Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции

Рассмотрим в качестве в формуле единичную функцию . Тогда цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой, равной 1, и основанием — . Объём такого цилиндра численно совпадает с площадью его основания . Таким образом, площадь плоской фигуры можно находить по формуле:

Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции заключается в том, что величина двойного интеграла от единичной функции но области равна площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования .

Рассмотрим пример вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

Пример решения заказа контрольной работы №89.2

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования , будем использовать формулу:

В нашем случае областью интегрирования является фигура, ограниченная линиями

Вычислим

Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Линии, задаваемые уравнениями — прямые, параллельные оси и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением — гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу можно получить из гиперболы с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.

Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.

Изображенная на рисунке область интегрирования (рис.4) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае

Следовательно,

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге,

Следовательно,

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Признак Даламбера для общего члена ряда
Основные свойства рядов
Пример вычисления подобного повторного интеграла
Нахождение дифференциала второго порядка функции