Курсовая работа по теории автоматического управления (ТАУ)

Оглавление:

Готовая курсовая работа по теории автоматического управления.

Теория автоматического управления дает знания по основным принципам функционирования, исследования и построения таких систем. Она является общетехнической дисциплиной и изучается студентами бакалавриата разных специальностей технических вузов в течение двух семестров

Теория автоматического управления

Теория автоматического управления (ТАУ) является одной из важных общетехнических дисциплин, в которой изучаются основные принципы исследования и построения автоматических систем управления, т.е. систем, функционирующих без непосредственного участия человека. Автоматические системы управления широко используются в повседневной жизни. Для поддержания напряжения в заданных пределах используется система управления напряжением генератора. В самолетах автоматические системы управления используются для поддержания заданного курса, высоты и других параметров движения. Они нужны для поддержания заданного технологического процесса и т.д.

Основные сведения о системах автоматического управления

Необходимость поддержания постоянства или изменения той или иной величины в соответствием с некоторым законом часто возникает в различных технических, да и не только технических системах.

Например, при наборе высоты, перед тем как лечь на требуемый курс, пилот самолета управляет величиной тяги двигателя, рулями высоты, курса и т.п. При этом изменяются требуемым образом скорость самолета, его высота и курс. В этом случае мы говорим о ручном управлении.

Когда требуемая высота полета самолета набрана, ее постоянство, постоянство скорости и курса поддерживается специальным автоматическим прибором — автопилотом и в этом случае осуществляется автоматическое управление.

Другой пример автоматического управления, но уже не в технической системе. В организме человека существует множество систем поддерживающих его жизнедеятельность. Например, в здоровом организме поддерживается постоянство температуры тела, артериального давления, происходит расширение или сужение зрачков глаз в зависимости от освещенности и т.п.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория автоматического управления тау

Итак, когда же возникает необходимость в управлении? Эта необходимость возникает тогда, когда объекты управления самолет и человек не могут «сами по себе», первый функционировать, а второй жить. Рассмотренные объекты сами не могут достичь цели своего существования и в процессе работы устранять отклонение параметров функционирования от заданных.

Что же называется управлением? Создание условий, обеспечивающих требуемое протекание процессов в объекте управления, называется управлением.

Существуют три типа объектов управления:

  1. Устойчивые.
  2. Нейтральные.
  3. Неустойчивые. Рассмотрим их.

Объект называется устойчивым, если он обладает свойством возвращаться к своему исходному состоянию после устранения причин, вызвавших изменение этого состояния.

На Рис. 1.1 изображен объект, на вход которого поступает ступенчатый периодический сигнал х, принимающий значения 0 и 4.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис. 1.2 изображены входной сигнал х (верхний график) и выходной сигнал у (нижний график). Как следует из рисунка, в том случае когда входной сигнал принимает нулевое значение, то есть устраняется причина, вызвавшая изменение состояния объекта, выходной сигнал через некоторое время также становится нулевым.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Следовательно, объект на Рис.1 Л является устойчивым. Устойчивые объекты в принципе могут функционировать самостоятельно без управляющих устройств.

Предположим теперь, что объект, изображенный на Рис. 1.1 является нейтральным. На Рис. 1.3 представлены графики изменений входного (верхний график) и выходного (нижний график) сигналов.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Как следует из графиков, после устранения возмущения, то есть когда входной сигнал принимает нулевое значение, выходной сигнал перестает изменяться, но в исходное состояние не возвращается. Значение выходного сигнала зависит от момента прекращения действия входного сигнала.

Нейтральные объекты не могут функционировать без управляющих устройств.

Существует объекты, например ядерный реактор, или самолет в режиме штопора, поведение которых таково, что даже после устранения возмущения их выходные величины (мощность реактора, скорость самолета), возрастают. Такие объекты являются неустойчивыми. На Рис. 1.4 представлены графики изменений входного и выходного сигналов неустойчивого объекта.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис. 1.5 представлен полный график изменения выходного сигнала неустойчивого объекта. Как видно, выходной сигнал за короткое время существенно вырос. И даже когда входной сигнал принимает нулевое значение, то есть устраняется причина, вызвавшая изменение состояния объекта, выходной сигнал продолжает расти.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Необходимо отметить, что в принципе неустойчивый объект не может функционировать без управляющего устройства.

Объект, в котором осуществляется управление или регулирование, называется управляемым или регулируемым объектом. Величины, характеризующие процесс, протекающий в управляемом объекте, называются управляемыми величинами.

Управляемый объект вместе с управляющим устройством образуют автоматическую систему, иначе систему автоматического управления (САУ).

Рассмотрим объект управления

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

вектор управляющих воздействий, приложенных ко входу объекта. Обычно управляющие воздействия прикладываются к управляющему органу объекта, который составляет неразрывное целое с объектом, например штурвал управления самолетом, или педаль газа у автомобильного двигателя.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • вектор управляемых величин (координат) объекта.
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • вектор возмущающих воздействий, действующих на объект управления.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по теории автоматического управления

Принципы управления

САУ может функционировать в соответствии с тремя основными принципами управления:

  1. Принцип разомкнутого управления
  2. Принцип компенсации
  3. Принцип обратной связи

Принцип разомкнутого управления

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

по принципу разомкнутого управления

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — задающее воздействие
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — управляющее воздействие
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — возмущающее воздействие
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — управляемый выходной сигнал

Принцип компенсации

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Управляющее воздействие Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ формируется из выходных сигналов управляющего устройства Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и измерителя Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ таким образом, чтобы скомпенсировать влияние помехи Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ на объект управления.

Принцип обратной связи

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Блок обратной связи осуществляет измерение управляемого сигнала Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и подачу на вход объекта управления сигнала обратной связи Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. В цепи обратной связи направление сигнала противоположно направлению сигнала в прямой цепи, поэтому и существует название — обратная связь. Обратная связь в системе образует замкнутый контур, поэтому говорят, что система построена по замкнутому принципу (другое название принципа обратной связи). Элемент сравнения сравнивая сигналы управления Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и обратной связи Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, формирует сигнал отклонения, или ошибки управления Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Поэтому такой принцип управления называют управлением по ошибке (еще одно название принципа ОС).

Обычно САУ, в которых реализован принцип обратной связи имеют следующую функциональную схему (упрощенный вид)

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В рассмотренной САУ управление осуществляется по отклонению управляемой величины Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от заданной величины Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, путем сведения отклонения (ошибки управления)

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

к нулю.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Основные законы управления

Под законом управления понимается математическая зависимость, в соответствии с которой формируется управляющее воздействие, подаваемое на объект управления. В зависимости от решаемых задач, существует большое количество законов управления. Однако наиболее распространенными являются законы управления по отклонению, интегралу от отклонения и первой производной по времени.

Управляющее устройство, осуществляющее закон управления по отклонению, называют пропорциональным (П)

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — коэффициент передачи управляющего устройства.

Математическая зависимость, соответствующая интегральному закону управления (И) имеет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — постоянная времени интегрирования.

Пропорционально-интегральный закон (ПИ) запишем в виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

И, наконец, наиболее общим является пропорционально-интегрально-дифференциальный закон (ПИД)

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — постоянная времени дифференцирования.

Проведем моделирование работы нейтрального объекта, описываемого дифференциальным уравнением 2-го порядка, с помощью математического пакета MATLAB 6.

На Рис. 1.11 приведена схема моделирования, содержащая нейтральный объект управления, на вход которого подан ступенчатый сигнал. Входной и выходной сигнал объекта отображаются на графиках Рис. 1.12.

На Рис. 1.11 также изображены схемы замкнутых систем управления с обратной связью, в которой реализованы П, ПИ и ПИД законы управления. На вход этих схем подается ступенчатый сигнал, а их выходные сигналы отображены на графиках Рис. 1.12.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Из приведенных графиков видно, что объект без управляющего устройства работать не может, так как при подаче на вход ступенчатого воздействия, его выходной сигнал растет.

При подключении к объекту обратной связи и реализованным пропорциональным (П) законом управления, выходной сигнал, сначала превысив установившееся значение, с течением времени стремится к нему.

Аналогичный результат был получен и при применении пропорцио-нально-интегрального (ПИ) закона управления.

При использовании пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) закона управления был получен лучший результат — выходной сигнал монотонно стремился к установившемуся значению.

Выбор того или иного закона управления зависит от объекта управления и той цели, которой мы хотим достичь, применяя тот или иной закон.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ТАУ

Математические модели систем автоматического управления

Математическая модель системы математически описывает процессы в ней протекающие и связывает ее входы и выходы:

в виде алгебраических, дифференциальных, разностных и др. уравнений;

  • графически в виде графиков, структурных схем или графов;
  • таблично в виде таблиц.

При построении той или иной математической модели, особенно на начальном этапе исследования, приходится вводить целый ряд допущений, упрощающих модель. Например предположить линейность модели, то есть предположить, что вход и выход модели связаны линейно. Вторым допущением могло бы быть упрощающее предположение о том, что в системе действуют только детерминированные сигналы.

На дальнейших стадиях исследования модель может быть усложнена. Нужно помнить, что при построении модели всегда приходится идти на компромисс между простотой модели и ее адекватностью, то есть степенью соответствия реальным процессам, протекающим в САУ. Нужно стремиться к возможно более простому математическому описанию системы, не потеряв при этом главного — как можно полнее и точнее отражать свойства оригинала.

Уравнения динамики и статики

Динамика рассматривает состояние движения, ход развития процессов во времени. Динамика процессов обычно описывается дифференциальными или разностными уравнениями.

Будем рассматривать систему

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Поведение исследуемой системы описывается дифференциальными уравнениями. Так зависимость выходного сигнала Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от входного Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в общем случае можно описать следующим дифференциальным уравнением

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • начальные условия. Уравнение 2.1. является уравнением динамики рассматриваемой системы.

Пусть поведение системы Рис.2.1 описывается уравнением

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Будем предполагать, что Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 4. Входной сигнал Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и сигнал на выходе системы Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, полученный в результате моделирования при нулевых начальных условиях, изображены на Рис.2.2.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В отличии от динамики, рассматривающей процессы протекающие в системе во времени, статика изучает состояние покоя или равновесия. В этом случае отсутствует временной фактор.

Из уравнения динамики (2.1), приравняв нулю все производные (так как режим установившейся), нетрудно получить уравнение статики системы

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — постоянная входная величина, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — установившееся значение выходной величины.

Из уравнения статики можно получить статическую характеристику системы, представляющую собой зависимость выходной величины от входной в статическом режиме

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Представим статическую характеристику в виде графика Рис.2.3.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Статическая характеристика может быть получена экспериментально путем подачи на вход системы постоянных воздействий и измерения установившихся значений выходных величин.

Линеаризация уравнений

Пусть система

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

описывается следующим дифференциальным уравнением

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — соответственно входной и выходной сигналы, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — возмущающее воздействие.

Уравнение (2.3) является нелинейным. Процесс исследования нелинейных систем существенно сложнее процесса исследования линейных. Поэтому исследование нелинейных систем стремятся свести к исследованию линейных. Процедура преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией.

Процедура линеаризации базируется на разложении нелинейных функций, входящих в уравнения, в ряд Тейлора. Необходимо отметить, что разложение какой либо функции в ряд Тейлора происходит в достаточно малых окрестностях некоторой точки. В качестве такой точки берется точка, соответствующая заданному режиму работы системы. В установившемся состоянии это может быть режим равновесия.

Заметим, что отклонения реальных значений входных и выходных сигналов от их заданных значений в нормально работающей замкнутой автоматической системе не велико.

Система работает по принципу парирования таких отклонений.

Обозначим переменные, соответствующие заданному режиму работы системы

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Введем отклонения реальных значений сигналов от требуемых

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Тогда

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Рассматривая функцию Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ выражения (2.3) как функцию независимых переменных Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.4), соответствующей заданному режиму

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В этом выражении оставим только первые члены разложения, отбросив малые члены более высокого порядка.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В заданном режиме уравнение (2.3) примет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Вычтем это уравнение из (2.5), получим

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Введем обозначения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Подставив их в (2.6) и отбросив знак Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, получим линеаризованное уравнение в отклонениях

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Линеаризация уравнения (2.3) была проведена в предположениях:

  • отклонения входных Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ сигналов от их заданных значений малы,
  • функция Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам в окрестности точки разложения, соответствующей заданному режиму,
  • линеаризованное уравнение (2.7) является уравнением в отклонениях.

Рассмотрим Рис.2.5.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В этом случае нелинейная зависимость между Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, выраженная кривой Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, в окрестностях точки разложения Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, заменена касательной Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Запись же уравнения в отклонениях, соответствует переносу начала координат в точку Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по ТАУ

Преобразование Лапласа и его основные свойства

Преобразованием Лапласа называется следующее соотношение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — функция вещественного переменного, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — функция комплексного переменного Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции действительного переменного Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ функцию комплексного переменного Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что оно переводит рассмотрение процесса, являющегося функцией действительного переменного, например времени, на комплексную плоскость с координатами Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Функцию Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ называют оригиналом, а функцию Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ изображением по Лапласу или просто изображением. Преобразование Лапласа можно записать в символическом виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — оператор Лапласа.

Функция Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, являющаяся оригиналом, должна обладать следующими свойствами:

  • должна быть определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ;
  • Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ;
  • существуют такие положительные числа Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, что Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

С помощью обратного преобразования Лапласа

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

можно найти по известному изображению его оригинал. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Символически обратное преобразование Лапласа можно записать

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — обратный оператор Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

  • Свойство линейности. Для любых постоянных Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • Дифференцирование оригинала.

Для первой производной

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Для Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-й производной

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Если начальные условия нулевые

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Таким образом, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-кратное дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях, соответствует умножению изображению на Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-ю степень Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

  • Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • Теорема запаздывания. Для любого положительного Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • Теорема о свертке. Если Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — оригиналы, a Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ -их изображения, то
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Интеграл правой части называется сверткой функций Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, который обозначают

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
  • Теорема о предельных значениях. Если Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — оригинал, а Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — его изображение, то
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

и при существовании предела

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

справедливо записать

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Запись дифференциальных уравнений в символическом виде

Будем рассматривать следующую систему

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Пусть в общем случае линейная система описывается дифференциальным уравнением Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-го порядка

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ соответственно входной и выходной сигналы системы. Преобразуем левую и правую части этого уравнения по Лапласу. В результате получим следующее дифференциальное уравнение в символическом виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — оператор дифференцирования.

Введем обозначения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Тогда уравнение (2.11) можно записать в более компактно

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений

Принято, что линейные дифференциальные уравнения не выше второго порядка записываются в стандартной форме, а именно:

  • члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, записываются в левой части уравнения;
  • все остальные члены уравнения, записываются справа;
  • коэффициент при выходной величине делают равным единице;
  • коэффициенты при входных и выходных величинах и их производных являются либо постоянными времени, либо коэффициентами передачи (усиления).

Рассмотрим дифференциальное уравнение в символическом виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Разделим обе части этого уравнения на Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и введем обозначения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Тогда

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — имеют размерность времени и называются постоянными времени, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — безразмерные коэффициенты передачи (усиления).

Передаточные функции

Передаточной функцией системы называется отношение выходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Тогда передаточная функция рассматриваемой системы (Рис.2.6) равна

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Рассмотрим систему

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Пусть ее поведение описывается следующим дифференциальным уравнением в символической записи

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

иначе

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Приведем это уравнение к виду

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Введем обозначения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

передаточная функция по входному сигналу,

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

передаточная функция по возмущающему воздействию.

Если линейная система имеет несколько входов, то при определении передаточной функции по одному из входов, другие входы полагаются равными нулю.

Динамические характеристики САУ

В теории автоматического управления рассматриваются два типа динамических характеристик:

  • временные;
  • частотные.

Временные характеристики

Различают два вида временных динамических характеристик: — переходные и импульсные. Переходной функцией Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ звена или системы называется ее реакция на единичное ступенчатое воздействие Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ при нулевых начальных условиях. Единичное ступенчатое воздействие представим в следующем виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

График переходной функция Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ называется ее переходной характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией (функцией веса) Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ звена (системы) называется ее реакция на единичное импульсное воздействие Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ при нулевых начальных условиях. График этой функции — импульсная

переходная характеристика представлен на Рис.3.2. Опишем единичное импульсное воздействие

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Необходимо отметить, что

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теории автоматического управления ТАУ

Частотные характеристики

Частотные характеристики системы могут быть получены при рассмотрении реакции системы на гармонические воздействия разной частоты. При прохождении через линейную систему гармонического сигнала разной частоты у выходного сигнала в общем случае изменяются только амплитуда и фаза, частота остается неизменной. К частотным характеристикам относятся :

  • амплитудно — фазовая частотная характеристика (АФЧХ),
  • амплитудная частотная характеристика (АЧХ),
  • фазовая частотная характеристика (ФЧХ),
  • логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧX),
  • логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).

Рассмотрим частотную передаточную функцию , которая получается из передаточной функции (2.12) путем замены Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ является частотой

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Функцию Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ можно записать в следующем виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На комплексной плоскости Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ представляет собой вектор, при изменении частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ конец вектора Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ описывает кривую, называемую амплитудно — фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Например АФЧХ может иметь следующий вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Длина вектора Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ равна Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. График Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ является амплитудной частотной характеристикой (АЧХ)

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На этой характеристике Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — полоса пропускания системы, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — резонансная частота, а Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — частота среза.

Аргумент Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, представляющий собой угол между вектором Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и действительной положительной полуосью называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Кроме того, в соответствии с (3.4) график действительной части Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ называется вещественной частотной характеристикой, а график мнимой части Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — мнимой частотной характеристикой.

Наряду с перечисленными частотными характеристиками самое широкое применение находят логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), а именно логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики — соответственно ЛAЧX и ЛФЧХ. Для ЛAЧX по оси ординат откладывают Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Единицей измерения Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ является децибел . Для ЛФЧХ по оси ординат откладывается значение угла в градусах . По оси абсцисс откладывают частоту Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в логарифмическом масштабе, причем на отметке, соответствующей значению Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, записывается само значение частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Ось ординат проходит не через точку Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 0, так как в этом случае Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, а через произвольную точку обычно малой частоты.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На рисунке 3.5 изображена так называемая реальная ЛАЧХ. На практике обычно ограничиваются построением асимптотических ЛАЧХ, представляющих собой ломаные линии (на рисунке пунктирная линия). Частоты при которых пересекаются асимптоты называются сопрягающими, они связаны с постоянными времени системы соотношением Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Элементарные динамические звенья и их характеристики

Систему автоматического управления можно представить состоящей из ряда элементарных динамических звеньев. Под элементарными динамическими звеньями понимаются устройства, которые могут иметь различный физический вид и конструкцию, однако описываться они должны дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Поэтому и классифицируются элементарные динамические звенья по виду их уравнения.

Представим звено в следующем виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ соответственно входной и выходной сигналы.

Простейшим из звеньев является безынерционное звено, которое описывается дифференциальным уравнением нулевого порядка — алгебраическим уравнением

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — безразмерный коэффициент передачи (усиления) звена. Его передаточная функция

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

К безынерционным звеньям относятся различные датчики сигналов, электронные усилители, механические редукторы и т. п. Необходимо отметить, что уравнение звена не является реальным, точно отражающим характер процессов, протекающих в той или иной системе. Оно является некоторой идеальной моделью, не учитывающей инерционность датчиков или усилителей, пренебрегающей упругими свойствами и люфтами в редукторах и т.

Временные и частотные характеристики этого звена имеют вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.2. представлены переходная характеристика безынерционного звена, а на Рис. 4.3 его ЛАЧХ при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 10.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Апериодическое звено (звено первого порядка) имеет следующее дифференциальное уравнение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — постоянная времени, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — коэффициент передачи (усиления) звена. Постоянная времени имеет размерность секунд. Передаточная функция звена имеет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Апериодическим звеном можно описать поведение двигателя внутреннего сгорания или электродвигателя, причем если входной величиной является расход топлива (управляющее напряжение), то выходной величиной будет являться частота вращения вала двигателя. Это же звено является математической моделью электрической печи, электрического генератора постоянного тока и т. п.

Запишем частотную передаточную функцию звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

и его частотные и переходную характеристики

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.4. изображена переходная характеристика апериодического звена при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 10 и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 0,1 сек.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.5 и 4.6 представлены АФЧХ и ЛЧХ этого звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Дифференциальное уравнение второго порядка в зависимости от величины коэффициентов имеют три звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — постоянная времени, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — безразмерный коэффициент демпфирования, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — коэффициент передачи (усиления) звена.

Если коэффициент демпфирования 0 < Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ < 1, то звено называется колебательным, если Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 0 звено называется консервативным, если же Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ -апериодическое звено второго порядка.

Передаточная функция звена имеет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Запишем АФЧХ звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.7, 4.8 и 4.9 изображены соответственно переходные характеристики, АФЧХ и ЛЧX колебательного звена при

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Колебательным звеном описываются двигатели постоянного тока при некоторых значениях параметров, движение летательного аппарата относительно какой либо оси, поведение гироскопической системы и т. п.

Консервативное звено является частным случаем колебательного и описывает режим возникновения в той или иной системе незатухающих колебаний. На Рис.4.8 изображена переходная характеристика консервативного звена.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка.

Интегрирующее звено имеет следующее дифференциальное уравнение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — коэффициент передачи (усиления) звена. Его передаточная функция

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Частотные и переходная характеристики имеют вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.9. и 4.10 представлены соответственно переходная характеристика и ЛЧX звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Примером интегрирующего звена является электродвигатель, выходной величиной которого является угол поворота вала, являющейся интегралом от угловой скорости. К интегрирующему звену можно отнести гидравлический демпфер, причем входной является сила, приложенная к поршню, а выходной величиной будет являться перемещение штока.

Для дифференцирующего звена справедливо уравнение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Запишем его передаточную и частотную функцию

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Частотные и временная характеристика звена имеют вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.11. представлена ЛЧX звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В технике не существует реальных объектов, которые бы описывались таким уравнением. Оно соответствует идеальному дифференцирующему звену. В качестве примера такого звена можно назвать тахогенератор, входной величиной которого является угол поворота ротора, а выходной — напряжение на якоре.

Форсирующим звеном называется звено, которое описывается следующим уравнением

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Его передаточная функция имеет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

звена представлены на Рис.4.12.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

С ростом частоты входного сигнала, у сигнала на его выходе растет амплитуда, причем после точки излома Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ с интенсивностью 20 дБ/дек. Фаза растет от 0 до 90 градусов.

Форсирующее звено 2-го порядка имеет следующее дифференциальное уравнение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Его передаточная функция

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис.4.13 представлены ЛЧХ звена

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

С ростом частоты входного сигнала, у сигнала на его выходе растет амплитуда, причем после точки излома Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ с интенсивностью 40 дБ/дек. Фаза растет от 0 до 180 градусов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи теории автоматического управления ТАУ

Устойчивость линейных САУ

Исследование линейных систем на устойчивость по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Пусть система описывается следующим дифференциальным уравнением в операторном виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — оператор дифференцирования, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — входное воздействие, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — выходная величина.

Решение уравнения (1) представим в виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — свободная составляющая решения, которая определяется решением однородного дифференциального уравнения (1) без правой части

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — вынужденная составляющая решения, определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В соответствии с определением устойчивости по A.M. Ляпунову, система, описываемая уравнением (1) будет асимптотически устойчивой, если при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ свободная составляющая Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ определяемая решением дифференциального уравнения (3), будет стремиться к 0.

Решение дифференциального уравнения (3) ищут в виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Продифференцировав это выражение Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ раз, подставив результаты дифференцирования в (3) и сократив на общий множитель Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, получим

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Данное алгебраическое уравнение носит название характеристического уравнения. Формально оно может быть получено из левой части уравнения системы (1) при входном воздействии

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Следует заметить, что в этом уравнении Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ не является символом дифференцирования, так как Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Таким образом (7) является характеристическим уравнением исследуемой системы, а его корни определяют характер переходных процессов в системе

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В этом решении Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — корни характеристического уравнения. Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Полагая, что Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и используя известную формулу Эйлера

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

решение (8) может быть представлено в следующем виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — новые постоянные интегрирования. Из этого решения следует, что на устойчивость системы влияет знак вещественной части корней характеристического уравнения Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Если характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень с вещественной частью Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ > 0, то при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ переходной процесс будет расходящимся и только когда у всех корней Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ <0, то при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ переходный процесс будет затухающим. Наличие мнимой части в корне Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ говорит о присутствии составляющей в решении (10) колебательного характера. Если при этом Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 0, то при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в системе имеют место незатухающие колебания, если Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ >0 или Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ < 0, то в системе будут соответственно расходящиеся и затухающие колебания.

Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, иначе располагались в левой полуплоскости корней.

Например для системы, имеющей характеристическое уравнение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

корни на комплексной плоскости корней располагаются следующим образом

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь по оси ординат откладывается вещественная часть корня, а по оси абсцисс его мнимая часть. Как видно из Рис.1, все пять корней полинома расположены в левой полуплоскости, причем

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

действительный корень, а

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

и

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

комплексно-сопряженные корни. Таким образом рассматриваемая система устойчива.

На Рис.2 изображен переходной процесс, полученный в Mathcad 7. Как следует из графика переходной процесс является затухающим.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Обычно корни с отрицательными вещественными частями называют левыми, а корни с положительными вещественными частями — правыми. Если система имеет хотя бы один правый корень, то она неустойчива. Если корень является мнимым, то есть расположен на мнимой оси плоскости корней, то система находится на границе устойчивости.

Исследование линейных систем на устойчивость с помощью алгебраических критериев

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости линейных систем по значениям коэффициентов характеристического уравнения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Нетрудно показать, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Заметим, что если все коэффициенты характеристического уравнения отрицательны, то умножив их на -1, получим все положительные коэффициенты. Если выполняется условие (2), то исследуемая система может быть устойчивой, а может быть и неустойчивой. Однако если условие (2) не выполняется, то система обязательно будет неустойчивой. Докажем это.

Предположим, что все корни характеристического уравнения вещественные. Тогда уравнение (1) можно представить в следующем виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — корни характеристического уравнения. Будем предполагать, что Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Если это не так, то умножим (1) на -1.

Для устойчивой системы все вещественные корни должны быть отрицательными, поэтому

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

и т.д. Тогда (3) примет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Раскрыв в (4) скобки, получим уравнение, аналогичное (1) в котором все коэффициенты положительны.

Теперь предположим, что уравнение (1) будет иметь комплексные корни с отрицательными вещественными частями. В этом случае результат не изменится, так как если

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

то сомножители в уравнении (3) будут иметь вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Следовательно и в этом случае все коэффициенты в (1) будут больше 0.

Необходимо отметить, что для систем, имеющих характеристическое уравнение первого и второго порядка, необходимое условие устойчивости является и достаточным.

К алгебраическим критериям устойчивости относятся: — критерий, полученный в 1877 г. английским математиком Э. Раусом; — критерий, разработанный в 1895 г. немецким ученым А. Гурвицем; — критерий, предложенный в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром. Наиболее удобным с точки зрения использования ЭВМ является критерий устойчивости Гурвица (для систем, имеющих порядок характеристического уравнения Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ его модификацию -критерий Льенара-Шипара), который позволяет по определителям, составленным из коэффициентов характеристического уравнения системы судить об ее устойчивости.

Пусть исследуемая система имеет следующее характеристическое уравнение

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Из коэффициентов этого уравнения находят главный определитель Гурвица

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

о 0 0 … а„_2 а„ По главной диагонали определителя слева направо записываются коэффициенты характеристического уравнения (5), начиная с Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ по Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. В столбцы вверх от главной диагонали записываются коэффициенты в порядке возрастания индексов, а в столбцы вниз — коэффициенты в порядке убывания индексов. Если при этом индекс коэффициента становится больше Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — порядка характеристического уравнения и меньше 0, то данный коэффициент приравнивается 0.

Из главного определителя получают все Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — 1 определителей Гурвица в следующем виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Формулировка критерия устойчивости Гурвица такова: для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ > 0 были больше нуля все Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ определителей Гурвица.

Необходимо отметить, что Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-й определитель Гурвица может быть выражен через (Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-1 )-й следующим образом

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Однако в устойчивой системе Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и должно быть выполнено необходимое условие устойчивости, заключающееся в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в том числе и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, а значит и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Следовательно последний Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-й определитель в критерии Гурвица можно не находить.

Заметим, что когда все коэффициенты характеристического уравнения положительны и положительны все определители Гурвица с нечетными индексами, то оказываются положительными также все определители Гурвица с четными индексами, и наоборот. Откуда следует формулировка критерия Льенара-Шипара: если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы среди определителей Гурвица были положительны все определители с четными (нечетными) индексами.

Исследование линейных систем на устойчивость с помощью критерия Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям в основе которых лежит принцип аргумента, заключающийся в следующем. Известно, что характеристический полином системы

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

может быть представлен в виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — корни характеристического уравнения

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Рассмотрим Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ-й сомножитель в (2) Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и представим его на комплексной плоскости. Корень Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ может быть изображен в виде вектора, проведенного из начала координат в точку pj9 причем длина вектора равна его модулю, то есть Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, а угол, образованный с положительным направлением действительной оси — аргументу комплексного числа Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ то есть Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ (Рис.1).

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Аналогично на комплексной плоскости может быть изображен и вектор Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, проведенный в произвольную точку этой плоскости. Тогда сомножитель Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ представим в виде разности двух рассмотренных векторов. В частном случае при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ представляет собой частоту колебаний, соответствующих мнимому корню характеристического уравнения, характеристический полином примет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Тогда концы векторов Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ будут располагаться на мнимой оси в точке Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ (Рис.2).

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Необходимо отметить, что в (4) Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ представляет собой вектор, модуль которого равен

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

и аргумент

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

При изменении частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ каждый элементарный вектор Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в (4) будет поворачиваться, изменяя и модуль Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в соответствии с (5) и фазу (аргумент) Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в соответствии с (6). Считая поворот вектора против часовой стрелки положительным, при изменении Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ каждый элементарный вектор в (4) повернется на угол Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, если его начало координат, то есть корень Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, расположено слева от мнимой оси, и на угол Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, если корень расположен справа от мнимой оси. Такой поворот элементарных векторов Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ изображен на Рис.3.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Если характеристический полином имеет Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ правых и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ левых корней, то при изменении со от Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ вектор Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ повернется на угол, равный сумме поворотов элементарных векторов Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, то есть изменение аргумента равно

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Сформулируем принцип аргумента: изменение аргумента Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ при изменении частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ равно разности между числом левых и правых корней характеристического уравнения, умноженной на Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

При изменении Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от 0 до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ изменение аргумента вектора Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ будет вдвое меньше

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

В 1936 г. на основании принципа аргумента (8) А.В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости: для того чтобы система Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, описывающий кривую Михайлова, при изменении частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от 0 до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ повернулся вокруг начала координат против часовой стрелки, нигде не обращаясь в 0 на угол Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Заметим, что кривая (годограф) Михайлова для устойчивых систем всегда должна начинаться на вещественной положительной полуоси, поскольку при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ из (1) следует, что Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ на основании необходимого условия устойчивости.

Для построения кривой Михайлова необходимо представить характеристический полином в виде

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — вещественная, а Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — мнимая функции Михайлова и строить кривую Михайлова на комплексной плоскости с осью ординат Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и осью абсцисс Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Для устойчивых систем кривая Михайлова имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен порядку характеристического уравнения. На Рис.4 изображены кривые Михайлова, соответствующие устойчивым системам, а на Рис.5 — кривые неустойчивых систем.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Исследование устойчивости САУ с помощью критерии Найквиста

Критерий Найквиста относится к частотным критериям устойчивости, был разработан американским ученым Г. Найквистом в 1932 году и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы. Рассмотрим систему

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Здесь Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — передаточная функция разомкнутой системы. Тогда передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Обозначим

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде отношения двух полиномов

где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — характеристический полином степени Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ разомкнутой системы, Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — полином степени Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Тогда

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Заметим, что в этом выражении степени полиномов числителя и знаменателя одинаковы и равны Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Пусть

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

тогда

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Предположим, что разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ правых и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ левых корней. Будем также предполагать, что замкнутая система неустойчива и имеет Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ правых и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ левых корней. Тогда на основании принципа аргумента можно утверждать, что при изменении частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от 0 до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ изменение аргумента Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ составит

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, то есть Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 0. В этом случае

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Так как в соответствии с выражением (3) функции Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ отличаются на единицу, то поворот вектора Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ вокруг начала координат соответствует повороту вектора Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ вокруг точки Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Дадим теперь следующую формулировку критерия устойчивости Найквиста. Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ при изменении частоты Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ от 0 до Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ охватывала точку Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в положительном направлении (против часовой стрелки) Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ раз, где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На Рис. 4.3 изображена АФЧХ устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела два правых корня.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На практике обычно дается следующая формулировка критерия Найквиста. Если разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая система будет устойчива , если АФЧХ разомкнутой системы Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ не охватывает точку с координатами Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Если Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ проходит через точку Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, то САУ находится на границе устойчивости.

Рассмотренные выше АФЧХ относятся к статическим САУ . У астатических систем, содержащих интегрирующие звенья, АФЧХ при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ = 0 стремиться к бесконечности и , следовательно , не образует замкнутого контура. Для того, чтобы определить устойчивость астатической замкнутой САУ необходимо построить АФЧХ разомкнутой системы при Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, дополнить ее дугой Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, (где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — порядок астатизма ) окружности бесконечно большого радиуса Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и затем применять критерий устойчивости Найквиста.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На Рис. 4.5 приведена АФЧХ разомкнутой устойчивой системы с астатизмом первого порядка. Замкнутая система в этом случае также устойчива . На Рис. 4.6 показана АФЧХ разомкнутой неустойчивой системы с астатизмом второго порядка . Для этого случая замкнутая система неустойчива, так как точка с координатами Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ охватывается АФЧХ, дополненной дугой бесконечно большого радиуса в отрицательном направлении.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

На практике широкое применение получил критерий устойчивости Найквиста с применением вместо АФЧХ логарифмических амплитудно-частотных характеристик.

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Устойчивость САУ связана с числом пересечений АФЧХ отрезка Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ отрицательной вещественной полуоси (Рис.4.7). Когда АФЧХ пересекает эту полуось, ЛФЧХ пересекает одну из линий Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ (Рис.4.8).

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

точки Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, то они не влияют на устойчивость САУ, если при этом Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и, следовательно,

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Поэтому область отрицательных ЛAЧX при исследовании устойчивости не рассматривается. Интерес представляет только область положительных ЛAЧX.

Сформулируем критерий Найквиста. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных (на Рис.4.8 сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) ЛЧX прямой Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ в области Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, была равна Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, где Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ — число правых корней характеристики уравнения разомкнутой САУ.

Если разомкнутая система устойчива, то и замкнутая система будет устойчивой (Рис.4.7 и 4.8), так как Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ. Запасы устойчивости по амплитуде равны Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ и Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ, и по фазе Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ.