Аксонометрические проекции

Аксонометрические проекции

Общие сведения и определения

Прямоугольные проекции предмета на взаимно перпендикулярные плоскости проекций по методу Г. Монжа позволяют точно передать на чертеже форму предмета и его размеры, просты в построении, но не обладают наглядностью. Создание в уме по комплексному чертежу пространственного образа изображенного предмета требует навыков аналитического мышления и наличия пространственного воображения, т. е. достаточно развитого пространственного мышления.

Для наглядного изображения предмета существуют проекции, которые называют аксонометрическими проекциями, или аксонометриями (в переводе с древнегреческого — осеизмерение).

Аксонометрическая проекция — это параллельная проекция предмета вместе с системой прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесен в пространстве, на некоторую плоскость аксонометрических проекций (рис. 10.1).

Чтобы обеспечить наглядность предмета по одному изображению на одной аксонометрической плоскости, направление проецирования (направление проецирующих лучей) не должно быть параллельным координатным плоскостям проекций и , относительно которых выполняются проекции предмета на чертеже.

Систему прямоугольных координат , к которой предмет относят в пространстве для построения его аксонометрии, выбирают обычно так, чтобы оси и этой системы совпадали с натуральной системой координатных осей чертежа.

Аксонометрические проекции как проекции параллельные имеют некоторые свойства параллельных проекций:

  • аксонометрическая проекция отрезка прямой также является прямой;
  • если отрезки прямых параллельны на предмете, они также параллельны на его аксонометрической проекции;
  • аксонометрической проекцией окружности на аксонометрии в общем случае является эллипс.

На рис. 10.1 показана схема проецирования точки , построенной на чертеже в системе натуральных прямоугольных координат и отнесенную к этим же координатам, на некоторую плоскость аксонометрических проекций а по направлению проецирования .

Положение точки определяется в этой системе пространственной координатной ломаной , отрезки которой соответствуют координатам и точки . На взятой произвольно плоскости аксонометрических проекций о получены три прямые и , выходящие из одной точки , которые называются аксонометрическими осями и являются проекциями пространственных координатных осей и , к которым отнесена точка . Полученные углы между аксонометрическими осями зависят от положения аксонометрической плоскости и угла проецирования к этой плоскости. На аксонометрии положение точки определяет плоская координатная ломаная , отрезки которой соответствуют аксонометрическим координатам и аксонометрической проекции точки .

Поскольку направление проецирования не параллельно ни одной из осей системы прямоугольных пространственных координат, то истинные размеры отрезков пространственной координатной ломаной на аксонометрической проекции искажаются и, следовательно, искажаются размеры любого предмета на его аксонометрическом изображении.

Для определения степени искажения размеров предмета на аксонометрических проекциях введено понятие коэффициентов искажения по аксонометрическим осям.

Если на осях и системы натуральных прямоугольных координат отложить от точки равные масштабные отрезки , то в системе аксонометрических координатных осей получаются искаженные проекции этих отрезков а и .

Отношения аксонометрических проекций масштабных отрезков к натуральным величинам масштабных отрезков и называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям:

Расчетные коэффициенты искажения имеют дробные значения, неудобные для выполнения аксонометрических построений (0,82; 0,47 и т. д.).

Для построения на чертежах аксонометрических проекций пользуются так называемыми приведенными коэффициентами искажения, округленными до 1 или 0,5.

Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициентов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь не рассматриваются (подробнее об этом см. в [12]).

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции разделяются на:

а) изо метрические, у которых все коэффициенты искажения равны, т. е. ( — равный);

б) ди метрические, у которых два коэффициента равны, т. е. , а им не равен ( — двойной);

в) три метрические, у которых все коэффициенты разные, т. е. (treis — три).

В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости аксонометрических проекций (угла проецирования), аксонометрические проекции разделяются на:

а) прямоугольные — проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций (угол проецирования равен );

б) косоугольные — проецирующие лучи не перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций (угол проецирования не равен ).

Аксонометрических проекций можно получить бесконечное множество, как может быть бесконечно количество аксонометрических плоскостей проекций и направлений проецирования к ним.

Основная теорема аксонометрических проекций была сформулирована немецким геометром К. Польке: «Любые три отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельные проекции (то есть аксонометрические проекции) трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков (аксонометрических осей) в пространстве».

Г. Шварц, немецкий математик, обобщил теорему К. Польке, доказав, что «любой полный четырехугольник на плоскости всегда является параллельной проекцией некоторого масштабного тетраэдра (пирамиды), имеющего равные и взаимно перпендикулярные ребра» (диагонали четырехугольника можно рассматривать как аксонометрические оси, рис. 10.2). Эту обобщенную теорему и называют теоремой Польке-Шварца.

Стандартные аксонометрии

ГОСТ 2.317-2011 — «Аксонометрические проекции».

Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициентов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь, как указывалось, не рассматриваются (подробнее об этом см. в [12]).

В стандарте даны пять видов аксонометрических проекций:

  1. Прямоугольная изометрия.
  2. Прямоугольная диметрия.
  3. Косоугольная фронтальная диметрия.
  4. Косоугольная фронтальная изометрия.
  5. Косоугольная горизонтальная изометрия.

В курсе начертательной геометрии рассматриваются первых три вида аксонометрических проекций.

Окружности на проекциях предметов проецируются на аксонометрическое изображение предмета в виде эллипсов. Различные графические способы построения четырехцентровых овалов, которыми заменяют эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, параллельных плоскостям проекций и , рассматриваются в учебниках по черчению и инженерной графике. Эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, непараллельных плоскостям проекций, строятся на аксонометриях в основном по точкам, принадлежащих этим окружностям.

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Развертка сферической поверхности
Развертка поверхности открытого тора
Прямоугольная диметрия
Прямоугольная изометрия