Прикладная механика: контрольная работа с решением

Готовая контрольная работа по прикладной механике.

Основные принципы прикладной механики:

а) Перемещения малы по сравнению с размерами тела. Относительные удлинения и углы сдвига считаются малыми по сравнению с размерами тела.

б) Принцип независимости действия внешних сил. Этот принцип позволяет пользоваться законом сложения сил.

в) Локальность эффекта самоуравновешенных нагрузок (принцип Сен-Венана). Это означает, что распределение внутренних напряжений зависит только от статического эквивалента приложенных сил, а не от способа приложения нагрузки.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет прикладная механика

Внутренние напряжения в твердом теле

К оглавлению…

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Под действием внешней нагрузки в теле возникают внутренние напряжения. Для их определения мысленно рассечем тело на две части Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением (рис. 1). Плоскость сечения определяется нормалью Контрольная работа по прикладной механике с решением, внешней по отношению к Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Действие части Контрольная работа по прикладной механике с решением на часть Контрольная работа по прикладной механике с решением описывается силой Контрольная работа по прикладной механике с решением, приложенной к центру тяжести сечения, и парой сил с моментом Контрольная работа по прикладной механике с решением. Векторы Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением называются усилиями в сечении.

Они являются равнодействующими элементарных сил Контрольная работа по прикладной механике с решением, распределенных по сечению Контрольная работа по прикладной механике с решением по всем бесконечно малым площадям Контрольная работа по прикладной механике с решением, на которые можно разбить это сечение.

Определение. Интенсивность этих внутренних сил называется напряжением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Проекции вектора Контрольная работа по прикладной механике с решением на направления осей принято обозначать Контрольная работа по прикладной механике с решением. В данной точке вектор Контрольная работа по прикладной механике с решением зависит от выбора площадки, иными словами, от выбора направления нормали Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку, можно выразить через напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям. Для таких площадок вместо индекса Контрольная работа по прикладной механике с решением будем использовать индекс оси координат, которой параллелен вектор Контрольная работа по прикладной механике с решением. Примем обозначения для компонентов вектора интенсивности напряжений:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Эти величины называют напряжениями. Растягивающие напряжения принято считать положительными. Напряжения измеряются в Контрольная работа по прикладной механике с решением (Паскали). Паскаль — очень маленькая единица измерения, поэтому на практике пользуются Мегапаскалями Контрольная работа по прикладной механике с решением

1.2. Силовые факторы в стержне

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Пусть стержень под действием внешних сил находится в равновесии (см. рис.2).

Мысленно рассечем его какой-либо плоскостью и левую часть отбросим. Действие отброшенной части заменим системой сил в сечении. При помощи условий равновесия можно определить главный вектор Контрольная работа по прикладной механике с решением и главный момент Контрольная работа по прикладной механике с решением внутренних сил, действующих в центре тяжести сечения. Можно сказать, что в данном сечении левая часть тела действует на правую посредством внутренней силы Контрольная работа по прикладной механике с решением и внутреннего момента Контрольная работа по прикладной механике с решением, которые находятся из условий равновесия оставленной части.

Спроецируем Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением на оси координат. Проекции называются:

Контрольная работа по прикладной механике с решением — нормальная сила; Контрольная работа по прикладной механике с решением — поперечные силы;

Контрольная работа по прикладной механике с решением — крутящий момент; Контрольная работа по прикладной механике с решением — изгибающие моменты.

Основные виды нагружения стержня.

Как правило, изучаются случаи нагружения, при которых большая часть внутренних силовых факторов равна нулю. Основные виды нагружения различаются по отличным от нуля факторам:

Контрольная работа по прикладной механике с решением — растяжение или сжатие;

Контрольная работа по прикладной механике с решением — кручение;

Контрольная работа по прикладной механике с решением (или Контрольная работа по прикладной механике с решением)- чистый изгиб;

Контрольная работа по прикладной механике с решением — поперечный изгиб в плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Система для расчетов на компьютере.

Для проведения стандартных видов расчета научно-техническим центром АПМ создан комплекс программ АРМ WinMachine [13]. Наиболее важны в механике деформируемого твердого тела следующие модули:

АРМ Beam — расчет стержней на поперечный изгиб;

АРМ Shaft — расчет валов на изгиб и кручение;

АРМ FEM — расчет напряженного состояния методом конечных элементов (компонент программы «Компас»);

АРМ Structure3D — расчет стержневых и пластинчатых пространственных конструкций.

Тензор напряжений. Типы напряженного состояния

К оглавлению…

2.1. Уравнения равновесия твердого деформируемого тела

Напряжения, введенные выше, объединяются в матрицу, называемую тензором напряжений:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из условий равновесия и третьего закона Ньютона следует, что эта матрица симметрична. Уравнения равновесия в декартовых координатах выполняются всегда в любо точке внутри тела и имеют следующий вид [8]:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь Контрольная работа по прикладной механике с решением — компоненты вектора плотности внешней объемной силы, которая измеряется в Контрольная работа по прикладной механике с решением. Система уравнений (2) не замкнута, поскольку содержит шесть независимых неизвестных. Кроме того, для ее замыкания нужны еще граничные условия. Внешние силы должны быть заданы.

Вектор интенсивности напряжений на произвольной площадке можно выразить через векторы напряжений на координатных площадках, то есть через компоненты тензора напряжений. Для этого рассмотрим деформированное твердое тело в состоянии равновесия под действием внешних сил.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Выделим в нем малый тетраэдр (рис.3), три грани которого параллельны координатным плоскостям, а четвертая определяется вектором нормали:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Площади граней:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тетраэдр находится в равновесии, и на него действуют следующие силы:

1) На координатных площадках — составляющие напряжений Контрольная работа по прикладной механике с решением,Контрольная работа по прикладной механике с решением

2) На площадке Контрольная работа по прикладной механике с решением — силы от составляющих вектора напряжения Контрольная работа по прикладной механике с решением.

3) Составляющие объемной силы Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Полагая (по определению напряжения) силу равной произведению площади на напряжение, после проецирования всех сил на ось Контрольная работа по прикладной механике с решением получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Считая тетраэдр бесконечно малым, пренебрегаем объемной компонентой, а именно, силой Контрольная работа по прикладной механике с решением. Отсюда получим выражение напряжений на произвольной площадке через напряжения на координатных площадках:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Главные площадки и напряжения

К оглавлению…

Рассмотрим частный случай Контрольная работа по прикладной механике с решением. Этому соответствует случай, когда на тело (например, брус) действуют силы в плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением, не зависящие от координаты Контрольная работа по прикладной механике с решением. Пусть нам известны все компоненты тензора напряжений. Требуется найти площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Для двумерного случая решение поставленной задачи дается уравнениями:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь Контрольная работа по прикладной механике с решением — направляющие косинусы вектора нормали к искомой площадке, Контрольная работа по прикладной механике с решением — нормальное напряжение на этой площадке. Первые два уравнения представим в виде

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Условие разрешимости этой системы

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Решая это квадратное уравнение, получим два значения Контрольная работа по прикладной механике с решением, на двух взаимно перпендикулярных площадках. Принято нумеровать значения в порядке Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Направление Контрольная работа по прикладной механике с решением найдем из одного из уравнений (3) и условия

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Определение. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными.

Максимальное касательное напряжение в данной точке тела выражается через напряжения на главных площадках:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогичные результаты для трехмерной задачи есть, например, в [10].

Состояние чистого сдвига.

Пусть

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тогда

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Определение. Состоянием чистого сдвига называют такое плоское напряженное состояние, при котором в окрестности любой точки можно выделить элемент так, что на его четырех гранях отличны от нуля только равные между собой касательные напряжения.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

В качестве примера можно привести задачу о кручении тонкостенной трубы на рис. 4. Можно доказать, что данная нагрузка ведет к состоянию чистого сдвига.

Основы теории деформаций

К оглавлению…

3.1. Удлинение стержня и закон Гука

Пусть стержень растянут силой Контрольная работа по прикладной механике с решением. После приложения силы его длина стала Контрольная работа по прикладной механике с решением, где Контрольная работа по прикладной механике с решением называется абсолютным удлинением стержня. Возникло т.н. однородное напряженное состояние, при котором напряжения во всех точках одинаковы.

Относительным удлинением назовем величину

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Величина Контрольная работа по прикладной механике с решением называется еще осевой деформацией стержня.

Пусть при неоднородной деформации точка стержня с координатой Контрольная работа по прикладной механике с решением сместилась на расстояние Контрольная работа по прикладной механике с решением, а точка с координатой Контрольная работа по прикладной механике с решением сместилась на расстояние Контрольная работа по прикладной механике с решением. Тогда осевую деформацию участка стержня между этими точками найдем по определению

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Полученное соотношение (4) является общим и демонстрирует различие между деформацией Контрольная работа по прикладной механике с решением в точке с координатой Контрольная работа по прикладной механике с решением и перемещением Контрольная работа по прикладной механике с решением этой точки.

Для состояния чистого растяжения выполняется закон Гука

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — модуль Юнга. Отсюда можно вывести формулу для удлинения стержня первоначальной длины Контрольная работа по прикладной механике с решением. Верна цепочка равенств:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Этими формулами можно пользоваться при построении эпюры перемещений по эпюре внутренних усилий.

3.2. Перемещения и деформации в твердом теле

Пусть точка твердого тела Контрольная работа по прикладной механике с решением с координатами Контрольная работа по прикладной механике с решением при деформации перемещается в точку Контрольная работа по прикладной механике с решением с координатами Контрольная работа по прикладной механике с решением. Вектор Контрольная работа по прикладной механике с решением назовем вектором перемещения точки Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

По определению, координатами вектора перемещения будут величины

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Координаты вектора перемещения являются функциями координат точки Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Деформирование тела вызывается разницей в перемещениях его различных точек.

Рассмотрим деформирование параллелепипеда на рис. 5.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Длина проекции ребра Контрольная работа по прикладной механике с решением на ось Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Проекция абсолютного удлинения Контрольная работа по прикладной механике с решением на ось Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Относительное удлинение Контрольная работа по прикладной механике с решением вдоль оси Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Эта величина является линейной деформацией по направлению оси Контрольная работа по прикладной механике с решением. Аналогично получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Рассмотрим изменение углов при деформации. Тангенс угла поворота отрезка Контрольная работа по прикладной механике с решением в плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением равен

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Считая деформацию малой, положим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда следует, что

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогично выполнено равенство:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Угол сдвига в плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением (искажение прямого угла Контрольная работа по прикладной механике с решением) называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогично

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Очевидно, что

Контрольная работа по прикладной механике с решением

в силу определения угловых деформаций.

Выражение деформаций через перемещения называются уравнениями Коши:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Объемная деформация.

Вычислим изменение объема бесконечно малого параллелепипеда с начальным объемом Контрольная работа по прикладной механике с решением. При этом пренебрежем угловыми деформациями. После деформирования длина Контрольная работа по прикладной механике с решением равна

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогично

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Объем полученного параллелепипеда

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Раскроем скобки и пренебрежем произведениями деформаций как величинами второго порядка малости. Получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Обозначим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Величина Контрольная работа по прикладной механике с решением называется объемной деформацией.

3.3. Закон Гука

При малых деформациях принято считать, что для чистого растяжения стержня нормальные напряжения и линейная деформация пропорциональны:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При этом имеют место поперечные деформации по закону Пуассона:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением — коэффициент Пуассона.

Для состояния чистого сдвига при кручении стержня экспериментально установлена зависимость

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — модуль сдвига, Контрольная работа по прикладной механике с решением — угол сдвига, Контрольная работа по прикладной механике с решением — касательное напряжение. Известно,

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Обобщенный закон Гука.

При малых объемных деформациях выполнены соотношения

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Эти соотношения называются обобщенным законом Гука [8].

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи прикладной механики

Введение в механику стержня. Кручение и изгиб стержня

К оглавлению…

Сделаем несколько вводных замечаний.

Определение. Стержень — твердое деформируемое тело, один из размеров которого превышает два других.

Для стержня, как и для любого объекта, выполняются уравнения (2). Условия на поверхности получим, выписав соотношения для напряжений на произвольной площадке с нормалью Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Обратим закон Гука (6), выразив напряжения через деформации

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Также выполнены соотношения Коши (5). 4.1. Простейшие задачи механики стержня Рассмотрим простые задачи, которые можно найти в [8], §99. а) Растяжение в осевом направлении.

Здесь объемные силы обращаются в ноль по постановке задачи. Пусть на концы стержня действуют растягивающие силы Контрольная работа по прикладной механике с решением. Уравнения (2) удовлетворены, если

Контрольная работа по прикладной механике с решением

На концах стержня выполняется соотношение

Контрольная работа по прикладной механике с решением

то есть внешние силы равномерно распределены по концевым сечениям стержня, б) Кручение круглого вала.

На концах круглого стержня действуют противоположно направленные крутящие моменты Контрольная работа по прикладной механике с решением. Для кручения закон Гука имеет вид

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для деформаций можно получить формулу

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — угол сдвига сечения, Контрольная работа по прикладной механике с решением — расстояние от рассматриваемой точки до центра сечения. Обозначим Контрольная работа по прикладной механике с решением — относительный угол закручивания. Тогда для напряжения получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Разложим Контрольная работа по прикладной механике с решением на компоненты

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — декартовы координаты в плоскости поперечного сечения. В элементарной теории принято

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Поскольку компоненты тензора напряжений в данной задаче являются линейными функциями координат, то уравнения равновесия (2) выполнены и осталось проверить условия на поверхности. Боковая поверхность вала свободна от усилий и на ней Контрольная работа по прикладной механике с решением. Отсюда и из (7) получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для круглого цилиндра

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставим в (*) значения Контрольная работа по прикладной механике с решением и получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

это тождество.

Таким образом, предположения элементарной теории оправданы, если поверхностные касательные усилия на торцах стержня распределены так же, как напряжения Контрольная работа по прикладной механике с решением в промежуточных сечениях вала.

Принцип Сен-Всиана (1855 г.). Распределение напряжений в стержне и пластине зависит только от величины и направления внешней нагрузки, но не от способа ее приложения.

Значит, на большом расстоянии от концов стержня распределение внутренних напряжений зависит только от величины крутящего момента.

в) Чистый изгиб стержня.

Пусть стержень изгибается двумя изгибающими моментами Контрольная работа по прикладной механике с решением, приложенными на его концах, в плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением. Элементарная теория дает

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением — радиус кривизны стержня после изгиба. Граничные условия на боковых поверхностях удовлетворены тождественно. На концах поверхностные силы распределены как Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Найдем отсюда изгибающий момент. По определению он равен

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь Контрольная работа по прикладной механике с решением — момент инерции поперечного сечения. Методом сечений можно найти Контрольная работа по прикладной механике с решением. Для радиуса кривизны получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Перемещения можно найти из соотношений Коши (5). При этом предположим, что точка Контрольная работа по прикладной механике с решением закреплена и

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тогда при

Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением

Закон Гука дает:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

На оси стержня Контрольная работа по прикладной механике с решением получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Последняя формула выражает перемещения вдоль оси Контрольная работа по прикладной механике с решением, а следовательно, прогибы стержня при чистом изгибе.

4.2. Теорема Журавского-Шведлера

Выделим двумя поперечными сечениями элемент стержня длиной Контрольная работа по прикладной механике с решением, находящийся под внешней распределенной нагрузкой Контрольная работа по прикладной механике с решением (рис. 6).

Контрольная работа по прикладной механике с решением

На рис. 6 на элемент Контрольная работа по прикладной механике с решением действуют внутренние силовые факторы:

Контрольная работа по прикладной механике с решением — изгибающие моменты от отсеченных левой и правой частей;

Контрольная работа по прикладной механике с решением — поперечные усилия.

Составим уравнения равновесия элемента Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из этих уравнений, отбрасывая вторые порядки малости, найдем:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Следующие формулы выражают математически теорему Журавского-Шведлера:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — значения поперечной силы и изгибающего момента при Контрольная работа по прикладной механике с решением.

4.3. Построение эпюры изгибающих моментов

Определение. Стержни, работающие на прямой изгиб, называются балками. Типы балок, изучаемые в нашем курсе: консоль, двухопорная балка, двухопорная балка с консолью.

При поперечном изгибе в стержне возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Зависимость между внутренними силовыми факторами и напряжениями выражается формулами:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Графики функций

Контрольная работа по прикладной механике с решением

называются эпюрами поперечных сил

и изгибающих моментов. Для их построения обычно испольуют метод сечений [3]. Этот метод рекомендуется изучить по книгам [3] или [12].

На практике при построении эпюр лучше всего пользоваться пакетами прикладных программ, такими, как АРМ WinMachine (см. [13]).

В случае необходимости для построения этих графиков при отсутствии сосредоточенных изгибающих моментов в середине балки можно воспольоваться непосредственно теоремой Журавского-Шведлера.

Изгиб стержня. Уравнение изогнутой линии при прямом изгибе

К оглавлению…

5.1. Обобщение теоремы Журавского-Шведлера

Пусть в точке с координатой Контрольная работа по прикладной механике с решением на рис. 6 действует сосредоточенная сила Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Определим Контрольная работа по прикладной механике с решением -функцию Дирака следующим образом:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

если Контрольная работа по прикладной механике с решением. Эта функция позволяет рассматривать сосредоточенную силу Контрольная работа по прикладной механике с решением как распределенную на очень малом отрезке с плотностью Контрольная работа по прикладной механике с решением. При этом необходимо потребовать выполнение условного равенства

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Уравнения равновесия сегмента стержня длиной Контрольная работа по прикладной механике с решением принимают вид:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отбрасывая величины второго порядка малости, получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Проинтегрируем эти равенства:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь принято, что на стержень действует Контрольная работа по прикладной механике с решением сосредоточенных сил Контрольная работа по прикладной механике с решением в точках с координатами Контрольная работа по прикладной механике с решением. Равенства (10) выражают обобщенную теорему Журавского-Шведлера. Интеграл от Контрольная работа по прикладной механике с решением-функций определяется здесь по формулам

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Следуя этой теореме, можно численными методами строить эпюры на компьютере, если на балку не действуют сосредоточенные изгибающие моменты.

5.2. Уравнение изогнутой линии стержня

Обозначим: Контрольная работа по прикладной механике с решением — поперечное перемещение стержня в точке с координатой Контрольная работа по прикладной механике с решением — продольное перемещение.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Пусть при поперечном изгибе балки точка с координатами Контрольная работа по прикладной механике с решением переместилась, как показано на рис. 7.

Примем гипотезу плоских сечений, т.е. после деформации поперечные сечения стержня остаются плоскими. Из нее следует, что

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Продольная деформация по определению равна

Контрольная работа по прикладной механике с решением

По закону Гука нормальные напряжения равны

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда видно, что нормальные напряжения меняются линейно по высоте сечения, и при Контрольная работа по прикладной механике с решением (на оси стержня) Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Найдем изгибающий момент Контрольная работа по прикладной механике с решением. По определению, он равен

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из курса математического анализа известно, что величина Контрольная работа по прикладной механике с решением называется моментом инерции сечения относительно оси Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Выражение для изгибающего момента относительно оси Контрольная работа по прикладной механике с решением через прогиб Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Выразим отсюда Контрольная работа по прикладной механике с решением и подставим результат в формулу для напряжений:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из дифференциальных соотношений Журавского-Шведлера

Контрольная работа по прикладной механике с решением

исключим с помощью формулы (11) величины Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Полученное соотношение является уравнением изгиба стержня. Зная его решение Контрольная работа по прикладной механике с решением, можно по формуле (11) найти изгибающий момент Контрольная работа по прикладной механике с решением и построить эпюру изгибающих моментов.

Интегралы уравнения и их физический смысл.

Последовательно интегрируя (12), получим ряд физических величин. Первый интеграл:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — поперечное усилие при Контрольная работа по прикладной механике с решением. Второй интеграл:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением— изгибающий момент при Контрольная работа по прикладной механике с решением. Третий интеграл:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — угол поворота сечения стержня, Контрольная работа по прикладной механике с решением — этот угол при Контрольная работа по прикладной механике с решением. Четвертый интеграл:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением— прогиб стержня, Контрольная работа по прикладной механике с решением — прогиб при Контрольная работа по прикладной механике с решением.

5.3. Граничные условия на концах стержня и их физический смысл

В интегралы уравнения (12) входят четыре константы, значит, для постановки задачи надо добавить к этому уравнению четыре краевых условия. На каждом конце стержня обычно накладывают по два условия. Рассмотрим стандартные условия при различных способах закрепления стержня.

а) Жесткая шарнирная опора. При Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

б) Жесткая заделка. Прогиб и угол поворота при Контрольная работа по прикладной механике с решением равны нулю:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

в) Свободный конец балки. Момент и поперечная сила равны нулю:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Пример:

Определить прогибы шарнирно опертой балки, загруженной на концах моментами Контрольная работа по прикладной механике с решением и вдоль всей длины постоянной распределенной нагрузкой Контрольная работа по прикладной механике с решением. Заданы постоянные Контрольная работа по прикладной механике с решением. Решение.

Сформулируем краевые условия:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Интегрируя четыре раза уравнение (12), получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставляя эту формулу в краевые условия:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда изгибающий момент равен:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Максимальный момент найдем из условия максимума Контрольная работа по прикладной механике с решением. После вычислений получим максимум в точке

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Как известно из курса математического анализа, момент принимает максимальное значение либо в точке Контрольная работа по прикладной механике с решением, либо на концах интервала, то есть при Контрольная работа по прикладной механике с решением или Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Расчет на прочность при прямом изгибе стержня. Кручение стержней

К оглавлению…

6.1. Расчет на прочность

Цель расчета: подобрать размеры сечения заданной формы так, чтобы выполнялось условие прочности. Для расчета должны быть заданы:

а) Внешние нагрузки.

б) Предельно допустимое напряжение Контрольная работа по прикладной механике с решением.

в) Форма поперечного сечения.

г) Условия закрепления концов балки.

д) Коэффициент запаса прочности.

При расчете обычно ставятся задачи: 1) подбор геометрических размеров сечения; 2) проверка условия прочности.

Методика расчета.

Исходная формула:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Должно выполняться условие:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При заданном Контрольная работа по прикладной механике с решением напряжение максимально в наиболее удаленной от оси стержня точке при Контрольная работа по прикладной механике с решением. Величина Контрольная работа по прикладной механике с решением называется моментом сопротивления и для стандартных сечений есть в справочниках, например, в [6]. Для прямоугольного стержня

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для круглого стержня:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для расчета надо найти Контрольная работа по прикладной механике с решением, затем максимум модуля этой функции. Алгоритм расчета балки на прочность:

1) Строим эпюру изгибающих моментов. Пакет АРМ WinMachine позволяет это автоматизировать.

2) Находим момент сопротивления как функцию размеров сечения.

3) Используем формулу:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — коэффициент запаса прочности, для окончательного решения задачи. Много примеров расчета приведено в книгах [2], [3], [4], [12].

6.2. Кручение круглых стержней

Определение. Кручение — такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

Пусть один конец бруса заделан, а ко второму приложен внешний крутящий момент Контрольная работа по прикладной механике с решением. Тогда в любом поперечном сечении будет действовать крутящий момент Контрольная работа по прикладной механике с решением. Найдем касательные напряжения, перпендикулярные радиусу круга поперечного сечения.

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку Контрольная работа по прикладной механике с решением, при напряжении Контрольная работа по прикладной механике с решением равна Контрольная работа по прикладной механике с решением, а ее момент относительно центра сечения

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Суммируя элементарные моменты, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

В [11] есть формула для угловой деформации:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Закон Гука для сдвига Контрольная работа по прикладной механике с решением, откуда:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставляя эту формулу в (*), получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Величина

Контрольная работа по прикладной механике с решением

называется полярным моментом сопротивления.

Отсюда найдем формулу для углов закручивания:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Касательное напряжение:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Максимальные касательные напряжения возникают на поверхности вала при Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Величина Контрольная работа по прикладной механике с решением. называется полярным моментом сопротивления. Формулу

Контрольная работа по прикладной механике с решением

применяют и к стержням некруглого сечения. В этом случае рекомендуется брать больший коэффициент запаса прочности. Условие прочности вала при кручении:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением должны быть заданы. В другом виде это условие:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Энергия деформации при изгибе и кручении стержня

К оглавлению…

В случаях сложного деформирования напряжения в твердом теле вычисляют, исходя из вариационных принципов. Для применения этих принципов надо уметь находить изменение энергии тела при деформации. Мы кратко ознакомимся с методами вычисления этой энергии в случаях простой деформации стержня.

Энергия деформируемого тела.

Обозначим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При этих обозначениях компоненты тензора деформаций:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

тензора напряжении

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Первое начало термодинамики (см. [5]) имеет вид:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением— изменение внутренней энергии, Контрольная работа по прикладной механике с решением — полученное телом количество теплоты, Контрольная работа по прикладной механике с решением — совершенная телом работа. В механике важна не Контрольная работа по прикладной механике с решением, а свободная энергия Контрольная работа по прикладной механике с решением [5]:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением — температура, Контрольная работа по прикладной механике с решением — энтропия. При постоянной температуре

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При деформировании тела совершается работа [9]:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тогда из первого начала термодинамики

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь принято обычное правило суммирования по повторяющимся индексам. Можно показать, что свободная энергия деформированного тела в единице объема равна

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Эта же формула в старых обозначениях [9]:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Энергия стержня при кручении.

При кручении выполняются соотношения:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

По закону Гука

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставляя эти значения в (15′), получим для свободной энергии бесконечно малого объема Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Энергия кручения отрезка Контрольная работа по прикладной механике с решением стержня получается интегрированием этой формулы по площади поперечного сечения Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

С другой стороны, угол поворота связан с крутящим моментом формулой:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

откуда следует

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Заменяя обратно Контрольная работа по прикладной механике с решением, получим энергию единицы длины стержня при кручении:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Полную свободную энергию стержня длины Контрольная работа по прикладной механике с решением при кручении получим интегрированием:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Энергия стержня при изгибе.

При чистом изгибе стержня выполнены соотношения:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда свободная энергия единицы объема:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Ранее для кривизны изогнутого стержня найдено:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Интегрируя Контрольная работа по прикладной механике с решением по площади поперечного сечения, найдем энергию единицы длины стержня:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставим выражение для кривизны:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Полную энергию изогнутого стержня найдем интегрированием:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Выразим моменты и энергию через прогибы стержня Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Принцип виртуальной работы

К оглавлению…

Формулировка принципа виртуальной работы. Если тело находится в состоянии равновесия, то полная работа всех сил, действующих на него, на любом виртуальном перемещении равна нулю.

Определение. Виртуальное перемещение — любое малое перемещение, совместимое с условиями сплошности материала и условиями закрепления.

Виртуальные перемещения еще называются вариациями перемещений и обозначаются Контрольная работа по прикладной механике с решением Математически принцип виртуальной работы записывается так:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь Контрольная работа по прикладной механике с решением — сумма проекций на ось Контрольная работа по прикладной механике с решением всех сил, внешних и внутренних.

Работа внутренних сил равна изменению свободной энергии, взятому с обратным знаком:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — вариации деформаций. Знак минус потому, что работа совершается против сил взаимодействия между частицами. Работа внешних сил. Внешние силы делятся на:

а) Поверхностные силы Контрольная работа по прикладной механике с решением, действующие на элемент поверхности Контрольная работа по прикладной механике с решением.

б) Объемные силы Контрольная работа по прикладной механике с решением, действующие на элемент объема Контрольная работа по прикладной механике с решением. В состоянии равновесия полная виртуальная работа равна нулю:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Поскольку внешние силы заданы явно, то операцию варьирования можно вынести за интеграл. Считая объемные силы равными нулю, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

8.1. Приложение принципа виртуальной работы к выводу уравнений равновесия стержня

Пусть стержень изгибается в двух плоскостях Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением распределенной поперечной нагрузкой Контрольная работа по прикладной механике с решением. Для свободной энергии изгиба плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением ранее получена формула:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Далее считаем, что при любом Контрольная работа по прикладной механике с решением. Очевидно, что для энергии изгиба в плоскости Контрольная работа по прикладной механике с решением выполняется аналогичная формула. Тогда полная свободная энергия стержня:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Выпишем принцип виртуальной работы для стержня:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Далее пользуемся свойствами операции варьирования:

а) Для операции варьирования выполняются те же формулы, что и для дифференцирования, например:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

б) Операции варьирования и дифференцирования перестановочны:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Найдем вариацию свободной энергии:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Эта формула получена путем перестановки во втором интеграле операций варьирования и дифференцирования и интегрирования по частям. Подставляя полностью проварьированную таким образом свободную энергию в принцип виртуальной работы, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Поскольку вариации произвольны, то должны обращаться в нуль производные при них. Приведем подобные, выделив вариации величин:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда можно сразу выписать уравнения равновесия и краевые условия для шарнирно опертой балки:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Можно также найти все интегралы, выведенные для случая плоского изгиба стержня.

Если теперь решить задачу численно на компьютере, вычислить интегралы и найти максимальный изгибающий момент, то найдем условия прочности стержня при сложной нагрузке, избегнув полуэмпирических методов сопротивления материалов.

Устойчивость стержней

К оглавлению…

Пусть стержень сжимается силой Контрольная работа по прикладной механике с решением, действующей вдоль его оси. При увеличении силы появляется второе, отличное от прямолинейного, положение равновесия, энергетически более выгодное. Тогда говорят, что стержень теряет устойчивость. Как правило, новое положение равновесия не описывается уравнениями, полученными ранее, потому что перемещения не малы.

Определение. Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критической силой.

С точки зрения практики, критическая сила должена рассматриваться как разрушающая нагрузка.

Цель расчета на устойчивость: обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме упругого равновесия, то есть при малых деформациях.

Условие расчета:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — допустимая нагрузка, Контрольная работа по прикладной механике с решением— критическая сила, Контрольная работа по прикладной механике с решением — коэффициент запаса устойчивости.

9.1. Вывод формулы для критической силы

Пусть стержень потерял устойчивость и изогнулся, и пусть продолжает выполняться закон Гука, рис. 8. Тогда:

Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением

Обозначим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

тогда

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Решение этого уравнения известно:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из Контрольная работа по прикладной механике с решением при Контрольная работа по прикладной механике с решением следует, что Контрольная работа по прикладной механике с решением. Подставляя значение Контрольная работа по прикладной механике с решением, пользуемся краевым условием Контрольная работа по прикладной механике с решением. Одно из решений этого уравнения

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Формула (18) называется формулой Эйлера для основного случая продольного изгиба.

При других способах закрепления стержня, отличающихся от изображенного на рис.8, выполнена формула:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь Контрольная работа по прикладной механике с решением — приведенная длина стержня. Часто пользуются обозначением Контрольная работа по прикладной механике с решением— коэффициент приведения длины. Значения этого коэффициента для стандартных способов закрепления есть в [6].

9.2. Пределы применимости формулы Эйлера

Критическое напряжение, по определению, равно

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Формула Эйлера применима, если выполнен закон Гука, то есть

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — предельно допустимое напряжение на сжатие. По Эйлеру:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь обозначено

Контрольная работа по прикладной механике с решением

гибкость стержня.

Отсюда условие применимости формулы Эйлера запишется в виде:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Определение. Величина

Контрольная работа по прикладной механике с решением

называется предельной гибкостью стержня.

Эта величина приведена в справочниках. Если гибкость меньше предельной, то вместо расчета на устойчивость нужен расчет на прочность. Предельная гибкость — это физический параметр материала.

Пример. Проверить на устойчивость сжатую стойку трубчатого сечения из хромомолибденовой стали

Контрольная работа по прикладной механике с решением

если требуемый коэффициент запаса устойчивости Контрольная работа по прикладной механике с решением. Сжимающая сила Контрольная работа по прикладной механике с решением, длина стойки Контрольная работа по прикладной механике с решением, внутренний и внешний диаметры Контрольная работа по прикладной механике с решением, Контрольная работа по прикладной механике с решением, коэффициент приведения длины Контрольная работа по прикладной механике с решением. Решение.

Предельная гибкость

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Момент инерции сечения:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Площадь сечения

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Гибкость

Контрольная работа по прикладной механике с решением

следовательно, применима формула Эйлера. В единицах СИ получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Коэффициент запаса устойчивости

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Таким образом, заданные условия устойчивости стойки выполнены.

Расчет вала с прямым изгибом

К оглавлению…

10.1. Теории прочности

При совместном действии изгиба и кручения в вале возникает сложное напряженное состояние. В этом случае нельзя ограничиться нахождением только Контрольная работа по прикладной механике с решением для расчета на прочность, надо учесть влияние и других компонент тензора напряжений. Если привести этот тензор к диагональному виду, то, согласно диаграмме Мора, получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — максимальное главное значение напряжения, Контрольная работа по прикладной механике с решением — минимальное, Контрольная работа по прикладной механике с решением — максимальное касательное напряжение. Так как наибольшее ограничение на прочность накладывается именно максимальным касательным напряжением, за критерий прочности часто принимают величину

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Когда в основу кладется эта величина, говорят о третьей теории прочности.

Контрольная работа по прикладной механике с решением называется эквивалентным напряжением и при расчете пользуются следующим условием прочности:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При четвертой теории прочности под эквивалентным напряжением понимают такое напряжение растяжения, при котором потенциальная энергия деформации равна энергии деформации образца. Это означает, что для эквивалентного напряжения принимают формулу:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Упрощенное плоское напряженное состояние.

Выразим экстремальные главные напряжения в предположении, что напряженное состояние является плоским и от нуля отличны только Контрольная работа по прикладной механике с решением. При этом

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — изгибающий момент, Контрольная работа по прикладной механике с решением — момент сопротивления.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Рассматривая площадку, нормаль к которой наклонена к оси Контрольная работа по прикладной механике с решением, совпадающей с продольной осью стержня, под углом Контрольная работа по прикладной механике с решением (рис. 9), для нормального и касательного напряжения на ней из условий равновесия призмы получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из условия экстремальности напряжения

Контрольная работа по прикладной механике с решением

найдем

Контрольная работа по прикладной механике с решением

с другой стороны, условие равенства нулю касательных напряжений Контрольная работа по прикладной механике с решением дает:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

то есть экстремальные нормальные напряжения возникают на тех площадках, на которых касательные равны нулю.

Подставляя Контрольная работа по прикладной механике с решением в формулу для Контрольная работа по прикладной механике с решением, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При этом Контрольная работа по прикладной механике с решением, то есть эти напряжения главные, и Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда максимальное касательное напряжение

Контрольная работа по прикладной механике с решением

По гипотезам прочности:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При практическом расчете валов рекомендуется пользоваться третьей теорией прочности.

10.2. Расчет вала на изгиб с кручением

При одновременном действии изгибающих и крутящих моментов учитывают два фактора: касательные напряжения от кручения Контрольная работа по прикладной механике с решением и нормальные напряжения от изгиба Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Пусть на вал длины Контрольная работа по прикладной механике с решением насажено зубчатое колесо диаметром Контрольная работа по прикладной механике с решением и шкив ременной передачи диаметром Контрольная работа по прикладной механике с решением.

На колесо действуют радиальное и окружное усилия Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением, на шкив -натяжения ремня Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Крутящие моменты выразим через действующие силы:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Условие равномерности вращения:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением должны быть заданы при постановке задачи. Силу Контрольная работа по прикладной механике с решением определим из (*).

Затем надо обычным образом построить эпюры Контрольная работа по прикладной механике с решением. Результирующий изгибающий момент равен

Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением

В опасной точке

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь приняты обычные обозначения: Контрольная работа по прикладной механике с решением — момент сопротивления сечения при изгибе, Контрольная работа по прикладной механике с решением — полярный момент сопротивления. Эквивалентное напряжение

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Как известно, для вала круглого (или кольцевого) сечения Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Условие прочности Контрольная работа по прикладной механике с решением, откуда следует

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для круглого вала получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Деформации и напряжения в тонкой пластине

К оглавлению…

Основные понятия и гипотезы

Определение 1. Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане.

Определение 2. Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Линия пересечения боковой поверхности со срединной плоскостью называется контуром пластинки.

Координаты:

Контрольная работа по прикладной механике с решением — декартовы координаты в срединной плоскости, Контрольная работа по прикладной механике с решением — ось, направленная вертикально вниз. Контрольная работа по прикладной механике с решением — прогиб пластинки (перемещение вдоль Контрольная работа по прикладной механике с решением).

Пластинка считается тонкой, если:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Допустимо считать тонкой пластинку, в которой выполнено

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Если Контрольная работа по прикладной механике с решением, то применяют теорию гибких пластин. Гипотезы теории пластин.

Гипотеза прямых нормалей. Сдвиги в плоскостях Контрольная работа по прикладной механике с решением отсутствуют: Контрольная работа по прикладной механике с решением Нет деформации вдоль Контрольная работа по прикладной механике с решением.

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: Контрольная работа по прикладной механике с решением. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости: Контрольная работа по прикладной механике с решением.

11.1. Перемещения и деформации в пластинке

Как правило, из уравнений равновесия находят прогиб пластинки w. Выразим деформации через этот прогиб. Для получения этих выражений нам понадобятся формулы Коши, выражающие деформации через перемещения:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением следовательно, Контрольная работа по прикладной механике с решением — из уравнений Коши.

Это означает, что Контрольная работа по прикладной механике с решением — прогиб не зависит от координаты Контрольная работа по прикладной механике с решением. Из Контрольная работа по прикладной механике с решением следует

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Поскольку Контрольная работа по прикладной механике с решением не зависит от Контрольная работа по прикладной механике с решением, проинтегрируем эти уравнения по Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из того, что при Контрольная работа по прикладной механике с решением = 0 (на срединной поверхности)

Контрольная работа по прикладной механике с решением

следует

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Ненулевые деформации из формул Коши равны:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

В этих уравнениях деформации выражены через прогибы Контрольная работа по прикладной механике с решением.

11.2. Напряжения в пластине

По предположению,

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Закон Гука для нормальных напряжений

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Решая систему относительно Контрольная работа по прикладной механике с решением, и учитывая (20):

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Закон Гука для сдвиговых напряжений

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Оказывается, пользоваться законом Гука при определении Контрольная работа по прикладной механике с решением нельзя, поскольку тогда получим Контрольная работа по прикладной механике с решением согласно гипотезе прямых нормалей.

Воспользуемся непосредственно уравнениями равновесия из теории упругости, пренебрегая объемными силами:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Используя (21), получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Интегрируя по Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Здесь Контрольная работа по прикладной механике с решением — оператор Лапласа.

Считая, что на верхней и нижней плоскостях нет касательных нагрузок, т.е.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставляя Контрольная работа по прикладной механике с решением в формулу для Контрольная работа по прикладной механике с решением, получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тем же путем получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Таким образом, напряжения выражены через прогибы формулами (21), (22). На рис. 11 приведены эпюры напряжений в зависимости от вертикальной координаты в соответствии с выведенными формулами.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

11.3. Усилия в тонкой пластинке

Найдем внутренние силовые факторы в сечении, перпендикулярном оси Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Контрольная работа по прикладной механике с решением — изгибающий момент
Контрольная работа по прикладной механике с решением — крутящий момент
Контрольная работа по прикладной механике с решением — поперечная сила.

Все силы рассматриваются на единицу ширины пластины (т.е. делим на размер вдоль Контрольная работа по прикладной механике с решением).

По определению

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из (21) получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Изгибающий момент по определению:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Обозначим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

цилиндрическая жесткость пластины.

Единицы измерения изгибающего момента

Контрольная работа по прикладной механике с решением

на единицу ширины.

Поперечная сила:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Проинтегрировав, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Единицы измерения: Контрольная работа по прикладной механике с решением на единицу ширины.

Крутящий момент:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Единицы измерения: Контрольная работа по прикладной механике с решением на единицу ширины.

Аналогично найдем

Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением

Заметим, что

Контрольная работа по прикладной механике с решением

как и должно быть по третьему закону Ньютона.

Формулы (23), (24) связывают усилия в пластинке с прогибами срединной плоскости. Вычислив прогибы, можно полностью найти напряженное состояние в пластине.

Уравнение равновесия тонкой пластины

К оглавлению…

12.1. Вывод уравнения равновесия пластины

Рассмотрим равновесие элемента пластинки Контрольная работа по прикладной механике с решением. Все усилия надо умножать на длину грани, чтобы получить силу.

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Сумма проекций всех сил на ось Контрольная работа по прикладной механике с решением должна быть равна нулю:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — нагрузка на единицу площади. Получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Уравнение моментов всех сил относительно Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда получим (пренебрегая вторыми порядками малости):

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогично из уравнения моментов относительно Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Исключая из уравнений Контрольная работа по прикладной механике с решением, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставив сюда выражения для моментов (23), (24) и приведя подобные, получим:

Обычно это уравнение записывают в виде:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Получено основное уравнение изгиба пластины. В его решение входят произвольные функции, определяемые из краевых условий закрепления.

12.2. Формулировка граничных условий

Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 14).

Контрольная работа по прикладной механике с решением
  1. Защемленный край: нет ни прогибов, ни поворотов:
Контрольная работа по прикладной механике с решением
  1. Шарнирно опертый край:
Контрольная работа по прикладной механике с решением

Выразим момент через прогиб

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Однако при

Контрольная работа по прикладной механике с решением

тождественно выполнено равенство

Контрольная работа по прикладной механике с решением

поэтому для шарнирно опертой пластинки:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогично получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Определение. Дифференциальное уравнение в частных производных с заданными на границе области соотношениями для искомых функций называется краевой задачей.

12.3. Изгиб круглой пластинки

В полярных координатах Контрольная работа по прикладной механике с решением оператор Лапласа имеет вид:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Уравнение изгиба инвариантно относительно координат:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

В полярных координатах:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Пусть нагрузка на пластинку и условия закрепления не зависят от координаты Контрольная работа по прикладной механике с решением. Тогда уравнение имеет вид;

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Изгибающие моменты при этих условиях равны:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для свободно опертой по краю пластинки краевые условия будут:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Прямой подстановкой можно проверить, что функция:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

является общим решением (*) при

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Из (**) можно найти значения произвольных постоянных Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Отсюда для прогибов получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Максимальный прогиб, очевидно, в центре пластинки при Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставляя Контрольная работа по прикладной механике с решением в формулу для моментов, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Это — параболические функции. Максимальные моменты — также в центре:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Аналогично из краевых условий

Контрольная работа по прикладной механике с решением

можно найти Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением для защемленной по краю пластины.

Равновесие прямоугольной пластины

К оглавлению…

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Рассмотрим шарнирно опертую по краю пластинку. Для нее краевая задача имеет вид:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Решение ищем в виде двойного тригонометрического ряда:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

В математической теории упругости применяют сокращенную запись:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Задача сводиться к определению коэффициентов Контрольная работа по прикладной механике с решением. Ряд (27) удовлетворяет краевым условиям в силу того, что

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для определения Контрольная работа по прикладной механике с решением надо разложить нагрузку Контрольная работа по прикладной механике с решением в ряд, аналогичный (27), найти производные от Контрольная работа по прикладной механике с решением, подставить все эти данные в уравнение (26) и сравнить эти коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях слева и справа. Сделаем это:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением известно из курса математического анализа. Собирая все результаты, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Сравнивая левую и правую части, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

откуда

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Таким образом, функция (27) полностью определена. Частные случаи: 1) Нагрузка равномерно распределена по поверхности, Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

при нечетных Контрольная работа по прикладной механике с решением (при четных индексах интеграл обращается в ноль).

Подставляя Контрольная работа по прикладной механике с решением в решение (27), получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Изгибающие моменты выражаются через прогибы по формулам:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Вторые производные равны:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Подставляя эти выражения в формулы для моментов, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластины при

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для составления таблиц их представляют в виде:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — функции отношения Контрольная работа по прикладной механике с решением. Ряд (30) сходится медленнее, чем (29), так как степень числителя выше.

Эпюры изгибающих моментов получаются табулированием функций (30). Для их построения надо оставить 4 слагаемых в ряде, т.е. члены для значений Контрольная работа по прикладной механике с решением, Контрольная работа по прикладной механике с решением и табулировать (30) с шагом Контрольная работа по прикладной механике с решением по Контрольная работа по прикладной механике с решением по Контрольная работа по прикладной механике с решением. Ошибка при этом не превышает 3% от точного значения.

2) Сила Контрольная работа по прикладной механике с решением сосредоточена в точке Контрольная работа по прикладной механике с решением с координатами Контрольная работа по прикладной механике с решением. Тогда, используя Контрольная работа по прикладной механике с решением — функцию, получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тогда для прогибов получим:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Этот ряд сходиться медленно, ряды же для Контрольная работа по прикладной механике с решением и Контрольная работа по прикладной механике с решением сходятся еще медленнее. Поэтому эту методику можно использовать в данном случае только для нахождения прогибов. После определения Контрольная работа по прикладной механике с решением можно на компьютере численно найти Контрольная работа по прикладной механике с решением и построить эпюры изгибающих моментов.

Применение вариационных принципов к расчету пластин

К оглавлению…

14.1. Энергия тонкой пластинки

При

Контрольная работа по прикладной механике с решением

формула для удельной энергии деформации принимает вид [6]:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Вспоминая формулы для напряжений и деформаций

Контрольная работа по прикладной механике с решением

получим

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Энергия всей пластинки:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Потенциальная энергия растянутого стержня:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

14.2. Вариационные принципы при расчете пластин

При исследовании задач теории упругости часто используют вариационные методы. Варьирование функции — операция, похожая на дифференцирование. Подробно об этой операции можно узнать из [5]. Вариационные методы часто называют энергетическими, потому что они основаны на понятиях работы сил и энергии деформации.

Принцип возможных перемещений: разность между работой внешних сил и полной энергией деформации твердого тела минимальна только на действительном перемещении этого тела.

Математически это означает, что деформация тела, имеющая место в действительности, минимизирует разность:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При изгибе пластинки работа внешних сил равна:

Контрольная работа по прикладной механике с решением — внешняя нагрузка, Контрольная работа по прикладной механике с решением— прогиб пластинки. Потенциальная энергия получается после интегрирования Контрольная работа по прикладной механике с решением по всей площади пластинки:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Если выбрать вид функции прогиба:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

где Контрольная работа по прикладной механике с решением — известные функции, удовлетворяющие граничным условиям, то условие минимальности примет вид:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

После этих выкладок становится ясен алгоритм решения задачи о равновесии пластинки (метод Ритца):

1) Задаем базисные функции Контрольная работа по прикладной механике с решением.

2) Находим выражения для Контрольная работа по прикладной механике с решением.

3) Из условия (35) получим Контрольная работа по прикладной механике с решением уравнений для неизвестных коэффициентов Контрольная работа по прикладной механике с решением. Это будут линейные алгебраические уравнения.

4) Найдем Контрольная работа по прикладной механике с решением и подставим в выражения для прогиба пластины Контрольная работа по прикладной механике с решением, решив тем самым задачу.

Подробно этот метод изложен в учебнике [8].

Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации.

Рассматривается задача о растяжении в своей плоскости прямоугольной пластинки напряжениями, приложенными вдоль ее краев по параболическому закону (рис. 16).

Пластинка растянута усилиями:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Нагрузка вдоль оси, перпендикулярной плоскости пластины, равна нулю, поэтому

Контрольная работа по прикладной механике с решением

В учебнике [10] утверждается, что энергия деформации пластинки единичной толщины в этом случае равна:

Контрольная работа по прикладной механике с решением
Контрольная работа по прикладной механике с решением

Так как распределение напряжений в прямоугольной пластине не зависит от упругих констант материала, положим в (36) Контрольная работа по прикладной механике с решением = 0. Введем функцию напряжений Контрольная работа по прикладной механике с решением следующим способом:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Тогда энергия пластинки выразится через функцию напряжений:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Функцию напряжений будем искать в виде:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

При этом все Контрольная работа по прикладной механике с решением должны удовлетворять краевым условиям, а коэффициенты Контрольная работа по прикладной механике с решением находим из условий

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Пусть

Контрольная работа по прикладной механике с решением

при этом краевые условия выполнены. Тогда получим уравнение для неизвестной Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Для квадратной пластинки со стороной Контрольная работа по прикладной механике с решением:

Контрольная работа по прикладной механике с решением

Зная Контрольная работа по прикладной механике с решением, можно определить неизвестные напряжения. Фактически при решении этой задачи использован метод Ритца.

Эти страницы вам могут пригодиться:

  1. Решение задач по прикладной механике
  2. Примеры решения задач прикладной механике
  3. Курсовая работа по прикладной механике
  4. Помощь по прикладной механике
  5. Заказать работу по прикладной механике