ответ к задаче может быть сформулирован следующим образом:
Магнетизм задачи с решением
При числовых данных из условия задачи Магнетизм задачи с решением.

Задача3.3.3.

Квадратная проволочная рамка может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией Решение задач на магнетизм, направленной вертикально. Когда по рамке течет ток Решение задач на магнетизм, она отклоняется от вертикальной плоскости на угол Решение задач на магнетизм. Определить индукцию магнитного поля В, если площадь сечения проволоки, из которой изготовлена рамка, Решение задач на магнетизм, а плотность материала проволоки Решение задач на магнетизм. Ускорение свободного падения принять Решение задач на магнетизм.

Решение задач на магнетизм
Решение:

Силы, действующие на отдельные отрезки рамки со стороны магнитного поля (силы Ампера Решение задач на магнетизм), изображены на рисунке а. Видно, что отклонение рамки от вертикали вызывает сила Решение задач на магнетизм, приложенная к нижнему горизонтальному отрезку. Сила Решение задач на магнетизм приложена к оси, на которой вращается рамка, а силы Решение задач на магнетизм и Решение задач на магнетизм действуют в плоскости рамки и могут вызвать только ее деформацию.
Таким образом, рамка находится в равновесии под действием сил, изображенных на рисунке б, где Решение задач на магнетизм — сила Ампера, Решение задач на магнетизм — масса рамки, Решение задач на магнетизм — длина одной из ее сторон, Решение задач на магнетизм — сила реакции оси. Уравнение моментов относительно оси вращения рамки имеет вид:
Решение задач на магнетизм
Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований получаем ответ: Решение задач на магнетизм

Электромагнитная индукция. определения, понятия и законы

Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции

Английский физик М. Фарадей в 1831 г. обнаружил, что при изменении магнитного поля, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нем возникает электрический ток. Этот ток был назван индукционным током. В своих опытах Фарадей наблюдал возникновение индукционного тока в катушке из металлической проволоки при вдвигании в нее и выдвигании из нее постоянного магнита, а также при изменении силы тока во второй катушке, магнитное поле которой пронизывает первую катушку.
Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменениях магнитного поля, пронизывающего контур, называется электромагнитной индукцией.

Магнитный поток

Для количественного описания этого явления вводится понятие магнитного потока. Потоком магнитной индукции (магнитным потоком) через некоторую поверхность площадью Решение задач на магнетизм называется величина

Решение задач на магнетизм
(3.4.1)
Решение задач на магнетизм
Рис. 3.4.1. К вычислению потока магнитной индукции

где Решение задач на магнетизм — угол между вектором Решение задач на магнетизм и нормалью к поверхности Решение задач на магнетизм (рис. 3.4.1).
Поток магнитной индукции через контур с током будет положительным, если составляющая Решение задач на магнетизм вектора Решение задач на магнетизм вдоль нормали к контуру совпадает с положительным направлением нормали, и отрицательным, если составляющая Решение задач на магнетизм противоположна положительному направлению нормали.
Для любого контура положительное направление нормали связано с положительным направлением обхода контура правилом буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению обхода, то перемещение буравчика укажет положительное направление нормали.

Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца

Появление электрического тока в замкнутом контуре при изменениях магнитного поля, пронизывающего контур, свидетельствует о действии в контуре сторонних сил неэлектрической природы, или о возникновении ЭДС индукции. Опыты показывают, что направление ЭДС индукции (и, следовательно, индукционного тока) зависит от того, возрастает или убывает магнитный поток через контур, а также от знака магнитного потока. Общее правило, позволяющее определить направление индукционного тока в контуре, было установлено в 1833 г. русским физиком Э.Х. Ленцем. Согласно правилу Ленца, возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать то изменение магнитного потока, которым вызван данный ток.
Экспериментальные исследования зависимости ЭДС индукции от характера изменения магнитного потока привели к установлению закона электромагнитной индукции’. При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в нем возникает ЭДС индукции Решение задач на магнетизм, которая численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока:

Решение задач на магнетизм
(3.4.2)

где Решение задач на магнетизм — изменение магнитного потока за время Решение задач на магнетизм. Знак « —» отражает правило Ленца: если Решение задач на магнетизм, то ЭДС индукции в контуре направлена против положительного направления обхода контура, если Решение задач на магнетизм, то направление ЭДС индукции совпадает с положительным направлением обхода контура.

В Международной системе единиц закон электромагнитной индукции используют для установления единицы магнитного потока.

Эту единицу называют вебером (Вб) и определяют следующим образом: магнитный поток через площадь, ограниченную замкнутым контуром, равен 1 Вб, если при равномерном убывании этого потока до нуля за 1 с в контуре возникает ЭДС индукции 1B: 1 Вб = 1 В • 1 с.
Единицу магнитной индукции устанавливают на основе соотношения (3.4.1). Если вектор Решение задач на магнетизм перпендикулярен поверхности S, то Ф = BS. Отсюда магнитная индукция равна единице, если она создает через площадь Решение задач на магнетизм магнитный поток 1 Вб. Эту единицу магнитной индукции называют тесла (Тл): Решение задач на магнетизм.

ЭДС индукции возникает как в неподвижном контуре, помещенном в изменяющееся магнитное поле, так и в проводнике, движущемся в магнитном поле, которое может не меняться со временем. Значение ЭДС индукции в обоих случаях определяется законом (3.4.2), но происхождение ЭДС различно.

Если магнитное поле постоянно во времени, но магнитный поток через контур изменяется из-за движения отдельных проводников, образующих контур, то причиной возникновения ЭДС индукции является сила Лоренца, действующая на свободные заряды в движущемся проводнике. При использовании закона электромагнитной индукции в форме (3.4.2) нужно иметь в виду, что изменение магнитного потока связано с изменением площади контура. При движении незамкнутого проводника в магнитном поле, на концах проводника также возникает ЭДС индукции, величина которой определяется магнитным потоком через площадь, «заметаемую» проводником в единицу времени. В частности, при движении в магнитном поле прямолинейного проводника длиной Решение задач на магнетизм со скоростью Решение задач на магнетизм, перпендикулярной проводнику, ЭДС индукции на концах проводника равна

Решение задач на магнетизм
(3.4.3)

где Решение задач на магнетизм — проекция вектора магнитной индукции Решение задач на магнетизм на направление, перпендикулярное скорости движения проводника.

Вихревое электрическое поле

Физической причиной возникновения ЭДС индукции в неподвижном контуре является действие вихревого электрического поля, всегда возникающего в пространстве при изменении магнитного поля. Работа вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда в проводнике и представляет собой ЭДС индукции.
Вихревое электрическое поле отличается от электростатического (кулоновского) поля тем, что оно создается не электрическими зарядами, а переменным магнитным полем, причем его силовые линии замкнуты сами на себя, а не начинаются и заканчиваются на зарядах, как в случае кулоновского поля. Работа вихревого электрического поля при перемещении заряда по замкнутой траектории отлична от нуля.

Самоиндукция. Индуктивность. ЭДС самоиндукции

Если магнитное поле вызвано током Решение задач на магнетизм, протекающим по какому-либо контуру, то магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, пропорционален току, т. е. Решение задач на магнетизм, где Решение задач на магнетизм — индуктивность контура, которая зависит от его формы и размеров и от магнитных свойств окружающей среды. При изменении магнитного потока через контур вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру, в нем возникает ЭДС самоиндукции

Решение задач на магнетизм
(3.4.4)

Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура равна 1 Гн, если в нем при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В: 1 Гн = 1 В • 1 с/1 А.

Энергия магнитного поля

Для создания тока Решение задач на магнетизм в контуре с индуктивностью Решение задач на магнетизм необходимо совершить работу по преодолению ЭДС самоиндукции. Собственной энергией тока Решение задач на магнетизм называется величина, равная этой работе. Если среда, в которой находится контур, не ферромагнитна, то

Решение задач на магнетизм
(3.4.5)

Собственная энергия тока сосредоточена в магнитном поле, созданном проводником с током, причем эта энергия распределена по всему пространству, где имеется магнитное поле. Энергия однородного магнитного поля, сосредоточенного в объеме Решение задач на магнетизм изотропной и неферромагнитной среды,

Решение задач на магнетизм
(3.4.6)

Объемной плотностью энергии магнитного поля называется энергия, заключенная в единице объема поля

Решение задач на магнетизм
(3.4.7)

Это выражение справедливо не только для однородного поля, но и для произвольных, в том числе неоднородных в пространстве и переменных во времени магнитных полей.

Примеры решения задач

Задача3.4.1.

Замкнутый проводник в виде прямоугольной трапеции находится в магнитном поле с индукцией Решение задач на магнетизм Тл, направленной перпендикулярно плоскости трапеции от нас. Сопротивление единицы длины проводника Решение задач на магнетизм Ом/м. Найти величину и направление тока Решение задач на магнетизм, текущего в проводнике при равномерном уменьшении поля до нуля в течение Решение задач на магнетизм. Размеры отрезков проводника Решение задач на магнетизмРешение задач на магнетизм.

Решение задач на магнетизм
Решение:

Для определения направления ЭДС индукции выберем нормаль к плоскости контура, совпадающую по направлению с магнитным полем (от нас). Тогда магнитный поток через контур будет положительным. Выбранной нормали соответствует направление обхода контура по часовой стрелке. Поскольку поле убывает со временем, изменение магнитного потока отрицательно: Решение задач на магнетизм. Из закона электромагнитной индукции
Решение задач на магнетизм
вытекает, что ЭДС индукции положительна, т.е. направлена по часовой стрелке. Туда же будет направлен и индукционный ток. Величина тока определяется отношением ЭДС индукции Решение задач на магнетизм и сопротивления проводника Решение задач на магнетизм. Здесь Решение задач на магнетизм — площадь трапеции, а Решение задач на магнетизм Решение задач на магнетизм — ее периметр. Окончательно получаем:
Решение задач на магнетизм
Ток течет по часовой стрелке.

Задача3.4.2.

Катушка из Решение задач на магнетизм одинаковых витков с площадью Решение задач на магнетизм присоединена к баллистическому гальванометру. Вначале катушка находилась между полюсами магнита в однородном магнитном поле с индукцией Решение задач на магнетизм, параллельной оси катушки. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует. Какое количество электричества Решение задач на магнетизм протекло через гальванометр? Сопротивление всей цепи Решение задач на магнетизм.

Решение:

Магнитный поток, пронизывающий катушку в начальный момент, равен Решение задач на магнетизм. Пусть катушка удаляется из магнитного поля за время Решение задач на магнетизм. Поскольку изменение магнитного потока за это время Решение задач на магнетизм, величина ЭДС индукции Решение задач на магнетизм. Ток в цепи Решение задач на магнетизм, протекший за время Решение задач на магнетизм заряд Решение задач на магнетизм Это количество электричества и будет зарегистрировано баллистическим гальванометром, который измеряет прошедший через него заряд.

Задача3.4.3.

При равномерном изменении силы тока через проволочную катушку в ней возникает ЭДС самоиндукции Е = 10 В. Катушка содержит N = 1000 витков. Какой заряд q протечет за время Решение задач на магнетизм = 0,05 с через замкнутый проволочный виток, надетый на катушку так, что его плоскость перпендикулярна оси катушки? Сопротивление витка R = 0,2 Ом.

Решение:

Величина ЭДС самоиндукции равна Решение задач на магнетизм, где Решение задач на магнетизм — индуктивность катушки. Поскольку Решение задач на магнетизм пропорционально числу витков катушки, индуктивность одного витка Решение задач на магнетизм. Поэтому индукционный ток в витке Решение задач на магнетизм. Заряд, протекший через виток за время Решение задач на магнетизм.
Решение задач на магнетизм

Задача3.4.4.

По двум вертикальным проводящим рейкам АВ и CD (см. рисунок), находящимся на расстоянии Решение задач на магнетизм и соединенным сопротивлением R, под действием силы тяжести начинает скользить проводник, длина которого Решение задач на магнетизм и масса Решение задач на магнетизм. Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого Решение задач на магнетизм перпендикулярна плоскости рисунка. Какова установившаяся скорость v движения проводника, если сопротивлением самого проводника и реек, а также трением можно пренебречь? Ускорение свободного падения Решение задач на магнетизм.

Решение задач на магнетизм
Решение:

Предоставленный самому себе проводник начнет под действием силы тяжести двигаться вниз. В результате этого возникнет изменение магнитного потока через контур, образованный рейками, резистором и проводником, и, как следствие, ЭДС индукции и индукционный Решение задач на магнетизм ток в контуре. Этот ток, протекая по подвижному проводнику, приведет к появлению силы Ампера Решение задач на магнетизм, которая, как нетрудно убедиться, будет направлена против скорости проводника. Таким образом, уравнение движения проводника запишется следующим образом:
Решение задач на магнетизм
Учитывая, что Решение задач на магнетизм, а Решение задач на магнетизм, где Решение задач на магнетизм — ЭДС индукции, находим, что величина силы Ампера пропорциональна скорости проводника Решение задач на магнетизм:
Решение задач на магнетизм
Движение проводника установится, т.е. ускорение проводника Решение задач на магнетизм обратится в ноль, когда сила Ампера сравняется по величине с силой тяжести. Объединяя записанные выражения, находим, что скорость установившегося движения Решение задач на магнетизм.

Задача3.4.5.

В магнитном поле с индукцией Решение задач на магнетизм = 1 Тл, направленной вертикально вниз, по горизонтальным рельсам равномерно движется проводящий стержень длины Решение задач на магнетизм = 0,4 м со скоростью Решение задач на магнетизм = 5 м/с. Концы рельсов присоединены к батарее с ЭДС Решение задач на магнетизм = 10, 1 В и внутренним сопротивлением Решение задач на магнетизм = 0, 1 Ом. Какое количество теплоты Решение задач на магнетизм выделится в стержне за время Решение задач на магнетизм = 10 с, если его сопротивление Решение задач на магнетизм = 10 Ом? Сопротивлением рельсов и соединительных проводов пренебречь.

Решение задач на магнетизм
Решение:

При движении стержня возникает ЭДС индукции Решение задач на магнетизм = Решение задач на магнетизм, направление которой, как нетрудно убедиться, при конкретных условиях задачи противоположно направлению ЭДС источника. По закону Ома для полной цепи индукционный ток
Решение задач на магнетизм
Количество теплоты, выделяющееся в стержне за время Решение задач на магнетизм. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:
Решение задач на магнетизм

Задача3.4.6.

Прямоугольный контур .4ВСР перемещается поступательно с постоянной скоростью v в магнитном поле тока Решение задач на магнетизм, текущего по длинному прямому проводу ОО’. Стороны AD и ВС параллельны проводу. Определить величину и направление тока, индуцированного в контуре в тот момент, когда сторона AD находится на расстоянии Решение задач на магнетизм от провода. AD = ВС = а, АВ = DC = b. Сопротивление контура R.

Решение задач на магнетизм
Решение:

Линии магнитной индукции, создаваемой током Решение задач на магнетизм, текущим в проводе ОО’, представляют собой концентрические окружности, охватывающие этот провод. Следовательно, магнитная индукция перпендикулярна плоскости контура и в занимаемой им области направлена от нас. Величина магнитной индукции в окрестности отрезков контура AD и ВС равна, соответственно:
Решение задач на магнетизм
При движении контура со скоростью Решение задач на магнетизм на концах отрезков A.D и ВС возникает ЭДС индукции, обусловленная действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Направления сил Лоренца в обоих отрезках одинаковы: от D к А и от С к В, а величины создаваемых ими ЭДС индукции различны:
Решение задач на магнетизм
Очевидно, что Решение задач на магнетизм, поэтому суммарная работа сил Лоренца положительна при обходе контура по часовой стрелке. В этом же направлении будет течь индукционный ток, величина которого
Решение задач на магнетизм
Объединяя записанные выражения, получаем ответ: Решение задач на магнетизм

Задача3.4.7.

По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости к замкнутым на конденсатор Решение задач на магнетизм, может без трения двигаться проводник массой Решение задач на магнетизм и длиной Решение задач на магнетизм. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией Решение задач на магнетизм, направленной вверх. К середине проводника перпендикулярно ему и параллельно рейкам приложена сила Решение задач на магнетизм. Определить ускорение подвижного проводника. Сопротивлением реек и подводящих проводов пренебречь. В начальный момент скорость проводника равна нулю.

Решение задач на магнетизм
Решение:

При движении проводника в контуре возникает ЭДС индукции Е, которая в каждый момент времени равна напряжению на конденсаторе Решение задач на магнетизм, где Решение задач на магнетизм — заряд конденсатора. Индукционный ток Решение задач на магнетизм в контуре с одной стороны заряжает конденсатор, с другой — приводит к появлению силы Ампера, действующей на проводник в направлении, противоположном силе Решение задач на магнетизм. Следовательно, уравнение движения проводника (второй закон Ньютона) имеет вид:
Решение задач на магнетизм
Поскольку Решение задач на магнетизм, ток в контуре Решение задач на магнетизм. Здесь точкой обозначена производная по времени и учтено, что ускорение проводника Решение задач на магнетизм. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:
Решение задач на магнетизм

Задача3.4.8.

Катушка индуктивностью Решение задач на магнетизм с сопротивлением обмотки Решение задач на магнетизм = 2 Ом подключена параллельно с резистором сопротивлением Решение задач на магнетизм = 8 Ом к источнику с ЭДС Решение задач на магнетизм = 6 В и внутренним сопротивлением Решение задач на магнетизм = 0,2 Ом. Какое количество тепла Решение задач на магнетизм выделится в сопротивлении Решение задач на магнетизм после отключения источника?

Решение задач на магнетизм
Решение:

При замкнутом ключе через источник течет ток Решение задач на магнетизм
Этот ток разветвляется на два тока Решение задач на магнетизм и Решение задач на магнетизм, протекающих, соответственно, через катушку и резистор Решение задач на магнетизм и удовлетворяющих системе уравнений:
Решение задач на магнетизм
Отсюда
Решение задач на магнетизм
После отключения источника (размыкания ключа) возникающая в катушке ЭДС самоиндукции Решение задач на магнетизм будет какое-то время поддерживать в цепи, образованной катушкой и резистором Решение задач на магнетизм, ток
Решение задач на магнетизм
При этом полная мощность Решение задач на магнетизм, выделяющаяся в этой цепи, распределится между катушкой и резистором пропорционально их сопротивлениям:
Решение задач на магнетизм
Следовательно, мощность, выделяющаяся на резисторе, составляет от полной мощности, выделяющейся в этой цепи, следующую долю:

Решение задач на магнетизм

Поскольку данное отношение мощностей не зависит от времени, очевидно, что такую же долю составит и энергия, выделившаяся на резисторе за время существования ЭДС самоиндукции, от полной энергии, выделившейся в цепи. В свою очередь, полная выделившаяся энергия равна энергии Решение задач на магнетизм магнитного поля в катушке в момент отключения источника. Таким образом, количество тепла, выделившегося на резисторе Решение задач на магнетизм после отключения источника, равно:
Решение задач на магнетизм
Подставляя в это равенство найденный ранее ток через катушку, получаем ответ:
Решение задач на магнетизм

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: