Контрольная работа: Приложении определённого интеграла

Цель: формирование умения применять определённый интеграл для вычисления площадей плоских фигур.

Методические указания по выполнению работы:

При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями, удобно использовать следующий алгоритм:

Постройте линии, ограничивающие фигуру. Возможны следующие варианты:

а) — график — прямая линия, строится по двум точкам;

— график — прямая, параллельная или совпадающая (при ) с осью ;

б) — график — парабола. Для её построения используйте либо метод преобразований, либо классический способ построения:

• найдите координаты вершины , где получается подстановкой в уравнение параболы;

• составьте таблицу значений функции , выбирая значения близкими к :

• в системе координат по точкам, найденным в выше, постройте параболу; в) — график — синусоида.

  • В соответствии с таблицей «Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла» определите вид фигуры и составьте формулу для вычисления площади фигуры. Обратите внимание на границы интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы интегрирования следует находить аналитически, приравнивая уравнения, задающие соответствующие функции.
  • Вычислите площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число положительное.
  • Выпишите ответ.

Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла

Если при выполнении домашней контрольной работы возникают вопросы, разберите решение примера 1:

Пример решения заказа контрольной работы №73.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Построим фигуру, ограниченную графиками функций

(рис. 1).

Линия, задаваемая уравнением — прямая. Построим ее по двум точкам.

Линия, задаваемая уравнением — парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции на 1 единицу вверх.

Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций (заштрихована на рис. 1).

  • Согласно таблице «Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла» рассматриваемая фигура соответствует 6 типу (ограничена графиками двух функций). Её площадь можно вычислить по формуле:

где — функция, ограничивающая фигуру «сверху» ,

a — функция, ограничивающая фигуру «снизу» .

Границы интегрирования и в данном случае не следуют непосредственно из условия задачи. Решив уравнение , мы найдем абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций, т.е. и .

Найдем корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета: или . Следовательно, .

Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры:

  • Вычислим значение площади:

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Контрольная работа: Полное исследование функции и построение графика
Контрольная работа: Нахождение определённых интегралов методом подстановки
Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме