Теория вероятности: контрольные работы с решением

Контрольные работы на тему: Элементы комбинаторики

К оглавлению…

Правило произведения. Если элемент Контрольная работа по теории вероятности с решением строки Контрольная работа по теории вероятности с решением можно выбрать Контрольная работа по теории вероятности с решением способами и после каждого такого выбора Контрольная работа по теории вероятности с решением элемент Контрольная работа по теории вероятности с решением можно выбрать Контрольная работа по теории вероятности с решением способами, и после выбора Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением элемент Контрольная работа по теории вероятности с решением можно выбрать Контрольная работа по теории вероятности с решением способами и т. д, наконец, Контрольная работа по теории вероятности с решением независимо от выбора всех предыдущих элементов можно выбрать Контрольная работа по теории вероятности с решением способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки Контрольная работа по теории вероятности с решением равно;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №1

Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо — 4, а третье блюдо — 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Решение:

При решении данной задачи применим правило произведения (комбинаторика) и учтем, что Строка состоит из трех элементов. Первое блюдо (первый элемент строки) можно выбрать пятью различными способами, второе — четырьмя различными способами независимо от выбора первого. Таким образом, первые два блюда можно выбрать 5-4 различными комбинациями. Учитывая выбор третьего блюда, окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Правило суммы. Пусть множество Контрольная работа по теории вероятности с решением содержит Контрольная работа по теории вероятности с решением элемент, множество Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов, и множество Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов. И если эти множества попарно не пересекаются (нет одинаковых элементов), то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Перестановки. Пусть Контрольная работа по теории вероятности с решением — произвольное (неупорядоченное) Контрольная работа по теории вероятности с решением-элементное множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов и называются перестановками из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом Контрольная работа по теории вероятности с решением и находится по формуле:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №2

Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за Столом, Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами {изменился порядок)?

Решение:

При решении данной задачи, учитывая, что за столом всегда сидят все 5 гостей, применим правило перестановки.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Размещения* Различные упорядоченные Контрольная работа по теории вероятности с решением-элементные подмножества данного неупорядоченного множества Контрольная работа по теории вероятности с решением называются размещениями из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением. Число таких размещений обозначается Контрольная работа по теории вероятности с решением и вычисляется по формуле:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №3

Десять участников финала разыгрываю! одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

Решение:

Согласно условию данной задачи награды получат только три финалиста из десяти» а ценность медалей различна, т. с. порядок призеров имеет значение. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило размещений:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Сочетания, Различные неупорядоченные Контрольная работа по теории вероятности с решением-элементные подмножества множества Контрольная работа по теории вероятности с решением называются сочетаниями из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением. Число всех таких сочетаний обозначается символом Контрольная работа по теории вероятности с решением и определяется по формуле:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Можно доказать справедливость следующих формул:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №4

В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов, Три спортсмена» показавшие лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?

Решение:

По условию задачи в финал войдут только три спортсмена из десяти, причем место в призовой тройке не имеет значения. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило сочетаний:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Примечания,

Размещения из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением представляют собой такие Контрольная работа по теории вероятности с решением-элементные выборки из неупорядоченного множества Контрольная работа по теории вероятности с решением которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Сочетания же из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением представляет собой Контрольная работа по теории вероятности с решением-элементные выборки, отличающиеся только самими элементами.

Размещения с повторениями. Любая строка длиной Контрольная работа по теории вероятности с решением, составленная из элементов множества Контрольная работа по теории вероятности с решением причем элементы в строке могут повторяться, называется размещением с повторением из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Число всех размещений с повторениями обозначается символом Контрольная работа по теории вероятности с решением и вычисляется по формуле:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №5

Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

Решение:

Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10-элементного массива цифр, т. е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4, Следовательно, общее число таких элементов равно Контрольная работа по теории вероятности с решением Исключим из выборки номер 00-00, если он недопустим. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется Контрольная работа по теории вероятности с решением числом способов. Т. к. номер каждой машины есть упорядоченная «пара», состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Сочетания с повторениями. Рассмотрим сочетания из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов но Контрольная работа по теории вероятности с решением и предположим, что в комбинации возможны повторения. В этом случае выбор элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов, но и еще до Контрольная работа по теории вероятности с решением раза одного из этих элементов. В этом случае общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов. Следовательно, число сочетаний из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением с повторениями определяется по формуле

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №6

В цветочном киоске продается 10 наименований цветов. Покупатель желает приобрести букет из 5 цветов. Сколько существует комбинаций таких букетов?

Решение:

Очевидно, что цветы одного наименования могут повторяться в букете, и так как порядок цветов в букете не имеет значения, то здесь применима формула числа сочетаний с повторениями:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Перестановки с повторениями. Рассмотрим перестановки, содержащие одинаковые элементы. Например, в перестановках из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов имеются Контрольная работа по теории вероятности с решением различных элементов Контрольная работа по теории вероятности с решением. При этом первый элемент встречается Контрольная работа по теории вероятности с решением раз. Это означает, что общее число перестановок должно быть уменьшено в Контрольная работа по теории вероятности с решением! раз, гак как взаимные перестановки одного и того же элемента равнозначны.

Аналогично происходит и с остальными элементами, которые могут встречаться Контрольная работа по теории вероятности с решением раз, причем Контрольная работа по теории вероятности с решением. Поэтому общее число перестановок с повторениями подсчитывается по формуле

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №7

Имеется шестизначная кодовая комбинация, состоящая из трех цифр 1, 3, 5, в которой цифра I встречается один раз, цифра 3 два раза и цифра 5 — три раза. Сколько существует комбинаций таких наборов?

Решение:

В данном случае имеют место перестановки с повторениями, Их число будет равно

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Пространство элементарных событий. Случайные события

К оглавлению…

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — появился герб при бросании монеты;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — попадание в цель при выстреле;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — появление туза при извлечении карты из колоды и т. д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Причем для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий Контрольная работа по теории вероятности с решением которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события — достоверное событие — Контрольная работа по теории вероятности с решением, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие — Контрольная работа по теории вероятности с решением, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события Контрольная работа по теории вероятности с решением из Контрольная работа по теории вероятности с решением введем противоположное событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, которое состоит в том, что событие Контрольная работа по теории вероятности с решением не произошло.

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, заключающееся в том, что из двух событий

Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением происходит по крайней мере одно (либо Контрольная работа по теории вероятности с решением, либо Контрольная работа по теории вероятности с решением, либо Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением вместе), называется суммой (или объединением) событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решениемВ.

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, заключающееся в том, что события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением называется разностью событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением; оно заключается в том, что происходит Контрольная работа по теории вероятности с решением и не происходит Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — коммутативность сложения;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — ассоциативность сложения;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — коммутативность умножения;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — ассоциативность умножения;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — законы дистрибутивности.

Предположим* что среди всех возможных событий Контрольная работа по теории вероятности с решением, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

• во-первых, все они взаимоисключают друг друга, г. е. являются непересекающимися;

• во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

• в-третьих, каково бы ни было событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой Контрольная работа по теории вероятности с решением а их совокупность Контрольная работа по теории вероятности с решением называется пространством элементарных событии.

Достоверное событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, наступающее в результате любого из элементарных исходов Контрольная работа по теории вероятности с решением, при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Невозможное событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, не наступающее ни при каком элементарном исходе Контрольная работа по теории вероятности с решением совпадает с пустым множеством и обозначается Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Теперь можно указать дополнительные свойства операций над событиям и:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Два события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением несовместимы (или несовместны), если Контрольная работа по теории вероятности с решением (т. е. событие невозможно).

События Контрольная работа по теории вероятности с решением образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и Контрольная работа по теории вероятности с решением т. е. из этих событий происходит одно и только одно.

Контрольная работа №8

Победитель соревнования награждается: призом (событие Контрольная работа по теории вероятности с решением), денежной премией (событие Контрольная работа по теории вероятности с решением), медалью (событие Контрольная работа по теории вероятности с решением), Что представляют собой события:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

а) событие Контрольная работа по теории вероятности с решением состоит в том, что победитель награжден призом или премией, или призом и премией одновременно;

б) событие Контрольная работа по теории вероятности с решением состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно;

в) событие Контрольная работа по теории вероятности с решением состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера- Венна.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа №9

Описать пространство элементарных событий следующего опыта — брошены две игральные кости.

Решение:

Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел Контрольная работа по теории вероятности с решением где Контрольная работа по теории вероятности с решением — число очков на первой кости, Контрольная работа по теории вероятности с решением — число очков на второй кости. Известно, что Контрольная работа по теории вероятности с решением, причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Статистическое определение вероятности

К оглавлению…

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходам. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один..

