Финансовая математика: контрольные работы с решением

Оглавление:

Готовые контрольные работы по финансовой математике с решением, и с подробное теорией для лучшего понимания.

Введение:

Впервые финансовыми расчётами начали заниматься англичане (XVII — XVIII века). Ими занимались математики, физики и даже астрономы, словом, далёкие от финансов люди. Затем появились специалисты. Примерно в XVIII веке финансисты наткнулись на неразрешимые задачи. Например, требовалось найти корни алгебраических уравнений 7-й и 8-й степени с переменными коэффициентами. Поэтому XIX и XX век были веками провала финансовых расчётов, пока не появились ЭВМ — сначала на западе, а потом и у нас.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет финансовая математика

Рассмотрим простейшую кредитную операцию с участием всего лишь двух сторон: одна сторона — инвестор (даёт деньги), а вторая — заёмщик (берёт деньги).

Контрольная работа по финансовой математике с решением — начало финансовой операции,

Контрольная работа по финансовой математике с решением — окончание финансовой операции,

Контрольная работа по финансовой математике с решением — продолжительность финансовой операции, Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением — начальная денежная стоимость

Контрольная работа по финансовой математике с решением— конечная денежная стоимость

Контрольная работа по финансовой математике с решением — абсолютное приращение капитала

Контрольная работа по финансовой математике с решением — дисконт (скидка)

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением, т.е. деньги всегда возвращаются в большем объёме, а вот на сколько больше — это и есть денежное приращение.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Т.е. численно приращение от дисконта ничем не отличается, однако используется в разных финансовых операциях.

Формула (0.1) выражает финансовую операцию наращение денег. Формула (0.2) выражает операцию дисконтирования (или учёта) денег. Формулы (0.1) и (0.2) являются основными формулами для денежных расчётов. Их недостаток заключается в том, что они выражают деньги, а с миллионами-миллиардами их использование становится неудобным.

Процентной ставкой называется отношение приращение капитала к начальной денежной сумме.

Формула процентной ставки:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Учётной ставкой называется отношение дисконта к конченой денежной сумме.

Формула учётной ставки:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Перепишем формулы (0.1) и (0.2) через эти ставки:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Эти формулы выражают безразмерную величину, поэтому их использование намного удобнее.

Коэффициентов наращение называется величина Контрольная работа по финансовой математике с решением по-другому его называют множителем наращения или мультиплицирующим множителем.

Коэффициентом дисконтирования называется величина Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Перепишем формулы (0.1) и (0.2) через эти коэффициенты:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Основными базовыми периодами начисления или учёта денег считаются: год, полгода, квартал, месяц, неделя, день, час, минута, секунда. И самый маленький промежуток — мгновение. Это бесконечно малая, предел равен 0. Даже на таком периоде как мгновение происходит наращение денег. Но здесь уже нужно интегрировать.

Самым основным периодами является финансовый год. Длительность операции на данном периоде принимают за единицу.

Приращение является инвариантным, т.е. не имеет привязки по времени.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Если базовым промежутком является год, то приняты следующие сокращения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением— годовая процентная ставка,

Контрольная работа по финансовой математике с решением — Годовая учётная ставка,

Контрольная работа по финансовой математике с решением — начальная денежная сумма,

Контрольная работа по финансовой математике с решением — конечная денежная сумма через год.

С учётом этих сокращений формулы примут следующий вид:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Эти формулы можно записать и так:

Контрольная работа по финансовой математике с решением — годовой коэффициент наращения

Контрольная работа по финансовой математике с решением— годовой коэффициент дисконтирования.

Таким образом, годовые коэффициенты наращения и дисконтирования —Контрольная работа по финансовой математике с решением— взаимообратным, если начальная и конечная денежная сумма неизменны: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Ставки, соответствующие равенству (0.11) называются эквивалентными.

Найдём эти ставки:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Выражения годовой процентной ставки через эквивалентную ей годовую учётную ставку: Контрольная работа по финансовой математике с решением. Выражение годовой учётной ставки через эквивалентную ей годовую процентную ставку: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Пусть учётная ставка Контрольная работа по финансовой математике с решением = 50%, т.е. Контрольная работа по финансовой математике с решением = 0,5. Тогда соответствующая ей годовая процентная ставка равна Контрольная работа по финансовой математике с решением = 100%. Т.е. положим 1000 рублей под 100% в банк, получим через год 2000.

Пусть процентная ставка Контрольная работа по финансовой математике с решением = 25%, т.е. Контрольная работа по финансовой математике с решением = 0,25. Тогда соответствующая ей годовая учётная ставка равна d = 20%.

Пусть учётная ставка Контрольная работа по финансовой математике с решением = 10%, т.е. Контрольная работа по финансовой математике с решением = 0,1. Тогда соответствующая ей годовая процентная ставка равна Контрольная работа по финансовой математике с решением = 11,11%.

По нашим примерам получается, что Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Это соотношение всегда верно.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по финансовой математике

Финансовая арифметика

К оглавлению…

В этом разделе:

  • Простые проценты
  • Сложные проценты
  • Непрерывные проценты

Простые проценты — это схема начисления или учёта денег, в которой приращение капитала на каждом периоде неизменно. Скажем, при Контрольная работа по финансовой математике с решением = 20% и начальной сумме 1000 получаем следующие суммы через одинаковые периоды начисления: 1200 — 1400 — 1600 и т.д.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

… и т. д.

Получаем формулу:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Формула (1.1) называется наращиваемой суммой по годовой ставке простых процентов за n лет.

Найдём стоимость этих денег на один год раньше, т.е. Контрольная работа по финансовой математике с решением из формулы Контрольная работа по финансовой математике с решением:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Теперь на два года раньше:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Тогда получаем следующую общую формулу:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Формула (1.2) называется наращенной суммой, а обозначение Контрольная работа по финансовой математике с решением в формуле (1.2) называется современной (т.е. текущей) суммой. Тут важно подчеркнуть, что n может быть любым, необязательно целым.

Ряд наращенных или дисконтированных денежных сумм представляет собой арифметическую прогрессию. Графиком наращения является прямая с положительным угловым коэффициентом.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по финансовой математике

Контрольная работа №1

К оглавлению…

Начальная сумма Контрольная работа по финансовой математике с решением = 500 т. р.

Процентная ставка Контрольная работа по финансовой математике с решением = 20%

Найти: наращенную сумму через 2,5 года: 5(2,5).

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Это операция наращения, поэтому дисконта здесь нет, а есть приращение капитала: 750 — 500 = 250.

Контрольная работа №2

К оглавлению…

Вексель номиналом 700 т. р. и сроком погашения 31 декабря 2012 года учитывается сегодня (2 февраля 2012 года) по годовой учётной ставке d = 20%. Какую сумму получит держатель векселя?

Решение:

Номинал векселя — это конечная сумма, а не начальная, т.е. Контрольная работа по финансовой математике с решением = 700 т. р. Тогда t = 31.12.2012. А сегодня Контрольная работа по финансовой математике с решением = 2.2.2012. Нужно найти современную стоимость, т.е. сколько стоят эти деньги сейчас. Это операция дисконтирования или учёта. Вектор этой операции противоположен вектору операции наращения.

Найдём срок: 31 декабря 2012 — 2 февраля 2012 равно 333 дня. Т = 333 дней. Но нам надо выразить всё в годах: 333 / 366 = 0,9098 года. Для нашей формулы это п = 0,9098

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Итого: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Контрольная работа №3

К оглавлению…

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

Посчитаем коэффициенты наращения k:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Ответ: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Переменные ставки простых процентов

К оглавлению…

Исходя из предыдущего примера, выделим общую формулу для подсчёта коэффициента начисления при переменной ставке.

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Коэффициент наращения по переменным ставкам простых процентов имеет вид:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Сложные проценты

К оглавлению…

В сложных процентах при Контрольная работа по финансовой математике с решением деньги будут расти по следующей последовательности: 1000 — 1500 — 2250 — 3375 — 5062. Т.е. каждая следующая сумма в полтора раза больше предыдущей.

Схема сложных процентов предполагает, что коэффициент наращения или дисконтирования на всём промежутке начисления или учёта процентов остаётся неизменным.

Ряд наращенных сумм по сложным процентам представляет собой геометрическую прогрессию. Графиком наращения или дисконтирования является экспонента, или, по-другому, показательная функция.

Выведем формулы.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

В общем виде наращенная сумма по сложным процентам равна:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Теперь выведем формулу дисконтирования.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

За n шагов добираемся до Контрольная работа по финансовой математике с решением

В общем виде современная стоимость денег по сложным процентам равна:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решим примеры 1 и 2 по сложным процентам.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по финансовой математике

Контрольная работа №4

К оглавлению…

Начальная сумма Контрольная работа по финансовой математике с решением = 500 т. р.

Процентная ставка Контрольная работа по финансовой математике с решением = 20%

Найти: наращенную сумму через 2,5 года: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №5

К оглавлению…

Вексель номиналом 700 т. р. и сроком погашения 31 декабря 2012 года учитывается сегодня (2 февраля 2012 года) по годовой учётной ставке Контрольная работа по финансовой математике с решением = 20%. Какую сумму получит держатель векселя?

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Сравнительный анализ простых и сложных процентов

К оглавлению…

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Где К — коэффициент наращения.

Эти неравенства очень просто доказываются, достаточно подставить в формулы, например, Контрольная работа по финансовой математике с решением Таким образом, если срок наращения денег меньше года, то в сложных процентах деньги наращиваются медленнее, чем в простых. Если же срок равен единице, т.е. году, то разницы нет. Если же срок выше одного года, то в сложных процентах деньги наращиваются быстрее, чем в простых. Аналогично дела обстоят с дисконтированием.

Чтобы доказать неравенства в общем виде, нужно использовать формулу Тейлора:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

где Контрольная работа по финансовой математике с решением — это число сочетаний Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Тогда:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Получаем:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Запишем вывод с точки зрения инвестора:

если договор краткосрочный, т. е. сроком меньше года, то для инвестора более выгодны простые проценты. Если договор долгосрочный, т. е. сроком больше года, то для инвестора более выгодны сложные проценты.

Для заёмщика — всё наоборот.

Номинальные ставки

К оглавлению…

Обозначим через Контрольная работа по финансовой математике с решением процентную ставку, действующую на Контрольная работа по финансовой математике с решением-ой части года Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Годовой номинальной процентной ставкой называется величина Контрольная работа по финансовой математике с решением

Т.е. проценты начисляются не раз в год, a m раз в год.

Пример: если Контрольная работа по финансовой математике с решением. Т. е. годовая ставка равна 20%, однако проценты начисляются 4 раза в год (ежеквартально) по 5%.

Рассчитаем коэффициент наращения по простым процентам:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Номинальные ставки по простым процентам рассматривать не имеет смысла — хоть проценты начисляются и несколько раз в год, эффект от них будет одним и тем же. А вот по сложным процентам эффект есть.

Коэффициенты наращения по сложным процентам:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Исходя из этого, выведем общую формулу. Коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке Контрольная работа по финансовой математике с решением за n лет равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Пусть Контрольная работа по финансовой математике с решением — учётная ставка, действующая на Контрольная работа по финансовой математике с решением-ой части года. Запишем определение годовой номинальной учётной ставки по аналогии.

Годовой номинальной учётной ставкой называется величина Контрольная работа по финансовой математике с решением

Пусть Контрольная работа по финансовой математике с решением Тогда соответствующая годовая учётная ставка равна Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Пусть учёт происходит на периоде один год: коэффициент дисконтирования за один квартал равен Контрольная работа по финансовой математике с решением Контрольная работа по финансовой математике с решением Если же учет производится за два квартала, то никакого смысла учёта по простым процентам нет. А вот по сложным процентам было бы уже так:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Запишем общую формулу.

Коэффициент дисконтирования по годовой номинальной учётной ставке за n лет равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Выведем формулы будущей и современной суммы денег:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Учёт денег по формуле (6) называется банковским учётом, а по формуле (7) — математическим учётом. На практике формулы (7) и (8) используются редко.

Ставка называется эффективной, если она эквивалентна по силе наращения или учёта соответствующей номинальной ставке.

Уравнение эквивалентности между эффективными и номинальными процентными ставками имеет вид:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Формула (10) показывает соотношение между годовой эффективной и годовой номинальной процентной ставкой.

Выражение эквивалентности между годовой эффективной и годовой номинальной учётной ставкой имеет вид:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Пример:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Пример 2:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Пример 3:

Пусть дана учётная ставка Контрольная работа по финансовой математике с решением. Нужно найти Контрольная работа по финансовой математике с решением

Составим уравнение эквивалентности с помощью коэффициентов дисконтирования:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Всё.

Составим новое уравнение эквивалентности и выведем новые формулы:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Это формула выражения годовой номинальной ставки через эквивалентную ей годовую учётную ставку.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Это формула выражения годовой учётной ставки через эквивалентную ей годовую номинальную ставку.

Пример 4:

Пусть дана Контрольная работа по финансовой математике с решением. Найти Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Ответ: Контрольная работа по финансовой математике с решением = 19,04%.

Пример 5:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Ставки монотонно убывают.

Приходим к выводу, что эквивалентные номинальные и учётные ставки расположены в следующем порядке:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Т. е.:

Контрольная работа по финансовой математике с решением — последовательность номинальной процентной ставки монотонно убывает

Контрольная работа по финансовой математике с решением — последовательность учётной процентной ставки монотонно возрастает.

Вопрос: имеют ли эти последовательности общий предел? Возьмём предел от формулы (16):

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Из этого предельного равенства следует, что последовательности номинальных процентных и учётных ставок имеют общий предел. Этот предел обозначается буквой 8 и называется он силой процента или силой роста.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Запись Контрольная работа по финансовой математике с решением означает, что число отрезков периода бесконечно увеличивается, т.е. начисление денег происходит ежесекундно, каждое мгновение.

Пример:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Как видим, сумма растёт совсем небыстро. Это число стремится к числу Контрольная работа по финансовой математике с решением т. е. на определённом этапе происходит стабилизация наращения суммы. Т. е. если мы будем производить начисление каждое мгновение, то приращение суммы не превысит число Контрольная работа по финансовой математике с решением. При ежемгновенном начислении процентов при эффективной ставке 100% первоначальный капитал за год увеличивается в Контрольная работа по финансовой математике с решением раз.

Выведем формулы для коэффициентов дисконтирования и соответствующие им денежные стоимости.

Рассмотрим годовой коэффициент наращения Контрольная работа по финансовой математике с решениемпо годовой номинальной процентной ставке m.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вычислим этот предел с помощью второго замечательного предела:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Теперь аналогично вычислим годовой коэффициент дисконтирования:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Расчётные формулы для наращенных и дисконтированных денежных стоимостей по непрерывным процентам:

Будущая стоимость денег по непрерывным процентам:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Современная стоимость денег по непрерывным процентам:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Пример:

найти период удвоения капитала.

Удвоение капитала означает, что коэффициент наращения равен 2: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Рассмотрим три случая: по простым процентам, по сложным и непрерывным процентам.

Чем больше ставка, тем короче период удвоения. Например, если ставка равна 0%, то периодом удвоения будет бесконечность.

Предположим, ставка равна Контрольная работа по финансовой математике с решением = 20%.

1-й случай.

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

2-й случай — сложные проценты.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

3-й случай — непрерывные проценты.

Получаем тот же ответ, что и во втором случае.

Так обстоят дела, если ставка постоянна.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по финансовой математике

Переменные ставки сложных процентов

К оглавлению…

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Весь период начисления разбит на временные интервалы. На каждом интервале действует своя ставка.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вычислим коэффициент наращения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

В общем случае коэффициент наращения по переменным ставкам сложных процентов на всём промежутке начисления процентов равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №6

К оглавлению…

Договор предусматривает начисление сложных процентов по следующей схеме: Контрольная работа по финансовой математике с решением40%, Контрольная работа по финансовой математике с решением. Найти коэффициент наращения за весь период начисления — 5 лет, т. е. Контрольная работа по финансовой математике с решением — ?

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Построим график:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Рассмотрим случай, когда сила процента является переменной и представлена функцией: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

В теории финансовой математики рассматривают функции только следующих типов:

  • кусочно-постоянные
  • линейные
  • кусочно-линейные
  • квадратичные

Рассмотрим первый случай.

Пусть Контрольная работа по финансовой математике с решением задан следующим образом:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найдём коэффициент наращения на всём периоде.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Рассмотрим второй случай: Контрольная работа по финансовой математике с решением — линейная функция.

Пусть Контрольная работа по финансовой математике с решением задан следующим образом:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вычислить коэффициент наращения за 4 года: К(4) — ?

Так как коэффициент приращения непостоянен, нужно вывести для него формулу.

Для решения этой задачи выведем формулу для коэффициентов наращения и дисконтирования по переменной силе процента. Пусть Контрольная работа по финансовой математике с решением — это произвольная кривая.

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Таким образом, коэффициент наращения по переменной силе процента на периоде Т равен:

Коэффициент дисконтирования по переменной силе процента на периоде Т равен:

Возвращаясь к примеру, находим наш коэффициент наращения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

В случае кусочно-линейной функции — ломаной — нужно взять интеграл на каждом линейном кусочке и перемножить их.

В субботу 11-го февраля — контрольная работа.

Контрольная работа №7

К оглавлению…

некто купил магазин за 10 миллионов, а через пять лет — продал за 20 миллионов. Найти доходность этой финансовой операции.

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Доходность — это не разница между суммой покупки и суммой продажи. Как и все остальные величины, доходность — величина относительная и чаще всего выражается в ставках. Найдём доходность через годовую процентную ставку. А для этого нужно записать уравнение эквивалентности.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Ответ: доходность данной операции равна 0,148.

Контрольная работа №8

К оглавлению…

По условиям контракта должник уплачивает 36 тысяч рублей через 100 дней. Кредит предоставлен под годовую процентную ставку 14%. Определить величину кредита и сумму дисконта, если для дисконтирования погашаемого долга используется математический учёт простыми процентами.

Дано:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

Найдём начальную сумму:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Дисконт:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №9

К оглавлению…

Определить срок долга, который необходим для того чтобы первоначальный долг в 20 000 тысяч рублей вырос до величины 30 000 рублей при условии, что на сумму долга начисляются простые проценты при годовой учётной ставке 11%.

Решение:

Дано:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: t

Запишем уравнение эквивалентности через учётную ставку — Контрольная работа по финансовой математике с решением — и выразим из него t:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №10

К оглавлению…

Определить величину дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 000 долларов, если до срока погашения осталось 2,5 года. Банк, покупающий этот инструмент, применяет сложные проценты по годовой учётной ставке 9 процентов.

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №11

К оглавлению…

Определить силу процента за 4 года, если начальная сумма составляла 100 000 рублей, а конечная — 160 000 рублей.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №12

К оглавлению…

Инвестиционная компания купила склад за 6 млн. рублей, а спустя 5 лет — продала за 10 млн. лет. Определить доходность финансовой операции в виде силы процента.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №13

К оглавлению…

Два года назад фирма купила машину за 6000. Современная оценка этой машины составила 4500 долларов. Предполагая, что стоимость машины амортизируется по экспоненте, определить стоимость машины через 3 года.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

раз стоимость машины амортизируется по экспоненте, значит, её стоимость растёт по сложным и непрерывным процентам. Будем использовать процентную ставку. Составим уравнение эквивалентности:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Это так называемая ставка амортизации

Найдём стоимость через 3 года:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Стоимость машины уменьшается экспоненциально:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №14

К оглавлению…

Две фирмы имеют годовые обороты соответственно в 1 млн. рублей и 2 млн. рублей. Оборот первой фирмы ежемесячно растёт на 2%, а оборот второй — уменьшается на 1%. Через какой срок обороты фирм сравняются?

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по финансовой математике

Финансовая рента

К оглавлению…

Финансовая рента (аннуитет) — это поток платежей такой, что равные выплаты производятся через равные промежутки времени. Ренты бывают безусловные и условные. Рента называется безусловной, если известен общий срок ренты (выплата стипендии в течение срока обучения). Рента называется условной, если общий срок ренты заранее неизвестные или зависит от выполнения некоторого условия (например, страховые ли пенсионные выплаты). Условные ренты обычно рассматриваются в актуарной математике. Различают также ренты пренумерандо и постнумерандо.

Рента называется пренумерандо, если периодические выплаты производятся в начале каждого периода, и постнумерандо — если в конце каждого периода. Рента называется вечной, если её общий срок неограниченно большой.

Введём обозначения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением — общий срок ренты

Контрольная работа по финансовой математике с решением — количество периодов ренты

Контрольная работа по финансовой математике с решением — длительность одного периода

Контрольная работа по финансовой математике с решением — член ренты или периодическая выплата

Основными расчётными (денежными) характеристиками ренты являются:

Контрольная работа по финансовой математике с решением — современная стоимость ренты пренумерандо

Контрольная работа по финансовой математике с решением — наращенная стоимость ренты пренумерандо

Контрольная работа по финансовой математике с решением — современная стоимость ренты постнумерандо

Контрольная работа по финансовой математике с решением — наращенная стоимость ренты постнумерандо

Графическое изображение ренты пренумерандо и постнумерандо:

Пренумерандо

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Постнумерандо

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Будем считать сначала, что рента простая, т. е. начисление или учёт процентов, а также выплаты производятся один раз в году. Будем считать далее, что на рынке действуют следующе эквивалентные между собой ставки:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вычислим величину Контрольная работа по финансовой математике с решением. Используя формулу суммы геометрической прогрессии а также равенство Контрольная работа по финансовой математике с решением получаем:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Далее вычислим величину Контрольная работа по финансовой математике с решением, зная, что Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Аналогично находим величины Контрольная работа по финансовой математике с решением относительно ренты постнумерандо. Окончательно получаем следующие расчётные формулы для простых рент пренумерандо и постнумерандо:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Любая сумма постнумерандо конечно меньше, чем пренумерандо. Чем дальше выплаты — тем дешевле стоят выплачиваемые деньги (дело не в инфляции, это просто свойство денег).

Вспомним кое-какие уравнения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Финансовая рента часто используется в задачах погашения кредита.

Контрольная работа №15

К оглавлению…

Кредит в размере 300 000 рублей выплачивается ежегодно по годовой учётной ставке 20% в течение 3-х лет. Найти величину ежегодных выплат.

Решение:

Будем считать, что обслуживание кредита осуществляется по схеме постнумерандо.

Обозначения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти:R

Решение:

Первоначальный кредит делим на коэффициент дисконтирования. Это формула (3.3).

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Это означает, что современная или наращенная стоимость ренты пренумерандо больше соответствующей стоимости ренты постнумерандо. Безразмерные величины в формула (3.1) — (3.4) — это коэффициенты ренты.

Коэффициент дисконтирования ренты пренумерандо:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Коэффициент наращения ренты пренумерандо:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Коэффициент дисконтирования ренты постнумерандо:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Коэффициент наращения ренты постнумерандо:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Таким образом получаем, что:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Сложная или (m,p)-pehta

К оглавлению…

Простая рента предполагала одно начисление или один учёт на одном периоде ренты и одну выплату на этом периоде. Пусть теперь на одном периоде производится …

Вспомним коэффициенты:

Контрольная работа по финансовой математике с решением— годовой коэффициент дисконтирования по годовой эффективной учётной ставке.

Контрольная работа по финансовой математике с решением — годовой коэффициент наращения по годовой эффективной процентной ставке.

Контрольная работа по финансовой математике с решением — годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной процентной ставке с m учётами в году.

Контрольная работа по финансовой математике с решением — годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке с m начислениями в году.

Теперь представим, что у мы имеем р выплат в год. Тогда:

Контрольная работа по финансовой математике с решением — годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной процентной ставке с m учётами в году на 1/р части года.

кКонтрольная работа по финансовой математике с решением — годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке с m начислениями на 1/р части года.

На каждом частичном периоде выплата равна Контрольная работа по финансовой математике с решением. Однако величины Контрольная работа по финансовой математике с решением в этой выплате обычно учитывают в коэффициентах ренты. Тогда:

v

Очевидно, что коэффициент дисконтирования сложной ренты постнумерандо меньше коэффициента сложной ренты пренумерандо. Точнее, он равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

или:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

По аналогии коэффициент наращения сложной ренты пренумерандо равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Коэффициент наращения сложной ренты постнумерандо равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

или:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Итак, основные расчётные формулы для коэффициентов дисконтирования и наращения сложной ренты пренумерандо и постнумерандо имеют вид:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

С помощью этих формул легко записать основные расчётные формулы для современных и наращенных стоимостей сложной ренты-пренумерандо и постнумерандо:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Рассмотрим несколько типичных случаев сложной ренты:

1. Контрольная работа по финансовой математике с решением, т. е. и выплаты производятся один раз в год, и начисление — один раз в год. Таким образом, сложная рента превращается в простую, и все коэффициенты сложной ренты сводятся к соответствующим коэффициентам для простой ренты.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Аналогично и с остальными коэффициентами.

2. Контрольная работа по финансовой математике с решением, т. е. выплата производится один раз в год, а начислений или учётов — сколько угодно. Тогда подставив вместо р единицу, получим упрощённые формулы коэффициентов сложной ставки. Формулы станут менее громоздкими:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

3. Контрольная работа по финансовой математике с решением, т. e. начисление или учёт производится раз в году, а выплаты — постоянно, например, ежемесячно. Тогда подставим в формулы коэффициентов единицу вместо m и снова сократим формулы. Буква «m» исчезнет даже из обозначений: Контрольная работа по финансовой математике с решением и пр.

4. m = р, выплат производится столько же, сколько начислений или учётов. Этот случай похож на простую ренту, только вместо одного года надо брать -ю часть года. Но при этом ставка берётся уже не годовая. Вместо неё берутся Контрольная работа по финансовой математике с решением для учёта и Контрольная работа по финансовой математике с решением для наращения.

5. Контрольная работа по финансовой математике с решением, т. е. начисление идёт непрерывно, а выплата — дискретна. Переходим к пределам по Контрольная работа по финансовой математике с решениемКонтрольная работа по финансовой математике с решением и используем второй замечательный предел. Получим:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по финансовой математике

Контрольная работа №16

К оглавлению…

Для создания страхового фонда ежегодно выделяется 4000 долларов. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке 6% годовых. Определить размер страхового фонда через 5 лет.

Общая модель — простая рента. Рента бывает пренумерандо и постнумерандо. Т. к. в задаче не уточняется, следует рассмотреть оба случая. Также ничего не сказано о ставке — процентная она или учётная. Следовательно, здесь также имеется 2 случая. Итого мы имеем 4 случая.

Решение:

1) Рента пренумерандо, процентная ставка.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Используем Формулу Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

2) Рента постнумерандо, процентная ставка.

R = 4000

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Используем Формулу Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

3) Рента пренумерандо, учётная ставка.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Переведём процентную ставку в учётную:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

4) Рента постнумерандо, учётная ставка.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Переведём процентную ставку в учётную:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Используем Формулу Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №17

К оглавлению…

Нефтяная компания ежемесячно выплачивает пенсию $500. Предполагая, что годовая номинальная процентная ставка равна 12%, подсчитать современную величину пенсионных выплат.

Решение:

Т. к. пенсия выплачивается в начале месяца, это пренумерандо.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Нам нужно найти годовую учётную ставку. Переведём годовую номинальную процентную ставку в эффективную годовую процентную ставку, а её уже переведём в d.

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Теперь находим Контрольная работа по финансовой математике с решением, не забывая, что $500 — это ежемесячная пенсия, а мы ищем годовую сумму. Т. е. умножаем 500 на 12. Т. е. R = 6000

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа №18

К оглавлению…

Молодожёны имеют годовой доход 8 $16000. Ипотечный банк выдаёт сумму, которая должна погашаться 1/3-ей месячного дохода. Банк использует сложные проценты по месячной процентной ставке 1,2%. Долг погашается в течение 25 лет. Какова величина взятого кредита?

Решение:

Выплаты кредита производятся обычно в конце месяца, поэтому мы имеем ренту постнумерандо.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найти: Контрольная работа по финансовой математике с решением — ?

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением — величина взятого кредита

А номинальная сумма, которую молодожёны выплатят в итоге, получается: Контрольная работа по финансовой математике с решением. Т. е. больше чем в 3 раза превышает сумму кредита. Довольно жёсткие условия, но молодожёны согласились.

Контрольная работа №19

К оглавлению…

Накопительный фонд формируется по следующим схемам:

1. Годовая номинальная процентная ставка с ежеквартальным начислением процентов равна 12%, т. е. Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Сумма -1 миллион.

Вопрос: какая схема выгоднее?

Решение:

нужно сравнить коэффициенты наращения. Наиболее выгодной будет та схема, у которой он будет больше.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вывод: вторая схема выгоднее.

Контрольная работа №20

К оглавлению…

Семья планирует купить автомобиль за $20000. Банк выдаёт кредит на 5 лет при следующих условиях: начисление процентов ежеквартально, а выплата денег производится ежемесячно. Годовая номинальная процентная ставка составляет 16%, т. е. Контрольная работа по финансовой математике с решением. Найти величину ежемесячных выплат.

Решение:

Выплаты производятся в конце месяца, значит — рента постнумерандо

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением — ежеквартальное начисление процентов

Контрольная работа по финансовой математике с решением — количество выплат в году (ежемесячно)

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вычислим d: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением доллар выплачиваем ежемесячно за этот кредит.

Подсчитаем номинальную сумму, которую мы вернём за такой кредит: 5772 * 5 = 28860. Переплата большая.

Анализ инвестиций

К оглавлению…

Анализ инвестиционных проектов проводится по многим экономическим и финансовым показателям, среди которых основными являются:

  • Чистый дисконтированный доход (ЧДД или NPV)
  • Внутренняя норма доходности (ВНД или IRR)
  • Срок окупаемости (СО или IR)

Чистый дисконтированный доход — это суммарная стоимость всех дисконтированных платежей проекта:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

где Контрольная работа по финансовой математике с решением — платежи в определённые моменты времени, причём Контрольная работа по финансовой математике с решением, если это инвестиции, и Контрольная работа по финансовой математике с решением, если это доход; Контрольная работа по финансовой математике с решением — соответствующие дисконтные множители при известной ставке процентов. Чистый дисконтированный доход проекта называют также чистой приведённой стоимостью (NPV).

Уравнением безубыточности для проекта П называются уравнение следующего вида:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Корень ищется в действительной области. Степень уравнения очень велика, поэтому обычно решение ищется приближённо. Если инвестиционный проект верный, такой корень существует.

Известно, что если кумулятивный ряд платежей монотонно возрастает, то существует положительный корень этого уравнения. Ставка, советующая такому корню уравнения Контрольная работа по финансовой математике с решением, называется внутренней нормой доходности.

Срок окупаемости — это период, начиная с которого, доходная часть проекта превосходит расходную. Его можно рассчитать, используя кумулятивный ряд дисконтирования платежей. А именно тот момент, начиная с которого значения этого кумулятивного ряда становятся положительными, и указывает срок окупаемости проекта.

Контрольная работа №21

К оглавлению…

Надо сравнить два проекта и выбрать наилучший.

Провести сравнительный анализ двух проектов и выбрать наилучший по следующим параметрам: чистый дисконтированный доход, внутренняя норма доходности, срок окупаемости. Средневыборочная процентная ставка — 25%.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

по условию Контрольная работа по финансовой математике с решением, значит, коэффициент дисконтирования равен: Контрольная работа по финансовой математике с решением. Подсчитаем чистую приведённую стоимость обоих проектов.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

За счёт дисконтирования реальная стоимость проекта оказывается намного ниже номинальной.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

У второго проекта реальная стоимость ещё ниже.

Теперь подсчитаем внутреннюю норму доходности данных проектов. Для этого сначала составим уравнение безубыточности для первого проекта:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

После упрощения уравнение примет вид:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

С помощью таблицы Excel легко находим Контрольная работа по финансовой математике с решением = 0,706. Отсюда получаем: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Итак, внутренняя доходность первого проекта равна: Контрольная работа по финансовой математике с решением. Аналогично составляем уравнение избыточности второго проекта и находим внутреннюю доходность второго проекта: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Теперь, чтобы найти срок окупаемости, составим следующую таблицу:

Контрольная работа по финансовой математике с решением
Контрольная работа по финансовой математике с решением

Из таблицы видим, что реальный срок окупаемости проекта №1 находится между 3-им 4-ым годами, т. к. на

концах этого отрезка значения кумулятивного ряда имеют противоположные знаки.

Воспользуемся формулой для уточнения сроков окупаемости первого и второго проекта:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

где Контрольная работа по финансовой математике с решением — левый конец отрезка, Контрольная работа по финансовой математике с решением — правый; Контрольная работа по финансовой математике с решением — значение кумулятивного ряда в точке Контрольная работа по финансовой математике с решением — а Контрольная работа по финансовой математике с решением значение ряда в точке Контрольная работа по финансовой математике с решением. Левым концом отрезка считается тот год, на котором знак кумулятивного ряда сменяется.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Т. е. срок окупаемости первого проекта составляет 3 года и 3 месяца.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Т. е. срок окупаемости второго проекта составляет 4 года и 2 месяца.

Представим полученные результаты в виде таблицы:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Очевидно, что по всем показателям первый проект оказался более привлекательным, чем второй. Однако часто происходят ситуации, когда показатели неоднозначны. Поэтому для выбора проекта существуют некоторые рекомендации.

Оптимальное множество парето

К оглавлению…

Рассмотрим две финансовые операции:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

где Контрольная работа по финансовой математике с решением — это доходы, а Контрольная работа по финансовой математике с решением — риски.

Тогда финансовая операция Контрольная работа по финансовой математике с решением доминирует операцию Контрольная работа по финансовой математике с решением, если Контрольная работа по финансовой математике с решением (записывается как Контрольная работа по финансовой математике с решением).

Рассмотрим 6 финансовых операций:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Проанализируем их по доходности и рискам и выясним их отношения доминирования:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением не находятся в отношениях доминирования (у Контрольная работа по финансовой математике с решением больше доходность, но у Контрольная работа по финансовой математике с решением меньше риски, поэтому ни одна из них не доминирует друг над другом)

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Те операции, которые лучше или хуже друг друга, вычёркиваем, оставляем только те, которые не доминируют друг над другом. В нашем случае это операции Контрольная работа по финансовой математике с решением и Контрольная работа по финансовой математике с решением. Эти две оставшиеся операции и будут составлять оптимальное множество Парето. Изобразим его графически:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Таблица вывода формул

К оглавлению…

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Любая финансовая операция протекает в условиях неопределённости, следовательно, денежные суммы также определены с некоторой вероятностью.

Под полной неопределённость будем понимать полное отсутствие всякой информации о финансовой операции. Под частичной неопределённостью понимаем знание о вероятностях исходов финансовой операции.

Финансовые операции и их исходы, выраженные некоторыми величинами удобно представлять в виде матрицы. В качестве таких величин (элементов матрицы) могут выступать доходы, эффективность, риски.

Рассмотрим матрицу доходов:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Нетрудно увидеть, что финансовая операция Контрольная работа по финансовой математике с решением более рискованна, чем операция Контрольная работа по финансовой математике с решением Операция Контрольная работа по финансовой математике с решением при любых исходах А или В имеет положительный доход, но её также следует считать рискованной. В самом деле, если случится исход А, а не исход В, то относительно операции Контрольная работа по финансовой математике с решением возникает риск недобрать 10 = 15 — 5 денежных единиц.

В общем случае матрицу доходов будем обозначать Q.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

В этой матрице m строк, соответствующих m финансовым операциям, и n столбцов, соответствующих n исходам. Элемент Контрольная работа по финансовой математике с решением такой матрицы — это доход от i-той финансовой операции при j-том исходе. Матрицу доходов называют также матрицей возможных решений, матрицей возможных последствий, матрицей эффективностей.

Другим важным параметром любой финансовой операции является риск. В простейшем случае матрица рисков R строится по известной матрице доходов Q:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Очевидно, что матрицы Q и R одного размера, а именно, mxn. Каждый элемент матрицы R выражает риск некоторой финансовой операции при некотором исходе. Существует несколько измерителей риска. В простейшем случае риск Контрольная работа по финансовой математике с решением можно вычислить по следующей формуле:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Здесь Контрольная работа по финансовой математике с решением. Из этой формулы следует, что для формирования матрицы рисков необходимо в каждом столбце найти наибольший элемент и из него вычесть все элементы этого столбца. Тогда число Контрольная работа по финансовой математике с решением может выражать, например, денежную сумму, недостающую до максимальной суммы в случае неудачного выбора финансовой операции при определённом исходе.

Одной из важнейших задач является задача выбора наилучшей финансовой операции из m операций, протекающих в условиях полной или частичной неопределённости исходов. В некоторых случаях наилучшая финансовая операция легко проглядывается по матрицам Q или R, однако более надёжный результат по выбору наилучшей операции можно достичь с применением математических методов.

Выбор наилучшей финансовой операции в условиях полной неопределённости

К оглавлению…

Эти методы базируются на теории игр.

В финансовой практике обычно применяют следующие решающие правила:

  1. Правило Вальда (максиминное)
  2. Правило Сэвиджа (минимаксное)
  3. Правило Гурвица (взвешенное или оптимальное)

По правилу Вальда в каждой строке матриц доходов Q сначала выбирается минимальный элемент:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Затем из выбранных минимальных элементов находится максимальный:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Соответствующая этому элементу финансовая операция объявляется наилучшей. Итак, оптимальный элемент, выбранный по этому правилу, равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Исходя из финансового смысла выбора наилучшей финансовой операции по правилу Вальда, его можно назвать правилом крайнего пессимизма (правилом осторожного финансиста), потому что мы ориентируемся на самый неблагоприятный исход. Таким образом, q — это гарантированный доход финансиста, если он действует по этому правилу.

По правилу Сэвиджа в каждой строке матрицы рисков R сначала выбирается максимальный элемент:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Затем из полученных элементов выбирается минимальный:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Соответствующая этому элементу финансовая операция объявляется наилучшей.

Итак, оптимальный элемент, выбранный по этому правилу, равен:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Исходя из финансового смысла выбора наилучшей финансовой операции по правилу Сэвиджа, его также можно назвать правилом крайнего пессимизма. Таким образом, r — это максимальный риск, если он действует по данному правилу.

По правилу Гурвица в каждой строке матрицы доходов Q сначала выбирается элемент Контрольная работа по финансовой математике с решением, в соответствии с формулой:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Здесь Контрольная работа по финансовой математике с решением-это весовой коэффициент, который выбирается в зависимости от предпочтений финансиста.

Затем из полученных элементов выбирается максимальный:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Этот элемент и объявляется наилучшим по правилу Гурвица с весом Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Рассмотрим два частных случая из этого правила:

  1. Контрольная работа по финансовой математике с решением ,т. е. приходим к правилу Вальда
  2. Контрольная работа по финансовой математике с решением, т. е. приходим к правилу розового оптимизма. Т. е. здесь финансист рассчитывает на самый благоприятных исход.

На практике обычно весовому коэффициенту Контрольная работа по финансовой математике с решением придают значение вблизи 0,5. В этом случае правило Гурвица называют правилом взвешенного оптимизма.

Контрольная работа №22

К оглавлению…

Пусть дана следующая матрица доходов Q:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Решение:

Применим правило Вальда — найдём в каждой строке минимальный элемент.

Первая строка: 3

Вторая:2

Третья: 3

Четвёртая: 1.

Теперь из выбранных элементов найдём максимальный. Таких два — в первой и в третьей строке. Значит, по правилу Вальда наилучшими финансовыми операциями считаются Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Теперь применим правило Сэвиджа. Составим матрицу рисок R:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Теперь выберем максимальные элементы из каждой строки, и из них выберем минимальный. Это элемент 5 в третьей строке. Следовательно, по правилу Сэвиджа, наилучшей финансовой операцией будетКонтрольная работа по финансовой математике с решением.

Наконец, применим правило Гурвица. За Контрольная работа по финансовой математике с решением примем 0,5.

Найдём элементы Контрольная работа по финансовой математике с решением по формуле: Контрольная работа по финансовой математике с решением

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Максимальный элемент из найденных Контрольная работа по финансовой математике с решением — 5,5. Значит, по правилу Гурвица выходит, что наилучшей финансовой операцией будет Контрольная работа по финансовой математике с решением. Это говорит о том, что операция Контрольная работа по финансовой математике с решением наиболее характерна для экономиста-пессимиста, а если не сильно осторожничать, то лучше выбрать операцию Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Выбор наилучшей финансовой операции в условиях частичной определённости

К оглавлению…

В данной ситуации применяются следующие правила:

  1. правило Байеса максимизации среднего ожидаемого дохода
  2. правило Байеса минимизации среднего ожидаемого риска.

Предположим, что из статистики или других источников известны вероятности исходов Контрольная работа по финансовой математике с решением. Здесь Контрольная работа по финансовой математике с решением — это вероятность -го исхода, Контрольная работа по финансовой математике с решением. Если в матрице доходов Q или в матрице рисков R предусмотреть все возможные исходы, то сумма соответствующих вероятности должны ровняться 1:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Правило Байеса максимизации среднего ожидаемого дохода.

Определим средний ожидаемый доход финансовой операции Контрольная работа по финансовой математике с решением как математическое ожидание случайной величины — вектора доходов по этой операции при всевозможных исходах. Этой случайной величине соответствует i-тая строка матрицы доходов Q.

Закон распределения этой дискретной случайной величины:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Математическое ожидание этой случайной величины выражается в виде скалярного произведения её значений на соответствующие вероятности:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

После того, как найдены средние ожидаемые доходы, по каждой финансовой операции набирается наибольшая величина:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Соответствующая финансовая операция объявляется наилучшей.

Правило Байеса максимизации среднего ожидаемого риска.

Вместо матрицы доходов Q рассматривается матрица рисков R. По аналогии, каждую строку R можно рассматривать как случайную величину, имеющую следующий закон распределения:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Определяем средний ожидаемый риск как математическое ожидание случайной величины — вектора рисков по этой операции при всевозможных исходах. Этой случайной величине соответствует i-тая строка матриц R.

Математическое ожидание этой случайной величины выражается в виде скалярного произведения значений этой случайной величины на соответствующие вероятности:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

После подсчёта средних ожидаемых рисков по каждой финансовой операции выбирается наименьшее значение:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Соответствующая операция объявляется наилучшей.

С учётом частичной неопределённости дорешаем наш Пример 1:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Матрица Р — это матрица вероятностей появления соответствующего исхода, т. е. Контрольная работа по финансовой математике с решением 0,3. Эти вероятности мы получили из статистики или какого-то другого источника.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Найдём Контрольная работа по финансовой математике с решением по формуле Контрольная работа по финансовой математике с решением и выберем среди найденных наибольший:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Наибольшим Контрольная работа по финансовой математике с решением будет Контрольная работа по финансовой математике с решением Следовательно, по правилу Байеса максимизации ожидаемого дохода, наилучшей финансовой операцией становится Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Применим правило минимизации ожидаемых рисков — найдём Контрольная работа по финансовой математике с решением по формуле Контрольная работа по финансовой математике с решением и выберем среди найденных наименьший:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Наименьшим риском становится Контрольная работа по финансовой математике с решением, а значит, и по правилу минимизации ожидаемых рисков первая финансовая операция считается наилучшей. Т. е. получили ответ без противоречий. Если бы возникли противоречия, то следовало бы составить оптимальное множество Парето.

Вспомним формулы вычисления дисперсии:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии и в финансовых расчётах называется средним ожидаемым риском: Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Диверсификация рисков

К оглавлению…

Предположим, у нас есть очень много денег, и есть, скажем, 5 банков. Понесём ли мы все деньги в один банк или распределим их между всеми пятью каким-либо образом? Скорее всего, мы выберем второе, чтобы в одночасье не потерять все деньги в случае неудачного выбора какого-то одного банка. Такое снижение рисков потерь и называется диверсификацией рисков.

При выборе наилучшей финансовой операции на первом этапе в условиях полной неопределённости целесообразно использовать известные правила (Вальда, Сэвиджа, Гурвица). На второй этапе, когда проясняется информация об исходах, целесообразно использовать правила Байеса. Эти правила указывают на наилучшую финансовую операцию. На третьем этапе при многовариантных расчётах целесообразно указать не одну, а несколько наилучших операций с вероятностями их выбора. В теории игр это называется решением игры в смешанных стратегиях.

Запишем матрицу Q доходов и матрицу? вероятности исходов.

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Вычислим доходы:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Теперь вычислим риски с учётом вероятностей. Находить их будем как СКО:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Получили операции:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Определим как Контрольная работа по финансовой математике с решением вероятности самих финансовых операций, т. е. с какой вероятностью мы выбираем ту или иную финансовую операцию Контрольная работа по финансовой математике с решением. Другими словами, как часто мы выбираем ту или иную финансовую операцию. Тогда:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Нам нужно повлиять на эти вероятности так, чтобы максимизировать доход и минимизировать риски:

Контрольная работа по финансовой математике с решением

Видим, что первая операция у нас наиболее доходная и наименее рискованна, так что придадим наибольший вес ей — Контрольная работа по финансовой математике с решением, вторая операция наиболее рискованна, снизим её вероятность — Контрольная работа по финансовой математике с решением, вероятность третьей операции получается Контрольная работа по финансовой математике с решением.

Тогда:

Контрольная работа по финансовой математике с решением