Контрольная работа: Полное исследование функции и построение графика

Цель: формирование умения проводить полное исследование функции и стоить её график.

Методические указания по выполнению работы:

При исследовании функции используйте следующую схему:

  1. Найдите область определения функции (если функция представляет собой дробь, то знаменатель дроби должен быть отличен от нуля).
  2. Исследуйте функцию на четность-нечетность:

• если , то функция четная (график четной функции симметричен относительно оси );

• если , то функция нечетная (график нечетной функции симметричен относительно начала координат);

• в противном случае функция ни четная, ни нечетная.

  1. Исследуйте функцию на периодичность (среди изучаемых нами функций периодическими могут быть только тригонометрические функции).
  2. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат:

(решаем уравнение лишь в том случае, если можем использовать известные нам методы);

.

  1. Найдите первую производную функции и критические точки ( или не существует).
  2. Найдите интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции.
  3. Найдите вторую производную функции и критические точки ( или не существует).
  4. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.
  5. Найдите асимптоты графика функции.
  6. Постройте график функции. Для этого задайте систему координат и выполните следующие действия:

• отметьте точки экстремума и экстремумы функции (найдены в п.6), причем рекомендуется прямо на чертеже обозначить поведение графика функции в окрестности этих точек дугами: к или

• отметьте точки перегиба (найдены в п.8);

• отметьте точки пересечения графика функции с осями координат (найдены в п.4);

• постройте асимптоты графика функции пунктирными линиями (найдены в п.9);

• пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, постройте график функции с учётом его поведения вблизи асимптот:

• проверьте, соответствует ли график функции результатам проведенного исследования. 11. Выберите контрольные точки вблизи точек экстремума, найдите соответствующие значения у, проверьте правильность построения графика.

Если при выполнении домашней контрольной работы возникают вопросы, разберите решение аналогичного примера:

Пример решения заказа контрольной работы №56.6.

Постройте график функции

Решение:

Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением , т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль.

  • Для определения четности и нечетности функции найдем :

Видим, что

следовательно, функция

ни четная, ни нечетная.

Функция непериодическая.

Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью примем . Получим уравнение:

Итак, точка (0; 0) — точка пересечения с осями координат.

  • Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби:

Для нахождения критических точек первого рода найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.

если следовательно, Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0: или

не существует, если знаменатель равен 0, т.е. не существует при . Итак, функция имеет три критические точки первого рода:

На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.

Расставляем знаки производной на каждом промежутке:

На промежутках, где , исходная функция возрастает (при ), где — убывает (при ).

Точка является точкой максимума функции. Для нахождения максимума функции найдем значение функции в точке 0:

Точка является точкой минимума функции. Для нахождения минимума функции найдем значение функции в точке 6:

Найдем вторую производную функции как производную or первой производной:

Вынесем в числителе за скобки и выполним сокращение:

Приведем в числителе подобные слагаемые:

Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.

если . Данная дробь не может равняться нулю, следовательно, точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.

не существует, если знаменатель равен 0, т.е. не существует при . Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода: . 8. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. На числовой оси отметим критическую точку второго рода выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.

Расставляем знаки второй производной

на каждом промежутке:

На промежутках, где , исходная функция вогнута (при , где -выпукла (при ).

Точка не является точкой перегиба графика функции, т.к. в ней исходная функция не определена.

Найдем асимптоты графика функции.

Поскольку область определения функции — все действительные числа за исключением , то проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции

точке

Получили, что , следовательно, — вертикальная асимптота.

Для поиска горизонтальных асимптот находим

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:

Т.к. — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

Для поиска наклонных асимптот находим :

Итак, . Найдем по формуле:

Получили, что . Тогда — наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: .

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту .

  • По полученным ранее данным строим график функции . Поскольку к построению графика предъявляются высокие требования, система координат должна быть задана корректно: должно присутствовать обозначение осей начало отсчета, единицы измерения по каждой оси.
  • отметим экстремальные точки: (0;0) — вершина дуги к, (6; 12) — вершина дуги
  • проведём асимптоты графика функции: и пунктирными линиями;
  • пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, построим график-функции.

Для более точного построения можно выбрать несколько контрольных точек. Например, найдем значения функции в точках -2 и 7:

Корректируем график функции с учетом контрольных точек.

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Сущность метода интегрирования подстановкой
Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытии неопределенности вида бесконечности
Контрольная работа: Нахождение определённых интегралов методом подстановки
Контрольная работа: Приложении определённого интеграла