Магнетизм задачи и решения

Прежде чем изучать готовые решения задач по магнетизму, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «магнетизм в физике», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Магнетизм. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Магнитное поле. Индукция магнитного поля (магнитная индукция)

Силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды, электрические токи и намагниченные тела (магниты), называется магнитным полем. В свою очередь, магнитное поле создается движущимися зарядами, токами и магнитами. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . Понятие о векторе магнитной индукции вводится на основании следующих опытных фактов: а) ориентирующее действие магнитного поля на замкнутый плоский контур (рамку) с током, б) существование силы, действующей на проводник с током в магнитном поле, в) отклонение пучка заряженных частиц в магнитном поле.

Действие магнитного поля на рамку с током

На плоскую рамку с током, подвешенную на нити в однородном магнитном поле, действует момент сил, который стремится развернуть ее определенным образом.

Рис. 3.3.1. Выбор направления вектора магнитной индукции

Ориентирующее действие поля на рамку используется для выбора направления вектора магнитной индукции. С этой целью вводят понятие положительной нормали к рамке, которая определяется как единичный вектор, перпендикулярный плоскости рамки и направленный в сторону перемещения буравчика (винта), если вращать его по направлению тока в рамке (рис. 3.3.1). За направление вектора магнитной индукции в данной точке пространства принимается направление положительной нормали к рамке, свободно устанавливающейся в магнитном поле в окрестности данной точки. Это направление совпадает с направлением от южного полюса к северному полюсу свободно вращающейся магнитной стрелки.

Замкнутый контур площадью с током создает магнитный момент

(3.3.1)

Направление магнитного момента рамки с током, свободно устанавливающейся в магнитном поле, совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Линии магнитной индукции

Графически магнитное поле изображают с помощью линий магнитной индукции, которые представляют собой линии, касательные к которым направлены так же, как вектор в данной точке, а густота которых пропорциональна величине поля в данной точке. В качестве примера на рис. 3.3.2 изображены линии магнитной индукции, создаваемой постоянным магнитом. Линии магнитной индукции всегда замкнуты. Представленные на рис. 3.3.2 линии замыкаются внутри магнита.

Для вычисления магнитного поля электрического тока используют формулу Био-Савара-Лапласа. Согласно этой формуле, магнитная

Рис. 3.3.2. Линии магнитной индукции, создаваемой постоянным магнитом

индукция, создаваемая отрезком проводника длиной , по которому течет ток , равна:

(3.3.2)

где — радиус-вектор, проведенный от элемента , в точку наблюдения, — угол между векторами и — магнитная проницаемость среды, — магнитная постоянная.

Картины линий индукции магнитного поля прямого тока и соленоида

Формула (3.3.2) позволяет рассчитать магнитную индукцию , созданную проводником с током любой формы. Так, величина магнитной индукции бесконечно длинного проводника с током на расстоянии от него равна

(3.3.3)

Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности в плоскостях, перпендикулярных проводнику (рис. 3.3.3). Направление магнитной индукции тока определяется правилом буравчика: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, то вращение рукоятки буравчика указывает направление магнитного поля.

Магнитное поле внутри длинного соленоида (катушки с током) вдали от его концов является однородным (рис. 3.3.4). Магнитная индукция внутри соленоида в точках, удаленных от его концов, равна

(3.3.4)

где — ток, протекающий по виткам, — число витков, — длина соленоида. Магнитное поле вне соленоида подобно магнитному полю полосового постоянного магнита (ср. с рис. 3.3.2). Конец катушки, из которого выходят линии индукции, аналогичен северному полюсу магнита; другой конец аналогичен южному магнитному полюсу. Расположение полюсов катушки и направление магнитного поля

Рис. 3.3.3. Линии магнитной индукции бесконечно длинного прямого проводника с током
Рис. 3.3.4. Линии магнитной индукции соленоида

определяется по правилу буравчика: если вращать рукоятку буравчика по току, то перемещение буравчика укажет направление линий магнитной индукции.

Понятие о магнитном поле Земли

Земной шар является естественным постоянным магнитом, вокруг которого существует магнитное поле. Средняя величина магнитной индукции вблизи земной поверхности равна .

Рис. 3.3.5. Геомагнитное поле Земли

Согласно современным представлениям, основная часть магнитного поля Земли (геомагнитного поля) имеет внутриземное происхождение. Это поле создается электрическими токами, протекающими в жидком металлическом ядре планеты. На расстояниях, не превышающих ( — радиус Земли), геомагнитное поле имеет структуру, изображенную на рис. 3.3.5. Она близка к структуре магнитного поля намагниченного шара (магнитного диполя). Радиус диполя порядка , его центр отстоит от центра Земли в сторону Тихого океана примерно на 450 км, ось диполя наклонена к оси вращения Земли на угол, равный 11,5°.
Магнитные полюса Земли смещены относительно географических, причем в северном полушарии находится южный магнитный полюс с координатами 75°53′ северной широты, 100 °23′ западной долготы, а в южном полушарии — северный магнитный полюс N с координатами 66°06′ южной широты, 139°36′ восточной долготы.
Незначительная часть (около 1 %) магнитного поля, окружающего Землю, создается электрическими токами, текущими в ионосфере — ионизованной части верхней атмосферы Земли.

На расстояниях, превышающих , структура магнитного поля Земли усложняется. Совместно с солнечным ветром (потоком заряженных частиц, испускаемым Солнцем), магнитное поле Земли формирует магнитосферу — многосвязную систему электрических и магнитных полей и потоков заряженных частиц. Магнитосфера несимметрична относительно дневной и ночной стороны Земли. С дневной стороны магнитосфера сжата солнечным ветром до расстояния , с ночной стороны она образует вытянутый «хвост», простирающийся на многие миллионы километров.

Рис. 3.3.6. Движение заряженных частиц в магнитном поле Земли

Магнитное поле Земли играет роль своеобразного «щита», защищающего все живое от потоков заряженных космических частиц (космических лучей). На больших расстояниях от Земли магнитное поле невелико, но захватывает громадные области пространства. Действуя на заряженные частицы длительное время, оно существенно изменяет их траектории, отклоняя потоки частиц от Земли. На расстояниях примерно от 500 до 60 000 км заряженные частицы движутся, навиваясь на линии индукции магнитного поля Земли (рис. 3.3.6). Они совершают колебания от одного магнитного полюса к другому с периодом от 0,1 до 1 с. Эта область космического пространства называется радиационным поясом Земли.
Лишь в полярных областях небольшая часть таких частиц вторгается в верхние слои атмосферы из радиационного пояса Земли и вызывает полярные сияния.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера

На проводник с током, находящийся в магнитное поле, действует сила Ампера:

(3.3.5)
Рис. 3.3.7. Взаимодействие двух параллельных проводников с током


где — длина отрезка проводника с током , — угол
между направлениями отрезка проводника и вектора магнитной индукции, — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к проводнику. Направление силы Ампера определяется правилом буравчика: рукоятку буравчика вращают от вектора к вектору , тогда направление его поступательного движения определяет направление силы , или правилом левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по току, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление действующей на участок проводника силы.

Между двумя параллельно расположенными бесконечно длинными проводниками, по которым протекают постоянные токи (рис. 3.3.7), возникает сила взаимодействия, направление и величина которой могут быть найдены из закона Ампера. Поскольку проводник с током находится в поле с индукцией , созданным проводником с током , сила Ампера направлена, как показано на рисунке. Проводники с одинаково направленными токами притягиваются, с противоположно направленными — отталкиваются. Модуль силы взаимодействия между участками единичной длины двух бесконечных параллельных проводников, расположенных на расстоянии друг от друга, равен

(3.3.6)

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

На заряд , движущийся в магнитном поле со скоростью , действует сила Лоренца:

(3.3.7)

где — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к скорости частицы. Направление силы Лоренца также определяется правилом левой руки или правилом буравчика.
В однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен скорости заряженной частицы, она движется по окружности постоянного радиуса .

(3.3.8)

где — масса частицы, — абсолютное значение ее заряда, — скорость частицы, — индукция магнитного поля. Движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной вектору . Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы. Ее работа всегда равна нулю, поскольку сила Лоренца в каждый момент времени перпендикулярна вектору мгновенной скорости частицы.

Магнитные свойства вещества. Гипотеза Ампера

Магнитные взаимодействия зависят от свойств среды, в которой они происходят. Физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в однородном веществе отличается от индукции магнитного поля в вакууме, называется магнитной проницаемостью вещества:

(3.3.9)

Согласно гипотезе Ампера магнитные свойства вещества определяются замкнутыми электрическими токами внутри него. В соответствии с современными представлениями, эти токи связаны с движением электронов в атомах вещества. Каждый электрон, движущийся в атоме вокруг ядра по замкнутой орбите, представляет собой элементарный электронный ток, магнитный момент которого, называемый орбитальным магнитным моментом, перпендикулярен плоскости орбиты.

Орбитальный магнитный момент атома равен векторной сумме орбитальных магнитных моментов его электронов. Если вещество состоит из молекул, то магнитный момент молекулы является векторной суммой орбитальных магнитных моментов ее атомов. Таким образом, атомы и молекулы в общем случае имеют магнитные моменты и могут создавать магнитное поле.

Магнетиками называются вещества, способные намагничиваться во внешнем магнитном поле, т.е. создавать собственное (внутреннее) магнитное поле самого вещества. По своим свойствам магнетики подразделяются на слабомагнитные и сильномагнитные вещества. К слабомагнитным веществам относятся диамагнетики и парамагнетики. Основную группу сильномагнитных веществ составляют ферромагнетики.

Диамагнетиками называются вещества, у которых атомы или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля не имеют магнитных моментов. Диамагнетиками являются инертные газы, ряд металлов (золото, серебро, ртуть, цинк, медь), вода, стекло, многие органические соединения. При внесении диамагнитного вещества в магнитное поле в каждом его атоме (или молекуле) индуцируется дополнительный атомный (или молекулярный) ток с некоторым магнитным моментом. Этот ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противоположно внешнему полю. Вектор магнитной индукции внутреннего поля направлен против внешнего поля и ослабляет его. В этом и состоит намагничивание диамагнетиков, для которых . Диамагнетизм является очень слабым эффектом. Магнитная проницаемость даже самых сильных диамагнетиков отличается от единицы не более, чем десятитысячные доли.

Атомы (или молекулы), обладающие в отсутствие внешнего поля небольшим магнитным моментом, называются парамагнитными, а состоящие из них вещества — парамагнетиками. К парамагнетикам относятся кислород, окись азота, алюминий, платина, щелочные и щелочноземельные металлы и др. В отсутствие внешнего магнитного поля тепловое движение атомов (молекул) парамагнетика препятствует возникновению упорядоченного расположения магнитных моментов отдельных атомов (молекул), и собственного магнитного поля в веществе не возникает. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле атомные (молекулярные) токи стремятся расположиться так, чтобы их магнитные моменты были параллельны вектору индукции внешнего поля. Совместное действие магнитного поля и теплового движения приводит к тому, что возникает преимущественная ориентация магнитных моментов атомов (молекул) по направлению внешнего поля. В парамагнитном веществе создается собственное (внутреннее) магнитное поле, вектор индукции которого направлен одинаково с вектором индукции внешнего поля. Для парамагнетиков , но эффект парамагнетизма очень слаб; магнитная проницаемость даже для наиболее сильных парамагнетиков отличается от единицы не более, чем на тысячные доли.

Ферромагнетики

Ферромагнетиками называется группа веществ в твердом кристаллическом состоянии, обладающих магнитными свойствами, обусловленными особым взаимодействием атомных носителей магнетизма. К ферромагнетикам относятся железо, никель, кобальт, а также ряд сплавов. Ферромагнетизм объясняется квантовыми магнитными свойствами электронов. Дело в том, что электрон, независимо от его пребывания в какой-либо системе частиц (атом, молекула, кристалл), обладает собственным моментом импульса (спином) и связанным с ним собственным (спиновым) магнитным моментом. Важная особенность спина электрона состоит в том, что в магнитном поле (как внешнем, так и созданном атомными и молекулярными токами) спин может быть ориентирован так, чтобы его проекция на направление вектора магнитной индукции принимала только два значения, равные по модулю и противоположные по знаку.

В результате этого, в некоторых кристаллах, например в кристаллах железа, возникают условия для параллельной ориентации собственных магнитных моментов электронов группы атомов.

Внутри кристалла ферромагнетика образуются намагниченные области размером порядка см, в которых спины электронов параллельны. Эти самопроизвольно намагниченные области называются доменами. В отдельных доменах магнитные поля имеют различные направления и в большом кристалле взаимно компенсируют друг друга. При внесении ферромагнитного образца во внешнее магнитное поле происходит частичное упорядочение ориентации магнитных моментов отдельных доменов и результирующая магнитная индукция в веществе растет. С увеличением магнитной индукции внешнего поля степень упорядоченности доменов повышается. При некотором значении индукции внешнего поля наступает полное упорядочение ориентации доменов и возрастание магнитной индукции в веществе прекращается. Это явление называется магнитным насыщением. В состоянии насыщения магнитная проницаемость ферромагнетиков имеет очень большие значения; например, для железа , для пермаллоя (сплав никеля с железом) .

При отключении внешнего магнитного поля значительная часть доменов в ферромагнитном образце сохраняет упорядоченную ориентацию — образец становится постоянным магнитом.
Упорядоченность ориентации доменов в ферромагнетике нарушается тепловыми колебаниями атомов в кристалле. Чем выше температура, тем интенсивнее разрушается порядок в ориентации доменов, в результате чего образец размагничивается. Температура, выше которой вещество теряет свойства ферромагнетика, называется температурой Кюри. Температура Кюри у железа 770 °C, у никеля 356 °C, у кобальта 1130 °C.

Указания по решению задач

Большинство задач данного раздела связано либо с равновесием, либо с движением тел под действием различных сил, включая силу Ампера и силу Лоренца. Поэтому, наряду с законами магнетизма и электромагнитной индукции, при решении задач необходимо использовать законы механики.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача3.3.1.

Частица массой г, несущая заряд Кл, движется в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией Тл. Найти период обращения частицы Т. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости частицы и индукции .

Под действием этой силы частица совершает движение по окружности радиусом , описываемое уравнением

где — масса частицы. Учитывая, что период обращения частицы связан с ее скоростью и радиусом окружности соотношением

получаем ответ:

Задача3.3.2.

Заряженная частица массой кг влетает со скоростью в область с постоянным и однородным магнитным полем, вектор индукции которого перпендикулярен . На какой угол отклонится частица, если область, занимаемая магнитным полем, в котором движется частица, ограничена плоскостями, перпендикулярными , расстояние между которыми ? Заряд частицы , индукция магнитного поля В = 0,01 Тл. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Как только частица окажется в области, занимаемой магнитным полем, на нее начнет действовать сила Лоренца, направленная перпендикулярно скорости частицы. Под действием этой силы частица будет двигаться по дуге окружности радиусом R, который легко найти из уравнения движения (см. решение задачи 3.3.1): .Из рисунка видно, что угол а, на который отклонится частица, определяется

соотношением между радиусом дуги R и длиной L области, занимаемой магнитным полем. В частности, при R > L

Если , то частица опишет в области, занимаемой полем, полуокружность, и . Таким образом, ответ к задаче может быть сформулирован следующим образом:

При числовых данных из условия задачи .

Задача3.3.3.

Квадратная проволочная рамка может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией , направленной вертикально. Когда по рамке течет ток , она отклоняется от вертикальной плоскости на угол . Определить индукцию магнитного поля В, если площадь сечения проволоки, из которой изготовлена рамка, , а плотность материала проволоки . Ускорение свободного падения принять .

Решение:

Силы, действующие на отдельные отрезки рамки со стороны магнитного поля (силы Ампера ), изображены на рисунке а. Видно, что отклонение рамки от вертикали вызывает сила , приложенная к нижнему горизонтальному отрезку. Сила приложена к оси, на которой вращается рамка, а силы и действуют в плоскости рамки и могут вызвать только ее деформацию.
Таким образом, рамка находится в равновесии под действием сил, изображенных на рисунке б, где — сила Ампера, — масса рамки, — длина одной из ее сторон, — сила реакции оси. Уравнение моментов относительно оси вращения рамки имеет вид:

Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований получаем ответ:

Электромагнитная индукция. определения, понятия и законы

К оглавлению…

Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции

Английский физик М. Фарадей в 1831 г. обнаружил, что при изменении магнитного поля, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нем возникает электрический ток. Этот ток был назван индукционным током. В своих опытах Фарадей наблюдал возникновение индукционного тока в катушке из металлической проволоки при вдвигании в нее и выдвигании из нее постоянного магнита, а также при изменении силы тока во второй катушке, магнитное поле которой пронизывает первую катушку.
Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменениях магнитного поля, пронизывающего контур, называется электромагнитной индукцией.

Магнитный поток

Для количественного описания этого явления вводится понятие магнитного потока. Потоком магнитной индукции (магнитным потоком) через некоторую поверхность площадью называется величина

(3.4.1)
Рис. 3.4.1. К вычислению потока магнитной индукции

где — угол между вектором и нормалью к поверхности (рис. 3.4.1).
Поток магнитной индукции через контур с током будет положительным, если составляющая вектора вдоль нормали к контуру совпадает с положительным направлением нормали, и отрицательным, если составляющая противоположна положительному направлению нормали.
Для любого контура положительное направление нормали связано с положительным направлением обхода контура правилом буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению обхода, то перемещение буравчика укажет положительное направление нормали.

Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца

Появление электрического тока в замкнутом контуре при изменениях магнитного поля, пронизывающего контур, свидетельствует о действии в контуре сторонних сил неэлектрической природы, или о возникновении ЭДС индукции. Опыты показывают, что направление ЭДС индукции (и, следовательно, индукционного тока) зависит от того, возрастает или убывает магнитный поток через контур, а также от знака магнитного потока. Общее правило, позволяющее определить направление индукционного тока в контуре, было установлено в 1833 г. русским физиком Э.Х. Ленцем. Согласно правилу Ленца, возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать то изменение магнитного потока, которым вызван данный ток.
Экспериментальные исследования зависимости ЭДС индукции от характера изменения магнитного потока привели к установлению закона электромагнитной индукции’. При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в нем возникает ЭДС индукции , которая численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока:

(3.4.2)

где — изменение магнитного потока за время . Знак « —» отражает правило Ленца: если , то ЭДС индукции в контуре направлена против положительного направления обхода контура, если , то направление ЭДС индукции совпадает с положительным направлением обхода контура.

В Международной системе единиц закон электромагнитной индукции используют для установления единицы магнитного потока.

Эту единицу называют вебером (Вб) и определяют следующим образом: магнитный поток через площадь, ограниченную замкнутым контуром, равен 1 Вб, если при равномерном убывании этого потока до нуля за 1 с в контуре возникает ЭДС индукции 1B: 1 Вб = 1 В • 1 с.
Единицу магнитной индукции устанавливают на основе соотношения (3.4.1). Если вектор перпендикулярен поверхности S, то Ф = BS. Отсюда магнитная индукция равна единице, если она создает через площадь магнитный поток 1 Вб. Эту единицу магнитной индукции называют тесла (Тл): .

ЭДС индукции возникает как в неподвижном контуре, помещенном в изменяющееся магнитное поле, так и в проводнике, движущемся в магнитном поле, которое может не меняться со временем. Значение ЭДС индукции в обоих случаях определяется законом (3.4.2), но происхождение ЭДС различно.

Если магнитное поле постоянно во времени, но магнитный поток через контур изменяется из-за движения отдельных проводников, образующих контур, то причиной возникновения ЭДС индукции является сила Лоренца, действующая на свободные заряды в движущемся проводнике. При использовании закона электромагнитной индукции в форме (3.4.2) нужно иметь в виду, что изменение магнитного потока связано с изменением площади контура. При движении незамкнутого проводника в магнитном поле, на концах проводника также возникает ЭДС индукции, величина которой определяется магнитным потоком через площадь, «заметаемую» проводником в единицу времени. В частности, при движении в магнитном поле прямолинейного проводника длиной со скоростью , перпендикулярной проводнику, ЭДС индукции на концах проводника равна

(3.4.3)

где — проекция вектора магнитной индукции на направление, перпендикулярное скорости движения проводника.

Вихревое электрическое поле

Физической причиной возникновения ЭДС индукции в неподвижном контуре является действие вихревого электрического поля, всегда возникающего в пространстве при изменении магнитного поля. Работа вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда в проводнике и представляет собой ЭДС индукции.
Вихревое электрическое поле отличается от электростатического (кулоновского) поля тем, что оно создается не электрическими зарядами, а переменным магнитным полем, причем его силовые линии замкнуты сами на себя, а не начинаются и заканчиваются на зарядах, как в случае кулоновского поля. Работа вихревого электрического поля при перемещении заряда по замкнутой траектории отлична от нуля.

Самоиндукция. Индуктивность. ЭДС самоиндукции

Если магнитное поле вызвано током , протекающим по какому-либо контуру, то магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, пропорционален току, т. е. , где — индуктивность контура, которая зависит от его формы и размеров и от магнитных свойств окружающей среды. При изменении магнитного потока через контур вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру, в нем возникает ЭДС самоиндукции

(3.4.4)

Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура равна 1 Гн, если в нем при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В: 1 Гн = 1 В • 1 с/1 А.

Энергия магнитного поля

Для создания тока в контуре с индуктивностью необходимо совершить работу по преодолению ЭДС самоиндукции. Собственной энергией тока называется величина, равная этой работе. Если среда, в которой находится контур, не ферромагнитна, то

(3.4.5)

Собственная энергия тока сосредоточена в магнитном поле, созданном проводником с током, причем эта энергия распределена по всему пространству, где имеется магнитное поле. Энергия однородного магнитного поля, сосредоточенного в объеме изотропной и неферромагнитной среды,

(3.4.6)

Объемной плотностью энергии магнитного поля называется энергия, заключенная в единице объема поля

(3.4.7)

Это выражение справедливо не только для однородного поля, но и для произвольных, в том числе неоднородных в пространстве и переменных во времени магнитных полей.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача3.4.1.

Замкнутый проводник в виде прямоугольной трапеции находится в магнитном поле с индукцией Тл, направленной перпендикулярно плоскости трапеции от нас. Сопротивление единицы длины проводника Ом/м. Найти величину и направление тока , текущего в проводнике при равномерном уменьшении поля до нуля в течение . Размеры отрезков проводника .

Решение:

Для определения направления ЭДС индукции выберем нормаль к плоскости контура, совпадающую по направлению с магнитным полем (от нас). Тогда магнитный поток через контур будет положительным. Выбранной нормали соответствует направление обхода контура по часовой стрелке. Поскольку поле убывает со временем, изменение магнитного потока отрицательно: . Из закона электромагнитной индукции

вытекает, что ЭДС индукции положительна, т.е. направлена по часовой стрелке. Туда же будет направлен и индукционный ток. Величина тока определяется отношением ЭДС индукции и сопротивления проводника . Здесь — площадь трапеции, а — ее периметр. Окончательно получаем:

Ток течет по часовой стрелке.

Задача3.4.2.

Катушка из одинаковых витков с площадью присоединена к баллистическому гальванометру. Вначале катушка находилась между полюсами магнита в однородном магнитном поле с индукцией , параллельной оси катушки. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует. Какое количество электричества протекло через гальванометр? Сопротивление всей цепи .

Решение:

Магнитный поток, пронизывающий катушку в начальный момент, равен . Пусть катушка удаляется из магнитного поля за время . Поскольку изменение магнитного потока за это время , величина ЭДС индукции . Ток в цепи , протекший за время заряд Это количество электричества и будет зарегистрировано баллистическим гальванометром, который измеряет прошедший через него заряд.

Задача3.4.3.

При равномерном изменении силы тока через проволочную катушку в ней возникает ЭДС самоиндукции Е = 10 В. Катушка содержит N = 1000 витков. Какой заряд q протечет за время = 0,05 с через замкнутый проволочный виток, надетый на катушку так, что его плоскость перпендикулярна оси катушки? Сопротивление витка R = 0,2 Ом.

Решение:

Величина ЭДС самоиндукции равна , где — индуктивность катушки. Поскольку пропорционально числу витков катушки, индуктивность одного витка . Поэтому индукционный ток в витке . Заряд, протекший через виток за время .

Задача3.4.4.

По двум вертикальным проводящим рейкам АВ и CD (см. рисунок), находящимся на расстоянии и соединенным сопротивлением R, под действием силы тяжести начинает скользить проводник, длина которого и масса . Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости рисунка. Какова установившаяся скорость v движения проводника, если сопротивлением самого проводника и реек, а также трением можно пренебречь? Ускорение свободного падения .

Решение:

Предоставленный самому себе проводник начнет под действием силы тяжести двигаться вниз. В результате этого возникнет изменение магнитного потока через контур, образованный рейками, резистором и проводником, и, как следствие, ЭДС индукции и индукционный ток в контуре. Этот ток, протекая по подвижному проводнику, приведет к появлению силы Ампера , которая, как нетрудно убедиться, будет направлена против скорости проводника. Таким образом, уравнение движения проводника запишется следующим образом:

Учитывая, что , а , где — ЭДС индукции, находим, что величина силы Ампера пропорциональна скорости проводника :

Движение проводника установится, т.е. ускорение проводника обратится в ноль, когда сила Ампера сравняется по величине с силой тяжести. Объединяя записанные выражения, находим, что скорость установившегося движения .

Задача3.4.5.

В магнитном поле с индукцией = 1 Тл, направленной вертикально вниз, по горизонтальным рельсам равномерно движется проводящий стержень длины = 0,4 м со скоростью = 5 м/с. Концы рельсов присоединены к батарее с ЭДС = 10, 1 В и внутренним сопротивлением = 0, 1 Ом. Какое количество теплоты выделится в стержне за время = 10 с, если его сопротивление = 10 Ом? Сопротивлением рельсов и соединительных проводов пренебречь.

Решение:

При движении стержня возникает ЭДС индукции = , направление которой, как нетрудно убедиться, при конкретных условиях задачи противоположно направлению ЭДС источника. По закону Ома для полной цепи индукционный ток

Количество теплоты, выделяющееся в стержне за время . Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача3.4.6.

Прямоугольный контур .4ВСР перемещается поступательно с постоянной скоростью v в магнитном поле тока , текущего по длинному прямому проводу ОО’. Стороны AD и ВС параллельны проводу. Определить величину и направление тока, индуцированного в контуре в тот момент, когда сторона AD находится на расстоянии от провода. AD = ВС = а, АВ = DC = b. Сопротивление контура R.

Решение:

Линии магнитной индукции, создаваемой током , текущим в проводе ОО’, представляют собой концентрические окружности, охватывающие этот провод. Следовательно, магнитная индукция перпендикулярна плоскости контура и в занимаемой им области направлена от нас. Величина магнитной индукции в окрестности отрезков контура AD и ВС равна, соответственно:

При движении контура со скоростью на концах отрезков A.D и ВС возникает ЭДС индукции, обусловленная действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Направления сил Лоренца в обоих отрезках одинаковы: от D к А и от С к В, а величины создаваемых ими ЭДС индукции различны:

Очевидно, что , поэтому суммарная работа сил Лоренца положительна при обходе контура по часовой стрелке. В этом же направлении будет течь индукционный ток, величина которого

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача3.4.7.

По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости к замкнутым на конденсатор , может без трения двигаться проводник массой и длиной . Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией , направленной вверх. К середине проводника перпендикулярно ему и параллельно рейкам приложена сила . Определить ускорение подвижного проводника. Сопротивлением реек и подводящих проводов пренебречь. В начальный момент скорость проводника равна нулю.

Решение:

При движении проводника в контуре возникает ЭДС индукции Е, которая в каждый момент времени равна напряжению на конденсаторе , где — заряд конденсатора. Индукционный ток в контуре с одной стороны заряжает конденсатор, с другой — приводит к появлению силы Ампера, действующей на проводник в направлении, противоположном силе . Следовательно, уравнение движения проводника (второй закон Ньютона) имеет вид:

Поскольку , ток в контуре . Здесь точкой обозначена производная по времени и учтено, что ускорение проводника . Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача3.4.8.

Катушка индуктивностью с сопротивлением обмотки = 2 Ом подключена параллельно с резистором сопротивлением = 8 Ом к источнику с ЭДС = 6 В и внутренним сопротивлением = 0,2 Ом. Какое количество тепла выделится в сопротивлении после отключения источника?

Решение:

При замкнутом ключе через источник течет ток
Этот ток разветвляется на два тока и , протекающих, соответственно, через катушку и резистор и удовлетворяющих системе уравнений:

Отсюда

После отключения источника (размыкания ключа) возникающая в катушке ЭДС самоиндукции будет какое-то время поддерживать в цепи, образованной катушкой и резистором , ток

При этом полная мощность , выделяющаяся в этой цепи, распределится между катушкой и резистором пропорционально их сопротивлениям:

Следовательно, мощность, выделяющаяся на резисторе, составляет от полной мощности, выделяющейся в этой цепи, следующую долю:

Поскольку данное отношение мощностей не зависит от времени, очевидно, что такую же долю составит и энергия, выделившаяся на резисторе за время существования ЭДС самоиндукции, от полной энергии, выделившейся в цепи. В свою очередь, полная выделившаяся энергия равна энергии магнитного поля в катушке в момент отключения источника. Таким образом, количество тепла, выделившегося на резисторе после отключения источника, равно:

Подставляя в это равенство найденный ранее ток через катушку, получаем ответ:

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: