Курсовые работы по теории вероятности с решением

Оглавление:

В теории вероятностей первичными понятиями являются испытания и события. Пусть проводится некоторое испытание со случайным исходом. Множество всех возможных взаимоисключающих исходов данного испытания называется множеством элементарных событий. Совокупность всех элементарных событий называется достоверным событием. Всякое подмножество множества элементарных событий называется случайным событием.

Теория вероятностей

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Курсовые работы на темы: Вероятностные пространства. Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, — комбинаторикой. Сформулируем два универсальных правила, применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо Курсовая работа по теории вероятности действий. Если первое действие можно выполнить Курсовая работа по теории вероятности способами, второе действие — Курсовая работа по теории вероятности способами и так до Курсовая работа по теории вероятности -го действия, которое можно выполнить Курсовая работа по теории вероятности способами, то все Курсовая работа по теории вероятности действий могут быть выполнены Курсовая работа по теории вероятности способами.

Правило суммы. Пусть требуется выполнить одно из каких-либо Курсовая работа по теории вероятности действий, взаимно исключающих друг друга. Если первое действие можно выполнить Курсовая работа по теории вероятности способами, второе действие — Курсовая работа по теории вероятности способами и так до Курсовая работа по теории вероятности -го действия, которое можно выполнить Курсовая работа по теории вероятности способами, то выполнить одно из этих Курсовая работа по теории вероятности действий можно Курсовая работа по теории вероятности способами.

Напомним понятие факториала, активно используемое в комбинаторике. Факториалом натурального числа Курсовая работа по теории вероятности называется число

Курсовая работа по теории вероятности

По определению, факториалом нуля является единица:

Курсовая работа по теории вероятности

Рассмотрим некоторое множество Курсовая работа по теории вероятности, состоящее из Курсовая работа по теории вероятности различных элементов. Пусть Курсовая работа по теории вероятности. Назовём множество, состоящее из Курсовая работа по теории вероятности элементов, упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие число от 1 до Курсовая работа по теории вероятности, причём различным элементам множества соответствуют разные числа.

Размещениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов по к называются упорядоченные подмножества множества Курсовая работа по теории вероятности, состоящие из Курсовая работа по теории вероятности различных элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения.

Число размещений из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности равно

Курсовая работа по теории вероятности

Перестановками из Курсовая работа по теории вероятности элементов называются размещения из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности, т.е. упорядоченные подмножества множества Курсовая работа по теории вероятности, состоящие из всех элементов данного множества и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок из Курсовая работа по теории вероятности элементов равно

Курсовая работа по теории вероятности

Сочетаниями из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности называются подмножества множества Курсовая работа по теории вероятности, состоящие из Курсовая работа по теории вероятности различных элементов и отличающиеся друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности равно

Курсовая работа по теории вероятности

Размещениями с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности называются упорядоченные подмножества множества Курсовая работа по теории вероятности, состоящие из Курсовая работа по теории вероятности элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения.

Число размещений с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности равно

Курсовая работа по теории вероятности

Сочетаниями с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности называются подмножества множества Курсовая работа по теории вероятности, состоящие из Курсовая работа по теории вероятности элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающиеся друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов по Курсовая работа по теории вероятности равно

Курсовая работа по теории вероятности

Отметим, что формулы (1.4) — (1.7) сохраняют смысл и остаются справедливыми и при Курсовая работа по теории вероятности . Если во множестве Курсовая работа по теории вероятности, состоящем из Курсовая работа по теории вероятности элементов, есть только Курсовая работа по теории вероятности различных элементов, то перестановками с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов называются упорядоченные подмножества множества Курсовая работа по теории вероятности, в которые первый элемент множества Курсовая работа по теории вероятности входит Курсовая работа по теории вероятности раз, второй элемент — Курсовая работа по теории вероятности раз и так до Курсовая работа по теории вероятности -го элемента, который входит Курсовая работа по теории вероятности раз Курсовая работа по теории вероятности.

Число перестановок с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов, в которые первый элемент множества Курсовая работа по теории вероятности входит Курсовая работа по теории вероятности раз, второй элемент — Курсовая работа по теории вероятности раз и так до Курсовая работа по теории вероятности -го элемента, который входит Курсовая работа по теории вероятности раз Курсовая работа по теории вероятности, равно

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №1

  • Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 до 8 ч отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов опаздывает на лекцию. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию?

Решение:

Петя может доехать до института Курсовая работа по теории вероятности различными способами (на одном из пяти автобусов), при этом Маше остаётся только Курсовая работа по теории вероятности способа (так как один из автобусов занят Петей). Таким образом, по правилу произведения у Пети и Маши есть Курсовая работа по теории вероятности различных способов добраться до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию. □

  • В информационно-технологическом управлении банка работают три аналитика, десять программистов и 20 инженеров. Для сверхурочной работы в праздничный день начальник управления должен выделить одного сотрудника. Сколько способов существует у начальника управления?

Курсовая работа №2

Решение:

Начальник управления может отобрать одного аналитика Курсовая работа по теории вероятности способами, одного программиста — Курсовая работа по теории вероятности способами, а одного инженера — Курсовая работа по теории вероятности способами. Поскольку по условию задачи начальник управления может выделить любого из своих сотрудников, согласно правилу суммы у него существует Курсовая работа по теории вероятности различных способа выбрать сотрудника для сверхурочной работы. □

Курсовая работа №3

  • Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять десять охранников по десяти постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Чтобы оценить, возможно ли это, найти число различных комбинаций расстановки охранников.

Решение:

Первый способ. На первый пост начальник службы безопасности может назначить любого из Курсовая работа по теории вероятности охранников, на второй пост — любого из оставшихся Курсовая работа по теории вероятности охранников и так до девятого поста, на который можно назначить любого из оставшихся Курсовая работа по теории вероятности охранников, при этом оставшийся Курсовая работа по теории вероятности охранник будет назначен на десятый пост. Поэтому, согласно правилу произведения, у начальника службы безопасности есть Курсовая работа по теории вероятности способов расстановки охранников по постам. Поскольку количество дней в месяце не превышает 31, у начальника службы безопасности заведомо существует достаточное число способов расстановки своих подчинённых по постам.

Второй способ. Число способов расстановки десяти охранников по десяти постам, существующих у начальника службы безопасности, описывается числом перестановок из 10 элементов, т. е. Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №4

  • Новый президент банка должен назначить двух новых вице-президентов из числа десяти директоров. Сколько способов существует у президента, если: а) один из вице-президентов (первый) выше другого по должности; б) вице-президенты по должности равны между собой.

Решение:

Первый способ, а) Первого вице-президента можно выбрать из Курсовая работа по теории вероятности претендентов, при этом на пост второго вице-президента будут претендовать Курсовая работа по теории вероятности оставшихся директоров. Поэтому, согласно правилу произведения, у нового президента банка есть Курсовая работа по теории вероятности способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров, б) Пусть первое действие заключается в том, что президент отбирает двух человек на должности вице-президентов, а второе действие — в том, что президент говорит отобранным людям, кто из них является первым вице-президентом, а кто — вторым. Пусть первое действие можно выполнить Курсовая работа по теории вероятности способами, второе действие, очевидно, можно выполнить Курсовая работа по теории вероятности способами, и по правилу произведения число способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров составляет Курсовая работа по теории вероятности. С другой стороны, в пункте а) мы нашли это число, и оно оказалось равным 90, поэтому Курсовая работа по теории вероятности.

Второй способ, а) Число способов выбора двух кандидатов на две различные должности из десяти претендентов описывается числом размещений из 10 элементов по 2, т. е. Курсовая работа по теории вероятности. б) Число способов выбора двух кандидатов на две одинаковые должности из десяти претендентов описывается числом сочетаний из 10 элементов по 2, т. е. Курсовая работа по теории вероятности. □

Курсовая работа №5

  • Маша очень любит пирожные и ежедневно в булочной рядом с институтом покупает шесть пирожных (одинаковых или разных). Всего в булочной продаётся 11 сортов пирожных. Сколькими способами Маша может выбрать из них шесть штук?

Решение:

Каждому набору пирожных, которые выберет Маша, будем ставить в соответствие последовательность нулей и единиц, определяемую по следующему правилу. Напишем подряд столько единиц, сколько пирожных первого вида выбрала Маша, далее поставим нуль и после него запишем количество отобранных пирожных второго вида и т. д. Например, комбинации «одно пирожное второго вида, три пирожных пятого вида и одно пирожное восьмого вида» соответствует такая последовательность: «010001110001000» (нули отделяют виды пирожных друг от друга, поэтому нуль после одиннадцатого вида не нужен). При этом каждому набору пирожных взаимно однозначным образом соответствует последовательность, построенная по описанному правилу. Все такие последовательности состоят, очевидно, из 16 знаков, причём 10 из них нули, которые могут занимать любое место. Поэтому количество способов выбора пирожных равно количеству всех таких последовательностей, т. е. числу размещений десяти нулей по 16 местам: Курсовая работа по теории вероятности. □

Курсовая работа №6

  • Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «мама»? Выписать все эти слова.

Решение:

Число различных слов, которые можно составить, переставляя буквы в слове «мама», описывается числом перестановок с повторениями из Курсовая работа по теории вероятности элементов (букв в слове «мама»), в которые первый элемент (буква «м») входит Курсовая работа по теории вероятности раза, а второй элемент (буква «а») — Курсовая работа по теории вероятности раза Курсовая работа по теории вероятности. Это число равно Курсовая работа по теории вероятности. Шесть различных слов, получающиеся перестановками букв в слове «мама», таковы: «ммаа», «мама», «маам», «амма», «амам», «аамм».

Курсовые работы на темы: Исчисление событий

Случайное событие Курсовая работа по теории вероятности, связанное с опытом Курсовая работа по теории вероятности, — это такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта Курсовая работа по теории вероятности, причём заранее, до проведения опыта, неизвестно, произойдёт оно или нет. Всюду в дальнейшем при рассмотрении случайных событий мы будем опускать слово «случайное». Достоверным событием, связанным с опытом Курсовая работа по теории вероятности, называется такое событие Курсовая работа по теории вероятности, которое обязательно произойдёт в результате опыта Курсовая работа по теории вероятности. Невозможным событием, связанным с опытом Курсовая работа по теории вероятности, называется такое событие Курсовая работа по теории вероятности, которое обязательно не произойдёт в результате опыта Курсовая работа по теории вероятности.

Над событиями Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности, связанными с одним и тем же опытом Курсовая работа по теории вероятности, определены следующие операции.

Событие Курсовая работа по теории вероятности влечёт за собой событие Курсовая работа по теории вероятности (или событие Курсовая работа по теории вероятности вложено в событие Курсовая работа по теории вероятности), если каждое появление события Курсовая работа по теории вероятности сопровождается появлением события Курсовая работа по теории вероятности. Это обозначается как Курсовая работа по теории вероятности . События Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называют эквивалентными, если Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности. Эквивалентность обозначается как Курсовая работа по теории вероятности.

Объединением (или суммой) событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называется событие Курсовая работа по теории вероятности (или Курсовая работа по теории вероятности), которое наступает всегда, когда наступает либо событие Курсовая работа по теории вероятности, либо событие Курсовая работа по теории вероятности.

Пересечением (или произведением) событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называется событие Курсовая работа по теории вероятности (или Курсовая работа по теории вероятности), которое наступает всегда, когда события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности наступают одновременно.

Дополнением события Курсовая работа по теории вероятности до события Курсовая работа по теории вероятности (или разностью событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности) называется событие Курсовая работа по теории вероятности, которое наступает всегда, когда наступает событие Курсовая работа по теории вероятности, и при этом не наступает событие Курсовая работа по теории вероятности.

Противоположным событию Курсовая работа по теории вероятности называется событие Курсовая работа по теории вероятности (читается «не Курсовая работа по теории вероятности »), которое наступает всегда, когда событие А не наступает.

События Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называются несовместными, если Курсовая работа по теории вероятности, т. е. если в результате опыта события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности не могут наступить одновременно.

Говорят, что события Курсовая работа по теории вероятности образуют полную группу, если они попарно несовместны Курсовая работа по теории вероятности и их объединение эквивалентно достоверному событию Курсовая работа по теории вероятностиКурсовая работа по теории вероятности.

Случайное событие Курсовая работа по теории вероятности, связанное с опытом Курсовая работа по теории вероятности, которое невозможно представить как объединение или пересечение более простых событий, связанных с тем же опытом, называется элементарным событием. Очевидно, достоверное событие Курсовая работа по теории вероятности — это множество всех элементарных событий (поэтому Курсовая работа по теории вероятности называют ещё пространством элементарных событий), а невозможное событие Курсовая работа по теории вероятности — это пустое множество. Любое событие, связанное с опытом Курсовая работа по теории вероятности, можно представить как некоторое подмножество достоверного события Курсовая работа по теории вероятности, т. е. как множество некоторых элементарных событий.

Курсовая работа по теории вероятности

Для наглядного представления событий, операций над событиями и отношений между ними используются диаграммы Вьенна — Эйлера (рис. 1.1). На этих диаграммах достоверное событие Курсовая работа по теории вероятности изображается в виде некоторой области на плоскости, элементарные события Курсовая работа по теории вероятности — точками внутри области, соответствующей Курсовая работа по теории вероятности. При этом любому случайному событию Курсовая работа по теории вероятности будет соответствовать некоторая геометрическая фигура внутри области, соответствующей Курсовая работа по теории вероятности (рис- 1-1а). Объединение Курсовая работа по теории вероятности событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности состоит из всех элементарных событий, принадлежащих, по крайней мере, одному из событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности (рис. 1.16). Пересечение Курсовая работа по теории вероятности событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности состоит из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно обоим событиям Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности (рис. 1.1в). Дополнение Курсовая работа по теории вероятности события Курсовая работа по теории вероятности до события Курсовая работа по теории вероятности состоит из всех элементарных событий, принадлежащих событию А и при этом не принадлежащих событию Курсовая работа по теории вероятности (рис. 1.1г). Событие Курсовая работа по теории вероятности, противоположное событию Курсовая работа по теории вероятности, состоит из всех элементарных событий, не принадлежащих событию Курсовая работа по теории вероятности (рис. 1.1д). Несовместные события не имеют общих элементарных событий (рис. l.le). Полная группа событий представлена на рис. 1.1ж. Событие Курсовая работа по теории вероятности влечёт за собой событие Курсовая работа по теории вероятности, если все элементарные события, входящие в Курсовая работа по теории вероятности, входят и в Курсовая работа по теории вероятности (рис. 1.1з).

Курсовая работа №7

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

Курсовая работа по теории вероятности

Известно, что Курсовая работа по теории вероятности. Найти

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Решение. Событие Курсовая работа по теории вероятности заштриховано на рис. 1.2а, событие Курсовая работа по теории вероятности — на рис. 1.2б, откуда следует, очевидно, что

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №8

  • Проверить, являются ли события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности (где Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности — произвольные события) несовместными.

Решение:

Курсовая работа по теории вероятности = {по правилу де Моргана} = Курсовая работа по теории вероятности = {по свойству ассоциативности пересечения} = Курсовая работа по теории вероятности = , значит, события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности являются несовместными.

Курсовые работы на темы: Классическое определение вероятности

Вероятность наступления события характеризует меру возможности наступления этого события при проведении опыта. Если множество элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности конечно, и все элементарные события одинаково возможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность Курсовая работа по теории вероятности наступления события Курсовая работа по теории вероятности, состоящего из Курсовая работа по теории вероятности элементарных событий, входящих в Курсовая работа по теории вероятности, определяется как отношение числа Курсовая работа по теории вероятности элементарных событий, благоприятствующих наступлению события Курсовая работа по теории вероятности, к общему числу Курсовая работа по теории вероятности элементарных событий. Эта формула носит название классического определения вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

В частности, согласно классическому определению вероятности,

Курсовая работа по теории вероятности

Частным случаем классической вероятностной схемы является урновая схема: в урне содержится Курсовая работа по теории вероятности шаров, среди которых Курсовая работа по теории вероятности белых и Курсовая работа по теории вероятности чёрных; из урны наугад без возвращения извлекаются Курсовая работа по теории вероятности шаров, тогда вероятность Курсовая работа по теории вероятности того, что в выборке содержится ровно Курсовая работа по теории вероятности белых шаров и Курсовая работа по теории вероятности чёрных, вычисляется по формуле гипергеометрической вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

В случае, когда множество элементарных событий бесконечно и даже несчётно (но эти события являются одинаково возможными), вероятность наступления события можно рассчитать, пользуясь геометрическим определением вероятности, которое состоит в следующем. Пусть множество элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности представляет собой некоторую область в Курсовая работа по теории вероятности -мерном пространстве, имеющую ненулевой объём:

Курсовая работа по теории вероятности

При этом каждому элементарному событию соответствует точка

Курсовая работа по теории вероятности

а каждое событие Курсовая работа по теории вероятности представляет собой область, вложенную в Курсовая работа по теории вероятности и имеющую объём

Курсовая работа по теории вероятности

Тогда, согласно геометрическому определению вероятности, вероятность Курсовая работа по теории вероятности наступления события Курсовая работа по теории вероятности можно рассчитать как отношение объёма Курсовая работа по теории вероятности области Курсовая работа по теории вероятности к объёму Курсовая работа по теории вероятности области Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Если элементарные события не являются одинаково возможными, для приближённого вычисления вероятностей можно использовать относительные частоты. Пусть в результате Курсовая работа по теории вероятности -кратного проведения опыта Курсовая работа по теории вероятности событие Курсовая работа по теории вероятности наступило Курсовая работа по теории вероятности раз. Назовём относительной частотой Курсовая работа по теории вероятности появления события Курсовая работа по теории вероятности в серии из Курсовая работа по теории вероятности опытов Курсовая работа по теории вероятности отношение числа Курсовая работа по теории вероятности наступлений события Курсовая работа по теории вероятности к общему числу Курсовая работа по теории вероятности проведённых опытов:

Курсовая работа по теории вероятности

При этом вероятность Курсовая работа по теории вероятности наступления события Курсовая работа по теории вероятности будет равна пределу относительной частоты наступления этого события в серии из Курсовая работа по теории вероятности опытов при неограниченном увеличении числа опытов:

Курсовая работа по теории вероятности

На практике в этом случае вероятность рассчитывают при помощи приближённого равенства

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №9

  • В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынимают одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.

Решение:

Пусть опытом будет извлечение яблока из корзины, а событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что извлечённое из корзины яблоко окажется красным. Тогда общее число элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности, из которых Курсовая работа по теории вероятности элементарных события благоприятствуют наступлению события Курсовая работа по теории вероятности.

Согласно классическому определению вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №10

  • Трое играют в карты. Каждому игроку сдано но десять карт и две оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках шесть карт бубновой масти, а четыре — других мастей. Он сбрасывает две карты из этих четырёх и берёт себе прикуп. Найти вероятность того, что в прикупе окажутся две бубновые карты.

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что в прикупе окажутся две бубновые карты. Из 32 карт игроку известны десять, а остальные 22 неизвестны. Взять две карты из прикупа — это то же самое, что взять их из 22 неизвестных карт, среди которых две бубновые. Поэтому общее число элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности, из которых лишь Курсовая работа по теории вероятности элементарное событие благоприятствует наступлению события Курсовая работа по теории вероятности. Согласно классическому определению вероятности,

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №11

  • В партии, состоящей из 1 ООО изделий, четыре изделия имеют дефекты. Для контроля отбираются 100 изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий не окажется бракованных.

Решение:

По формуле гипергеометрической вероятности (1.31)

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №12

  • Двери лифта закрылись на первом этаже прямо перед Петей, который успел только заметить, что в лифт вошли шесть человек. В общежитии семь этажей, и лифт, если откроет на каком-либо из них двери, стоит там целую минуту. Петя живёт на седьмом этаже и очень не хочет идти по лестнице. Он размышляет, каковы вероятности следующих событий: а) все шестеро выйдут на одном этаже; б) все шестеро выйдут на разных этажах. Найти эти вероятности.

Решение:

а) Опыт, за которым наблюдает Петя, состоит в том, что люди выходят из лифта произвольным образом: каждый из шести человек может выйти на любом из шести этажей (со второго по седьмой). Общее число исходов этого опыта Курсовая работа по теории вероятности (первый человек может выйти на любом из шести этажей, второй — также на любом из шести этажей и так до шестого человека; все эти шесть шестёрок перемножаются по правилу произведения). Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что все шесть человек выйдут на одном и том же этаже, тогда число исходов описанного опыта, благоприятствующих наступлению события Курсовая работа по теории вероятности, равно Курсовая работа по теории вероятности (всего есть шесть этажей).

Поэтому, согласно классическому определению вероятности,

Курсовая работа по теории вероятности

смотрим тот же опыт, что и в п. а). Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что все шесть человек выйдут на разных этажах, тогда число исходов опыта, благоприятствующих наступлению события Курсовая работа по теории вероятности, равно Курсовая работа по теории вероятности (число перестановок шести людей по шести этажам). По классической формуле вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №13

  • Чтобы добраться в институт, Петя может воспользоваться автобусом одного из двух маршрутов. Автобусы первого маршрута следуют с интервалом в 18 мин, второго маршрута — с интервалом в 15 мин. Найти вероятность того, что Петя будет ждать автобуса не более 10 мин.
Курсовая работа по теории вероятности

Решение:

Выберем в качестве множества элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности прямоугольник со сторонами Курсовая работа по теории вероятности (рис. 1.3). Событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что время, которое Петя будет ждать автобуса, меньше Курсовая работа по теории вероятности. Элементарные события, благоприятствующие наступлению события Курсовая работа по теории вероятности, заштрихованы на рис. 1.3. Поэтому, согласно геометрическому определению вероятности,

Курсовая работа по теории вероятности

При

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №14

  • Рыбаки поймали в пруду 100 рыб, окольцевали их и выпустили назад в воду. На следующий день они поймали 120 рыб, из которых 10 оказались окольцованными. Найти: а) вероятность того, что выловленная рыба окольцована; б) количество рыб в пруду.

Решение:

Пусть Курсовая работа по теории вероятности — число рыб в пруду, Курсовая работа по теории вероятности — число окольцованных рыб в пруду, событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что выловленная рыба окольцована. Тогда вероятность события Курсовая работа по теории вероятности равна, согласно классическому определению, Курсовая работа по теории вероятности с другой стороны, поскольку из 120 выловленных рыб Курсовая работа по теории вероятности оказались окольцованы, вероятность события Курсовая работа по теории вероятности приближённо равна его относительной частоте:

Курсовая работа по теории вероятности

Отсюда

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовые работы на темы: Аксиоматическое построение теории вероятностей

Класс S подмножеств множества элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности называется полем событий (алгеброй событий), если он содержит достоверное событие Курсовая работа по теории вероятности, а также замкнут относительно операций объединения (если Курсовая работа по теории вероятности, то Курсовая работа по теории вероятности), пересечения (если Курсовая работа по теории вероятности, то Курсовая работа по теории вероятности) и дополнения (если Курсовая работа по теории вероятности, то Курсовая работа по теории вероятности). Поле событий Курсовая работа по теории вероятности называется Курсовая работа по теории вероятности-полем (Курсовая работа по теории вероятности -алгеброй), если объединение и пересечение бесконечной (счётной) последовательности событий Курсовая работа по теории вероятности также принадлежат полю Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

При аксиоматическом построении теории вероятностей в каждом конкретном пространстве элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности выделяется Курсовая работа по теории вероятности -поле событий Курсовая работа по теории вероятности, и для каждого события Курсовая работа по теории вероятности задаётся вероятность — числовая функция, определённая на Курсовая работа по теории вероятности -поле событий Курсовая работа по теории вероятности и удовлетворяющая следующим аксиомам.

Аксиома неотрицательности вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Аксиома нормированности вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Аксиома аддитивности вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Во многих случаях вместо аксиомы аддитивности вероятности требуется её расширенный вариант, называемый аксиомой счётной аддитивности вероятности.

Аксиома счётной аддитивности вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Каждая определённая теоретико-вероятностная схема задаётся тройкой Курсовая работа по теории вероятности где Курсовая работа по теории вероятности — конкретное пространство элементарных событий, Курсовая работа по теории вероятностиКурсовая работа по теории вероятности-поле событий, выделенное на Курсовая работа по теории вероятности — вероятность, заданная на Курсовая работа по теории вероятности-поле Курсовая работа по теории вероятности. Тройка Курсовая работа по теории вероятности называется вероятностным пространством. Из аксиом (1.36) — (1.38) следуют следующие свойства вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

В случае Курсовая работа по теории вероятности обобщённая теорема сложения вероятностей имеет следующий вид:

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №15

  • Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Найти вероятность того, что курс евро или доллара но отношению к рублю возрастёт.

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, курс евро к рублю возрастёт, а событие Курсовая работа по теории вероятности — в том, что курс доллара к рублю возрастёт. Тогда по условию

Курсовая работа по теории вероятности

Вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастёт, по теореме сложения вероятностей составляет

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №16

  • Результаты опроса 1 000 случайно отобранных молодых людей таковы:
Курсовая работа по теории вероятности

Определить, содержится ли в этой информации ошибка.

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что случайно выбранный молодой человек работает, событие Курсовая работа по теории вероятности — в том, что случайно выбранный молодой человек проживает в Москве, событие Курсовая работа по теории вероятности — в том, что случайно выбранный молодой человек учится. Так как Курсовая работа по теории вероятности достаточно велико, можно воспользоваться статистическим определением вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

По формуле

Курсовая работа по теории вероятности

Но вероятность не может быть больше единицы, следовательно, в данной информации содержится ошибка. □

Курсовая работа №17

  • Известно, что пять из сорока пассажиров самолёта замешаны в похищении крупной денежной суммы. В аэропорту к трапу самолёта подошёл инспектор уголовного розыска и заявил, что для обнаружения хотя бы одного преступника ему достаточно произвести обыск у шести наугад выбранных пассажиров. Что руководило инспектором: трезвый расчёт или риск?

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что среди шести случайно выбранных пассажиров есть хотя бы один преступник, событие Курсовая работа по теории вероятности — в том, что среди шести случайно выбранных пассажиров нет ни одного преступника. Тогда, используя формулу гипергеометрической вероятности (1.31), в которой

Курсовая работа по теории вероятности

получим:

Курсовая работа по теории вероятности

поэтому

С40 2 1

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Видимо, это и побудило инспектора назвать число «шесть», хотя, на взгляд авторов, инспектор, скорее, рискует «пятьдесят на пятьдесят». □

Курсовая работа №18

  • Доказать, что если класс Курсовая работа по теории вероятности подмножеств множества элементарных событий замкнутый относительно операции дополнения, замкнут относительно операции объединения, то он замкнут и относительно операции пересечения.

Решение:

По условию, если Курсовая работа по теории вероятности, то Курсовая работа по теории вероятности (так как Курсовая работа по теории вероятности замкнут относительно операции дополнения). Так как Курсовая работа по теории вероятности (так как Курсовая работа по теории вероятности замкнут относительно операции объединения). Так как Курсовая работа по теории вероятности (так как Курсовая работа по теории вероятности замкнут относительно операции дополнения). Но согласно правилу де Моргана Курсовая работа по теории вероятности, поэтому Курсовая работа по теории вероятности, т. е. класс Курсовая работа по теории вероятности замкнут относительно операции пересечения. □

Курсовые работы на темы: Условные вероятности. Последовательности испытаний

Как уже было отмечено, говорить о вероятности наступления какого-либо события как о мере возможности наступления этого события можно лишь при выполнении определённого комплекса условий опыта. Так, если к комплексу условий, при которых изучалась вероятность наступления события Курсовая работа по теории вероятности, добавить условие наступления события Курсовая работа по теории вероятности, получим другое значение вероятности Курсовая работа по теории вероятности — вероятность наступления события Курсовая работа по теории вероятности при условии, что событие Курсовая работа по теории вероятности произошло (или условная вероятность события Курсовая работа по теории вероятности при условии Курсовая работа по теории вероятности), которая равна по определению

Курсовая работа по теории вероятности

Иногда вместо обозначения Курсовая работа по теории вероятности используют обозначение

Курсовая работа по теории вероятности

Вероятность Курсовая работа по теории вероятности, в отличие от условной вероятности Курсовая работа по теории вероятности, называется безусловной. Из определения условной вероятности (2.1) следует формула умножения вероятностей

Курсовая работа по теории вероятности

остающаяся справедливой и в случае, когда

Курсовая работа по теории вероятности

Говорят, что события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности являются независимыми, если

Курсовая работа по теории вероятности

Формулу (2.3) для независимых событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называют теоремой умножения вероятностей. Очевидно, при Курсовая работа по теории вероятности теорема умножения вероятностей (2.3) означает, что условная вероятность события Курсовая работа по теории вероятности при условии Курсовая работа по теории вероятности совпадает с безусловной вероятностью события Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Формулу умножения вероятностей легко обобщить на случай произвольного конечного числа событий:

Курсовая работа по теории вероятности

События Курсовая работа по теории вероятности называются независимыми в совокупности, если для любого их подмножества Курсовая работа по теории вероятности вероятность одновременного наступления событий Курсовая работа по теории вероятности равна произведению безусловных вероятностей этих событий:

Курсовая работа по теории вероятности

Если условие (2.6) выполняется только при Курсовая работа по теории вероятности, то события Курсовая работа по теории вероятности называются попарно независимыми.

Следует обратить внимание на следующие факты:

• из условия несовместности не следует условие независимости;

• из условия независимости не следует условие несовместности;

• из условия независимости в совокупности следует попарная независимость, но из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Если события Курсовая работа по теории вероятностинезависимы в совокупности, то из обобщённой теоремы сложения вероятностей следует, что

Курсовая работа по теории вероятности

Если события Курсовая работа по теории вероятности образуют полную группу, то для вычисления вероятности произвольного события Курсовая работа по теории вероятности можно использовать формулу полной вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

в соответствии с которой вероятность наступления события Курсовая работа по теории вероятности может быть представлена как сумма произведений условных вероятностей события Курсовая работа по теории вероятности при условии наступления событий Курсовая работа по теории вероятности на безусловные вероятности этих событий Курсовая работа по теории вероятности. Поскольку среди событий Курсовая работа по теории вероятности, образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно, эти события Курсовая работа по теории вероятности называют гипотезами

Курсовая работа по теории вероятности

Формула полной вероятности (2.8) остаётся справедливой и в случае, если условие, состоящее в том, что события Курсовая работа по теории вероятности образуют полную группу, заменить более слабым: гипотезы Курсовая работа по теории вероятности попарно несовместны Курсовая работа по теории вероятности, а их объединение содержит событие

Курсовая работа по теории вероятности

Из формулы полной вероятности следует формула Байеса:

Курсовая работа по теории вероятности

Вероятности Курсовая работа по теории вероятности гипотез Курсовая работа по теории вероятности называют априорными вероятностями (вероятностями гипотез Курсовая работа по теории вероятности до проведения опыта) в отличие от апостериорных вероятностей Курсовая работа по теории вероятности (вероятностей гипотез Курсовая работа по теории вероятности уточнённых в результате опыта, исходом которого стало событие Курсовая работа по теории вероятности).

Курсовая работа №19

  • Известно, что
Курсовая работа по теории вероятности

Найти

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

и выяснить, зависимы ли события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности.

Решение:

По теореме сложения вероятностей

Курсовая работа по теории вероятности

откуда

Курсовая работа по теории вероятности

По определению условной вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Для того, чтобы события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности были независимыми, необходимо выполнение теоремы умножения вероятностей:

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

В нашем случае

Курсовая работа по теории вероятности

т. е. теорема умножения вероятностей не выполняется, значит, события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности являются зависимыми. □

Курсовая работа №20

  • Пусть события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности попарно независимы, причём каждое из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы. Проверить, могут ли события Курсовая работа по теории вероятностиКурсовая работа по теории вероятностибыть: а) попарно независимыми; б) независимыми в совокупности.

Решение:

а) Рассмотрим следующие события в условиях задачи 47: событие Курсовая работа по теории вероятности, заключающееся в том, что утечка газа происходит ближе к станции Курсовая работа по теории вероятности, чем к Курсовая работа по теории вероятности, событие Курсовая работа по теории вероятности, заключающееся в том, что утечка расположена между 50-м и 150-м километрами, и событие Курсовая работа по теории вероятности, состоящее в том, что утечка расположена между отметками 12,5 км и 62,5 км либо между 112,5 км и 162,5 км. Тогда, согласно геометрическому определению вероятности,

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

значит, события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности попарно независимы. При этом, очевидно,

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Аналогично получаем равенства

Курсовая работа по теории вероятности

т. е. события Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности являются независимыми в совокупности, б) Независимость в совокупности означает, во-первых, что

Курсовая работа по теории вероятности

и, во-вторых, что

Курсовая работа по теории вероятности

Поэтому

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

но это равенство невозможно, так как вероятности событий Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности отличны от нуля и единицы. Поэтому события

Курсовая работа по теории вероятности

не могут быть независимыми в совокупности. □

Курсовая работа №21

  • Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% — государственные органы, 20% — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Апостериорные вероятности, в свою очередь, по условию равны

Курсовая работа по теории вероятности

По формуле полной вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №22

  • В условиях задачи 105 начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк.

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Апостериорные вероятности, в свою очередь, равны по условию

Курсовая работа по теории вероятности

По формуле Байеса

Курсовая работа по теории вероятности

где вероятность

Курсовая работа по теории вероятности

была рассчитана по формуле полной вероятности в задаче 105. □

Курсовая работа №23

Задача о разорении. Петя с папой играют в следующую игру. Петя бросает монету, предварительно сообщив папе, какая сторона, по его мнению, выпадет: «герб» или «решётка». Если Петя угадал, то папа платит Пете 1 руб., в противном случае Петя платит папе 1 руб. Начальный капитал Пети составляет Курсовая работа по теории вероятности руб. Игра продолжается до тех пор, пока Петя не наберёт заранее определённую сумму Курсовая работа по теории вероятности, либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал Курсовая работа по теории вероятности. Найти вероятность того, что Петя разорится, так и не набрав желаемую сумму, если эта сумма Курсовая работа по теории вероятности составляет: а) 110 руб; б) 1 000 руб.

Решение:

Пусть Курсовая работа по теории вероятности — вероятность того, что, имея Курсовая работа по теории вероятности руб., Петя всё-таки разорится, событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в Петином разорении, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что Петя выиграл на первом шаге игры, гипотеза Курсовая работа по теории вероятности — в том, что Петя проиграл на первом шаге игры. При этом, очевидно, вероятность разорения при условии выигрыша на первом шаге составит

Курсовая работа по теории вероятности

а вероятность разорения при условии проигрыша на первом шаге составит

Курсовая работа по теории вероятности

Согласно классическому определению вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

По формуле полной вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

При этом, очевидно,

Курсовая работа по теории вероятности

Решением уравнения

Курсовая работа по теории вероятности

является линейная функция

Курсовая работа по теории вероятности

коэффициенты которой Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности найдём из условий

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Таким образом,

Курсовая работа по теории вероятности

В случае а)

Курсовая работа по теории вероятности

поэтому

Курсовая работа по теории вероятности

а в случае б)

Курсовая работа по теории вероятности

поэтому

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовые работы на темы: Последовательности испытаний

Пусть проводится конечное число Курсовая работа по теории вероятности последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие Курсовая работа по теории вероятности может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не наступить (такую ситуацию назовём неудачей), причём эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

  • каждое испытание случайно относительно события Курсовая работа по теории вероятности, т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится Курсовая работа по теории вероятности или нет;
  • испытания проводятся в одинаковых, с вероятностной точки зрения, условиях, т. е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна Курсовая работа по теории вероятности и не меняется от испытания к испытанию;
  • испытания независимы, т. е. события Курсовая работа по теории вероятности где Курсовая работа по теории вероятности— состоит в успехе на Курсовая работа по теории вероятности-м испытании Курсовая работа по теории вероятности, независимы в совокупности.

Такая последовательность испытаний называются схемой Бернулли или биномиальной схемой, а сами испытания — испытаниями Бернулли.

Вероятность Курсовая работа по теории вероятности того, что в серии из Курсовая работа по теории вероятности испытаний Бернулли окажется ровно Курсовая работа по теории вероятности успешных, рассчитывается по формуле Бернулли:

Курсовая работа по теории вероятности

Наивероятнейшее число Курсовая работа по теории вероятности успехов в серии из Курсовая работа по теории вероятности испытаний Бернулли удовлетворяет неравенствам

Курсовая работа по теории вероятности

В случае, когда число Курсовая работа по теории вероятности испытаний Бернулли велико, расчёты по формуле Бернулли становятся затруднительными. Если при этом вероятность Курсовая работа по теории вероятности успеха в каждом испытании мала, так что можно считать, что

Курсовая работа по теории вероятности

для расчёта Курсовая работа по теории вероятности можно пользоваться приближённой формулой Пуассона:

Курсовая работа по теории вероятности

где

Курсовая работа по теории вероятности

На практике формулой Пуассона пользуются в случае, когда число Курсовая работа по теории вероятности испытаний Бернулли — несколько десятков или более, а произведение Курсовая работа по теории вероятности. В случае, когда Курсовая работа по теории вероятности велико, а Курсовая работа по теории вероятности, формула Пуассона даёт очень грубое приближение, и для расчёта Курсовая работа по теории вероятности используют локальную и интегральную теоремы Муавра — Лапласа (см. §4.4).

От схемы последовательных независимых испытаний с двумя исходами (биномиальной схемы) можно перейти к полиномиальной схеме, т. е. схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможно Курсовая работа по теории вероятности исходов с вероятностями Курсовая работа по теории вероятности соответственно

Курсовая работа по теории вероятности

В полиномиальной схеме вероятность

Курсовая работа по теории вероятности

того, что в серии из Курсовая работа по теории вероятности испытаний первый исход появится ровно Курсовая работа по теории вероятности раз, второй исход появится ровно Курсовая работа по теории вероятности раз и так до Курсовая работа по теории вероятности -го исхода, который появится ровно Курсовая работа по теории вероятности раз, рассчитывается по формуле

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №24

  • Известно, что из числа зрителей определённой телепрограммы 70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трёх наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока. Рассчитать вероятности числа лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.

Решение:

Вероятность того, что наугад выбранный зритель данной телепрограммы смотрит и рекламные блоки, согласно статистическому определению вероятности, равна Курсовая работа по теории вероятности. Интерпретируя опрос трёх телезрителей как три испытания Бернулли и считая успехом ситуацию, когда телезритель смотрит рекламные блоки, найдём искомые вероятности по формуле Бернулли (2.10), в которой

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №25

  1. В условиях предыдущей задачи найти наивероятнейшее число лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.

Решение:

Наивероятнейшее число Курсовая работа по теории вероятности лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки, подчиняется неравенствам (2.11):

Курсовая работа по теории вероятности

в которых

Курсовая работа по теории вероятности

откуда

Курсовая работа по теории вероятности

Это подтверждается и решением предыдущей задачи. □

Курсовая работа №26

  • Из 1 000 опрошенных 700 человек поддерживают некоторую правительственную программу. Найти минимальную численность группы, в которой с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один респондент не поддерживает эту программу.

Решение:

Пусть численность группы равна Курсовая работа по теории вероятности. Будем интерпретировать опрос группы из Курсовая работа по теории вероятности человек как испытания Бернулли, считая успехом то, что случайно выбранный респондент поддерживает правительственную программу. Согласно статистическому определению вероятности, вероятность успеха равна

Курсовая работа по теории вероятности

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что в группе из Курсовая работа по теории вероятности человек хотя бы один не поддерживает правительственную программу, тогда событие Курсовая работа по теории вероятности означает, что в группе из Курсовая работа по теории вероятности человек все Курсовая работа по теории вероятности поддерживают эту программу.

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

По условию вероятность Курсовая работа по теории вероятности должна быть не меньше 0,9, поэтому 1

Курсовая работа по теории вероятности

Чтобы найти минимальное значение Курсовая работа по теории вероятности, при котором выполняется это неравенство, будем последовательно подставлять в него числа 1, 2, 3 и т.д., пока неравенство не удовлетворится:

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

Видно, что неравенство Курсовая работа по теории вероятности не выполняется при Курсовая работа по теории вероятности, но выполняется при Курсовая работа по теории вероятности, поэтому минимальная численность группы, в которой с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один респондент не поддерживает эту программу, равна 7 чел. □

Курсовая работа №27

  • Задача о разделе ставки. Петя и Маша часто играют в бильярд друг с другом, причём Петя выигрывает в два раза чаще, чем Маша. Исходя из этого, они оценили свои вероятности победить как Курсовая работа по теории вероятности для Пети и Курсовая работа по теории вероятности для Маши и начали турнир на следующих условиях: каждый выигрыш приносит одно очко, Петя для победы должен набрать двенадцать очков, а Маша — шесть. После того, как Петя набрал восемь очков, а Маша — четыре, игру пришлось прекратить, и победу решили присудить тому, у кого вероятность окончательного выигрыша больше. Определить, кому присудили победу в этом турнире.

Решение:

Очевидно, максимальное количество партий, которое осталось сыграть Пете и Маше, равно пяти (либо Петя выиграет три раза, а Маша — два раза, либо Маша выиграет один раз, а Петя — четыре раза). Поэтому событие, заключающееся в выигрыше Пети (а значит, проигрыше Маши), состоит в том, что Маша из пяти партий не выиграет ни одной или выиграет всего одну. Поэтому вероятность выигрыша Пети равна вероятности того, что в пяти испытаниях Бернулли, в каждом из которых успех интерпретируется как выигрыш Машей очередной партии (т.е. вероятность успеха в каждом испытании составляет Курсовая работа по теории вероятности), наступит 0 или 1 успех:

Курсовая работа по теории вероятности

Поэтому в данном случае победу должны были присудить Маше. □

Курсовая работа №28

  • Задача Банаха. Известный математик Стефан Банах всегда носил с собой две коробки спичек, в каждой из которых первоначально было Курсовая работа по теории вероятности спичек. Каждый раз, когда он хотел зажечь спичку, Банах доставал наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда он в первый раз вынимал пустую коробку, в другой коробке оказывалось ровно Курсовая работа по теории вероятности спичек, где Курсовая работа по теории вероятности.

Решение:

Спички брались всего Курсовая работа по теории вероятности раз, причём Курсовая работа по теории вероятности раз из коробки, оказавшейся пустой. Это соответствует Курсовая работа по теории вероятности успехам в Курсовая работа по теории вероятностинезависимых испытаниях, поэтому вероятность Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа №29

  • На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Вероятность того, что день рождения случайно выбранного студента приходится на определённый день года, составляет Курсовая работа по теории вероятности. Найти вероятность того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два человека родились 8 марта.

Решение:

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что случайно выбранный студент родился 1 января, событие Курсовая работа по теории вероятности — в том, что Курсовая работа по теории вероятности человек из 200 родились 1 января. Тогда по условию

Курсовая работа по теории вероятности

Предположим, что опрос Курсовая работа по теории вероятности студентов относительно даты их рождения удовлетворяет условиям, которые накладываются на испытания Бернулли, где успехом единичного испытания считается наступление события Курсовая работа по теории вероятности. Тогда, поскольку Курсовая работа по теории вероятности велико, а произведение

Курсовая работа по теории вероятности

для подсчёта вероятности события Курсовая работа по теории вероятности можно воспользоваться формулой Пуассона:

Курсовая работа по теории вероятности

и при Курсовая работа по теории вероятности получаем

Курсовая работа по теории вероятности

Пусть событие Курсовая работа по теории вероятности состоит в том, что Курсовая работа по теории вероятности человек из 200 родились 8 марта. Тогда в соответствии с формулой умножения вероятностей,

Курсовая работа по теории вероятности

вероятность того, что из Курсовая работа по теории вероятности студентов га родились 8 марта. Так как число

Курсовая работа по теории вероятности

велико, а

Курсовая работа по теории вероятности

для расчёта вероятности события Курсовая работа по теории вероятности можно вновь воспользоваться формулой Пуассона:

Курсовая работа по теории вероятности

При

Курсовая работа по теории вероятности

получаем:

Курсовая работа по теории вероятности
Курсовая работа по теории вероятности

поэтому искомая вероятность

Курсовая работа по теории вероятности

Возможно эти страницы вам будут полезны: