Электромагнитные колебания задачи и решения

Прежде чем изучать готовые решения задач по электромагнитным колебаниям, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «электромагнитные колебания в физике», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Электромагнитные колебания и волны определения, понятия и законы

К оглавлению…

Переменный электрический ток

Переменным называется ток, величина и направление которого периодически меняются во времени. Наибольшее практическое значение имеет переменный ток, изменяющийся по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Как и любое гармоническое колебание, такой ток может быть описан формулой

(3.5.1)

где — значение силы тока в данный момент времени — амплитуда тока, — круговая частота, — начальная фаза. Круговая частота связана с частотой и периодом формулами , .

Амплитудное и действующее (эффективное) значение периодически изменяющегося напряжения и тока

Если переменный гармонический ток проходит через резистор, то напряжение на нем также меняется по гармоническому закону, причем в той же фазе, что и ток:

(3.5.2)

где — амплитуда напряжения. Мгновенная мощность переменного тока в резисторе определяется выражением

(3.5.3)

Средняя за период мощность равна

(3.5.4)

Формула (3.5.4) дает возможность сравнивать переменный и постоянный токи по их тепловому действию. Эффективным (действующим) значением переменного тока называется сила постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток за то же время. В соответствии с этим, действующее значение силы тока равно . Аналогично, действующее значение переменного напряжения определяется как .

Получение переменного тока с помощью индукционных генераторов

Переменный ток находит широкое применение на практике благодаря простым и экономичным способам его получения (с помощью индукционных генераторов) и преобразования переменного напряжения (с помощью трансформаторов). Принцип действия генератора переменного тока основан на явлении электромагнитной индукции, приводящем к возникновению переменной ЭДС при вращении проволочного витка в магнитном поле.

Рис. 3.5.1. Принцип действия генератора переменного тока

Магнитный поток однородного поля через плоский виток равен произведению площади контура на индукцию магнитного поля , пронизывающего контур, и на косинус угла между направлением индукции и нормалью к площадке, ограниченной контуром (рис. 3.5.1):

(3.5.5)

Если виток из проволоки равномерно вращается с угловой скоростью в магнитном поле, то угол tp между направлением магнитной индукции и нормалью к плоскости рамки будет меняться по закону , что вызовет появление переменного магнитного потока через площадку, ограниченную контуром. В результате в контуре возникнет переменная ЭДС индукции

(3.5.6)

где — производная магнитного потока по времени, — амплитудное значение ЭДС индукции. Если в магнитном поле вращается контур, состоящий из последовательных витков, намотанных на сердечник с магнитной проницаемостью , то амплитуда ЭДС индукции .

Для подключения витка к внешней цепи используются скользящие контакты, состоящие из контактных колец, подсоединенных к выводам витка, и неподвижных пластин (щеток), прижатых к кольцам. На практике вместо одного витка используется целая система обмоток, размещенных в пазах железного сердечника.

В мощных генераторах обмотки обычно неподвижны, а вращается источник магнитного поля.

Это позволяет существенно упростить проблему отвода тока, вырабатываемого генератором, к потребителю.

Трансформатор

Трансформатор представляет собой устройство для преобразования переменного напряжения. Он состоит из замкнутого железного сердечника, на который намотаны две обмотки: первичная

Рис. 3.5.2. Первичная и вторичная обмотки трансформатора

и вторичная (рис. 3.5.2). К первичной обмотке прикладывается переменное напряжение. Оно вызывает в обмотке переменный ток, который, в свою очередь, порождает переменный магнитный поток в сердечнике трансформатора. Переменный магнитный поток пронизывает витки вторичной обмотки трансформатора и, в соответствии с законом электромагнитной индукции, порождает во вторичной обмотке ЭДС индукции. Для ненагруженного трансформатора отношение напряжения на вторичной обмотке (выходного напряжения ) к напряжению на первичной обмотке (входному напряжению ) равно отношению числа витков во вторичной обмотке к числу витков в первичной обмотке:

(3.5.7)

Если число витков вторичной обмотки больше числа витков первичной обмотки трансформатора, то выходное напряжение больше входного и трансформатор называется повышающим. В противном случае трансформатор называется понижающим. Так как при преобразовании переменного тока трансформатором потери очень малы, произведение силы тока на напряжение одинаково для обеих обмоток: . Отсюда следует, что .