Если событие может привести к Контрольная работа по теории вероятности с решением различным равновозможным исходам и если в Контрольная работа по теории вероятности с решением случаях появится признак Контрольная работа по теории вероятности с решением, то относительная частота (частость) события Контрольная работа по теории вероятности с решением обозначается Контрольная работа по теории вероятности с решением и равна отношению Контрольная работа по теории вероятности с решением к Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это так называемое статистическое (комбинаторное) определение вероятности. Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, для которого относительная частота Контрольная работа по теории вероятности с решением при достаточно больших Контрольная работа по теории вероятности с решением мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события Контрольная работа по теории вероятности с решением называется число Контрольная работа по теории вероятности с решением, около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Вероятности Контрольная работа по теории вероятности с решением обладают свойствами, аналогичными свойствам частости:

  • Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Статистическая вероятность достоверного события равна единице:
Контрольная работа по теории вероятности с решением

При подбрасывании идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Контрольная работа по теории вероятности с решением = 0,5. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №10

Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько в среднем надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

Решение:

Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная частота) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что Контрольная работа по теории вероятности с решением. Отсюда Контрольная работа по теории вероятности с решением. В нашем случае Контрольная работа по теории вероятности с решением, тогда Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольные работы на тему: Классическая вероятностная схема

К оглавлению…

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов: Контрольная работа по теории вероятности с решением. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной Контрольная работа по теории вероятности с решением. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в следующих экспериментах:

Бросание люнеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на Контрольная работа по теории вероятности с решением правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до Контрольная работа по теории вероятности с решением).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, бросание шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, всс эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением может быть вычислена по следующей формуле;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением — общее число равно возможных и взаимно исключающих друг друга исходов, Контрольная работа по теории вероятности с решением — число тех из них, которые приводят к наступлению события Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа №11

Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение:

Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Окончательно получим

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №12

Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая даму. При объявлении ранга игры участнику приходится учитывать возможность образования у одного из вистующих — противников — комбинации из трех оставшихся червей. Какова вероятность этого события?

Решение:

У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равно

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Таким образом,

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих очевидно в 2 раза больше.

Контрольная работа №13

В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

Решение:

Введем следующие обозначения: Контрольная работа по теории вероятности с решением — общее число машинок, Контрольная работа по теории вероятности с решением — число бездефектных машинок, Контрольная работа по теории вероятности с решением — число отобранных в партию (подмножество) машинок, Контрольная работа по теории вероятности с решением — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по Контрольная работа по теории вероятности с решением машинок равно числу сочетаний из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением, т. е. Контрольная работа по теории вероятности с решением. Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением, т. е. Контрольная работа по теории вероятности с решением.

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов по Контрольная работа по теории вероятности с решением т.е. Контрольная работа по теории вероятности с решениемТогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика — правило произведения) Контрольная работа по теории вероятности с решением. Согласно (1.12), окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Подставим в формулу (1.13) численные значения и окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Контрольные работы на тему: Аксиоматическое построение теории вероятностей и геометрическое определение вероятности

К оглавлению…

Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий. Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий Контрольная работа по теории вероятности с решением. На Этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1. Каждому случайному событию Контрольная работа по теории вероятности с решением из поля событий Контрольная работа по теории вероятности с решениемпоставлено в соответствие неотрицательное число Контрольная работа по теории вероятности с решением, называемое вероятностью, такое, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Аксиома 2, Вероятность достоверного события Контрольная работа по теории вероятности с решением равна единице:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Примечания.

Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть Контрольная работа по теории вероятности с решением — пустое множество событий, иначе говоря, Контрольная работа по теории вероятности с решением означает отсутствие событий. Тогда Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением не имеет общих элементов с Контрольная работа по теории вероятности с решением. Следовательно:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Геометрической вероятностью события Контрольная работа по теории вероятности с решением называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события Контрольная работа по теории вероятности с решением, к мере всей области:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

Контрольная работа №14

Предположим, что на отрезок длиной Контрольная работа по теории вероятности с решением действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим Контрольная работа по теории вероятности с решением. Какова вероятность того, что она отклонится не дальше чем на расстояние Контрольная работа по теории вероятности с решением от сере-дины указанного отрезка (см. рис.)?

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка Контрольная работа по теории вероятности с решением может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длиной Контрольная работа по теории вероятности с решением. Кроме того, условия опыта таковы, что Контрольная работа по теории вероятности с решением с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке Контрольная работа по теории вероятности с решением этого отрезка, расположенного на оси абсцисс. Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением: точка Контрольная работа по теории вероятности с решением находится от середины отрезка на расстоянии не больше Контрольная работа по теории вероятности с решением, наступает в результате попадания в любую точку Контрольная работа по теории вероятности с решением, отстающую от середины не далее, чем на величину Контрольная работа по теории вероятности с решением. «Доля» таких точек Контрольная работа по теории вероятности с решением на всем отрезке может быть определена как отношение Контрольная работа по теории вероятности с решением, где Контрольная работа по теории вероятности с решением — длина всего рассматриваемого отрезка. Контрольная работа по теории вероятности с решением длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события Контрольная работа по теории вероятности с решением. Таким образом, искомая вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №15

Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1J больше нуля, а их произведение отрицательно.

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис,). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная, расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой Контрольная работа по теории вероятности с решением (см, рис,).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №16

Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2J пары чисел Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки Контрольная работа по теории вероятности с решением из множества всех точек квадрата со стороной, равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим э квивалентной системой:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Основные теоремы теории вероятностей

Контрольные работы на тему: Теорема сложения вероятностей несовместных событий

К оглавлению…

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий Контрольная работа по теории вероятности с решением равна сумме вероятностей этих событий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Пусть событию Контрольная работа по теории вероятности с решением благоприятствуют Контрольная работа по теории вероятности с решением, элементарных исходов, а событию Контрольная работа по теории вероятности с решением исходов. Так как события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением по условию теоремы несовместны, то событию Контрольная работа по теории вероятности с решением благоприятствуют Контрольная работа по теории вероятности с решением элементарных исходов из общего числа Контрольная работа по теории вероятности с решением исходов. Следовательно,

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — соответственно вероятности событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Следствие 1. Если события Контрольная работа по теории вероятности с решением образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это следствие очевидно, если вспомнить, что события Контрольная работа по теории вероятности с решением составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма — событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1.

Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Примеры противоположных событий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — попадание при выстреле; Контрольная работа по теории вероятности с решением — промах при выстреле.

Контрольная работа по теории вероятности с решением — при бросании кубика выпала шестерка; Контрольная работа по теории вероятности с решением — при бросании кубика шестерка не выпала.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №17

Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

Так как выделение одновременно двух машин — невозможное событие, то по формуле (2.1) вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №18

В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов — выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов — выигрыши по 5 рублей, остальные билеты — невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение:

Обозначим события: Контрольная работа по теории вероятности с решением — выигрыш не менее 20 рублей, Контрольная работа по теории вероятности с решением — выигрыш 20 рублей, Контрольная работа по теории вероятности с решением — выигрыш 100 рублей, Контрольная работа по теории вероятности с решением — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события Контрольная работа по теории вероятности с решением попарно несовместны, причем справедливо выражение:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

По теореме сложения вероятностей:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Теорема сложения вероятностей совместных событий

К оглавлению…

Как было указано выше, теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда два события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением совместны. справедлива следующая теорема.

Теорема, Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство. Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: Контрольная работа по теории вероятности с решением. По теореме сложения вероятностей несовместных событий {2.1) имеем:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: Контрольная работа по теории вероятности с решением. Вновь применяя терему (2.1), получим Контрольная работа по теории вероятности с решениемКонтрольная работа по теории вероятности с решением, откуда

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Аналогично для события Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

откуда

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим выражение (2.4), теорема доказана.

Как несложно заметить, формула (2.1) является частным случаем выражения (2.4), Действительно, если события несовместны, то их произведение — пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Аналогично выражению (2.4) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Справедливость формул (2.4) и (2.8) наглядно иллюстрируется рисунками:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Из выражения (2.4) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Действительно:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №19

Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение:

Обозначим события: Контрольная работа по теории вероятности с решением — появление шестерки на первой кости, Контрольная работа по теории вероятности с решением — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т. е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

а) Для вычислений воспользуемся формулой (2.4). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т. е, вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а число всех равновозможных комбинаций вычислим по правилу произведения (комбинаторика);

Контрольная работа по теории вероятности с решением

b) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Независимость событий

К оглавлению…

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие — понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением называется независимым от события Контрольная работа по теории вероятности с решением, если вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от того, произошло событие Контрольная работа по теории вероятности с решением или нет.

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением называется зависимым от события Контрольная работа по теории вероятности с решением, если вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением меняется в зависимости от того, произошло событие Контрольная работа по теории вероятности с решением или нет.

Контрольная работа №20

Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — появления герба на первой монете; Контрольная работа по теории вероятности с решением — появление герба на второй монете.

Решение:

Очевидно, событие Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от того, произошло событие Контрольная работа по теории вероятности с решением или нет. Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением независимо от события Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа №21

В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — появление белого шара у первого человека,

Контрольная работа по теории вероятности с решением — появление белого шара у второго человека.

Решение:

Вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением равна 2/3. Если стало известно, что событие Контрольная работа по теории вероятности с решением произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие Контрольная работа по теории вероятности с решением зависит от события Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением, вычисленная при условии, что имело место другое событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, называется условной вероятностью события Контрольная работа по теории вероятности с решением и обозначается:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Для ПРИМЕРА 5:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

Контрольная работа по теории вероятности с решением

верно, то события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением называются независимыми.

Если верно выражение

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая схема». В урне (закрытой емкости) находится Контрольная работа по теории вероятности с решением белых и Контрольная работа по теории вероятности с решением черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны, Если реализуется схема без возвращения, то события — зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события — независимые.

Контрольные работы на тему: Теорема умножения вероятностей

К оглавлению…

Теорема, Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство. Предположим, что из Контрольная работа по теории вероятности с решением всевозможных элементарных исходов событию Контрольная работа по теории вероятности с решением благоприятствуют Контрольная работа по теории вероятности с решением исходов, из которых Контрольная работа по теории вероятности с решением исходов благоприятствуют событию Контрольная работа по теории вероятности с решением. Тогда вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением будет Контрольная работа по теории вероятности с решением условная вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением относительно события Контрольная работа по теории вероятности с решением равна Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Произведению событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию Контрольная работа по теории вероятности с решением, и событию Контрольная работа по теории вероятности с решением одновременно, то есть к исходов. Поэтому вероятность произведения событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением равна Контрольная работа по теории вероятности с решением. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на Контрольная работа по теории вероятности с решением, получим

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Аналогично можно показать, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Следствие I. Если событие Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от события Контрольная работа по теории вероятности с решением, то и событие Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от события Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Доказательство. Согласно условию, событие Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от события Контрольная работа по теории вероятности с решением. тогда с учетом (2.10) получим Контрольная работа по теории вероятности с решением. Подставим это уравнение в формулу (2.12):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Разделив левую и правую часть уравнения на Контрольная работа по теории вероятности с решением, получим

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №22

Прибор, работающий в течение времени Контрольная работа по теории вероятности с решением, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение времени Контрольная работа по теории вероятности с решением отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время Контрольная работа по теории вероятности с решением вероятность безотказной работы узлов соответственно равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время Контрольная работа по теории вероятности с решением?

Решение:

Обозначим события:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — безотказная работа прибора;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — безотказная работа первого узла;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — безотказная работа второго узла;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — безотказная работа третьего узла.

Безотказная работа прибора обсепечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №23

Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, ссли он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?

Решение:

Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие Контрольная работа по теории вероятности с решением — «в первый раз вынут «неудачный» билет», Контрольная работа по теории вероятности с решением — во второй раз вынут «удачный» билет». Очевидно, что события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением. По формуле умножения вероятностей:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Формула полной вероятности

К оглавлению…

Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события Контрольная работа по теории вероятности с решением, которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: Контрольная работа по теории вероятности с решением образующих полную группу несовместных событий, то есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема, Вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением равна сумме произведений вероятности гипотезы на соответствующую условную вероятность этого события :

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство, Вспомним операции над событиями

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

то есть события Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

По теореме произведения вероятностей

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

откуда и следует формула (2.13). Теорема доказана.

Контрольная работа №24

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся два белых и один черный шар. Во второй урне — три белых и один черный, а в третьей урне — два белых и два черных. Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны извлечет белый шар?

Решение:

Рассмотрим 3 гипотезы:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — выбор первой урны;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — выбор второй урны;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — выбор третьей урны.

Событие Контрольная работа по теории вероятности с решением — вынут белый шар. Из условия задачи следует, что гипотезы равновозможны:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Если случайно подойти к первой урне, то вероятность извлечь из нее белый [пар равна 2/3. Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события Контрольная работа по теории вероятности с решением при этих гипотезах соответственно:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

По формуле полной вероятности (2.13) окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №25

Представим себе странника, идущего из некоторого пункта Контрольная работа по теории вероятности с решением и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта Контрольная работа по теории вероятности с решением попадет в пункт Контрольная работа по теории вероятности с решением?

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

Как видно из рисунка, странник обязательно должен пройти через один из пунктов Контрольная работа по теории вероятности с решением. Обозначим Контрольная работа по теории вероятности с решением гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта Контрольная работа по теории вероятности с решением в пункт Контрольная работа по теории вероятности с решением. Очевидно, что события Контрольная работа по теории вероятности с решением образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, так как по условию задачи странник наугад выбирает один из путей Контрольная работа по теории вероятности с решением или Контрольная работа по теории вероятности с решением. Тогда Контрольная работа по теории вероятности с решением. Из пункта Контрольная работа по теории вероятности с решением в Контрольная работа по теории вероятности с решением можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь Контрольная работа по теории вероятности с решением при условии Контрольная работа по теории вероятности с решением равна 1/3, Аналогично рассуждая, получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Теперь по формуле полной вероятности:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Теорема гипотез (Формула Байеса)

К оглавлению…

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) Контрольная работа по теории вероятности с решением Вероятности этих гипотез известны и равны соответственно Контрольная работа по теории вероятности с решением. Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез а связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (2J2) имеем:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Отсюда

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Разделим на Контрольная работа по теории вероятности с решением левую и правую часть уравнения, тогда окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Выражая Контрольная работа по теории вероятности с решением с помощью формулы полной вероятности (2*13), получим формулу Байеса:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №26

Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества, 40 % приборов собирается из высококачественных деталей, и их надежность за время Контрольная работа по теории вероятности с решением равна 95 %. Приборы из обычных деталей за время Контрольная работа по теории вероятности с решением имеют надежность 0,7. Прибор испытан и за время Контрольная работа по теории вероятности с решением работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

Решение:

Возможны 2 гипотезы:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — прибор собран из высококачественных деталей;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — прибор собран из обычных деталей.

Вероятности этих гипотез до опыта соответственно равны:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В результате опыта наблюдалось событие Контрольная работа по теории вероятности с решением прибор безотказно работал время Контрольная работа по теории вероятности с решением. Условные вероятности этого события при гипотезах Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением соответственно равны;

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

По формуле Байеса найдем условную вероятность гипотезы Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №27

В урне находятся три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар. а) Сформулируйте гипотезы о содержимом урны до испытания и укажите их вероятности. Ь) Найдите вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

Решение:

a) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

Контрольная работа по теории вероятности с решением — в урне 3 белых и 0 черных шара;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — в урне 2 белых и 1 черный шар;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — в урне 1 белый и 2 черных шара;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — в урне 0 белых и 3 черных шара.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

b) Так как извлечен белый шар — событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, то условные вероятности этого события соответственно равны:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

По формуле Байсса вычислим;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №29

Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным, Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

Решение:

Пусть Контрольная работа по теории вероятности с решением — гипотезы, соответствующие выбору отчета первой, второй или третьей организации. Вероятности этих гипотез соответственно равны:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события: Контрольная работа по теории вероятности с решением — выбран правильно оформленный отчет

Контрольная работа по теории вероятности с решением

По формуле Байеса вычислим искомую вероятность:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Формула Байеса (2.15) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.

Повторение испытаний

Контрольные работы на тему: Схема Бернулли

К оглавлению…

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением в каждом испытании не зависит от исходов других испытании; то такие испытания называются независимыми относительно события Контрольная работа по теории вероятности с решением.

В схеме Я, Бернулли рассматривается серия, состоящая из Контрольная работа по теории вероятности с решением независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступление какого-то события Контрольная работа по теории вероятности с решением (успех) или его ненаступление Контрольная работа по теории вероятности с решением (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Контрольная работа по теории вероятности с решениемКонтрольная работа по теории вероятности с решением — постоянна и не зависит от номера испытания. Следовательно, вероятность неуспеха Контрольная работа по теории вероятности с решением тоже постоянна.

Сформулируем задачу — вычислить вероятность того, что при Контрольная работа по теории вероятности с решением испытаниях событие Контрольная работа по теории вероятности с решением осуществится ровно Контрольная работа по теории вероятности с решением раз и, следовательно, не осуществится Контрольная работа по теории вероятности с решением раз (см. рис.):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Однако интересующее нас событие (Контрольная работа по теории вероятности с решением успехов при Контрольная работа по теории вероятности с решением опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки Контрольная работа по теории вероятности с решением элементов из Контрольная работа по теории вероятности с решением вычисляется по формуле (1.5):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это и сеть формула Бернулли (биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (3.2), следует:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Очевидно этот же результат получится, сели учтем, что для

Контрольная работа по теории вероятности с решением

получим полную группу событий, вероятность которых равна 1.

Контрольная работа №30

В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, 10 мальчиков.

Решение:

Отметим, что в силу предположения

Контрольная работа по теории вероятности с решением

и равенства

Контрольная работа по теории вероятности с решением

имеют место равенства;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Отсюда получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью — 0,25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) — чуть меньше одной пятисотой.

Введем следующее обозначение, пусть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

означает вероятность того, что в Контрольная работа по теории вероятности с решением испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем Контрольная работа по теории вероятности с решением раз и не более чем Контрольная работа по теории вероятности с решением раз Контрольная работа по теории вероятности с решением. Так как события, соответствующие различному числу успехов, попарно несовместны, то имеет место формула:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением того, что в результате Контрольная работа по теории вероятности с решением испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Типичный график биномиального распределения приведенна рис. 3.1 для

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Сформулируем задачу: необходимо найти Контрольная работа по теории вероятности с решением — наивероятнейшее число успехов, то есть такое Контрольная работа по теории вероятности с решением, вероятность которого максимальма.

Запишем условия максимума вероятности:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Запишем неравенства а) и b) в явном виде:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Учитывая оба неравенства, окончательно получим;

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

В Контрольная работа по теории вероятности с решением испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха Контрольная работа по теории вероятности с решением наиболее вероятным числом успехов является

единственное число Контрольная работа по теории вероятности с решением, если число Контрольная работа по теории вероятности с решением нецелое;

два числа Контрольная работа по теории вероятности с решением, если число Контрольная работа по теории вероятности с решением целое.

При достаточно большом числе испытаний Контрольная работа по теории вероятности с решением из выражения (3.7) получим Контрольная работа по теории вероятности с решением (статистическое определение вероятности).

При больших значениях Контрольная работа по теории вероятности с решением наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает с вероятностью успеха при одном испытании.

Контрольная работа №31

Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна Контрольная работа по теории вероятности с решением. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение:

Вероятность нормального расхода Контрольная работа по теории вероятности с решением, Вероятность перерасхода Контрольная работа по теории вероятности с решением. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Обобщение схемы Бернулли

К оглавлению…

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли. Пусть производится Контрольная работа по теории вероятности с решением независимых испытаний, каждое из которых имеет Контрольная работа по теории вероятности с решением попарно несовместных и возможных исходов, которые обозначим Контрольная работа по теории вероятности с решением. События Контрольная работа по теории вероятности с решением составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события Контрольная работа по теории вероятности с решением в общем случае различны и удовлетворяют условию Контрольная работа по теории вероятности с решением. Тогда для произвольно Заданных целых неотрицательных чисел Контрольная работа по теории вероятности с решением таких, что Контрольная работа по теории вероятности с решением, определим вероятность

Контрольная работа по теории вероятности с решением

того, что при Контрольная работа по теории вероятности с решением испытаниях исход Контрольная работа по теории вероятности с решением, наступит ровно Контрольная работа по теории вероятности с решением раз, исход Контрольная работа по теории вероятности с решением раз и т. д., исход Контрольная работа по теории вероятности с решением произойдет Контрольная работа по теории вероятности с решением раз:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Выражение (3.8) называется формулой полиномиального распре-деления,

Контрольная работа №32

Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события — выпало ровно десять шестерок и три единицы?

Решение:

Вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1 /6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6. Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других значения чисел равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Теорема Пуассона (Закон редких событий)

К оглавлению…

Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний Контрольная работа по теории вероятности с решением, При больших значениях Контрольная работа по теории вероятности с решением пользоваться этой формулой затруднительно. Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

Пусть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

так что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Тогда для любого Контрольная работа по теории вероятности с решением вероятность получить Контрольная работа по теории вероятности с решением успехов в Контрольная работа по теории вероятности с решением испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха Контрольная работа по теории вероятности с решением стремится к величине Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

При решении конкретных задач понятия «число испытаний велико» и «вероятность успеха мала» субъективны. При более строгом подходе воспользуемся оценкой погрешности формулы Пуассона:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №33

На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?

Решение:

Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

По формуле (3.10) вычислим погрешность, которая не превышает 0,001, таким образом, искомая вероятность не превысит 0,008567,

Контрольные работы на тему: Локальная теорема Муавра-Лапласа

К оглавлению…

Несмотря на элементарность формулы Бернулли

Контрольная работа по теории вероятности с решением

при большом числе испытаний Контрольная работа по теории вероятности с решением непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет локальная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением наступления события Контрольная работа по теории вероятности с решением в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 Контрольная работа по теории вероятности с решением, то вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением того, что событие Контрольная работа по теории вероятности с решением произойдет Контрольная работа по теории вероятности с решением раз а Контрольная работа по теории вероятности с решением независимых испытаниях при достаточно большом числе Контрольная работа по теории вероятности с решением, приближенно равна

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Данная формула (теорема) тем точнее, чем Контрольная работа по теории вероятности с решением. Вычисление по Этой формуле дает незначительную погрешность уже при выполнении условия Контрольная работа по теории вероятности с решением. Функция Контрольная работа по теории вероятности с решением табулирована и обладает следующими свойствами:

1) функция Контрольная работа по теории вероятности с решением является четной, то есть Контрольная работа по теории вероятности с решением

2) функция Контрольная работа по теории вероятности с решением — монотонно убывающая при положительных значениях Контрольная работа по теории вероятности с решением причем при Контрольная работа по теории вероятности с решением;

3) при Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа №34

В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются автомобили?

Решение:

Вероятность того, что в семье имеется автомобиль, равна

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как

Контрольная работа по теории вероятности с решением

достаточно велико (условие

Контрольная работа по теории вероятности с решением

выполнено), то применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Замечание. Значение функции Контрольная работа по теории вероятности с решением получаю из соответствующих статистических таблиц,

Контрольные работы на тему: Интегральная теорема Муавра-Лапласа

К оглавлению…

Пусть в условиях ПРИМЕРА 5 необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по теореме сложения вероятностей событий, и учитывая (3.5), получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра-Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением наступления события Контрольная работа по теории вероятности с решением в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 то вероятность того, что число Контрольная работа по теории вероятности с решением наступления события Контрольная работа по теории вероятности с решением в Контрольная работа по теории вероятности с решением независимых испытаниях заключено в пределах от Контрольная работа по теории вероятности с решением до Контрольная работа по теории вероятности с решением (включительно) при достаточно большом числе Контрольная работа по теории вероятности с решением, приближенно равна

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

обладающая следующими свойствами:

1} функция Контрольная работа по теории вероятности с решением нечетная, то есть Контрольная работа по теории вероятности с решением;

2) функция Контрольная работа по теории вероятности с решением — монотонно возрастающая, причем при Контрольная работа по теории вероятности с решением Контрольная работа по теории вероятности с решением (практически можно считать, что уже при Контрольная работа по теории вероятности с решением).

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Интегральная формула, как и локальная, тем точнее, чем больше Контрольная работа по теории вероятности с решением. При условии Контрольная работа по теории вероятности с решением интегральная формула (3.15) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей,

Контрольная работа №35

По данным ПРИМЕРА 5 вычислим вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа (Контрольная работа по теории вероятности с решением).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Случайные величины

Контрольные работы на тему: Классификация случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины

К оглавлению…

Числовая величина Контрольная работа по теории вероятности с решением, значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной (СВ).

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство Контрольная работа по теории вероятности с решением элементарных исходов Контрольная работа по теории вероятности с решением, случайной величиной Контрольная работа по теории вероятности с решением называют функцию от элементарных исходов Контрольная работа по теории вероятности с решением: Контрольная работа по теории вероятности с решением где Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины Контрольная работа по теории вероятности с решением в зависимости от элементарных исходов Контрольная работа по теории вероятности с решением, принимают конечное или счетное число различных значений Контрольная работа по теории вероятности с решением с соответствующими вероятностями:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь Контрольная работа по теории вероятности с решением обозначает, что случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением принимает значение Контрольная работа по теории вероятности с решением, то есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением, состоящего в том» что случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением принимает одно из значений Контрольная работа по теории вероятности с решением лежащее в пределах Контрольная работа по теории вероятности с решением, есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В формуле (4.2) суммирование производится по конечному или счетному числу значений Контрольная работа по теории вероятности с решением, которые может принимать дискретная случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями этих значении называют распределением вероятностей СВ и обозначают Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ. События Контрольная работа по теории вероятности с решением, состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением примет соответственно значения Контрольная работа по теории вероятности с решением, являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), то есть составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины справедливо соотношение:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому отображению (рис. 4.1). Такое представление СВ называется многоугольником распределении.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №36

Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение:

СВ Контрольная работа по теории вероятности с решениемX — число неизрасходованных патронов, которое имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Стрелок израсходует весь боезапас, если первые три выстрела — «промахи», а результат четвертого никак не скажется на оставшемся боезапасе. Останется один патрон, если стрелок дважды промахнется и попадет при третьем выстреле. Если спортсмен сначала промахнется, а затем попадет в мишень, у него останется два патрона, и, наконец, останется три патрона, если будет попадание при первом выстреле. Вероятности этих значений равны со ответственно:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (так как СВ имеет бесчисленное множество знамений), Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ, невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует «распределение вероятностей»? хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Контрольные работы на тему: Интегральная функция распределения

К оглавлению…

Для количественного описания распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Контрольная работа по теории вероятности с решением, а вероятностью события Контрольная работа по теории вероятности с решением, где Контрольная работа по теории вероятности с решением — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от Контрольная работа по теории вероятности с решением и является некоторой функцией от Контрольная работа по теории вероятности с решением. Эта функция называется функция распределения случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением и обозначается Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Функцию Контрольная работа по теории вероятности с решением иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Функция распределения — самая универсальная характеристика СВ. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ, Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

Функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением неубывающая функция своего аргумента, то есть при

Контрольная работа по теории вероятности с решением

На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №37

Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие Контрольная работа по теории вероятности с решением Вероятность события Контрольная работа по теории вероятности с решением равна Контрольная работа по теории вероятности с решением. СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением — число появлений события Контрольная работа по теории вероятности с решением в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ,

Решение:

Ряд распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением имеет вид:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Построим функцию распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №35

При тех же условиях (ПРИМЕР 2) провели 4 независимых опыта. Постройте функцию распределения числа появлений события Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

Пусть СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением — число появлений события Контрольная работа по теории вероятности с решением в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Построим функцию распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Непрерывная случайная величина, плотность распределения

К оглавлению…

Случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

Для непрерывной случайной величины вероятность попасть на интервал равна

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Пусть имеется непрерывная СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением с функцией распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением, которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой.

Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от Контрольная работа по теории вероятности с решением до Контрольная работа по теории вероятности с решением, то есть приращение функции распределения на этом участке:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим Контрольная работа по теории вероятности с решением к 0. В пределе получим производную функции распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Функция Контрольная работа по теории вероятности с решением — производная функции распределения, характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе -«плотностью вероятности») непрерывной СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, так как Контрольная работа по теории вероятности с решением существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением с плотностью распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением и элементарный участок Контрольная работа по теории вероятности с решением, примыкающий к точке Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Вероятность попадания СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Геометрически — это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок Контрольная работа по теории вероятности с решением (рис. 4.2).

Выразим вероятность попадания СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением на отрезок от Контрольная работа по теории вероятности с решением до Контрольная работа по теории вероятности с решением через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, то есть интегралу:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Геометрически вероятность попадания величины Контрольная работа по теории вероятности с решением на отрезок Контрольная работа по теории вероятности с решением равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис. 4.3).

Формула (4.7) выражает плотность распределения СВ через интегральную функцию распределения. Поставим обратную задачу — выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Из формулы (4.9) с учетом (4.8) получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Геометрически Контрольная работа по теории вероятности с решением есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки Контрольная работа по теории вероятности с решением (рис. 4.4).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Основные свойства плотности распределения

К оглавлению…

Плотность распределения является неотрицательной функцией

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением — неубывающая.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Геометрически основные свойства плотности распределения означают:

♦ кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

• площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров.

Контрольная работа №36

Функция распределения непрерывной СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением равна

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Необходимо найти: коэффициент Контрольная работа по теории вероятности с решением, плотность распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением, и, наконец, вероятность

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

а) Так как Контрольная работа по теории вероятности с решением — функция непрерывная,то при

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №37

СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением подчинена закону распределения с плотностью

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Необходимо: а) найти коэффициент а, Ь) построить график плотности распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением, с) найти Контрольная работа по теории вероятности с решением и построить график, tl) найти вероятность попадания СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением на участок Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

с) получим выражение для функции распределения (4.10):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Характеристики положения случайной величины

К оглавлению…

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой Контрольная работа по теории вероятности с решением случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность Контрольная работа по теории вероятности с решением или плотность вероятности Контрольная работа по теории вероятности с решением достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 4,5).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Медианой Контрольная работа по теории вероятности с решением случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется такое ее значение, при котором вероятность того, что Контрольная работа по теории вероятности с решением, одинаково вероятна тому, что Контрольная работа по теории вероятности с решением, и будет равна 0,5.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам {функция распределения равна 0,5, рис. 4.6).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Квантилью уровня Контрольная работа по теории вероятности с решением (или Контрольная работа по теории вероятности с решением-квантилью) называется такое значение Контрольная работа по теории вероятности с решением случайной величины. при котором функция ее распределения принимает значение, равное Контрольная работа по теории вероятности с решением то есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, то есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Квантили Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением получили название нижней и верхней квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки, Под Контрольная работа по теории вероятности с решением точкой подразумевается квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением, то есть такое значение случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением при котором

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №38

Найти моду, медиану, квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением и 30%-ю точку Контрольная работа по теории вероятности с решением с плотностью вероятности Контрольная работа по теории вероятности с решением при Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

Для нахождения моды распределения необходимо найти максимум плотности (экстремум функции Контрольная работа по теории вероятности с решением). Однако эта функция возрастает на заданном интервале, следовательно, максимум достигается при Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Для нахождения медианы воспользуемся формулой (4.14):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Отсюда Контрольная работа по теории вероятности с решением. По формуле (4.10) получим функцию распределения

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Учитывая (4.15), найдем квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением, откуда Контрольная работа по теории вероятности с решением. 30%-ю точку случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением или квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением найдем из уравнения Контрольная работа по теории вероятности с решением, откуда Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольные работы на тему: Числовые характеристики одномерной случайной величины

К оглавлению…

Математическим ожиданием, или средним значением случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется постоянная (константа), обозначаемая символом Контрольная работа по теории вероятности с решением и определяемая равенством:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №39

Известны законы распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

Решение:

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (4.16) вычислим Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое, то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку: они равносильны.

Контрольная работа №40

Непрерывная СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением равномерно распределена на отрезке Контрольная работа по теории вероятности с решением, Определим Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

Прежде всего определим плотность распределения. Из условия задачи известно:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Используем свойство (4.12):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Свойства математического ожидания

К оглавлению…

  • Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением равно а, тогда:
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Математическое ожидание — одна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и за меняющее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах;

Контрольная работа №41

Найти математическое ожидание случайной величины

Контрольная работа по теории вероятности с решением

если известно, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

Используя свойства математического ожидания (4,17), (4.18) и (4.19), найдем

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Моменты случайной величины

К оглавлению…

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, момент инерции и т. п.).

Начальный момент Контрольная работа по теории вероятности с решением-го порядка случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением обозначается символом Контрольная работа по теории вероятности с решением и определяется выражением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (4.22) можно представить в следующем виде:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Пусть имеется СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением с математическим ожиданием Контрольная работа по теории вероятности с решением. Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Контрольная работа по теории вероятности с решением называется отклонение СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением от ее математического ожидания:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами. Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равно нулю:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Центральным моментом Контрольная работа по теории вероятности с решением-го порядка случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется математическое ожидание Контрольная работа по теории вероятности с решением-й степени; соответствующей центрированной СВ:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю. Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Дисперсией Контрольная работа по теории вероятности с решением случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия Контрольная работа по теории вероятности с решением имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину, равную Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением, или стандартом) Контрольная работа по теории вероятности с решением случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Свойства дисперсии

К оглавлению…

  • Дисперсия константы равна нулю:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Учтем, что Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением— независимые случайные величины, для которых выполняются свойства (4.20) и (4.25), то есть:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

С учетом (4.33) выражение (4.32) примет окончательный вид;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Вычислим дисперсию разности СВ:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Таким образом, мы доказали следующее свойство: дисперсия разности равна сумме дисперсий,

  • Второй центральный момент случайной величины равен разности между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Дисперсия произведения независимых СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением равна произведению дисперсии Контрольная работа по теории вероятности с решением на дисперсию Контрольная работа по теории вероятности с решением плюс произведение квадрата математического ожидания СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением на дисперсию Контрольная работа по теории вероятности с решением плюс произведение квадрата математического ожидания СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением на дисперсию Контрольная работа по теории вероятности с решением. Покажем это:
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Асимметрия и эксцесс

К оглавлению…

Третий центральный момент Контрольная работа по теории вероятности с решением служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения, Так как третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то, чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Величина Контрольная работа по теории вероятности с решением называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

На рис. 4.7 показаны два распределения, имеющих положительную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию. Естественно, что для симметричного распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Четвертый центральный момент Контрольная работа по теории вероятности с решением служит для характеристики крутости (островершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Число 3 в выражении (4.39) вычитается из отношения Контрольная работа по теории вероятности с решением потому что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3, Таким образом, распределения более островершинные, чем нормальное, имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное, — отрицательный эксцесс, для нормального распределения эксцесс равен нулю (рис. 4.8).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №42

Для равномерно распределенной СВ (см. ПРИМЕР 8) необходимо вычислить Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

a) вспомним, что Контрольная работа по теории вероятности с решением;

b) дисперсию вычислим по формуле (4.36):

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Многомерные случайные величины

К оглавлению…

Многомерная случайная величина и закон ее распределения

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин Контрольная работа по теории вероятности с решением которую называют также многомерной (Контрольная работа по теории вероятности с решением-мерной) случайной величиной, или случайным вектором Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Случайные величины Контрольная работа по теории вероятности с решением входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Приведем примеры многомерных случайных величин:

• физическое состояние человека можно охарактеризовать системой случайных величин: Контрольная работа по теории вероятности с решением — рост, Контрольная работа по теории вероятности с решением — вес, Контрольная работа по теории вероятности с решением — возраст и т. п.;

• успеваемость студента можно описать многомерной случайной величиной Контрольная работа по теории вероятности с решением где Контрольная работа по теории вероятности с решением — оценка по Контрольная работа по теории вероятности с решением-му предмету.

Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости Контрольная работа по теории вероятности с решением или в трехмерном пространстве Контрольная работа по теории вероятности с решением, Как отмечалось ранее, наиболее полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.

Определим; как и для одномерной СВ, интегральную функцию распределения двумерной СВ:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Геометрически функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением означает вероятность попадания случайной точки Контрольная работа по теории вероятности с решением в заштрихованную область бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки Контрольная работа по теории вероятности с решением (рис. 5.1).

Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются — ЭТО значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь (5.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям Контрольная работа по теории вероятности с решением ДЛЯ которых Контрольная работа по теории вероятности с решением, и по всем Контрольная работа по теории вероятности с решением, ДЛЯ которых Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Свойства двумерной функции распределений

  • Функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, то есть
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это утверждение базируется на том, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

  • Функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением есть неубывающая функция, по каждому из аргументов:
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис. 5.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, но крайней мере, уменьшиться не может.

3 Если хотя бы один из аргументов обращается в Контрольная работа по теории вероятности с решением, функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением равна нулю:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением в данных случаях равна нулю, так как события Контрольная работа по теории вероятности с решением и их произведение представляют невозможные события.

  • Если один из аргументов равен Контрольная работа по теории вероятности с решением, двумерная функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:
Контрольная работа по теории вероятности с решением

где

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Очевидность данного свойства (5.6)) вытекает из того, что произведение события Контрольная работа по теории вероятности с решением и достоверного события Контрольная работа по теории вероятности с решением есть само событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, аналогично можно показать и для Контрольная работа по теории вероятности с решением.

5, Если оба аргумента равны Контрольная работа по теории вероятности с решением, то функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением равна единице:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник Контрольная работа по теории вероятности с решением (рис. 5.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Зная функцию распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением, выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной Контрольная работа по теории вероятности с решением минус вероятность попадания в квадранты с вершинами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением плюс вероятность попадания в квадрант Контрольная работа по теории вероятности с решением (так как эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением называется непрерывной, если ее функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением — непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументовt и существует вторая смешанная производная Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением. Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника Контрольная работа по теории вероятности с решением. Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением к нулю. С учетом (5.9) получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Учитывая то, что функция Контрольная работа по теории вероятности с решением непрерывная и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (5.10) примет вид:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Плотностью вероятности (плотностью распределения, или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

  • Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, то есть
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это свойство вытекает из того, что Контрольная работа по теории вероятности с решением — функция неубывающая по каждому аргументу.

  • Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением в область Контрольная работа по теории вероятности с решением равна
Контрольная работа по теории вероятности с решением

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением введем понятие «элемент вероятности», равный Контрольная работа по теории вероятности с решением. Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением. Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область Контрольная работа по теории вероятности с решением на плоскости Контрольная работа по теории вероятности с решением геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением и опирающегося на область Контрольная работа по теории вероятности с решением а аналитически — двойным интегралом (5.14).

  • Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле.
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Функция распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением есть вероятность попадания в бесконечный квадрант Контрольная работа по теории вероятности с решением который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением и ординатами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Несобственный интеграл (5.16) есть вероятность попадания во всю плоскость Контрольная работа по теории вероятности с решением а вероятность достоверного события равна I.

Зная плотность вероятности двумерной СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением, можно найти

функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением. Учитывая (5.6) и (5.15), получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Дифференцируя функции распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением по аргументам Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

т. е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной платности Контрольная работа по теории вероятности с решением двумерной случайной величины по аргументу Контрольная работа по теории вероятности с решением дает плотность вероятности Контрольная работа по теории вероятности с решением, а по аргументу Контрольная работа по теории вероятности с решением — плотность вероятности Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №43

Задано распределение вероятное гей дискретной двумерной случайной величины:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Требуется: а) найти законы распределения составляющих Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением; Ь) составить функцию распределения.

Решение:

а) сложив вероятности «по столбцам», найдем закон распределения составляющей Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем закон распределения составляющей Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Ь) составим функцию распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №44

Иглу длиной Контрольная работа по теории вероятности с решением бросают на плоскость, па которой на расстоянии Контрольная работа по теории вероятности с решением друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Решение:

Введем систему случайных величин Контрольная работа по теории вероятности с решением где Контрольная работа по теории вероятности с решением — расстояние от середины иглы до ближайшей линии, а Контрольная работа по теории вероятности с решением — острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что расстояние Контрольная работа по теории вероятности с решением распределено равномерно в интервале Контрольная работа по теории вероятности с решением, а угол Контрольная работа по теории вероятности с решением распределен равномерно в интервале Контрольная работа по теории вероятности с решением. Учитывая, что СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — независимые, получим Контрольная работа по теории вероятности с решением при Контрольная работа по теории вероятности с решением. Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле Контрольная работа по теории вероятности с решением , если Контрольная работа по теории вероятности с решением . Отсюда получим искомую вероятность:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением и устремим Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением к нулю (рис. 5.3).

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу у полосу Контрольная работа по теории вероятности с решением равную Контрольная работа по теории вероятности с решением на вероятность попасть в полосу Контрольная работа по теории вероятности с решением при условии, что аргумент Контрольная работа по теории вероятности с решением попал в полосу Контрольная работа по теории вероятности с решением. В связи с тем, что аргументы Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением равносильны, запишем:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В этом случае говорят, что случайные величины Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — статистически независимы.

При независимости случайных величин Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением плотность распределения двумерной СВ (5,19) равна произведению плотностей соответствующих одномерных СВ, а интегральная функция распределения двумерной СВ равна произведению одномерных функций:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ, для двумерной случайной величины введем выражения для начального и центрального моментов:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Если говорим о моменте Контрольная работа по теории вероятности с решением-го порядки двумерной СВ, то это значит, что суммируются индексы: Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: Контрольная работа по теории вероятности с решением. Рассмотрим подробнее:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Как видим, для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий (смешанный центральный момент второго порядка):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Для дискретной СВ:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Для непрерывной СВ:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением равен нулю.

Доказательство. Докажем эту теорему для непрерывных СВ. Пусть Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением— независимые случайные величины, тогда согласно (5.22)

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Подставим это в выражение (5.27)

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величии, так и их рассеяние вокруг точки Контрольная работа по теории вероятности с решением. Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, так как функция нормирована на меру разброса Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа №45

Имеются линейно зависимые случайные величины Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением: Контрольная работа по теории вероятности с решением. Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Пусть для заданной СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением известно, что Контрольная работа по теории вероятности с решением,Контрольная работа по теории вероятности с решением. Тогда, учитывая свойства математического ожидания и дисперсии, вычислим математическое ожидание и дисперсию СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Свойства коэффициента корреляции

К оглавлению…

  • Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1, 1J:
Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Справедливость этого свойства очевидна, если учесть выражение (5.28), так как в этом случае Контрольная работа по теории вероятности с решением.
  • Равенство нулю коэффициента корреляции — необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величии.

Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.

Контрольная работа №46

Имеются две СВ:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Докажите, что эти величины некоррелированные.

Решение:

Вычислим ковариадию:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

На практике для Контрольная работа по теории вероятности с решением-мерного случайного вектора Контрольная работа по теории вероятности с решением достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т, п.). Поэтому обычно указывают Контрольная работа по теории вероятности с решением математических ожиданий Контрольная работа по теории вероятности с решением Контрольная работа по теории вероятности с решением дисперсий Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением корреляционных моментов Контрольная работа по теории вероятности с решением,характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор Контрольная работа по теории вероятности с решением. Все порреляционные моменты, дополненные дисперсиями Контрольная работа по теории вероятности с решением , располагают в виде матрицы:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

которую называют корреляционной матрицей системы случайных величии.

Замечание. Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали (см. формулы (5.26) и (5.27)).

Контрольная работа №47

Двумерная СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением задана дифференциальной функцией:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Докажите, что Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — зависимые и некоррелированные СВ.

Решение:

Зная двумерную плотность распределения, вычислим одномерные плотности:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением— зависимые величины. Найдем ковариацию:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как Контрольная работа по теории вероятности с решением — функция симметричная относительно Контрольная работа по теории вероятности с решением, то Контрольная работа по теории вероятности с решением, аналогично Контрольная работа по теории вероятности с решением. Учитывая эти результаты, получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом, СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — зависимые и некоррелируемые.

Контрольные работы на тему: Основные законы распределения

К оглавлению…

Нормальный (гауссов) закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность, выделяющая закон Гаусса, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничениях), приближенно подчиняется нормальному закону. И это свойство выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется. По нормальному закону распределены ошибки измерений, белый шум в электронике и т, п.

Непрерывная случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением, если ее плотность вероятности определена на всей числовой оси Контрольная работа по теории вероятности с решением и имеет вид:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Кривую нормального закона распределения называют нормальной, или гауссовой кривой (рис. 6.1). Гауссова кривая имеет симметричный холмообразный вид с максимумом в точке Контрольная работа по теории вероятности с решением, причем сам максимум равен Контрольная работа по теории вероятности с решением Выясним смысл параметров Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением, входящих в выражение (6.1).

Для этого вычислим сначала математическое ожидание СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением, распределенной по нормальному закону:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Произведем замену переменных, определив

Контрольная работа по теории вероятности с решением

тогда

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Подставив в (6,2), получим;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В выражении (6,3) первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах;

второй интеграл — это интеграл Пуассона-Эйлера, который равен Контрольная работа по теории вероятности с решением Тогда окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Итак, параметр Контрольная работа по теории вероятности с решением в плотности вероятности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Вычислим теперь дисперсию СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Произведя ту же замену переменных, что и при вычислении математического ожидания, получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Поясним немного полученный результат. Действительно, первое слагаемое в выражении (6.5) равно нулю, так как Контрольная работа по теории вероятности с решением стремится к нулю при Контрольная работа по теории вероятности с решением быстрее, чем возрастает любая степень Контрольная работа по теории вероятности с решением. А второе слагаемое -это интеграл Пуассона-Эйлера,

Следовательно, параметр Контрольная работа по теории вероятности с решением в формуле (6.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Выведем общую формулу для центрального момента любого порядка СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением распределенной по нормальному закону. По определению:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь, как и в предыдущих интегралах, применили подстановку, а полученный интеграл будем брать по частям:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

При интегрировании по частям отметим, что первое слагаемое равно нулю, так как Контрольная работа по теории вероятности с решением стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень Контрольная работа по теории вероятности с решением. Теперь запишем центральный момент Контрольная работа по теории вероятности с решением порядка:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Сравнивая правые части выражений (6.6) и (6.7), окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Рекуррентное соотношение (6.8) справедливо для центральных моментов любого порядка. Известно, что Контрольная работа по теории вероятности с решением Тогда все центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения равны нулю.

Нормальное распределение симметрично:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Коэффициент эксцесса нормального распределения. согласно (6,8), равен:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Нормальный закон распределения СВ с параметрами Контрольная работа по теории вероятности с решением обозначается Контрольная работа по теории вероятности с решением и называется стандартным, или нормированным, а соответствующая нормальная кривая — стандартной, или нормированной.

Вероятность попадания на интервал

Рассмотрим вероятность попадания на интервал Контрольная работа по теории вероятности с решением СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением подчиненной нормальному закону распределения с параметрами Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением — интегральная функция распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением. Найдем Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Сделаем замену переменных в (6,12)

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Отметим, что этим преобразованием (заменой переменных) нормальное распределение с произвольными значениями Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением приводится к стандартному нормальному закону с параметрами

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Интеграл (6.13) не выражается через элементарные функции, но его обычно выражают через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от Контрольная работа по теории вероятности с решением или Контрольная работа по теории вероятности с решением (так называемый интеграл вероятности, для которого составлены статистические таблицы).

Вообще существует множество разновидностей таких функций, например:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Выберем в качестве такой функции так называемую нормальную функцию распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением. Выразим функцию распределения (6.13) через Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Подставим теперь (6.15) в {6.11) и окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Свойства нормальной функции распределения

Контрольная работа по теории вероятности с решением
  • Из-за симметричности стандартного нормального распределения относительно начала координат следует (рис. 6.2):
Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением на участок, симметричный относительно центра рассеивания Контрольная работа по теории вероятности с решением. Рассмотрим такой участок длиной Контрольная работа по теории вероятности с решением. Вычислим эту вероятность:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Часто расстояние Контрольная работа по теории вероятности с решением выражают в единицах Контрольная работа по теории вероятности с решением. На рис. 6.3 для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №48

Полагаем, что рост студентов — нормально распределенная случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением с параметрами

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Необходимо найти;

a) выражение плотности вероятности и функции распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением;

b) доли костюмов 4-го роста (176-182 см) и 3-го роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;

c) квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением и 10%-ю точку СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением;

d) сформулировать «правило трех сигм» для СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

а) по формулам (6.1), (6.12) и (6Л 5) запишем

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Ь) долю костюмов 4-го роста (176-182 см) в общем объеме производства определим по формуле (6.16):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Долю костюмов 3-го роста (170-176 см) можно определить аналогичным образом, но если учесть, что данный интервал симметричен относительно Контрольная работа по теории вероятности с решением, то по формуле (6.17) оценим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

с) Квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением найдем из уравнения (6.15):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Это значит, что 70 % студентов имеют рост до 176 см. 10%-я точка СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением— это квантиль Контрольная работа по теории вероятности с решением который, вычислив аналогично, получим Контрольная работа по теории вероятности с решением.

d) «Правило трех сигм» для нормального распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Тогда с вероятностью, равной 0,9974, рост студентов находится в интервале:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №49

Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 до 2300 руб. I Гаити с надежностью 0,9 интервал Контрольная работа по теории вероятности с решением изменения цепы бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

Решение:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Значит, стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835,5; 2164,5) рублей.

Распределение Х² («хи-квадрат»)

Так называется распределение вероятностей СВ вида:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением — независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с параметрами Контрольная работа по теории вероятности с решением. Число Контрольная работа по теории вероятности с решением называется числом степеней свободы распределения Контрольная работа по теории вероятности с решением. Соответствующая плотность (рис. 6*4) описывается формулой:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Распределение Контрольная работа по теории вероятности с решением представляет собой частный случай так называемого гамма-распределения.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового обслуживания случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина Контрольная работа по теории вероятности с решением имеет показательный (экс-поненциальнмй) закон распределения с параметром Контрольная работа по теории вероятности с решением если ее плотность вероятности имеет вид:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь Контрольная работа по теории вероятности с решением — постоянная положительная величина. Таким образом, показательное распределение определяется одним положительным параметром Контрольная работа по теории вероятности с решением. Найдем интегральную функцию показательного распределения;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

На рис. 6.5 и 6.6 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то остается вычислить Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Подставив (6.25) в (6.24), окончательно получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Для случайной величины, распределенной но показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратаческому отклонению.

Контрольная работа №50

Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

a) Плотность распределения имеет вид:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

b) Соответствующая интегральная функция равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №51

Найти вероятность попадания в заданный интервал Контрольная работа по теории вероятности с решением для СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением, распределенной по экспоненциальному закону.

Решение:

Найдем решение, вспомнив, что Контрольная работа по теории вероятности с решениемКонтрольная работа по теории вероятности с решением. Теперь, с учетом {6.22), получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Функция надежности

К оглавлению…

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того, простое оно или сложное. Пусть элемент начинает работать в момент времени Контрольная работа по теории вероятности с решением, а по истечении времени длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением происходит отказ, Обозначим через Контрольная работа по теории вероятности с решением непрерывную СВ — длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее, чем то, следовательно, за время длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением определяется интегральной функцией:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением равна вероятности противоположного события:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Функцией надежности Контрольная работа по теории вероятности с решением называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (6.28), функция надежности будет равна:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №52

Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону Контрольная работа по теории вероятности с решением при Контрольная работа по теории вероятности с решением (Контрольная работа по теории вероятности с решением — время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение:

В нашем примере Контрольная работа по теории вероятности с решением, тогда воспользуемся выражением (6.30):

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени Контрольная работа по теории вероятности с решением (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство,, введя следующие обозначения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением-безотказная работа элемента на интервале Контрольная работа по теории вероятности с решением длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа по теории вероятности с решением -безотказная работа элемента на интервале Контрольная работа по теории вероятности с решением длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Тогда событие Контрольная работа по теории вероятности с решением состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале Контрольная работа по теории вероятности с решением длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением. Найдем вероятности этих событий по формуле (6,30), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени Контрольная работа по теории вероятности с решением при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Мы видим, что полученная формула не зависит от Контрольная работа по теории вероятности с решением а только от Контрольная работа по теории вероятности с решением. Сравнивая выражения (6.31) и (6.32), можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью Контрольная работа по теории вероятности с решением, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Контрольные работы на тему: Распределение Парето

К оглавлению…

В практических задачах встречаются так называемые усеченные распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня Контрольная работа по теории вероятности с решением.

В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.

Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает, выходя из точки Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Вычислим математическое ожидание такой случайной величины

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Соответственно для дисперсии получим выражение

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа №53

Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето (Контрольная работа по теории вероятности с решением — заработная плата в тысячах руб., Контрольная работа по теории вероятности с решением). Необходимо записать плотность распределения СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением, найти математическое ожидание уровня заработной платы и ее среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Учитывая (6.34), получим

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Используя выражения (6.35) и (6.36), вычислим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольные работы на тему: Закон больших чисел

К оглавлению…

Свойство устойчивости массовых случайных явлении известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание закона больших чисел, понимаемого в широком смысле слова; при очень большом числе случайных явлении средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых при соблюдении определенных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей.

Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Неравенство Чебышева

Имеется случайная величина (СВ)

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число Контрольная работа по теории вероятности с решением вероятность того, что СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на Контрольная работа по теории вероятности с решением ограничена сверху величиной Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство. Рассмотрим доказательство для непрерывной СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением. По определению известно, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Вспомним определение дисперсии СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Проиллюстрируем выражение (7.3) рисунком:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

В выражении (7.3) Контрольная работа по теории вероятности с решением означает, что интегрирование ведется на внешней части отрезка Контрольная работа по теории вероятности с решением. Если в (7.3) принять, что Контрольная работа по теории вероятности с решением (отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением вероятность того, что она отклонится на Контрольная работа по теории вероятности с решением от Контрольная работа по теории вероятности с решением, меньше, чем дисперсия, деленная на Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Контрольная работа №54

Дана СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением. Оценим сверху вероятность того, что Контрольная работа по теории вероятности с решением отклонится от Контрольная работа по теории вероятности с решением не меньше, чем на Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Решение:

Согласно неравенству Чебышева запишем

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Известно, что для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Теорема Чебышева

Пусть имеется СВ

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Над этой величиной производится Контрольная работа по теории вероятности с решением независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением. Необходимо найти характеристики среднего арифметического — математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением приняла значение Контрольная работа по теории вероятности с решением, во втором опыте — Контрольная работа по теории вероятности с решением, в Контрольная работа по теории вероятности с решением-м опыте — Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением — линейная функция независимых случайных величин Контрольная работа по теории вероятности с решением. Определим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Таким образом, Контрольная работа по теории вероятности с решением не зависит от числа опытов (Контрольная работа по теории вероятности с решением) а дисперсия при больших Контрольная работа по теории вероятности с решением может стать сколь угодно малой, то есть СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится но вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят, что СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением сходится по вероятности к величине Контрольная работа по теории вероятности с решением, если при увеличении Контрольная работа по теории вероятности с решением вероятность того, что Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом Контрольная работа по теории вероятности с решением

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство. Ранее было показано, что для

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Применим к СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением неравенство Чебышева;

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Как бы ни было мало Контрольная работа по теории вероятности с решением всегда можно взять такое большое Контрольная работа по теории вероятности с решением, чтобы выполнялось неравенство:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением — сколь угодно малое число.

Тогда получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Запишем вероятность события противоположного (7.11)

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева

Пусть Контрольная работа по теории вероятности с решением — независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями:

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом Контрольная работа по теории вероятности с решением, таким, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то при возрастании Контрольная работа по теории вероятности с решением среднее арифметическое наблюденных значений величин Контрольная работа по теории вероятности с решением сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Доказательство. Рассмотрим

Контрольная работа по теории вероятности с решением

с соответствующими характеристиками:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Применим к СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением неравенство Чебышева

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Как бы ни было мало Контрольная работа по теории вероятности с решением можно так выбрать Контрольная работа по теории вероятности с решением, что будет выполняться неравенство Контрольная работа по теории вероятности с решением. Тогда получим:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Перейдем к противоположному событию:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Что и требовалось доказать.

Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением и если при Контрольная работа по теории вероятности с решением справедливо соотношение Контрольная работа по теории вероятности с решением то среднее арифметическое наблюденных значений СВ Контрольная работа по теории вероятности с решением сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Рассмотрим величину

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Применим к величине Контрольная работа по теории вероятности с решением неравенство Чебышева:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Так как по условию теоремы при

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то при достаточно большом Контрольная работа по теории вероятности с решением справедливо

Контрольная работа по теории вероятности с решением

или переходя к противоположному событию:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть производится Контрольная работа по теории вероятности с решением независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие Контрольная работа по теории вероятности с решением, вероятность которого в каждом опыте равна Контрольная работа по теории вероятности с решением. Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов Контрольная работа по теории вероятности с решением частота события Контрольная работа по теории вероятности с решением сходится по вероятности к его вероятности Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Обозначим частоту события Контрольная работа по теории вероятности с решением в Контрольная работа по теории вероятности с решением опытах через Контрольная работа по теории вероятности с решением и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

где Контрольная работа по теории вероятности с решением и Контрольная работа по теории вероятности с решением — сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (7.18) при достаточно большом Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины: Контрольная работа по теории вероятности с решением — число появления события Контрольная работа по теории вероятности с решением в первом опыте;

Контрольная работа по теории вероятности с решением — число появления события Контрольная работа по теории вероятности с решением во втором опыте;

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распре деления, выраженный рядом распределения:

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Нетрудно показать, что

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Частота Контрольная работа по теории вероятности с решением не что иное, как среднее арифметическое величин

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то есть

Контрольная работа по теории вероятности с решением

Тогда, согласно закону больших чисел, Контрольная работа по теории вероятности с решением сходится по вероятности к общему математическому ожиданию Контрольная работа по теории вероятности с решением этих величин.

Центральная предельная теорема

Закон больших чисел устанавливает факт приближения средних большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности* возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно к нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова,

Теорема Ляпунова, Если

Контрольная работа по теории вероятности с решением

независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание Контрольная работа по теории вероятности с решением, дисперсия Контрольная работа по теории вероятности с решением абсолютный центральный момент третьего порядка

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то закон распределения суммы

Контрольная работа по теории вероятности с решением

при Контрольная работа по теории вероятности с решением неограниченно приближается к нормальному закону с математическим ожиданием Контрольная работа по теории вероятности с решением и дисперсией Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Теорему примем без доказательства.

Смысл условия (7.19) состоит в том, чтобы в сумме

Контрольная работа по теории вероятности с решением

не было слагаемых, влияние которых на рассеяние Контрольная работа по теории вероятности с решением подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых;

Следствие. Если Контрольная работа по теории вероятности с решением — независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидай и я Контрольная работа по теории вероятности с решением, дисперсии Контрольная работа по теории вероятности с решением и абсолютные центральные моменты третьего порядка

Контрольная работа по теории вероятности с решением

то закон распределения суммы

Контрольная работа по теории вероятности с решением

при Контрольная работа по теории вероятности с решением неограниченно приближается к нормальному закону.

Замечание. Опираясь на центральную предельную теорему, можно утверждать, что рассмотренные нами ранее случайные величины, имеющие законы распределения (биномиальный, Пуассона, равномерный, Контрольная работа по теории вероятности с решением («хи-квадрат»), (Стьюдента)), при Контрольная работа по теории вероятности с решением распределены асимптотически нормально,

Контрольная работа №55

Определить вероятность того, что средняя продолжительность 100 производственных операций окажется в пределах от 46 до 49 с, если математическое ожидание одной операции равно 47,4 с, а среднее квадратичное отклонение-4,9 с.

Решение:

В этой задаче Контрольная работа по теории вероятности с решением — продолжительность наугад взятой производственной операции,

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Здесь Контрольная работа по теории вероятности с решением— средняя продолжительность 100 наугад взятых производственных операций, причем

Контрольная работа по теории вероятности с решением
Контрольная работа по теории вероятности с решением

Теперь вычислим соответствующую вероятность

Контрольная работа по теории вероятности с решением

При решении задачи на основании следствия из теоремы Ляпунова распределение центрированного и нормированного среднего Контрольная работа по теории вероятности с решением приближенно заменено на распределение стандартной нормальной случайной величины Контрольная работа по теории вероятности с решением.

Возможно эти страницы вам будут полезны: