Контрольная работа по технической механике

Оглавление:

Современное производство, определяющееся высокой механизацией и автоматизацией, предлагает использование большого количества разнообразных машин, механизмов, приборов и других устройств. Конструирование, изготовление, эксплуатация машин невозможна без знаний в области механики.

Техническая механика

Техническая механика — дисциплина, вмещающая в себя основные механические дисциплины: теоретическую механику, сопротивление материалов, теорию машин и механизмов, детали машин и основы конструирования.

Механика — это наука, изучающая общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Техническая механика принадлежит к фундаментальным дисциплинам и создает основу многих инженерных дисциплин.

В основе теоретической механики лежат законы, которые называются законами классической механики или законами Ньютона, которые установлены путем обобщения результатов большого количества экспериментов и наблюдений. Их справедливость проверена многовековой практической деятельностью человека.

Механическим движением тела называется изменение его положения относительно другого тела, происходящее в пространстве с течением времени.

Механическим взаимодействием называются такие взаимодействия материальных тел, которые изменяют или стараются изменить характер их механического движения или формы (создать деформацию).

Для изучения всего разнообразия механических явлений техническая механика обобщена в три раздела, которые рассматриваются в совокупности: статика, кинематика и динамика.

Кинематика рассматривает движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, т.е. без учета сил, вызывающих это движение.

Динамика изучает законы движения материальных тел с учетом действующих на них сил.

Предмет техническая механика

Статика. Основные понятия статики

Статика изучает силу, методы преобразования систем сил в эквивалентные и устанавливает условия равновесия сил, приложенные к твердым телам.

Материальная точка — физическое тело определенной массы, размерами которого можно пренебречь при изучении его движения

Системой материальных точек или механической системой

называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависят от положения и движения других точек этой системы.

Твердое тело является системой материальных точек.

Абсолютно твердое чело — тело, в котором расстояния между двумя произвольными его точками остаются неизменными. Считая тела абсолютно твердыми, не учитывают деформаций, которые возникают в реальных телах.

Сила Контрольная работа по технической механике с решением — величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел и определяющей интенсивность и направление этого взаимодействия.

Единицей измерения силы в системе СИ является ньютон (1 Н).

Как и для любого вектора, для силы можно найти проекции силы на оси координат.

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Системой сил называется совокупность сил, действующих на материальное тело или точку Контрольная работа по технической механике с решениемКонтрольная работа по технической механике с решением или Контрольная работа по технической механике с решением где Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением

Эквивалентными системами сил называются такие две системы сил Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, каждую из которых можно заменить другой, не изменяя кинематическое состояние твердого тела:

Контрольная работа по технической механике с решением

Равнодействующей системы сил называется сила Контрольная работа по технической механике с решением, которая эквивалентна системе сил Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Уравновешивающей силой называется сила Контрольная работа по технической механике с решением, равная по модулю равнодействующей, и направленная вдоль линии ее действия в противоположную сторону: Контрольная работа по технической механике с решением.

Уравновешенная система сил — система сил, под действием которой тело находится в равновесии. Уравновешенная система сил эквивалентная нулю.

Контрольная работа по технической механике с решением

Виды сил

Внутренними силами называют силы взаимодействия между точками (телами) данной системы

Внешними силами называются силы, действующие на материальные точки (тела) данной системы со стороны материальных точек (тел), не принадлежащих этой системе. Внешние силы (нагрузка) — это активные силы и реакции связи.

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Нагрузки разделяются на:

  • объемные — распределенные по объему тела и приложенные к каждой ее частице (собственный вес конструкции, силы магнитного притягивания, силы инерции)
  • поверхностные — приложенные к участкам поверхности и характеризующие непосредственное контактное взаимодействие объекта с окружающими телами:
  • сосредоточенные — нагрузки, действующие по площадке, размеры которой малы с размерами самого элемента
  • конструкции (давление обода колеса на рельс) Контрольная работа по технической механике с решением; распределенные — нагрузки, действующие по площадке, размеры которой не малы сравнительно с размерами самого элемента конструкции (гусеницы трактора давят на балку моста); интенсивность нагрузки, распределенной вдоль длины элемента, Контрольная работа по технической механике с решениемКонтрольная работа по технической механике с решением.
Контрольная работа по технической механике с решением

Аксиомы статики

Аксиомы отображают свойства сил, действующих на тело.

  • Аксиома инерции (закон Галилея).

Под действием взаимно уравновешенных сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

  • Аксиома равновесия двух сил.

Две силы, приложенные к твердому телу, будут уравновешенные только в случае, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположную сторону.

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Вторая аксиома является условием равновесия тела под действием двух сил.

  • Аксиома добавления и отбрасывания уравновешенных сил.

Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или изъять любую уравновешенную систему сил.

Следствие. Не изменяя состояние абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль ее линии действия в любую точку, сохраняя неизменными ее модуль и направление. Т.е., сила, приложенная к абсолютно твердому телу, является скользящим вектором.

  • Аксиома параллелограмма сил.

Равнодействующая двух сил, которые пересекаются в одной точке, приложена в точке их сечения и определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как сторонах.

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Аксиома действия и противодействии.

Каждому действию соответствует равное по модулю и противоположное по направлению противодействие.

  • Аксиома равновесия сил, приложенных к деформируемому телу

при его затвердевании (принцип затвердевания).

Равновесие сил, приложенных к деформируемому телу (изменяемой системе), сохраняется, если тело считать затвердевшим (идеальным, неизменным).

  • Аксиома освобождения тела от связей.

Не изменяя состояния тела, любое несвободное тело, можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, а их действие заменить реакциями.

Связи и их реакции

Свободным телом называется такое тело, которое может осуществлять произвольные перемещения в пространстве в любом направлении.

Связями называются тела, ограничивающие движение данного тела в пространстве.

Свободным телом называется тело, перемещение которого в пространстве ограниченно другими телами (связями).

Реакцией связи (опоры) называется сила, с которой связь действует на данное тело.

Реакция связи всегда направлена противоположно тому направлению, в котором связь противодействует возможному движению тела.

Активная (заданная) сила, это сила, которая характеризует действие других тел на заданное, и вызывает или может вызвать изменение его кинематического состояния.

Реактивная сила — сила, которая характеризует действие связей на данное тело.

По аксиоме об освобождении тела от связей, любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, освободив его от связей и заменив их действие реакциями. В этом заключается принцип освобождения от связей.

Основные виды связей

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Система сходящихся сил

Определение равнодействующей системы сходящихся сил

Система сходящихся сил — это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Контрольная работа по технической механике с решением

Система сходящихся сил эквивалентная одной силе -равнодействующей, которая равняется векторной сумме сил и приложенная в точке сечения линий их действия:

Контрольная работа по технической механике с решением

Методы определения равнодействующей системы сходящихся сил

Контрольная работа по технической механике с решением

1) Метод параллелограммов сил. На основании аксиомы параллелограмма сил, каждые две силы данной системы, последовательно, приводятся к одной силе -равнодействующей.

Модуль равнодействующей:

Контрольная работа по технической механике с решением

Направление вектора равнодействующей:

Контрольная работа по технической механике с решением

2) Построение векторного силового многоугольника.

Контрольная работа по технической механике с решением

Последовательно, параллельным переносом каждого вектора силы в конечную точку предыдущего вектора, составляется многоугольник, сторонами которого являются векторы сил системы, а замыкающей стороной — вектор равнодействующей системы сходящихся сил.

Условия равновесия системы сходящихся сил

Геометрическое условие равновесии сходящейся системы сил: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы векторный силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнутым.

Контрольная работа по технической механике с решением

Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на координатные оси равнялись нулю.

Условие равновесия системы сходящихся сил расположенных в пространстве:

Контрольная работа по технической механике с решением

Момент силы относительно центра как вектор

Какое-либо кинематическое состояние гел, имеющих точку или ось вращения, можно описать моментом силы, характеризующим вращательный эффект действия силы.

Момент силы относительно центра — это векторное произведение радиус — вектора Контрольная работа по технической механике с решением точки приложения силы па вектор силы Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Сила Контрольная работа по технической механике с решением приложена к точке Контрольная работа по технической механике с решением, радиус-вектор которой относительно произвольного центра Контрольная работа по технической механике с решением определяется как Контрольная работа по технической механике с решением Модуль момента силы, определяется векторным произведением Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением , и углом Контрольная работа по технической механике с решением между радиус-вектором и вектором силы:

Контрольная работа по технической механике с решением

Плечо силы Контрольная работа по технической механике с решением— кратчайшее расстояние от центра до линии действия силы (перпендикуляр из центра на линию действия силы).

Вектор Контрольная работа по технической механике с решением направляется по правилу векторного произведения: момент силы относительно центра (точки) как вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены сила и центр так, чтобы с его конца было видно, что сила пытается вращать тело вокруг центра против хода часовой стрелки.

Единицей измерения момента силы есть 1 [Нм].

Алгебраическая величина момента силы

Момент силы относительно центра в плоскости — алгебраическая величина, которая равняется произведению модуля силы Контрольная работа по технической механике с решением на плечо Контрольная работа по технической механике с решением относительно того же центра с учетом знака.

Контрольная работа по технической механике с решением

Знак момента силы зависит от направления, в котором сила пытается вращать вокруг центра:

Контрольная работа по технической механике с решением

Свойства момента силы относительно центра (точки)

1) Модуль момента силы относительно точки равняется удвоенной площади треугольнику построенного на векторах Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

где

Контрольная работа по технической механике с решением

2) Момент силы относительно точки не изменяется при перенесении силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы.

3) Момент силы относительно центра (точки) равняется нулю Контрольная работа по технической механике с решением, если:

сила равняется нулю Контрольная работа по технической механике с решением;

плечо силы Контрольная работа по технической механике с решением, т.е. линия действия силы проходит через центр.

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей)

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно какого-либо центра равняется алгебраической сумме моментов составляющих сил системы относительно того же центра.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теория пар сил

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону

Контрольная работа по технической механике с решением

Силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением действуют на абсолютно твердое тело в точках Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, соответственно.

Контрольная работа по технической механике с решением, Контрольная работа по технической механике с решением и направленны в одну сторону.

Равнодействующая системы двух параллельных сил направленных в одну сторону равняется по модулю сумме модулей составляющих сил Контрольная работа по технической механике с решением, параллельна им и направлена в том же направлении.

Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения составляющих на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных к силам: Контрольная работа по технической механике с решением

Техническая механика задачи

Сложение двух параллельных сил, направленных в разные стороны

Контрольная работа по технической механике с решением

Силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением действуют на абсолютно твердое тело в точках Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, соответственно.

Контрольная работа по технической механике с решением и направлены в противоположные стороны.

Равнодействующая двух параллельных, неравных по модулю, противоположно направленных сил параллельна им и направлена в направлении большей силы и по модулю равняется разности составляющих сил: Контрольная работа по технической механике с решением.

Линия действия равнодействующей проходит за пределами отрезка (со стороны большей силы), соединяющего точки их приложения, и отстоит от них на расстояния, обратно пропорциональные силам.

Контрольная работа по технической механике с решением

Пара сил — система двух параллельных, равных по модулю и противоположных по направлению сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Контрольная работа по технической механике с решением

Плечо пары сил Контрольная работа по технической механике с решением — расстояние между линиями действия сил пары, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из произвольной точки линии действия одной из сил пары на линию действия второй силы.

Плоскость действия пары сил — это плоскость, в которой расположены линии действий сил пары.

Действие пары сил сводится к вращательному движению, которое определяется моментом пары.

Контрольная работа по технической механике с решением

Моментом пары называется вектор с такими признаками:

  • он перпендикулярен плоскости пары; — направлен в ту сторону, откуда вращение, которое осуществляет пара, видно против часовой стрелки;
  • его модуль равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо Контрольная работа по технической механике с решением пары с учетом знака
Контрольная работа по технической механике с решением

Знак момента пары сил:

Контрольная работа по технической механике с решением

Момент пары сил равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо пары.

Момент пары — свободный вектор — для него ни точка приложения, ни линия действия не обозначены, они могут быть произвольными.

Свойство момента пары сил: момент пары равняется моменту одной из сил относительно точки приложения второй силы.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теоремы о паре сил

Теорема 1. Пара сил пе имеет равнодействующей, т.е. пару сил нельзя заменить одной силой.

Теорема 2. Пара сил не является системой уравновешенных сил.

Следствие: пара сил, действующая на абсолютно твердое тело, старается вращать его.

Теорема 3. Сумма моментов сил пары относительно произвольного центра (точки) в пространстве является величиной неизменной и представляет собой вектор-момент этой пары.

Теорема 4. Сумма моментов сил, которые составляют пару, относительно произвольного центра в плоскости действия пары не зависит от центра и равняется произведению силы на плечо пары с учетом знака, т.е. самому моменту пары.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема 5 — об эквивалентности пар. Пары сил, моменты которых равны численно и по знаку, являются эквивалентными. Т.е. пару сил можно заменить или уравновесить только другой эквивалентной парой сил.

Теорема 6 — об уравновешенности нары сил.

Пара сил составляет уравновешенную систему сил тогда и только тогда, когда момент пары равняется нулю.

Теорема 7 — о возможностях перемещения нары сил в плоскости ее действия.

Пара сил, полученная перемещениям пары в любое место в плоскости ее действия, эквивалентна предоставленной паре.

Теорема 8 — о добавлении пар сил в плоскости.

Момент пары, эквивалентной предоставленной системе пар в плоскости, равняется алгебраической сумме моментов составляющих пар. Т.е. для сложения пар сил необходимо сложить их моменты.

Контрольная работа по технической механике с решением

Условия равновесия системы пар сил

Пары сил в плоскости уравновешиваются в том случае, если алгебраическая сумма их моментов равняется нулю.

Контрольная работа по технической механике с решением

Рычаг

Рычаг — это твердое тело, имеющее недвижимую ось вращения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной этой оси.

Если рычаг находится в состоянии покоя, то алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к рычагу относительно опорной точки, равняется нулю:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Произвольная плоская система сил

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Произвольная плоская система сил — это система сил, линии действия которых расположены в плоскости независимо.

Методом Пуансо в центре приведения Контрольная работа по технической механике с решением будет получена система сил и система пар, моменты каждой из которых равняют моментам соответствующей силы относительно центра приведения.

Главным вектором системы Контрольная работа по технической механике с решением называется вектор, который равняется геометрической сумме всех сил системы.

Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением

Направление вектора Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением

Главным моментом системы Контрольная работа по технической механике с решением относительно центра Контрольная работа по технической механике с решением в плоскости называется алгебраическая сумма моментов сил системы относительно центра приведения Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Главный вектор Контрольная работа по технической механике с решением не зависит от выбора центра приведения Контрольная работа по технической механике с решением.

Главный момент сил Контрольная работа по технической механике с решением зависит от центра приведения.

Основная теорема статики о приведении системы сил к данному центру:

Какая-либо плоская произвольная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно избранному центру Контрольная работа по технической механике с решением, может быть заменена одной силой Контрольная работа по технической механике с решением, равняющейся главному вектору системы и приложенной в центре приведения Контрольная работа по технической механике с решением, и одной парой с моментом Контрольная работа по технической механике с решением, равняющемуся главному моменту системы относительно центра Контрольная работа по технической механике с решением.

Решение задач по технической механике

Случаи приведения плоской системы сил к более простому виду.

  1. Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением — система находится в состоянии равновесии.
  2. Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением— система приводится к паре с моментом, который равняется главному моменту системы Контрольная работа по технической механике с решением. Система может вызвать вращательное движение тела, к которому приложена.
  3. Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением — система приводится к равнодействующей Контрольная работа по технической механике с решением, которая проходит через центр Контрольная работа по технической механике с решением. Под действием такой силы тело, на которое она действует, может двигаться поступательно в направлении вектора силы Контрольная работа по технической механике с решением.
  4. Контрольная работа по технической механике с решением — система приводится к равнодействующей Контрольная работа по технической механике с решением, которая прикладывается в другой точке и не проходит через центр Контрольная работа по технической механике с решением.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

  1. Геометрические условия равновесия:

для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:

Контрольная работа по технической механике с решением

Аналитические условия равновесия

Основная форма условий равновесия

Контрольная работа по технической механике с решением

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси и сумма их моментов относительно любого центра, который лежит в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Вторая форма условий равновесия

Контрольная работа по технической механике с решением

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых двух центров Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением и сумма их проекций на ось, не перпендикулярную прямой Контрольная работа по технической механике с решением, равнялись нулю.

Третья форма условий равновесии (уравнение трех моментов)

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых трех центров Контрольная работа по технической механике с решением, Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю.

Равновесие плоской системы параллельных сил.

Контрольная работа по технической механике с решением

1 форма.

Контрольная работа по технической механике с решением

2 форма.

Контрольная работа по технической механике с решением

Точки Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением не должны принадлежать прямой, параллельной силам.

Центр параллельных сил. Центр тяжести

К телу в точках Контрольная работа по технической механике с решением приложены параллельные силы Контрольная работа по технической механике с решениемКонтрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением. Складывая силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением по правилу сложения двух параллельных сил, направленных в одну сторону, получим равнодействующую Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Также складывая силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, получаем их равнодействующую Контрольная работа по технической механике с решением.

В результате сложения получены две параллельные противоположно направленные силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, приложенные в точках Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.

В зависимости от модулей и точек приложения этих сил возможные случаи:

  • Силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением не равны по модулю. Если Контрольная работа по технической механике с решением, то Контрольная работа по технической механике с решением, и направлена в сторону большей силы.

Точка Контрольная работа по технической механике с решением — центр параллельных сил, находится на продолжении отрезка Контрольная работа по технической механике с решением за точкой приложения большей силы

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением равны по модулю, но линии их действий не совпадают. В этом случае система сил приводится к паре сил.
  • Силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением равны по модулю и линии их действий совпадают. В этом случае система сил уравновешена.

Система параллельных сил, направленных в одну сторону, не может быть уравновешена или приводиться к паре сил, она всегда имеет равнодействующую.

Контрольная работа по технической механике с решением

Равнодействующая Контрольная работа по технической механике с решением системы параллельных сил Контрольная работа по технической механике с решением равна Контрольная работа по технической механике с решением .

Линия действия равнодействующей Контрольная работа по технической механике с решением параллельна силам. Положение точки ее приложение зависит от величин и положения точек Контрольная работа по технической механике с решением приложения сил системы.

Центр параллельных сил — точка Контрольная работа по технической механике с решением точка приложения равнодействующей Контрольная работа по технической механике с решением системы параллельных сил.

Положение центра параллельных сил — точки Контрольная работа по технической механике с решением, определяется координатами этой точки Контрольная работа по технической механике с решением Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением

где

Контрольная работа по технической механике с решением

Центр тяжести твердого тела и его координаты.

Вес тела это равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела, которое равняется их сумме:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Каждая отдельная из Контрольная работа по технической механике с решением — частиц тела находится под действием собственных сил тяжести Контрольная работа по технической механике с решением, представляющих систему параллельных, однонаправленных сил Контрольная работа по технической механике с решением приложенных в точках Контрольная работа по технической механике с решением, соответственно.

Центр тяжести тела — неизменно связанная с этим телом геометрическая точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела, т.е. вес тела в пространстве.

Координаты центра тяжести определяются аналогично координатам центра параллельных сил Контрольная работа по технической механике с решением, составленных силами тяжести частиц тела Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — вес тела, Контрольная работа по технической механике с решением — соответствующие координаты точек приложения Контрольная работа по технической механике с решением сил тяжести частиц тела.

Центр тяжести объема, плоскости и линии

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы и размеров, и не зависит от свойств материала, из которого тело выполнено.

  • Центр тяжести объема (Контрольная работа по технической механике с решением).
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Центр тяжести объема (Контрольная работа по технической механике с решением).
Контрольная работа по технической механике с решением

Сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав плоской фигуры, на алгебраические значения их расстояний до некоторой оси, называется статическим моментом площади плоской фигуры.

Контрольная работа по технической механике с решением

Статический момент площади плоской фигуры равняется произведению площади фигуры на алгебраическое расстояние от центра тяжести до этой оси. Единица измерения статического момента Контрольная работа по технической механике с решением.

Координаты центра тяжести через статические моменты площади плоской фигуры.

Контрольная работа по технической механике с решением

Вывод: статический момент площади плоской фигуры относительно оси, которая проходит через центр тяжести фигуры, равняется нулю.

  • Центр тяжести линии (Контрольная работа по технической механике с решением).
Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Способы определения положения центра тяжести

Аналитические методы

  • Метод симметрии.

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Контрольная работа по технической механике с решением

Центр тяжести линии длиной Контрольная работа по технической механике с решением — по середине.

Контрольная работа по технической механике с решением

Центр тяжести окружности (или круга) радиуса Контрольная работа по технической механике с решением центре, т.е. в точке пересечения диаметров.

Контрольная работа по технической механике с решением

Центр тяжести параллелограмма, ромба или параллелепипеда — в точке пересечения диагоналей.

Контрольная работа по технической механике с решением

Центр тяжести правильного многоугольника — в центре вписанного или описанного круга.

  • Метод разбивки.

Если тело можно разбить на конечное количество элементов (объемов, плоскостей, линий), для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно определить зная значения для элементов непосредственно по формулам

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Метод дополнении (отрицательных плоскостей).

Если тело имеет вырезанные элементы, то при разбивке на элементы, вырезанная часть (площадь, объем) отнимаются из общей, т.е. вырезанным элементам даются отрицательные значения площади или объема.

Контрольная работа по технической механике с решением

Основы расчетов на прочность

Задачи и методы сопротивления материалов

Основными задачами в технике являются обеспечения прочности, жесткости, устойчивости инженерных конструкций, деталей машин и приборов.

Наука, в которой изучаются принципы и методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость называется сопротивлением материалов.

Прочность — это способность конструкции в определенных пределах воспринимать действие внешних нагрузок без разрушения.

Жесткость — это способность конструкции в определенных пределах воспринимать действие внешних нагрузок без изменения геометрических размеров (не деформируясь).

Устойчивость — свойство системы самостоятельно восстанавливать первоначальное состояние после того, как ей было дано некоторое отклонение от состояния равновесия.

Каждый инженерных расчет состоит из трех этапов:

  1. Идеализация объекта (выделяются наиболее существенные особенности реальной конструкции — создается расчетная схема).
  2. Анализ расчетной схемы.
  3. Обратный переход от расчетной схемы к реальной конструкции и формулирование выводов.

Сопротивление материалов базируется на законах теоретической механики (статика), методах математического анализа, материаловедении.

Классификация элементов конструкций

Различают внешние и внутренние силы и моменты. Внешние силы (нагрузки) — это активные силы и реакции связи.

По характеру действия нагрузки делятся на:

  • статические — прикладывается медленно, возрастая от нуля до конечного значения, и не изменяются;
  • динамические — изменяют величину или направление за короткий промежуток времени:

• внезапные — действуют сразу па полную силу (колесо локомотива, заезжающего на мост),

• ударные — действуют на протяжении короткого времени (дизель-молот),

• циклические (нагрузка на зубья зубчатого колеса).

Классификация элементов конструкций

Контрольная работа по технической механике с решением

Стержень (брус) — тело, длина которого Контрольная работа по технической механике с решением превышает его поперечные размеры Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением. Ось стержня — линия, соединяющая центры тяжести последовательно расположенных сечений. Сечение — это плоскость перпендикулярная оси стрежня.

Контрольная работа по технической механике с решением

Пластина — тело плоской формы, у которого длина Контрольная работа по технической механике с решением и ширина Контрольная работа по технической механике с решением больше по сравнению с толщиной Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Оболочка — тело, ограниченное двумя близко расположенными криволинейными поверхностями. Толщина оболочки мала по сравнению с другими габаритными размерами, радиусами кривизны ее поверхности.

Контрольная работа по технической механике с решением

Массивное тело (массив) — тело, у которого все размеры одного порядка.

Деформации стержня

При нагрузке тел внешними силами они могут изменять свою форму и размеры. Изменение формы и размеров тела под действием внешних сил называется деформацией.

Деформации бывают:

  • упругие — исчезают после прекращения действия вызвавших их сил;
  • пластические — не исчезают после прекращения действия вызвавших их сил.

В зависимости от характера внешних нагрузок различают такие виды деформаций:

  • растяжение-сжатие — состояние сопротивления, которое характеризуется удлинением или укорочением,
  • сдвиг — смещение двух сопредельных поверхностей относительно друг друга при неизменном расстоянии между ними, кручение взаимный поворот поперечных сечений относительно друг друга,
  • изгиб — состоит в искривлении оси.

Бывают более сложные деформации, которые образуются сочетанием нескольких основных.

Линейные деформации связаны с перемещением точек или сечений вдоль прямой линии (растяжение, сжатие).

Угловые деформации связаны с относительным поворотом одного сечения относительно другого (кручение).

Основные гипотезы и принципы

  1. Гипотеза о сплошности материала: тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается таким же и в процессе деформации.
  2. Гипотеза об однородности и изотропности: в любой точке тела и в любом направлении физико-механические свойства материала считаются одинаковыми.
  3. Гипотеза о малости деформаций: в сравнении с размерами тела деформации настолько малы, что не изменяют положения внешних сил, действующих на тело.
  4. Гипотеза об идеальной упругости: в заданных малых перделах деформирования все тела идеально упругие, т.е. деформации полностью исчезают после прекращения нагрузок.
  5. Гипотеза плоских сечений: сечение плоское до деформирования остается плоским и после деформации.

Закон Гука и гипотеза о малости деформаций дают возможность применять принцип суперпозиции (принцип независимости или сложения сил): деформации тела, вызванные действиями нескольких сил, равняются сумме деформаций, вызванных каждой силой.

Принцип Сен-Венана: статически эквиваленте системы сил, действующие на малую, сравнительно с общими размерами тела, его часть, при достаточном отдалении от этой части вызывают одинаковые деформации тела.

Принцип затвердения: тело, испытывающее деформирование, затвердело и к нему можно применять уравнения статики.

Внутренние силы. Метод сечений

Внутренние силы — это силы механического взаимодействия между частичками материала, возникающие в процессе деформирования как реакции материала на внешнюю нагрузку.

Для нахождения и определения внутренних сил применяют метод сечений (РОЗУ), который сводится к следующим операциям:

  • условно перерезаем тело на две части секущей плоскостью (Р -разрезаем);
  • отбрасываем одну из частей (О — отбрасываем);

заменяем влияние отброшенной части на оставленную внутренними силами (усилиями) (3 — заменяем);

  • из условий равновесия системы сил, действующих на оставленную часть, определяем внутренние силы (В — уравнения равновесия);
Контрольная работа по технической механике с решением

В результате сечения стержня поперечным сечением, разорванные связи между частями заменяются внутренними силами, которые можно свести к главному вектору Контрольная работа по технической механике с решением и главному моменту Контрольная работа по технической механике с решением внутренних сил. При проектировании их на координатные оси получаем:

Контрольная работа по технической механике с решением — продольная (осевая) сила,

Контрольная работа по технической механике с решением — поперечная (перерезывающая) сила

Контрольная работа по технической механике с решением — поперечная (перерезывающая) сила

Контрольная работа по технической механике с решением — крутящий момент

Контрольная работа по технической механике с решением — изгибающий момент

Контрольная работа по технической механике с решением — изгибающий момент

Если известны внешние силы, все шесть компонент внутренних сил могут быть найдены из уравнений равновесия:

Контрольная работа по технической механике с решением

Рассмотрим бесконечно малый элемент площади сечения Контрольная работа по технической механике с решением. Вследствие малости элемента, можно считать, что внутренние усилия, действующие в его различных точках, одинаковы по модулю и по направлению. Тогда их равнодействующая Контрольная работа по технической механике с решением проходит через центр тяжести элемента.

Контрольная работа по технической механике с решением

Нормальное напряжение:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — элементарная продольная силы (проекция Контрольная работа по технической механике с решением на ось Контрольная работа по технической механике с решением).

Касательные напряжения:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — элементарные поперечные силы ( проекции Контрольная работа по технической механике с решением на оси Контрольная работа по технической механике с решением). Полное напряжение:

Контрольная работа по технической механике с решением

Определение зависимости между внешними силами, с одной стороны, и напряжением и деформацией, с другой, — основная задача сопротивлению материалов.

Растяжение и сжатие

Растяжение или сжатие часто встречаются в элементах машин или сооружений (растяжение троса крана при подъеме груза; шатун двигателя, штоки цилиндров в подъёмно-транспортных машинах).

Растяжение или сжатие — это случай нагружения стрежня, который характеризуется его удлинением или укорочением. Растяжение или сжатие вызывается силами Контрольная работа по технической механике с решением, действующими вдоль оси стрежня.

При растяжении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются. Изменение Контрольная работа по технической механике с решением начальной длины Контрольная работа по технической механике с решением стрежня называют абсолютным удлинением при растяжении или абсолютным укорочением при сжатии. Отношение абсолютного удлинения (укорочение) к начальной длине стрежня называется относительным удлинением:

Контрольная работа по технической механике с решением

В этом случае:

  • ось стержня остается прямой линией,
  • поперечные сечения стержня уменьшаются вдоль его оси параллельно самим себе (потому что поперечное сечение — это плоскость перпендикулярная оси стрежня, а ось — прямая линия);
  • поперечные сечения остаются плоскими.

Все волокна стрежня удлиняются на одну и ту же величину Контрольная работа по технической механике с решением и их относительные удлинения одинаковые:

Контрольная работа по технической механике с решением

Разность соответствующих поперечных размеров после деформации и до нее называется поперечной деформацией.

Контрольная работа по технической механике с решением

Отношение абсолютной поперечной деформации к соответствующему начальному размеру называется относительной поперечной деформацией:

Контрольная работа по технической механике с решением

Между поперечной и продольной деформациями существует соотношение. Коэффициент Пуассона:

Контрольная работа по технической механике с решением

Коэффициент Пуассона безразмерная величина, находящаяся в пределах 0…0,5 (для стали Контрольная работа по технической механике с решением).

В поперечных сечениях возникают нормальные напряжения Контрольная работа по технической механике с решением. Зависимость напряжений от деформаций устанавливает закон Гука:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — модуль продольной упругости, модуль упругости первого рода, модуль Юнга, характеризующий упругие свойства материала (для стали Контрольная работа по технической механике с решением).

В сечении стержня возникает один внутренний силовой фактор -продольная сила Контрольная работа по технической механике с решением. Продольная сила Контрольная работа по технической механике с решением является равнодействующей нормальных напряжений Контрольная работа по технической механике с решением, которая численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стрежня и направленных вдоль его оси.

Нормальные напряжения :

Контрольная работа по технической механике с решением

Учитывая, что

Контрольная работа по технической механике с решением

и

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Произведение Контрольная работа по технической механике с решением называется жесткостью поперечного сечении стержня при растяжении или сжатии, и имеет размерность силы.

Механические характеристики материала

К механическим характеристикам относятся:

  • модуль упругости Контрольная работа по технической механике с решением,
  • коэффициент Пуассона Контрольная работа по технической механике с решением,
  • пластичность,
  • твердость,
  • прочность и др.

Для определения этих характеристик используют испытания. Наиболее распространенные испытания па растяжение. Для испытаний используют специальные образцы.

Контрольная работа по технической механике с решением

Основной целью испытаний является построение диаграммы растяжения-сжатия, т.е. зависимости между силой, действующей на образец, и его удлинением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Особенности диаграммы растяжения малоуглеродистой стали.

Контрольная работа по технической механике с решением — упругая стадия, при сравнительно малых нагрузках материал подвержен закону Гуку и после прекращения нагрузки никаких остаточных деформации нет.

Контрольная работа по технической механике с решением — площадка текучести, в дальнейшем рост нагрузки замедляется и вскоре совсем прекращается. Явление роста деформаций при постоянной нагрузке имеет название текучести.

Контрольная работа по технической механике с решением — упрочнение, после окончания стадии текучести образец снова начинает сопротивляться деформациям. Если повторно нагрузить образец исчезает участок текучести Контрольная работа по технической механике с решением, образен приобретает способность воспринимать без остаточных деформаций большие нагрузки. Явление увеличения упругих свойств в результате предварительного пластического деформирования имеет название наклеп.

Контрольная работа по технической механике с решением

В точке Контрольная работа по технической механике с решением наблюдается качественное изменение характера деформаций (образуется прогрессирующая шейка). Разрушение может быть доведено до конца даже при уменьшении нагрузки. Точка Контрольная работа по технической механике с решением — разрушение образца.

Во избежание влияния размеров строят диаграмму Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением — предел пропорциональности — наибольшие напряжения, до которых справедлив закон Гука (для стали 200 МПа).

Контрольная работа по технической механике с решением — предел упругости — наибольшие напряжения, до которых материал не имеет остаточных деформаций (для стали 200 МПа).

Контрольная работа по технической механике с решением — предел текучести — напряжение, при которых происходит рост деформаций без увеличения нагрузки (для стали 240 МПа).

Контрольная работа по технической механике с решением — предел прочности — напряжение, которые может выдержать образец без разрушения (для стали 400 МПа).

Также определяются:

  • относительное окончательное удлинение после разрушения:
Контрольная работа по технической механике с решением
  • относительное окончательное сужение сечения образца в месте разрушения:
Контрольная работа по технической механике с решением

В зависимости от Контрольная работа по технической механике с решением материалы делятся на:

  • пластичные ( > 5% (углеродная сталь, медь, алюминий),
  • хрупкие ( < 5% (чугун, бетон, инструментальная сталь).

Диаграмма растяжения хрупких материалов не имеет площадки

текучести. Для них проводят испытание на сжатие, так как они лучше оказывают сопротивление сжатию, чем растяжения (Для пластичных материалов модуль упругости, предел упругости, предел текучести при растяжении и сжатии приблизительно одинаковы).

Кроме хрупких и пластичных материалов существуют еще упруго-вязкие материалы (полиамиды). Для них характерно явление ползучести и релаксации напряжений.

Ползучесть — это непрерывный рост пластических деформаций при неизменной нагрузке.

Релаксация напряжений — медленное уменьшение напряжений при неизменной полной деформации за счет увеличения пластической составляющей и уменьшения упругости.

Допускаемые напряжения

Для пластичных материалов:

Контрольная работа по технической механике с решением

Для хрупких материалов:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением -коэффициент запаса прочности.

Условие прочности при растяжении:

Контрольная работа по технической механике с решением

Для стали 3:

Контрольная работа по технической механике с решением

Твердость материалов

Для определения твердости существует три метода:

  • Метод Бринеля — твердость определяется как
Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — сила, с которой вдавливается заготовленный шарик в материал, Контрольная работа по технической механике с решением — площадь отпечатка.

  • Метод Роквела — используется алмазный конус и заготовленный шарик, твердость определяется по разности на шкале прибора от действия предыдущей нагрузки до полной нагрузке (Контрольная работа по технической механике с решением — конус, Контрольная работа по технической механике с решением — кулька)
  • Метод Виленса — для определения твердости используется алмазная пирамида и определяется
Контрольная работа по технической механике с решением

Эпюры продольных сил и напряжений

Графики, показывающие, как изменяются внутренние усилия при переходе от сечения к сечению, называется эпюрами. Правила построения эпюр:

  1. Ось, на которой строится эпюра (база), параллельна оси стержня.
  2. Ордината эпюры откладывается от оси эпюры по перпендикуляру.
  3. Штрихуют эпюры линиями, которые перпендикулярны к базы.
  4. Для усилий выбирают определенный масштаб, проставляют значение характерных ординат, в поле эпюры ставят знак усилия.

Пример: Для стального стержня выявить закон изменения продольных сил, напряжений и перемещений, если Контрольная работа по технической механике с решением. Договоримся считать продольную силу положительной, если она вызывает растяжение.

  1. Стержень имеет два участка разной жесткости. Из условия равновесия любой рассеченной части стержня на первом участке:
Контрольная работа по технической механике с решением

на втором участке:

Контрольная работа по технической механике с решением

В выбранном масштабе строим эпюру продольных сил.

  • Определяем напряжение в перерезах
Контрольная работа по технической механике с решением

В выбранном масштабе строим эпюру напряжений.

  • Определим, на какую величину перемещается каждое сечение стрежня
Контрольная работа по технической механике с решением

на первом участке:

Контрольная работа по технической механике с решением

на втором участке:

Контрольная работа по технической механике с решением

Строим эпюру перемещений.

Контрольная работа по технической механике с решением

Сдвиг

Сдвиг — такой вид деформации, при котором одно сечение стержня смещается относительно другого, а расстояние между ними не изменяется.

Сдвиг может быть вызван действием двух равных, параллельных и противоположно направленных сил, расположенных на близком расстоянии друг от друга перпендикулярно к оси стрежня.

Контрольная работа по технической механике с решением

Детали, служащие для соединения элементов металлоконструкций, механизмов и машин (заклепки, болты, булавки, сварные швы и т.п.), воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси, т.е. испытывают сдвиг.

Контрольная работа по технической механике с решением

Во внутреннем сечении при сдвиге возникает один силовой фактор — перерезывающая сила Контрольная работа по технической механике с решением. Касательные напряжения Контрольная работа по технической механике с решением лежат в плоскости сечения. В случае недостаточной прочности происходит перерезывание деталей. Говорят, что детали работают на срез, и касательные напряжения называют напряжениями среза.

Контрольная работа по технической механике с решением

Условие прочности при сдвиге:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — допускаемые касательные напряжения Контрольная работа по технической механике с решением.

При сдвиге одна плоскость смещается относительно другой. Степень смещения характеризуется абсолютным сдвигом Контрольная работа по технической механике с решением, зависящим от расстояния Контрольная работа по технической механике с решением между сечениями. Во избежание влияния Контрольная работа по технической механике с решением, вводят понятие относительного сдвига:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Относительный сдвиг равняется угловому перемещению продольного волокна элемента — углу сдвига.

Между углом сдвига и касательным напряжения существует прямая пропорциональность — закон Гука при сдвиге:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — упругая постоянная материала, модуль сдвига (модуль Юнга второго рода, для стали Контрольная работа по технической механике с решением).

Величина абсолютного сдвига:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — жесткость при сдвиге.

Между модулем продольной упругости Контрольная работа по технической механике с решением и модулем сдвига Контрольная работа по технической механике с решением имеется зависимость:

Контрольная работа по технической механике с решением

Для стали Контрольная работа по технической механике с решением т.е. сопротивление сдвигу слабее, чем сопротивление растяжению.

Геометрические характеристики сечений

  • Площадь поперечного сечения (при растяжении, сжатии).
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Статические моменты сечении относительно осей Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением:
Контрольная работа по технической механике с решением

Если оси координат проходят через центр тяжести сечения, то статические моменты равны нулю. Оси называются центральными.

  • Координаты центра тяжести:
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Моменты инерции Контрольная работа по технической механике с решением:

осевые:

Контрольная работа по технической механике с решением

центробежный

Контрольная работа по технической механике с решением

полярный

Контрольная работа по технической механике с решением

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равняется нулю, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей координат принимают экстремальные значения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Кручение

Кручение имеет место при нагрузке вала внешними силами, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси (вал со шкивами, зубчатыми колесами и т.п.).

Моменты этих сил — вращающие моменты.

При кручении в поперечном сечении возникает внутренний силовой фактор — крутящий момент Контрольная работа по технической механике с решением. На основании метода сечений, крутящий момент в сечении равняется алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих с одного стороны рассматриваемого сечения.

При приложении крутящего момента Контрольная работа по технической механике с решением к концу жестко закрепленного вала образующая Контрольная работа по технической механике с решением повернется на угол Контрольная работа по технической механике с решением и займет положение Контрольная работа по технической механике с решением. Контрольная работа по технической механике с решением — угол сдвига при кручении.

Контрольная работа по технической механике с решением

Поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на некоторый угол — угол закручивании Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

При кручении в поперечных сечениях возникают касательные напряжения:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — момент инерции сечения.

Условие прочности при кручении:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — полярный момент сопротивления.

Контрольная работа по технической механике с решением

Для круглого сечения Контрольная работа по технической механике с решением диаметр определяется по формуле:

Контрольная работа по технической механике с решением

При кручении расстояние между поперечными сечениями не изменяется. Угол закручивания Контрольная работа по технической механике с решением равняется.

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — расстояние между двумя сечениями.

Пример. Проверить на прочность вал, если диаметр вала

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Определяем Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Разбиваем на расчетные участки
  • Определяем крутящие моменты:
Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Определяем касательные напряжения:
Контрольная работа по технической механике с решением

Если

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Проверяем прочность вала:

Контрольная работа по технической механике с решением

Прочность вала достаточна.

  • Строим эпюру угла закручивания
Контрольная работа по технической механике с решением

Момент инерции сечения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Выберем некоторое сечение, считая, что его угол закручивания равняется нулю.

Контрольная работа по технической механике с решением

Изгиб

Изгиб возникает при нагрузке бруса силами, перпендикулярными его продольной оси, и парами сил, действующими в плоскостях, проходящих через эту ось. Изгибом будем называть такой вид деформирования бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты.

Если изгибающий момент в сечении является единым силовым фактором, а поперечные и продольные силы отсутствуют, изгиб называется чистым изгибом. Очень часто в сечении бруса возникают поперечные силы, поэтому такой изгиб называют поперечным. Брус, который работает на изгиб, называют балкой.

Если балку, которая изгибается под действием внешних сил, рассечь плоскостью перпендикулярной к ее продольной оси, то в каждой точке сечения как результат изгиба действуют нормальные Контрольная работа по технической механике с решением и касательные Контрольная работа по технической механике с решением напряжения.

Нормальные усилия, действующие на элементарных площадках Контрольная работа по технической механике с решением, проводятся к паре сил, момент которой является изгибающим моментом внутренних нормальных сил:

Контрольная работа по технической механике с решением

Касательные усилия на своих площадках дают равнодействующую внутренних касательных сил — поперечную силу:

Контрольная работа по технической механике с решением

Изгибающий момент в поперечном сечении численно равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части балки, относительно центра ее тяжести.

Поперечная сила в сечении численно равна сумме проекций внешних сил, приложенных к отсеченной части балки, на ось, перпендикулярную ее продольной оси.

Принято следующее правило знаков.

Контрольная работа по технической механике с решением

Дифференциальные зависимости при изгибе

Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны следующими зависимостями (зависимостями Д.1 ГЖуравского):

Контрольная работа по технической механике с решением

Выводы:

1) Если на некотором участке балки отсутствует распределенная нагрузка Контрольная работа по технической механике с решением, то эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — прямая, параллельная оси абсцисс Контрольная работа по технической механике с решением, а эпюра Контрольная работа по технической механике с решением на этом участке наклоненная прямая.

2) Если на некотором участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — наклоненная прямая, а эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — парабола.

3) Если на некотором участке балки:

Контрольная работа по технической механике с решением, то изгибающий момент возрастает, Контрольная работа по технической механике с решением, то изгибающий момент убывает, Контрольная работа по технической механике с решением, то изгибающий момент постоянный

4) Если поперечная сила, изменяясь по линейному закону, проходит через нулевое значение, то в соответствующем сечении изгибающий момент будет иметь экстремум.

5) Под сосредоточенной силой на эпюре Контрольная работа по технической механике с решением образуется скачок на величину приложенной силы, а на эпюре Контрольная работа по технической механике с решением — резкое изменение угла наклона сопредельных участков.

6) В сечении, где приложена пара сил, эпюра Контрольная работа по технической механике с решением будет иметь скачок на величину момента пары. На эпюре Контрольная работа по технической механике с решением это не отразится.

7) Если равномерно распределенная нагрузка направлена вниз, т.е.
Контрольная работа по технической механике с решением(вторая производная, характеризующая кривизну линии Контрольная работа по технической механике с решением отрицательная), эпюра Контрольная работа по технической механике с решением обращена выпуклостью вверх, навстречу нагрузке.

Пример 1:

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определить опасное сечение балки.

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Определяем реакции опор:
Контрольная работа по технической механике с решением

Проверка:

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Разбиваем на расчетные участки

Определяются изменением внешней нагрузки и жесткостью балки.

  • Строим эпюры поперечных сил Контрольная работа по технической механике с решением и изгибающих моментов Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Анализ эпюр

Участок 1:

Балка нагружена только сосредоточенной силой. Эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — прямая линия, параллельная оси Контрольная работа по технической механике с решением. В т. Контрольная работа по технической механике с решением на эпюре Контрольная работа по технической механике с решением скачок на величину Контрольная работа по технической механике с решением. Эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — наклонная прямая, т.к. Контрольная работа по технической механике с решением возрастает, тангенс угла наклона Контрольная работа по технической механике с решением равен Контрольная работа по технической механике с решением.

Участок 2:

То же самое, что и на участке 1, только Контрольная работа по технической механике с решением, поэтому Контрольная работа по технической механике с решением круче, чем Контрольная работа по технической механике с решением. В точке приложения силы Контрольная работа по технической механике с решением на эпюре Контрольная работа по технической механике с решением скачок на величину этой силы Контрольная работа по технической механике с решением.

Участок 3:

Имеется равномерно распределенная нагрузка, следовательно, Контрольная работа по технической механике с решением — наклонная прямая, тангенс угла наклона равен Контрольная работа по технической механике с решением. Так как Контрольная работа по технической механике с решением убывает. Эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — кривая второго порядка (парабола), имеющая максимум при Контрольная работа по технической механике с решением. При Контрольная работа по технической механике с решением возрастает, при Контрольная работа по технической механике с решением убывает. Так Контрольная работа по технической механике с решением (направлена вниз, Контрольная работа по технической механике с решением), у Контрольная работа по технической механике с решением выпуклость вверх.

Участок 4:

Имеется равномерно распределенная нагрузка, следовательно, Контрольная работа по технической механике с решением наклонная прямая. В т. Контрольная работа по технической механике с решением скачок на величину реакции опоры Контрольная работа по технической механике с решением.

Эпюра Контрольная работа по технической механике с решением — парабола в выпуклостью вверх. В точке приложения момента на эпюре Контрольная работа по технической механике с решением скачок на величину момента Контрольная работа по технической механике с решением

Прочность при изгибе. Нормальные напряжения. Расчет на прочность

Нормальные напряжения зависят только от изгибающего момента, а касательные только от поперечной силы. Это позволяет упростить расчет нормальных напряжений для частного случая чистого изгиба, когда Контрольная работа по технической механике с решением.

Если подвергнуть плоскому изгибу брус с нанесенной на его поверхность сеткой, то наблюдаются следующие факты:

1) линии И и II—II на поверхности балки после деформирования повернутся на некоторый угол Контрольная работа по технической механике с решением, оставаясь прямым, т.е. поперечные сечения плоские до деформирования остаются плоскими и после деформирования (гипотеза плоский сечений);

2) волокно Контрольная работа по технической механике с решением на выпуклой стороне удлиняется (волокно растягивается), а волокно Контрольная работа по технической механике с решениемсокращается (сжимается), длина волокна Контрольная работа по технической механике с решением остается без изменений (не испытывает ни растяжения, ни сжатия).

Контрольная работа по технической механике с решением

Волокна, не изменяющие своей длины, образуют нейтральный слой. Линии пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения балки называется нейтральная ось.

Нормальные напряжения в любой точке сечения можно найти по формуле:

Контрольная работа по технической механике с решением

Расчет балок на прочность проводится по максимальным нормальным напряжениям, возникающим в тех поперечных сечениях, где наибольший изгибающий момент.

Для балок пластичных материалов (механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковые) условие прочности:

Контрольная работа по технической механике с решением

В случае симметричного сечения относительно нейтральной оси:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — осевой момент сопротивления (величина, которая зависит от формы и размеров сечения),

круг:

Контрольная работа по технической механике с решением

квадрат:

Контрольная работа по технической механике с решением

прямоугольник:

Контрольная работа по технической механике с решением

двутавр, швеллер из сортамента.

Для балок из хрупких материалов составляют два условия прочности:

  • для зоны растяжения:
Контрольная работа по технической механике с решением
  • для зоны сжатия:
Контрольная работа по технической механике с решением

Распределение нормальных нагрузок по сечению таково, что часть материала, находящегося около нейтральной оси, почти не нагружена. Наиболее целесообразно использовать двухтавровое поперечное сечение, для которого с наименьшими затратами материала можно получить наибольший момент сопротивления.

Выбор сечения

При растяжении наибольшие нормальные напряжения находятся на максимальном расстоянии от нейтральной оси и равны

Контрольная работа по технической механике с решением

а возле нейтральной оси материал нагружен мало. Момент сопротивления сечения

Контрольная работа по технической механике с решением

Пример 2: Для балки пример I подобрать поперечное сечение.

  • Выбираем двутавровое сечение, для которого момент сопротивления сечения
Контрольная работа по технической механике с решением

По сортаменту ГОСТ 8239-87 выбираем двутавровую балку, с

Контрольная работа по технической механике с решением

и площадью поперечного сечениям

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Выбираем круглое сечение
Контрольная работа по технической механике с решением

Диаметр вала

Контрольная работа по технической механике с решением

Площадь поперечного сечения

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Выбираем квадратное сечение со стороной Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Площадь поперечного сечения

Контрольная работа по технической механике с решением

Сравним вес балок разного сечения

Контрольная работа по технической механике с решением

Так как материал и длина балок одинакова, то

Контрольная работа по технической механике с решением

Вывод: вес балки круглого сечения в 4,5 раза больше, чем вес балки двутаврового профиля. Вес балки квадратного сечения в 4 раза больше, следовательно, самое экономичное сечение — двутавровое. Кроме того, нормальные напряжения распределены таким образом, вблизи центра тяжести материал мало нагружен, напряжения увеличиваются по мере удаления от нейтрального слоя. Таким образом, наиболее целесообразно применять балки с двутавровым профилем сечения.

Касательные напряжения при изгибе

В общем случае изгиба (при поперечном изгибе) в поперечном сечении балки возникают изгибающие моменты и поперечные силы.

Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных напряжений и в ее продольных сечениях.

Контрольная работа по технической механике с решением

Рассмотрим балку прямоугольного сечения небольшой ширины. Вырежем из балки элемент длиной Контрольная работа по технической механике с решением и шириной, равной ширине балки Контрольная работа по технической механике с решением. На этот элемент действуют следующие силы:

  • на гране Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением действуют нормальные и касательные напряжения;
  • на гране Контрольная работа по технической механике с решением действуют только касательные напряжения, по закону парности равные касательным напряжением, действующим по вертикальным граням.
Контрольная работа по технической механике с решением

Касательные напряжения определяют по формуле Д.И.Журавского:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной оси.

По поперечному прямоугольному сечению касательные напряжения распределяются следующим образом: наибольшие касательные напряжения действуют на уровне нейтральной оси и равняются:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Для круглого сечения

Контрольная работа по технической механике с решением

Условие прочности по касательным напряжениям:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — допустимые касательные напряжения, для стальных балок Контрольная работа по технической механике с решением.

Некоторые материалы, например, дерево (вдоль волокон) очень плохо сопротивляется сдвигу, поэтому для таких балок проверка прочности за касательными напряжениями обязательная. Также обязательная проверка балок, площадь сечения которых близка по величине к их длине.

Жесткость при изгибе

Чтобы делать вывод о работе балок, недостаточно уметь проводить расчеты только на прочность. Может произойти такое, что довольно прочная балка не будет пригодна к эксплуатации вследствие недостаточной жесткости. Для расчетов па жесткость определяют перемещение при изгибе.

Под действием нагрузки балка искривляется, сечения балки смещаются перпендикулярно прямой оси и вместе с тем возвращаются вокруг своих нейтральных осей.

Смещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом.

Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки представляет собой изогнутую ось, которая называется упругой линией. Упругую линию можно рассматривать как график некоторой функции, которая определяется характеристикой нагрузки на балку, ее размерами и материалом.

Контрольная работа по технической механике с решением

Угол Контрольная работа по технической механике с решением, на который поворачивается сечение по отношению к ее первоначальному состоянию, называется углом поворота сечения. Угол поворота считают равным углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированной балки.

Приблизительное дифференциальное уравнение упругой линии:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — жесткость при изгибе.

Выбор знака определяется принятой системой координат:

Контрольная работа по технической механике с решением

Будем принимать систему координат а).

Для определения углов поворота Контрольная работа по технической механике с решением в и прогибов у необходимо провести интегрирование дифференциального уравнения упругой линии. Это возможно тремя способами: аналитическим, графическим, графоаналитическим.

Аналитический способ: Уравнение углов поворота:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — постоянная интегрирования.

Положительное значение угла поворота Контрольная работа по технической механике с решением указывает на то, что сечение поворачивается против часовой стрелки.

Уравнение прогибов:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — вторая постоянная интегрирования.

Положительное значение прогиба Контрольная работа по технической механике с решением указывает, что центр тяжести сечения перемещается вверх, т.е. в сторону положительных значений ординату Контрольная работа по технической механике с решением.

Постоянные интегрирования Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением определяются из начальных условий крепления балки.

Контрольная работа по технической механике с решением

Во многих случаях по эксплуатационным соображением максимальные прогибы ограничиваются допустимым прогибом Контрольная работа по технической механике с решением. Условие жесткости пары изгибе:

Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением — для подкрановых балок (Контрольная работа по технической механике с решением — пролет балок),

Контрольная работа по технической механике с решением — для гражданских сооружений,

Контрольная работа по технической механике с решением — в машиностроении в зависимости от назначения деталей.

Можно используя искусственные приемы вывести универсальные формулы

для прогиба:

Контрольная работа по технической механике с решением

для угла поворота:

Контрольная работа по технической механике с решением

Приемы при использовании универсальной формулы:

  1. Уравнение изгибающего момента в сечении составлять, рассчитывая момент внешних сил, расположенных между сечением и началом координат.
  2. Интегрировать уравнение без раскрытия скобок.

Недостаток этого метода в том, что нельзя определять перемещение в балках переменной жесткости (надо условно превращать в балки постоянной жесткости).

Перемещение для любой линейно деформированной системы при любой нагрузке можно определить методом О. Мор. Этот метод заключается в том, что кроме заданного (нагруженного) состояния Контрольная работа по технической механике с решением, выбирается дополнительное (фиктивное) состояние балки Контрольная работа по технической механике с решением нагруженной единичной силой, действующей в точке, где определяется перемещение, и направленной в направлении перемещения. Рассчитывается виртуальная работа внешних и внутренних сил фиктивного состояния на перемещениях, которые вызваны действием сил нагруженного состояния.

Любое перемещение (линейное или угловое) определяется по формуле (интегралом Мор):

Контрольная работа по технической механике с решением

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мор можно пользоваться графоаналитическим методом (способом перемножения эпюр) -правилом Верещагина.

Интеграл Контрольная работа по технической механике с решением равен произведению площади эпюры Контрольная работа по технической механике с решением (Контрольная работа по технической механике с решением, на о

расположенную под ее центром веса ординату прямолинейной эпюры Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением

Знак считается положительным, если обе эпюры расположены с одной стороны. Результаты перемножения ряда эпюр приводятся в справочниках.

Примеры решения задач технической механике

Элементы общей теории напряженного состояния

Исследовать напряженное состояние в точке — это значит получить зависимости, позволяющие определить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку.

Если вырезать вокруг произвольной точки стрежня поперечными и продольными перерезами бесконечно малый параллелепипед, на его гранях будут действовать только нормальные напряжения. Отсутствие нормальных напряжений на других гранях является следствиям того, что нет нажатия продольных волокон одно на один.

Контрольная работа по технической механике с решением

В общем случае в наклоненных сечениях будут действовать нормальные Контрольная работа по технической механике с решением и касательные Контрольная работа по технической механике с решением напряжение, величину которых можно найти из условия равновесия:

Контрольная работа по технической механике с решением

Максимального значения нормальные напряжения будут достигать при Контрольная работа по технической механике с решением, т.е. в сечении, перпендикулярном к оси стрежня, при этом Контрольная работа по технической механике с решением.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряжения имеют экстремальные значения, называются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие по главным площадкам, называются главными напряжениями.

При Контрольная работа по технической механике с решением — в продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.

При Контрольная работа по технической механике с решением максимальные касательные напряжения (при испытаниях на растяжение образцов из малоуглеродистых сталей на их поверхностях появляются заметные наклоненные линии -следствия сдвига частиц материла относительно друг друга — линии Чернова).

По перпендикулярным площадкам действуют равные касательные напряжения — закон парности касательных напряжений:

Контрольная работа по технической механике с решением

В каждой точке нагруженного бруса можно найти такое положение параллелепипеда, при котором три его грани окажутся главными площадками. На двух из них будут действовать экстремальные (наибольшие и наименьшие) главные напряжения, а на третьем — промежуточные.

Принимают Контрольная работа по технической механике с решением.

Если все три напряжения не равны нулю — объемное, трёхосное состояние.

Если одно из напряжений равняется нулю — плоское, двухосное состояние.

Если лишь одно из напряжений не равняется нулю — линейное, одноосное состояние.

Деформации, соответствующие напряженным состоянием, рассчитываются на основе принципа независимости действия сил на грани элемента.

Связь между относительной деформацией и напряжениями при объемном напряженном состоянии — обобщенный закон Гука:

Контрольная работа по технической механике с решением

Теории прочности

Важной задачей инженерных расчетов является оценка прочности по известному напряженному состоянию, т.е. по известным главным напряжениям.

При линейном напряженном состоянии предельные (опасное) напряжения легко установить экспериментально:

Контрольная работа по технической механике с решением — для пластичных материалов, Контрольная работа по технической механике с решением — для хрупких материалов.

Условие прочности для одноосного напряженного состояния:

Контрольная работа по технической механике с решением — растяжение,

Контрольная работа по технической механике с решением — сжатие.

При сложном напряженном состоянии экспериментально выявить предельные величины главных напряжений очень сложно. Для оценки прочности в условиях любого сложного состояния, высказывается гипотеза о преимуществе влияния на прочность того или другого фактора.

В расчетах на прочность заменяют сложное напряженное состояние равноопасным (эквивалентным) ему одноосным состоянием и сравнивают соответствующее напряжение с предельным, полученным в испытаниях на простое растяжение.

Контрольная работа по технической механике с решением

Гипотезы, которые указывают на признаки равной опасности разных напряженных состояний, называются теориями прочности.

Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений (целесообразна для довольно хрупких материалов):

Контрольная работа по технической механике с решением

Вторая теория прочности — теория наибольших деформаций (целесообразна для хрупкого состояния материала):

Контрольная работа по технической механике с решением

Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжений (целесообразна для пластичных и хрупких материалов):

Контрольная работа по технической механике с решением

Четвертая теория прочности — энергетическая теория формоизменения (целесообразна для пластичных материалов):

Контрольная работа по технической механике с решением

Изгиб с кручением

Часто встречаются случаи нагружения бруса, когда в поперечных сечениях одновременно действуют несколько силовых факторов (сложное сопротивление). При расчетах на сложное сопротивление выходят из принципа независимости действия сил, т.е. считают, что влиянием деформаций, вызванных одной из приложенных к упругой системе нагрузок, на результат действия других можно пренебрегать.

На диск, закрепленный на конце бруса, действует сила Контрольная работа по технической механике с решением. Приложим в точке Контрольная работа по технической механике с решением две равные и противоположно направленные силы Контрольная работа по технической механике с решением. Действие силы на брус можно представить крутящим моментом пары сил и силой Контрольная работа по технической механике с решением , приложенной в точке Контрольная работа по технической механике с решением и вызывающей поперечный изгиб.

Контрольная работа по технической механике с решением

Опасное сечение определяется по эпюрам крутящих и изгибающих моментов. Крутящий момент вызывает только касательные напряжения Контрольная работа по технической механике с решением максимального значения которые достигают в точках контура поперечного сечения. Изгибающий момент действует в горизонтальной плоскости, наибольшие напряжения Контрольная работа по технической механике с решением па концах горизонтального диаметра. Для вывода о прочности необходимо определить главные нормальные и касательные напряжения.

В точке Контрольная работа по технической механике с решением наблюдается плоское напряженное состояние с главными напряжениями:

Контрольная работа по технической механике с решением

Экстремальные значения касательных напряжений:

Контрольная работа по технической механике с решением

Для проверки прочности используют теории прочности. Чаще всего третью

Контрольная работа по технической механике с решением

или четвертую

Контрольная работа по технической механике с решением

Пример. Проверить вал диаметром 20 мм на прочность, если

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

материал сталь 40Х, для которой Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением

Рассмотрим отдельно изгиб и кручение, при чем, изгиб в двух плоскостях. Будем считать, что окружные силы Контрольная работа по технической механике с решением, действуют в вертикальной плоскости, а радиальные Контрольная работа по технической механике с решением — в горизонтальной.

Реакции в опорах определяем из уравнений равновесия. В вертикальной плоскости:

Контрольная работа по технической механике с решением

отсюда:

Контрольная работа по технической механике с решением

отсюда:

Контрольная работа по технической механике с решением

В горизонтальной плоскости

Контрольная работа по технической механике с решением

отсюда:

Контрольная работа по технической механике с решением

отсюда:

Контрольная работа по технической механике с решением

Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов. На вал действуют только сосредоточенные силы, в этом случае изгибающие моменты на опорах равны нулю и изменяются по линейным законам. Поэтому для построения эпюр изгибающих моментов необходимо вычислить их значение в точках Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

По полученным результатам строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюру крутящего момента, который равняется Контрольная работа по технической механике с решением, и действует между точками Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.

Из построенных эпюр видно, что, с точки зрения прочности, наиболее опасным является сечение в точке Контрольная работа по технической механике с решением, где действуют максимальные изгибающие моменты.

Определяем приведенный момент в расчетном сечении, используя III теорию прочности наибольших касательных напряжений:

Контрольная работа по технической механике с решением

Эквивалентные напряжения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Прочность вала достаточная.

Кинематика

Кинематика точки. Траектория движения точки

Кинематика рассматривает движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, т.е. без учета сил, вызывающих это движение.

Механическим движением тела называется изменение его положения относительно другого тела, происходящее в пространстве с течением времени.

Под точкой понимают тело, размерами которого при решении задачи можно пренебречь.

Задать способ описания движения точки означает установить совокупность таких параметров, с помощью которых можно однозначно установить положение точки в пространстве в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета.

Траектория движения — это линия, которую описывает подвижная шчка относительно выбранной системы отсчета.

По виду траектории можно охарактеризовать вид движении точки.

  1. Если, траектория движения точки прямая линия, движение называется прямолинейным.
  2. Если, траектория движения точки кривая линия, движение называется криволинейным.

Для задания движения точки существует 3 способа:

  1. векторный;
  2. координатный;
  3. естественный.
Курсовая работа по технической механике

Способы задания движения точки. Векторный способ задания движения точки.

Положение точки в любой момент времени можно определить с помощью вектора Контрольная работа по технической механике с решением, проведенного из начала отсчета Контрольная работа по технической механике с решением в подвижную точку Контрольная работа по технической механике с решением.

Вектор Контрольная работа по технической механике с решениемназывается радиус-вектор точки Контрольная работа по технической механике с решением — вектор, проведенный из неподвижной точки пространства в подвижную.

Контрольная работа по технической механике с решением

Закон движения точки в векторной форме

Контрольная работа по технической механике с решением

Относительно координатных осей уравнения движения точки в векторной форме:

Контрольная работа по технической механике с решением

Геометрическое место конечных точек радиус-вектора Контрольная работа по технической механике с решением — годограф этого вектора — определяет траекторию движения точки.

Координатный способ задания движения точки. Определение траектории точки

Закон движения точки при координатном способе задачи движения

в декартовой системе отсчета (можно выбрать любую систему координат, например, полярную, сферическую и т.д.)

Контрольная работа по технической механике с решением

Уравнение движения представляют собой одновременно уравнение траектории точки в параметрической форме, где параметром является время Контрольная работа по технической механике с решением.

Естественный способ задания движения точки

Для задачи движения точки натуральным способом надо знать:

  1. траекторию точки Контрольная работа по технической механике с решением;
  2. начало отсчета дуговой координаты на траектории (т. Контрольная работа по технической механике с решением);
  3. положительное и отрицательное направление отсчета дуговой координаты Контрольная работа по технической механике с решением;
  4. закон движения точки вдоль траектории

Положение точки Контрольная работа по технической механике с решением на траектории Контрольная работа по технической механике с решением будет однозначно установлено в каждый момент времени криволинейной (дуговой) координатой Контрольная работа по технической механике с решением -расстояние от неподвижной точки Контрольная работа по технической механике с решением до точки Контрольная работа по технической механике с решением вдоль дуги траектории с соответствующим знаком.

Контрольная работа по технической механике с решением

Закон движения точки вдоль траектории:

Контрольная работа по технической механике с решением

Скорость точки

Скорость точки — одна из основных кинематических характеристик движения, векторная величина, которая характеризует быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Каждому положению точки Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением в моменты времени Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением соответствует значение радиуса-вектора Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, тогда Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор перемещения точки Контрольная работа по технической механике с решением за промежуток время Контрольная работа по технической механике с решением направлен по хорде,

Средней скоростью точки называется векторная величина, которая равняется отношению вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени:

Контрольная работа по технической механике с решением

Направление вектору Контрольная работа по технической механике с решением совпадает с вектором перемещения Контрольная работа по технической механике с решением.

Скорость точки в данный момент времени — это векторная величина, которая равняется первой производной от радиус-вектора точки по времени:

Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Единицей измерения скорости является 1 м/с.

Определение скорости по проекциям на оси координат.

При координатном способе задания движения точки проекции скорости на оси координат определяются как первые производные от соответствующих координат точки по времени:

Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль вектора скорости равняется:

Контрольная работа по технической механике с решением

Направление вектора скорости:

Контрольная работа по технической механике с решением

Определение скорости точки при естественном способе задания движения точки

Алгебраическая (численная) величина скорости точки в данный момент времени равняется первой производной от дуговой координаты точки по времени:

Контрольная работа по технической механике с решением

Алгебраическая (численная) величина скорости определяет одновременно и модуль вектора скорости и направление (по знаку производной).

Путь, пройденный точкой за промежуток времени Контрольная работа по технической механике с решением определяется с помощью интеграла

Контрольная работа по технической механике с решением

Дуговую координату Контрольная работа по технической механике с решением не следует отождествлять с длиной пути.

Ускорение точки

Ускорением точки в данный момент времени называются первую производную скорости по времени или вторую производную радиус-вектора точки по времени

Контрольная работа по технической механике с решением

При координатном способе задания движения проекции вектора ускорения точки в данный момент времени определяются как первые производные от проекций скорости или вторые производные от координат точки по времени:

Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль вектора ускорения равняется:

Контрольная работа по технической механике с решением

Направление ускорения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Единицы измерения ускорения Контрольная работа по технической механике с решением.

Касательное и нормальное ускорение

Касательным (тангенциальным) ускорением Контрольная работа по технической механике с решением точки называется проекция ускорения точки на касательную к траектории, т.е. на вектор скорости.

Касательное ускорение равняется первой производной от алгебраической величины скорости или второй производной от дуговой координаты Контрольная работа по технической механике с решением за временем:

Контрольная работа по технической механике с решением

В практических расчетах касательное ускорение часто определяют по формуле

Контрольная работа по технической механике с решением

Касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по величине.

Значение касательного ускорения характеризует движение точки:

  1. Контрольная работа по технической механике с решением — вектор скорости не изменяется по величине;
  2. Контрольная работа по технической механике с решением— вектор скорости совпадает с касательным ускорением -движение точки ускоренное;
  3. Контрольная работа по технической механике с решением — вектор скорости направлен противоположно касательному ускорению -движение точки замедлено.

Нормальным ускорением точки Контрольная работа по технической механике с решением называется проекция ускорения точки на главную внутреннюю нормаль к траектории. Нормальное ускорение равняется:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — радиус кривизны траектории в данной точке.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости направлению.

Нормальное ускорение всегда положительная величина. Нормальное ускорение характеризует движение по виду траектории точки:

Контрольная работа по технической механике с решением — движение точки криволинейное (Контрольная работа по технической механике с решением);

Контрольная работа по технической механике с решением — движение криволинейное и траектория окружность известного радиуса;

Контрольная работа по технической механике с решением — движение точки прямолинейное (Контрольная работа по технической механике с решением)

Ускорение точки (полное ускорение) Контрольная работа по технической механике с решением определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений.

Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль ускорения

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Кинематика твердого тела

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая линия, проведенная в теле, перемещается параллельно своему начальному положению.

При поступательном движении:

  • все точки тела описывают одинаковые траектории;
  • скорости всех точек тела одинаковы в данный момент времени
Контрольная работа по технической механике с решением
  • ускорение всех точек тела одинаковы в данный момент времени
Контрольная работа по технической механике с решением

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением любой одной его точки, т.е. кинематика поступательного движения может быть сведена к кинематике точки.

Вращательное движение твердого тела

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором остаются неподвижными все точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения.

Все другие точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения и описывают окружности, радиусы которых равняются расстояниям от точек до оси вращения, а центры лежат на неподвижной оси.

Контрольная работа по технической механике с решением — неподвижная полуплоскость, Контрольная работа по технической механике с решением — подвижная полуплоскость, Контрольная работа по технической механике с решением — неподвижная ось вращения.

Контрольная работа по технической механике с решением — угол поворота — двугранный угол, который образуется при вращении тела, между подвижной и неподвижной полуплоскостями.

Каждому моменту времени соответствует определенное значение угла поворота, т.е. угол Контрольная работа по технической механике с решением является функцией времени и представляет собой закон вращательного движения:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Единицей измерения угла вращения является 1 радиан.

Угловая скорость тела

Угловая скорость Контрольная работа по технической механике с решением — вектор, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращения тела видно против движения часовой стрелки и проекция которого на ось вращения равняется первой производной от угла поворота по времени.

Контрольная работа по технической механике с решением

Угловая скорость определяет направление вращения тела.

Если:

Контрольная работа по технической механике с решением — вращение тела против часовой стрелки;

Контрольная работа по технической механике с решением — вращение тела по часовой стрелке;

Контрольная работа по технической механике с решением — остановка вращения или изменение направления вращения.

Единицы измерения угловой скорости 1 (рад/сек) или (Контрольная работа по технической механике с решением) .

Угловое ускорение тела.

Угловое ускорение Контрольная работа по технической механике с решением вектор, направленный вдоль оси вращения и его проекция на ось вращения равняется первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени.

Контрольная работа по технической механике с решением

Векторы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением не имеют точки приложения, являются скользящими условными векторами.

Вращение тела считается:

  • ускоренным, если модуль угловой скорости с течением времени возрастает, т.е. величины Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением совпадают по знаку: Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением или Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.
  • замедленным, если модуль угловой скорости с течением времени уменьшается, т.е. величины Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением противоположные по знаку: Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением или Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.
  • равномерным, если — угловая скорость тела постоянна Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решениемКонтрольная работа по технической механике с решением

Единица измерения углового ускорения Контрольная работа по технической механике с решением или Контрольная работа по технической механике с решением. Угловая скорость и угловое ускорение — кинематические характеристики всего тела.

Скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Скорости отдельных точек тела называют линейными или окружными.

Линейная (окружная) скорость точки Контрольная работа по технической механике с решением зависит от угловой скорости тела Контрольная работа по технической механике с решением и радиуса вращения Контрольная работа по технической механике с решением.

Модуль линейной скорости точки тела, вращающегося с угловой скоростью Контрольная работа по технической механике с решением равен:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением расстояние от соответствующей точки до оси вращения.

Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор линейной скорости направлен по касательной к траектории — окружности вращения, т.е. Контрольная работа по технической механике с решением.

Ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Линейное ускорение точки тела при вращении складывается из вращательного Контрольная работа по технической механике с решением и осестремительного Контрольная работа по технической механике с решением ускорения, составляющих полное ускорение Контрольная работа по технической механике с решением.

Вращательное ускорение Контрольная работа по технической механике с решением (касательное) ускорение зависит от алгебраической величины углового ускорения тела Контрольная работа по технической механике с решением и радиуса вращения Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор Контрольная работа по технической механике с решением направлен по касательной к окружности коллинеарно вектору скорости.

Осестремнтельное ускорение Контрольная работа по технической механике с решением (нормальное) ускорение точки зависит от угловой скорости вращения тела и радиуса вращения Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор осестремительного Контрольная работа по технической механике с решением ускорения направлен по радиусу вращения точки к центру вращения.

Полное ускорение точки тела Контрольная работа по технической механике с решением определяют, как векторную сумму вращательного Контрольная работа по технической механике с решением и осестремительного Контрольная работа по технической механике с решением ускорений:

Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль полного ускорения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинематика зубчатых механизмов

Механизм — система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких тел в необходимые движения других тел.

Передаточный механизм служит для преобразования вида движения, изменения величины и направления скорости рабочего органа.

Зубчатые механизмы — механизмы, в которых передача движения от одного звена к другому происходит по помощи зубьев, нанесенных на поверхность звена.

Они получили широкое использование в технике: кинематических передачах, приборах и т.п.

Контрольная работа по технической механике с решением

Профиль зубьев зубчатых колес чаще всего эвольвентный.

Эвольвента — траектория точки, лежащей на прямой, которая может быть получена в результате перекатывания прямой по окружности без скольжения.

Основная теорема зацепления — теорема Виллиса

Контрольная работа по технической механике с решением

Зацепление зубьев зубчатых колес будет непрерывным с постоянным передаточным отношением, если общая нормаль к боковым профилям зубьев делит межосевое расстояние на части обратно пропорциональные угловым скоростям, а точка пересечения общей нормали с линией центров занимает постоянное положение. Она выражается отношением:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — передаточное отношение пары зубчатых колес. Передаточное число Контрольная работа по технической механике с решением — это передаточное отношение в направлении силового потока.

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — частота вращения колес

Контрольная работа по технической механике с решением

Полюс зацепления Контрольная работа по технической механике с решением — точка пересечения общей нормали с линией центров.

Окружности, проходящие через полюс зацепления, называются основными окружностями. В процессе вращения зубчатых колес эти окружности перекатываются друг по другу без скольжения. В передачах, изготовленных без смещения режущего инструмента, основные окружности совпадают с делительными. Общая нормаль Контрольная работа по технической механике с решением имеет название линия зацепления, все точки контакта зубьев всегда находятся на этой линии.

Угол между общей нормалью и общей касательной называется угол зацепления Контрольная работа по технической механике с решением. Отрезок Контрольная работа по технической механике с решением называется техническая линия зацепления. Действительная линия зацепления лежит на пересечении линии Контрольная работа по технической механике с решением с окружностями вершин — отрезок Контрольная работа по технической механике с решением.

За время зацепления пары зубьев точка бокового профиля зуба, лежащего на делительной окружности, описывает траекторию, которая называется дугой зацепления.

Преимущества эвольвентных передач:

  • возможность изменения в некоторых пределах межосевого расстояния без нарушения сопряженных профилей,
  • зацепление колеса с любым другим колесом при одинаковых параметрах зацепления, возможность осуществления передачи без мертвого хода,
  • относительно простое изготовление колес.
Помощь по технической механике

Основные геометрические параметры зубчатых передач

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

С помощью одной пары зубчатых колес возможно реализовать передаточное отношение до 6. Если надо реализовать большее передаточное отношение используют сложные зубчатые механизмы: — механизмы с недвижимыми осями;

  • механизмы, в которых некоторые оси вращаются вокруг неподвижных осей (сателитные).

Механизмы с неподвижными осями: ступенчатые, рядуые.

Ступенчатое зацепление — колеса находятся в зацеплении попарно (стрелочный электропривод).

Контрольная работа по технической механике с решением

Передаточное отношение по степеням:

Контрольная работа по технической механике с решением

Общее передаточное отношение ступенчатого механизма равняется произведению передаточных отношений отдельных степеней, или отношению произведения чисел зубьев парных зубчатых колес к произведению чисел зубьев непарных зубчатых колес.

Знак передаточного отношения:

  • для внешнего зацепления „ — „
  • для внутреннего зацепления „ +»

Когда количество внешних зацеплений нечетное знак «—», когда четное «+».

Контрольная работа по технической механике с решением

Рядное зацепление — общее передаточное отношение равняется произведению передаточных чисел отдельных степеней

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Общее передаточное отношение рядового зацепления зависит от количества зубьев крайних механизмов. Промежуточные зубчатые колеса, не влияющие на передаточное отношение, называются паразитарными.

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях параллельных некоторой недвижимой плоскости, называемой базовой.

Изучение плоского движения абсолютно твердого тела можно свести к изучению движения одной плоской фигуры (сечения), которое определяется движением трех его точек, не лежащих на одной прямой.

Контрольная работа по технической механике с решением

Точка Контрольная работа по технической механике с решением — полюс с координатами Контрольная работа по технической механике с решением. Задав угол поворота тела вокруг прямой, которая проходит через полюс Контрольная работа по технической механике с решением перпендикулярно к плоскости сечения Контрольная работа по технической механике с решением, получим закон плоскопараллельного движения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Уравнения Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением являются уравнениями поступательного движения полюса Контрольная работа по технической механике с решением, а уравнение Контрольная работа по технической механике с решением описывает закон вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.

Плоскопараллельное движение твердого тела состоит из поступательного, при котором все точки тела движутся вместе с полюсом, и вращательного движения вокруг полюса. Вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, а поступательная зависит.

Основные кинематические характеристики плоского движения тела:

  • скорость Контрольная работа по технической механике с решением и ускорение Контрольная работа по технической механике с решением поступательного движения полюса,
  • угловая скорость Контрольная работа по технической механике с решением и угловое ускорение Контрольная работа по технической механике с решением вращательного движения вокруг полюса.

Траектория произвольной точки Контрольная работа по технической механике с решением плоской фигуры определяется расстоянием от точки Контрольная работа по технической механике с решением до полюса Контрольная работа по технической механике с решением и углом вращения Контрольная работа по технической механике с решением вокруг полюса.

Определение скоростей точек плоской фигуры

Скорость произвольной точки тела определяется теоремой: скорость любой точки Контрольная работа по технической механике с решением тела равняется геометрической сумме скорости точки Контрольная работа по технической механике с решением, принятой за полюс, и вращательной скорости точки Контрольная работа по технической механике с решением в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Вращательная скорость точки Контрольная работа по технической механике с решением в ее вращении вокруг полюса Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — угловая скорость вращательного движения тела вокруг полюса.

Вектор Контрольная работа по технической механике с решением направлен по касательной к окружности радиуса Контрольная работа по технической механике с решением, по которой вращается точка Контрольная работа по технической механике с решением вокруг полюса Контрольная работа по технической механике с решением, т.е. Контрольная работа по технической механике с решением в направлении вращения.

Модуль и направление скорости Контрольная работа по технической механике с решением построением соответствующего параллелограмма.

Контрольная работа по технической механике с решением — полюс, Контрольная работа по технической механике с решением — скорость поступательного движения полюса, Контрольная работа по технической механике с решением — угловая скорость тела

Контрольная работа по технической механике с решением

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

Покажем на рисунке распределение скоростей, из эпюры скоростей видно, что в теле существует точка (Контрольная работа по технической механике с решением), скорость которой в данный момент времени равно нулю Контрольная работа по технической механике с решением.

Мгновенный центр скоростей (МЦС — точка Контрольная работа по технической механике с решением) — точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю Контрольная работа по технической механике с решением.

МЦС плоской фигуры находится на перпендикуляре к направлению скорости полюса Контрольная работа по технической механике с решением на расстоянии, которое равняется Контрольная работа по технической механике с решением. МЦС рассматривается в качестве полюса.

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Скорость произвольной точки тела, которая принадлежит плоской фигуре, равняется ее вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей:
Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль скорости произвольной точки Контрольная работа по технической механике с решением равняется произведению угловой скорости тела на длину отрезка от точки до МЦС

Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор Контрольная работа по технической механике с решением направлен перпендикулярно к отрезку от точки до МЦС в направлении вращения тела: Контрольная работа по технической механике с решением.

  • Модули скоростей точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС.
Контрольная работа по технической механике с решением

Случаи определения мгновенного центра скоростей

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Если известны скорость одной точки тела Контрольная работа по технической механике с решением , угловая скорость вращения тела Контрольная работа по технической механике с решением, то для нахождения МЦС (Контрольная работа по технической механике с решением) необходимо повернуть вектор Контрольная работа по технической механике с решением в сторону вращения на Контрольная работа по технической механике с решением и на найденном луче отложить отрезок Контрольная работа по технической механике с решением, который равняется:
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Если скорости двух точек тела параллельны и перпендикулярны прямой, которая проходит через эти точки, то МЦС находится в точке пересечения этой прямой и прямой, которая соединяет концы векторов скоростей
Контрольная работа по технической механике с решением
  • Если известны направления скоростей двух точек тела и их направления не параллельны, то МЦС находится в точке Контрольная работа по технической механике с решением пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям в этих точках.
Контрольная работа по технической механике с решением

В случаях 2 и 3 возможные исключения

Контрольная работа по технической механике с решением

(мгновенно поступательное движение или мгновенный покой).

  • Если колесо катится по недвижимой поверхности без скольжения, то МЦС (Контрольная работа по технической механике с решением) находится в точке соприкосновения колеса с недвижимой поверхностью.

Плоскопараллельное движение можно считать сложным движением

Контрольная работа по технической механике с решением

Сложное движение точки

Контрольная работа по технической механике с решением

Сложным движением точки называется такое движение, при котором точка одновременно принимает участие в нескольких движениях.

Контрольная работа по технической механике с решением — неподвижная (абсолютная) система отсчета

Контрольная работа по технической механике с решением — подвижная (относительная) система отсчета

Точка Контрольная работа по технической механике с решением движется относительно двух систем отсчета.

Контрольная работа по технической механике с решением — траектория точки относительно подвижной системы Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением — траектория точки относительно неподвижной системы Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением — траектория точки вместе с подвижной системой (переносящей средой) относительно неподвижной системы отсчета

Относительным движением называется движение точки относительно подвижной системы отсчета.

Контрольная работа по технической механике с решением — относительная траектория (траектория движения точки в ее относительном движении).

Контрольная работа по технической механике с решением — относительная скорость точки (скорость по отношению к подвижной системе отсчета, направленная по касательной к соответствующей относительной траектории Контрольная работа по технической механике с решением в направлении движения).

Контрольная работа по технической механике с решением — относительное ускорение (ускорение точки в относительном движении).

Переносным движением называется движение, которое создает подвижная система (переносящая среда) отсчета вместе с точкой относительно неподвижной системы отсчета.

Контрольная работа по технической механике с решением — переносная траектория (траектория движения точки в ее переносном движении).

Контрольная работа по технической механике с решением— переносная скорость (скорость точки вместе с подвижной системой по отношению к неподвижной системе отсчета, направленная по касательной к соответствующей переносной траектории Контрольная работа по технической механике с решением в направлении движения).

Контрольная работа по технической механике с решением — переносное ускорение (ускорение точки вместе с подвижной системой по отношению к недвижимой системе отсчета).

Абсолютным движением называется движение точки относительно недвижимой системы отсчета.

Контрольная работа по технической механике с решением — абсолютная траектория (траектория движения точки относительно неподвижной системы отсчета).

Контрольная работа по технической механике с решением — абсолютная скорость (скорость точки по отношению к недвижимой системе отсчета, направленная по касательной к соответствующей абсолютной траектории А\В\ в направлении движения).

Контрольная работа по технической механике с решением — абсолютное ускорение (ускорение точки в абсолютном движении).

Вывод: Абсолютное движение точки является сложным движением, т.к. состоит из относительного и переносног о движений.

Заказать работу по технической механике

Определение скоростей точки

При сложном движении абсолютная скорость точки равняется геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей.

Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль абсолютной скорости:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Если

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Если

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Определение ускорений точки

Абсолютное ускорение точки равняется геометрической сумме трех векторов: относительного ускорения Контрольная работа по технической механике с решением, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного ускорения Контрольная работа по технической механике с решением, характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении, и ускорения Кориолиса Контрольная работа по технической механике с решением, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движение

Контрольная работа по технической механике с решением

Ускорением Кориолиса точки называется двойное векторное произведение угловой скорости переносящей среды и относительной скорости точки.

Контрольная работа по технической механике с решением

Свойства ускорения Кориолиса

Модуль ускорения Кориолиса определяется, как удвоенное векторное произведению угловой скорости переносного движения Контрольная работа по технической механике с решением и величины относительной скорости точки Контрольная работа по технической механике с решением:

Контрольная работа по технической механике с решением

Вектор ускорения Кориолиса направлен перпендикулярно плоскости, которая проходит через векторы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением, в том направлении, откуда кратчайшее наложение этих векторов видно против часовой стрелки.

Если векторы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением взаимно перпендикулярны, направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского:

Ускорение Кориолиса направлено так, как вектор относительной скорости точки, повернутый на 90° в направлении переносного вращения.

Ускорение Кориолиса равняется нулю, когда:

  • 1 Переносящая среда движется поступательно или имеет место моментальная остановка вращения переносящей среды (или изменение направления движения) (Контрольная работа по технической механике с решением;
  • 2 Относительная скорость точки Контрольная работа по технической механике с решением в данный момент времени равна нулю (относительный мгновенный покой).
  • 3 Относительная скорость точки Контрольная работа по технической механике с решением в данный момент времени параллельна угловой скорости со переносящей среды.

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются законы движения материальных тел в зависимости от действующих на них сил.

Основные законы динамики

  1. Закон инерции (1 закон Галилея).

Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до того времени, пока приложенные силы не изменят это состояние.

Инертность — способность тела сохранять скорость своего движения неизменной, т.е. сохранять полученное ранее механическое движение.

Движение, которое совершает точка при отсутствии сил, называется движением но инерции.

Инерционными системами отсчета (условно неподвижными) называют системы отсчета, относительно которых происходит движение тел с течением времени и выполняется закон инерции.

  1. Закон пропорциональности силы и ускорения (основной закон динамики).

Ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе и имеет одинаковое с ней направление.

Контрольная работа по технической механике с решением

Количественной мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении является ее масса (Контрольная работа по технической механике с решением). Единица измерения массы 1 кг.

Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции Контрольная работа по технической механике с решением.

Момент инерции тела относительно оси Контрольная работа по технической механике с решением (осевой момент инерции) — скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний Контрольная работа по технической механике с решением до оси:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — радиус инерции тела или точки тела — расстояние от точки до оси вращения.

Единицей измерения момента инерции считают Контрольная работа по технической механике с решением.

  1. Закон равенства действия и противодействия.

Каждому действия соответствует равное по модулю и противоположное по направлению противодействие.

Яблонский решебник

Динамика точки

Дифференциальные уравнения свободной материальной точки.

Свободная материальная точка Контрольная работа по технической механике с решением известной массы Контрольная работа по технической механике с решением, движется под действием системы сил Контрольная работа по технической механике с решением равнодействующая системы Контрольная работа по технической механике с решением.

Ускорения, которое придает система сил точке, является суммарным вектором Контрольная работа по технической механике с решением направленным по вектору равнодействующей.

Основное уравнение динамики для системы сил:

Контрольная работа по технической механике с решением

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — проекции ускорения Контрольная работа по технической механике с решением на координатные оси,

Контрольная работа по технической механике с решением — проекции сил Контрольная работа по технической механике с решением на координатные оси.

Две задачи динамики точки.

Первая задача динамики (прямая).

Дано: масса точки Контрольная работа по технической механике с решением и уравнение ее движения Контрольная работа по технической механике с решением Определить модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

Решение первой задачи динамики проводится методом двойного дифференцирования уравнений движения по времени.

Вторая задача динамики (обратная, основная).

Дано масса точки Контрольная работа по технической механике с решением, силы, действующие на точку, а также начальное положение Контрольная работа по технической механике с решением и начальная скорость Контрольная работа по технической механике с решением, Определить закон движения Контрольная работа по технической механике с решением

Решение второй задачи динамики осуществляется методом интегрирования (двойного по времени) дифференциальных уравнений при известных начальных условиях.

Динамика твердого тела

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение и движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения остальных.

Материальное тело рассматривается, как система материальных точек (частиц), которые образуют это тело.

Классификация сил, действующих на механическую систему

Внешними Контрольная работа по технической механике с решением называются такие силы, которые действуют на точки или тела механической системы со стороны точек или тел, которые не принадлежат данной системе.

Внутренними Контрольная работа по технической механике с решением называют такие силы, которые действуют на точки или тела механической системы со стороны точек или тел той же системы, т.е. с которыми точки или тела данной системы взаимодействуют между собой.

Внешние и внутренние силы системы, в свою очередь могут быть активными и реактивными.

Свойства внутренних сил.

1) Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю

Контрольная работа по технической механике с решением

2) Сумма моментов (главный вектор) всех внутренних сил системы относительно какого-нибудь центра или оси равняется нулю

Контрольная работа по технической механике с решением

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Система Контрольная работа по технической механике с решением — материальных точек Контрольная работа по технической механике с решением, масса каждой точки соответственно Контрольная работа по технической механике с решением, находится под действием приложенных к точкам внешних и внутренних сил. Равнодействующие сил соответственно Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением. Основное уравнение динамики для каждой точки

Контрольная работа по технической механике с решением

Для механической системы Контрольная работа по технической механике с решением — материальных точек будет получено Контрольная работа по технической механике с решением — дифференциальных уравнений движения системы в векторном виде

Контрольная работа по технической механике с решением

Общие теоремы динамики

Теорема о движении центра масс механической системы

Масса системы равняется алгебраической сумме масс всех точек или тел системы

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — масса механической системы, Контрольная работа по технической механике с решением — масса, Контрольная работа по технической механике с решением — точки системы.

В однородном поле тяжести, для которого Контрольная работа по технической механике с решением, вес любой частицы тела пропорционален его массе. Поэтому распределение масс в теле можно определить по положению его центра тяжести — геометрической точки Контрольная работа по технической механике с решением, называемой центром масс или центром инерции механической системы:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Выводы:

Механическую систему или твердое тело можно рассматривать как материальную точку в зависимости от характера ее движения, а не от ее размеров.

Внутренние силы не учитываются теоремой о движении центра масс.

Теорема о движении центра масс не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное.

Теорема об изменении количества движения

Количество движения (материальной точки — векторная величина Контрольная работа по технической механике с решением, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.

Единицей измерения количества движения является (кг-м/с).

Количество движения механической системы — векторная величина Контрольная работа по технической механике с решением, равная геометрической сумме (главному вектору) количества движения всех точек системы.

Контрольная работа по технической механике с решением

или количество движения системы равняется произведению массы всей системы на скорость ее центра масс

Контрольная работа по технической механике с решением

Когда тело (или система) движется так, что ее центр масс остается неподвижным Контрольная работа по технической механике с решением, то количество движения тела равно нулю Контрольная работа по технической механике с решением (например, вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела).

Если движение тела сложное, то Контрольная работа по технической механике с решением не будет характеризовать вращательную часть движения при вращении вокруг центра масс. Т.е., количество движения Контрольная работа по технической механике с решением характеризует только поступательное движение системы (вместе с центром масс).

Импульс силы характеризует действие силы за некоторый промежуток времени.

Импульс Контрольная работа по технической механике с решением силы Контрольная работа по технической механике с решением за конечный промежуток времени Контрольная работа по технической механике с решением определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов

Контрольная работа по технической механике с решением

Проекции импульса силы на оси координат:

Контрольная работа по технической механике с решением

Единица измерения импульса силы

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении количества движения материальной точки (в дифференциальной форме):

Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении количества движения материальной точки (в интегральной форме):

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за этот промежуток времени.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении количества движения механической системы (в дифференциальной форме):

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении количества движения механической системы (в интегральной форме):

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Контрольная работа по технической механике с решением

Закон сохранения количества движения системы.

  1. Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равняется нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным по направлению и по модулю.
  2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь произвольную ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось является величиной постоянной.

Законы сохранения свидетельствуют, что внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.

Теорема об изменении момента количества движения

Момент количества движения точки Контрольная работа по технической механике с решением относительно центра Контрольная работа по технической механике с решением — это вектор Контрольная работа по технической механике с решением, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения (Контрольная работа по технической механике с решением) и центр Контрольная работа по технической механике с решением в ту сторону, откуда поворот вектора (Контрольная работа по технической механике с решением) относительно центра Контрольная работа по технической механике с решением виден против часовой стрелки и равный:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Модуль вектора Контрольная работа по технической механике с решением равняется

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — плечо от центра Контрольная работа по технической механике с решением к вектору (Контрольная работа по технической механике с решением).

Момент количества движения Контрольная работа по технической механике с решением точки Контрольная работа по технической механике с решением относительно оси Контрольная работа по технической механике с решением равняется произведению проекции вектора (Контрольная работа по технической механике с решением) на плоскость перпендикулярную оси Контрольная работа по технической механике с решением, на плечо этой проекции относительно точки Контрольная работа по технической механике с решением пересечения оси с плоскостью.

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — проекция вектора Контрольная работа по технической механике с решением на плоскость Контрольная работа по технической механике с решением — плечо

Аналитическое выражение моментов количества движения точки относительно осей координат:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — координаты точки Контрольная работа по технической механике с решением, которая движется;

Контрольная работа по технической механике с решением — проекции скорости точки на соответствующие координатные оси.

Теорема (относительно центра)

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равняется геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема (относительно оси).

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой неподвижной оси равняется алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.

Контрольная работа по технической механике с решением

Законы сохранения момента количества движения.

  1. Если линия действия равнодействующей приложенных к материальной точке сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки остается постоянным.
  2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке сил относительно некоторой оси все время равняется нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой же оси остается постоянным.

Кинетическим моментом или главным моментом количества движения механической системы относительно центра называют вектор, который равняется геометрической сумме моментов количества движения всех материальных точек системы относительно этого же центра.

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси называют алгебраическую сумму моментов количеств движения всех материальных точек относительно той же оси

Контрольная работа по технической механике с решением

Проекция кинетического момента механической системы относительно центра Контрольная работа по технической механике с решением на ось, проходящую через этот центр, равняется кинетическому моменту системы относительно этой оси

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении главного момента количества движении системы (относительно центра) — теорема моментов

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равняется главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

Контрольная работа по технической механике с решением

В проекциях на оси координат:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — кинетические моменты механической системы относительно координатных осей;

Контрольная работа по технической механике с решением — главные моменты внешних сил относительно этих осей.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы (относительно оси).

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равняется главному моменту внешних сил относительно этой же оси.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема моментов имеет большое значение при изучении вращательного движения тел и разрешает не учитывать заведомо неизвестные внутренние силы.

Законы сохранения кинетического момента механической системы

  1. Если главный момент внешних сил относительно некоторого неподвижного центра все время равняется нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра величина постоянная.
  2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси величина постоянная.

Внутренние силы не могут изменить главный момент количества движения системы.

Случай вращающейся системы

Для вращающейся вокруг неподвижной оси Контрольная работа по технической механике с решением (или оси, проходящей через центр масс) системы, кинетический момент относительно оси вращения равняется произведению момента инерции относительно этой оси на угловую скорость

Контрольная работа по технической механике с решением

Дифференциальное уравнение вращательного движения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинетическая энергии это способность тела преодолевать препятствование во время движения.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинетическая энергия:

  • характеризует и поступательное и вращательное движения;
  • не зависит от направления движения точек системы и не характеризует изменение этих направлений;
  • характеризует действие и внутренних, и внешних сил.

Кинетическая энергия системы равняется сумме кинетических энергий тел составляющих систему

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы. Теорема Кьонига (о кинетической энергии системы).

Кинетическая энергия механической системы равняется сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе системы, и кинетической энергии системы в ее относительном движении относительно центра масс.

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — относительная скорость точки.

Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.

Определение кинетической энергии твердого тела при разных видах движения движениях

Кинетическая энергия поступательного движения

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинетическая энергия вращательного движения тела равняется половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости:

Контрольная работа по технической механике с решением

Кинетическая энергия плоскопараллельного движения тела

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — кинетическая энергия тела в поступательном движении вместе с центром масс,

Контрольная работа по технической механике с решением— кинетическая энергия при вращении тела вокруг подвижной оси Контрольная работа по технической механике с решением, проходящей через центр масс,

Контрольная работа по технической механике с решением — ось, проходящая через центр масс и перпендикулярная базовой плоскости,

Контрольная работа по технической механике с решением — масса системы,

Контрольная работа по технической механике с решением — скорость центра масс,

Контрольная работа по технической механике с решением — момент инерции тела относительно оси Контрольная работа по технической механике с решением,

Контрольная работа по технической механике с решением — угловая скорость вращения вокруг оси Контрольная работа по технической механике с решением.

Работа силы.

Работа силы характеризует действие силы на тело при некотором перемещении и определяет изменение модуля скорости подвижной точки.

Элементарная работа силы определяется как скалярная величина Контрольная работа по технической механике с решением, равная произведению проекции силы Контрольная работа по технической механике с решением па касательную к траектории,направленную в направлении движения точки, на бесконечно малое перемещение Контрольная работа по технической механике с решением точки, направленное вдоль этой касательной.

Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением — проекция силы Контрольная работа по технической механике с решением на вектор перемещения и скорости. .

Аналитическое выражение элементарной работы:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — проекции силы на оси координат,

Контрольная работа по технической механике с решением — элементарные перемещения относительно координатных осей.

Работа силы на конечном перемещении Контрольная работа по технической механике с решением равняется интегралу вдоль этого перемещения от элементарной работы.

Контрольная работа по технической механике с решением

или

Контрольная работа по технической механике с решением

Единица измерения работы силы и кинетической энергии 1 (Дж).

Мощность — это величина, определяющая работу силы за единицу времени.

Контрольная работа по технической механике с решением

Случаи определения работы сил.

Работа силы тяжести.

Контрольная работа по технической механике с решением

(+) — тело опускается (-) — тело поднимается.

Работа силы упругости.

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — длина недеформированной пружины

Контрольная работа по технической механике с решением — длина деформированной пружины

Контрольная работа по технической механике с решением — коэффициент жесткости

Работа силы трения, если величина трения постоянная

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — перемещения.

Работа сил, приложенных к вращающемуся телу.

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

где

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — момент вращения (момент сопротивления) тела вокруг оси Контрольная работа по технической механике с решением, проходящей через центр масс, Контрольная работа по технической механике с решением — коэффициент трения качения, Контрольная работа по технической механике с решением — угловое перемещения тела, Контрольная работа по технической механике с решением — линейное перемещение.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равняется алгебраической сумме робот всех действующих на точку сил на этом же перемещении.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равняется алгебраической сумме робот внутренних и внешних сил, действующих на материальные точки системы на том же перемещении.

Контрольная работа по технической механике с решением

Теорема об изменении кинетической энергии неизменной механической системы:

Изменение кинетической энергии неизменной системы на некотором перемещении равняется сумме робот внешних сил, действующих на точки системы на том же перемещении.

Контрольная работа по технической механике с решением

Силы, действующие в машинах

Силы и пары сил (моменты), которые приложены к механизму или машине, можно разделить на группы:

  1. Движущие силы и моменты, совершающие положительную работу (приложенные к ведущим звеньям).
  2. Силы и моменты сопротивления, совершающие отрицательную работу:
  • полезного сопротивления (совершают требуемую от машины работу и приложены к ведомым звеньям),
  • силы сопротивления.
  1. Силы тяжести и силы упругости пружин (как положительная, так и отрицательная работа).
  2. Силы и моменты, приложенные к корпусу или стойке извне (реакция фундамента и т.п.), которые не совершают работу.
  3. Силы взаимодействия между звеньями, действующие в кинематических парах.
  4. Силы инерции звеньев, обусловленные массой и движением звеньев с ускорением, могут осуществлять положительную, отрицательную работу и не совершать работы.

Силы в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи

Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением — нормальная сила, направленная по линии зацепления как общей нормали к поверхностям зубьев (реальная сила). Силы, действующие в зацеплении, принято прикладывать в полюсе зацепления. Силу Контрольная работа по технической механике с решением переносят в полюс и раскладывают на составляющие. Контрольная работа по технической механике с решением — окружная сила, Контрольная работа по технической механике с решением — радиальная сила.

Контрольная работа по технической механике с решением

Трение в механизмах и машинах

При исследовании физических основ явления трения различают внутреннее и внешнее трения.

Внутреннее трение — явление, происходящие в твердых, жидких и газообразных телах, при их деформации и приводящее к необратимому рассеиванию энергии.

Внешнее треиие — явление сопротивления относительному перемещению, возникающее между двумя телами в зонах соприкосновения поверхностей по касательным к ним и сопровождающееся диссипацией энергии.

Сила сопротивления при относительном перемещении одного тела по поверхности другого под действием внешней силы, тангенциально направленная к обшей границе между этими телами, называется сила трения.

Материал, который вводится на поверхность трения для уменьшения силы трения и интенсивности износа, называется смазывающим материалом. Подведение смазывающего материала к поверхности трения навивают смазкой.

В зависимости от характера относительного движения различают:

  • трение скольжения,
  • трение качения.

В зависимости от состояния поверхности трение скольжения бывает:

  • сухое — тела непосредственно касаются друг друга (без смазывания),
  • граничное — тела разделены смазочным маслом, но не по всей поверхности,
  • жидкостное — тела разделены объемом смазочного материала.

Трение скольжения

Трение скольжения имеет место при относительном движении двух тел, скорости которых в точке контакта различны.

Оно обусловлено двумя факторами:

  • шероховатостью поверхностей,
  • силами межмолекулярного взаимодействия между двумя телами.

Сила трения определяется по формуле:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — коэффициент трения скольжения,

Контрольная работа по технической механике с решением — нормальная составляющая реакции,

Контрольная работа по технической механике с решением — постоянная величина, учитывающая силы межмолекулярного взаимодействия.

Как правило, этой величиной пренебрегают. Тогда:

Контрольная работа по технической механике с решением

Коэффициент трения Контрольная работа по технической механике с решением зависит от:

  • материала,
  • чистоты обработки поверхности,
  • смазки,
  • относительной скорости (уменьшается с увеличением скорости),
  • удельного давления (увеличивается с увеличением нагрузки).

Трение в плоском ползуне

Контрольная работа по технической механике с решением

При равномерном прямолинейном относительном движении должны выполняться условия:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — движущая сила, Контрольная работа по технической механике с решением — сила прижатия.

Действие сил Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением можно заменить равнодействующей Контрольная работа по технической механике с решением. Угол между общей нормальной реакцией Контрольная работа по технической механике с решением и полной реакцией Контрольная работа по технической механике с решением называется угол трения Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Для равномерного прямолинейного движения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Для приведения ползуна в движение необходима сила, которая больше силы, обеспечивающей равномерное движение. Предельная сила, соответствующая началу относительного движения, называется силой трения покоя Контрольная работа по технической механике с решением.

Коэффициент трения покоя:

Контрольная работа по технической механике с решением

Коэффициент трения движения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Чаще всего

Контрольная работа по технической механике с решением

Трение в клинообразном ползуне

Из условия равновесия:

Контрольная работа по технической механике с решением

Сила трения:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — приведенный коэффициент трения.

Контрольная работа по технической механике с решением

Увеличение коэффициента трения в клинообразном ползуне широко используется в технике (треугольный профиль крепежных резьб, клиноременные передачи и др.)

Трение во вращательных парах

Из условия равновесия:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — момент трения.

Сила трения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Момент трения:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Когда углы трения малые можно учитывать, что

Контрольная работа по технической механике с решением

при

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Момент трения во вращательной паре:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением— коэффициент трения во вращательной пари, определяется экспериментально для различных условий работы пар, материала, состояния поверхностей и т.п. (для неприработанных поверхностей Контрольная работа по технической механике с решением, для приработанных — Контрольная работа по технической механике с решением).

Трение качения

Трение качения возникает в высших кинематических парах, скорости которых в точка соприкосновения одинаковы по величине и по направлению. Оно обусловлено:

  • деформацией реальных тел,
  • явлением перемещений на поверхности тел,
  • явлением межмолекулярного взаимодействия,
  • наличием относительного скольжения.

В зоне контакта неподвижного цилиндра местная деформация контактного сжатия, напряжение распределяются по эллиптическому закону и линия действия равнодействующей Контрольная работа по технической механике с решением этих напряжений совпадает с линией действия силы нагрузки на цилиндр Контрольная работа по технической механике с решением. При перекатывании цилиндра распределение нагрузки становится несимметричным с максимумом, смещенным в сторону движения. Равнодействующая Контрольная работа по технической механике с решением смещается на величину Контрольная работа по технической механике с решением — плечо силы трения качения, которая еще называется коэффициентом трения качения и имеет размерность длины (см). При качении необходимо преодолеть момент трения качения:

Контрольная работа по технической механике с решением
Контрольная работа по технической механике с решением

Под действием внешней силы Контрольная работа по технической механике с решением цилиндр равномерно перекатывается без скольжения. На цилиндр действуют силы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением. Из условия равновесия:

Контрольная работа по технической механике с решением

Под действием силы Р цилиндр может при одних условиях перекатываться, в других скользить. Если к _

Контрольная работа по технической механике с решением — чистое качение

Контрольная работа по технической механике с решением — и качение, и скольжение

Контрольная работа по технической механике с решением — чистое скольжение.

Негативными последствиями трения в механизмах являются:

износ — изменение размеров и зазоров в кинематических парах;

повышенный нагрев;

снижение КПД.

Коэффициент полезного действия

КПД учитывает механические потери:

Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением — работа сил полезного сопротивления, Контрольная работа по технической механике с решением — работа движущих сил,

Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением — работа сил вредного сопротивления. Коэффициент потерь:

Контрольная работа по технической механике с решением
  1. Машина движется и выполняет полезную работу при Контрольная работа по технической механике с решением
  2. Работа в холостую: Контрольная работа по технической механике с решением
  3. Машина находится в заклиненном стане: Контрольная работа по технической механике с решением

Элементы машины могут соединяться последовательно, параллельно и смешанно.

Последовательное соединение

Контрольная работа по технической механике с решением

При последовательном соединении механизмов общий КПД меньше с наименьшего КПД отдельного механизма

Механизм последовательно включать не рекомендуется.

Контрольная работа по технической механике с решением

При параллельном соединении механизмов общий КПД больше наименьшего и меньше наибольшего КПД отдельного механизма.

Детали машин

Механические передачи

Механическая передача — механизм, превращающий кинематические (Контрольная работа по технической механике с решением) и энергетические параметры (Контрольная работа по технической механике с решением) двигателя в необходимые параметры движения рабочих органов машин и предназначенный для согласования режима работы двигателя с режимом работы исполнительных органов.

Двигатели работают в узком диапазоне частот вращения и моментов, рабочие машины — в широком.

Типы механических передач

зубчатые передачи (цилиндрические, конические),

  • винтовые (винтовые, червячные, гипоидные),
  • с гибкими элементами (ременные, цепные),

фрикционные (за счет трения, применяются при плохих условиях работы).

По способу передачи движения:

  • движение с вала на вал передается за счет сил трения (фрикционные, ременные, червячные),
  • движение передается зацеплением (зубчатые, цепные, винтовые, с зубчатыми ремнями, червячные).

Основные и производные параметры механические передач

Независимо от типа и конструкции в любой механической передаче можно выделить два вала, называемые в направлении передачи мощности входным (ведущим) и выходным (ведомым)

Основные параметры — параметры входного и выходного валов -мощность Контрольная работа по технической механике с решением (кВт) и частота вращения Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

Производные параметры:

  • передаточное число
Контрольная работа по технической механике с решением
  • коэффициент полезного действия
Контрольная работа по технической механике с решением
  • угловая скорость вращения вала, рад/с
Контрольная работа по технической механике с решением

При известной мощности и частоте вращения на валу можно определить крутящий момент Контрольная работа по технической механике с решением или Контрольная работа по технической механике с решением.

Контрольная работа по технической механике с решением

В зависимости от соотношения параметров входного и выходного валов передачи делятся:

  • на редукторы (понижающие передачи) — от входного вала к выходному уменьшают частоту вращения Контрольная работа по технической механике с решением и увеличивают крутящий момент Контрольная работа по технической механике с решением; передаточное число передачи Контрольная работа по технической механике с решением;
  • на мультипликаторы (повышающие передачи) — от входного вала к выходному увеличивают частоту вращения Контрольная работа по технической механике с решением и уменьшают крутящий момент Контрольная работа по технической механике с решением; передаточное число передачи Контрольная работа по технической механике с решением.

Зубчатые передачи

Преимущества и недостатки.

Преимущества:

  1. Компактность.
  2. Возможность передавать большие мощности (до 1000 квт).
  3. Наибольшие скорости вращения (до 30 м/с).
  4. Постоянство передаточного отношения.
  5. Наибольший ККД (0,98..0,99 в одной ступени). Недостатки:
  6. сложность передачи движения на значительные расстояния;
  7. жесткость передачи;
  8. шум во время работы;
  9. необходимость в смазке.

Классификации.

По расположению валов:

  • с параллельными осями (цилиндрические с внутренним и внешним зацеплениям),
  • с пересекающимися осями (конические),
  • с перекрестными осями (винту, гипоидные, червячные, колесо-рельс).

Пары зубчатых колес образовывают степень 2 (модуль одинаковый для обеих колес).

Ведущее колесо — шестерня 1.

Ведомое — колесо

Контрольная работа по технической механике с решением

Для ЗП характерное значение передаточного числа Контрольная работа по технической механике с решением в одной ступени. Поэтому для реализации больших передаточных чисел чаще всего используют многоступенчатые зубчатые редукторы. Они размещаются в отдельном корпусе и выполняются как самостоятельные изделия. Серийное изготовление на заводах разрешает получать широкую номенклатуру редукторов, которые применяются в поводах общего машиностроительного назначения.

Цилиндрические передачи

Цилиндрические зубчатые колеса бывают с внешним и внутренним зацеплением. В зависимости от угла наклона зубьев выполняют прямозубые и косозубые колеса. Косозубые цилиндрические передачи нарезаются тем же режущим инструментом, па тех же станках, по такой же технологии, что и прямозубые. При этом заготовку поворачивают на угол Контрольная работа по технической механике с решением поэтому зубья располагаются не по образующей делительного цилиндра, а под углом к ней Контрольная работа по технической механике с решением.

С увеличением угла Контрольная работа по технической механике с решением повышается прочность косозубых передач. Вследствие наклона зубьев, получается как-бы колесо больших размеров, или при той же нагрузке уменьшаются габариты передачи. Поэтому в современных передачах косозубые колеса получили преобладающее распространение.

В отличие от прямых, в которых нагрузка на зубья прикладывается мгновенно, косые зубья входят у зацепление не сразу по всей длине, а постепенно. Косозубое колесо не имеет зоны однопарного зацепления. Это определяет плавность работы косозубого зацепления, снижение шума и дополнительных динамических нагрузок по сравнению с прямозубым зацеплением.

Однако, в косозубых передачах появляется дополнительная осевая сила, направленная вдоль оси вала и создающая дополнительную нагрузку на опоры. Для уменьшения этой силы ограничивают угол наклона Контрольная работа по технической механике с решением, применяют редукторы с раздвоенной ступенью. Этот недостаток исключен в шевронной передаче.

Конические передачи

Конические зубчатые передачи применяют в тех случаях, когда оси валов пересекаются под некоторым углом Контрольная работа по технической механике с решением, чаше всего Контрольная работа по технической механике с решением.

Конические передачи более сложны в изготовлении и монтаже, чем цилиндрические, вследствие следующих причин:

  • 1) Для нарезания конических колес требуются специальные станки.
  • 2) Необходимо выдерживать допуски на углы Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением.
  • 3) При монтаже нужно обеспечивать совпадение вершин конусов.
  • 4) Сложнее выполнять колеса той же точности, что и цилиндрические.
  • 5) Пересечение валов усложняет расположение опор вследствие того, что одно из конических колес располагается, как правило, консольио.
  • 6) В коническом зацеплении действуют осевые силы, усложняющие конструкцию опор.

Нагрузочная способность конической прямозубой передачи составляет приблизительно 85% цилиндрической.

Контрольная работа по технической механике с решением

Конические передачи получили широкое распространение вследствие того, что из условия компоновки необходимо располагать валы под углом.

Для повышения нагрузочной способности конических колес применяют колеса с непрямыми зубьями.

На практике наиболее распространены конические колеса с тангенциальными (а) и круговыми (б) зубьями.

Контрольная работа по технической механике с решением

Тангенциальные зубья направлены по касательной к некоторой воображаемой окружности радиусом Контрольная работа по технической механике с решением и составляют с образующей конуса угол Контрольная работа по технической механике с решением;

Круговые зубья располагаются по дуге окружности Контрольная работа по технической механике с решением, по которой движется инструмент при нарезании зубьев.

Червячные передачи

Червячные передачи применяют для передачи движения между перекрещивающимися осями, угол между которыми, как правило, составляет 90 . Движение в червячных передачах передается по принципу винтовой пары или по принципу наклоненной плоскости. Преимущества:

  • большие передаточные отношения;
  • плавность и бесшумность работы;
  • высокая кинематическая точность;
  • самоторможение.

Недостатки:

  • низкий ККД;
  • износ, заедание;
  • использование дорогих материалов; требования к высокой точности сборки.

В червячной передаче, в отличие от зубчатой, окружные скорости на червяке и на колесе ие совпадают. Они направлены под углом 90° и отличаются по значению. При относительном движении начальные цилиндры скользят. Большое скольжение является причиной снижения ККД, повышенного износа и заедания.

Контрольная работа по технической механике с решением

КПД червячной передачи Контрольная работа по технической механике с решением, что ниже КПД зубчатых передач Контрольная работа по технической механике с решением.

Для снижения износа применяют специальные антифрикционные пары материалов: червяк — сталь, венец червячного колеса — бронза, реже из латунь или чугун.

Для охлаждения червячных передач увеличивают площадь охлаждения корпуса, используют вентиляторы или дополнительную систему охлаждения.

Методы изготовления зубчатых колес

Существуют три метода изготовления зубчатых колес:

  • копирование,
  • накатка,
  • обкатка.

При изготовлении методом копировании используются пальцевая или дисковая модульная фреза, профиль которой соответствует профилю впадин зубчатого колеса. Вращаясь, фреза перемещается в направлении боковой образующей зуба. За каждый шаг фрезы вдоль оси колеса нарезается одна

впадина. После этого колесо поворачивается на угол Контрольная работа по технической механике с решением. Потом процесс повторяется. Этот метод малопродуктивен и нуждается в большом количестве режущего инструмента. К методам копирования также принадлежат: отливка, штампование, протягивание, строгание.

Метод накатки — зубчатое инструментальное колесо накатывает зубья колеса, материал которого достаточно эластичный (в холодном или горячем состоянии). Используется для мелкомодульных колес (Контрольная работа по технической механике с решением)

При методе обкатки для нарезания колес используется инструментальная рейка. Преимущество в том, что одним и тем же инструментом можно изготовить колеса с любым количеством зубьев общего модуля.

Метод обкатки (долбяком, рейкой, червячной фрезой) заключается в том, что режущему инструменту и заготовке придается то относительное движение, которое имели бы зубчатые колеса, находясь в зацеплении.

Если при изготовлении зубчатого колеса средняя (делительная) линия режущего инструмента касается ,д делительной окружности заготовки колеса, то нарезаются колеса без смещения. Если средняя линия рейки смещается относительно центра заготовки нарезаются колеса со смещением (положительное (от центра) — увеличиваются размеры колеса, толщина зубца, зуб упрочняется; отрицательное (к центру) — используется для уменьшения межосевого расстояния, уменьшения габаритов, при этом возможно подрезание зубьев).

Контрольная работа по технической механике с решением

Передачи с гибкими звеньями

Для передачи движения между сравнительно далеко расположенными друг от друга валами применяют механизмы, в которых усилие от ведущего звена к ведомому передается с помощью гибких звеньев. В качестве гибких звеньев применяются: ремни, шнуры, канаты разных профилей, провод, стальная лента, цепи различных конструкций.

Передачи с гибкими звеньями могут обеспечивать постоянное и переменное передаточное отношения со ступенчатым или плавным изменением его величины.

Для сохранности постоянства натяжения гибких звеньев в механизмах применяются натяжные устройства: натяжные ролики и пружины, противовесы и т.п.

Виды передач

По способу соединения гибкого звена с остальными: фрикционные;

  • с непосредственным соединением;
  • с зацеплением. 2 По взаимному расположению валов и направлению их вращения:
  • открытые;
  • перекрестные;
  • полуперекрестные.

Ременные передачи

Ременная передача состоит из двух шкивов, закрепленных на валах, и ремня, охватывающего эти шкивы. Нагрузки передается за счет сил трения, возникающих между шкивами и ремнем вследствие натяжения последнего.

Контрольная работа по технической механике с решением

В зависимости от формы поперечного перереза ремня различают передачи:

  • плоскоременную;
  • клиноременную;
  • круглоременную. Наиболее широкое применение получили клиноременные передачи,

вследствие увеличения тяговой способности вследствие повышения зацепление со шкивом (приблизительно в 3 раза). Наибольшее преимущество наблюдается в передачах с зубчатыми (поликлиновами) ремнями.

Преимущества:

  • возможность передачи движения на значительные расстояния (до 15 м и более);

плавность и бесшумность работы;

  • защита механизмов от колебаний нагрузки вследствие упругости ремня:
  • защита механизмов от перегрузки за счет возможного проскальзывания ремня;

простота конструкции и эксплуатации (передача ие требует смазки).

Недостатки:

  • повышенные габариты (при равных условиях диаметры шкивов в 5 раз больше диаметров зубчатых колес);
  • непостоянство передаточного отношения вследствие проскальзывание ремня;

повышенная нагрузка на валы и их опоры, связанное с большим предварительным натяжением ремня (в 2-3 раза больше, чем у зубчатых передач);

  • низкая долговечность ремней (1000-5000 часов).

В ременных передачах имеют место два вида скольжения:

  • упругое скольжение, существующее при любой нагрузке;
  • буксование, возникающее при перегрузке.

Упругое скольжение является причиной непостоянства передаточного отношения и увеличения затрат па трепие.

Критерии трудоспособности и расчета ременных передач:

1) тяговая способность, обусловленная силой трения между ремнем и шкивом;

2) долговечность ремня, который ограничивается разрушением ремня от усталости.

Для обеспечения тяговой способности необходимо предварительное натяжение ремня, которое на практике приводит к снижению долговечности ремня, зависящей также от характера и частоты никла изменения напряжений (частоты пробегов ремня).

Ценные передачи

Цепная передача основана на принципе зацепления цепи и звездочек.

Цепная передача состоит из

  • ведущей звездочки;
  • ведомой звездочки;
  • цепи, которая охватывает звездочки и зацепляется за них зубьями;
  • натяжных устройств;
  • смазывающих устройств;
  • ограждения.

Преимущества по сравнению с ременной передачей:

1) Большая нагрузочная способность;

2) Отсутствие скольжения и буксование, обеспечивающее постоянство передаточного отношения (среднего за оборот) и возможность работы при кратковременных перегрузках.

Контрольная работа по технической механике с решением

Принцип зацепления не требует предварительного натяжения цепи. Цепные передачи могут работать при меньших межосевых расстояниях и при больших передаточных отношениях.

Недостатки:

Звенья располагаются на звездочке не по окружности, а по многоугольнику. Отсюда:

1) износ шарниров цепи,

2) шум и дополнительные динамические нагрузки,

3) необходимость обеспечения смазки.

Область применения:

1) при значительных межосевых расстояниях (при скоростях меньше 15-20 м/с, до 25 м/с применяют пластинчатые цепи (набор пластин с двумя зубообразными выступами, принцип внутреннего зацепления):

2) при передаче от одного ведущего вала нескольким ведомым,

3) когда зубчатые передачи неприменимы и ременные ненадежны. По сравнению с ременными передачами более шумные, а редукторах применяют на тихоходных ступенях.

Типы цепных передач По типу применяемых цепей:

  • роликовая,
  • втулочная (легкая, но большой износ),
  • роликовтулочная (тяжелая, меньше износ),
  • зубчатые пластинчатые (плавность работы).

Основной причиной потери работоспособности цепных передач является износ шарниров цепи. Срок службы цепи увеличивается при увеличении длины цепи, увеличении числа зубьев ведущей звездочки. Однако, увеличение числа зубьев ведущей звездочки приводи к повышению вероятности потери зацепления. При уменьшении числа зубьев ведущей звездочки увеличиваются динамические нагрузки, удары, износ цепи.

Валы. Назначение и классификация

Вращающиеся детали механических передач крепят на валах и осях, обеспечивающих постоянное положение оси вращения этих деталей.

Оси не передают крутящий момент и работают только на изгиб. Ось может быть подвижной и неподвижной. Валы передают крутящий момент и потому работают на изгиб и кручение.

В зависимости от формы продольной оси валы разделяют на:

  • прямые (а),
  • коленчатые (б),
  • гибкие (г).
Контрольная работа по технической механике с решением

По конструкции различают валы:

  • гладкие (в)
  • ступенчатые (а).

Ступенчатые валы изготавливают для фиксации деталей в осевом направлении, а также для монтажа деталей при посадке с натягом.

Для уменьшения массы, а также для подведения смазки проектируют пустотелые валы.

Задачами расчета валов является обеспечения усталостной прочности, ограничение деформаций изгиба и кручения, возможных поперечных и крутильных колебаний. Расчет и конструирования валов — взаимосвязанные процессы, поэтому расчет валов состоит из двух этапов: проектного и проверочного расчета.

Проектный расчет

При проектном расчете валов, как правило, известны нагрузки и размеры основных деталей, расположенных на валу. Нужно выбрать материал и определить размеры вала.

Порядок проведения проектного расчета.

1 Предварительно оценивают средний диаметр вала из расчета только па кручение при заниженных допускаемых напряжениях. Из условия прочности на кручение

Контрольная работа по технической механике с решением

определяют диаметр вала

Контрольная работа по технической механике с решением

Как правило, принимают Контрольная работа по технической механике с решением для трансмиссионных валов; Контрольная работа по технической механике с решением для редукторных валов.

Диаметр входного конца вала редуктора можно принять равным или близким к диаметру выходного вала электродвигателя.

  1. Разрабатывают конструкцию вала.
  2. Выполняют проверочный расчет вала.

Проверочный расчет валов

Порядок проведения проверочного расчета валов.

  1. Выбирают расчетную схему и определяют расчетные нагрузки.
  2. Находят опасные сечения, обусловленные наибольшим изгибающим моментом, ослабленные концентраторами напряжений: галтель, виточка, шпоночный паз, резьба и т.п.
  3. Проводят расчет на статическую прочность. Например, при использовании энергетической теории прочности эквивалентные напряжения определяются по формуле
Контрольная работа по технической механике с решением

где допускаемые напряжения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Контрольная работа по технической механике с решением — предел текучести,

напряжение изгиба:

Контрольная работа по технической механике с решением

напряжение кручения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Иногда сначала рассчитывают приведенный момент

Контрольная работа по технической механике с решением

а потом эквивалентные напряжения

Контрольная работа по технической механике с решением
  • Проводят расчет на выносливость по запасу сопротивления усталости.
  • Проверяют жесткость вала по условиям жесткости при изгибе и при кручении.
  • Проводят расчет на колебание из условия предупреждения вращения в критической зоне.

Подшипники

Подшипники служат опорами для валов и осей, они поддерживают их в пространстве, обеспечивая возможность вращения, воспринимают радиальные и осевые нагрузки. От качества подшипников в значительной степени зависят работоспособность и долговечность машин. Во избежание снижения КПД механизма, потери в подшипниках должны быть минимальными.

Подшипники классифицируют по виду трения и воспринимаемой нагрузке.

По виду трения:

  • подшипники скольжения, в которых опорный участок вала скользит по поверхности подшипника;
  • подшипники качения, в которых трение скольжения заменяют трением качения с помощью установления шариков или роликов между опорными поверхностями подшипника и вала.

По воспринимаемой нагрузке:

  • радиальные, воспринимают радиальные нагрузки;
  • упорные, воспринимают осевые нагрузки;
  • радиально-упорные, воспринимают радиальные и осевые нагрузки.

Подшипники скольжения

Подшипники скольжения — это опоры вращающихся деталей, работающие в условиях скольжения поверхности вала по поверхности подшипника.

Основным элементом подшипника скольжения является вкладыш с тонким слоем антифрикционного материала на опорной поверхности.

Область применения подшипников скольжения в современном машиностроении сократилась в связи с распространением подшипников качения. Однако значение подшипников скольжения в современной технике не снизилось. Их применяют очень широко, и в целом ряде конструкций они незаменимы. К таким подшипникам принадлежат:

1) разъемные подшипники, необходимые по условиям сборки, например для коленчатых валов;

2) высокоскоростные подшипники Контрольная работа по технической механике с решением, работающие в условиях, при которых долговечность подшипников качения резко сокращается (вибрации, шум, большие инерционные нагрузки на тела качения);

3) подшипники прецизионных машин, от которых необходимо особо точное направление валов и возможность регулирования зазоров;

4) подшипники, работающие в особых условиях (вода, агрессивная среда и т.п.), в которых подшипники качения нетрудоспособны из-за коррозии;

5) подшипники дешевых тихоходных механизмов и некоторые другие.

Основные причины выхода из порядка подшипников скольжения:

  • выплавление вкладыша
  • износ вкладыша и цапфы
  • усталостное выкрашивание (при действии переменных нагрузок)
  • хрупкое разрушение (при больших кратковременных перегрузках ударного характера)

В зависимости от режима работы подшипника в нем может быть полужидкостное или жидкостное трения. Наиболее предпочтительный режим жидкостного трения. При жидкостном трении рабочие поверхности вала и вкладыша разделенные слоем смазочного масла.

Подшипники качения

Применение подшипников качения позволяет заменить трение скольжения трением качения, которое менее существенно зависит от смазки (условный коэффициент трения близкий к коэффициенту жидкостного трения / « 0,0015. .0,006). При этом упрощается система смазки и обслуживание подшипника.

Классификация подшипников качения:

По форме тел качения:

  • шариковые;
  • роликовые.

По направлению воспринимаемой нагрузки:

  • радиальные,
  • упорные,
  • радиально-упорные,
  • упорно-радиальные.

Подшипники качения состоят из внутреннего 1 (а) и внешнего 2 колец с дорожками качения, тел качения 3 (шариков или роликов), сепараторов 4, которые разделяют и направляют тела качения.

Контрольная работа по технической механике с решением

Недостатки подшипников качения:

  • сложность разъемных конструкций,
  • сравнительно большие радиальные габариты,
  • ограниченная быстроходность,
  • низкая работоспособность при вибрационных, ударных нагрузках и в агрессивных средах.

Основные причины потери трудоспособности подшипников качения

  • выкрашивание от усталости, наблюдается в подшипниках после продолжительного времени их работы в нормальных условиях;
  • износ, наблюдается при недостаточной защите от абразивных частиц (пыли и грязи);

разрушение сепараторов, дает значительный процент выхода из строя подшипников качения, особенно быстроходных;

  • раскалывание колец и тел качения, связано с ударными и вибрационными нагрузками, неправильным монтажом, вызывающим перекосы колец, заклинивание и т.п.;
  • остаточные деформации на беговых дорожках и виде лунок и вмятин, наблюдаются в важконагруженных тихоходных подшипниках.

Расчет подшипников качения

Расчет подшипников качения базируется на двух критериях:

1 Расчет па ресурс (долговечность) по усталостному выкрашиванию.

2 Расчет на статическую грузоподъемность по окончательным деформациям.

При проектировании подшипники подбирают из числа стандартных. Различают подбор подшипников по динамической грузоподъемности для предотвращения разрушения от усталости (выкрашивания) (при Контрольная работа по технической механике с решением Контрольная работа по технической механике с решением) и по статической грузоподъемности для предотвращения остаточных деформаций.

Расчет на ресурс

Условие выбора за динамической грузоподъемности

Контрольная работа по технической механике с решением

Паспортная динамическая грузоподъемность — это такая постоянная нагрузка, которую подшипник может выдержать на протяжении 1 млн. оборотов без выявления признаков усталости не менее чем у 90% из определенного количества подшипников (приведена в каталоге). Динамическая грузоподъемность

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — ресурс подшипника, млн. оборотов; Контрольная работа по технической механике с решением — эквивалентная нагрузка; Контрольная работа по технической механике с решением (для шариковых), Контрольная работа по технической механике с решением (для роликовых); Контрольная работа по технической механике с решением коэффициент надежности;

Контрольная работа по технической механике с решением — обобщенный коэффициент совместного влияния качества металла и условий эксплуатации;.

Эквивалентная нагрузка для радиальных и радиально-упорных подшипников — это такая условная постоянная нагрузка, при приложении которой к подшипнику, в котором вращается внутреннее кольцо, обеспечивается такая же долговечность, которую подшипник имеет при действительных условиях нагрузки и вращения:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — радиальная и осевая нагрузки;

Контрольная работа по технической механике с решением — коэффициенты радиальной и осевой нагрузки; Контрольная работа по технической механике с решением — коэффициент вращения, зависит от того, какое кольцо вращается; Контрольная работа по технической механике с решением — коэффициент безопасности, учитывающий характер нагрузки ; Контрольная работа по технической механике с решением — температурный коэффициент.

Соединение деталей машин. Виды разъемных и неразъемных соединений

Детали, входящие в конструкцию технического средства, соединяются между собой соответствующими способами, называемыми связями. Связи могут быть подвижные и неподвижные. Наличие подвижных связей в механизмах и машинах (кинематических пар, например, шарниров, зубчатых зацеплений) обусловлено их кинематическими схемами. Создание неподвижных связей определяется необходимостью разделения общей конструкции технического средства на узлы и детали для упрощения производства, облегчения сборки, ремонта и транспортировки. Неподвижные связи называются соединения.

Соединения являются важными элементами машиностроительных конструкций. Опыт эксплуатации транспортных технических средств показал, что большое количество отказов в их работе связано с неудовлетворительным качеством соединений. Поэтому основным критерием работоспособности соединений является прочность.

Виды соединений

  • разъемные
  • неразъемные.

К разъемным соединениям, которые могут разбираться без разрушения соединяемых деталей, принадлежат:

  • резьбовые (а);
  • шпоночные (б):
  • шлицевые (в);
  • профильные (г);
  • штифтовые (д);
  • клиновые.
Контрольная работа по технической механике с решением

К неразъемным соединениям, которые не могут разбираться без разрушения соединяемых деталей или их поверхностей, принадлежат: сварные (а); заклепочные (6); соединение с натягом; паянные; клеевые.

Контрольная работа по технической механике с решением

Шпоночные соединения

Шпоночные соединения служат для закрепления деталей па осях и валах. Такими деталями являются шкивы, зубчатые колеса, муфты, маховики, кулачки и т.д. Соединения нагружаются в основном вращающим моментом.

Контрольная работа по технической механике с решением

Шпоночное соединение осуществляется с помощью специальной детали — шпонки, которая закладывается в соответствующие пазы поверхностей соединяемых деталей. Оно обеспечивает неподвижное соединение деталей для передачи крутящего момента.

Преимущества

  • простота и надежность конструкции,
  • удобство сборки и разборки,
  • невысокая стоимость.

Недостатки

  • ослабление сечений соединяемых деталей;
  • наличие концентраторов напряжений;
  • часто прочность соединения ниже прочности вала и ступицы;
  • трудность обеспечения взаимозаменяемости;
  • клиновая врезная (ГОСТ 8791-68), создает напряженное состояние на верхней и нижней гранях шпонки и передает крутящий момент за счет сил трения на них (а);

призматическая обычная со скругленными концами (ГОСТ 8789-68), воспринимает нагрузку боковыми гранями {б)\

призматическая направляющая врезная с закреплением на валу (ГОСТ 8790-68), допускает перемещение ступицы вдоль оси вала (в);

  • сегментная (ГОСТ 8794-68) (г);
  • круглая (не стандартизированная) (д).

Чаще всего применяются призматические шпонки. Соединение призматическими шпонками ненапряженное. Оно требует изготовления вала и отверстия с большой точностью.

Расчет шпоночного соединения

Момент передается с вала на ступицу боковыми узкими гранями шпонки. При этом на них возникают напряжения смятия Контрольная работа по технической механике с решением а в продольном сечении шпонки — напряжения среза Контрольная работа по технической механике с решением

Для упрощения расчета допускают, что шпонка врезана в вал на половину своей высоты, напряжение Контрольная работа по технической механике с решением распределяются равномерно по

Контрольная работа по технической механике с решением

высоте и длине шпонки, плечо равнодействующей этих напряжений равняется Контрольная работа по технической механике с решением. Рассматривая равновесие вала или ступицы при этих допущениях, получаем условия прочности. Условие прочности на смятие:

Контрольная работа по технической механике с решением

Условие прочности на срез:

Контрольная работа по технической механике с решением

где Контрольная работа по технической механике с решением — допускаемые напряжения смятия и среза.

У стандартных шпонок размеры Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением подобраны таким образом, что нагрузку соединения ограничивают не напряжениями среза; а напряжениями смятия. Поэтому при расчетах обычно используют только условие прочности па смятие.

Шпонку выбирают в зависимости от диаметра вала по ГОСТ 23360-78, определяют размеры поперечного сечения шпонки Контрольная работа по технической механике с решением и Контрольная работа по технической механике с решением. Из условия прочности на смятие определяют расчетную длину шпонки Контрольная работа по технической механике с решением, округляют до стандартного размера, согласовывая ее с размером ступицы.

Параллельность граней призматической шпонки позволяет осуществлять подвижное соединение ступицы с валом в осевом направлении (коробки скоростей и др.).

Стандартные шпонки изготовляют из чистотянутых стальных прутьев углеродистой по ГОСТ 380-71 и ГОСТ 1050-74 или легированной стали с пределом прочности Контрольная работа по технической механике с решением не ниже 500 МПа. Значение допускаемых напряжений зависит от:

  • режима работы,

прочности материала вала и втулки,

  • типа посадки втулки на вал.

Допускаемые напряжения на смятие при стальной ступице для неподвижных соединений при переходных посадках рекомендуют Контрольная работа по технической механике с решением= 80…150 МПа, при посадках с натягом Контрольная работа по технической механике с решением= 110…200 МПа; при чугунной ступице принимается Контрольная работа по технической механике с решением =45…55МПа

Меньшие значения принимают для чугунных ступиц и при резких изменениях нагрузки.

В подвижных (в осевом направлении) соединениях допускаемые напряжения значительно снижают с целью предупреждения задира и ограничения износа. При этом принимают Контрольная работа по технической механике с решением = 20…30 МПа.

Значение Контрольная работа по технической механике с решением зависит от характера нагрузки, при спокойной нагрузке принимается Контрольная работа по технической механике с решением = 120 МПа, при умеренных толчках Контрольная работа по технической механике с решением=85 МПа, при ударной нагрузке Контрольная работа по технической механике с решением=50 МПа.

Стандартизация норм, взаимозаменяемость

Взаимозаменяемость — принцип конструирования и изготовления деталей, обеспечивающий возможность сборки и замены при ремонтах независимо изготовленных с заданной точностью деталей и сборочных единиц без дополнительной обработки и припасовки и с сохранением соответствия качеству.

Допуски и посадки

Детали и сборочные единицы будут взаимозаменяемые только в случае, когда их размеры, форма и другие параметры находятся в определенных пределах. Параметры деталей оценивают количественно с помощью размеров.

Размер — это числовое значение линейной величины в выбранных единицах измерения:

  • номинальный — это размер, относительно которого определяются пределы, и который используется для отсчета отклонений (определяется во время конструирования на основе расчетов или по конструктивным соображениям и проставляется на чертежах деталей или соединений, после расчетов округляется до стандартного значения по ГОСТ 6636-69);
  • действительный — размер установленный измерениями с допустимой погрешностью;

предельный — два допустимых размера, т.е. наибольший и наименьший, между которыми должен находиться действительный размер.

На чертежах проставляют номинальные размеры, а каждое из двух предельных определяют по отклонением от номинального.

Предельные отклонения — это отклонение от номинального размера, которые проставляются на чертеже.

Различают верхнее и нижнее отклонения:

Контрольная работа по технической механике с решением

Предельные отклонения определяются как алгебраическая разность между предельным и номинальными размерами:

Контрольная работа по технической механике с решением

Отверстие — охватывающий размер. Вал — охватываемый размер.

Разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами или абсолютная величина алгебраической разности между верхним и нижним пределами называется допуском размера Контрольная работа по технической механике с решением: отверстия вала

Контрольная работа по технической механике с решением

Поле допуска — поле, ограниченное верхним и нижним отклонениями, которое определяется величиной допуска и располагается относительно номинального размера — нулевой линии. Нулевая линия при графическом изображении полей допусков соответствует номинальному размеру.

Контрольная работа по технической механике с решением

Единая система допусков и посадок (ЕСДП)

ЕСДП — это совокупность закономерно построенных рядов допусков и посадок, оформленных в виде стандартов, предназначенная для выбора минимально необходимых, но достаточных для практики вариантов допусков и посадок.

ЕСДП охватывает размеры до 3150мм.

Составной частью в ЕСДП входят стандарты:

  • ГОСТ 25346-82 «ЕСДП, общие положения…»;
  • ГОСТ 25347-82 «ЕСДП, поля допусков и рекомендуемые посадки» (СТ СЭВ 144-75).

Для нормирования различных уровней точности для размеров до 500мм стандартом предусмотренные 19 квалитетов точности:

  • Контрольная работа по технической механике с решением — для концевых мер;
  • Контрольная работа по технической механике с решением — для калибров;
  • Контрольная работа по технической механике с решением