Передача электрической энергии

Передача электрической энергии на расстояние сопряжена с потерей энергии в проводах, по которым течет ток. Мощность потерь есть , где — сила тока, — сопротивление провода. Для уменьшения мощности потерь необходимо уменьшать величину силы тока в проводе (так как возможности уменьшения сопротивления проводов пока ограничены). При этом для сохранения величины полезной мощности передаваемого тока, равной произведению тока на напряжение , необходимо повышать напряжение . Поэтому на практике при необходимости передать электроэнергию на большое расстояние поступают следующим образом. Сначала повышают напряжение переменного тока с помощью повышающего трансформатора (до напряжений в десятки — сотни киловольт), затем передают ток по линии электропередачи, а затем понижают напряжение с помощью понижающего трансформатора.

Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в контуре

Колебательный контур представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных между собой (рис. 3.5.3).

Рис. 3.5.3. Колебательный контур

Если зарядить конденсатор, а затем замкнуть его на катушку индуктивности, то через нее потечет ток. Ток в катушке вызовет появление магнитного поля и магнитного потока через витки катушки. В момент, когда конденсатор полностью разрядится и напряжение на нем станет равным нулю, ток в катушке достигнет максимума. Затем сила тока начнет уменьшаться. Это вызовет изменение магнитного потока через витки катушки и, как следствие, электродвижущую силу в контуре, которая будет стремиться поддержать убывающий ток. В итоге ток будет еще некоторое время течь в прежнем направлении, что приведет к зарядке конденсатора. В момент прекращения тока конденсатор снова окажется заряженным (с полярностью, обратной по отношению к первоначальной). После этого ток потечет в противоположном направлении, и весь процесс повторится снова.

Превращение энергии в колебательном контуре

Энергия в контуре периодически меняет свою форму, превращаясь из энергии заряженного конденсатора (энергия электрического поля) в энергию катушки с током (энергия магнитного поля) и наоборот. Превращение энергии в контуре аналогично превращению энергии при колебаниях маятника, когда энергия периодически превращается из потенциальной в кинетическую и обратно.

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре, и его решение. Формула Томсона для периода колебаний

Свободные колебания в контуре описываются уравнением

(3.5.8)

где — заряд конденсатора, — емкость конденсатора, — индуктивность катушки, — вторая производная заряда конденсатора по времени. Решение этого уравнения имеет вид:

(3.5.9)

Здесь — амплитудное значение заряда (т.е. максимальная величина заряда на конденсаторе), — начальная фаза колебаний, — круговая частота. Период свободных колебаний в контуре выражается формулой Томсона

(3.5.10)

Значения и определяются начальными условиями. В частности, при отсутствии тока в катушке в момент подключения к ней заряженного конденсатора , a равно начальному заряду конденсатора.
Ток в контуре равен производной заряда по времени:

(3.5.11)

где — амплитуда тока, — амплитуда напряжения.

Затухающие электромагнитные колебания

Наличие сопротивления соединительных проводов и катушки в реальном контуре приводит к тому, что свободные электромагнитные колебания постепенно затухают. При этом энергия колебаний переходит в тепловую энергию, вызывая нагрев проводов и катушки.

Вынужденные колебания в электрических цепях

Переменный электрический ток в промышленных и бытовых электрических цепях является результатом возбуждения в них вынужденных электромагнитных колебаний под действием периодически изменяющейся ЭДС. В общем случае цепь переменного тока можно рассматривать как колебательный контур, к которому приложена внешняя синусоидальная ЭДС. Колебания тока и напряжения в такой цепи происходят на частоте внешней ЭДС.

Активное, емкостное и индуктивное сопротивления в цепи гармонического тока

Пусть замкнутая электрическая цепь (рис. 3.5.4) содержит резистор, конденсатор, катушку индуктивности и источник

Рис. 3.5.4. Замкнутая цепь переменного тока

переменной ЭДС

(3.5.12)

Эта ЭДС вызывает в цепи переменный ток

(3.5.13)

где — амплитуда переменного тока, а — сдвиг по фазе между колебаниями тока в цепи и ЭДС.
Напряжения на отдельных элементах цепи и токи, протекающие в них, колеблются с одинаковой частотой, хотя могут быть сдвинуты по фазе (рис. 3.5.5).

Отношение амплитуды колебаний напряжения к амплитуде колебаний тока на данном элементе цепи называется сопротивлением данного

Рис. 3.5.5. Напряжение и ток на резисторе (а), конденсаторе (б), катушке (в)

элемента переменному току. Для резистора это сопротивление равно обычному омическому сопротивлению (такому же, как и для постоянного тока). Это сопротивление связано с нагреванием резистора током, т.е. с переходом энергии тока в тепловую энергию, и называется активным. Для конденсатора сопротивление равно и называется емкостным. Для катушки индуктивности сопротивление равно и называется индуктивным.
На омическом (активном) сопротивлении ток и напряжение колеблются в одинаковой фазе (). На конденсаторе ток опережает напряжение на 90° (). На катушке индуктивности колебания тока отстают от колебаний напряжения на 90° ().

Рис. 3.5.6. Колебания переменного тока и напряжения

В цепи переменного тока напряжения на отдельных последовательно включенных элементах могут быть сдвинуты по фазе относительно друг друга. Амплитуду и фазу результирующего колебания напряжения можно легко определить, пользуясь методом векторных диаграмм. Данный метод основан на том, что любое гармоническое колебание наглядно представимо в виде проекции на некоторое направление вектора, вращающегося с заданной угловой частотой , длина которого равна амплитуде колебаний.

При этом сложение колебаний сводится к нахождению суммы соответствующих векторов. Колебания переменного тока и напряжения изображают в виде векторов и вращающихся с одинаковой частотой против часовой стрелки и отличающихся амплитудой и сдвигом фаз (рис. 3.5.6).

Рис. 3.5.7. Векторная диаграмма для схемы, изображенной на рис. 3.5.4

Таким образом, векторы тока и напряжения при вращении не меняют своего взаимного расположения, т. е. сохраняют постоянную разность фаз. Для схемы, состоящей из последовательно включенных элементов векторная диаграмма изображена на рис. 3.5.7. Сдвиг фаз для этой схемы определяется по формуле

(3.5.14)

а полное сопротивление цепи равно

(3.5.15)

Закон Ома для цепи переменного тока имеет вид:

(3.5.16)

Средняя мощность, выделяемая источником в цепи переменного тока

(3.5.17)


где — действующие значения тока и ЭДС. Множитель cos <р называется коэффициентом мощности.

Резонанс в электрических цепях

Резонанс в электрической цепи наступает при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний контура . При резонансе резко возрастают амплитуды колебаний токов и напряжений на элементах схемы. Так, для контура, изображенного на рис. 3.5.4, резонансная амплитуда тока равна и при малом сопротивлении может достигать весьма больших величин даже при небольших значениях ЭДС. Зависимость амплитуды силы тока от частоты при различных сопротивлениях показана на рис. 3.5.8 . Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения становятся одинаковыми по величине:

(3.5.18)

и могут во много раз превосходить ЭДС.
Явление резонанса широко используется в радиотехнике. Так, настройкой частоты колебательного контура радиоприемника на частоту передающей радиостанции можно добиться значительного увеличения амплитуды электромагнитных колебаний в контуре.

Рис. 3.5.8. Резонансные кривые при различных значениях активного сопротивления

Открытый колебательный контур

Обычный (его можно назвать закрытым) колебательный контур практически не излучает электромагнитные волны, поскольку энергия электромагнитных колебаний сосредоточена в очень малой области пространства. Так, энергия электрического поля заключена внутри конденсатора, а энергия магнитного поля — внутри катушки индуктивности. Чтобы излучение электромагнитных волн стало достаточно интенсивным, нужно обеспечить существование переменного электрического поля в большой области пространства, не экранированной металлическими пластинами.

Этого можно добиться, раздвигая пластины конденсатора и уменьшая их размеры.

Заменив одновременно катушку индуктивности прямым проводником, мы получим так называемый открытый колебательный контур. В простейшем случае открытый контур представляет собой стержень с шариками на концах, разделенный посередине небольшим разрядным промежутком. Если зарядить шарики достаточно большими зарядами противоположного знака, то в разрядном промежутке произойдет пробой воздуха, и в контуре возникнут электромагнитные колебания высокой частоты. Механизм возникновения колебаний такой же, как и в закрытом контуре, однако емкость теперь определяется емкостью шариков, а индуктивность — индуктивностью стержня.

Опыты Герца

В 1881 — 1888 годах немецкий физик Генрих Герц проводил опыты с разрядом, создаваемым мощной индукционной катушкой в искровом промежутке открытого колебательного контура. Ему удалось получить сверхбыстрые колебания электрического тока в прямолинейном отрезке проводника с периодом колебаний тока около секунды. Продолжая опыты Герц установил, что быстрые колебания тока в одном проводнике способны вызвать колебания тока в другом проводнике, удаленном от первого на некоторое расстояние. Так были открыты электромагнитные волны. Используя зеркала из цинковой жести, Герц сумел продемонстрировать отражение и фокусировку электромагнитных волн. С помощью призмы, изготовленной из смолы, он наблюдал преломление электромагнитных волн, подобное преломлению светового луча в стеклянной призме. Наконец, с помощью проволочной сетки он убедился в поляризации электромагнитных волн. Подводя итог своим исследованиям, он написал, “…описанные опыты доказывают идентичность света, тепловых лучей и электродинамического волнового движения”.

Электромагнитные волны. Их свойства

Согласно современным представлениям электромагнитная волна представляет собой колебания электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве со скоростью света ( метров в секунду). Источниками электромагнитных волн являются изменяющиеся во времени электрические токи, а также отдельные ускоренно движущиеся заряженные частицы. Электромагнитная волна характеризуется векторами напряженности электрического и индукции магнитного полей, составляющих единое электромагнитное поле. Возможность существования электромагнитных волн обусловлена тем, что имеется связь между меняющимися во времени электрическим и магнитным полями. Переменное магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле, а переменное во времени электрическое поле порождает вихревое магнитное поле. Однажды начавшийся процесс взаимного порождения магнитного и электрического полей далее продолжается и захватывает новые области в окружающем пространстве.

Свойства электромагнитных волн во многом сходны со свойствами механических волн. На границе раздела двух сред электромагнитные волны частично отражаются, частично проходят во вторую среду. При этом угол отражения равен углу падения; падающий, отраженный и преломленный лучи и нормаль к поверхности раздела сред лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является величиной, постоянной для двух данных сред и равной отношению скоростей распространения волн в первой и второй средах. У края преграды или при прохождении электромагнитных волн через отверстие наблюдается явление дифракции волн, т.е. отклонение направления их распространения от прямолинейного. Для волн, излучаемых когерентными источниками, наблюдается явление интерференции.
Электромагнитные волны являются поперечными. Векторы напряженности электрического и индукции магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и взаимно перпендикулярны между собой (рис. 3.5.9).

Рис. 3.5.9. Распространение электромагнитной волны

Излученные электромагнитные волны несут с собой энергию. Одной из главных энергетических характеристик излучения является плотность потока излучения . Так называется электромагнитная энергия, проходящая за единицу времени через площадку единичной площади, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Плотность потока излучения в СИ измеряется в ваттах на квадратный метр (). Эту величину часто называют также интенсивностью волны.
Для плотности потока излучения (интенсивности) электромагнитной волны справедливо выражение

(3.5.19)

где

(3.5.20)

— плотность электромагнитной энергии, — скорость света.
При излучении гармонической электромагнитной волны напряженность электрического поля и магнитная индукция в волне пропорциональны квадрату частоты колебаний зарядов в открытом колебательном контуре. Поэтому интенсивность гармонической волны пропорциональна четвертой степени частоты волны.

Шкала электромагнитных волн

Классификацию электромагнитных волн обычно проводят исходя либо из длины волны , либо из частоты zz, связанных между собой соотношением . Длинноволновые электромагнитные излучения относят к диапазону радиоволн, которые возбуждаются переменными токами и электронными потоками. Инфракрасные волны ( м) излучают молекулы и атомы при тепловых и электрических воздействиях. Видимый свет занимает диапазон м и излучается при переходах внешних электронов атомов с одного энергетического уровня на другой. Ультрафиолетовое излучение () возникает при воздействиях на атомы ускоренных электронов. Рентгеновские лучи ( м) порождаются атомными процессами при воздействии ускоренных заряженных частиц. Наконец, гамма-излучение ( м) возникает при ядерных процессах, в том числе при радиоактивном распаде.

Излучение и прием электромагнитных волн

Как показали опыты Герца, металлический стержень, в котором возбуждены высокочастотные колебания электрического тока, является источником электромагнитной волны. Если на своем пути электромагнитная волна встречает другой металлический стержень, то в нем возбуждаются вынужденные электромагнитные колебания, которые можно зарегистрировать. На практике излучение и прием электромагнитных волн осуществляются с помощью передающих и приемных антенн.

Принципы радиосвязи

Радиосвязью называется передача информации с помощью электромагнитных волн, частоты которых охватывают диапазон от до Гц. Важную роль в современной жизни играет так называемая радиотелефонная связь, с помощью которой передаются речь, музыка и другие звуковые сигналы.

Рис. 3.5.10. Амплитудная модуляция высокочастотных колебаний

Поскольку, плотность потока излучения электромагнитных волн пропорциональна четвертой степени частоты колебаний тока в антенне, возбудить достаточно интенсивные для радиосвязи электромагнитные волны на звуковых частотах практически невозможно. Поэтому, для осуществления радиотелефонной связи обычно используются электромагнитные волны с частотами от сотен килогерц до сотен мегагерц. Для того, чтобы с помощью высокочастотных электромагнитных волн можно было передать низкочастотные звуковые сигналы, гармонические колебания высокой частоты в радиопередатчике подвергают изменению во времени (модуляции). В результате при радиопередаче антенна излучает модулированную высокочастотную электромагнитную волну.

Простейший способ модуляции состоит в изменении амплитуды высокочастотных колебаний в соответствии с низкочастотным сигналом, полученным с помощью микрофона. Такой способ, называемый амплитудной модуляцией, проиллюстрирован на рис. 3.5.10, где изображены три графика: а) график колебаний высокой частоты, которую называют несущей частотой; б) график колебаний звуковой частоты, т.е. модулирующих колебаний; в) график модулированных по амплитуде высокочастотных колебаний.
В современном радиовещании используются также другие виды модуляции. Процесс плавного изменения несущей частоты в соответствии с управляющим сигналом называется частотной модуляцией, а изменения фазы высокочастотных колебаний — фазовой модуляцией. Это более сложные способы модуляции. Их преимуществом является большая устойчивость к помехам.

Рис. 3.5.11. Схема детектирующей цепи (а). Вольт-амперная характеристика цепи диод-резистор (б)

Электромагнитные волны, излученные одновременно разными радиостанциями, возбуждают в антенне радиоприемника вынужденные колебания тока на разных несущих частотах. Для того, выделить сигнал от требуемой радиостанции, электрические колебания с антенны подают на колебательный контур с изменяющейся собственной частотой. Изменение собственной частоты колебаний в контуре приемника обычно производится путем изменения емкости переменного конденсатора. При совпадении частоты вынужденных колебаний в антенне с собственной частотой контура наступает резонанс, при котором амплитуда вынужденных колебаний напряжения на обкладках конденсатора достигает максимального значения. Таким образом из большого числа электромагнитных колебаний, возбуждаемых в антенне, выделяются колебания нужной частоты.

Рис. 3.5.12. Ток в цепи детектора (а). Ток через резистор (б)

С колебательного контура приемника модулированные колебания высокой частоты поступают на элемент с односторонней проводимостью — детектор. Детектором может служить полупроводниковый или вакуумный диод.
На рис. 3.5.11, а изображена схема детектирующей цепи, на вход которой поданы высокочастотные модулированные колебания. В цепь последовательно включены детектор (диод) и резистор (нагрузка). Резистор шунтирован конденсатором , играющим роль сглаживающего фильтра. Пренебрегая обратным током через диод, вольт — амперную характеристику цепи диод — резистор можно приближенно представить в виде, изображенном на рис. 3.5.11, б.

Рис. 3.5.13. Принцип радиотелефонной связи

В отсутствие конденсатора ток цепи детектора изменяется во времени по закону, представленному на рис. 3.5.12, а. Конденсатор сглаживает пульсации тока, заряжаясь в те моменты времени, когда диод пропускает ток, и частично разряжаясь через нагрузку, когда диод заперт. Если значения емкости конденсатора и сопротивления резистора подобраны надлежащим образом, то через резистор будет протекать ток, изменяющийся во времени со звуковой частотой, использованной при модуляции высокочастотных колебаний в радиопередатчике (рис. 3.5.12, б). Для преобразования электрических колебаний в звуковые переменное напряжение звуковой частоты подается на телефон или громкоговоритель.
Основные принципы радиотелефонной связи иллюстрирует схема, изображенная на рис. 3.5.13.

Указания по решению задач

Во многих задачах данного раздела удобно использовать закон сохранения энергии. Этому закону следует придать форму, связывающую амплитудные и текущие значения напряжения, заряда или тока в отдельных элементах схемы.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача3.5.1.

В колебательном контуре с индуктивностью и емкостью конденсатор заряжен до максимального напряжения . Каким будет ток в контуре в тот момент, когда напряжение на конденсаторе уменьшится в два раза? Колебания считать незатухающими.

Решение:

В отсутствии затухания суммарная энергия электрического и магнитного полей в контуре сохраняется. Следовательно, в каждый момент времени справедливо равенство:
откуда
По условию задачи . Ток в контуре в этот момент времени равен:

Задача3.5.2.

В колебательном контуре конденсатору с емкостью С = 10 мкФ сообщили заряд q = 1 мКл, после чего возникли затухающие электромагнитные колебания. Сколько тепла Q выделится к моменту, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет меньше начального максимального напряжения в n = 4 раза?

Решение:

Количество выделившегося тепла равно разности между начальным и конечным значениями энергии в контуре. В моменты, когда напряжение на конденсаторе максимально, ток через катушку равен нулю. Следовательно, энергия в эти моменты сосредоточена в конденсаторе. Имеем:

Учитывая, что и в интересующий нас момент времени , получаем ответ:

Задача3.5.3.

Катушка индуктивностью с сопротивлением обмотки и конденсатор емкостью подключены параллельно к источнику с ЭДС и внутренним сопротивлением . Какое количество тепла выделится в контуре после отключения источника?

Решение:

При замкнутом достаточно долгое время ключе в цепи устанавливается ток через источник и катушку, величина которого равна:

Напряжение на конденсаторе, равное напряжению на катушке, будет:

Суммарная энергия заряженного конденсатора и катушки с током:

После отключения источника в контуре, состоящем из катушки и конденсатора, возникнут затухающие электромагнитные колебания, в результате которых вся начальная энергия перейдет в тепло. Ответ:

Задача3.5.4.

Конденсатор емкостью , заряженный до напряжения , подсоединяют к катушке индуктивностью . Чему равна величина тока через катушку спустя время после подключения конденсатора? Сопротивлением катушки и соединительных проводов пренебречь.

Решение:

При подключении заряженного конденсатора к катушке в образовавшемся контуре возникают электрические колебания с частотой . При этом заряд на конденсаторе меняется во времени по закону

где — начальный заряд на конденсаторе. Поскольку сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало, суммарная энергия электрического и магнитного поля в контуре сохраняется. Из закона сохранения энергии следует, что

Выражая отсюда ток через катушку, имеем

Величина тока в момент времени равна

Задача3.5.5.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и четырех конденсаторов, соединенных как показано на рисунке. Во сколько раз изменится период собственных колебаний в контуре, если замкнуть ключ, соединяющий точки и ? , .

Решение:

Поскольку период электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона , отношение периода колебаний после замыкания ключа к периоду колебаний до замыкания ключа выразится как

где и — емкости батареи конденсаторов в этих двух случаях соответственно. Расчет по стандартным формулам дает:
при разомкнутом ключе,

при замкнутом ключе.
Отсюда получаем ответ:

Задача3.5.6.

В цепи, показанной на рисунке, конденсатор емкостью вначале заряжен до напряжения , а конденсатор емкостью разряжен. До какого максимального напряжения может зарядиться конденсатор в процессе колебаний, возникающих в цепи после замыкания ключа? Потерями в соединительных проводах и в катушке индуктивности пренебречь.

Решение:

После замыкания ключа в цепи возникают гармонические колебания, в процессе которых происходит периодическая перезарядка конденсаторов. В каждый момент времени суммарное напряжение на конденсаторах равно напряжению на катушке, которое, в свою очередь, опережает по фазе ток в цепи на . В момент достижения максимального напряжения на конденсаторах ток в цепи обратится в нуль, следовательно, вся энергия будет сосредоточена в конденсаторах. При этом на конденсатор перетечет из конденсатора , некоторый заряд , а на конденсаторе останется заряд . Величину заряда на конденсаторе можно найти из закона сохранения энергии в контуре. В силу того, что в рассматриваемый момент времени магнитная энергия обращается в нуль,

Отсюда . Учитывая, что , получаем ответ:

Задача3.5.7.

Катушка индуктивностью подключена к двум последовательно соединенным конденсаторам (см. рисунок), один из которых, емкостью , заряжен вначале до напряжения , а второй, емкостью , разряжен. Чему будет равна максимальная сила тока в этой цепи после замыкания ключа?

Решение:

После замыкания ключа в цепи возникают гармонические колебания. При этом ток в цепи и напряжение на катушке сдвинуты по фазе на . Следовательно, когда в цепи достигается максимальный ток, напряжение на катушке обращается в нуль, и в этот момент напряжения на конденсаторах становятся равными по величине и противоположными по знаку (эквивалентная цепь изображена на рисунке). Обозначим через величину напряжения на каждом из конденсаторов. Из закона сохранения заряда следует, что суммарный заряд на конденсаторах в рассматриваемый момент времени равен начальному заряду на конденсаторе , т.е.

, откуда
Согласно закону сохранения энергии в контуре

Объединяя полученные выражения, находим ответ:

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: